AULA 3 PROJETO DE ENGRENAGENS

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PROJETO DE COMPONENTES 
MECÂNICOS 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Francielly Elizabeth de Castro Silva 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Nesta abordagem, falaremos sobre transmissão por engrenagens. As 
engrenagens são elementos muito utilizados em máquinas que precisam 
transmitir potência. A caixa de câmbio do carro, por exemplo, apresenta uma 
série de engrenagens que são acopladas em conjunto ao sistema – motor e eixo 
– por meio da troca de marchas a fim de promover maior rotação ao eixo. 
Conheceremos os tipos de engrenagens, aprender a projetar um trem de 
engrenagens, aprender os parâmetros de projeto de engrenagens de dentes 
retos e, por fim, saber como são fabricadas as engrenagens. 
Propomos lembrarem de equipamentos e máquinas do dia a dia que 
apresentam esses tipos de transmissão. 
TEMA 1 – TIPOS DE ENGRENAGENS 
Engrenagens são rodas dentadas, cilíndricas, usadas para transmitir 
movimento e potência de um eixo rotativo a outro. Com o movimento de rotação 
das engrenagens, a engrenagem acionadora (acoplada ao eixo do motor) exerce 
força sobre a acionada provocando um torque e, consequentemente, certa 
potência é transmitida, Na Figura 1 a seguir, são mostrados alguns tipos de 
engrenagens. 
Figura 1 – Engrenagens 
 
Crédito: JAZ STUDIO/Shutterstock. 
 
 
3 
A engrenagem acionadora gira no sentido oposto ao da engrenagem 
acionada e vice-versa. Essa característica é oposta ao que vimos em momento 
anterior de transmissões por correias e correntes, em que as polias e rodas 
dentadas giram no mesmo sentido de forma geral. Contudo, é possível girá-la 
em sentidos opostos torcendo a correia, formando um “oito”. 
1.1 Engrenagens de dentes retos 
As engrenagens de dentes retos apresentam dentes retos e paralelos à 
direção axial do eixo que as sustenta, como é mostrado na Figura 2 a seguir. O 
formato curvo das faces desses dentes apresenta uma geometria especial 
chamada de “curva involuta”. Esse formato possibilita a operação conjunta de 
duas engrenagens como transmissão suave de potência. É o tipo mais comum 
de engrenagem, comumente encontrada em caixas de câmbio e máquinas de 
forma geral. 
Figura 2 – Engrenagens de dentes retos 
 
Crédito: similis/Shutterstock. 
1.2 Engrenagens de dentes helicoidais 
Os dentes das engrenagens helicoidais são dispostos de modo a formar 
um ângulo em relação à direção axial do eixo. Esse ângulo, chamado de “ângulo 
 
 
4 
de hélice”, geralmente assume valores entre 15° a 45°. Na Figura 3 a seguir, é 
mostrado esse tipo de engrenagem em uma caixa de engrenagens. 
Figura 3 – Caixa de engrenagens com engrenagens helicoidais 
 
Crédito: Lutsenko_Oleksandr/Shutterstock. 
A principal vantagem das engrenagens helicoidais sobre engrenagens de 
dentes retos é o engrenamento mais suave, pois o dente recebe a carga 
gradualmente, e não de uma vez só. 
Isso proporciona uma capacidade maior de transmissão de potência para 
determinado tamanho de engrenagem, ou uma engrenagem menor pode ser 
projetada para transferir a mesma potência. 
A principal desvantagem das engrenagens helicoidais é que uma carga 
axial é produzida como resultado natural da disposição inclinada dos dentes. 
Os rolamentos que sustentam o eixo da engrenagem helicoidal devem ser 
capazes de reagir contra a carga axial. 
1.3 Engrenagens cônicas 
Engrenagens cônicas são utilizadas para transferir movimento entre eixos 
não paralelos, geralmente a 90° um do outro. Os tipos mais comuns de 
engrenagens cônicas são: engrenagem cônica de dentes retos (Figura 4a) e 
engrenagem cônica de dentes helicoidais (Figura 4b). 
 
 
5 
Figura 4 – Engrenagem cônica de dentes (a) retos e (b) helicoidais 
(a) (b) 
Créditos: Bill Haag/Shutterstock; Sergey Ryzhov/Shutterstock. 
1.4 Engrenagens conjuntos sem-fim 
O engrenamento sem-fim é utilizado para transmitir movimento e potência 
entre eixos que não se cruzam, geralmente a 90°, como é mostra na Figura 5a 
a seguir. O sem-fim tem o aspecto geral de uma rosca de parafuso de potência. 
Esse tipo de engrenagem é muito utilizado em caixas redutoras, como é 
mostrado na Figura 5b. 
Figura 5 – (a) Sem-fim e engrenagem sem-fim e (b) Caixa redutora em corte 
mostrando conjunto sem-fim 
(a) (b) 
Créditos: Mishakov Valery/Shutterstock; DmyTo/Shutterstock. 
TEMA 2 – RAZÃO DE VELOCIDADE ANGULAR E TRENS DE ENGRENAGENS 
Um trem de engrenagens é um ou mais pares de engrenagens que 
operam em conjunto para transmitir potência. Normalmente, há uma mudança 
de velocidade de uma engrenagem para a outra por conta dos diferentes 
tamanhos das engrenagens. O elemento básico da razão total de mudança de 
 
