2015-2 AD1-HM-Gabarito

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Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
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História da Matemática 
1a Avaliação à Distância (AD1) – 2º/2015 
 
Prezado(a) Aluno(a): 
 Esta é a primeira Avaliação à Distância (AD1) deste curso. As questões a seguir versarão 
sobre o conteúdo das cinco primeiras unidades do curso. Fiquem bem atentos(as) quanto ao prazo 
de entrega desta avaliação, bem como com o método de envio das mesmas, que será divulgado na 
plataforma. Avaliações enviadas fora do prazo e por método distinto do informado não serão aceitas 
e, ao(à) aluno(a), será atribuído a nota ZERO na avaliação. 
Desejamos a todos bons estudos e sucesso! 
Equipe de História da Matemática CEDERJ 2º/2015. 
 
Questão 1 [1,5 ponto]: Aprendemos, através do Papiro de Rhind, que os antigos egípicios 
expressavam todas as frações próprias como somas de frações unitárias distintas. Utilizando o 
método descrito pelo matemático inglês James Sylvester, expresse 
 
7
15
 como soma de frações 
unitárias. 
Solução: 
Em primeiro lugar, é necessário saber qual a maior fração com numerador 1 menor que 7/15. 
1. Inverto 7/15 obtendo 15/7; 
2. Tomo o menor inteiro maior do que a fração obtida (como 2+ 2 = (2n +1)2 +1= p2 +1 
Para n = 2p, os lados são 2p (cateto), p2 −1 (cateto) e p2 +1 (hipotenusa) 
Assim, 
Para p = 2, os lados são 4 (cateto), 3 (cateto) e 5 (hipotenusa) 
Para p = 3, os lados são 6 (cateto), 8 (cateto) e 10 (hipotenusa) 
Para p = 4, os lados são 8 (cateto), 15 (cateto) e 17 (hipotenusa) 
Para p = 5, os lados são 10 (cateto), 24 (cateto) e 26 (hipotenusa) 
 
 
Questão 4 [2,0 pontos]: As questões a seguir tomam como referência os Elementos de Euclides, 
uma das mais obras importantes a humanidade. 
 
a) Faça uma pesquisa na Internet e explicite as definições de ângulo e de ângulo reto 
apresentada nos Elementos de Euclides. Essas definições aparecem no Livro I dos Elementos 
de Euclides 
(Sugestão: Quem preferir pode usar o texto “Os Elementos”. Euclides. Tradução de Irineu 
Bicudo, Editora UNESP). 
b) Por mais estranho que possa parecer o postulado 4 do Livro I se faz necessário. 
“Postulado 4: E serem iguais entre si todos os ângulos retos.” (Euclides. Os Elementos. Trad. 
Irineu Bicudo. São Paulo: Editora UNESP, 2009, p.98). 
Explique porque o postulado 4 se faz necessário. 
c) Ainda com base na pesquisa elaborada no Livro I dos Elementos de Euclides, demonstre que 
ângulos opostos pelo vértice são iguais (congruentes). 
 
Solução: 
 
a) Ele define ângulos sem falar em medida: “Ângulo plano é a inclinação recíproca de duas linhas, 
que se tocam em uma superfície plana, sem estarem na mesma direção uma com outra.” 
Em seguida, define ângulo reto como um ângulo que é igual ao seu suplementar: “Quando uma 
linha reta, incidindo sobre outra linha reta, fizer com esta, dois ângulos iguais, um de uma parte e 
outro de outra, cada um destes ângulos iguais se chama angulo reto; e a linha incidente se diz 
perpendicular à outra linha, sobre a qual incide”. 
 
 
 
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Veja figura a baixo: 
 
 
b) A partir da figura acima, observa-se que “os ângulos retos do mesmo lado da reta” são iguais (por 
definição). Entretanto, incidindo no mesmo ponto P da reta, temos outra semirreta (do outro lado da 
reta) formando outro par de ângulos retos iguais entre si; veja a figura: 
 
Eis então a pergunta que não quer calar: esses ângulos retos são TODOS iguais? Pois é, Euclides 
tinha razão. Precisamos desse axioma! 
 
c) Sejam â e ê ângulos opostos pelo vértice, conforme ilustrado na figura seguir. 
 
Como â e ô estão do mesmo lado de uma reta, â + ô = 2 retos. 
Como ê e ô estão do mesmo lado de uma reta, ê + ô = 2 retos. 
Duas coisas iguais a uma mesma coisa são iguais entre si (noção comum). 
Logo: 
â + ô = ê + ô. 
Se de coisas iguais subtrairmos coisas iguais o que sobra é também igual (noção comum). Logo: 
(â + ô) – ô = (ê + ô) – ô ⟹â = ê. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 5 [1,5 ponto]: O método babilônio de extrair raízes quadradas é eventualmente chamado 
de “Método de Herão”, devido a Herão de Alexandria (século I d.C.) que o incluiu em sua obra 
denominada “Métrica”. 
Essencialmente, ele diz o seguinte: 
“Seja 𝑥!  o maior inteiro menor do que R, onde R ∈ Z!, não é um número quadrado. Para n = 1, 2, 
3, ..., use a fórmula de recorrência 
 
xn+1 =
1
2
xn +
R
xn
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
.” Então x!, x!, x!,… é uma sequência de 
aproximações cada vez melhores para R. 
 
Através do método acima obtenha uma sequência de quatro termos  x!, x!, x!, x!  para 2. 
Obs.: Escreva os termos x!, x!, x! sob a forma de fração e depois, dividindo o numerador pelo 
denominador, avalie os valores das aproximações desses termos. 
 
Solução: 
Como queremos calcular 2 temos R = 2 e o maior inteiro menor do que 2 é x1 = 1. 
Utilizando a fórmula de recorrência temos: 
 𝑥! =
!
!
𝑥! +
!
!!
= !
!
1+ !
!
 = !
!
1+ 2 = !
!
 = 1,5. 
 𝑥! =
!
!
𝑥! +
!
!!
 = !
!
!
!
    + !
!
!  
 = !
!
!
!
  + !
!
 = !
!
!"
!
    = !"
!"
 = 1,41666666666666... 
  𝑥! =
!
!
𝑥! +
!
!!
 = !
!
!"
!"
  + !
!"
!"
 = !
!
!"
!"
  + !"
!"
 = !
!
!"#!!""
!"#
   = 
!""
!"#
= 𝟏,𝟒𝟏𝟒𝟐𝟏568627451… 
 
Note que a cada termo obtemos uma aproximação mais aprimorada. 
Observe e compare com o valor de 2 fornecido pela calculadora do Windows: 
1,414213562373095.