Apostila Estatistica

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Apostila
Bioestatística - MTM 364
Clandio Marques e Rodrigo Fioravanti
Conteúdo
I Princípios 4
1 Introdução 5
1.1 O Método Científico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Definição de Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Fases do Método Estatístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Coleta dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Crítica dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3 Apuração dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.4 Exposição ou Apresentação dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.5 Análise dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Leitura Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
II Estatística Descritiva 12
2 Conceitos Básicos 13
2.1 População e Amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Variáveis Estatísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Tabelas e Distribuições de Frequência 16
3.1 Dados Absolutos e Dados Relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Distribuição de Frequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Exercícios no Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Gráficos de Colunas e Histogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5 Gráfico de Pizza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6 Box Plots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.7 A Distribuição Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.8 Distribuição de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Medidas de Posição 30
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Média Aritmética (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Moda (M
o
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4 Mediana (M
d
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5 Exercícios no Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5 Separatrizes 37
5.1 Quartis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Decis e Percentis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3 Exercícios no Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1
CONTEÚDO CONTEÚDO
6 Medidas de Dispersão 39
6.1 Dispersão ou Variabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2 Amplitude Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.3 Variância e Desvio Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.4 Exercícios no Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.5 Coeficiente de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.6 Exercícios no Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7 Assimetria e Curtose 44
7.1 Assimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.2 Trabalho 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
III Teoria da Amostragem
com Bioestat 47
8 Amostragem 48
8.1 Amostragem vs Censo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8.2 Amostragem Probabilística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.2.1 Amostragem Aleatória Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.2.2 Amostragem Aleatória Estratificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.2.3 Amostragem Aleatória Sistemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.2.4 Amostragem Aleatória por Conglomerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.3 Amostragem Não-Probabilística: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.4 Exercícios no Bioestat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.5 Tamanho Mínimo da Amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.7 Leitura Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.8 Trabalho 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
IV Estatística Inferencial
com Bioestat 64
9 Probabilidade 66
9.1 Interpretações da Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9.2 A Interpretação da Probabilidade Segundo o Jogador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9.3 Probabilidade de Ocorrência de Um Evento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9.4 Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9.5 Eventos Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.6 Nível de Confiança e de Significância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10 Estimação de Parâmetros 71
10.1 Estimativas pontuais e intervalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.2 Intervalo de Confiança para Média Populacional quando a Variância é Conhecida . . . 71
10.3 Intervalo de Confiança para Proporção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10.4 Exercícios no Bioestat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
11 Testes de Hipóteses 77
11.1 A Hipótese Nula e a Hipótese Alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.2 Erro Tipo 1 e Tipo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.3 Uso dos Testes de Hipóteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.3.1 Testes uni e bilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.3.2 Testes Paramétricos e Não-Paramétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2
CONTEÚDO CONTEÚDO
12 Testes Paramétricos 84
12.1 Teste t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
12.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
12.3 Análise de Variância - ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
12.4 Teste de Tukey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
13 Teste Não-Paramétricos 92
13.1 Vantagens e Desvantagens dos Testes Não-Paramétricos . . . . . . . . . . . . . . . . 92
13.2 Teste Qui-Quadrado para Independência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
13.2.1 Aplicação do Teste Qui-Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
13.2.2 Detalhes do Teste Qui-Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
13.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
13.4 Trabalho 04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
13.5 Teste Exato de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
13.6 Exercícios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
13.7 Teste de Kruskal-Wallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
13.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
13.9 Trabalho 05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
14 Correlação Linear 104
14.1 Diagrama de Dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
14.2 Coeficiente de Correlação Linear - r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
14.3 Regressão Linear Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
14.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3
Parte I
Princípios
4
Capítulo 1
Introdução
Por Sidia C. Jaques
Na literatura científica, consultada por profissionais das áreas biológica e da saúde, encontramos
expressões como "diferença estatisticamente significativa", "teste qui-quadrado de associação"e "P <
0,01", que refletem a importância, cada vez maior, dada pelos pesquisadores ao tratamento estatístico
de seus dados. Quais serão as razões para o emprego de métodos estatísticos nos trabalhos científicos?
Em primeiro lugar, a estatística, longe de ser mais uma complicação matemática, tem se mostrado
um instrumento extremamente útil na organização e na interpretação dos dados. Em segundo lugar,
esta ciência propicia uma avaliação adequada da variabilidade observada nos processos biológicos. É
sabido que existem diferenças entre os indivíduos e que eles reagem de forma diferente a estímulos
idênticos; por outro lado, o mesmo indivíduo apresenta variações de um momento para outro. Em vista
disto, o pesquisador consciencioso deseja saber qual o grau de confiabilidade de seus resultados. Ele
se pergunta, por exemplo, se os resultados poderiam ter sido obtidos por acaso, se o novo tratamento
proposto foi realmente mais eficiente, se a associação observada entre as variáveis é real, se o método
de seleção de indivíduos foi adequado, se a análise dos dados empregou os métodos adequados s
variáveis estudadas. Todas essas questões podem ser respondidas com o auxílio da estatística.
O papel da estatística na investigação científica vai além de indicar a sequência de cálculos a serem
realizados com os dados obtidos. No planejamento, ela auxilia na escolha das situações experimentais
e na determinação da quantidade de indivíduos a serem examinados. Na análise dos dados, indica
técnicas para resumir e apresentar as informações, bem como para comparar as situações experimen-
tais. Na elaboração das conclusões, os vários métodos estatísticos permitem generalizar a partir dos
resultados obtidos. De um modo geral, não existe certeza sobre a correção das conclusões científicas;
no entanto, os métodos estatísticos permitem determinar a margem de erro associada s conclusões,
com base no conhecimento da variabilidade observada nos resultados.
Inicialmente, a estatística ocupava-se em descrever quantitativamente os vários aspectos dos as-
suntos de um governo ou estado
1
, remontando época em que surgiram as primeiras cidades. Come-
çava, então, a necessidade de se enumerarem coisas e pessoas para a avaliação das riquezas e para
o cadastramento das propriedades. Os censos
2
já eram realizados anualmente em Atenas e, a cada
quadriênio, em Roma, nas festas de purificação da comunidade, quando era necessário saber se todos
estavam presentes ou representados.
Um dos primeiros censos de que se tem notícia escrita foi o ordenado pelo imperador romano César
Augusto, realizado na Palestina, por volta do ano zero da era cristã. Outro recenseamento famoso foi o
realizado, na Inglaterra, por Guilherme I, duque normando que havia derrotado os ingleses. O cadastro
geral das coisas inglesas com fins de tributação, feito em 1085-1086, foi chamado pelos ingleses de
1
O termo estatística surge da expressão em latim statisticum collegium palestra sobre os assuntos do Estado, de onde
surgiu a palavra em língua italiana statista, que significa "homem de estado", ou político, e a palavra alemã Statistik,
designando a análise de dados sobre o Estado. A palavra foi proposta pela primeira vez no século XVII, em latim, por
Schmeitzel na Universidade de Jena e adotada pelo acadêmico alemão Godofredo Achenwall. Aparece como vocabulário
na Enciclopédia Britânica em 1797, e adquiriu um significado de coleta e classificação de dados, no início do século XIX.
2
Ela vem do Latim CENSUS, �lista de nomes e propriedades dos cidadãos romanos�
5
1.1. O MÉTODO CIENTÍFICO CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
"Domesday (ou Doomsday) Book", o livro do juízo final, nome que bem revela as expectativas da
população quanta carga tributária por vir.
Por muito tempo, o aspecto descritivo da estatística manteve-se como a única faceta desta ciência.
As coisas começaram a mudar no século XVII, com as primeiras interpretações de dados. Em 1693,
foram publicados, em Londres, os primeiros totais anuais de falecimentos, discriminados por sexo.
Eram o resultado de levantamentos iniciados em 1517, quando a peste atacava periodicamente a
Europa. Christian Huygens (1629-1695), físico e astrônomo holandês, construiu depois uma curva de
mortalidade a partir dos dados publicados.
O estudo formal da teoria de probabilidades, iniciado por Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre de
Fermat (1601-1665), constitui-se em importante marco no desenvolvimento da estatística. Graças
a esses conceitos, a estatística começou a ser estruturada de modo a poder desempenhar seu papel
mais nobre, o de auxiliar na tomada de decisões científicas.
Estudiosos de diferentes campos do conhecimento fizeram a ligação entre os aspectos teóricos de
probabilidade e estatística e a prática. Lambert Adolphe Jacques Quetelet (1796-1874), astrônomo
e matemático belga, foi o primeiro a usar a curva normal fora do contexto da distribuição dos erros e
aplicou conhecimentos estatísticos na solução de problemas de biologia, medicina e sociologia. Francis
Galton (1822-1911) , por sua vez, empregou a estatística no estudo da variação biológica e tentou,
sem sucesso, resolver problemas de hereditariedade. Karl Pearson (1857-1936) também interessou-se
pela aplicação dos métodos estatísticos à biologia, em especial, a estudos sobre a seleção natural. Além
de ser o pai do teste qui-quadrado, a ele se devem inúmeros estudos e medidas de correlação entre
variáveis. Um aluno de Pearson, William S. Gosset (1876-1937), dedicou-se a solucionar problemas
práticos com amostras pequenas. Um dos resultados de seus estudos é a distribuição t, de ampla
aplicação em vários campos da ciência.
Uma das figuras modernas mais importantes da bioestatística (e da estatística em geral, já que
desenvolveu métodos para solucionar vários tipos de problemas) foi, sem dúvida, Fisher , que assentou
as bases para a experimentação estatisticamente controlada. Vários modos de analisar os dados de
amostras pequenas foram propostos por Fisher, que também tem importantes contribuições na análise
simultânea de muitas variáveis, dando considerável impulso ao uso da estatística em inúmeras áreas
do conhecimento, particularmente na agronomia, na biologia e na genética.
Figura 1.1: Sir Ronald Aylmer Fisher (1890-1962)
1.1 O Método Científico
Adaptado de
"Serviço de Bioestatística e Informática Médica da Faculdade de Medicina da Universidade do
Porto"(MedStatWeb)
em http://stat2.med.up.pt/cursop/index.html
6
1.1. O MÉTODO CIENTÍFICO CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
O termo "Método"refere-se a um processo ordenado e padronizado de execução de uma determi-
nada atividade e implica num conjunto de regras que especificam o modo como o conhecimentodeve
ser adquirido e apresentado e o modo de avaliação da verdade ou falsidade do mesmo.
Três ideias elementares constituem a base do Método Científico:
O ceticismo, isto é, a noção de que qualquer proposição ou afirmação, mesmo quando proferida
por grandes autoridades, está sujeita à dúvida e à análise;
O determinismo, ou seja, a noção de que a realidade está dependente de leis e causas regulares
e constantes e não dos caprichos ou desejos dos "demônios"ou "bruxas";
O empirismo segundo o qual a investigação científica deve ser conduzida pela observação e veri-
ficação através da experiência.
A indução é uma outra noção chave, provavelmente a mais importante e controversa do Método
Científico e será focada mais adiante.
Observação, descrição e medição:
A descrição dos fenômenos naturais, envolvendo o registo preciso e válido de observações sobre
pessoas, objetos ou acontecimentos, constitui a base empírica de todos os ramos da Ciência. As
observações podem ser na forma de descrições nominais ou conjuntos de medições. As percepções
pessoais e subjetivas têm que dar lugar às formulações descritivas e medições que possam ser enten-
didas e replicadas por outros investigadores. Muitos dos avanços da Ciência, ao longo dos últimos
séculos, devem-se diretamente ao desenvolvimento de instrumentos de auxílio à observação cada vez
mais potentes. Não deve ser esquecido, no entanto, que o uso de instrumentação complexa não é
indispensável à realização de observações científicas. As características essenciais para uma obser-
vação poder ser considerada científica são a precisão, validade e reprodutibilidade. As observações,
quando adequadamente sintetizadas e confirmadas por outros, constituem a base factual, empírica,
do conhecimento científico.
Generalização e Indução:
Afirmações e medições representando observações são integradas em sistemas interpretativos de-
signados Hipóteses e Teorias. A lógica subjacente à generalização inerente ao método científico é
designada Indução. A indução permite o estabelecimento de proposições gerais sobre uma classe de
fenômenos com base na análise de um número limitado de observações de elementos selecionados.
Por exemplo, tendo verificado que a penicilina é útil na cura da pneumonia num número limitado de
doentes, propõe-se a generalização - "A administração de penicilina cura a pneumonia (em todos os
doentes)".
Hipóteses:
A proposição "A administração de penicilina cura a pneumonia"é uma hipótese. Hipóteses ci-
entíficas são proposições que especificam a natureza da relação entre dois ou mais conjuntos de
observações. No exemplo exposto, o primeiro conjunto de observações relaciona-se com a adminis-
tração de penicilina, e o segundo, relaciona-se com as modificações das observações ou medições do
estado clínico dos doentes no que se refere à pneumonia. Uma hipótese científica deve ser apresentada
usando referências claras e observáveis, não podendo depender de interpretações subjetivas.
Teorias:
Teorias científicas são, essencialmente, conjecturas que representam o nosso atual estado de
conhecimento sobre o mundo real. As hipóteses são integradas em sistemas interpretativos mais
abrangentes, designados teorias. A teoria tenta explicar as relações existentes entre diversos tipos
de observações e hipóteses. Por exemplo, uma teoria que pretenda explicar porque certos fármacos
designados antibióticos são eficazes na cura de certas doenças infecciosas terá que integrar evidências
de variadas fontes, tais como a microbiologia, a farmacologia, a fisiologia celular e a medicina clínica.
Deste modo, as teorias identificam as causas dos acontecimentos, e proporcionam meios conceituais
de predição e influência sobre esses mesmos acontecimentos.
7
1.2. DEFINIÇÃO DE ESTATÍSTICA CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Dedução:
As teorias científicas devem levar à formulação de um conjunto de proposições empiricamente ve-
rificáveis, ou seja, hipóteses. As hipóteses são deduzidas, obedecendo à lógica formal, das proposições
e/ou modelos matemáticos que especificam a relação causal postulada pela teoria. Por exemplo, se
aceitarmos a teoria de que um conjunto de neurônios, anatomicamente adjacentes, do lobo occipital
são responsáveis pela visão nos seres humanos, então, a hipótese que pode ser deduzida é a de que
a ativação desses neurônios (por exemplo, através de estimulação por eletrodos) provocará o apare-
cimento de certas sensações visuais. O teste das hipóteses através da observação deve ser levada
a cabo, preferencialmente, em condições controladas. A observação deve ser controlada de modo
a permitir o afastamento de hipóteses alternativas na explicação dos fenômenos sobre os quais se
fez a predição. Por exemplo, se quisermos demonstrar que a estimulação do lobo occipital provoca
sensações visuais, temos que mostrar que estamos controlando a observação para outro tipo de esti-
mulação cerebral que possa estar provocando tais sensações. Inversamente, teríamos, também, que
demonstrar que a estimulação do lobo occipital não leva a uma série de outras sensações que não as
visuais.
Verificação:
Depois da evidência ter sido colhida, o investigador decide se os achados são consistentes ou não
com as predições da hipótese. Se a hipótese é confirmada pela evidência, então, a teoria de onde
proveio a hipótese é fortalecida ou verificada. Porém, quando os dados não confirmam a hipótese, a
teoria não é verificada. Se uma teoria não continua a conseguir predizer ou explicar as observações
torna-se menos útil, e é normalmente substituída por novas teorias mais fortes e consistentes. Assim,
as teorias científicas não devem ser entendidas como verdades absolutas e finais, mas meras explicações
provisórias da evidência existente até ao momento.
Foi a aplicação do processo acima descrito que permitiu o espetacular crescimento do conhecimento
científico a que temos assistido nos últimos séculos e, em especial, nos últimos cem anos. É desta
forma que o método científico contribui para a concretização dos nossos objetivos, ajudando-nos a
descrever, explicar, predizer e, por vezes, controlar o mundo em que vivemos.
1.2 Definição de Estatística
Fonte: http://www.usp.br/aun/exibir.php?id=5023
Para Magalhães
3
estatística é a ciência que utiliza-se das teorias probabilísticas para explicar a frequên-
cia da ocorrência de eventos, tanto em estudos observacionais quanto em experimentos que visam a
modelar a aleatoriedade e a incerteza de forma a estimar valores nesses eventos.
�É claro que nem todas as pessoas têm formação para entender os cálculos feitos por quem
trabalha na área, mas todos devem compreender as informações passadas por eles, pois lidamos com
estatística o tempo todo�, afirmou Magalhães. A compreensão se daria a partir do momento em
que os professores �desmistificam� a matemática, fazendo isso, principalmente, com a �alfabetização
estatística�, isto é, fazer os estudantes entender gráficos e diagramas encontrados no cotidiano das
pessoas, de modo a contextualizar a importância do que está sendo dito (Magalhães).
A palavra estatística de do latim STATUS que significa ESTADO. Em suma, a Estatística é a
ciência que aplica processos próprios para coletar, apresentar e interpretar adequadamente os dados,
sendo numéricos ou não. Tem como objetivo apresentar informações sobre dados em análises para
que se tenha maior compreensão dos fatos que os mesmos representam.
É considerada um método científico pois resulta de um conjunto de regras e princípios que pro-
duzem resultados �controlados� ou �previsíveis� a partir de dados aleatórios levando a um objetivo
almejado.
Há três ramos da estatística: descritiva, probabilística e inferencial.
3
Marcos Magalhães, do Departamento de Estatística (MAE) do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade
de SãoPaulo (IME-USP)
8
1.3. FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Estatística Descritiva:
O conjunto de dados recolhidos em um estudo científico, pode variar desde poucas dezenas a vários
milhares de valores. Esta informação bruta dificilmente poderá ser compreendida ou interpretada sem
métodos que, de alguma forma, a sintetizem e descrevam. Estes métodos de síntese são designados
por métodos de Estatística Descritiva.
Assim, como o próprio nome diz, a estatística descritiva, organiza, sumariza e descreve um conjunto
de dados, através da construção de gráficos, tabelas, e com cálculo de medidas com base em uma
coleção de dados numéricos. Ou seja, tenta tornar os dados mais fáceis de ler, interpretar e discuti-los.
Tabela: é um quadro que resume um conjunto de observações.
Gráficos: são formas didáticas de apresentar os dados, com o objetivo de produzir uma impressão
mais rápida dos dados ou fenômenos.
Medidas descritivas: são formulações matemáticas usadas para interpretar grandes quantidades
de dados agrupados (médias, desvios,...).
Estatística Probabilística:
É onde se estuda o acaso, ou seja, através de cálculos matemáticos, pretende-se prever a ocorrência
de dados aleatórios.
Estatística Inferencial:
Destina-se à análise e interpretação de dados amostrais, ou seja, consiste em efetuar determinada
mensuração sobre uma parcela pequena, mas típica, de determinada população e utilizar essa infor-
mação para fazer inferências sobre a população toda. A exemplo: colocar a ponta do pé na água para
avaliar a temperatura desta na piscina.
1.3 Fases do Método Estatístico
Os dados estatísticos lidam com números, ou seja, envolvem a análise e interpretação de números.
Para interpretar estes números faz-se necessária uma organização racional dos dados, portanto,
inicia-se determinando a diferença entre dados e informação.
Dados são números ou valores coletados primariamente, e quase sempre não tem sentido. Já a
informação compreende o processamento dos dados, reduzindo a quantidade de detalhes e facilitando
o encontro de relações. Portanto os dados, quando coletados, são reunidos através de técnicas
estatísticas e posteriormente apresentados na forma de TABELAS ou GRÁFICOS; isto faz com que
sejam eliminados detalhes não importantes e enfatizados os aspectos cruciais dos dados.
Estes dados estatísticos são obtidos através de um processo que envolve a observação; e os
itens observados são chamados de variáveis. Variáveis são valores que tendem a exibir certo grau de
variabilidade quando se fazem mensurações sucessivas.
1.3.1 Coleta dos Dados
Após o cuidadoso planejamento e a devida determinação das características mensuráveis do fenô-
meno coletivamente típico que se quer pesquisar, damos início à coleta de dados numéricos necessários
a sua descrição.
A coleta pode ser direta ou indireta.
A coleta é direta quando feita sobre elementos informativos de registro obrigatório (nascimento,
casamento e óbitos, importação e exportação de mercadorias), elementos pertinentes aos prontuários
dos alunos de uma escola ou, ainda, quando os dados são coletados pelo próprio pesquisador através
de inquéritos e questionamentos, como e o caso das notas de verificação e de exames, do censo
demográfico, etc..
A coleta direta de dados pode ser classificada relativamente ao fator tempo em:
9
1.3. FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Contínua (registro) � quando feita continuamente, tal como a de nascimento e óbitos e a de
frequência dos alunos nas aulas;
Periódica � quando feita em intervalos constantes de tempo, como os censos (de 10 em 10 anos)
e as avaliações mensais dos alunos;
Ocasional � quando feita extemporaneamente, a fim de atender a uma conjuntura ou a uma
emergência, como no caso de epidemias.
A coleta se diz indireta quando é inferida de elementos conhecidos (coleta direta) e/ou do conhe-
cimento de outros fenômenos relacionados com o fenômeno estudado. Como exemplo, podemos citar
a pesquisa sobre a mortalidade infantil, que e feita através de dados colhidos por uma coleta direta.
Mas se levarmos em consideração a natureza dos dados estes podem ser:
Contínuos: trata-se de dados quantitativos em que as variáveis podem assumir virtualmente qual-
quer valor num intervalo de valores, ou quando feita continuamente.
Exemplo: altura, peso, comprimento, espessura, velocidade, etc.
Discretos: também são dados quantitativos que só podem assumir valores inteiros. Os dados
discretos surgem na contagem do número de itens com determinada característica.
Exemplo: número diário de clientes, alunos numa sala, número de acidentes diários numa fábrica
e outros.
Nominais: são dados qualitativos e caracterizam-se pela denominação de categorias ou nomes,
geralmente compreendem variáveis que não relacionam-se a priori com números.
Exemplo: sexo, cor dos olhos, campo de estudo, desempenho no trabalho, etc.
Por Posto: apesar de lidarem com números, são considerados dados de natureza qualitativa, pois
se referem a avaliações subjetivas; quando se dispõem os itens segundo preferência ou desempenho.
São valores relativos atribuídos para denotar ordem.
Exemplo: primeiro, segundo, terceiro ...
1.3.2 Crítica dos Dados
Obtidos os dados, eles devem ser cuidadosamente criticados a procura de possíveis falhas e im-
perfeições, a fim de não incorrermos em erros grosseiros ou de certo vulto, que possam influir sensi-
velmente nos resultados.
A crítica é externa quando visa as causas dos erros por parte do informante, por distração ou
má interpretação das perguntas que lhe foram feitas; e interna, quando visa observar os elementos
originais dos dados da coleta.
1.3.3 Apuração dos Dados
Nada mais é do que a soma e o processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios
de classificação. Pode ser manual, eletromecânica ou eletrônica.
1.3.4 Exposição ou Apresentação dos Dados
Por mais diversa que seja a finalidade que se tenha em vista, os dados devem ser apresentados
sob forma adequada (tabela ou gráfico), tornando mais fácil o exame daquilo que está sendo objeto
de tratamento estatístico e ulterior obtenção de medidas típicas.
1.3.5 Análise dos Resultados
O objetivo da Estatística e tirar conclusões sobre o todo (população) a partir de informações for-
necidas por parte representativa do todo (amostra). Assim, realizadas as fases anteriores (Estatística
Descritiva), fazemos uma análise dos resultados obtidos, através dos métodos da Estatística Indutiva
ou Inferencial e tiramos desses resultados as conclusões e previsões.
10
1.4. LEITURA COMPLEMENTAR CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
1.4 Leitura Complementar
INFORMAÇÃO EM SAÚDE
Arlinda B. Moreno
Claudia Medina Coeli
Sergio Munck
GÊNESE DO CONCEITO E DESENVOLVIMENTO HISTÓRICO
Para refletir sobre a expressão Informação em Saúde podemos nos remeter à necessidade existente,
desde a antiguidade, do ser humano comunicar algo a alguém (ou a alguma coletividade) sobre sua
própria saúde ou sobre a saúde de alguém (ou de algum grupo de pessoas) a ele relacionado. Ou seja,
preliminarmente, a Informação em Saúde pode ser pensada como um compósito de transmissão e/ou
recepção de eventos relacionados ao cuidado em saúde.
Assim sendo, podemos inferir que não é tarefa fácil demarcar o início do uso dessa terminologia
no campo da saúde. Mas, certamente, é a partir do século XIX, período que marca o recrudescimento
dos estudos em epidemiologia, que a necessidade de comunicar questões relacionadas à saúde das
populações se torna a grande alavanca para a disseminação das Informações em Saúde. Quase que
concomitantemente, a estatística do final desse século XIX e início do século XX, inspiradora de
estudiosos como Benthan, Price, Laplace, Galton (Rosen, 1994) pode ser vista, também,como um
ponto de partida importante para a geração de Informações em Saúde de forma agregada e preditiva.