 
6 
velocidade em um trem de engrenagens é a razão de velocidade angular entre 
duas engrenagens em um único par. 
A razão da velocidade angular (VR) é definida como a razão entre a 
velocidade angular da engrenagem de entrada e a velocidade angular da 
engrenagem de saída em um único par de engrenagens (relação de 
transmissão). 
Vamos imaginar que, na Figura 6 a seguir, há duas rodas deslizando uma 
na outra. Essas rodas têm os diâmetros de passo (diâmetro primitivos) das 
engrenagens mostradas. A velocidade na linha primitiva de uma engrenagem é 
dada por: 
𝑣𝑣𝑡𝑡 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 (1) 
Nessa equação, 𝑅𝑅 corresponde ao raio da engrenagem primitivo (passo) 
e 𝑅𝑅 é a velocidade angular da engrenagem. A Equação 1 pode ser definida para 
a engrenagem (aqui definimos como a engrenagem maior) e para o pinhão 
(engrenagem menor): 
𝑣𝑣𝑡𝑡 = 𝑅𝑅𝐺𝐺𝑅𝑅𝐺𝐺 (2𝑎𝑎) 
𝑣𝑣𝑡𝑡 = 𝑅𝑅𝑃𝑃𝑅𝑅𝑃𝑃 (2𝑏𝑏) 
Figura 6 – Duas engrenagens 
 
Créditos: Jefferson Schnaider. 
 
 
7 
 
As equações anteriores mostram que as velocidades na linha primitiva do 
pinhão e da coroa são as mesmas. Logo, a razão de velocidade angular, 𝑉𝑉𝑅𝑅, é 
dada por: 
𝑉𝑉𝑅𝑅 =
𝑅𝑅𝑃𝑃
𝑅𝑅𝐺𝐺
=
𝑅𝑅𝐺𝐺
𝑅𝑅𝑃𝑃
 (3) 
A razão de velocidade angular para o par de engrenagens é dada por: 
𝑉𝑉𝑅𝑅 =
𝑅𝑅𝑃𝑃
𝑅𝑅𝐺𝐺
=
𝑛𝑛𝑃𝑃
𝑛𝑛𝐺𝐺
=
𝑅𝑅𝐺𝐺
𝑅𝑅𝑃𝑃
=
𝐷𝐷𝐺𝐺
𝐷𝐷𝑃𝑃
=
𝑁𝑁𝐺𝐺
𝑁𝑁𝑃𝑃
 (4𝑎𝑎) 
Ou seja: 
𝑉𝑉𝑅𝑅 =
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑎𝑎𝑣𝑣𝑣𝑣𝑃𝑃
𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑎𝑎𝑣𝑣𝑣𝑣𝐺𝐺
=
𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛ℎ𝑣𝑣𝐺𝐺
𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛ℎ𝑣𝑣𝑃𝑃
= 𝑣𝑣 (4𝑏𝑏) 
A maioria das transmissões por engrenagens é composta por redutores 
de velocidade, isto é, a velocidade de saída é menor do que a de entrada. Isso 
resulta em um 𝑉𝑉𝑅𝑅 superior a 1. 
2.1 Razão de engrenamento 
Quando mais de duas engrenagens estão em malha, o termo “razão de 
engrenamento” (𝑇𝑇𝑉𝑉) refere-se à razão entre a velocidade de entrada (para a 
primeira engrenagem no trem) e a velocidade na saída (para a última 
engrenagem no trem). 
Por definição, a razão de engrenamento (𝑇𝑇𝑉𝑉) é o produto dos valores de 
𝑉𝑉𝑅𝑅 para cada par de engrenagens do trem. Um par de engrenagens é qualquer 
conjunto de duas engrenagens – uma acionadora e outra acionada. 
𝑇𝑇𝑉𝑉 = (𝑉𝑉𝑅𝑅1)(𝑉𝑉𝑅𝑅2) … (𝑉𝑉𝑅𝑅𝑛𝑛) (5) 
Ness razão, 𝑛𝑛 corresponde ao número total de par de engrenagens. 
Exemplo 1: para o trem de engrenagens mostrado na seguinte figura, se 
o eixo de entrada gira a 1.750 rpm no sentido horário, calcular a velocidade do 
eixo de saída e o sentido da rotação na saída. 
 
 
8 
 
Créditos: Jefferson Schnaider. 
Solução: a entrada está no eixo 1 que movimenta a engrenagem A, e que 
por consequência aciona a engrenagem B. A engrenagem C está no mesmo eixo 
que a engrenagem B (Eixo 2), logo, tem a mesma velocidade. A engrenagem C 
aciona a engrenagem D que está conectada ao eixo de saída (Eixo 3). 
Assim, as engrenagens A e B constituem o primeiro par de engrenagens, 
e as engrenagens C e D constituem o segundo par. 
As razões de velocidade angular são:𝑉𝑉𝑅𝑅1 =
𝑅𝑅𝑃𝑃
𝑅𝑅𝐺𝐺
=
𝑅𝑅𝐴𝐴
𝑅𝑅𝐵𝐵
 𝑣𝑣 𝑉𝑉𝑅𝑅2 =
𝑅𝑅𝑃𝑃
𝑅𝑅𝐺𝐺
=
𝑅𝑅𝐶𝐶
𝑅𝑅𝐷𝐷
 
