Introdução à Probabilidade

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MATEMÁTICA 
COMPUTACIONAL 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Gian Brustolin 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
A ideia de se prever o futuro é algo que sempre instigou a curiosidade 
humana. Pensamos que, se possível fosse conhecer o provir, muito se poderia 
fazer hoje para que melhor pudéssemos enfrentá-lo ou evitá-lo. Há, entretanto, 
um paradigma lógico interessante a se enfrentar: se de fato é possível antever o 
futuro, este seria imutável e, se assim o for, não há utilidade em conhecê-lo. 
 A hipótese mais aceitável, que rompe o paradigma do destino acima 
discutido, é aquela que presume a existência de vários futuros possíveis, cada 
um deles com uma possibilidade maior ou menor de se tornar realidade em 
função das ações encetadas entre o momento atual e a materialização de uma 
das hipóteses de futuro. Teríamos, então, a capacidade de calcular essas 
possibilidades de ocorrência de cada hipótese? 
De fato, este é exatamente o mote do estudo da probabilidade e da 
estatística. Certamente, neste ponto, você deve estar pensando como isto se 
relaciona com computação. A ciência da computação, por quase toda sua 
existência, buscou insistentemente por soluções determinísticas para os 
algoritmos computacionais. A complexidade dos problemas que essa ciência 
enfrenta atualmente a obrigou, em alguns aspectos, a se aproximar das soluções 
estocásticas de problemas. Dito de outra forma, há certos problemas cuja 
complexidade não permite mais a busca pela solução ótima. Uma solução “boa”, 
ou mesmo, em alguns casos extremos, uma solução ao menos viável, é aceita 
para essas questões de extrema dificuldade. 
Exemplos marcantes são os algoritmos de redes neurais artificiais. Treinar 
uma rede neural para que resolva determinado problema é um processo de 
minimização de erro. Uma rede treinada não acertará sempre, mas terá uma 
probabilidade controlada de erro. Essa probabilidade que poderá ser calculada 
depende, entre outros fatores, das amostras utilizadas para treinar a rede. Essas 
amostras devem ser escolhidas segundo critérios estatísticos determinados para 
que a rede convirja, ou seja, para que ela tenha a capacidade de aprender e 
generalizar seu aprendizado. 
Nesta aula, vamos apresentar alguns rudimentos de probabilidade e 
estatística que serão úteis na codificação de algoritmos estocásticos, ou seja, 
algoritmos para os quais não existe uma solução definitiva, como o exemplificado 
anteriormente. 
 
 
3 
Utilizaremos uma aproximação instrumental dessa ciência, de forma a 
torná-la apenas suficientemente profunda para as nossas necessidades futuras 
de estudo. 
TEMA 1 – CONCEITOS DE PROBABILIDADE 
 Como comentamos anteriormente, a ideia da probabilidade é fornecer um 
valor numérico para a possibilidade de ocorrência de um evento. Antes de 
sermos capazes de realizar esses cálculos, devemos construir alguns conceitos 
básicos dessa ciência. 
1.1 Espaço amostral 
 Espaço amostral pode ser conceituado como a junção de todos os 
possíveis resultados obtidos com base em um determinado experimento. Dito de 
outra forma, considerando um acontecimento qualquer, o espaço amostral é o 
conjunto de todas as possibilidades de ocorrência. 
Tomemos um exemplo contextualizado para nosso estudo: suponha um 
jogo computacional. Ao se logar na aplicação, o jogador pode encontrar o jogo 
disponível e iniciar seu entretenimento, ou o jogo pode apresentar defeito e se 
tornar indisponível. Assim, para o evento “logar no jogo”, há dois resultados 
possíveis: sucesso ou insucesso. 
Figura 1 – Resultados e espaço amostral 
 
 
 
Outra possibilidade é o jogador, após logar, encontrar problemas de HW 
que impeçam o prosseguimento do jogo, por exemplo, um defeito no mouse. A 
princípio, a disponibilidade do jogo é independente do funcionamento do mouse, 
assim, podemos representar o exposto segundo a figura a seguir: 
Figura 2 – Resultados e espaço amostral II 
 