Daí, pode-se partir, sem muito pecado, para as primeiras peças da Informação em Saúde, compostas
pelas Estatísticas Vitais, pelas Tábuas de Sobrevida, enfim, por instrumentos de predição e inferência
de estados de saúde a partir do status atual de um grupo de pessoas em determinado contexto
de saúde. E, no correr da história, numerosos desdobramentos para a expressão Informação em
Saúde transformaram-se, praticamente, em subáreas distintas e dirigidas, principalmente, a subsidiar,
não apenas a população em geral, mas também gestores da área saúde: sobre: perfil da população
(de que adoece e morre, dados demográficos e socioeconômicos); serviços prestados; materiais e
medicamentos consumidos; força de trabalho envolvida; para conhecer: necessidades da população
atendida; uso potencial e real da rede instalada; investimentos necessários; a fim de planejar, controlar
e avaliar as ações e serviços de saúde (EPSJV, 2005).
Como marcos históricos para tanto, tem-se, no século XVII, na Alemanha, o surgimento da cha-
mada `topografia política ou uma descrição das condições atuais do país', proposta por Leibniz, em
cuja descrição deveriam constar: o número de cidades (maiores e menores) e de aldeias; a popula-
ção total e a área do país em acres; a enumeração de soldados, mercadores, artesãos e diaristas; as
informações sobre as relações entre os ofícios; o número de mortes e das causas de morte (Rosen,
1980). Em decorrência dessa e de outras ações semelhantes, surgiram os inquéritos de morbidade e
as estatísticas dos serviços de saúde. Na gênese da vigilância epidemiológica, é inegável a influência
de Farr, que realizou atividades de coleta, processamento e análise de dados e sua divulgação para
as autoridades sanitárias. Quando observamos o célebre estudo sobre o cólera realizado por Snow,
é impossível negar o uso das Informações em Saúde constantes dos mapas de ponto e do raciocínio
epidemiológico no controle desta doença, já no século XIX.
A essa altura é, também, de suma importância destacar o papel fundamental do desenvolvimento
das ciências da computação, no século XX, e, portanto, da informática como instrumental necessário
e multiplicador tanto das metodologias estatísticas quanto das Informações em Saúde. Ressalte-se,
também, que esse desenvolvimento tecnológico tem papel crucial em inovações intrínsecas à área da
saúde, tais como: a) a disseminação e facilitação da acessibilidade à s bases de dados em saúde; b) o
surgimento e a propagação da informática médica; c) a concepção e a implementação do prontuário
eletrônico do paciente, entre outros.
11
Parte II
Estatística Descritiva
12
Capítulo 2
Conceitos Básicos
2.1 População e Amostra
População é o conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma característica comum. Ex. fazer
uma pesquisa entre os alunos das escolas de Ensino Fundamental: precisamos definir quais são os
alunos que formam o universo, ou seja, os que atualmente estão no colégio ou devemos incluir os que
já passaram pela escola? A solução do problema depende de cada caso em particular. Na maioria
das vezes, por impossibilidade ou inviabilidade econômica ou temporal, limitamos a pesquisa a apenas
uma parte da população. A essa parte proveniente da população em estudo denominamos amostra.
Exemplo: O número de enfermeiros de um hospital é 233. Uma pesquisa sobre opção de horário
de trabalho pode ser feita com apenas 20 enfermeiros tomados ao acaso.
Tabela 2.1: Exemplos de População e Amostra
Variável de Interesse População Amostra
1 Insalubridade Todos os enfermeiros do hospital 20 enfermeiros do hospital
2 Tipo Sanguíneo Total de enfermeiros do hospital enfermeiros do bloco cirúrgico
3 Tipo Sanguíneo Sangue num indivíduo de 70kg 3 gotas de sangue
4 Salário Enfermeiros no território brasileiro Alguns enfermeiros de cada estado
5 Anos de Trabalho Total de enfermeiros do hospital enfermeiros do pronto socorro
6 Número de Filhos Total de enfermeiros do hospital enfermeiros da pediatria
2.2 Variáveis Estatísticas
Qualquer atributo medido numa pesquisa: renda familiar, número de indivíduos de uma família,
etc.
� Variáveis Qualitativas: expressam qualidade. Representadas por palavras.
Exemplo: sexo (masculino ou feminino), grau de instrução (fundamental, médio ou superior),
estado civil (solteiro, casado, ...).
13
2.3. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2. CONCEITOS BÁSICOS
� Nominal: Os indivíduos são classificados em categorias segundo uma característica.
Exemplo: hábito de fumar (fumante, não fumante), sobrepeso (sim, não).
Não existe ordem entre as categorias e suas representações, se numéricas, são destituídas
de significado numérico.
Exemplo: sexo masculino = 1, sexo feminino = 2. Os valores 1 e 2 são apenas rótulos.
Exemplo: Você tem diabetes? Sim. Não. Não sei.
Você é fumante? Sim. Não. Já fui.
Exemplo: Qual é o seu tipo de sangue? A. B. AB. O. Não sei.
� Ordinal: Os indivíduos são classificados em categorias que possuem algum tipo inerente de
ordem. Neste caso, uma categoria pode ser "maior"ou "menor"do que outra.
Exemplo: nível sócio-econômico (A, B, C e D; onde A representa maior poder aquisitivo);
nível de retinol sérico (alto, aceitável, baixo, deficiente) onde alto: maior ou igual a 50,0
�g/dl; aceitável: 20,0 a 49,9 �g/dl, baixo: 10,0 a 19,9 �g/dl e deficiente: menor ou
igual a 10,0 �g/dl. Estes critérios são do Commitee on Nutrition for National Defense
ICNND/USA, 1963 (in Prado MS et al , 1995).
� Variáveis Quantitativas: expressam quantidade. Representadas por números.
� Discretas: o resultado numérico da mensuração é um valor inteiro.
Exemplo: número de refeições em um dia (nenhuma, uma, duas, três, quatro, ...), frequên-
cia de consumo semanal de determinado alimento (1 vez, 2 vezes, 3 vezes, 4 vezes, 5 vezes,
6 vezes, 7 vezes), número de filhos.
� Contínuas: podem assumir qualquer valor do intervalo.
Exemplo: estatura, salário, nível de retinol sérico (�g/dl), circunferência da cintura (cm).
Observação: É incorreto fazer a simplificação "se tem número é quantitativo", pois muitas vezes,
os números podem ser meros rótulos, tal como o número na camisa de um jogador.
Exercício: Preencha o quadro abaixo VQO(variável qualitativa ordinal), VQN(variável qualitativa
nominal), VQTD(variável quantitativa discreta), VQTC(variável quantitativa contínua)
Tipos de variáveis.
População Variável Opção para a variável Classificação
Enfermeiros Salário bruto R$ 2003,52
do Brasil mensal
Odontólogos de Anos de 1,5/2/4
uma clínica trabalho
Professores do Produção 0, 1, 2, 3,...
curso de Farmácia científica
Funcionários Tipo A, B, AB, O
de um hospital sanguíneo
Enfermeiros Insalubridade Recebe, não recebe
de um hospital
Candidatos ao Sexo M, F
curso de Nutrição
Professores Número de 0, 1, 2, 3, ...
UNIFRA nutricionistas
Professores Nível de stress Alto, médio, baixo
de um curso
2.3 Exercícios
1. Foi encomendado um estudo para avaliação de uma entidade de ensino superior. Para isso, aplicou-se
um questionário e obtiveram-se respostas de 110 alunos. Indique:
14
2.3. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 2. CONCEITOS BÁSICOS
(a) a variável em estudo;
(b) a população em estudo;
(c) a amostra escolhida.
2. Os dados abaixo referem-se a medidas de prostaglandina (pg/ml) e cálcio (ml/dl) em pacientes com
câncer apresentando ou não hipercalcemia. Classifique as variáveis envolvidas no estudo, o tamanho
amostral e as populações de interesse.
Prostaglandina e cálcio em pacientes com câncer.
IPGE Calcium status
500.00 13.30 hyper
301.00 13.40 hyper
254.00 10.10 nonhyper
150.00 8.60 nonhyper
100.00 9.70 nonhyper
3. Classifique as seguintes variáveis em: Quantitativas (Discretasou Contínuas) ou Qualitativas (Nominais
ou Ordinais).
(a) A cor da pele de pessoas (ex.: branca, negra, amarela). Variável do tipo e .
(b) O número de consultas médicas feitas por ano por um associado de certo plano de saúde. Variável
do tipo e .
(c) O teor de gordura, medido em gramas por 24 horas, nas fezes de crianças de 1 a 3 anos de idade.
(Ex: 23,4 g) Variável do tipo e .
(d) O tipo de droga que os participantes de certo estudo tomaram, registrados como: Droga A, Droga
B e placebo. Variável do tipo e .
(e) A pressão intra-ocular, medida em mmHg, em pessoas. Variável do tipo e .
(f) O número de filhos das pacientes participantes de certo estudo. Variável do tipo e
.
15
Capítulo 3
Tabelas e Distribuições de Frequência
As tabelas sintetizam informações relevantes sobre uma ou mais variáveis a fim de que tenhamos
uma visão geral sobre a variável.
Tabela é um quadro que resume um conjunto de observações.
As tabelas devem obedecer ao seguinte postulado:
"Obter um máximo de esclarecimentos com um mínimo de espaço e tempo."
Exemplos:
Taxa de Colesterol (mg/dl) em 30 pacientes.
248 157 124 124 215 312 254 156 132 145
214 256 258 298 189 178 186 231 301 265
298 178 196 152 144 185 132 289 264 256
Distribuição de idade dos pacientes portadores de mieloma múltiplo.
Idade (anos) Frequência Absoluta Frequência Relativa
10 - 19 57 18,54
20 - 29 113 37,42
30 - 39 57 18,87
40 - 49 32 10,62
50 - 59 19 6,29
60 - 69 7 2,29
> 70 2 0,67
Indeterminada 13 4,3
Total 302 100
Pacientes portadores de mieloma múltiplo.
Ano do Diagnóstico Sexo Total
Masculino Feminino
1998 50 44 94
1999 54 46 100
2000 59 49 108
Total 163 139 302
Uma tabela e mesmo um gráfico podem ser decompostos em partes: Cabeçalho, Corpo e Rodapé.
Partes de uma tabela.
16
CAPÍTULO 3. TABELAS E DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
Cabeçalho - O cabeçalho, que é a apresentação do que a tabela está procurando representar, deve
conter o suficiente para que sejam respondidas as seguintes questões: O QUÊ? (referente ao fato),
ONDE? (relativo ao lugar), QUANDO? (correspondente ao tempo).
Exemplo: Acidentes de trabalho ocorridos no Hospital X em 2006.
O quê? - (fato): Acidentes de trabalho.
Onde? - (lugar): Hospital X.
Quando? - (tempo): 2006.
Corpo - O corpo de uma tabela é representado por uma série de colunas e subcolunas, dentro das
quais são colocados os dados apurados.
Segundo o corpo, as tabelas podem ser: de Entradas Simples, de Dupla Entrada e de Múltipla
Entrada.
Rodapé - No rodapé de uma tabela devemos colocar a legenda e todas as observações que venham
a esclarecer a interpretação da tabela Geralmente também é no rodapé que se coloca a fonte dos
dados embora em alguns casos ela possa ser colocada também no cabeçalho. A fonte serve para dar
maior autenticidade à tabela.
CONSIDERAÇÕES
As tabelas utilizadas nos cálculos estatísticos em geral não servem para artigos científicos pois são
organizadas para facilitar os cálculos e entendimento das variáveis e não para a sua apresentação.
por Sidia C. Jacques.
Abaixo seguem as principais regras para a construção de tabelas em artigos científicos:
� A tabela deve ser precedida de um título, suficientemente claro para que o leitor não necessite
voltar ao texto para entender o conteúdo da mesma.
� a tabela é limitada por uma linha limitante superior e outra inferior, que indica seu final. o
cabeçalho deve ser separado do restante do texto por uma linha horizontal.
� Não se usam linhas verticais separando as colunas; usam-se espaços em branco.
� As abreviaturas e os símbolos pouco conhecidos devem se explicados no rodapé da tabela.
� Deve ser indicada a fonte dos dados.
17
3.1. DADOS ABSOLUTOS E DADOS RELATIVOSCAPÍTULO 3. TABELAS E DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
Nosso Padrão: No Excel, as tabelas devem conter todas as células centralizadas, o título e o rodapé
devem ter o tamanho da tabela e suas células devem estar mescladas. A palavra tabela, o seu número
e o traço devem estar em negrito, bem como a palavra fonte, quando existir. A palavra fonte deve
estar também em itálico. O cabeçalho deve estar em negrito. Deve haver quatro linhas horizontais:
uma limitante superior, uma inferior, uma separando o título do cabeçalho e uma entre o cabeçalho e
o corpo da tabela. A palavra total, quando existir, deve estar em negrito.
3.1 Dados Absolutos e Dados Relativos
Os dados estatísticos resultantes da coleta direta da fonte, sem outra manipulação senão a con-
tagem ou medida, são chamados dados absolutos. A leitura dos dados absolutos é sempre cansativa
e inexpressiva; embora esses dados traduzam um resultado exato e fiel, não tem a virtude de ressaltar
de imediato as suas conclusões numéricas.
Dados relativos são o resultado de comparações por quociente (razões) que se estabelecem entre
dados absolutos e tem por finalidade realçar ou facilitar as comparações entre quantidades. Traduzem-
se os dados relativos, em geral, por meio de percentagens.
Exemplo: A tabela abaixo apresenta o número de irmãos relatados por 115 estudantes universi-
tários da UFRGS (dados obtidos entre 1986 e 1992)
Quantidade de irmãos de alunos da UFRGS.
N
o
de irmãos Frequência
0 8
1 20
2 40
3 26
4 9
5 7
6 4
7 0
8 0
9 1
Total
Determine o percentual de estudantes que têm 3 irmãos.
3.2 Distribuição de Frequências
É uma tabela, onde os dados encontram-se dispostos em classes ou não, juntamente com as
frequências correspondentes. Desta forma, podemos dividir as distribuições de frequências em dois
tipos:
Tabela de agrupamento simples
Mostram os valores obtidos e o número de vezes que cada dado foi observado. Os valores obtidos,
em geral, são colocados em ordem crescente e ao seu lado coloca-se a quantidade de vezes que cada
valor ocorreu (frequência).
Exemplo:
18
3.2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIASCAPÍTULO 3. TABELAS E DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
Número de médicos na população, países selecionados, 1984.
País Habitantes por Médico
Chile 1.230
Brasil 1.080
França 320
EUA 470
Argentina 370
Exemplo: Número de cáries dos alunos do 1
o
ano do Colégio X; quantidade de livros de bioesta-
tística na biblioteca da UNIFRA.
Número de cáries por aluno em uma escola X da cidade (Santa Maria/2008).
Número de Cáries (X
i
) Número de Alunos (f
i
)
0 35
1 20
2 13
3 6
4 4
5 ou mais 2
Total 80
Usada para variáveis qualitativas ou então quantitativas discretas com poucos valores diferentes.
Tabela de agrupamento por intervalo de classe
As classes são cada um dos intervalos que se subdivide os dados brutos a fim de condensar a
informação, mesmo que este procedimento perca algumas informações.
Usada para variáveis quantitativas contínuas ou discretas com muitos valores diferentes. Geral-
mente esta variável provém de medições.
Exemplo: A seguir temos as notas finais dos estudantes, as quais, se não forem agrupadas em
classes, geram tabelas com pouca utilidade prática.
Notas finais de 50 estudantes da disciplina de bioestatística.
22 46 9 40 57 22 22 13 50 42
35 2 15 41 34 52 32 75 69 44
26 42 60 56 30 3 17 79 45 37
0 12 62 50 45 41 59 11 66 39
43 33 70 50 47 20 36 40 67 29
Então, agrupamos os dados em classes cujas notas variam de 10 em 10 e contamos quantas notas
observadas estão em cada classe. A distribuição de frequência resultante será expressa pela tabela:
Tabela 3.1: Notas finais de estudantes da disciplina de bioestatística.
Notas f
i
0 7!10 4
107!20 5
207!30 6
307!40 8
407!50 12
507!60 7
607!70 5
707!80 3
Total 50
Onde f
i
é a frequência absoluta das classes.
19
3.2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIASCAPÍTULO 3. TABELAS E DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
Para explicara colocação das notas dos alunos, segundo uma distribuição em classes, necessitamos
de algumas definições:
1. Dados Brutos: Aqueles que não foram numericamente organizados, como é o caso das 50
notas dos alunos.
2. Rol: É o arranjo dos dados brutos em ordem de grandeza crescente ou decrescente:
0 2 3 9 11 12 13 15 17 20
22 22 22 26 29 30 32 33 34 35
36 37 39 40 40 41 41 42 42 43
44 45 45 46 47 50 50 50 52 56
57 59 60 62 66 67 69 70 75 79
3. Intervalo de Classe: Existem várias maneiras de apresentarmos o intervalo de classes: iguais
ou diferentes entre si. Porém, sempre que possível, deveremos optar por intervalos iguais, o que
facilitará os cálculos posteriores. O tamanho do intervalo de classe é definido pelo pesquisador.
Mas mesmo com intervalos iguais, as distribuições poderão apresentar-se da seguinte forma:
0 � 10: compreende todos os valores entre 0 e 10, exclusive os extremos.
0 `a 10: compreende todos os valores entre 0 e 10, inclusive os extremos.
0 a 10: compreende todos os valores entre 0 e 10, inclusive o 10 e exclusive o 0.
0 7!10 (ou 0 ` 10): compreende todos os valores entre 0 e 10, inclusive o 0 e exclusive o 10.
Como optamos por este último tipo (0 7! 10), podemos definir como intervalo de classe a
diferença entre o limite superior e o limite inferior da classe. Portanto, no exemplo, 10 � 0 = 10
é o intervalo ou amplitude da classe.
4. Amplitude Total ou "Range": é a diferença entre o maior e o menor dado. Em nosso caso, a
nota maior é 79 é a menor é 0; logo, nossa amplitude total é 79� 0 = 79.
5. Número de Classes (K): quantas classes serão necessárias para representar o fato? Existem
vários critérios que podem ser utilizados a fim de possuirmos uma idéia do melhor número de
classes, porém tais critérios servirão apenas como indicação e nunca como regra fixa, pois caberá
sempre ao pesquisador estabelecer o melhor número, levando-se em conta o intervalo de classe
e a facilidade para os posteriores cálculos numéricos.
6. Amplitude ou Intervalo de Classes (h):
h =
amplitude total
número de classes
Teríamos no exemplo:
79
7
= 12
Dessa forma, o pesquisador, usando o bom-senso e a sua experiência, verificará que seria mais
conveniente a utilização de um intervalo de classe igual a 10 e de um número de classes igual a
8, para que facilite as operações posteriores. Assim sendo:
Exemplo de intervalos de classe.
Classe (i) Notas (c
i
) Freq. (f
i
)
1 0 7! 10 4
2 10 7! 20 5
3 20 7! 30 6
4 30 7! 40 8
5 40 7! 50 12
6 50 7! 60 7
7 60 7! 70 5
8 70 7! 80 3
Total 50
20
3.3. EXERCÍCIOS NO EXCEL CAPÍTULO 3. TABELAS E DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
Observação: O número de classes e a amplitude são usados como base para a montagem de
uma tabela. Podemos aumentar ou diminuir o número de classes e arredondar uma amplitude
decimal. Use o bom senso.
7. Frequência Relativa da Classe
Corresponde ao quociente entre a frequência absoluta da classe e o total de elementos.
No exemplo, a frequência relativa da 7
a
classe é: f
r7
=
5
50
= 0; 1 = 10%
Resumindo, teríamos:
Tabela 3.2: Exemplo de intervalos de classe.
Classe (i) Notas (c
i
) Freq. (f
i
) F.Rel.(f
(r i)
)
1 0 7! 10 4
2 10 7! 20 5
3 20 7! 30 6
4 30 7! 40 8
5 40 7! 50 12
6 50 7! 60 7
7 60 7! 70 5 10
8 70 7! 80 3
Total 50
3.3 Exercícios no Excel
1. Os pesos dos 40 alunos de uma classe estão abaixo descritos:
Pesos de 40 alunos.
69 57 72 54 93 68 72 58 64 62 65 76 60 49 74
59 66 83 70 45 60 81 71 67 63 64 53 73 81 50
67 68 53 75 65 58 80 60 63 53
Construir a distribuição de frequência simples desta tabela.
2. Organizar os dados em uma tabela de frequência simples e relativa.
Dados brutos.
154 160 164 166 170 155 160 164 166 170 156
160 164 166 171 157 161 164 167 172 158 161
164 167 172 158 161 165 168 173 159 162 165
168 173 159 162 165 168 174 159 162 165 169
176 159 164 165 169 177
3. Os dados abaixo referem-se à taxa de creatinina na urina de 24 horas (mg/100 ml), em uma
amostra de 36 homens normais. Distribua os dados em classes e represente sua frequência
absoluta e relativa.
Nível de creatinina na urina (24h)
1,51 1,61 1,69 1,49 1,67 2,18 1,46 1,89 1,76 1,08
1,66 1,52 1,40 1,22 1,46 1,43 1,49 1,54 1,38 1,47
1,73 1,60 1,43 1,58 1,66 1,26 1,59 1,40 1,44 1,52
1,37 1,86 2,02 1,75 1,83 1,66
21
3.4. GRÁFICOS DE COLUNAS E HISTOGRAMASCAPÍTULO 3. TABELAS E DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
4. Os dados da tabela mostram o peso (kg) de 80 mulheres. Apresente-os em uma tabela de
frequência.
Pesos de 80 mulheres.
5. Substituir por uma única tabela o trecho do relatório a seguir: �Assim sendo, podemos concluir
que este banco, em 1995, contou com a colaboração de 345 funcionários, distribuídos pelas
nossas 5 agências, a saber: Niterói, 43; Rio de Janeiro, 102; São Paulo, 98; Belo Horizonte,
75; Vitória, 27. Em Niterói, 38 eram do sexo masculino e no Rio de Janeiro, 87. Apenas em
Vitória não existiam funcionárias, mas em São Paulo trabalharam 11 delas, enquanto que em
Belo Horizonte, apenas 3.�
6. A taxa de mortalidade infantil corresponde ao número médio de mortes, dentre 1000 crianças
nascidas vivas, antes de completarem um ano de vida. Os dados da tabela representam a Taxa de
mortalidade infantil dos municípios da Microrregião Oeste Catarinense (1982) e foram extraídos
da publicação Municípios Catarinenses - Dados Básicos, 1987, GAPLAN - SC, que utiliza dados
levantados pelo IBGE.
Taxa de mortalidade infantil da microrregião.
32,3 62,2 10,3 22,0 13,1 9,9 18,3 33,0 20,0
22,7 27,2 11,9 36,4 23,5 18,0 22,6 20,3 38,3
32,9 29,9 29,7 39,2 25,4 19,6 28,9 18,4 27,3
21,7 23,7 13,9 23,8 15,7 17,0 36,3
Agrupe convenientemente os dados da tabela em classes (Distribuição de frequências).
3.4 Gráficos de Colunas e Histogramas
Os gráficos de colunas (bastões) são comumente utilizados para representarem distribuições de
frequências de grupamento simples enquanto que os histogramas representam distribuições em classes.
Um histograma é composto por retângulos justapostos onde a base de cada um deles corresponde
ao intervalo de classe e a sua altura à respectiva frequência.
Exemplo: Construa o histograma da distribuição de frequência abaixo:
Pressão arterial sistólica de 96 recém-nacidos.
PAS(mmHg) f
55 ` 59 3
59 ` 63 5
63 ` 67 40
67 ` 71 24
71 ` 75 15
75 ` 79 8
79 ` 83 1
No Excel: Copie a tabela para o grid do Excel:
22
3.4. GRÁFICOS DE COLUNAS E HISTOGRAMASCAPÍTULO 3. TABELAS E DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
Selecione toda a tabela e clique sobre inserir > colunas > colunas 2D (primeira opção)
Você vai obter o seguinte gráfico de colunas:
Agora basta transformar este gráfico de colunas num histograma, para isto, clique com o botão
direito sobre qualquer uma das colunas e selecione �Formatar Séries de Dados�. Na janela que se
abre, defina �Largura do Espaçamento� como 0% e clique sobre "fechar". Você obterá o histograma
abaixo.
23
3.5. GRÁFICO DE PIZZA CAPÍTULO 3. TABELAS E DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
A construção de histogramas tem caráter preliminar em qualquer estudo e é um importante indica-
dor da distribuição de dados. Podem indicar se uma distribuição aproxima-se de uma função normal,
como pode indicar mistura de populações quando se apresentam bimodais.
3.5 Gráfico de Pizza
Um gráfico de setores (pizza) apresenta uma circunferência onde as "fatias"têm tamanhos pro-
porcionais à s frequências da distribuição considerada.