A razão de engrenamento é: 
𝑇𝑇𝑉𝑉 = (𝑉𝑉𝑅𝑅1)(𝑉𝑉𝑅𝑅2) =
𝑅𝑅𝐴𝐴𝑅𝑅𝐶𝐶
𝑅𝑅𝐵𝐵𝑅𝑅𝐷𝐷
 
Como 𝑅𝑅𝐵𝐵 = 𝑅𝑅𝐶𝐶 por estarem no mesmo eixo: 
𝑇𝑇𝑉𝑉 = (𝑉𝑉𝑅𝑅1)(𝑉𝑉𝑅𝑅2) =
𝑅𝑅𝐴𝐴
𝑅𝑅𝐷𝐷
 
 
 
9 
Portanto, a razão de engrenamento é igual à velocidade na entrada 
dividida pela velocidade na saída. Esse processo pode ser ampliado para 
qualquer número de fases de redução no trem. 
É importante ressaltar que as demais relações citadas anteriormente, 
conforme Equação 4a anterior, também são válidas. Logo, no exemplo, temos 
também: 
𝑉𝑉𝑅𝑅1 = 𝜔𝜔𝐴𝐴
𝜔𝜔𝐵𝐵
= 𝐷𝐷𝐵𝐵
𝐷𝐷𝐴𝐴
= 𝑁𝑁𝐵𝐵
𝑁𝑁𝐴𝐴
 e 𝑉𝑉𝑅𝑅2 = 𝜔𝜔𝐶𝐶
𝜔𝜔𝐷𝐷
= 𝐷𝐷𝐷𝐷
𝐷𝐷𝐶𝐶
= 𝑁𝑁𝐷𝐷
𝑁𝑁𝐶𝐶
 
A razão do engrenamento pode ser escrita como: 
𝑇𝑇𝑉𝑉 = (𝑉𝑉𝑅𝑅1)(𝑉𝑉𝑅𝑅2) =
𝑅𝑅𝐴𝐴
𝑅𝑅𝐷𝐷
=
𝐷𝐷𝐵𝐵𝐷𝐷𝐷𝐷
𝐷𝐷𝐴𝐴𝐷𝐷𝐶𝐶
=
𝑁𝑁𝐵𝐵𝑁𝑁𝐷𝐷
𝑁𝑁𝐴𝐴𝑁𝑁𝐶𝐶
 
Em geral, utiliza-se o número de dentes (𝑁𝑁) no cálculo da razão de 
engrenamento. 
O sentido de rotação pode ser determinado por observação. É importante 
notar que há uma inversão de sentido para cada par de engrenagens. 
Aqui, usaremos o termo “razão de engrenamento positivo” quando as 
engrenagens de entrada e de saída girarem no mesmo sentido. Se girarem no 
sentido oposto, a razão de engrenamento será negativa. 
Conforme figura do exemplo, sabemos que, na engrenagem da entrada, 
a engrenagem conectada ao motor, 𝐴𝐴, a rotação é 𝑅𝑅𝐴𝐴 = 1.750 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡 e o número 
de dentes é 𝑁𝑁𝐴𝐴 = 20 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛𝑡𝑡𝑣𝑣𝑑𝑑. As engrenagens 𝐵𝐵,𝐶𝐶 e 𝐷𝐷 apresentam os respectivos 
números de dentes: 𝑁𝑁𝐵𝐵 = 70 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛𝑡𝑡𝑣𝑣𝑑𝑑, 𝑁𝑁𝐶𝐶 = 18 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛𝑡𝑡𝑣𝑣𝑑𝑑 e 𝑁𝑁𝐷𝐷 = 54 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛𝑡𝑡𝑣𝑣𝑑𝑑. 
Aplicando a Equação 5 e 4a ao problema, podemos determinar a razão 
de engrenamento, em que há dois conjuntos de pares de engrenagem. Assim, 
tem-se: 
𝑇𝑇𝑉𝑉 = (𝑉𝑉𝑅𝑅1)(𝑉𝑉𝑅𝑅2) =
𝑁𝑁𝐵𝐵𝑁𝑁𝐷𝐷
𝑁𝑁𝐴𝐴𝑁𝑁𝐶𝐶
=
70.54
20.18
 → 𝑇𝑇𝑉𝑉 = 10,5 
Como 𝑇𝑇𝑉𝑉 é maior que 1, significa que a velocidade é reduzida na saída. 
Para determinar essa velocidade, também aplicaremos a Equação 5 em conjunto 
com a Equação 4a: 
𝑇𝑇𝑉𝑉 = (𝑉𝑉𝑅𝑅1)(𝑉𝑉𝑅𝑅2) =
𝑅𝑅𝐴𝐴
𝑅𝑅𝐷𝐷
 → 𝑅𝑅𝐷𝐷 =
𝑅𝑅𝐴𝐴
𝑇𝑇𝑉𝑉
=
1750
10,5
 → 𝑅𝑅𝐷𝐷 = 166,67 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡 
 
 
10 
Como a rotação na entrada é a mesma da saída, podemos afirmar que o 
trem de engrenagens apresentado é positivo. 
Exemplo 2: para o trem de engrenagens mostrado na seguinte figura, se 
o eixo de entrada gira a 1.750 rpm no sentido horário. Calcular a velocidade do 
eixo de saída e o sentido da rotação na saída. 
 
Créditos: Jefferson Schnaider. 
Solução: a entrada está no eixo 1 que movimenta a engrenagem A, e que 
por consequência aciona a engrenagem B. A engrenagem C está no mesmo eixo 
que a engrenagem B (Eixo 2), logo, tem a mesma velocidade. A engrenagem C 
aciona a engrenagem D que, por sua vez, aciona a engrenagem E que está 
conectada ao eixo de saída (Eixo 3). 
Assim, as engrenagens A e B constituem o primeiro par de engrenagens, 
as engrenagens C, D constituem o segundo par e as engrenagens D e E 
constituem o terceiro par. 
 