 
 
Logar 
Jogo Disponível (D) 
Jogo Indisponível (I) 
Logar 
Jogo Disponível (D) 
Jogo Indisponível (I) 
Mouse OK (M) 
Mouse não OK (N) 
Mouse OK (M) 
Mouse não OK (N) 
 
 
4 
O espaço amostral – conjunto de todas as possibilidades –, normalmente 
chamado de “S” (do inglês Space) ou Ω (letra grega ômega), descrito na figura 
anterior é o seguinte: 
S= { DM, DN, IM, IN} 
É possível que o jogo esteja disponível (D) e o mouse não apresente 
defeito (M). Alternativamente, mesmo estando o jogo disponível (D), o mouse 
pode estar com problemas (N). No outro ramo da figura, estando o jogo 
indisponível (I), o mouse pode estar operacional (M) ou com defeito (N). Essas 
são todas as possibilidades de ocorrência para esse exercício, ou, usando o 
jargão estatístico, este é o espaço amostral do experimento. 
1.2 Evento 
Tomando o mesmo experimento, podemos imaginar subconjuntos de S, 
por exemplo, ocorrerem defeitos simultâneos, ou apenas um defeito. Qualquer 
subconjunto de S será dito evento de S. Vamos supor o evento E, jogo 
indisponível, podemos escrever. 
E={I}; 
Vamos agora supor um teclado numérico, composto das seguintes teclas 
S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,+,-,*,/,=,C}. Podemos imaginar o evento números 
pares={2,4,6,8}, ou o evento operadores matemáticos={+,-,*,/,=}. 
1.3 Probabilidade 
De maneira simples, podemos dizer que probabilidade é a chance de que 
um determinado evento ocorra. Vamos voltar ao teclado. Imagine que uma 
pessoa aperte, aleatoriamente, uma tecla qualquer. Qual a possibilidade de a 
tecla apertada ser 9, por exemplo? 
Como a escolha da tecla foi aleatória, essa pessoa poderia ter apertado 
qualquer tecla, ou seja, a chance da tecla 9 ser apertada é igual à de qualquer 
outra o ser (são eventos equiprováveis). Assim, podemos pensar que, se existem 
16 teclas, a chance de se apertar a tecla 9 é uma em 16 possibilidades. Dito de 
outra forma, a probabilidade do evento 9 é 1/16, ou seja, 0,0625, ou ainda 6,25%. 
 Se, no mesmo exemplo, desejássemos saber qual a probabilidade de 
nosso apertador de teclados acertar um número par, a situação é ligeiramente 
diferente. Nesse caso, existem quatro números pares nas 16 teclas. 
 
 
5 
Usando a mesma lógica, serão quatro chances em 16 possibilidades ou 
4/16, ou seja, 25%. Desse exercício mental, é possível generalizar o cálculo da 
probabilidade, que denotaremos P(A) ou probabilidade de ocorrência do evento 
A qualquer. 
𝑷 (𝑨) = 𝒏 / 𝑵 
Onde 𝒏 é o número de elementos de A e 𝑵 é o número de elementos de 
S. 
1.4 Tipos de eventos e união de eventos 
Os eventos, quando relacionados com sua probabilidade de ocorrência, 
recebem uma classificação que veremos em seguida. Quando a ocorrência de 
um evento elimina a possibilidade da ocorrência de outro, esses eventos são 
chamados de mutuamente excludentes. A probabilidade de ocorrência de 
vários eventos independentes é a soma simples das probabilidades individuais 
de ocorrência. 
Dois eventos são ditos complementares quando: 
p + q = 1 (100%) 
Onde: 
p é a probabilidade de sucesso em um dos eventos; 
q é a probabilidade de sucesso no outro evento. 
 Nos eventos complementares, a soma de suas probabilidades de 
ocorrência representa o espaço amostral por completo. 
 A união de eventos é a ocorrência de eventos sucessivos ou simultâneos 
em S. A probabilidade da união de eventos sucessivos é a soma das 
probabilidades individuais decrescida da interseção entre eles, ou seja, para os 
eventos A e B: 
𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) 
 