Para o exemplo da pressão arterial visto acima, criamos um gráfico de pizza selecionando: inserir
> pizza > pizza 2D (primeira opção), obtendo a figura abaixo:
24
3.6. BOX PLOTS CAPÍTULO 3. TABELAS E DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
3.6 Box Plots
O boxplot (gráfico de caixa)é um gráfico utilizado para avaliar a distribuição do dados. O boxplot
é formado pelo primeiro e terceiro quartil e pela mediana.
As linhas que se projetam para fora da caixa em ambos os lados estendem-se para valores adjacentes
do gráfico. Os valores adjacentes são as observações mais extremas no conjunto de dados que não
estão a mais de 1,5 vez a altura da caixa além dos quartis. Todos os pontos fora do intervalo dos
dados adjacentes são repesentados por círculos. Essas observações são consideradas fora do padrão
e são chamadas de valores extremos.
Exemplo: A tabela abaixo categoriza 10614 visitas ao consultório de especialistas de doenças
cardiovasculares por duração de cada visita. Uma duração de 0 minuto implica que o paciente não
teve contato direto com o especialista.
25
3.6. BOX PLOTS CAPÍTULO 3. TABELAS E DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
Duração Visitas
(min) (milhares)
0 390
1 a 5 227
6 a 10 1023
11 a 15 3390
16 a 30 4431
31 a 60 968
mais de 61 185
No Bioestat:
Gráficos > Box-Plot: mediana e quartis
Obs: O Bioestat não mostra os valores extremos para o gráfico Box-Plot: mediana e quartis.
Para saber quais são os valores mostrados no gráfico é preciso fazer a estatística descritiva:
Estatísticas > Estatística Descritiva
26
3.7. A DISTRIBUIÇÃO NORMALCAPÍTULO 3. TABELAS E DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
3.7 A Distribuição Normal
Suponha que você faça um gráfico das probabilidades dos números de caras esperados em 15
jogadas sucessivas de uma moeda, ou suponha 1.000 pessoas na rua, escolhidas aleatoriamente, para
cujas alturas você faz um diagrama de frequência:
Distribuição de probabilidade.
Histograma
27
3.8. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADECAPÍTULO 3. TABELAS E DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
Esses dois gráficos são semelhantes. Essa curva em forma de sino, chamada curva normal, é a
curva mais importante da estatística. Há inúmeros exemplos de grandezas que se distribuem segundo
a curva normal:
� a altura, o peso, ou o QI de uma população;
� os resultados da medida de uma grandeza física, como o peso molecular de um composto
químico;
� o total que aparece quando vários dados são jogados simultaneamente;
� o número de clientes semanais em muitos negócios.
A distribuição normal se aplica frequentemente em situações em que valores extremos são menos
prováveis do que valores moderados.
3.8 Distribuição de Probabilidade
A frequência relativa de um valor estima a probabilidade de ocorrência deste valor.
Exemplo: A tabela tem sua representação gráfica dada pelo gráfico de colunas.
Número de irmãos relatados por 115 estudantes da UFRGS entre 1986 e 1992.
N
o
de irmãos f f
r
F
r
0 8 0,07 0,07
1 20 0,17 0,24
2 40 0,35 0,59
3 26 0,23 0,82
4 9 0,08 0,90
5 7 0,06 0,96
6 4 0,03 0,99
7 0 0,00 0,99
8 0 0,00 0,99
9 1 0,01 1,00
Gráfico de colunas relativo à tabela.
28
3.8. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADECAPÍTULO 3. TABELAS E DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
A frequência relativa associada a x = 2 irmãos é de 0,35 na amostra estudada. Estima-se, então,
que 35% dos universitários tem 2 irmãos. Isto equivale a dizer que se estima em 0,35 a probabilidade
de que um universitário, selecionado ao acaso desta população, tenha dois irmãos. No gráfico de
bastões, a probabilidade estimada para cada valor é a altura do bastão.
Exemplo: A tabela tem sua representação gráfica dada pelo histograma.
Pesos (kg) de 256 alunas da UFRGS.
Peso (kg) f f
r
40 7! 45 9 0,035
45 7! 50 36 0,141
50 7! 55 78 0,304
55 7! 60 55 0,215
60 7! 65 53 0,207
65 7! 70 11 0,043
70 7! 75 7 0,027
75 7! 80 5 0,020
80 7! 85 1 0,004
85 7! 90 1 0,004∑
256 1,000
Histograma relativo à tabela.
No histograma, a área do retângulo referente ao intervalo 45 7! 50 corresponde a 14% da área
de todo o histograma (100%). Portanto, a área deste retângulo é a representação geométrica da
probabilidade estimada de se encontrar valores entre 45 e 50 na população.
29
Capítulo 4
Medidas de Posição
4.1 Introdução
O estudo que fizemos sobre distribuições de frequência, até agora, permite-nos descrever, de modo
geral, os grupos dos valores que uma variável pode assumir. Dessa forma, podemos localizar a maior
concentração de valores de uma dada distribuição, isto é, se ela se localiza no início, no meio ou no
final, ou ainda, se há uma distribuição por igual.
Porém, para ressaltar as tendências características de cada distribuição, isoladamente, ou em con-
fronto com outras, necessitamos introduzir conceitos que se expressem através de números, que nos
permitam traduzir essas tendências. Esses conceitos são denominados elementos típicos da distribui-
ção e são as:
a. medidas de posição;
b. medidas de variabilidade ou dispersão;
c. medidas de assimetria;
d. medidas de curtose.
Dentre os elementos típicos, destacamos, nesta unidade, as medidas de posição: estatísticas que
representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição em relação ao eixo
horizontal (eixo das abscissas).
As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência central, que recebem tal
denominação pelo fato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores
centrais. Dentre as medidas de tendência central, destacamos: a média aritmética; a mediana e a
moda.
As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam a própria mediana; os quartis e
os percentis.
4.2 Média Aritmética (x)
Existem vários tipos de média (aritmética, ponderada, geométrica, harmônica, etc.), mas estuda-
remos apenas a média aritmética.
Média aritmética é o quociente da divisão da soma dos valores da variável pela quantidade deles:
x =
∑
x
i
n
onde, x é a média aritmética, x
i
são os valores da variável e n é a quantidade de valores.
Dados com agrupamento simples
Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados, determinamos a média aritmética
simples.
30
4.2. MÉDIA ARITMÉTICA (X) CAPÍTULO 4. MEDIDAS DE POSIÇÃO
Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana, foi de 10,
14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para produção média da semana:
x =
10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12
7
=
98
7
= 14
Logo, a média da produção de leite foi de 14 litros por dia.
Às vezes, a média pode ser um número diferente de todos os da série de dados que ela representa.
É o que acontece quando temos os valores 2, 4, 8 e 9, para os quais a média é 5. Esse será o número
representativo dessa série de valores, embora não esteja nos dados originais. Neste caso, diz-se que a
média não tem existência concreta.
Exemplo: Determine a média dos volumes respiratórios forçados em um segundo para 10 adoles-
centes que sofrem de asma, representados na tabela:
Volumes respiratórios por indivíduo.
Indivíduo FEV(litros)
1 2,30
2 2,15
3 3,50
4 2,60
5 2,75
6 2,82
7 4,05
8 2,25
9 2,68
10 3,00∑
=
Resp.: 2,81 litros
Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de 4 filhos, tomando para variável o número de
filhos do sexo masculino:
Número de filhos por família.
Número de meninos f
i
0 2
1 6
2 10
3 12
4 4∑
= 34
Neste caso, como as frequências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável,
elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada,
dada pela fórmula:
x =
∑
x
i
� f
i∑
f
i
Um modo prático de obtenção da média ponderada é abrir, na tabela, uma coluna correspondente aos
produtos x
i
� f
i
. Assim, temos:
Número de filhos por família.
Número de meninos f
i
x
i
� f
i
0 2
1 6
2 10
3 12
4 4
TOTAL 34
31
4.2. MÉDIA ARITMÉTICA(X) CAPÍTULO 4. MEDIDAS DE POSIÇÃO
Observação: O valor médio obtido acima de 2,3 meninos sugere, neste caso, que o maior número
de famílias tem 2 meninos e 2 meninas, sendo, porém, a tendência geral uma leve superioridade
numérica em relação ao número de meninos.
Com Intervalos de Classes
Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe
coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a sua média aritmética ponderada por meio da
fórmula que já conhecemos: x =
∑
x
i
�f
i∑
f
i
, porém, agora, x
i
é o ponto médio de cada classe.
Exemplo:
Altura de 40 alunos da escola X - Santa Maria - 2007.
i Estaturas (cm) f
i
1 150 ` 154 4
2 154 ` 158 9
3 158 ` 162 11
4 162 ` 166 8
5 166 ` 170 5
6 170 ` 174 3
TOTAL 40
Primeiro vamos abrir uma coluna para os pontos médios e outra para os produtos x
i
� f
i
.
Altura de 40 alunos da escola X - Santa Maria - 2007.
i Estaturas (cm) f
i
x
i
x
i
� f
i
1 150 ` 154 4
2 154 ` 158 9
3 158 ` 162 11
4 162 ` 166 8
5 166 ` 170 5
6 170 ` 174 3
TOTAL 40 �
Resp.: 161cm
Exercício:
Determine a média de níveis séricos de colesterol entre os homens indicados na tabela:
Níveis séricos de colesterol para homens de Santa Maria com idades entre 25 e 34 anos.
Nível de colesterol(mg=10ml) f
i
x
i
x
i
� f
i
80 ` 120 13
120 ` 160 150
160 ` 200 442
200 ` 240 299
240 ` 280 115
280 ` 320 34
320 ` 360 9
360 ` 400 5
TOTAL 1067 �
Resp.: 199,34
Vantagens e desvantagens da média aritmética
Por ser muito influenciada por valores extremos da série, a média aritmética não representa bem
as distribuições em que existem valores extremos em relação aos demais, como, por exemplo, a série
32
4.3. MODA (M
O
) CAPÍTULO 4. MEDIDAS DE POSIÇÃO
cujos elementos são os seguintes: 18, 20, 22, 24 e 850 (onde a média aritmética é igual a 186,8,
resultado que foi muito influenciado pelo elemento 850).
1) Apesar de a média aritmética situar-se entre o menor e o maior resultado da distribuição de
frequências, ela não tem, necessariamente, a existência real. Podemos obter, por exemplo, uma média
do tamanho de família de 4,5 pessoas, que é um valor inexistente.
2) Pode ser calculada para distribuições com classes, mas os seus resultados não são considerados
reais.
3) Pode ser calculada diretamente usando qualquer calculadora eletrônica.
4) Depende de todos os valores da distribuição.
5) Evidencia bastante estabilidade de amostra para amostra, ou seja, se pesquisarmos numerosas
amostras extraídas de uma mesma população, os valores das médias obtidas tendem a variar pouco
(pouca variabilidade com amostras da mesma população).
4.3 Moda (M
o
)
Denominamos moda o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores.
Dados com agrupamento simples
Quando lidamos com valores não-agrupados, a moda é facilmente reconhecida: basta procurar o
valor que mais se repete.
Exemplo: A série de dados: 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15 tem moda igual a 10.
Podemos, entretanto, encontrar séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum
valor apareça mais vezes que outros.
É o caso da série: 3, 5, 8, 10, 12, 13, que não apresenta moda (amodal).
Em outros casos, ao contrário, pode haver dois ou mais valores de concentração.
Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais. Na série: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7,
7, 8, 9 temos duas modas: 4 e 7 (bimodal).
A moda é utilizada:
quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição;
quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição.
33
4.4. MEDIANA (M
D
) CAPÍTULO 4. MEDIDAS DE POSIÇÃO
4.4 Mediana (M
d
)
A mediana é outra medida de posição, definida como o número que se encontra no centro de
uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem (em Rol). Em outras palavras, a
mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de
tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
Exemplo: Seja a seguinte série de valores: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9. O primeiro passo é
ordenar os números (ordem crescente ou decrescente): 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18.
Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo número de elementos à direita
e à esquerda. Em nosso exemplo, esse valor é o 10, já que, há quatro elementos acima dele e quatro
abaixo.
Temos, então: M
d
= 10
Se, porém, a série dada tiver um número par de termos, a mediana será, por definição, qualquer
dos números compreendidos entre os dois valores centrais da série. Convencionou-se utilizar o ponto
médio. Assim, a série de valores: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21 tem para mediana a média aritmética
entre 10 e 12.
M
d
=
10 + 12
2
= 11
Verificamos que, estando ordenados os valores de uma série e sendo n o número de elementos da
série, o valor mediano será:
o termo de ordem
n+1
2
, se n for ímpar;
a média aritmética dos termos de ordem
n
2
e
n
2
+ 1 , se n for par.
A mediana é utilizada:
quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais;
quando há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média.
Observação: No cálculo da média, todos os valores da amostra são levados em conta, ao passo
que no caso da mediana isto não acontece. Por esta razão, valores muito grandes ou muito pequenos,
comparados aos demais valores da amostra, causam grandes variações na média, o que em geral não
ocorre com a mediana. Por isso, dizemos que a mediana é robusta, isto é, ela é resistente a valores
atípicos.
4.5 Exercícios no Excel
1. A tabela abaixo lista as durações das terapias para dez pacientes inscritos em um estudo que
investiga os efeitos da interrupção das transfusões de sangue. Determine a média desses valores.
Duração da terapia de transfusão para 10 pacientes com doenças falciformes.
Indivíduo Duração
1 12
2 11
3 12
4 6
5 11
6 11
7 8
8 5
9 5
10 5
TOTAL
Resp.: 8,6 anos
34
4.5. EXERCÍCIOS NO EXCEL CAPÍTULO 4. MEDIDAS DE POSIÇÃO
2. Na sequência temos a massa (peso) em gramas, de ratos da raça Wistar com 30 dias de idade.
(Fonte: Vieira, S., 1980). Calcule a média aritmética.
50 62 70 86 66 55 60 77 82 64 58 74
Resp.: 67
3. Os tempos de reação de um indivíduo a determinados estímulos foram medidos por um psico-
logista como sendo 0,53; 0,46; 0,50; 0,49; 0,52; 0,53; 0,44 e 0,55 segundos, respectivamente.
Determinar: os tempos médio, modal e mediano de reação do indivíduo a esses estímulos.
Resp.: 0,50; 0,53; 0,51
4. Calcule a média dos números de dentes perdidos ou danificados em uma amostra de 50 pessoas
tratadas em determinada clínica dentária (Fonte: Callegari- Jacques, S. 2003).
Dentes perdidos ou danificados.
Número de dentes (x) Número de pessoas (f
i
) x � f
i
0 9
1 5
2 6
3 7
4 9
5 5
6 4
7 3
8 2
TOTAL 50
Resp.: 3,2 dentes
5. Calcule o número médio de dentes cariados, para cada sexo, a partir dos dados apresentados na
tabela a seguir:
Resp.: Masc.: 0,88 e Fem.: 1,6
Número de dentes cariados das pessoas tratadas em uma clínica dentária � Santa Maria/RS.
Número de Sexo
dentes cariados Masculino Feminino
0 16 14
1 2 6
2 3 7
3 2 8
4 2 5
Total
Resp.: Média Masc.: 0,88; Média Fem.: 1,6
6. Quinze indivíduos foram sujeitos à recolha de urina em dois momentos, antes da toma de um
diurético e após a tomada desse diurético, tendo-se obtido os valores em litros/dia mostrados
na tabela:
Coleta de urina.
Indiv. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Sem 1,2 1,2 1,2 1,2 1,1 1,3 1,8 1,21,1 1,4 1,1 1,3 1,1 1,2 1,3
Com 1,4 1,3 1,5 1,4 1,3 1,6 2,1 1,4 1,3 1,5 1,2 1,4 1,2 1,2 1,3
35
4.5. EXERCÍCIOS NO EXCEL CAPÍTULO 4. MEDIDAS DE POSIÇÃO
a) Determine as medidas de localização central da urina sem diurético.
Resp.: x = 1; 25; M
d
= 1; 2 e M
o
= 1; 2.
b) Determine as medidas de tendência central da urina com diurético.
Resp.: x = 1; 41; M
d
= 1; 4 e M
o
= 1; 3 e 1; 4.
7. Durante uma epidemia de escarlatina, recolheu-se um certo número de mortos, em 40 cidades
de um país, obtendo-se os dados da tabela .(DIAZ e LOPEZ, 2007)
Quantidade de mortos devido à escarlatina.
Mortos(número) 0 1 2 3 4 5 6 7
Cidades 7 11 10 7 1 2 1 1
a) Calcule as medidas de posição central. Resp.: x = 1; 98; M
d
= 2 e M
o
= 1.
b) Calcule a porcentagem de cidades com pelo menos dois mortos. Resp.: 55%
c) Calcule a porcentagem de cidades com no máximo 2 mortos. Resp.: 70%
d) Calcule a porcentagem de cidades com no mínimo 3 mortos. Resp.: 30%
8. A tabela mostra a composição por idade e sexo de um grupo de trabalhadores, com tuberculose
pulmonar, numa determinada cidade.
Distribuição da tuberculose por sexo.
Idade(anos) Homem Mulher Total
14 ` 19 2 2 4
19 ` 24 10 5 15
24 ` 29 33 9 42
29 ` 34 45 12 57
34 ` 39 39 8 47
39 ` 44 21 4 25
Total
Pede-se:
Qual é a média de idade dos trabalhadores do sexo masculino e feminino com tuberculose
pulmonar.
Resp.: F: 30,38 anos; M: 32,23 anos
36
Capítulo 5
Separatrizes
Como vimos, a mediana separa uma série de valores em dois grupos que apresentam a mesma
quantidade de elementos.
Assim, além das medidas de posição que estudamos, há outras que, consideradas individualmente,
não são medidas de tendência central, já que se baseiam em sua posição na série. Essas medidas �
os quartis, os percentis e os decis � são, juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome genérico
de separatrizes.
5.1 Quartis
Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais. Há, portanto,
três quartis:
a) O primeiro quartil (Q
1
): valor situado de tal modo na série que uma quarta parte (25%) dos
dados é menor que ele e as três quartas partes restantes (75%) são maiores.
b) O segundo quartil (Q
2
): evidentemente, coincide com a mediana (Q
2
= M
d
).
c) O terceiro quartil (Q
3
) � valor situado de tal modo que as três quartas partes (75%) dos
termos são menores que ele e uma quarta parte (25%) é maior.
5.2 Decis e Percentis
Os decis D
i
são valores que dividem os dados em 10 partes iguais enquanto que os percen-
tis são os noventa e nove valores que separam uma série em 100 partes iguais. Indicamos por
P
1
; P
2
; P
3
; � � � ; P
32
; � � � ; P
99
.
P
50
= M
d
, P
25
= Q
1
e P
75
= Q
3
5.3 Exercícios no Excel
1. Com o objetivo de estudar a eficácia de um regime alimentar para tratamento de diabetes
foram recolhidas 12 amostras de sangue em diabéticos e analisada a quantidade de açúcar.
37
5.3. EXERCÍCIOS NO EXCEL CAPÍTULO 5. SEPARATRIZES
Obtiveram-se os resultados mostrados na tabela abaixo:
Glicose de amostras sanguíneas (mg/100ml)
187.45 187.57 187.37 187.49 187.58 187.37
187.46 187.62 187.47 187.53 187.39 187.46
(a) Determine a média, moda e mediana. Resp.: x = 187:48 ; M
o
= 187:37; M
d
= 187:465
(b) Determine os quartis Q
1
e Q
3
. Resp.: Q
1
= 187:42 ; Q
3
= 187:55
2. Os dados referentes ao número de dentes cariados, perdidos ou obturados em uma amostra de
20 pessoas tratadas em uma determinada clínica dentária estão apresentados na tabela a seguir.
Considerando dados brutos, pede-se:
Dentes cariados, perdidos ou obturados.
6 4 1 0 2 3 0 5 0 4
4 6 0 1 3 5 8 3 2 7
Primeiro e o terceiro quartil . Interprete os resultados.
Resp.: Q
1
= 1 (25% do total tem 0 ou 1 cárie); Q
3
= 3
3. Considerando 12 observações (ordenadas) do tempo de internação (dias) de acidentados no
trabalho, em um certo hospital: 1, 4, 7, 9, 10, 13, 15, 17, 17, 18, 19, 21. Obtenha os quartis
e interprete estes valores.
Resp.: Q
1
= 8, Q
2
= 14 Q
3
= 17; 5
38
Capítulo 6
Medidas de Dispersão
6.1 Dispersão ou Variabilidade
As medidas de dispersão procuram verificar o quanto os dados estão dispersos em torno de uma
medida de posição (média, mediana ou moda), ou seja, elas informam o quanto os dados estão
afastados, em média, do ponto central.
Assim, não é o bastante dar uma das medidas de posição para caracterizar perfeitamente um
conjunto de valores, pois, mesmo sabendo, por exemplo, que a temperatura média de duas cidades
é a mesma, e igual a 24
�
C, ainda assim somos levados a pensar a respeito do clima dessas cidades.
Em uma delas poderá a temperatura variar entre limites de muito calor e de muito frio e haver, ainda,
uma temperatura média de 24
�
C. A outra poderá ter uma variação pequena de temperatura e possuir,
portanto, no que se refere à temperatura, um clima mais favorável.
Vemos, então, que a média � ainda que considerada como um número que tem a faculdade de
representar uma série de valores � não pode, por si mesma, destacar o grau de homogeneidade ou
heterogeneidade que existe entre os valores que compõem o conjunto.
Exemplo: Consideremos os seguintes conjuntos de valores das variáveis x, y e z:
X: 70, 70, 70, 70, 70.
Y: 68, 69, 70, 71, 72.
Z: 5, 15, 50, 120, 160.
Calculando a média aritmética de cada um desses conjuntos, obtemos:
X =
350
5
= 70 , Y =
350
5
= 70 e Z =
350
5
= 70.
Vemos, então, que os três conjuntos apresentam a mesma média aritmética: 70.
Entretanto, é fácil notar que o conjunto X é mais homogênea que os conjuntos Y e Z, já que
todos os valores são iguais à média.
O conjunto Y, por sua vez, é mais homogêneo que o conjunto Z, pois há menor diversificação
entre cada um de seus valores e a média representativa.
Chamando de dispersão ou variabilidade a maior ou menor diversificação dos valores de uma variável
em torno de um valor de tendência central tomado como ponto de comparação, podemos dizer que o
conjunto X apresenta dispersão ou variabilidade nula e que o conjunto Y apresenta uma dispersão ou
variabilidade menor que o conjunto Z.
Portanto, para qualificar os valores de uma dada variável, ressaltando a maior ou menor dispersão
ou variabilidade entre esses valores e a sua medida de posição, a Estatística recorre à s medidas de
dispersão ou de variabilidade.
Dessas medidas, estudaremos a amplitude total, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de
variação.
39
6.2. AMPLITUDE TOTAL CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE DISPERSÃO
6.2 Amplitude Total
É a diferença entre o maior e o menor valores observados e serve para ajudar a entender a dispersão
dos dados, assim, amplitudes grandes indicam dados dispersos enquanto que amplitudes pequenas
indicam que os dados são mais homogêneos.
Exemplo: Consideremos quatro grupos de alunos cujas notas são:
Grupo A � 7, 5, 6, 9 e 8;
Grupo B � 9, 10, 4, 1, 8 e 10;
Grupo C � 5, 7, 7, 7,7, 7, 7, 7, 7 e 9;
Grupo D � 7, 7, 7 e 7.
Com base na amplitude ou intervalo total, qual é o mais homogêneo?
Resp.: Grupo B, Grupos A e C (empatados) e Grupo D.
Comentário: Vimos acima que os grupos A e C são considerados igualmente homogêneos por
terem o mesmo intervalo total. No entanto, um simples exame visual das notas respectivas nos leva
a concluir que certamente o grupo C é o mais homogêneo, uma vez que dá para perceber que os seus
elementos estão mais próximos entre si que os elementos do grupo A.
O que de fato ocorre é que, infelizmente, o intervalo total não é uma medida capaz de quantificar
de modo eficiente a dispersão de uma série, umavez que no seu cálculo interferem apenas os elemen-
tos extremos (máximo e mínimo) da série, não avaliando o comportamento dos demais elementos.
Utilizamos, assim, o intervalo total apenas para ter uma primeira informação sobre a dispersão da
série, visando quase que somente a identificar o campo de variação dos seus elementos.
6.3 Variância e Desvio Padrão
Como vimos, a amplitude total é instável, por se deixar influenciar pelos valores extremos, que
são, na sua maioria, devidos ao acaso.
A variância e o desvio padrão são medidas que fogem a essa falha, pois levam em consideração a
totalidade dos valores da variável em estudo, o que faz delas índices de variabilidade bastante estáveis
e, por isso mesmo, os mais geralmente empregados.