 
11 
Como a engrenagem A gira no sentido oposto ao da engrenagem E, a 
razão de engrenamento é dada por: 
𝑇𝑇𝑉𝑉 = −(𝑉𝑉𝑅𝑅1)(𝑉𝑉𝑅𝑅2)(𝑉𝑉𝑅𝑅3) = −
𝑁𝑁𝐵𝐵
𝑁𝑁𝐴𝐴
𝑁𝑁𝐷𝐷
𝑁𝑁𝐶𝐶
𝑁𝑁𝐸𝐸
𝑁𝑁𝐷𝐷
= −
𝑁𝑁𝐵𝐵
𝑁𝑁𝐴𝐴
𝑁𝑁𝐸𝐸
𝑁𝑁𝐶𝐶
= −
70
20
.
54
18
 → 𝑇𝑇𝑉𝑉 = −10,5 
Considerando a Equação 5 para o cálculo da razão de engrenamento e a 
Equação 4a da relação de velocidade com a rotação das engrenagens, temos: 
𝑉𝑉𝑅𝑅1 =
𝑅𝑅𝐴𝐴
𝑅𝑅𝐵𝐵
, 𝑉𝑉𝑅𝑅2 =
𝑅𝑅𝐶𝐶
𝑅𝑅𝐷𝐷
 e 𝑉𝑉𝑅𝑅3 =
𝑅𝑅𝐷𝐷
𝑅𝑅𝐸𝐸
 
𝑇𝑇𝑉𝑉 = −(𝑉𝑉𝑅𝑅1)(𝑉𝑉𝑅𝑅2)(𝑉𝑉𝑅𝑅3) = −
𝑅𝑅𝐴𝐴
𝑅𝑅𝐵𝐵
𝑅𝑅𝐶𝐶
𝑅𝑅𝐷𝐷
𝑅𝑅𝐷𝐷
𝑅𝑅𝐸𝐸
= −
𝑅𝑅𝐴𝐴
𝑅𝑅𝐵𝐵
𝑅𝑅𝐶𝐶
𝑅𝑅𝐸𝐸
 
Como 𝑅𝑅𝐵𝐵 = 𝑅𝑅𝐶𝐶 por estarem no mesmo eixo: 
𝑇𝑇𝑉𝑉 = −(𝑉𝑉𝑅𝑅1)(𝑉𝑉𝑅𝑅2) = −
𝑅𝑅𝐴𝐴
𝑅𝑅𝐸𝐸
 → 𝑅𝑅𝐸𝐸 = −
𝑅𝑅𝐴𝐴
𝑇𝑇𝑉𝑉
= −
1750
10,5
 → 𝑅𝑅𝐸𝐸 = −166,67 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡 
Como a rotação na entrada é diferente da saída, podemos afirmar que o 
trem de engrenagens apresentado é negativo. Por isso, o sinal é negativo da 
razão de engrenamento e da rotação na saída. 
TEMA 3 – PROJETO DE TRENS DE ENGRENAGEM 
Neste tópico, serão mostrados vários métodos para projetar trens de 
engrenagem a fim de produzir a razão de engrenamento desejada. 
O resultado será normalmente a especificação do número de dentes em 
cada engrenagem e a disposição geral das engrenagens umas em relação às 
outras. 
A tabela mostrada na Figura 7 a seguir indica o número mínimo de dentes 
do pinhão e da engrenagem, e o número máximo de dentes para um bom 
funcionamento do engrenamento (sem interferência). o 
 
 
12 
Figura 7 – Número de dentes para garantir ausência de interferência 
Para um pinhão em malha com uma 
cremalheira 
Para um pinhão de 20° e profundidade total em 
malha com uma engrenagem 
Forma do dente Número 
mínimo de 
dentes 
Número de 
dentes no 
pinhão 
Número máximo 
de dentes na 
engrenagem 
Razão 
máxima 
Involuto, de 14 ½° 
e profundidade 
total 
32 17 1309 77,00 
Involuto, de 20° e 
profundidade total 
18 16 101 6,31 
Involuto, de 25° e 
profundidade total 
12 15 45 3,00 
 
14 26 1,85 
 
13 16 1,23 
 
Três métodos diferentes de projeto de engrenagem são apresentados. 
Recomenda-se que os três sejam estudados e compreendidos para que se 
possa escolher o mais adequado em determinada situação de projeto. 
1. Único par de engrenagens para produzir uma razão de velocidade 
angular: esse é o processo fundamental necessário para definir o número 
de dentes no pinhão e na engrenagem a fim de produzir uma razão 
desejada. 
2. Razão residual: esse processo é utilizado quando dois ou mais pares 
de engrenagens em um trem são necessários. Ele exige a especificação 
de todas as razões necessárias, menos uma, para produzir uma razão de 
engrenamento geral. Então, é possível calcular o valor necessário da 
razão final. Essa é a abordagem mais geral e mais utilizada aqui. 
3. Abordagem por fatoração: quando, para um trem, são necessários dois 
ou mais pares de engrenagens e um número exato para a razão de 
engrenamento, a razão de velocidade angular de cada par de 
engrenagens deve ser um fator da razão de engrenamento geral. A 
determinação dos fatores da razão desejada é uma habilidade necessária 
para se aplicar esse método. 
 