 Isto se explica pela teoria dos conjuntos, segundo a qual, para 
conhecermos o conjunto união de dois outros conjuntos, basta somar os 
elementos desses dois, mas se existirem elementos comuns, eles devem ser 
contados uma única vez. 
 A probabilidade da união de eventos simultâneos é a multiplicação das 
probabilidades individuais, ou seja, para os eventos A e B: 
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ∗ 𝑷(𝑩) 
 
 
6 
1.5 Probabilidade de eventoscomplementares 
Os eventos complementares podem ser descritos com um evento e seu 
complemento, já que p+q=1, assim: 
𝑨 ∪ �̅� = 𝛀 
𝑨 ∪ �̅� = ∅ 
𝑷(�̅�) = 𝟏 − 𝐏(𝑨) 
 
TEMA 2 – AMOSTRAGEM 
 O estudo da probabilidade nos torna capazes de calcular em dado 
experimento a chance de se obter determinado resultado. Nesses cálculos, 
todos os eventos são conhecidos, e o número de eventos é controlável. Quando 
objetivamos aplicar tais conhecimentos a espaços amostrais substancialmente 
maiores, como a população de um país, encontraremos dificuldade em conhecer 
cada evento individualmente. Será necessário realizar o experimento em uma 
parcela do espaço amostral, dita amostra, e, posteriormente, generalizar os 
resultados obtidos nessa amostra para a população. Este é o campo de estudos 
da estatística. Segundo Navidi (2012), “a ideia básica por trás de todos os 
métodos de estatística da análise de dados é inferir sobre uma população 
estudando uma amostra relativamente pequena dela”. 
 Como você já percebeu, amostrar a população é o primeiro passo da 
análise estatística. Trataremos a seguir de alguns conceitos de base que nos 
auxiliarão na aplicação da estatística. 
2.1 Amostragem aleatória simples 
 Já entendemos que para ser possível a descrição de um fenômeno amplo, 
é necessário reduzir o campo de análise pela amostragem. Coletar amostras, 
entretanto, não é um procedimento acidental. Imagine que queremos coletar 
amostras para treinar uma rede neural de forma que ela seja capaz de identificar 
imagens de planadores. Existem infinitas imagens de aviões, e há outra 
infinidade de imagens de céu com objetos voadores distintos destes, mas será 
necessário escolher (ou amostrar) uma coleção finita de imagens. 
 
 
 
7 
Suponha agora que você escolha somente imagens de planadores 
centralizados no campo visual, com asas vermelhas e inclinados para bombordo. 
Se treinarmos a rede neural com essas amostras, ela somente reconhecerá 
aviões de asas vermelhas, centralizados etc. 
 Ao amostrarmos uma população, devemos seguir alguns critérios de 
forma a garantir a presença, entre as amostras, de elementos representativos de 
toda a variedade da população. Tornar a escolha de amostras absolutamente 
aleatória pode ser uma solução. Há vários métodos de amostragem aleatória, 
vamos conhecer o método básico chamado amostragem aleatória simples. 
 Navidi (2012, p. 3) conceitua amostra aleatória simples de tamanho n 
como “uma amostra escolhida por um método no qual cada coleção de n itens 
da população é igualmente provável de compor a amostra, da mesma forma 
como em uma loteria”. Dito de outra forma, se os eventos são equiprováveis, 
você pode amostrá-los por mero sorteio. A comparação com a loteria feita por 
Navidi é interessante. Você já pensou que em um jogo como a Quina, a 
probabilidade de termos o resultado 1, 2, 3, 4, 5 é a mesma de termos qualquer 
outro resultado? Como todos os eventos são equiprováveis, qualquer 
combinação de números tem exatamente a mesma possibilidade de ocorrer. 
2.2 Variação amostral 
 O método de amostragem aleatória simples é plenamente eficaz em 
experimentos equiprováveis e homogêneos, nos quais não há distinção entre as 
amostras. Nas aplicações reais, porém, há sempre certa heterogeneidade entre 
as amostras. Imagine um conjunto de esferas metálicas produzidas por uma 
máquina. Podemos retirar uma amostra dessa população para verificar a 
qualidade da produção, mas isso indica que, de fato, a população não é 
plenamente homogênea. Ao usarmos a técnica de amostragem aleatória 
simples, poderemos inferir sobre a qualidade de toda a população, mas uma 
segunda amostragem, pela mesma técnica, pode levar a um resultado 
ligeiramente diferente. Esse fenômeno é conhecido como variação amostral. 
 Então, qual seria a vantagem desse método, se os resultados podem ser 
diferentes? O fato de se escolher as amostras de forma aleatória garante que 
não ocorreu nenhum viés de seleção. A relação entre a amostra puramente 
aleatória e a população é matematicamente conhecida e será possível calcular 
qual o possível erro de generalização. 
 