A variância baseia-se nos desvios em torno da média aritmética, porém determinando a média
aritmética dos quadrados dos desvios. Assim, representando a variância por S
2
, temos:
S
2
=
∑
(x
i
� x)
2∑
f
i
Sendo a variância calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela é um número em unidade
quadrada em relação à variável em questão, o que, sob o ponto de vista prático, é um inconveniente.
Por isso mesmo, imaginou-se uma nova medida que tem utilidade e interpretações práticas, deno-
minada desvio padrão, definida como a raiz quadrada da variância e representada por s. Assim:
S =
p
S
2
Observações: Tanto o desvio padrão como a variância são usados como medidas de dispersão ou
variabilidade. O uso de uma ou de outra dependerá da finalidade que se tenha em vista.
A variância é uma medida que tem pouca utilidade como estatística descritiva, porém é extrema-
mente importante na inferência estatística e em combinações de amostras.
6.4 Exercícios no Excel
1. Quatorze indivíduos que deram entrada no serviço de urgência de um Hospital apresentavam as
seguintes pressões arteriais sistólicas:
Ind. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
PAS 115 125 128 135 126 124 112 125 127 133 119 127 121 120
40
6.5. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE DISPERSÃO
(a) Determine as medidas de tendência central da PAS e comente os resultados.
Resp.: x = 124; 07, M
e
= 125, M
o
= 125e127
(b) Determine o desvio padrão. Resp.: 6,08
(c) Determine os quartis. Resp.: Q
1
= 120 Q
2
= 125 Q
3
= 127
2. Foram analisados os níveis de concentração de albumina em dez adultos tendo-se obtido os
seguintes resultados (g/l):
Indivíduo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Albumina 19,7 19,9 20,9 20,7 20,9 20,8 20,9 21 19,5 19,4
a) Determine as medidas de localização de tendência central que conhece.
Resp.: x = 20; 37 M
e
= 20; 75 M
o
= 20; 9
b) Determine o desvio padrão. Resp.: 0,62
6.5 Coeficiente de Variação
O desvio padrão por si só não nos diz muita coisa. Assim, um desvio padrão de duas unidades
pode ser considerado pequeno para uma série de valores cujo valor médio é 200; no entanto, se a
média for igual a 20, o mesmo não pode ser dito.
Além disso, o fato de o desvio padrão ser expresso na mesma unidade dos dados limita o seu
emprego quando desejamos comparar duas ou mais séries de valores, relativamente à sua dispersão
ou variabilidade, quando expressas em unidades diferentes.
Para contornar essas dificuldades e limitações, podemos caracterizar a dispersão ou variabilidade
dos dados em termos relativos a seu valor médio, medida essa denominada coeficiente de variação
(CV).
CV =
S
x
� 100
Exemplo: Tomemos os resultados das medidas das estaturas e dos pesos de um mesmo grupo de
indivíduos:
x S
Estaturas 175 cm 5 cm
Pesos 68 kg 2 kg
CV
E
=
5
175
� 100 = 2; 85% CV
P
=
2
68
� 100 = 2; 94%
Conclui-se que neste grupo de indivíduos, os pesos apresentam maior grau de dispersão que as
estaturas.
Exemplo: Admitamos, por exemplo, ser do nosso interesse comparar entre si, tendo em vista
a homogeneidade, as séries relacionadas a seguir, juntamente com suas médias aritméticas e seus
desvios padrões:
Série Média Aritmética Desvio Padrão
A(t) 80,8 t 10,0 t cm
B(cm) 450,0 cm 10,0 cm
C(
o
C) 32,6
o
C 4,2
o
C
D(
o
C) 30,0
o
C 2,6
o
C
E(
o
C) 8200,0 t 700,0 t
Vamos calcular o coeficiente de variação para cada uma das séries do exemplo acima:
41
6.6. EXERCÍCIOS NO EXCEL CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE DISPERSÃO
� série A: V = 100 X 10,0/80,8 = 12,4% � série D: V = 100 X 2,6/30,0 = 8,7%
� série B : V = 100 X 10,0/450,0 = 2,2% � série E: V = 100 X 700,0/8 200,0 = 8,5
� série C : V = 100 X 4,2/32,6 = 12,9%
Podemos, assim, por possuir o menor coeficiente de variação, afirmar que:
� a série B é mais homogênea que a série A;
� a série D é mais homogênea que a série C;
� a série E é mais homogênea que a série A.
Listando as séries em questão, em ordem crescente de homogeneidade ou decrescente de dispersão,
quantificada pela medida mais conveniente no caso, que é o coeficiente de variação, temos: série C,
série A, série D, série E e série B.
Conforme acabamos de ver, além de ter o seu uso recomendado para a análise da dispersão de
séries heterogêneas (unidades de medidas diferentes: metros, toneladas, litros etc.), o coeficiente de
variação serve ainda para compararmos séries que apresentam ordens de grandeza diferenciadas dos
seus elementos (unidades, dezenas etc.). Como desvantagens, podemos citar a impossibilidade de
usarmos o coeficiente de variação para séries com médias aritméticas nulas e sua inconveniência de
uso (como toda percentagem que se preza) no caso de termos séries com médias aritméticas muito
�pequenas� (ou próximas de zero) que, ao sofrerem uma reduzida alteração, normalmente provocam
grandes variações no coeficiente de variação.
6.6 Exercícios no Excel
1. Em um exame final de Matemática, o grau médio de um grupo de 150 alunos foi 7,8 e o desvio
padrão, 0,80. Em Estatística, entretanto, o grau médio final foi 7,3 e o desvio padrão, 0,76.
Em que disciplina foi maior a dispersão? Resp.: Estatística
2. Medidas as estaturas de 1.017 indivíduos, obtivemos x = 162; 2 cm e S = 8,01 cm. O peso
médio desses mesmos indivíduos é 52 kg, com um desvio padrão de 2,3 kg. Esses indivíduos
apresentam maior variabilidade em estatura ou em peso? Resp.: Estatura
3. Um grupo de 85 moças tem estatura média de 160,6 cm, com um desvio padrão igual a 5,97
cm. Outro grupo de 125 moças tem uma estatura média de 161,9 cm, sendo o desvio padrão
igual a 6,01 cm. Qual é o coeficiente de variação de cada um dos grupos? Qual o grupo mais
homogêneo?
Resp.: 3,72 e 3,71, respectivamente; o segundo grupo
4. Um estudo foi realizado por um professor em três turmas, obtendo a média e o desvio padrão
das notas de sua disciplina, conforme abaixo. Qual a turma com menor variabilidade? Justifique
adequadamente.
Turma A B C
Média 6,5 8,0 cm 8,0
Desvio Padrão 2,2 cm 1,7 2,0
Resp.: Turma B
5. [Excel] São fornecidos valores de nível de triglicérides (mg/dL) de 9 pessoas:
166 158 202 162 135 82 150 86 121
Calcule, apresentando o desenvolvimento da fórmula:
a) o nível médio de triglicérides; Resp.: 140,22
b) o nível mediano de triglicérides; Resp.: 150
c) o desvio padrão do nível de triglicérides; Resp.: 36,66
d) o coeficiente de variação do nível de triglicérides. Resp.: 26,14%
42
6.6. EXERCÍCIOS NO EXCEL CAPÍTULO 6. MEDIDAS DE DISPERSÃO
6. Considere as seguintes medidas descritivas das notas finais dos alunos de três turmas de Bioes-
tatística. Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas:
Turma N. alunos Média Desvio Padrão
A 15 6 1,31
B 15 6 3,51
C 14 6 2,61
1. Apesar de as médias serem iguais nas três turmas, as notas dos alunos da turma B foram as
que se apresentaram mais heterogêneas.
2. As três turmas tiveram a mesma média, mas com variação diferente.3. As notas da turma A se apresentaram mais dispersas em torno da média.
Assinale a alternativa correta:
a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira.
b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
Resp.: d
43
Capítulo 7
Assimetria e Curtose
As medidas de assimetria e curtose complementam as medidas de posição e de dispersão e dão
uma interpretação da forma da distribuição.
7.1 Assimetria
Mede a deformação da distribuição relativamente à sua simetria, ou seja, mede o quanto a distri-
buição é assimétrica em relação a um eixo central.
Exemplo: Seja o seguinte conjunto de dados:
O gráfico de colunas relativo a estes dados é o seguinte:
Perceba que existe uma "cauda"para a direita destes dados, o que evidencia a sua assimetria:
44
7.2. TRABALHO 02 CAPÍTULO 7. ASSIMETRIA E CURTOSE
A assimetria pode ser calculada através do coeficiente de assimetria de Pearson (CA):
CA =
x �M
o
s
onde,
x é a média aritmética.
M
o
é a moda.
Existem outras fórmulas para o cálculo do coeficiente, mas não nos servem agora.
Intensidade da assimetria (interpretação do coeficiente de Pearson):
7.2 Trabalho 02
Instruções:
� As questões deverão ser respondidas no Excel ;
� Cada planilha deve conter uma questão. O nome da planilha deve indicar o número da questão,
por exemplo: Questão 1.
� As perguntas e os comentários das respostas devem estar em caixas de texto dentro da respectiva
planilha.
� O nome do arquivo deve conter o seu nome e o nome do curso, por exemplo: RodrigoMatema-
tica;
� O arquivo deve ser enviado para o e-mail rodrigopereira@unifra.br
� O assunto do email será Trabalho 02.
� Utilize o seu email da Unifra (acesse-o através do Alunonet).
1. Os dados abaixo representam as alturas de 60 indivíduos. Calcule a estatística descritiva (média,
mediana, desvio padrão, Q1, Q3 e o coeficiente de variação).
159 159 159 160 160 160 161 161 162 162 162 163 163 163 164
164 164 165 165 165 166 166 166 167 167 167 168 168 169 169
169 170 170 170 171 171 171 172 172 172 173 173 173 174 174
174 175 175 176 176 176 177 177 177 178 178 178 179 179 179
Responda:
(a) Por que o CV deu um resultado tão baixo?
45
7.2. TRABALHO 02 CAPÍTULO 7. ASSIMETRIA E CURTOSE
(b) Explique o valor da mediana?
(c) Explique o valor do Q3?
(d) Construa um histograma para esta distribuição no Excel e responda se é uma distribuição
normal ou não.
2. As amostras de exames bioquímicos de sangue de 3 diferentes laboratórios apresentaram os
níveis de creatinina mostrados no quadro:
Exame 1 2 3 4 5 6 7
Laboratório A 0,6 0,4 0,5 0,8 0,2 0,8 -
Laboratório B 0,7 0,8 0,6 0,9 0,5 1,1 0,3
Laboratório C 0,6 0,7 2,0 0,5 0,8 0,9 0,9
a) Calcule a média das creatininas de cada um dos laboratórios.
b) Qual dos 3 laboratórios teve a menor dispersão? Qual das medidas estatísticas explica a tua
resposta?
46
Parte III
Teoria da Amostragem
com Bioestat
47
Capítulo 8
Amostragem
De uma forma geral, as populações ou universos nos quais o pesquisador está interessado são
grandes demais para serem estudados na sua totalidade. O tempo necessário para estudar toda a
população, as despesas e o número de pessoas envolvidas são de tal monta que tornam o estudo
proibitivo. Por isso, o mais comum é se estudarem amostras retiradas da população de interesse.
Para que os resultados obtidos em uma amostra possam ser generalizados para a população, isto
é, para que se possam realizar inferências válidas, a amostra deve ser representativa da população. A
melhor maneira de se obter uma amostra representativa é empregar um procedimento aleatório para
a seleção dos indivíduos.
Uma vantagem de se usarem amostras aleatórias é que, para este tipo de amostras, existem
inúmeros métodos estatísticos que poderão auxiliar o pesquisador. Além disto, tal tipo de amostragem
não dá oportunidade ao pesquisador de escolher, mesmo de forma inconsciente, uma amostra que
favoreça a hipótese que ele gostaria de ver confirmada.
8.1 Amostragem vs Censo
Quando estudamos todos os elementos de uma população, estamos realizando o que denominamos
censo. O IBGE, por exemplo, realiza periodicamente (de dez em dez anos) o censo relativo a inúmeras
características do Brasil; obtém dados a respeito da saúde, ensino, habitação, produção vegetal e
animal, prestação de serviços, etc., em todo o território nacional, pesquisando todos os elementos da
população.
O censo, porém, nem sempre pode ou deve ser utilizado, devido à impossibilidade de estudar a
população, por apresentar pouca precisão e em razão de seu custo econômico.
Custo Reduzido
Sendo os dados obtidos apenas de uma fração da população, as despesas são menores do que as
oriundas de um censo. Tratando-se de grandes populações, pode-se obter resultados suficientemente
precisos, para serem úteis, de amostras que representam apenas uma pequena fração da população.
Segundo COCHRAN (1977), nos Estados Unidos, os mais importantes levantamentos periódicos,
realizados pelo governo, usavam amostras de cerca de 100.000 pessoas, ou, aproximadamente uma
pessoa em cada 1800.
Maior Rapidez
Os dados podem ser apurados e sintetizados mais rapidamente em uma amostragem do que
em uma contagem completa. Este é um fator primordial, quando se necessita urgentemente das
informações. O objetivo de uma investigação é o de conhecer a situação de um determinado fenômeno,
no momento da coleta da informação, para que de acordo com a informação obtida, se possam tomar
as medidas possíveis para resolver algum problema. Se o resultado dessa pesquisa for conhecido
muito tempo depois, é bem possível que a situação que se pretendia resolver, seja nesse momento,
completamente diferente da que existia no momento da coleta dos dados.
48
8.1. AMOSTRAGEM VS CENSO CAPÍTULO 8. AMOSTRAGEM
Maior Amplitude e Flexibilidade
Em certos tipos de investigação, tem-se que utilizar pessoal bem treinado e equipamento altamente
especializado, cuja disponibilidade é limitada para a obtenção de dados. O censo completo torna-se
impraticável e resta a escolha entre obter as informações por meio de uma amostra, ou não consegui-
las de todo. Dessa forma, os levantamentos que se fundamentam na amostragem tem maior amplitude
e flexibilidade.
Maior Exatidão
Em virtude de se poder empregar pessoal de melhor qualidade e intensivamente treinado, e por
se tornar exeqüível a supervisão mais cuidadosa do campo de trabalho e do processamento de dados,
dada a redução no volume de trabalho, portanto, uma amostragem pode, na realidade, proporcionar
resultados mais exatos que o censo.
Não Destruição da População
Pode ser impraticável investigar toda a população em determinados procedimentos de controle de
qualidade. Por exemplo, se quisermos verificar a qualidade de uma marca de fósforos, necessitaremos
riscá-los a fim de verificar o seu funcionamento. Se inspecionarmos toda a população de fósforos,
riscando-os, acabaremos com a população, pois o processo de aferição da qualidade do fósforo o
destrói. Novamente, o estudo da população torna-se impraticável.
Representatividade da Amostra
Para que as conclusões da teoria de amostragem sejam válidas, as amostras devem ser escolhidas
de modo a serem representativas da população. Isso significa que a amostra deve possuir as mesmas
características básicas da população, no que diz respeito a (s) variável (eis) que desejamos estudar.
Um plano de amostragem deve ser formulado para garantir a representatividade.
Alguns procedimentos básicos para a obtenção de amostras aleatórias são apresentados a seguir:
49
8.2. AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA CAPÍTULO 8. AMOSTRAGEM8.2 Amostragem Probabilística
Note-se bem que o termo probabilístico se aplica a amostra escolhida de forma aleatória. Por
envolver o sorteio, a seleção independe do pesquisador e elimina-se a possível tendenciosidade do
mesmo. As amostragens probabilísticas geram amostras probabilísticas e os resultados podem ser
projetáveis para a população total
8.2.1 Amostragem Aleatória Simples
Uma amostra aleatória simples é aquela obtida de tal modo que todos os indivíduos da população
têm igual probabilidade de serem selecionados.
Para se obter uma amostra aleatória simples, atribui-se, inicialmente, um número a cada elemento
da população. A seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer (sorteio), seleciona-se a quan-
tidade desejada de indivíduos. Um procedimento aleatório a ser utilizado pode ser colocar em uma
urna todos os números que serão submetidos ao sorteio, retirando depois alguns à s cegas. Pode-se
ainda usar os números de loteria sorteados nos últimos anos, ou uma tabela de números aleatórios,
ou ainda programas de computador para selecionar aleatoriamente os componentes da amostra.
Um ponto importante a salientar é que, usando este procedimento, nenhum indivíduo, por ter
esta ou aquela característica, terá oportunidade maior de ser escolhido, pois a escolha independe da
vontade do selecionador da amostra.
Podemos realizar uma amostragem aleatória simples através do programa Bioestat, vejamos um
exemplo:
Exemplo: Um hospital precisa selecionar uma amostra contendo 5 de seus enfermeiros. Os nomes
de todos os enfermeiros do hospital são mostrados a seguir:
População: Lista dos enfermeiros do hospital.
Aristóteles Anastácia Arnaldo Bartolomeu Bernardino Cardoso Carlito
Cláudio Ermílio Ercílio Ernestino Endevaldo Francisco Felício
Fabrício Geraldo Gabriel Getúlio Hiraldo João Joana
Joaquim José Josefina Mauro Paula Paulo
Primeiro precisamos associar cada elemento da população a um número. Por simplicidade, con-
sideraremos números inteiros sucessivos, com a mesma quantidade de algarismos, iniciando-se por 1
(um).
Numeração dos elementos da população:
População: Lista dos enfermeiros do hospital.
01.Aristóteles 02.Anastácia 03.Arnaldo 04.Bartolomeu 05.Bernardino 06.Cardoso
07.Carlito 08.Cláudio 09.Ermílio 10.Ercílio 11.Ernestino 12.Endevaldo
13.Francisco 14.Felício 15.Fabrício 16.Geraldo 17.Gabriel 18.Getúlio
19.Hiraldo 20.João 21.Joana 22.Joaquim 23.José 24.Josefina
25.Mauro 26.Paula 27.Paulo
Para extrairmos uma amostra aleatória simples de tamanho n = 5, precisamos sortear 5 números
dentre os N = 27 disponíveis.
No Bioestat: Estatísticas > Amostragem > Aleatória > Sem Reposição
Com isto obtemos a janela abaixo, onde inserimos os valores N = 27 e n = 5:
50
8.2. AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA CAPÍTULO 8. AMOSTRAGEM
Em seguida, clicamos em "Executar"e teremos uma janela semelhante a esta:
Os números sorteados pelo Bioestat foram: 1-2-10-11-24
Estes números correspondem aos enfermeiros: Aristóteles - Anastácia - Ercílio - Ernestino - Jose-
fina, que são os 5 enfermeiros que irão compor a amostra.
8.2.2 Amostragem Aleatória Estratificada
Às vezes, a população é constituída de subpopulações ou estratos e pode ser razoável supor que a
variável de interesse apresenta comportamento diferente em cada estrato. Neste caso, para que uma
amostra seja representativa, ela deve apresentar a mesma estratificação do universo de origem. Para
garantir que o procedimento aleatório produza uma amostra estratificada adequada, devemos:
1. Verificar quais os estratos presentes na população.
2. Calcular seus tamanhos relativos (proporções).
3. Determinar o tamanho dos estratos na amostra, observando estas mesmas proporções.
4. Obter aleatoriamente os elementos para cada estrato, ou sorteando dentro de cada estrato, ou
sorteando dentro da população e preenchendo os espaços reservados para cada estrato.
Exemplo: Deseja-se avaliar o número médio de cáries em escolares de 8 anos de certa escola.
Como parece razoável supor que esta variável depende do nível socioeconômico da criança, o
procedimento de amostragem escolhido é o de amostragem por estratos. Para tanto:
1. Verificamos, inicialmente, quais os níveis socioeconômicos existentes nessa escola (suponha que
sejam três: A, B e C).
2. Avaliamos a participação relativa de cada um, por exemplo, o nível A abrange 3% da população,
o nível B, 22% e o C, 75%.
3. Determinamos então que, para uma amostra de 120 crianças, quatro deverão ser do nível A
(pois 3% de 120 é 3,6), 26 do nível B e 90 do C.
4. Sorteamos, aleatoriamente, quatro dentre as crianças do nível A, 26 do B e 90 do C. Ou então
realizamos o sorteio diretamente do total de crianças da escola e preenchemos as subamostras
conforme os indivíduos vão sendo selecionados. Caso seja sorteado um número que corresponda
a um aluno A e já tenham sido selecionadas quatro crianças para este estrato, o número é
desprezado e o sorteio prossegue.
51
8.2. AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA CAPÍTULO 8. AMOSTRAGEM
Para podermos utilizar o Bioestat, precisamos do total de elementos da população, veja outro
exemplo:
Exemplo: Uma equipe de nutricionistas atende a uma população de 460 pessoas distribuídas nas
classes A, B e C, sendo 40 pessoas na classe A, 120 na B e 300 na C. A equipe quer saber se existem
diferenças nutricionais entre as classes desta população, para isto, pretende selecionar uma amostra
com 50 pessoas, como proceder?
No Bioestat: Estatísticas > Amostragem > Estratificada
Esta janela contém o número de estratos que dividem a população, o total de elementos da
amostra e a quantidade de elementos da população em cada estrato. Ao clicar em "Executar"surge
uma janela semelhante a que segue:
Esta janela contém o tamanho da amostra proporcional a cada estrato e os elementos sorteados
em cada estrato.
Perceba que o número 17 está no estrato 1 e no estrato 2, isto indica que para os elementos do
estrato 1 foram atribuídos números de 1 a 40, para o estrato 2 foram atribuídos números de 1 a 120
e números de 1 a 300 para o estrato 3.
Note também que existe uma barra de rolagem à direita da janela. Não esqueça de descer esta
barra para ver o restante dos elementos sorteados.
8.2.3 Amostragem Aleatória Sistemática
Se os elementos da população estão ordenados de alguma maneira (em listas, filas, prateleiras,
linhas de produção), é possível realizar uma amostragem sistemática, a qual é feita do seguinte modo:
52
8.2. AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA CAPÍTULO 8. AMOSTRAGEM
1. Escolhe-se uma constante conveniente;
2. Sorteia-se o primeiro indivíduo;
3. Evitam-se tantos indivíduos quantos forem indicados pela constante e toma-se o indivíduo se-
guinte;
4. Repete-se o processo a partir do segundo passo até obter o tamanho amostral desejado.
Exemplo: Em um hospital há 10 mil fichas de pacientes. Deseja-se uma amostra de 500 pacientes,
isto é, 5% ou um a cada 20 indivíduos da população. O ponto de partida será uma ficha selecionada
aleatoriamente dentre as primeiras 20, por exemplo, a de número 9. A próxima a ser retirada será a
29
a
, a seguinte a 49
a
, etc.
Vejamos um outro exemplo, agora aplicado ao Bioestat:
Exemplo: Uma clínica deseja conhecer melhor o perfil de seus pacientes, para isto, precisa retirar
uma amostra de 15 pacientes dentre os 100 que vão à clínica diariamente. Como neste estudo, é
importante a ordem de chegada dos pacientes, a clínica resolveu fazer uma amostragem sistemática.
Conduza esta amostragem com o auxílio do Bioestat.
No Bioestat: Estatísticas > Amostragem > Sistemática
Na imagem acima temos o tamanho da população e o da amostra, ao clicarmos em Executar,
obtemos uma janela parecida com a seguinte:
Perceba que os 100 elementos da população foram separados em grupos de 7 elementos (intervalosistemático), no primeiro grupo foi sorteado o 5
o
elemento, no segundo grupo o 12
o
(5 + 7) e assim
sucessivamente, até o último grupo onde foi sorteado o 98
o
elemento.
8.2.4 Amostragem Aleatória por Conglomerados
Se a população apresenta-se subdividida em pequenos grupos ou conglomerados, é muitas vezes
conveniente a realização da amostragem diretamente nos conglomerados, do seguinte modo:
1. Identificam-se os conglomerados por meio de números de ordem.
53
8.3. AMOSTRAGEM NÃO-PROBABILÍSTICA: CAPÍTULO 8. AMOSTRAGEM
2. Sorteiam-se os conglomerados.
3. Analisam-se todos os indivíduos pertencentes aos conglomerados sorteados.
Exemplo: Epidemiologistas desejam fazer uma pesquisa em uma vila. A vila possui 10 quarteirões.
Em cada quarteirão, estima-se que existam 20 casas. Deseja-se sortear 40 casas de 4 quarteirões para
o estudo. Use o Bioestat para realizar esta amostragem.
No Bioestat:
Estatísticas > Amostragem > Conglomerados
Como o sorteio se dará tanto nos quarteirões quanto nas casas, temos dois conglomerados (está-
gios). O Bioestat permite que os conglomerados tenham nomes próprios. Em seguida, completamos
a coluna "N
o
de unidades do estágio"com a quantidade de elementos de cada estágio e na coluna
"N
o
de unidades para sorteio"entramos com a quantidade de elementos da amostra de cada um dos
estágios.