 
13 
Para qualquer problema de projeto de trem de engrenagens, é preciso 
primeiro determinar o número mínimo de pares de engrenagens necessários 
para produzir a razão de engrenamento geral. A seguir, encontra-se um resumo 
da abordagem recomendada. 
1. Determinar a razão de engrenamento geral, 𝑇𝑇𝑉𝑉, necessária com base nos 
dados sobre a aplicação. 
2. Determinar a razão de velocidade angular máxima, 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑚𝑚á𝑥𝑥, que pode ser 
obtida com um único par de engrenagens, que não resulte em 
interferência, de acordo com a Figura 7 anterior. 
3. Observar que a razão de engrenamento geral é o produto da razão de 
velocidade angular para cada par de engrenagens, como visto na 
Equação 5. 
4. Determinar se uma engrenagem intermediária é necessária para se obter 
o sentido exigido no eixo de saída. 
5. Especificar cada razão de velocidade angular usando as diretrizes listadas 
anteriormente. 
6. Especificar o número de dentes em cada engrenagem, em cada um dos 
pares. 
7. Esboçar a disposição das engrenagens para mostrar como elas são 
colocadas nos eixos em relação adequada umas às outras. Nessa fase, 
seria apropriado montar um diagrama esquemático. 
Vamos abordar três metodologias para projetar um trem de engrenagens. 
Isso será feito nos próximos três exemplos. 
3.1 Projeto de um único par de engrenagens para produziruma razão de 
velocidade angular desejada 
Exemplo 3: para determinada transmissão por meio de um motor elétrico, 
projetar um trem de engrenagens que reduza a velocidade de rotação do eixo de 
3.450 rpm para aproximadamente 650 rpm. Considerar 𝑁𝑁𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 150 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛𝑡𝑡𝑣𝑣𝑑𝑑. 
Solução: o primeiro passo é determinar a razão de engrenamento, 
sabendo que ela é definida pela razão entre a rotação de entrada sobre a rotação 
de saída: 
𝑇𝑇𝑉𝑉 =
𝑅𝑅𝑒𝑒
𝑅𝑅𝑠𝑠
=
3450
650
 → 𝑇𝑇𝑉𝑉 = 5,308 
 
 
14 
Podemos observar na Figura 7 anterior que, para o formato do dente 
involuto de 20° e profundidade total, há diferentes valores de número de dentes 
mínimo e máximo a fim de se evitar interferência entre os dentes. Entretanto, a 
depender da escolha, ela produzirá uma razão de velocidade máxima que deverá 
ser analisada conforme os requisitos do projeto. 
Para um pinhão em malha com 
uma cremalheira 
Para um pinhão de 20° e profundidade total em 
malha com uma engrenagem 
Forma do dente Número 
mínimo de 
dentes 
Número de 
dentes no 
pinhão 
Número máximo 
de dentes na 
engrenagem 
Razão 
máxima 
Involuto, de 14 ½° 
e profundidade 
total 
32 17 1309 77,00 
Involuto, de 20° e 
profundidade total 
18 16 101 6,31 
Involuto, de 25° e 
profundidade total 
12 15 45 3,00 
 
14 26 1,85 
 
13 16 1,23 
Como a razão de engrenamento calculada, 𝑇𝑇𝑉𝑉 = 5,308, podemos 
considerar o número mínimo de 16 dentes e máximo de 101, com 𝑉𝑉𝑅𝑅 = 6,31, ou 
17 dentes no mínimo e 1.309 no máximo, com 𝑉𝑉𝑅𝑅 = 77,00. Assim, temos: 
𝑇𝑇𝑉𝑉 = (𝑉𝑉𝑅𝑅1) =
𝑁𝑁𝑠𝑠
𝑁𝑁𝑒𝑒
 
Podemos montar uma tabela para conhecer as relações de transmissão 
provenientes dessa razão de engrenamento, considerando 16 o número mínimo 
de dentes: 
 
Na tabela anterior, a melhor combinação é 𝑁𝑁𝑒𝑒 = 26 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛𝑡𝑡𝑣𝑣𝑑𝑑 e 𝑁𝑁𝑠𝑠 =
138 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛𝑡𝑡𝑣𝑣𝑑𝑑, pois fornece uma razão de velocidade e, consequentemente, uma 
razão de engrenamento igual a 3,077, ou seja, com um erro de 0,0058%. O par 
de 29 com 154 dentes não é recomendado, pois ultrapassa o número de dentes 
máximo restrito pelo enunciado, apesar de também produzir um erro pequeno. 
 