 
8 
2.3 Vícios de amostragem 
 Garantir a plena aleatoriedade da amostra, entretanto, não é algo tão 
simples. O processo de coleta de amostras, muitas vezes, esconde vícios 
ignorados inicialmente pelo coletor. Imagine, no exemplo das esferas, que o 
coletor realize a amostragem toda a manhã, e após o término do turno da 
madrugada. As condições de operação da máquina, neste momento, não são 
totalmente aleatórias. O final de um turno normalmente deixa a máquina em 
temperatura de operação elevada, alterando a qualidade do produto. O horário 
viciado de coleta também pode traduzir o comportamento da equipe da 
madrugada em detrimento dos demais turnos. Dessa forma, coletadas as 
amostras, é interessante testar sua aleatoriedade. A própria estatística fornece 
algumas ferramentas de avaliação. A observação gráfica das amostras é uma 
delas. Na figura a seguir, vemos gráficos representativos de amostras obtidas 
por amostragem aleatória simples. 
Figura 3 – Vícios em amostragem aleatória simples 
 
Fonte: Brustolin, 2022, com base em Navidi, 2012, p. 7. 
 De forma independente do que possam representar abscissa e ordenada 
do gráfico, podemos observar que os dois primeiros gráficos da esquerda 
mostram padrões nas amostras indicando possível viés na sua coleta. Amostras 
aleatórias devem apresentar uma dispersão aleatória dentro do espaço amostral. 
Por outro lado, o fato de se verificar um viés nas amostras aleatórias pode não 
ser um erro de coleta, e sim indicar que a população é heterogênea ou que os 
eventos não são equiprováveis. 
Tome o exemplo de uma amostragem feita em uma linha de produção de 
carros em que a maior parte dos carros produzidos, por solicitação dos clientes, 
é branca. Se desejarmos descrever estatisticamente o comportamento da 
 