Ao clicarmos em "Executar"obtemos uma janela semelhante a que segue:
O Bioestat numerou os elementos do segundo estágio (casas) de 1 a 20, e numerou os elementos
do primeiro estágio (quarteirões) de 1 a 10. Em seguida, sorteou 4 quarteirões (neste caso o 10 - 9 -
7 - 3) e em seguida sorteou 10 casas dentro de cada um destes quarteirões, obtendo um total de 40
casas amostradas.
8.3 Amostragem Não-Probabilística:
Nos métodos não-probabilísticos, não temos conhecimento da probabilidade de escolha de deter-
minado elemento da amostra. Nesse caso, a seleção não utiliza o sorteio, o que acarreta na sua
54
8.4. EXERCÍCIOS NO BIOESTAT CAPÍTULO 8. AMOSTRAGEM
subjetividade e a influência do pesquisador sobre que elementos da população farão parte da amostra.
os resultados não podem ser generalizados.
� Inacessibilidade a toda a população: quando a amostra é retirada na parte da população que
nos é acessível. Surge aqui uma distinção entre população objeto e população amostrada. A
população objeto é aquela que temos em mente ao realizar o trabalho estatístico. Apenas uma
parte dessa população, porém, está acessível para que dele retiremos a amostra. Essa parte é a
população amostrada.
Exemplo: Controle de qualidade numa linha de produção de cigarros. Só tem-se acesso aos
cigarros que já estão prontos, embora os que ainda serão produzidos fazem parte da população
de cigarros produzidos por aquela linha produção.
� Amostragem a esmo ou sem norma: É a amostragem onde o amostrador, para simplificar
o processo, procura ser aleatório, sem realizar propriamente o sorteio, usando algum dispositivo
aleatório.
Exemplo: Amostrar 80 frangos num galpão com 3000 frangos, amostrar peixes em um lago,
pessoas em uma praia, etc.
� População formada por material contínuo: Nesse caso é impossível realizar amostragem
probabilística devido à impraticabilidade de um sorteio rigoroso.
Exemplo: Processo utilizado para se amostrar líquidos, gases ou sólidos. Homogeniza-se o
material a ser amostrado e em seguida colhe-se a amostra.
� Amostragem intencional: é aquela em que o amostrador deliberadamente escolhe certos ele-
mentos para pertencer à amostra, por julgar tais elementos bem representativos da população.
Exemplo: Pesquisa de mercado para lançar uma nova marca de leite longa vida tipo A. O
pesquisador selecionará indivíduos com poder aquisitivo médio/alto, que são os principais con-
sumidores deste produto (público alvo), embora toda a população independentemente do poder
aquisitivo possa ser consumidora deste produto.
8.4 Exercícios no Bioestat
1. Se uma população se encontra dividida em quatro estratos, com tamanhos N
1
= 90, N
2
= 120,
N
3
= 60 e N
4
= 480 e temos possibilidade de retirar 100 amostras, quantas amostras devem
ser retiradas de cada estrato?
2. Numa sala de aula temos 36 homens e 28 mulheres. Faça uma amostragem estratificada
proporcional de tamanho 16 considerando o sexo como variável estratificadora. Quantos de
cada sexo serão analisados?
3. De uma população de 2.500 funcionários de uma empresa composta por 1700 funcionários do
sexo feminino e 800 do sexo masculino, deseja-se usar a técnica da amostragem proporcional
estratificada para se analisar uma amostra de 5% num estudo com o objetivo de se estimar
o salário médio. Os estratos são em relação ao sexo dos funcionários. Calcule o tamanho da
amostra para cada estrato.
4. Os alunos de uma escola foram selecionados por faixas etárias, em cinco grupos diferentes, com
quantidades, respectivamente, de N
1
= 70, N
2
= 90, N
3
= 80, N
4
= 50, N
5
= 10. Sabendo que
ao ser realizada uma amostragem estratificada proporcional, 12 elementos da amostra foram
retirados do terceiro estrato, (considere três casas depois da vírgula nos arredondamentos para
proporções) determine:
a) o número total de elementos da amostra;
b) o número de elementos retirados de cada estrato.
55
8.4. EXERCÍCIOS NO BIOESTAT CAPÍTULO 8. AMOSTRAGEM
5. Uma população é composta por 280 elementos que estão ordenados. Se devesse ser retirada
uma amostra sistemática de 20 elementos desta população, como você procederia?
6. Os prontuários dos pacientes de uma clínica estão organizados em um arquivo, por ordem
alfabética. Qual a maneira mais rápida de amostrar 1=5 do total de prontuários?
7. Analise as situações descritas abaixo e decida se a pesquisa deve ser feita por amostragem ou
por censo, justificando sua resposta.
(a) Numa linha de produção de empacotamento de remédio em uma indústria farmacêutica,
observar o peso especificado.
(b) Em uma sala de aula composta por 40 alunos, analisar suas idades.
(c) Observar se a água de uma lagoa está contaminada.
(d) Verificar a carga horária diária de trabalho dos funcionários do PA de Santa Maria.
8. Identifique o tipo de amostragem utilizado.
(a) Ao escalar um júri um tribunal de justiça decidiu selecionar aleatoriamente 4 pessoas bran-
cas, 3 morenas, e 4 negras.
(b) Um cabo eleitoral escreve o nome de cada senador do Brasil, em cartões separados, mistura
e extraí 10 nomes.
(c) Um administrador hospitalar faz uma pesquisa com as pessoas que estão na fila de espera
para serem atendidas pelo sistema SUS, entrevistando uma a cada 10 pessoas da fila.
(d) Um médico está interessado em obter informação sobre o número médio de vezes em que
1500 especialistas prescreveram certa droga no ano anterior (N = 1500). Deseja-se obter
uma amostra n = 100.
(e) Suponha que existem N = 100 fichas de pacientes das quais uma amostra aleatória de
n = 20 deve ser selecionada. Determine que fichas devem ser escolhidas na amostra de
tamanho n = 20. Diga que tipo de amostragem deve ser feita e como foram selecionadas
as fichas.
Questionário:
1. O que é amostra? Qual sua relação com população?
Amostra representa uma parcela extraída da população, são os elementos extraídos desta, sem
modificar as características essenciais da população, para representá-la em uma análise, daí a sua
relação com população.
2. O que significa teoria da amostragem?
A teoria da amostragem é o estudo das relações existentes entre uma dada população e as amostras
extraídas dela.
3. Qual a diferença entre amostras com e sem reposição?
Amostragem com reposição é aquela em que cada elemento de uma população pode ser escolhido
mais de uma vez, enquanto na amostragem sem reposição os elementos não podemser escolhidos
mais de uma vez.
4. Quanto e quais são os planos de amostragem probabilística existem?
Existem quatro planos de amostragem probabilística: aleatório, sistemático, estratificado e por
conglomerado.
5. Qual a diferença entre amostragem probabilística e amostragem não probabilística?
56
8.5. TAMANHO MÍNIMO DA AMOSTRA CAPÍTULO 8. AMOSTRAGEM
Amostragem probabilística é uma amostra no qual se conhece a probabilidade de todas as possíveis
combinações amostrais, esta é objetiva, enquanto na amostragem não probabilística a variabilidade
amostral não pode ser estabelecida com precisão.
6. O que representam amostras aleatórias?
Representa uma maneira de se adquirir uma amostra representativa, na qual cada elemento da
população tem a mesma chance de ser incluído na amostra.
7. Dentro do plano de amostragem probabilística, o que significa amostragem sistemática?
A amostragem sistemática é uma amostra que necessita de uma lista dos elementos da população
e onde a seleção dos elementos ocorre de forma sistemática e seqüencial.
8. O que significa amostra aleatória em relação à população discreta?
Para a população discreta, a amostra aleatória é aquela em que cada elemento da população tenha
a mesma chance de ser selecionado para a amostra.
9. Numa grande comunidade, deseja-se fazer uma pesquisa da porcentagem de pessoas que
contraíram uma doença muito contagiosa. Nesta situação, é preferível a utilização de um censo ou
amostragem?
Neste caso é preferível usar a amostragem, pois, tratando-se de uma grande população, analisar o
número de pessoas contagiadas levaria muito tempo, seria custoso e uma comunidade ao longo de sua
existência tende a se modificar, provocando a alteração da comunidade original, ou seja, nesse período
poderiam surgir diversas variáveis, como o alcance de um novo estágio da doença, alastramento e
diferentes atuações nas regiões que provocassem uma combinação de populações devido à propagação
da doença. Ou seja, as variáveis modificariam a população original, o que tornaria inválido o censo.
10. Diferencie o censo da amostragem e explique quais as vantagens e desvantagens da amostra-
gem.
O censo é um processo de inferência em que se analisam todos os elementos de uma população. A
amostragem é a análise de uma parte (amostra) do todo que seria a população. Uma das vantagens da
amostragem é que, dependendo do tipo de informação requerida, pode ser mais atualizada. Também
pode ser usada para testes destrutivos e população infinita. Como desvantagem, cita-se o perigo de
erro da generalização. A depender das características dos elementos da população analisada, pode
ocorrer a perda ou modificação das informações, tornando a amostra não representativa do todo.
8.5 Tamanho Mínimo da Amostra
É muito comum ao pesquisador indagar sobre o número de elementos para uma amostra, quando
pretende realizar uma pesquisa de campo, laboratório ou uma simples investigação.
Não existe número fixo para o tamanho da amostra a ser estudada. Há uma solução para cada
caso, dependendo:
1. Do tipo de problema que se quer resolver. Exemplos de problemas possíveis são: caracterizar
uma variável ainda não investigada na população; comparar duas populações quanto a uma
variável dada; verificar se duas variáveis estão associadas.
2. Do tipo de variável. Estudos envolvendo variáveis qualitativas geralmente exigem amostras
maiores. Dentre as variáveis quantitativas, as que apresentam maior variabilidade nos dados
também exigem amostras maiores.
3. Da magnitude do erro estatístico aceito pelo pesquisador. Quanto menos o pesquisador quer
errar em suas conclusões, maior deverá ser o tamanho da amostra.
4. Do tamanho da diferença considerada importante pelo pesquisador em uma comparação entre
grupos. Diferenças menores exigem amostras maiores.
57
8.5. TAMANHO MÍNIMO DA AMOSTRA CAPÍTULO 8. AMOSTRAGEM
5. Do poder desejado para o teste, isto é, da probabilidade de que a amostra identifique uma
diferença ou um efeito real.
6. Do tempo, verbas e pessoal disponíveis, bem como da dificuldade em se obterem os dados e da
complexidade do experimento.
Tamanho Mínimo da Amostra para a Estimação da Média Populacional
Trabalhamos com dois casos, quando o tamanho da população for conhecido e quando não for
conhecido.
Para realizar os cálculos, usaremos a planilha "Siqueira Campos"do Excel disponível em www.
siqueiracampos.com/downloads.
Exemplos:
1. Deseja-se estimar a média da glicemia em pessoas normais, admitindo um erro máximo de 2
mg/100ml para mais ou para menos e sabendo que o desvio padrão populacional deve estar
em torno de 4 mg/100ml. Vamos admitir 99% de confiança. Quantas pessoas devemos tomar
como amostra?
Solução: Perceba que neste exemplos não temos o tamanho da população.
Assim, precisaremos tomar 27 pessoas como amostra para que tenhamos 99% de chances de
que a média da glicemia varie entre -2 mg/100ml e +2 mg/100ml.
2. Com o objetivo de estudar a variação do peso de um determinado produto, é preciso coletar
uma amostra a partir de uma população de 600 peças. Sabe-se que o produto possui um desvio
padrão entre as peças de 10kg. Admitindo um nível de confiança de 95% e um erro amostral
de 1,5 kg, determine quantas amostras deverão ser analisadas.
Solução: Neste exemplo temos o tamanho da população.
58
8.5. TAMANHO MÍNIMO DA AMOSTRA CAPÍTULO 8. AMOSTRAGEM
Assim, para termos 95% de chances que o peso do produto varie em 1,5 kg para mais ou para
menos, precisaremos medir 134 produtos na amostra.
Obs.: Veja que para estes exemplos sempre contamos com o desvio padrão da população. Quando
não tivermos esta informação podemos substituir o valor do desvio padrão populacional pelo desvio pa-
drão obtido a partir de uma pré-amostra, tendo o cuidado de que esta estimativa seja apropriadamente
calculada.
Tamanho Mínimo da Amostra para a Estimação da Proporção Populacional
Exemplos:
1. Qual deve ser o tamanho da amostra para que possamos estimar a porcentagem de pessoas
portadoras de problemas de visão em uma determinada cidade, de modo que o intervalo entre
os valores estimados não exceda 2% para um nível de confiança de 95%, sabendo que esta
porcentagem deve estar em torno de 40%?
Solução:
59
8.5. TAMANHO MÍNIMO DA AMOSTRA CAPÍTULO 8. AMOSTRAGEM
Assim, para que a pesquisa levante uma amostra com 95% de chance de conter uma variação
na proporção de no máximo 2%, precisamos de 2305 elementos amostrados.
2. Um enfermeiro pretende estimar a proporção de retornos ao hospital após certo tempo de um
grupo de 500 pacientes. Para isto, selecionou, ao acaso 50 pacientes e verificou que 20 deles
retornou ao hospital no tempo de estudo (pré-amostra). Determinar o tamanho da amostra
necessário para se estimar a taxa de retorno sobre toda a população, com um nível de confiança
de 90% e erro máximo de 5%.
60
8.6. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 8. AMOSTRAGEM
Assim, será preciso amostrar 172 pessoas do universo de 500 pessoas para que se tenha uma
chance de 90% de se obter uma variação de 5% na proporção de retorno ao hospital.
8.6 Exercícios
Use a planilha Siqueira Campos.
Não esqueça de escrever a frase de interpretação e colocá-la após o print dos cálculos.
1. Se quer a proporção de moradores de uma comunidade com idade superior a 40 anos que sofrem
de dores de coluna com precisão de �4%(erro = 4%). Quantos moradores se devem entrevistar
para obter essa precisão com 95% de confiança. A comunidade tem 1500 pessoas com idade
maior que 40 anos. Resp.: 430
2. Verificar quantos dos 100 empregados de uma cantina cumprem corretamente as normas de
higiene e segurança do trabalho. Presume-se que esse n
o
não seja superior a 30% do total;
deseja-se um nível de confiança de 95% e tolera-se um erro até 3%. Se a populaçãofosse de
10000 qual seria o tamanho da amostra? Resp.: 90 e 824
3. Determinado trabalho, realizado para investigar a prevalência de hanseníase em trabalhadores
rurais, apresentou um valor igual a 22%. Para estimar o tamanho da amostra para novo projeto
sobre hanseníase, desejamos um nível de confiança de 95% e erro de amostragem de 5%.
Determine n, o tamanho da amostra necessária para uma população de tamanho N = 100.000.
Resp.: 264
Cuidados com a escolha da amostra
Com o que foi visto sobre amostragem até agora, destacamos alguns cuidados a serem tomados:
� Imparcialidade: todos os elementos devem ter a mesma probabilidade e oportunidades de serem
escolhidos.
� Representatividade: deve conter em proporção todas as características que a população possui,
qualitativa e quantitativamente, de modo a que não se torne tendenciosa.
� Tamanho: suficientemente grande de modo a fornecer as principais características, por outro
lado pequena para economizar tempo, dinheiro e pessoal.
8.7 Leitura Complementar
O tamanho da amostra
Uma pergunta muito frequente em estudos na área da saúde é �qual deve ser o tamanho da minha
amostra?�. Esta é uma questão delicada e muitas vezes polêmica. Considere o seguinte exemplo: se
nos fosse perguntado �quanto de dinheiro preciso levar para as minhas férias?� a resposta imediata
seria �depende�. Depende do lugar que deseja ir, quanto tempo pretende ficar, quantas pessoas, qual
o meio de transporte e, é claro, entre outros detalhes, qual o dinheiro disponível. Da mesma forma,
arbitrar um tamanho adequado de amostra envolve conhecimento da natureza das medidas realizadas,
do plano de análise, do nível de erro aceitável para estimativas etc.
Há com frequência uma ênfase excessiva ao cálculo do tamanho de amostra em detrimento da
concepção cuidadosa de um plano amostral, que são as estratégias a serem adotadas para garantir
que a amostra a ser estudada seja representativa do universo real do fenômeno a ser estudado.
Os vícios de seleção, de detecção, de exposição, de informação ou de memória não serão prevenidos
por qualquer definição de tamanho de amostra, mas sim por um plano amostral cuidadoso. O tamanho
da amostra vai depender da viabilidade de coleta de dados, que envolve principalmente tempo, custos e
disponibilidade de casos para serem estudados. Isto não significa que o cálculo de tamanho de amostra
seja dispensável. O que desejamos salientar aqui é que ele deve ser utilizado como planejamento, isto
61
8.8. TRABALHO 03 CAPÍTULO 8. AMOSTRAGEM
é, como parte de um estudo bem delineado onde ele não substitua o compromisso do investigador de
analisar a representatividade dos casos estudados, seja qual for o número a ser observado.
Uma das vantagens de se calcular corretamente o tamanho da amostra é a possibilidade de eco-
nomia. Por exemplo, um estudo bem planejado pode, a partir de uma amostra não muito grande,
obter as mesmas conclusões de um estudo que envolveu uma amostra muito maior por não ter sido
previamente planejado. Entretanto, o cálculo do tamanho da amostra não garante um resultado
significante. É conveniente planejar o tamanho da amostra para que se possa ter amostras grandes
o suficiente para detectar diferenças importantes (amostras muito pequenas podem deixar que dife-
renças importantes passem desapercebidas). Por outro lado, amostras exageradamente grande além
de elevar o custo do estudo, podem tornar diferenças clinicamente irrelevantes em estatisticamente
significativas.
Para o planejamento do tamanho da amostra o investigador precisa estabelecer algumas defini-
ções como: tipo de estudo que pretende realizar (ex. estudo de prevalência, ensaio clínico, coorte,
caso-controle); o tipo de medida que deve utilizar (ex. medidas contínuas, categorizadas, prevalência,
incidência); o tipo de análise (ex. diferenças entre médias, diferença entre proporções, cálculo de
risco); a margem de erro que pode assumir para o estudo (ex. o nível de significância e o poder do
teste estatístico que pretende aplicar). Estes conceitos podem ser mais bem esclarecidos na home-
page do Laboratório de Epidemiologia e Estatística (www.lee.dante.br) que apresenta um serviço que
calcula tamanhos de amostra para alguns dos desenhos de pesquisa médica/biológica mais frequentes,
além de oferecer textos de apoio para compreensão de cada item envolvido no cálculo e referências
bibliográficas para orientarem interessados num estudo autônomo.
8.8 Trabalho 03
Instruções:
� As questões deverão ser respondidas no Word ;
� O nome do arquivo deve conter o seu nome e o nome do curso, por exemplo: RodrigoMatema-
tica;
� O arquivo deve ser enviado para o e-mail rodrigopereira@unifra.br
� O assunto do email será Trabalho 03.
� Utilize o seu email da Unifra (acesse-o através do Alunonet).
1. Temos uma população de 250 pacientes. Explique como será feita a escolha da amostra utili-
zando uma amostragem:
a) Aleatória de tamanho 50.
b) Sistemática de tamanho 50.
c) Estratificada de tamanho 50 sendo a variável estratificadora o sexo (temos 150 masculinos e
100 femininos).
2. A hemoglobina, importante pigmento transportador de oxigênio e C0
2
, é um tetrâmero composto
de duas cadeias � e duas �. A �-talassemia é uma anemia hereditária causada pela diminuição
parcial ou total da síntese da cadeia � da hemoglobina. Suponha que certo pesquisador deseja
saber qual a média para a contagem de eritrócitos (por mm
3
de sangue) em crianças com �-
talassemia. Quantas crianças ele deve estudar para obter tal estimativa, considerando que a
literatura traz um desvio padrão para a contagem de eritrócitos de 0,6 milhões/mm
3
e que foi
escolhido um nível de 95% de confiança.
3. Um assistente social deseja saber o tamanho da amostra (n) necessário para determinar a
proporção da população atendida por uma Unidade de Saúde, que pertence ao município de
62
8.8. TRABALHO 03 CAPÍTULO 8. AMOSTRAGEM
Cariacica. Não foi feito um levantamento prévio da proporção amostral e, portanto, seu valor é
desconhecido. Ela quer ter 90% de confiança que o erro máximo de estimativa seja de �5% (ou
0,05). Quantas pessoas necessitam ser entrevistadas? (Lembre-se que se não há uma proporção
já estabelecida, usa-se uma aproximação de 50%
63
Parte IV
Estatística Inferencial
com Bioestat
64
Em termos estatísticos, inferir significa tirar conclusões do todo apenas observando a parte. Fa-
zemos isto no nosso dia-a-dia mesmo sem nos darmos conta, basta ver como se faz para verificarmos
o sal da comida que estamos preparando ou como decidimos comprar uma dúzia de laranjas depois de
experimentarmos um pedaço de uma delas, estas são decisões baseadas em amostras.
A inferência estatística é um ramo da estatística cujo objetivo é fazer afirmações a partir de um
conjunto de valores representativo (amostra) sobre um universo. �A inferência estatística é geralmente
distinta da estatística descritiva, pois descrição estatística pode ser vista como a simples apresentação
dos fatos, nos quais o modelo de decisões feito pelo analista tem pouca influência� (Magalhães
1
)
1
Marcos Magalhães, do Departamento de Estatística (MAE) do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade
de São Paulo (IME-USP)
65
Capítulo 9
Probabilidade
Quando conhecemos todos os valores de uma variável aleatória juntamente com suas respectivas
probabilidades, temos uma distribuição de probabilidades.
A distribuição de probabilidades associa uma probabilidade a cada resultado numérico de um ex-
perimento, ou seja, dá a probabilidade de cada valor de uma variável aleatória. Por exemplo, no
lançamento de um dado cada face tem a mesma probabilidade de ocorrência que é 1/6.
Como os valores das distribuições de probabilidades são probabilidades,e como as variáveis ale-
atórias devem tomar um de seus valores, temos as duas regras a seguir que se aplicam a qualquer
distribuição de probabilidades:
1. A soma de todos os valores de uma distribuição de probabilidades deve ser igual a 1.
2. A probabilidade de ocorrência de um evento deve ser maior do que zero e menor do que 1.
Exemplo: No lançamento de um dado, como todas as faces têm a mesma probabilidade de
ocorrência que é 1/6 ao somá-las obtemos o valor 1, que corresponde a primeira regra citada acima.
O valor 1/6 é maior do que zero e menor do que 1, assim satisfaz a segunda regra acima.
A distribuição de probabilidades pode ser representada por um histograma de probabilidades. Este
se assemelha ao histograma de freqüências apresentado na Parte I, entretanto a escala vertical repre-
senta probabilidades, em lugar das freqüências relativas.
O histograma de probabilidades nos permite visualizar a forma da distribuição. A média, a variância
e o desvio-padrão traduzem outras características.
Ao calcularmos a média de uma distribuição de probabilidades, obtemos o valor médio que espe-
raríamos ter se pudéssemos repetir as provas indefinitivamente. Não obtemos o valor que esperamos
ocorrer com maior frequência.
Já o desvio-padrão nos dá uma medida de quanto a distribuição de probabilidades se dispersa em
torna da média. Um grande desvio-padrão reflete dispersão considerável, enquanto que um desvio-
padrão menor traduz menor variabilidade, com valores relativamente mais próximos da média.
A média de uma variável aleatória discreta é o resultado médio teórico de um número infinito de
provas. Podemos encarar essa média como o valor esperado no sentido de que é o valor médio que
esperaríamos obter se as provas se prolongassem indefinitivamente.
Exemplo: Na tabela abaixo são fornecidas as probabilidades de ocorrências de um determinado
evento.
Probabilidade de ocorrência de cada evento x.
66
9.1. INTERPRETAÇÕES DA PROBABILIDADE CAPÍTULO 9. PROBABILIDADE
X P(x)
0 0,210
1 0,367
2 0,275
3 0,115
4 0,029
5 0,004
6 0
7 0
Total 1,000
Abaixo vemos o histograma de probabilidades:
As distribuições de frequências construídas a partir de observações podem ser representadas através
de formas matemáticas. Então, as formas matemáticas utilizadas para a idealização dos dados reais
são referidas como distribuições teóricas.
As distribuições teóricas representam os dados aproximadamente, embora em muitos casos a
aproximação pode ser muito boa.
Uma distribuição teórica é um modelo matemático. A natureza específica de uma distribuição
teórica é determinada por valores particulares através de uma entidade chamada parâmetros da dis-
tribuição. As distribuições teóricas também são chamadas de distribuições paramétricas, porque seus
atributos específicos dependem dos valores numéricos de seus parâmetros.
9.1 Interpretações da Probabilidade
Exatamente, o que é probabilidade? Eis uma questão difícil (e, por vezes, controvertida).
Consideremos a afirmação: se jogamos uma moeda, há uma probabilidade de 1/2 de aparecer cara.
Determinar exatamente o que essa afirmação significa é uma questão filosófica difícil. De acordo com
a interpretação da probabilidade como frequência relativa, a afirmação significa que o número de caras
estará próximo de 1/2 do total de jogadas, desde que joguemos a moeda um grande número de vezes.