 
15 
Portanto, para atender ao projeto de trem de engrenagens com um único 
par de engrenagens, a fim de obter uma velocidade na entrada de 3.450 rpm e 
na saída de 650 rpm, o pinhão deve ter 𝑁𝑁𝑒𝑒 = 26 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛𝑡𝑡𝑣𝑣𝑑𝑑 e da engrenagem 𝑁𝑁𝑠𝑠 =
138 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛𝑡𝑡𝑣𝑣𝑑𝑑. 
3.2 Método da razão residual 
Exemplo 4: projetar um trem de engrenagens para a transmissão de um 
transportador. O motor de acionamento gira a 1.150 rpm, e espera-se que a 
velocidade de saída para o eixo que aciona o transportador esteja na faixa de 24 
a 28 rpm. Usar um trem de engrenagens de redução dupla. De acordo com a 
análise de transmissão de potência, é desejável que a razão de redução do 
primeiro par de engrenagens seja um pouco maior do que a do segundo par. 
Solução: as informações que podemos extrair do enunciado são: 𝑅𝑅𝑒𝑒 =
1.150 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡, 24 𝑉𝑉𝑅𝑅2. 
Podemos considerar uma velocidade média na saída para o cálculo da 
razão de engrenamento: 
𝑇𝑇𝑉𝑉𝑚𝑚é𝑑𝑑 =
𝑅𝑅𝑒𝑒
𝑅𝑅𝑠𝑠𝑚𝑚é𝑑𝑑
=
1.150
26
 → 𝑇𝑇𝑉𝑉𝑚𝑚é𝑑𝑑 = 44,2308 
Podemos estabelecer o intervalo da razão de engrenamento 
considerando o valor mínimo e máximo da velocidade na saída: 
𝑇𝑇𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 =
𝑅𝑅𝑒𝑒
𝑅𝑅𝑠𝑠𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛
=
1.150
24
 → 𝑇𝑇𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 = 47,9167 
𝑇𝑇𝑉𝑉𝑚𝑚á𝑥𝑥 =
𝑅𝑅𝑒𝑒
𝑅𝑅𝑠𝑠𝑚𝑚á𝑥𝑥
=
1.150
28
 → 𝑇𝑇𝑉𝑉𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 41,0714 
Conforme Figura 7 anterior, para o formato de dente involuto de 20°, a 
razão máxima é 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 77,00. A princípio, poderíamos resolver o problema 
com um único par de engrenagens, pois as razões de engrenamento anterior 
são inferiores à razão máxima, entretanto, o projeto descrito no enunciado requer 
dois pares. 
𝑇𝑇𝑉𝑉 = (𝑉𝑉𝑅𝑅1)(𝑉𝑉𝑅𝑅2) 
 
 
16 
Para termos um “chute” inicial, podemos extrair a raiz quadrada da razão 
de engrenamento média para manter uma redução dupla conforme enunciado: 
𝑉𝑉𝑅𝑅 = �𝑇𝑇𝑉𝑉𝑚𝑚é𝑑𝑑 = �44,2308 → 𝑉𝑉𝑅𝑅 = 6,6506 
O valor obtido indica que as razões de velocidade podem estar próximas 
a esse resultado. O enunciado solicita que 𝑉𝑉𝑅𝑅1 > 𝑉𝑉𝑅𝑅2. Podemos assumir que 
𝑉𝑉𝑅𝑅1 = 7, logo, 𝑉𝑉𝑅𝑅2 pode ser calculado por: 
𝑇𝑇𝑉𝑉𝑚𝑚é𝑑𝑑 = (𝑉𝑉𝑅𝑅1)(𝑉𝑉𝑅𝑅2) → 𝑉𝑉𝑅𝑅2 =
𝑇𝑇𝑉𝑉𝑚𝑚é𝑑𝑑
𝑉𝑉𝑅𝑅1
=
44,2308
7
 → 𝑉𝑉𝑅𝑅2 = 6,3187 
Como 𝑉𝑉𝑅𝑅1 = 7, o primeiro par deve ter no mínimo 17 dentes a fim de não 
ter interferência. Considerando 𝑁𝑁𝐴𝐴 = 17 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛𝑡𝑡𝑣𝑣𝑑𝑑, o cálculo da engrenagem do 
primeiro conjunto é dado por: 
𝑉𝑉𝑅𝑅1 =
𝑁𝑁𝐵𝐵
𝑁𝑁𝐴𝐴
 → 𝑁𝑁𝐵𝐵 = 𝑉𝑉𝑅𝑅1𝑁𝑁𝐴𝐴 = 7.17 → 𝑁𝑁𝐵𝐵 = 119 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛𝑡𝑡𝑣𝑣𝑑𝑑 
De forma semelhante, para o segundo conjunto podemos considerar uma 
pequena interferência, 𝑉𝑉𝑅𝑅2 = 6,3187, e podemos assumir o 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 6,31 
conforme Figura 7 anterior. Nesse caso, o número mínimo de dentes do pinhão 
é igual a 16. O cálculo da engrenagem do segundo conjunto é dado por: 
𝑉𝑉𝑅𝑅2 =
𝑁𝑁𝐷𝐷
𝑁𝑁𝐶𝐶
 → 𝑁𝑁𝐷𝐷 = 𝑉𝑉𝑅𝑅2𝑁𝑁𝐶𝐶 = 6,3187.16 → 𝑁𝑁𝐷𝐷 = 101,099 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛𝑡𝑡𝑣𝑣𝑑𝑑 ≅ 101 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛𝑡𝑡𝑣𝑣𝑑𝑑 
Considerando os dois conjuntos propostos, a razão de engrenamento é 
igual a: 
𝑇𝑇𝑉𝑉𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟 =
𝑁𝑁𝐵𝐵𝑁𝑁𝐷𝐷
𝑁𝑁𝐴𝐴𝑁𝑁𝐶𝐶
=
119.101
17,16
 → 𝑇𝑇𝑉𝑉𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟 = 44,1875 
Com base nessa razão de engrenamento real, recalculamos a velocidade 
na saída: 
𝑇𝑇𝑉𝑉𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟 =
𝑅𝑅𝑒𝑒
𝑅𝑅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟
 → 𝑅𝑅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟 =
𝑅𝑅𝑒𝑒
𝑇𝑇𝑉𝑉𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟
=
1150
44,1875
 → 𝑅𝑅𝑠𝑠𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟 = 26,025 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡 
A disposição das engrenagens pode ser observada a seguir: 
 