 
9 
pintura, podemos realizar uma amostragem estratificada, dividindo a população 
em extratos e só então coletar aleatoriamente as amostras dentro de cada 
extrato populacional. Outra possibilidade é a amostragem ponderada, segundo 
a qual a quantidade de amostras por extrato respeita a participação ponderal 
desse estrato na população. Uma amostragem cega certamente trará mais 
informação dos carros brancos que de outras cores de pintura, enviesando a 
estatística. 
TEMA 3 – ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 Acabamos de entender os rudimentos da amostragem para obtenção de 
dados sobre determinada população. Concluída a coleta, será necessário 
apresentar os dados coletados de forma útil para as análises que desejamos. 
Este é o campo da estatística descritiva. É importante comentar que, para a 
estatística descritiva, eventual viés na amostra não é importante, posto que não 
desejamos inferir informações sobre a população por meio da amostra, mas 
apenas descrevê-los. 
Segundo Becker (2015, p. 47), a estatística descritiva 
engloba um conjunto de métodos e técnicas utilizáveis para avaliar as 
características exteriores de uma série de dados. Engloba técnicas de 
representação e sintetização de dados, como gráficos e tabelas, assim 
como várias medidas (descritivas) relacionadas a um determinado 
conjunto de dados. 
3.1 Estatística descritiva monovariada 
 Quando apenas uma característica da população é observada e descrita, 
teremos a estatística descritiva monovariada. Quando observamos a população 
de esferas de nossa máquina, por exemplo, imagine que precisamos controlar 
apenas seu diâmetro máximo. Nesse caso, a variável observada será o diâmetro 
da esfera. 
Podemos descrever uma variável de forma nominal (em categorias ou 
categórica) ou de forma métrica (intervalares ou de razão). Voltando ao nosso 
exemplo das esferas, podemos avaliar o diâmetro da amostra da esfera por um 
sistema de duas peneiras de classificação. Teremos, então, três categorias: 
esferasdentro do diâmetro padrão, abaixo do diâmetro padrão ou acima dele. 
Nesse caso, podemos tratar a variável diâmetro como categórica. 
 
 
10 
 Gráficos e tabelas categóricos típicos podem ser vistos a seguir. Veja que 
a descrição da variável se dá pelo total de eventos de uma ou outra categoria 
(pode haver várias categorias, não apenas duas). 
Tabela 1 – Tabela descritiva monovariável categórica 
Sexo Frequência % % de respostas validas 
1 feminino 159 38,7 39,1 
2 masculino 248 60,3 60,9 
 Subtotal 407 99,0 100,0 
9 sem resposta 4 1,0 - 
 Total 411 100,0 - 
 
Fonte: Brustolin, 2022, com base em Becker, 2015, p. 48. 
 Da mesma forma, para a descrição de uma variável única de forma 
categórica, as apresentações tradicionais são barras e pizza: 
Gráfico 1 – Gráficos descritivos de monovariável categórica 
 
39,1%
60,9%
0,0%
10,0%
20,0%
30,0%
40,0%
50,0%
60,0%
70,0%
1 feminino 2 masculino
 
 
11 
 
Fonte: Brustolin, 2022, com base em Becker, 2015, p. 49. 
 Por outro lado, talvez seja mais útil tratar o diâmetro de nossas esferas de 
forma numérica ou métrica. As tabelas de monovariáveis métricas assumem um 
aspecto diferente. Devemos escolher faixas ou intervalos de avaliação, como se 
observa na tabela a seguir. Becker indica, sobre a escolha do número faixas, a 
regra da raiz quadrada de n, onde n representa o tamanho da amostra. Dessa 
forma, teríamos √𝑛 faixas de diâmetro. Essa é apenas uma regra de uso 
frequente, mas não existe uma diretriz definitiva sobre o tema. 
Tabela 2 – Tabela descritiva de monovariável métrica 
Diâmetro (mm) Frequência % 
20,5 – 22,5 
22,5 – 24,5 
24,5 – 26,5 
26,5 – 28,5 
28,5 – 30,5 
30,5 – 32,5 
32,5 – 34,5 
34,5 – 36,5 
36,5 – 38,5 
38,5 – 40,5 
40,5 – 42,5 
42,5 – 44,5 
44,5 – 46,5 
15 
17 
14 
12 
20 
24 
21 
35 
21 
39 
44 
45 
50 
3,6 
4,1 
3,4 
2,9 
4,9 
5,8 
5,1 
8,5 
5,1 
9,5 
10,7 
10,9 
12,2 
39%
61%
1 feminino
2 masculino
 
 
12 
46,6 – 48,5 
48,5 – 50,5 
50,5 – 52,5 
52,5 – 54,5 
29 
14 
8 
3 
7,1 
3,4 
1,9 
0,7 
Total 411 100,0 
Fonte: Brustolin, 2022, com base em Becker, 2015, p. 56. 
Gráficos que descrevem esse tipo de variável são tipicamente 
histogramas, como se vê na figura a seguir. Veja que a mesma amostragem 
pode produzir gráficos com envoltórias distintas, conforme se escolhe o intervalo 
de avalição. 
Gráfico 2 – Histograma de monovariável métrica 
 
Fonte: Brustolin, 2022, com base em Becker, 2015, p. 56. 
 