Há alguns eventos para os quais a interpretação como frequência relativa é difícil. O meteorologista
costuma dizer: há 20% de chance de chover hoje. Entretanto, não podemos fazer o hoje repetir-se
100 vezes para verificar se chove em 20% das vezes.
67
9.2. A INTERPRETAÇÃO DA PROBABILIDADE SEGUNDO O JOGADORCAPÍTULO 9. PROBABILIDADE
A interpretação subjetiva da probabilidade afirma que a probabilidade é uma estimativa do que
um indivíduo pensa que seja a viabilidade de ocorrência de um evento. Nesse caso, dois indivíduos
podem estimar diferentemente uma probabilidade. A interpretação subjetiva possibilita falar signifi-
cativamente sobre as probabilidades de uma classe mais ampla de eventos, mas as probabilidades se
tornam mais intangíveis porque não podemos especificar objetivamente o que elas são.
9.2 A Interpretação da Probabilidade Segundo o Jogador
Outra perspectiva da probabilidade é a visão do jogador (recorde que a matemática probabilística
primitiva foi estabelecida por jogadores): a probabilidade de um evento pode ser definida como a chance
que deveríamos oferecer a alguém antes de ele apostar na ocorrência de um evento. Por exemplo,
se uma pessoa está querendo apostar com chances iguais (ganhar ou perder a mesma quantia) que
vai chover amanhã, ela deve acreditar, talvez inconscientemente, que há ao menos 50% de chance de
chover amanhã. Se alguém quer apostar R$ 10 em uma partida de tênis, mas só se tiver chance de
ganhar R$ 30, então ela crê que tem 1 em 4 chances de ganhar e 3 em 4 chances de perder.
O modo como o jogador encara a probabilidade é intuitivo, mas a intuição da maioria das pessoas
é inconsistente.
Na abordagem matemática, ou axiomática, da probabilidade, o termo probabilidade permanece
sem definição. Formulam-se algumas hipóteses (axiomas) sobre o comportamento da probabilidade.
Essas hipóteses seguem nossa ideia intuitiva do que a probabilidade significa, e são então utilizadas
para demonstrar teoremas.
9.3 Probabilidade de Ocorrência de Um Evento
Na abordagem clássica da probabilidade, a definição formal da probabilidade de um evento A é
dada pela divisão da quantidade de resultados do evento A pela quantidade total de resultados.
P (A) =
N(A)
n
onde N(A) é a quantidade de vezes que o evento A ocorre e n é o número total de resultados
possíveis.
9.4 Probabilidade Condicional
Como vimos, ao lidar com eventos aleatórios, estamos quase sempre no escuro quanto ao que
pode acontecer. Não obstante, à s vezes podemos obter alguma informação sobre a ocorrência de um
evento aleatório ser mais, ou menos, viável.
Suponha-se, por exemplo, que queiramos saber a probabilidade de obter o total 8 na jogada de dois
dados. Essa probabilidade é 5/36. Entretanto, jogando um dos dados primeiro, teremos uma ideia
melhor da possibilidade de obter 8. Se, por exemplo, obtemos um 5 com o primeiro dado, precisamos
de um 3 no segundo, e a probabilidade desse resultado é 1/6. Portanto, se o primeiro dado acusou
5, nossa chance de obter o total 8 melhorou de 5/36 para 1/6.
Por outro lado, suponhamos que o primeiro dado tenha apresentado a face 1. Então, não há como
obtermos o total 8, qualquer que seja o resultado do segundo dado. Por conseguinte, a probabilidade
de obtermos a soma 8, quando obtivemos 1 com o primeiro dado, é zero.
Suponhamos, ainda, que estejamos interessados na probabilidade de obter quatro caras em sequên-
cia. A probabilidade desse evento é 1/16. Mas, se já tivermos jogado a moeda duas vezes, conseguindo
cara em ambas as jogadas, a probabilidade de sair cara mais duas vezes e 1/4. Por outro lado, se
jogamos a moeda duas vezes e aparece cara primeiro e coroa em seguida, não há possibilidade de
ocorrer uma sequência de quatro caras.
Todas as situações acima são exemplos de probabilidade condicional. Uma probabilidade condi-
cional nos diz a possibilidade de ocorrência de determinado evento, se já sabemos que outro evento
68
9.5. EVENTOS INDEPENDENTES CAPÍTULO 9. PROBABILIDADE
específico ocorreu. Em particular, suponha que o evento B tenha ocorrido; queremos determinar a
probabilidade de ocorrência do evento A. A probabilidade condicional de ocorrência de A, dado que B
ocorreu, se escreve:
P (AjB)
A barra vertical significa dado que.
9.5 Eventos Independentes
Como vimos, frequentemente o conhecimento da ocorrência de um evento auxilia na avaliação da
viabilidade de outro evento.Há, entretanto, alguns casos em que o conhecimento da ocorrência de
um evento nada nos diz sobre a possibilidade da ocorrência de outro. Suponhamos, por exemplo, que
o leitor saiba que uma família acaba de ter uma filha. Qual é a probabilidade de o próximo rebento
da mesma família ser também menina? Nesse caso, o conhecimento a respeito do último filho nada
nos diz quanto ao próximo.
Suponhamos que apareça um 3 na primeira jogada de um dado. Qual a probabilidade de aparecer
um 5 na próxima jogada? O fato de sabermos que apareceu 3 na primeira jogada nada nos diz a
respeito do resultado da próxima jogada. Nesse caso, chamando A o evento 3 na primeira jogada e
B o evento 5 na segunda jogada, P (A) = 1=6, P (B) = 1=6 e P (AjB) = 1=6, pois o fato de B ter
ocorrido não afeta a probabilidade de ocorrência de A.
Daremos um nome especial a essa situação: diremos que esses dois eventos são eventos inde-
pendentes. É uma expressão coerente, pois dois eventos independentes não afetam um ao outro.
O fato de sabermos que um dos eventos ocorreu nada nos diz sobre se o outro ocorrerá ou não.
A definição formal de independência é:
Os eventos A e B são independentes se P (AjB) = P (A).
Eis mais alguns exemplos de eventos independentes:
� A probabilidade de tirarmos dois pares em um jogo de cartas não é afetada pelo fato de termos
tirado dois pares em um jogo ontem.
� A probabilidade de tirar 4 na jogada de um dado não é afetada pelo fato de termos tirado cara,
ou coroa, na jogada de uma moeda.
Parâmetros e Estatísticas
É comum a confusão entre parâmetros da distribuição e estatísticas da amostra. Os parâme-
tros da distribuição são as características de uma distribuição teórica particular. Eles representam
sucintamente as propriedades fundamentais de uma população.
Já as estatísticas são quantidades calculadas a partir de uma amostra de dados.
9.6 Nível de Confiança e de Significância
O nível de confiança representa a probabilidade de acerto na estimativa, enquanto que o nível de
significância apresenta a eventual probabilidade de erro.
69
9.6. NÍVEL DE CONFIANÇA E DE SIGNIFICÂNCIA CAPÍTULO 9. PROBABILIDADE
Assim, se uma pesquisa na área da saúde detecta que 60% das pessoas analisadas estão infectadas
por uma determinada bactéria com uma margem de erro igual a 3% e um nível de confiança igual
a 95%, existem 95% de probabilidade das pessoas infectadas estarem entre 60% + 3%, ou 57% e
60% - 3%, ou 63%. Se o nível de significância da pesquisa é de 5%, existem 5% de chances de que
o número construído esteja errado. Em outras palavras, existe uma probabilidade igual a 5% de a
percentagem no universo ser menor que 57% ou maior que 63%.
Karl Pearson
70
Capítulo 10
Estimação de Parâmetros
Um dos objetivos da Estatística é a realização de inferências acerca de uma população, baseadas
nas informações amostrais. Como as populações são caracterizadas por medidas numéricas descritivas,
denominadas parâmetros, a inferência estatística diz respeito à realização de inferências sobre esses
parâmetros populacionais.
Os métodos de realizar inferências a respeito dos parâmetros pertencem a duas categorias. Pode-
se tomar decisões relativas ao valor do parâmetro, através de um teste de hipótese ou pode-se estimar
ou prever o valor do mesmo.
A estimação é o processo que consiste em utilizar dados amostrais para estimar os valores de
parâmetros populacionais desconhecidos. Qualquer característica de uma população pode ser estimada
a partir de uma amostra aleatória. Entre as mais comuns, estão a média e o desvio padrão de uma
população e a proporção populacional.
Parâmetros: valores calculados com dados da população (média da população, desvio padrão).
Estimativas: valores calculados com dados da amostra (média da amostra).
10.1 Estimativas pontuais e intervalares
Uma estimativa é chamada pontual quando se baseia em um único valor ou ponto. Por exemplo,
se a média da taxa de glicose de indivíduos diabéticos for estimada em 200 mg/100ml, esta estimativa
é pontual porque considera como possível um único valor para a média de todos os diabéticos. Embora
este tipo de estimativa seja muito precisa (aliás, tem precisão máxima), suas chances de ser verdadeira
são provavelmente nulas. Dessa forma, afirmativas desse tipo não são seguras.
O fato de as estimativas pontuais serem pouco confiáveis impõe a alternativa de definir um intervalo
de valores prováveis para a estimativa. Este tipo de procedimento acarreta no que se denomina
intervalo de confiança. O intervalo de confiança é, na verdade, uma consequência lógica da ideia,
esplanada anteriormente a respeito dos parâmetros populacionais serem desconhecidos. Se é assim,
qualquer noção que se tenha deles, representada por um conjunto de valores possíveis, não é 100%
segura, a não ser que se tome um intervalo infinito. Um exemplo de estimativa por intervalo seria
estimar que a taxa média de açúcar em diabéticos está entre 180 e 220 mg/100 ml, em um nível de
confiança de 90%.
10.2 Intervalo de Confiança para Média Populacional quando a Vari-
ância é Conhecida
Conhecendo a distribuição de x , podemos ser mais precisos sobre a validade da estimativa. Sabe-
mos que o verdadeiro valor de � deve estar próximo do valor de x � mas, quão próximo? x estará 1
unidade distante de �? Ou 50 unidades? É interessante conhecermos a probabilidade de a distância de
x a � ser inferior a um valor específico c . Em outras palavras, desejamos determinar a probabilidade
de � estar entre (x � c) e (x + c).
71
10.2. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA POPULACIONAL QUANDO A VARIÂNCIA É
CONHECIDA CAPÍTULO 10. ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
Obviamente, a probabilidade depende em grande parte do valor escolhido de c . Se escolhermos
um valor muito grande de c , podemos ter quase certeza de que o verdadeiro valor de � estará no
intervalo.
Fazendo, por exemplo, c infinito, a probabilidade de � estar no intervalo é 100%, pois, obviamente,
� deve estar entre (x�1) e (x+1). Mas um intervalo com essa amplitude não tem qualquer utilidade.
Reduzindo o intervalo mediante a escolha de um valor menor para c , podemos ser mais precisos sobre
o verdadeiro valor de �. Todavia, quando reduzimos o intervalo, também há maior chance de � não
estar no intervalo.
O procedimento estatístico normal é o seguinte. Primeiro, escolhemos a probabilidade desejada
� em outras palavras, fixamos antecipadamente a probabilidade de � estar no intervalo. É comum
fixarmos em 95% essa probabilidade. Calculamos, então, qual deve ser a amplitude do intervalo para
que haja 95% de chance de ele conter o verdadeiro valor. Esse tipo de intervalo é chamado intervalo
de confiança, e 95% é o nível de confiança.
Desta forma, precisamos determinar o valor de c que satisfaça a equação:
P (x � c < � < x + c) = 0; 95
Conhecido o valor de c, sabemos qual deve ser a amplitude do intervalo de confiança onde há 95%
de chance de encontrarmos o verdadeiro valor de �.
Um intervalo de confiança de 95% para um parâmetro populacional fornece um intervalo no qual
estaríamos 95% confiantes de cobertura do verdadeiro valor do parâmetro.
Tecnicamente, 95% de todos os intervalos de confiança que construímos conterão o verdadeiro
valor do parâmetro (dado que todas as suposições envolvidas estejam corretas). Ou ainda, se obtiver-
mos um intervalo de confiança para o parâmetro � teremos que para cada uma dentre 100 amostras
aleatórias da população, somente 5, em média, desses intervalos de confiança não conterão �.
O bom senso justifica duas características desse resultado. Primeiro, o intervalo de confiança é
mais amplo (isto é, mais incerto) se o desvio padrão (quadrado da variância) é maior. Se a variância
de cada observação individual é maior, então será mais difícil incluirmos o verdadeiro valor de �.
Segundo,o intervalo de confiança é menor se n é maior. Significa que, se fizermos um número cada
vez maior de observações, poderemos predizer com maior precisão o verdadeiro valor de �.
Se quisermos, poderemos ser ainda mais cautelosos. Suponha que queiramos ter 99% de certeza
de que nosso intervalo de confiança contenha o verdadeiro valor de �. Então, teremos de fixar um
intervalo mais amplo, menos preciso.
Exemplo: Uma pesquisadora do vício do fumo está interessada em estimar a idade média em
que os usuários de cigarros começam a fumar. Tomando uma amostra aleatória de 25 fumantes, ela
calcula uma média amostral de 16,8 anos e um desvio padrão amostral de 1,5 anos. Construa um
intervalo de 95% de confiança para estimar a idade média em que a população começa a fumar.
No Bioestat:
Estatísticas > Estimação de Parâmetros > Da Média
72
10.3. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÃOCAPÍTULO 10. ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
Assim, temos uma chance de 95% de a média de idade que os usuários de cigarros começam a
fumar estar entre 16,18 e 17,42 anos.
10.3 Intervalo de Confiança para Proporção
Os procedimentos que envolvem a estimativa de proporções populacionais a partir de dados amos-
trais são similares aos preocedimento empregados na estimação de médias populacionais.
A proporção amostral funciona como estimativa pontual da verdadeira proporção. Algebricamente,
a estimativa pontual pode ser apresentada como:
� = p =
x
n
Onde:
� é a proporção populacional ou verdadeira;
p é a proporção amostral;
x é a quantidade de elementos com a característica desejada na amostra;
n é a quantidade de elementos da amostra.
Exemplo: Uma indústria farmacêutica analisou uma amostra com 180 procedimentos onde 18
apresentaram falhas de algum tipo. Empregando um nível de confiança de 95%, pede-se calcular o
erro inferencial e estimar o valor da porcentagem de procedimentos que mostravam falhas no universo.
No Bioestat:
Estatísticas > Estimação de Parâmetros > Da Proporção
73
10.4. EXERCÍCIOS NO BIOESTAT CAPÍTULO 10. ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
Assim, pode-se dizer que, em relação ao universo, uma porcentagem entre 5,6% e 14,4% dos
procedimentos deve apresentar falhas de algum tipo.
Note o seguinte:
O valor c = 0; 044 é o erro inferencial.
10.4 Exercícios no Bioestat
1. Uma pesquisa com 1000 entrevistados, indica que 55% deles são favoráveis ao programa fome
zero. O prefeito e outros membros do governo desejam estar 95% certos que contam com o
apoio da maioria antes de prosseguir com o projeto. O IC de 95% garante que eles têm mais
de 50% de apoio? Resp: 51; 9% � � � 58; 1%
2. Uma pesquisa realizada junto aos 800 familiares dos pacientes internados em um hospital de
referência da região obteve-se uma proporção de 53% totalmente satisfeitos com o atendimento
em geral. O diretor quer saber qual o IC de satisfação da população atendida com 95%de
confiança.
Resp: 53% � 3,5%
3. A fim de determinar os pontos de vista dos estudantes de determinado campus sobre associações
estudantis, administrou-se uma escala de atitudes de 11 pontos a uma amostra aleatória de 40
estudantes. Essa pesquisa deu uma media amostral de 6 (quanto mais alto o escore, mais
favorável à s associações) e um desvio padrão de 1,5.
74
10.4. EXERCÍCIOS NO BIOESTAT CAPÍTULO 10. ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
a) Estime o erro padrão da média(95%). Resp: erro = 0,48
b) Determine o intervalo de 95% de confiança para a média populacional. Resp: 6 � 0,46
c) Determine o intervalo de 99% de confiança para a média populacional. Resp: 6 � 0,6
4. Uma organização de pesquisa entrevistou, por telefone, 400 adultos selecionados aleatoriamente,
na cidade de Nova York, sobre sua opinião a respeito de um teste do uso de drogas para
motoristas de táxi e constatou que 38% eram favoráveis a essa regulamentação.
a) Determine o intervalo de 95% de confiança para a proporção populacional.
Resp: 38% � 4,8%
b) Determine o intervalo de 99% de confiança para a proporção populacional.
Resp: 38% � 6,2%
5. Um distrito escolar local deseja monitorar as atitudes dos pais em relação à proposta de elimi-
nação dos esportes após as aulas, como uma medida para reduzir custos. Em vez de enviar um
questionário por intermédio dos alunos, o comitê da escola decide fazer uma pesquisa telefônica.
De 120 pais entrevistados, 74 apoiaram o plano de suprimir o programa de esportes.
a) Estime o erro padrão da proporção. Resp: 8,7%
b) Determine o intervalo de 95% de confiança para a proporção populacional.
Resp: intervalo de 53% a 70,4%
6. Um estudante de Farmácia fez uma pesquisa para saber o percentual de alunos, de uma escola
que apresentavam excesso de peso (IMC>24,9). Para isso, avaliou 140 alunos encontrando 52
com excesso de peso. A escola tem 500 alunos. Calcule o intervalo de confiança com � = 0; 05.
Resp: 37; 1%� 6; 8% (com excesso de peso)
7. A fim de estimar a proporção de estudantes de determinado campus favoráveis a uma campanha
geral contra o uso de álcool, um pesquisador entrevistou uma amostra aleatória de 50 estudantes
dentre a população de uma faculdade, constatando que 36% da amostra era favorável à proibição
do álcool. De posse dessa informação, determine:
a) Erro padrão da proporção com índice de confiança de 95%. Resp: 13,3%
b) Um intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional. Resp: 36%� 13; 3%
8. Num experimento, doentes contaminados com cercaria, que é uma das formas do verme da
esquistossomose, recebem um certo medicamento e observa-se a proporção de cura. De 200
pacientes medicados, 160 foram curados. Determine um intervalo de 95% de confiança para a
proporção populacional de pacientes curados pelo medicamento. Resp: 80%� 4; 65%
9. Entre milhares de casos de pneumonia não tratada com sulfa, a porcentagem que desenvolveu
complicações foi de 10%. Com o intuito de saber se o emprego da sulfa diminuiria essa por-
centagem, 120 casos de pneumonia foram tratados com sulfapiridina e destes, 6 apresentaram
complicações. Construa um intervalo com 95% de confiança para a porcentagem de complica-
ções para doentes tratados com sulfa. Resp:
5%� 3; 9%
10. Suponha que se deseja estimar o diâmetro pupilar médio de coelhos adultos normais, a partir de
uma amostra de 12 animais, cuja média foi de 5,2 mm e considerando que o desvio padrão do
diâmetro pupilar é de 1,2 mm. Empregue um grau de confiança de 95% para a estimativa.
Resp: Este resultado indica que se pode ter uma confiança de 95% de que a média verdadeira
dos diâmetros pupilares em coelhos adultos esteja entre 4,52 e 5,88 mm.
75
10.4. EXERCÍCIOS NO BIOESTAT CAPÍTULO 10. ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
11. O Centro de Acompanhamento Pré-Natal, para dependentes de drogas químicas, da Escola de
Medicina da Universidade de Northwestern � Chicago acompanhou a gravidez de 55 mulheres
dependentes de cocaína. Destas, apesar de todo o esforço do centro, apenas 19 conseguiram
parar de usar a droga durante o 1
o
trimestre. O quadro abaixo apresenta os resultados dos
pesos de recém-nascidos do grupo 1, filhos de mães que usaram cocaína apenas no 1
o
trimestre
de gravidez, e do grupo 2, filhos de mães que usaram cocaína durante toda a gravidez.
Informação Grupo 1 Grupo 2
Tamanho da amostra 19 36
Média(g) 3160 2829
Desvio-padrão(g) 453 708
Estime o efeito da cocaína no peso dos recém-nascidos e construa o intervalo de confiança
(95%). Comente os resultados.
Grupo 1: 3160� 204; Grupo 2: 2829� 323
12. A fim de acelerar o tempo que um analgésico leva para penetrar na corrente sanguínea, um
químico analista acrescentou certo componente à fórmula original, que acusava um tempo médio
de 43 minutos. Em 36 observações com a nova fórmula, obteve-se um tempo médio de 42
minutos, com desvio padrão de 6 minutos.
a) Estime o tempo médio que anova fórmula leva para penetrar na corrente sanguínea por meio
de um intervalo com 95% de confiança. 42� 1; 96min
b) Caso você desejasse reduzir a margem de erro do intervalo apresentado no item anterior pela
metade, em quantas vezes você deveria aumentar o tamanho da amostra? 144 observações
13. Alguns pesquisadores pensam que a vitamina C pode ser útil para reduzir os depósitos formadores
do colesterol situados na parte inferior das paredes arteriais, e, por conseguinte, pensam que a
vitamina C concorre também para a redução da possibilidade de ataques cardíacos. O nível de
colesterol de cada uma de 36 pessoas com nível de colesterol acima do normal foi anotado antes
e após um período de regime de 1 mês, regime este que obrigou cada pessoa a ingerir 500 mg
de vitamina C por dia. Os dados obtidos mostraram 64,3 mg por 100 ml para a queda média do
nível de colesterol. Suponha conhecido o desvio padrão populacional, igual a 18,9 mg por 100
ml.
a) Estime a queda média do nível de colesterol por pessoa, utilizando um intervalo de 95% de
confiança. Resp.: 64; 3� 6; 2
b) Qual o erro associado à estimativa? Resp.: 6,2 mg/100 ml
c) Qual o tamanho de amostra necessário para reduzirmos o erro para 3mg por 100ml?
Resp.: 153 pessoas
76
Capítulo 11
Testes de Hipóteses
Considere uma moeda equilibrada � isto é, em qualquer jogada há uma chance de 50% de
obter cara e de 50% de obter coroa. Como podemos ter certeza de que a moeda é realmente
equilibrada? É preciso saber responder a essa pergunta especialmente se estiver jogando uma moeda
com um desconhecido de aparência suspeita em uma cidade estranha. Formalmente, se p representa
a probabilidade de a moeda apresentar "cara", como sabemos que p = 1/2?
No caso da moeda deve-se, naturalmente, começar fazendo uma verificação óbvia. Se a moeda
tem duas caras, então p = 1; se tem duas coroas, p = 0. Feito isso, ainda assim e muito difícil afirmar
que a moeda é equilibrada (ou honesta) simplesmente olhando-a. Intuitivamente, não há qualquer
razão por que deva ser mais provável aparecer "cara"do que "coroa"(ou vice-versa); mas a moeda
pode não ser equilibrada, fazendo um resultado ter mais chance do que o outro. jogando a moeda
apenas uma vez, nao temos como dizer se ela é ou nao equilibrada. Todavia, com um grande número
de jogadas, já dispomos de alguma base para julgar.
11.1 A Hipótese Nula e a Hipótese Alternativa
Problemas desse tipo são chamados de teste de hipótese. Primeiro, decidimos quanto à hipótese
a ser testada. No caso em estudo, nossa hipótese é p = 1/2. A hipótese que vai ser testada é
frequentemente chamada hipótese nula (H
0
). A outra única possibilidade é que a hipótese nula seja
falsa. A hipótese que afirma A hipótese nula é falsa é chamada hipótese alternativa (H
1
). Em nosso
caso, a hipótese alternativa é que a moeda não seja equilibrada (p 6= 1=2). Sabemos que uma das
hipóteses � a hipótese nula ou a hipótese alternativa � deve ser verdadeira, pois elas constituem
as duas únicas possibilidades. A questão é: aceitamos a hipótese nula e dizemos que a moeda é
equilibrada, ou rejeitamos a hipótese nula e afirmamos que a moeda não é equilibrada?
É claro, intuitivamente, que devemos jogar a moeda muitas vezes; seja n o número de jogadas.
Então, se o número de caras que aparecem está próximo de n=2, aceitamos a hipótese de que a moeda
é honesta. Se o número de caras é muito diferente de n=2, rejeitamos a hipótese de que a moeda seja
honesta. A grande questão é: quão diferente de n=2 o resultado deve ser, para que possamos dizer
que a moeda não é equilibrada?
Nosso processo de teste é o seguinte: escolhemos um número c . Se o número de caras (h) está
entre (
n
2
� c) e (
n
2
+ c), aceitamos a hipótese nula e concluímos que a moeda é equilibrada; em caso
contrário, dizemos que a moeda não é equilibrada. A região de (
n
2
� c) a (
n
2
+ c) é chamada zona de
aceitação. Se h não está na zona de aceitação, não aceitamos a hipótese. Portanto, a região para a
qual a hipótese será rejeitada é chamada região de rejeição ou região crítica.