 
17 
 
3.3 Abordagem de fatoramento para trens de engrenagem compostos 
Exemplo 5: projetar um trem de engrenagens para o gravador de um 
instrumento de medição precisa. A entrada é um eixo que gira a exatamente 
3.600 rpm. A velocidade de saída deve ser exatamente 11,25 rpm. Utilizar dentes 
involutos, de profundidade total e com ângulo de pressão de 20° que não estejam 
em quantidade inferior a 17 nem superior a 150 em qualquer engrenagem. 
Solução: as informações que podemos extrair do enunciado são: 𝑅𝑅𝑒𝑒 =
3.600 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡, 𝑅𝑅𝑠𝑠 = 11,25 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡 e 17𝑁𝑁𝐷𝐷 = 𝑉𝑉𝑅𝑅2𝑁𝑁𝐶𝐶 = 8.17 → 𝑁𝑁𝐷𝐷 = 136 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛𝑡𝑡𝑣𝑣𝑑𝑑 
𝑉𝑉𝑅𝑅3 =
𝑁𝑁𝐹𝐹
𝑁𝑁𝐸𝐸
 → 𝑁𝑁𝐹𝐹 = 𝑉𝑉𝑅𝑅3𝑁𝑁𝐸𝐸 = 8.17 → 𝑁𝑁𝐹𝐹 = 136 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛𝑡𝑡𝑣𝑣𝑑𝑑 
A disposição das engrenagens pode ser observada a seguir: 
 
 
19 
 
TEMA 4 – GEOMETRIA DA ENGRENAGEM DE DENTES RETOS 
Os dentes de uma engrenagem acionadora (ligada ao eixo do motor) se 
encaixam nos espaços entre os dentes da engrenagem acionada como é 
mostrado na Figura 8 a seguir. Os dentes da engrenagem acionadora 
pressionam os dentes da engrenagem acionada, exercendo uma força 
perpendicular ao raio da engrenagem. Dessa forma, o torque é transmitido, e, 
consequentemente, uma potência também é transmitida. 
 
 
20 
Figura 8 – Par de engrenagens de dentes retos 
 
Créditos: Jefferson Schnaider. 
Com base na Figura 8 anterior, podemos obter alguns parâmetros: 
𝐷𝐷𝑅𝑅 corresponde ao diâmetro da raiz do dente, ou seja, o diâmetro a contar do 
início do dente; 𝐷𝐷 corresponde ao diâmetro de passo, também denominado em 
outras literaturas como “diâmetro primitivo”. Esse diâmetro é imaginário e 
corresponde ao diâmetro em que as engrenagens estão em contato. 
O formato curvo dos dentes apresenta uma geometria denominada “curva 
involuta”. Esse formato possibilita um engrenamento com transmissão de 
potência suave. Na Figura 9 a seguir, são mostradas dimensões a serem 
consideradas no projeto de uma engrenagem. 
 
 
21 
Figura 9 – Características dos dentes de engrenagens de dentes retos 
 
Créditos: Smiles Ilustras. 
Na Figura 10 a seguir, são mostrados vários tamanhos de dentes em 
função do passo diametral que corresponde à quantidade de dentes no diâmetro 
da engrenagem. 
Figura 10 – Tamanho do dente em função do passo diametral 
 
Créditos: Davi Souza. 
 
 
22 
Em duas engrenagens conjugadas, a menor é chamada de “pinhão” e, a 
maior, apenas de engrenagem (ou coroa). É essencial que haja um número 
inteiro de dentes em toda engrenagem. Como mencionado anteriormente, 𝑁𝑁𝑝𝑝 
corresponde ao número de dentes do pinhão e 𝑁𝑁𝐺𝐺 o número de dentes da 
engrenagem. Em outras literaturas, emprega-se a letra Z para o número de 
dentes. 
A seguir, veremos algumas equações básicas para o projeto de 
engrenagens de dentes retos. 
• Passo: o passo de uma engrenagem é a distância do início de um dente 
até o início do próximo dente adjacente. O passo circular pode ser 
determinado por: 
𝑟𝑟 =
𝜋𝜋𝐷𝐷
𝑁𝑁
=
𝜋𝜋
𝑃𝑃𝑑𝑑
 (6) 
• Passo diametral: o sistema de passo mais comum nos Estados Unidos 
atualmente é o sistema de passo diametral. 
𝑃𝑃𝑑𝑑 =
𝑁𝑁𝑝𝑝
𝐷𝐷𝑝𝑝
=
𝑁𝑁𝐺𝐺
𝐷𝐷𝐺𝐺
=
1
𝑡𝑡
 (7) 
Nessa equação, 𝑡𝑡 corresponde ao módulo da engrenagem que é 
inversamente proporcional ao passo diametral. Não se deve confundir passo 
diametral 𝑃𝑃𝑑𝑑 com diâmetro do passo, 𝐷𝐷. Aqui utilizaremos os valores indicados 
na tabela da Figura 11 a seguir. 
Figura 11 – Passos diametrais padronizados (dentes/pol) 
Passo largo (P, 20) 
1 2 5 12 20 72 
1,25 2,5 6 14 24 80 
1,5 3 8 16 32 96 
1,75 4 10 18 48 120 
 
64 
 
 
 
 
 