Este problema de escolha do intervalo, por interferir na envoltória que nos 
indicará o tipo de distribuição estatística dos dados (tema que veremos adiante), 
demanda a criação de alguns parâmetros de dispersão dos dados. Esses 
parâmetros, ditos medidas descritivas, nos permitirão ajustar os intervalos 
corretamente para que tenhamos o histograma correto. 
 
0
10
20
30
40
50
60
20,5 22,5 24,5 26,5 28,5 30,5 32,5 34,5 36,5 38,5 40,5 42,5 44,5 46,5 48,5 50,5 52,5 54,5
 
 
13 
3.2 Medidas descritivas em estatística monovariada 
 Nesta seção, estudaremos algumas medidas descritivas que podem nos 
ajudar no processo de ajuste da amostragem. Estudaremos as medidas média, 
desvio padrão e variância. 
3.2.1 Média 
 A média aritmética simples, ou simplesmente média de um conjunto de 
valores, é dada pela somatória de todos os valores amostrados dividida pelo 
número total de amostras. Dessa forma, supondo que tenhamos as seguintes 
amostras de dado experimento: {2;1; 20; 15}, a média será calculada como a 
soma (2+1+20+15=38) dividida pelo total de amostras (4), portanto, 38/4 = 9,5. 
A média nos fornece uma aproximação da centralidade da distribuição dos 
valores das amostras. 
3.2.2 Desvio em torno da média 
 Já sabemos que a média nos informa o centro da dispersão, mas a 
distribuição dos valores em torno da média pode assumir perfis bastante 
diversos. Podemos ter alta concentração de amostras nas proximidades da 
média ou amostras isoladas e distantes em relação a esta, fenômeno chamado 
de variabilidade. Cada amostra terá um desvio próprio D em relação à média, 
que pode ser calculado pela diferença entre o valor da média e o valor da 
amostra. 
No exemplo das quatro amostras acima, como a média é 9,5, podemos 
dizer que o desvio da primeira amostra (2) é D=2-9,5=-7,5. O valor negativo de 
D indica que a amostra está abaixo da média. Valores positivos de desvio 
indicarão valores superiores à média. 
3.2.3 Variância 
 Ao somarmos os desvios de todas as amostras, teremos sempre o 
resultado nulo, uma vez que a média é formada pelo próprio conjunto de valores 
amostrais. Mas se elevarmos ao quadrado os desvios antes de somá-los, o 
resultado será sempre positivo e nos dará uma ideia da variabilidade das 
amostras em torno da média. 
 