77
11.2. ERRO TIPO 1 E TIPO 2 CAPÍTULO 11. TESTES DE HIPÓTESES
O problema agora é: quão distante de n=2 podemos admitir o número de caras antes de afirmarmos
que a moeda não é honesta � isto é, quão grande deve ser c?
11.2 Erro Tipo 1 e Tipo 2
É claro que gostaríamos de fazer o julgamento correto sobre nossa hipótese nula. Podemos estar
corretos de duas maneiras: aceitando a hipótese quando ela é verdadeira, ou rejeitando-a quando é
falsa. Mas isso significa que há também duas possibilidades de estarmos errados: rejeitando a hipótese
quando ela é verdadeira, ou aceitando-a quando é falsa. O primeiro tipo de erro é chamado erro tipo
1 (concluir por uma diferença que não existe) e o segundo, erro tipo 2.
Se escolhemos um valor grande para c , temos uma ampla zona de aceitação, tendo maior chance de
aceitar a hipótese do que com um valor pequeno de c . Isso significa que há menos chance de cometer
um erro tipo 1 � isto é, não é viável rejeitarmos a hipótese quando ela é, de fato, verdadeira.
Entretanto, se ampliamos a zona de aceitação, estamos aumentando o risco de aceitar a hipótese
mesmo quando falsa, cometendo um erro tipo 2.
A outra estratégia consiste em estreitar a zona de aceitação. Assim procedendo, é menos provável
cometermos um erro tipo 2 (e improvável que aceitemos a hipótese se ela é falsa), mas corremos um
risco muito maior de cometer um erro tipo 1 (rejeitar a hipótese quando ela é verdadeira). Obviamente,
há como que uma compensação inerente envolvida no teste de uma hipótese. Não se pode, por meio
de um único processo de teste, minimizar as chances de cometer ambos os tipos de erro.
Em geral, preocupa-nos mais a possibilidade de rejeitar erroneamente a hipótese, de modo que
teremos mais cuidado em evitar erros do tipo 1. Para dizermos ao desconhecido que sua moeda não é
honesta, devemos estar quase certos do fato. (De outra forma, poderíamos ofendê-lo.) Em trabalhos
científicos, se decidimos aceitar a hipótese, em geral prosseguimos na busca de mais evidências para
ver se conseguimos um caso convincente. Se, por outro lado, decidimos rejeitar a hipótese, isso
significa que estamos realmente convencidos de que ela é falsa, e paramos por aí.
O que se costuma fazer em estatística é fixar um limite superior para a probabilidade de cometer
um erro tipo 1. Em geral, esse limite é fixado em 10% ou 5%. No início, pode causar confusão
lembrar a diferença entre erros tipo 1 e tipo 2. Basta ter em mente que nossa prioridade é evitar erros
tipo 1, certificando-nos de que só rejeitaremos a hipótese se estivermos plenamente seguros de que
ela é falsa.
Decidido isso, o proximo passo é fixar a amplitude de nossa zona de aceitação. Suponhamos que a
moeda seja honesta. Se n é o número de jogadas e h é o número de caras, isso significa que queremos
ter certeza de que há uma chance de apenas 10% de nosso processo de teste indicar que a moeda é
viciada, quando ela, de fato, equilibrada.
Suponhamos n = 20. Podemos construir uma tabela das probabilidades para h = 0, h = 1, h = 2
etc. A Figura abaixo ilustra essas probabilidades.
78
11.2. ERRO TIPO 1 E TIPO 2 CAPÍTULO 11. TESTES DE HIPÓTESES
Queremos escolher nossa zona de aceitação de modo que haja cerca de 90% de chance de h
estar nessa região e de somente 10% de h estar fora dela. Somando as probabilidades para h = 7,
h = 8, h = 9, h = 10, h = 11, h = 12 e h = 13, constatamos que, se a moeda é honesta, há uma
probabilidade de 0,8847 de h tomar um desses sete valores. Então, planejaremos nosso teste assim:
Jogaremos a moeda 20 vezes e contaremos o número de caras (h). Se h estiver entre 7 e 13,
aceitaremos a hipótese e afirmaremos que a moeda é honesta. Se h éno máximo igual a 6, ou no
mínimo igual a 14, diremos que a moeda não é honesta.
Resultados de 20 jogadas de uma moeda.
Podemos, então, assegurar que a probabilidade de rejeitar erroneamente a hipótese (erro tipo
1) é de apenas 12%. Suponhamos, por exemplo, que aparecam 5 caras em 20 jogadas. Podemos
dizer, com um grau razoável de certeza, que a moeda não é honesta. Não podemos afirmar isso com
certeza absoluta, porque existe uma chance de 1,48% de apenas 5 caras aparecerem em 20 jogadas
de uma moeda honesta. Assim, há ainda uma possibilidade de cometermos um erro tipo 1, afirmando
que a hipótese é falsa quando ela é, na realidade, verdadeira. Todavia, asseguramo-nos de que a
probabilidade de isso ocorrer é inferior a 12%.
79
11.3. USO DOS TESTES DE HIPÓTESES CAPÍTULO 11. TESTES DE HIPÓTESES
Naturalmente, se quisermos, poderemos ser ainda mais cautelosos. Suponha que estejamos preo-
cupados com a possibilidade de rejeitar erroneamente a hipótese de moeda honesta e desejamos ter
certeza de que a chance de isso ocorrer seja inferior a 4%. Nesse caso, podemos modificar o processo
de teste, de forma a aceitar a hipótese de moeda honesta se h está entre 6 e 14. Com esse procedi-
mento, teremos ainda maior certeza de que não consideraremos a moeda não-honesta quando ela é,
de fato, honesta. Entretanto, ao ampliarmos a zona de aceitação, estamos aumentando as chances
de cometer um erro tipo 2 � isto é, afirmar que a moeda é honesta quando ela, de fato, não é.
Não há maneira de calcular a probabilidade de um erro tipo 2, pois desconhecemos as probabilidades
dos diferentes números de caras se a moeda não é honesta. Portanto, mesmo após termos decidido
aceitar a hipótese, não estamos certos de que a moeda seja realmente honesta. Suponhamos, por
exemplo, que a probabilidade de cara seja 0,51. Então, é muito provável que aceitemos a hipótese
de moeda honesta, mesmo quando a moeda não o seja. A única maneira de melhorar essa situação
consiste em aumentar o número de jogadas.
11.3 Uso dos Testes de Hipóteses
A utilização dos testes de hipóteses ou de significância passa pela inferência estatística.
A tomada de decisão quanto à recomendação ou não do emprego de uma droga pressupõe que, ao
experimentarmos determinado tratamento frente a um controle (placebo), a comparação seja realizada
e que o valor encontrado para o teste empregado inclua o valor de p; e que considerando os critérios
previamente observados, possamos concluir pela aceitação ou rejeição da hipótese nula.
Há uma infinidade de testes de hipóteses, tanto paramétricos como não-paramétricos, e a aplica-
bilidade dos mesmos será ditada por sua melhor adequação aos objetivos do trabalho realizado, assim
como dos dados que serão avaliados.
Concluindo:
11.3.1 Testes uni e bilateral
As hipóteses a serem testadas são denominadas hipótese nula (H
0
) e a hipótese contrária chamada
hipótese alternativa (H
1
).
Considerando um parâmetro � (média populacional), desejamos testar a hipótese H
0
onde � = �
0
,
onde �
0
pode corresponder a um valor específico.
80
11.3. USO DOS TESTES DE HIPÓTESES CAPÍTULO 11. TESTES DE HIPÓTESES
Neste caso, há três formas diferentes para hipóteses alternativas:
H
1
: � > �
0
(unilateral)
H
1
: � < �
0
(unilateral)
H
1
: � 6= �
0
(bilateral)
Nos testes unilaterais formulamos normalmente a hipótese nula (H
0
), mas quanto à hipótese
alternativa, esta poderá ser formulada considerando que a média aritmética ou proporção possam a
ser maiores ou menores do que o valor de referência para comparação.
Exemplo: Eficácia do AZT - Um estudo para prolongar a vida dos pacientes com AIDS levantou
os seguintes dados:
Grupo Vivo Morto Total
AZT 144 1 145
Placebo 121 16 137
Total 265 17 282
Alguns cálculos podem ser feitos:
144/145 = 99,3% dos pacientes vivos depois de 24 semanas (AZT);
121/137 = 88,3% dos pacientes vivos depois de 24 semanas (Placebo);
Parece que o AZT tem efeito de prolongar a vida. Mas antes de aceitar a conclusão é preciso
afastar a hipótese do acaso, ou seja, temos que testar as hipóteses:
H
0
! Inexistência de diferença entre os 2 tratamentos.
H
1
! inexistência de igualdade entre os 2 tratamentos.
O próximo passo é construir um critério baseado no qual a hipótese nula será julgada. O critério
de decisão é baseado na estatística do teste. Esta estatística mede a discrepância entre o que foi
observado na amostra e o que seria esperado se a hipótese nula fosse verdadeira. Uma grande distância
medida pela distribuição de probabilidade é indicação de H
0
não é verdadeira, devendo, portanto ser
rejeitada.
Existem duas opções para expressar a conclusão final de um teste de hipótese:
A primeira consiste em comparar o valor da estatística do teste com o valor obtido a partir da
distribuição teórica, específica para o teste, para um valor prefixado do nível de significância (por
exemplo 1% ou 5%).
Na segunda abordagem, atualmente a mais usada, o interesse é quantificar a chance do que foi
observado ou resultados mais extremos, sob a igualdade dos grupos.
Este número é chamado de probabilidade de significância ou valor-p e é frequentemente indicado
apenas por p. Quanto menor o valor-p maior é a evidência para se rejeitar H
0
. De um modo geral a
área médica considera que se p menor ou igual a 0,05 indica que há diferença significativa entre os
grupos comparados.
Como Interpretar a Significância Estatística
Dr. Augusto Pimazoni Netto - 20/03/2007
Consultor para Assuntos de Educação e Controle do Diabetes
Quase todos os dias nos deparamos com o conceito de �significância estatística� dos resultados
de um estudo clínico, geralmente avaliada através da expressão �p < 0,05� ou semelhantes. Mas, na
realidade, o que significa isso em termos de verdade científica?
O termo �nível de significância� não costuma ser adequadamente entendido pelos médicos na prá-
tica clínica. Na linguagem coloquial, o termo �significante� quer dizer �algo importante� ao passo que,
na linguagem estatística, esse termo tem o significado de �provavelmente verdadeiro� e, portanto, não
resultante de uma situação aleatória. Um achado científico pode ser verdadeiro sem ser necessari-
amente importante. Quando os estatísticos dizem que um resultado é �altamente significante�, isto
significa que a hipótese que está sendo testada é muito provavelmente verdadeira. Da mesma forma,
81
11.3. USO DOS TESTES DE HIPÓTESES CAPÍTULO 11. TESTES DE HIPÓTESES
em ciência, o fato de uma diferença entre tratamentos, por exemplo, ser estatisticamente significante,
isso não significa necessariamente que esta diferença seja clinicamente importante ou interessante.
A definição do limite do valor de p deve ser feita antes do início do estudo. Em geral, o valor
de p < 0,05 ou menor significa que estamos assumindo uma probabilidade de apenas 5% de que a
diferença encontrada no estudo clínico não seja verdadeira, apesar de, estatisticamente, ter sido assim
demonstrada. Quanto menor o valor de p, menor será a probabilidade disso acontecer. De uma
forma geral, os resultados de um estudo clínico podem variar de �não significante� até �extremamente
significante�, como mostra a tabela a seguir:
Significância Estatística conforme o valor de p.
Valor de P Significado
>0,05 Não significante
0,01 a 0,05 Significante
0,001 a 0,01 Muito significante
<0,001 Extremamente significante
11.3.2 Testes Paramétricos e Não-Paramétricos
Principais Testes
Testes Paramétricos
� Testes t
Teste para duas amostras independentes
Teste para duas amostras emparelhadas
Teste para uma só amostra
� Testes ANOVA
Os testes ANOVA diferencia-se dos testes t porque os testes t só podem ser usados para testar
diferenças entreduas situações para uma variável. Os testes ANOVA podem ser usados para
testar diferenças entre diversas situações e para duas ou mais variáveis.
82
11.3. USO DOS TESTES DE HIPÓTESES CAPÍTULO 11. TESTES DE HIPÓTESES
Testes Não-Paramétricos
� Testes para amostras emparelhadas
Teste do sinal, Teste de McNemar, Teste Q de Cochran, Teste de Wilcoxon, Teste de Friedman
� Testes para amostras independentes
Teste de Mann-Whitney, Teste de Kruskal-Wallis
� Outros testes
Teste binomial, Teste de ajustamento do qui-quadrado, Teste de independência do qui-quadrado,
Teste exato de Fisher
83
Capítulo 12
Testes Paramétricos
Exigem que amostra tenha uma distribuição normal especialmente se tiverem uma dimensão inferior
a 30.
12.1 Teste t
Nas amostras de dimensão superior a 30, a distribuição aproxima-se da distribuição normal e
também se aplicam os testes t.
Há certas ocasiões em que o pesquisador deseja realizar a comparação de duas amostras que
provêm de populações diferentes. Neste caso, ao contrastar as médias destas amostras para verificar
se há diferença entre elas, estará indiretamente comparando as duas populações. E por analogia,
poderíamos proceder a um experimento em que um grupo receberia uma droga, enquanto outro grupo
nada receberia.
O efeito do tratamento aplicado seria verificado pela comparação dos dois grupos.
Nestes casos, o teste t seria o indicado para tal comparação, salientando que a variável em análise
teria que apresentar os dados em distribuição normal ou aproximadamente normal.
Teste t para dados pareados
Trata-se do estudo de um tipo de tratamento em que se utilizam pares de indivíduos ou animais.
Há uma preocupação em que haja um pareamento entre os indivíduos para que eles difiram somente
no aspecto, tratado e não-tratado.
Há trabalhos realizados com utilização de pares de gêmeos ou alguns casos em que profissionais
de odontologia comparam os dois lados das arcadas dos indivíduos, considerando que os dados são
pareados.
Exemplo: Consideremos o peso de dez pessoas, antes e depois de se submeterem a uma dieta.
Verifique se houve uma diferença significativa entre os pesos dos dois grupos.
Antes Depois
78 74
75 73
74 74
79 73
82 80
84 81
88 81
59 54
72 70
73 68
Formulando as Hipóteses Nula e Alternativa:
84
12.1. TESTE T CAPÍTULO 12. TESTES PARAMÉTRICOS
H
0
: A média de peso do grupo "Antes"é igual à média de peso do grupo "Depois".
H
1
: A média de peso do grupo "Antes"é diferente à média de peso do grupo "Depois". Neste
caso usamos um teste bilateral (H
1
: � 6= �
0
).
Aplicando o Teste T para dados pareados:
Como o peso "Antes"e "Depois"refere-se a mesma pessoa, temos que os dados são pareados:
No Bioestat: Digite os dados no grid, tal como aparecem na tabela acima, e em seguida faça:
Estatísticas > Duas Amostras Relacionadas > Teste t > Dados Amostrais
Como resultado, o Bioestat retornará o seguinte:
A maneira mais simples de interpretar estes resultados é utilizando o valor de p bilateral p =
0:0005 < 0:05, logo rejeita-se a hipótese nula, ou seja, o uso da dieta parece contribuir para a
diminuição do peso médio dos indivíduos. Lambramos novamente que uma análise estatística deve ser
tão abrangente quanto possível, levando-se em conta todos os fatores disponíveis.
Teste t para dados não-pareados
Esta aplicação do teste t de Student é realizada quando comparamos as médias aritméticas de
duas amostras independentes, nas quais as variâncias apresentam valores aproximadamente iguais.
Exemplo: Para verificar se duas dietas para emagrecer são igualmente eficientes, um pesquisador
separou, ao acaso, um grupo de indivíduos em dois subgrupos. Após certo tempo obteve a perda de
peso, em kg, em cada indivíduo de cada grupo. Os dados coletados foram:
85
12.2. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 12. TESTES PARAMÉTRICOS
A B
12 15
8 19
15 15
13 12
10 13
12 16
14 15
11
12
13
H
0
: A média de perda de peso do grupo "A"é igual à média de perda de peso do grupo "B".
H
1
: A média de perda de peso do grupo "A"é diferente da média de perda de peso do grupo "B".
Neste caso usamos um teste bilateral (H
1
: � 6= �
0
).
No Bioestat:
Estatísticas > Duas Amostras Independentes > Teste t: Dados Amostrais
Neste caso, o valor de p bilateral (p = 0:0109 < 0:05) permite que rejeitemos a hipótese nula,
assim, a média de perda de peso do grupo A tem grande chance de ser diferente da média de perda de
peso do grupo B e como a média de perda de peso do grupo B (� = 15kg) é maior do que a média
de perda de peso do grupo A (� = 12kg), te-se forte indício de que a dieta aplicada ao grupo B é
mais eficiente.
12.2 Exercícios
1. Suponha que você esteja interessado em examinar os efeitos da transição da circulação fetal para
o pós-natal em prematuros. Para cada um dos 14 recém-nascidos saudáveis, a taxa respiratória
é medida em dois diferentes momentos � uma vez quando o bebê tem menos de 15 dias e outra
quando tem mais de 25 dias.
86
12.2. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 12. TESTES PARAMÉTRICOS
Taxa Respiratória (respiração/minuto)
Indivíduo Momento 1 Momento 2
1 62 46
2 35 42
3 38 40
4 80 42
5 48 36
6 48 46
7 68 45
8 26 40
9 48 48
10 27 42
11 43 46
12 67 31
13 52 44
14 88 48
Podemos afirmar que a taxa respiratória média é diferente no primeiro e segundo momento?
2. Os seguintes dados foram obtidos de um estudo que compara adolescentes que têm bulimia e
adolescentes saudáveis com composições corpóreas e níveis de atividades físicas similares. Os
dados consistem de medidas de ingestão calórica diária de amostras aleatórias de 23 adolescentes
bulímicos e 15 saudáveis.
Ingestão calórica diária (kcal/kg)
Bulímico Saudável
15,9 18,9 25,1 20,7 30,6
16,0 19,6 25,2 22,4 33,2
16,5 21,5 25,6 23,1 33,7
17,0 21,6 28,0 23,8 36,6
17,6 22,9 28,7 24,5 37,1
18,1 23,6 29,2 25,3 37,4
18,4 24,1 30,9 25,7 40,8
18,9 24,5 30,6
a) Conduza um teste bicaudal assumindo � de 5%, para verificar se a ingestão calorica diária é
igual nos dois grupos.
b) Você acredita que os adolescentes com bulimia exigem uma ingestão calórica diária mais
baixa dos que os saudáveis?
3. Dezenove indivíduos com asma foram inscritos em um estudo que investiga os efeitos respirató-
rios do dióxido de enxofre. Durante o estudo duas medidas foram obtidas para cada indivíduo.
A primeira é o aumento da resistência aérea específica (SAR, Specific Airway Resistence) � uma
medida de broncoconstrição � do momento em que o indivíduo está em repouso até depois que
ele se exercitou por cinco minutos; o segundo é o aumento na SAR para o mesmo indivíduo
depois que ele fez um teste de exercício similar, conduzido em uma atmosfera com 0,25 ppm
de dióxido de enxofre. Os dados são apresentados na tabela abaixo:
Aumento da SAR
87
12.2. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 12. TESTES PARAMÉTRICOS
Indivíduo Ar SO
2
1 0,82 0,72
2 0,86 1,05
3 1,86 1,4
4 1,64 2,3
5 12,57 13,49
6 1,56 0,62
7 1,28 2,41
8 1,08 2,32
9 4,29 8,19
10 1,37 6,33
11 14,68 19,88
12 3,64 8,87
13 3,89 9,25
14 0,58 6,59
15 9,5 2,17
16 0,93 9,93
17 0,49 13,44
18 31,04 16,25
19 1,66 19,89
a) Ao nível de significância de 0,05, teste a hipótese nula de que não há diferença no aumento
da resistência aérea específica para as duas ocasiões. O que você conclui?
b) Você acha que teria sido apropriado usar um teste t pareado para avaliar esses dados? Por
quê?
4. Para testar o efeito de um novo analgésico nos casos de cefaléia, foi feito um ensaio clínico
casualizado com 17 pacientes. O ensaio, duplo-cego, utilizou placebo para comparação. O
novo analgésico foi designado para 8 pacientes, que constituíram o grupo experimental,e o
placebo foi designado para 9 pacientes, que constituíram o grupo controle. Uma hora depois de
ingerir o comprimido, os pacientes registraram a dor em uma escala analógica que variava de 0
a 10, conforme a tabela abaixo. Pode-se afirmar que o novo analgésico é eficaz?
Experimental Controle
1 2
1,5 3,5
2 4
2 5
3,5 8
5,5 8,5
7 9
7,5 9,5
10
5. Um estudo cross over foi conduzido para investigar se o farelo de aveia auxilia a baixar os níveis
séricos de colesterol em homens hipercolesterolêmicos. Catorze indivíduos foram aleatoriamente
colocados em uma dieta que incluía farelo de aveia ou flocos de milho; depois de duas semanas,
seus níveis de colesterol de lipoproteína de baixa densidade (LDL � low-density lipoprotein) foram
registrados:
LDL (mmol/l)
88
12.3. ANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVA CAPÍTULO 12. TESTES PARAMÉTRICOS
Indivíduo Flocos de milho Farelo de aveia
1 4,61 3,84
2 6,42 5,57
3 5,4 5,85
4 4,54 4,8
5 3,98 3,68
6 3,82 2,96
7 5,01 4,41
8 4,34 3,72
9 3,8 3,49
10 4,56 3,84
11 5,35 5,26
12 3,89 3,73
13 2,25 1,84
14 4,24 4,14
As duas amostras são de dados pareados ou independentes? Quais são as hipóteses apropriadas
para um teste bilateral? Conduza o teste ao nível de significância de 5%. O que você conclui?
12.3 Análise de Variância - ANOVA
É comum comparar a média entre mais de dois grupos. Nestes casos, o teste t não pode nos
auxiliar, pois foi concebido para comparar a média somente entre dois grupos em cada experimento
(um erro comum é aplicar o teste t para grupos tomados dois a dois).
O método correto para a análise da média entre vários grupos é a Análise de Variância. Este
método compara todas as médias em um único teste e visa a identificar a existência de ao menos
uma diferença entre gurpos, se alguma existir. Caso o resultado seja estatisticamente significativo,
aplica-se posteriormente uma das várias técnicas existentes de comparações múltiplas entre as médias
(estes procedimentos permitem identificar quais as populações diferem entre si).
Na análise de variância, se está testando a seguinte hipótese:
H
o
: Não há diferença entre as médias das populações;
Observação: Para que os resultados da ANOVA sejam válidos, é necessário que as variâncias
amostrais sejam semelhantes nas diferentes amostras (homocedasticidade). Além disso, a variável de
interesse deve ter distribuição normal em todas as populações.
A ANOVA, mostra somente que existe ao menos uma diferença entre os grupos estudados mas
não é capaz de mostrar diferenças particulares quando os grupos são tomados dois a dois. Para esta
determinação é preciso um outro teste, usaremos o teste de Tukey.
89
12.4. TESTE DE TUKEY CAPÍTULO 12. TESTES PARAMÉTRICOS
12.4 Teste de Tukey
O teste de Tukey complementa a ANOVA e visa identificar quais as médias que, tomadas duas a
duas, diferem significativamente entre si.
Exemplo: Deseja-se comparar três drogas analgésicas para reduzir a dor pós-operatória em paci-
entes submetidos à mesma intervenção cirúrgica. As drogas foram distribuídas entre os pacientes por
um processo aleatório. Os índices de dor pós-operatória obtidos nesse experimento estão apresentados
na tabela:
Índice de dor pós-operatória (0 = nenhuma; 10 = máxima)
em pacientes que receberam uma de três drogas analgésicas (A).
A1 A2 A3
Grau 1 5 2
de 3 7 0
dor 8 3
No Bioestat: Digita-se os dados no grid tal como aparecem na tabela, em seguida, seleciona-se:
Estatísticas > Análise de Variância > ANOVA: um critério
Como o valor de p (0,0194115) < 0,05, temos que rejeita-se a hipótese nula de igualdade entre
as médias, ou seja, existe pelo menos uma diferença significativa entre as médias de pelo menos dois
grupos.
Neste caso, precisamos de um teste para identificar quais os grupos apresentam esta diferença.
Optamos pelo teste de Tukey:
90
12.4. TESTE DE TUKEY CAPÍTULO 12. TESTES PARAMÉTRICOS
Pelo teste, existe diferença significativa entre as médias dos grupos 1 e 2 (A1 vs A2) e entre os
grupos 2 e 3 (A2 vs A3) pois p < 0,05 em ambas as comparações. Entretanto, não se pode afirmar
que exista uma diferença significativa entre as médias dos grupos 1 e 3 (A1 vs A3) pois p = ns.