23 
• Módulo métrico: o módulo métrico, 𝑡𝑡, deve ser o mesmo tanto para o 
pinhão como para a engrenagem, para que haja o engrenamento. Como 
o próprio nome diz, é um parâmetro usado no sistema métrico, em geral, 
em milímetros (mm). 
𝑡𝑡 =
𝐷𝐷𝑝𝑝
𝑁𝑁𝑝𝑝
=
𝐷𝐷𝐺𝐺
𝑁𝑁𝐺𝐺
 (8) 
É importante perceber que os valores menores de 𝑡𝑡 denotam dentes 
menores e vice-versa. Na Figura 12 a seguir, são mostrados os módulos 
padronizados. 
Figura 12 – Módulos padronizados 
Módulo (mm) 𝑷𝑷𝒅𝒅 equivalente 𝑷𝑷𝒅𝒅 padronizado mais próximo 
(dentes/pol) 
0,3 84667 80 
0,4 63500 64 
0,5 50800 48 
0,8 31750 32 
1 25400 24 
1,25 20320 20 
1,5 16933 16 
2 12700 12 
2,5 10160 10 
3 8466 8 
4 6350 6 
5 5080 5 
6 4233 4 
8 3175 3 
10 2540 2,5 
12 2117 2 
16 1587 1,5 
20 1270 1,25 
25 1016 1 
 
• Adendo: como podemos observar na Figura 9 anterior, o adendo 
corresponde à distância radial do círculo do passo até o lado externo do 
dente: 
 
 
24 
𝑎𝑎 =
1
𝑃𝑃𝑑𝑑
 (9) 
• Dedendo: o dedendo corresponde à distância radial do círculo do passo 
até a parte inferior do dente: 
𝑏𝑏 =
1,25
𝑃𝑃𝑑𝑑
 (10𝑎𝑎) 
Ou, para passo fino, 𝑃𝑃𝑑𝑑 ≥ 20: 
𝑏𝑏 =
1,2
𝑃𝑃𝑑𝑑
+ 0,002 (10𝑏𝑏) 
• Folga entre os dentes: para fazer a folga, a fresa que produz os dentes 
da engrenagem pode ser inserida com mais profundidade no disco de 
engrenagem do que o valor teórico em uma das duas engrenagens 
conjugadas, ou nas duas. A magnitude da folga depende da precisão 
desejada para o par de engrenagens, do tamanho e do passo das 
engrenagens. Para engrenagens de passo largo, 𝑃𝑃𝑑𝑑(16𝑏𝑏) 
• Diâmetro da raiz: corresponde ao diâmetro medido na raiz do dente da 
engrenagem e pode ser calculado por: 
𝐷𝐷𝑅𝑅𝑃𝑃 = 𝐷𝐷𝑝𝑝 − 2𝑏𝑏 (17𝑎𝑎) 
𝐷𝐷𝑅𝑅𝐺𝐺 = 𝐷𝐷𝐺𝐺 − 2𝑏𝑏 (17𝑏𝑏) 
Exemplo 6: para o par de engrenagens mostrado na Figura 8 anterior, 
determinar todas as características dos dentes descritas nessa seção. As 
 
 
27 
engrenagens estão em conformidade com a norma AGMA e têm passo diametral 
de 12 e ângulo de pressão de 20°. 
Solução: Com base no enunciado, temos as seguintes informações: 𝑃𝑃𝑑𝑑 =
12 𝑟𝑟𝑣𝑣𝑣𝑣−1, 𝑁𝑁𝑃𝑃 = 11 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛𝑡𝑡𝑣𝑣𝑑𝑑, 𝑁𝑁𝐺𝐺 = 18 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛𝑡𝑡𝑣𝑣𝑑𝑑 e 𝑠𝑠 = 20°. 
Podemos determinar o passo circular considerando a Equação 6: 
𝑟𝑟 =
𝜋𝜋𝐷𝐷
𝑁𝑁
=
𝜋𝜋
𝑃𝑃𝑑𝑑
=
𝜋𝜋
12
 → 𝑟𝑟 = 0,2618 𝑟𝑟𝑣𝑣𝑣𝑣 
 Com base na Equação 7 (equação do passo diametral), calculamos o 
diâmetro de passo do pinhão e da engrenagem: 
𝑃𝑃𝑑𝑑 =
𝑁𝑁𝑝𝑝
𝐷𝐷𝑝𝑝
 → 𝐷𝐷𝑝𝑝 =
𝑁𝑁𝑝𝑝
𝑃𝑃𝑑𝑑
=
11
12
 → 𝐷𝐷𝑝𝑝 = 0,9167 𝑟𝑟𝑣𝑣𝑣𝑣 
𝑃𝑃𝑑𝑑 =
𝑁𝑁𝐺𝐺
𝐷𝐷𝐺𝐺
 → 𝐷𝐷𝐺𝐺 =
𝑁𝑁𝐺𝐺
𝑃𝑃𝑑𝑑
=
18
12
 → 𝐷𝐷𝐺𝐺 = 1,5 𝑟𝑟𝑣𝑣𝑣𝑣 
Com base nas Equações 9 e 10a, calculamos o adendo e o dedendo, 
respectivamente: 
𝑎𝑎 =
1
𝑃𝑃𝑑𝑑
=
1
12
 → 𝑎𝑎 = 0,0833 𝑟𝑟𝑣𝑣𝑣𝑣 
𝑏𝑏 =
1,25
𝑃𝑃𝑑𝑑
=
1,25
12
 → 𝑏𝑏 = 0,1042 𝑟𝑟𝑣𝑣𝑣𝑣 
Foi utilizada a Equação 10a por ser uma engrenagem de passo largo, ou 
seja, 𝑃𝑃𝑑𝑑