 
14 
 Vejamos o caso de nossas quatro amostras, chamando de Di o desvio da 
amostra i. 
D1 = 2 – 9,5 = -7,5 então Di
2 = -7,5*-7,5 = 56,25 
D2 = 1 – 9,5 = -8,5 então Di
2 = 72,25 
D3 = 20 – 9,5 = 10,5 então Di
2 = 110,25 
D4 = 15 – 9,5 = 5,5 então Di
2 = 42,25 
A soma dos desvios Di será Σ Di = -7,5-8,5+10,5+5,5 = 0, como afirmamos 
acima, entretanto, a variância Σ Di
2 = 56,25+72,25+110,25+42,25=281. O valor 
281 em relação ao valor da média 9,5 é bastante elevado, o que nos informa que 
os valores se encontram bastante dispersos em relação a esta. Para que 
demonstremos o afirmado, tome as seguintes quatro amostras {7; 8;11;12}, cuja 
média também é 9,5. Nesse caso, as amostras têm desvios menores em relação 
à média, e a variância será 15, indicando a proximidade desses valores. 
 Você certamente está se perguntando onde este conhecimento será 
aplicado em sua formação. Daremos a você dois exemplos. Escolher amostras 
com variância elevada é um critério importante para treinamento de redes 
neurais. Se escolhermos amostras de baixa variância, a rede não será capaz de 
generalizar o treinamento e apresentará muitos erros de interpretação. 
Quando enfrentamos a vigilância de segurança de uma rede, o 
comportamento de acesso dos usuários segue um padrão médio com variância 
conhecida. Se a variância se altera significativamente, há boa possibilidade de 
estarmos enfrentando uma invasão. 
3.2.4 Desvio padrão 
 Esta medida é uma mera operação matemática sobre a variância. Ao se 
extrair a raiz quadrada da variância, obtêm-se o desvio padrão em torno da 
média. 
A criação dessa medida tem a característica positiva de se encontrar na 
mesma dimensão das amostras. Quando calculamos a variância, elevamos os 
desvios ao quadrado e, portanto, teremos a unidade de medida também 
quadrática. Se, por exemplo, estamos medindo o diâmetro de uma esfera em 
milímetros, a variância será expressa em mm2, dificultando uma análise direta. 
Ao se extrair a raiz da variância, retornamos à dimensão original, milímetros. 
 
 
15 
Será mais fácil avaliar a distância em relação à média se as unidades estiverem 
na mesma dimensão. 
3.3 Estatística descritiva bivariada 
 Quando duas características independentes da população são 
observadas e descritas, teremos a estatística descritiva bivariada. A principal 
questão nesse tipo de análise é a identificação das variações conjuntas. De fato, 
se duas variáveis são independentes, não pode haver correlação entre elas. 
Ocorrendo correlação, as variáveis se tornam dependentes e a análise será 
monovariada. Como trata-se de duas variáveis, é possível que tenhamos ambas 
categóricas, uma delas métricas ou ambas métricas. 
 Para variáveis categóricas, a apresentação em tabela de contingência é 
a forma tradicional. Trata-se de acrescentar mais colunas à tabela 1. Tome o 
exemplo presente na tabela em questão. Se além do sexo biológico, 
desejássemos relacioná-lo com a área de trabalho, elaboraríamos a tabela de 
contingência ilustrada a seguir: 
Tabela 3 – Tabela descritiva bivariável categórica 
Local de trabalho 
Sexo 
Total da linha 
1 feminino 2masculino 
1 direção geral 13 28 41 
2 superintendências 24 33 57 
3 agências 89 136 225 
4 órgãos regionais 33 50 83 
Total da coluna 159 247 406 
Fonte: Brustolin, 2022, com base em Becker, 2015, p. 80. 
Para a combinação entre variáveis categórica e métrica, a 
apresentação seguirá em tabela de contingência, acrescentando-se mais 
colunas à tabela. Os histogramas, entretanto, serão distintos, um para cada 
categoria. 
Para ambas as variáveis métricas, a apresentação também ocorrerá em 
tabela, mas além dos histogramas independentes, surge a figura do gráfico ou 
diagrama de dispersão. Esse modelo de apresentação não é propriamente um 
gráfico com o qual estamos acostumados, no qual a abscissa (eixo horizontal) 
 
 
16 
expressa a variável independente (tradicionalmente dita “x”) e as ordenadas 
(eixo vertical) expressam a variável dependente (y=f(x)). 
Como, a princípio, as variáveis são independentes, a expressão gráfica é 
chamada de diagrama para evitar conclusões equivocadas. A seguir, um 
exemplo de diagrama de dispersão para a rentabilidade diária das ações Petro 
e Vale. Veja que tanto nas ordenadas quanto nas abscissas há valores de 
rentabilidade, e as plotagens de pontos ocorrem sequencialmente. 
Diagrama 1 – Diagrama de dispersão 
 
Fonte: Brustolin, 2022, com base em Becker, 2015, p. 80. 
3.4 Medidas descritivas em estatística bivariada 
 Já sabemos que a grande preocupação em análises bivariadas é a 
eventual dependência entre as variáveis analisadas. De forma a ser possível 
avaliar essa dependência, foram criadas medidas como Covariância e 
Coeficiente de Correlação, que nos trazem indicações dessa possível 
 
 
17 
correlação. De fato, ambas as medidas se baseiam no cálculo da variância entre 
a média de uma variável e outra. O coeficiente de correção, também dito 
coeficiente de Pearson ou “p”, apenas torna essa relação adimensional, 
permitindo levantar um índice de correlação -130 amostras para que a inferência 
seja válida. Embora esse número nos pareça pequeno quando nos 
referenciamos a populações de milhões de indivíduos, é possível provar essa 
vinculação, guardada a questão estudada acima no que se refere ao intervalo de 
confiança. Para nindependentes). 
Várias medidas naturais (antropomórficas, por exemplo) e várias 
medidas industriais se ajustam bem a tais pressupostos. 
 
 
21 
Dessa forma, essa “normalmente” é a primeira tentativa de adequação, 
mas existem métodos matemáticos para que se verifique tal adequação, ditos 
“testes de normalidade”. 
5.2 Distribuição de Poisson 
A distribuição de probabilidade Poisson foi descoberta por Simeon 
Poisson no século XIX como boa descritora de eventos temporais. Ela descreve 
a possibilidade de ocorrência de dado fenômeno em um intervalo de tempo. 
A distribuição de Poisson é usada, por exemplo, em call centers, quando 
se quer estimar a probabilidade de ocorrência de dada demanda de atendimento 
em determinado período de tempo, conhecida a média de atendimentos por 
período. 
P(X=K)=
𝜆𝑘𝑒−𝜆
𝑘!
, para k=0,1,2... 𝒆 = 𝟐, 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖𝟏𝟖. . . 
Figura 6 – Distribuição de Poisson 
 
Fonte: 
. 
5.3 Distribuição binomial 
A distribuição de probabilidade binomial é uma evolução do experimento 
de Bernoulli. Essa distribuição adequa-se bem a eventos de 𝑛 repetições 
independentes, sob as mesmas condições, nas quais a probabilidade de 
ocorrência de um evento 𝐴 é constante. Um exemplo de aplicação é a 
determinação da probabilidade de um grupo de clientes responder a uma 
 
 
22 
pesquisa se sabemos que a resposta média dos clientes é de P% das pesquisas 
enviadas. A equação que define essa distribuição, bem como o seu gráfico, 
encontram-se a seguir: 
P(X)= 
𝑁!
𝑋!(𝑁−𝑋)!
 .𝑝𝑋.𝑞𝑁−𝑋 
Figura 7 – Distribuição binomial 
 
Fonte: . 
FINALIZANDO 
 Concluímos nosso breve estudo sobre probabilidade e estatística. Este 
conhecimento será fundamental em disciplinas que utilizem tratamentos não 
determinísticos de dados. A análise estocástica de informações em computação 
não é algo novo, porém, permanecia no âmbito acadêmico. A necessidade de 
tratamento estatístico de dados em análise de segurança da informação, em 
inteligência artificial e em tratamento de congestionamento de redes – apenas 
para citar alguns exemplos entre muitos outros – forçaram a aplicação deste 
conhecimento em larga escala. Recomendamos que, entendida esta base de 
conhecimento, você a aprofunde sempre que deparar-se com a necessidade de 
sua aplicação. 
 
 
 
23 
REFERÊNCIAS 
BECKER, J. L. Estatística Básica. Porto Alegre: Grupo A, 2015. 
NAVIDI, W. Probabilidade e Estatística para Ciências Exatas. Porto Alegre: 
Grupo A, 2012. 
SPIEGEL, M. R.; STEPHENS, L. J. Estatística. 4. ed. Porto Alegre: Grupo A, 
2009.