Estes resultados podem ser visualizados clicando-se sobre "Gráfico", na janela mostrada acima:
91
Capítulo 13
Teste Não-Paramétricos
As técnicas estatísticas clássicas usadas para estimar parâmetros e testar hipóteses possuem exi-
gências claras: especificam, por exemplo, que os valores da variável estudada devem ter distribuição
normal ou aproximadamente normal. Na prática, porém, muitas variáveis não apresentam este tipo
de distribuição; às vezes, é difícil até mesmo determinar que tipo de distribuição apresentam, pois as
amostras nem sempre são suficientemente grandes para tal tipo de avaliação.
Outra pressuposição frequente nos testes clássicos é a da homogeneidade de variâncias (homoce-
dasticidade) entre as populações que estão sendo comparadas. No entanto, muitas vezes as variâncias
são heterogêneas e, mesmo transformando os dados, não se consegue homocedasticidade.
Os testes sugeridos para analisar dados que não satisfazem as exigências das técnicas clássicas
denominam-se testes de distribuição livre, por não dependerem do conhecimento da distribuição da
variável na população, ou testes não-paramétricos.
13.1 Vantagens e Desvantagens dos Testes Não-Paramétricos
Os testes não-paramétricos apresentam as seguintes vantagens em relação às técnicas clássicas:
� São as mais apropriadas quando não se conhece a distribuição dos dados na população. São
também úteis quando essa distribuição é assimétrica e não se deseja realizar uma transformação
dos dados, quando existe heterogeneidade nas variâncias ou ainda quando, na comparação entre
tratamentos, a distribuição é gaussiana em alguns grupos e assimétrica em outros. São, por
isso, testes de aplicação mais ampla do que os paramétricos.
� São os indicados quando a variável é medida em escala ordinal. também existem técnicas não
paramétricas para variáveis cujas categorias não são ordenáveis.
� Quando as exigências das técnicas clássicas não podem ser satisfeitas, os métodos não paramé-
tricos são mais eficientes do que os testes paramétricos (nas situações em que tais exigências
são satisfeitas, os paramétricos são mais eficientes).
As desvantagens dos testes não-paramétricos são:
� Quando utilizados em dados que satisfazem as exigências dos testes clássicos, os métodos
não paramétricos apresentam uma eficiência menor. Isto equivale a dizer que para se detectar
uma diferença real entre duas populações por um teste não paramétrico, o tamanho amostral
deve ser um pouco maior do que seria necessário com um teste clássico. Por exemplo, em
amostras de tamanho moderado, o teste de Wilcoxon-Mann-Whitney (WMW) tem um poder
de aproximadamente 95% quando comparado com o teste t de Student. Assim, se o tamanho da
amostra necessário para identificar uma diferença usando o teste de WMW é de 100 indivíduos,
usando-se o teste t são necessários 95 indivíduos.
92
13.2. TESTE QUI-QUADRADO PARA INDEPENDÊNCIACAPÍTULO 13. TESTE NÃO-PARAMÉTRICOS
� Alguns autores afirmam que os testes não-paramétricos extraem menos informação do experi-
mento porque são técnicas empregadas em dados mensurados em escalas não-quantitativas (ou
dados quantitativos reduzidos para uma escala qualitativa ordenável). Realmente, em muitos
testes não-paramétricos o valor real medido é substituído pelo posto ocupado na ordenação dos
valores obtidos; neste caso, há perda de informação relativa a variabilidade da característica
(uma diferença numericamente grande pode representar apenas uma mudança para o posto
seguinte).
13.2 Teste Qui-Quadrado para Independência
O teste não-paramétricode �
2
(qui-quadrado) foi desenvolvido por Pearson e por ele designado
pela letra minúscula grega � seguida do expoente 2, sendo muito aplicado em pesquisas biológicas.
Este teste é adequado para variáveis qualitativas com duas ou mais categorias e com ele pode-se:
� Verificar se uma distribuição observada de dados ajusta-se a uma distribuição esperada (teórica):
o teste é chamado de teste �
2
de aderência ou de ajustamento.
� Comparar duas ou mais populações com relação a uma variável categórica: o teste denomina-se
teste �
2
de comparação de proporções (ou de heterogeneidade entre populações).
� Verificar se existe associação entre duas variáveis qualitativas: o teste é chamado de teste �
2
de associação. (somente este teste será trabalhado aqui)
Tabela de Contingência
Suponha que queiramos testar se há alguma diferença entre quatro medicamentos antigripais
concorrentes. Não se garante que qualquer um deles seja eficaz - apenas cada um promete reduzir
as chances de contrair uma gripe. Portanto, o número de pessoas que tomam cada medicamento e
contraem gripe pode ser considerado como uma variável aleatória. A hipótese nula é: não há diferença
entre os medicamentos. Outra maneira de dizer: a condição de uma pessoa (se ela adoece ou não)
é independente do medicamento que ela toma. Suponha que façamos um teste em 495 pessoas,
perguntando-lhes que medicamento tomaram, e se contraíram, ou não, resfriado. Os resultados
foram:
Medicamento 1 Medicamento 2 Medicamento 3 Medicamento 4
Quantos se resfriaram 15 26 9 14
Quantos ficaram imunes 111 107 96 117
Esse tipo de tabela é uma tabela de contingência� nesse caso, com duas linhas e quatro colunas.
Cada localização é uma célula. A tabela tem oito células.
As tabelas de contingência mostram quantas observações (Frequências) estão em cada célula, em
que as células representam todas as combinações possíveis de dois fatores.
13.2.1 Aplicação do Teste Qui-Quadrado
Podemos ver, pela tabela, que o medicamento 3 parece ser o mais eficaz; apenas 8,5% dos que o
tomaram contraíram gripe. Todavia, há muitos outros fatores a considerar. Possivelmente, as pessoas
que tomaram este medicamento estiveram menos expostas aos vírus da gripe; nesse caso, o fato de
estas terem contraído menos gripe é uma ocorrência aleatória que nada tem a ver com o fato de
terem tomado o remédio 3.
Por conseguinte, nossa hipótese nula seria: não há diferença básica entre os quatro medicamentos.
As diferenças observadas são devidas exclusivamente ao acaso.
No Bioestat: Preenchemos o grid tal como a tabela e fazemos:
93
13.3. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 13. TESTE NÃO-PARAMÉTRICOS
Estatísticas > Qui-Quadrado > Tabelas de Contingência (L x C)
e assim obtemos:
Ao nível de confiança de 95%, temos que p = 0; 0538 > 0; 05 o que sugere que não podemos
rejeitar a hipótese nula, entretanto, como o valor de p é muito próximo de 0; 05, percebemos que
devemos aprofundar nossa investigação.
13.2.2 Detalhes do Teste Qui-Quadrado
� Recomenda-se aplicar o teste qui-quadrado de associação quando o tamanho da amostra for
razoavelmente grande, devendo ser aplicado com maior cuidado quando existirem frequências
esperadas menores que 5. Nestas situações, recomenda-se o agrupamento de classes, evitando-
se frequências esperadas menores que 5. Mas se a tabela for 2 x 2, não há como agrupar
os dados, neste caso usa-se a correção de Yates (o Bioestat apresenta a correção de Yates
automaticamente).
� Se uma das variáveis contiver níveis que contemplem todas as categorias da população, como
a variável sexo - só existem as possibilidades masculino e feminino, diz-se que o teste é de
homogeneidade;
� O grau de associação entre duas variáveis analisadas pelo teste do qui-quadrado pode ser repre-
sentado pelo coeficiente de contingência que pode variar entre 0 e 1. Quanto maior o valor
do coeficiente, maior será a associação entre as variáveis, na prática, quanto maior for a tabela
de contingência, maior será o valor do coeficiente.
13.3 Exercícios
1. Em um estudo experimental, com 300 pacientes, para testar uma nova droga contra AIDS, 240
receberam o medicamento A, ao passo que, 60 receberam um placebo. A taxa de mortalidade em
2 anos foi de 88 e 12 pacientes, respectivamente. No presente estudo a redução da mortalidade
está associada ao uso da droga?
Morte sim Morte não
Droga A 88 152
Placebo 12 48
94
13.4. TRABALHO 04 CAPÍTULO 13. TESTE NÃO-PARAMÉTRICOS
2. Perguntamos a 50 fumantes e a 50 não-fumantes se eles acreditam que o fumo pode conduzir
ao câncer do pulmão e outras doenças sérias. As respostas estão tabuladas da seguinte maneira:
Acreditam Não acreditam
Fumantes 11 39
Não-fumantes 28 22
Você diria que existe relação entre as variáveis?
3. Dois grupos de 100 pacientes foram acompanhados quanto a incidência de câncer do pulmão
associado ao tabagismo. No grupo de fumantes a incidência de câncer foi igual a 28 pacientes,
no grupo controle (não-fumantes) foi igual a 8 pacientes. No presente estudo a incidência de
câncer de pulmão está associada ao tabagismo?
Câncer sim Câncer não
Tabagismo sim 28 72
Tabagismo não 8 92
4. Em um estudo para verificar a relação entre asma e incidência de gripe no outono, 150 crianças
foram escolhidas ao acaso, dentre aquelas acompanhadas pelo Posto de Saúde de um bairro.
Os dados referentes a uma semana são apresentados na tabela a seguir.
Gripe sim Gripe não
Asma sim 27 34
Asma não 42 47
Existem evidências de que a ocorrência de gripe é influenciada pela presença de asma nesta
população?
5. Um estudo para determinar a taxa de fumantes entre pessoas de diferentes grupos etários
originou os dados amostrais aleatórios. Com base nestes dados, a incidência de fumantes está
associada à faixa etária?
Fumante Não fumante
20-24 anos 18 32
25-34 anos 15 35
25-44 anos 17 33
45-64 anos 15 35
13.4 Trabalho 04
Instruções:
� As questões deverão ser respondidas no Word ;
� O nome do arquivo deve conter o seu nome e o nome do curso, por exemplo: RodrigoMatema-
tica;
� O arquivo deve ser enviado para o e-mail rodrigopereira@unifra.br
� O assunto do email será Trabalho 04.
� Utilize o seu email da Unifra (acesse-o através do Alunonet).
95
13.5. TESTE EXATO DE FISHER CAPÍTULO 13. TESTE NÃO-PARAMÉTRICOS
1. Os seguintes dados vêm de um estudo que examina a eficácia da cotinina na saliva como um
indicador para a exposição à fumaça do tabaco. Em uma parte do estudo, a sete indivíduos -
nenhum dos quais grandes fumante e todos eles se abstiveram de fumar pelo menos uma semana
antes do estudo - foi solicitado fumar um único cigarro. Foram tomadas amostras da saliva de
todos os indivíduos 2, 12, 24 e 48 horas depois de terem fumado o cigarro. Os níveis de cotinina
a 12 horas e a 24 horas são mostrados abaixo. O que se pode afirmar sobre estes níveis?
Níveis de Cotinina (mmol/l)
Indivíduo Depois de 12 horas Depois de 24 horas
1 73 24
2 58 27
3 67 49
4 93 59
5 33 0
6 18 11
7 147 43
2. Os dados da tabela a seguir foram extraídos de uma pesquisa realizada com crianças de até 12
anos de idade em Florianópolis. Tal pesquisa tem por objetivo analisar se a severidade das cáries
dentárias observadas tem ou não relação com as condições familiares da criança.
Categorias Baixa Alta
Severidade Severidade
Tempo de residência (em anos) Até 2 anos 48 40
Mais de 2 anos 22 30
Número médio 0.25 - 0.83 20 20
de residentes por cômodo 0.84 - 1.25 30 20
1.26 ou mais 30 40
Responsável pelo domicílio Pai/Mãe 40 30
Avós 20 20
Outros 20 30
Responsável pelo Pai/Mãe 30 30
sustento da família Pai 30 20
Mãe 15 20
Outros 15 20
Com base na tabela, deseja-se fazer 4 testes de hipóteses, para verificar se as variáveis tempo
de residência,número médio de residentes por cômodo, responsável pelo domicílio e responsável
pelo sustento da família estão associadas com a severidade das cáries. Construa a hipótese nula
e alternatva e conclua sobre elas através do teste Qui-Quadrado.
13.5 Teste Exato de Fisher
O teste exato de Fisher é a alternativa para tabelas 2 x 2 quando não se pode usar o teste �
2
(porque algum valor esperado é menor do que 5 ou o número total de indivíduos estudados é menor
do que 25). O teste de Fisher permite calcular a probabilidade de associação das características que
estão em análise, ou seja, de elas serem independentes.
O teste de Fisher é utilizado nas seguintes situações:
a) n < 20
b) n > 20 e < 40 e a menor frequência esperada for menor que 5.
Exemplo: Um pesquisador classifica duas espécies de macacos quanto à capacidade de realizar
determinada tarefa:
96
13.6. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 13. TESTE NÃO-PARAMÉTRICOS
Quantidade de animais das espécies I e II que realizam certa tarefa.
Realizam a tarefa
Sim Não
Espécie I 1 8
Espécie II 7 3
Realize o teste exato de Fisher e interprete os resultados.
H
0
: A proporção de animais que realiza a tarefa é a mesma nas duas espécies.
No Bioestat:
Estatísticas > Duas Amostras Independentes > Exato de Fisher
O p bilateral (0,0198) é menor do que 0,05, ou seja, rejeitamos a hipótese nula da igualdade das
proporções, ou seja, a proporção de indivíduos que realiza a tarefa difere nas duas espécies. A espécie
II possui mais animais capazes de realizá-la (pois
7
10
>
1
9
).
13.6 Exercícios
1. De uma maneira geral os doentes psiquiátricos podem ser classificados em psicóticos e neu-
róticos. Um psiquiatra realiza um estudo sobre os sintomas suicidas em duas amostras de 20
doentes de cada grupo. os resultados tabelados são:
Psicótico Neurótico
Sintoma presente 2 6
Sintoma ausente 18 14
A nossa hipótese é de que a proporção de psicóticos com sintomas suicidas é igual a proporção de
neuróticos com estes sintomas (em um teste de independência, a hipótese nula seria, a presença
ou ausência de sintomas suicidas é independente do tipo de doente envolvido).
2. Testar se a alteração da cor é fator de aparecimento de bactérias.
Presença de Bactérias
Não Sim
Não alteração da cor 2 12
Sim alteração da cor 1 5
97
13.7. TESTE DE KRUSKAL-WALLIS CAPÍTULO 13. TESTE NÃO-PARAMÉTRICOS
3. Na tabela abaixo temos um grupo de bovinos vacinados contra aftosa e outro de não-vacinados
e a presença ou não de aftosa.
Presença de aftosa Não presença de aftosa
Vacinados 2 12
Não vacinados 1 5
Houve associação entre a vacinação e a presença de aftosa?
4. Num estudo sobre fecundidade de duas raças bovinas foram feitos acasalamentos obtendo-se os
seguintes resultados:
Fecundos Não fecundos
Raça A 3 7
Raça B 4 1
Verifique se as duas raças diferem quanto à fecundidade.
5. Segundo o quadro abaixo, as respostas das pessoas são influenciadas pelo grupo a que pertence?
Resposta Sim Resposta Não
Grupo A 6 3
Grupo B 16 0
13.7 Teste de Kruskal-Wallis
O teste de Kruskal-Wallis é a alternativa não-paramétrica para a ANOVA e é usado quando a
normalidade e a homocedasticidade estiverem severamente comprometidas.
Kruskal-Wallis é aplicado quando estão em comparação três ou mais grupos independentes e a
variável deve ser de mensuração ordinal. Ele serve para se compararem duas ou mais populações
quanto à tendência central dos dados.
O teste verifica se há diferença entre os grupos porém não compara os grupos 2 a 2, para isto é
preciso usar o teste de Dunn (semelhante ao teste de Tukey para ANOVA).
Exemplo: Três métodos de prevenção de cáries são testados em um grupo de 30 crianças. As
crianças foram divididas em três grupos igualmente, de maneira aleatória. Em cada grupo foi aplicado
um método de prevenção de cáries. No final do tratamento as crianças foram examinadas e observou-
se o número de dentes com cáries que os métodos não conseguiram evitar. Verificar através do teste
de Kruskal-Wallis se há diferenças significativas, a 5%, para os métodos.
Método A 1 0 2 1 2 1 2 1 1 0
Método B 1 1 0 1 2 1 1 0 1 1
Método C 2 1 2 2 3 2 2 2 1 1
No Bioestat: Digite os dados no grid tal como mostrado abaixo:
98
13.7. TESTE DE KRUSKAL-WALLIS CAPÍTULO 13. TESTE NÃO-PARAMÉTRICOS
Em seguida selecione:
Estatísticas > Análise de Variância > Kruskal-Wallis
Irá obter:
Neste ponto já vemos que o valor de p (0,0162), obtido pelo teste de Kruskal-Wallis, é menor do
que 0,05, significando que existe diferença significativa entre os Métodos.
Agora selecione o teste de Dunn para a comparação entre os métodos:
99
13.7. TESTE DE KRUSKAL-WALLIS CAPÍTULO 13. TESTE NÃO-PARAMÉTRICOS
Selecione "Gráfico"para visualizar o teste:
Uma conclusão possível é a seguinte: O método C produziu uma quantidade maior de dentes
cariados (pois tem o maior posto médio) enquanto que o método B produziu o menor número.
100
13.8. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 13. TESTE NÃO-PARAMÉTRICOS
Não há diferenças significativas entre os métodos A e B e entre A e C (p = ns), porém existe
diferença entre os métodos B e C, enfatizando que o método C produz mais cáries do que os outros
e não se pode dizer que o método A produz mais cáries do que o B ou vice-versa.
13.8 Exercícios
1. Foram selecionadas amostras aleatórias de três diferentes tipos de lâmpadas utilizadas nos equi-
pamentos odontológicos e testadas para verificar quanto tempo as lâmpadas funcionavam, com
os seguintes resultados
Lâmpada A 73 64 67 62 70
Lâmpada B 84 80 81 77
Lâmpada C 82 79 71 75
Teste ao nível de 5%, a hipótese de igualdade das três médias.
2. Um pesquisador deseja comparar o índice de IMC entre homens casados (grupo 1), solteiros
(grupo 2) e viúvos ou separados (grupo 3). Os resultados estão no quadro abaixo.
Grupo 1 26,5 22,5 25 26,4 27,6 28,1
Grupo 2 32,7 31,6 19,3 22,7 25,1 30,1
Grupo 3 20,4 30,2 31,7 36,5 36,9 33,2 28,7
O IMC são iguais para os três grupos?
3. Suponha-se que um pesquisador resolva investigar o comprimento (mm) de ratos de laboratório,
importantes para estudos de reparação óssea. Foram utilizados 3 raças de ratos de laboratório
(A, B e C). As medidas estão apresentadas abaixo. Verificar se há diferença entre os grupos.
Ratos A Ratos B Ratos C
96 82 115
128 124 149
83 132 166
61 135 147
101 109 -
4. Uma determinada experiência consiste em verificar os efeitos de 3 dosagens (A, B e C) de
um antibiótico (azitromicina) no organismo. No quadro abaixo são mostradas as idades dos
participantes de cada um desses 3 grupos de indivíduos que foram submetidos à experiência.
Suponha que um pesquisador alegue que os supostos resultados diferentes das dosagens do
antibiótico possam estar associados ao fato de que os grupos (populações) são heterogêneos
quanto à s idades. Seria correto dar crédito à essa observação?
A B C
12 6 10
15 7 13
23 8 17
25 11 24
31 18 27
36 20 28
50 21 32
52 30 35
101
13.9. TRABALHO 05 CAPÍTULO 13. TESTE NÃO-PARAMÉTRICOS
13.9 Trabalho 05
Instruções:
� As questões deverão ser respondidas no Word ;
� O nome do arquivo deve conter o seu nome e o nome do curso, por exemplo: RodrigoMatema-
tica;
� O arquivo deve ser enviado para o e-mail rodrigopereira@unifra.br
� O assunto do email será Trabalho 05.
� Utilize o seu email da Unifra (acesse-o através do Alunonet).
1. Uma técnica suspeita que as amostras de matérias-primas da variedade de aveia UPF16 forneci-
das diferem significantemente no conteúdo de � -glucanas. Há um grande número de amostras
corrente em seu armazém. Três dessas são escolhidas aleatoriamente para um estudo. Foram
feitas seis determinações em cada amostra e obtiveram-se os seguintes dados:
Amostra 1 4,88 4,89 4,634,91 5,32 5,31
Amostra 2 4,18 4,30 3,61 3,29 3,40 3,35
Amostra 3 1,77 1,81 1,72 1,74 2,02 2,02
Há variação significante no conteúdo de �-glucanas de amostra a amostra? Use � = 0; 05.
Formule as hipóteses.
2. Um fabricante suspeita que os lotes de matérias-primas fornecidas por seu fornecedor difere
significantemente no conteúdo de cálcio. Há um grande número de lotes corrente em seu
depósito. Cinco desses são escolhidos aleatoriamente para um estudo. Um químico faz cinco
determinações em cada lote e obtém os seguintes dados:
Lote 1 Lote 2 Lote 3 Lote 4 Lote 5
23,46 23,59 23,51 23,28 23,29
23,48 23,46 23,64 23,40 23,46
23,56 23,42 23,46 23,37 23,37
23,39 23,49 23,52 23,46 23,32
23,40 23,50 23,49 23,39 23,38
3. Utilize um teste para testar ao nível de 5%, a hipótese da igualdade das médias para os três
grupos de alunos que foram submetidos a esquemas diferenciados de aulas. Foram registradas
as notas obtidas para uma mesma prova.
Aulas Expositivas Aulas com recursos audiovisuais Aulas através de ensino programado
65 60 61
62 71 69
68 66 67
70 63 72
60 64 74
59
4. É bem conhecido que daltonismo é hereditário. Devido ao fato do gene responsável ser ligado ao
sexo, o daltonismo ocorre mais frequentemente nos homens do que nas mulheres. Numa grande
população humana, 1000 indivíduos foram selecionados ao acaso e a distribuição de daltonismo
da cor vermelha-verde segundo sexo foi:
102
13.9. TRABALHO 05 CAPÍTULO 13. TESTE NÃO-PARAMÉTRICOS
Masculino Feminino
Presente 42.00 7.00
Ausente 485.00 466.00
Os eventos ser daltônico e sexo são independentes?
103
Capítulo 14
Correlação Linear
Neste capítulo iremos avaliar se existe associação entre duas variáveis quantitativas, tais como
pressão arterial e idade do indivíduo. Quando se pode demonstrar que existe associação entre duas
variáveis quantitativas, isto é quando se constata que elas variam junts, dizemos que as variáveis estão
correlacionadas.
Neste sentido, Correlação é uma relação estatística para determinar se há algum relacionamento
significativo entre duas variáveis.
Existem muitos meios de se determinar a existência ou não da correlação entre duas variáveis.
Iremos utilizar dois métodos, o gráfico (diagrama de dispersão) e o algébrico (coeficientes).
14.1 Diagrama de Dispersão
Normalmente, num estudo estatístico, temos os dados das duas variáveis dispostos numa tabela.
Podemos representar estes dados através de um gráfico de pontos.
Exomplo: Seja a tabela abaixo composta pela massa (Kg) e altura em (cm) de crianças com 10
meses de idade.
Altura (cm) Massa (Kg)
75 9,0
70 9,2
73 8,9
78 8,5
80 9,5
69 9,6
71 9,1
72 10,0
74 8,7
77 9,4
Construímos o gráfico de dispersão colocando a variável Altura no eixo x e a Massa no eixo y. Em
seguida marcamos os pontos correspondentes a cada indivíduo.
Bioestat: Digite os valores da tabela, tal como apararecem, no grid do Bioestat.
Em seguida, clique em:
Estatísticas > Regressão > Linear Simples
O resultado será a janela abaixo:
104
14.1. DIAGRAMA DE DISPERSÃO CAPÍTULO 14. CORRELAÇÃO LINEAR
Agora, clique primeiro sobre a coluna que deseja que fique no eixo y (Massa) e em seguida na
coluna que ficará no eixo x (Altura) e por último em "Executar Estatística". O resultado será o
seguinte:
Clique sobre "Gráfico"para ver o diagrama de dispersão:
105
14.2. COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR - R CAPÍTULO 14. CORRELAÇÃO LINEAR
Note que existe um grande espalhamento de pontos ao redor da reta, isto indica que a correlação
entre as variáveis não é boa, de acordo com os dados disponíveis.
Além disso, veja que a reta está inclinada para a esquerda, significando uma correlação decrescente,
ou seja, de acordo com os dados disponíveis, na medida em que a Altura (eixo x) aumenta, a Massa
(eixo y) diminui.
Exemplo: As taxas sanguineas de insulina e glicose apresentam correlação negativa, já a taxa do
hormônio glucagônio tem correlação positiva com a glicemia.
14.2 Coeficiente de Correlação Linear - r
A análise gráfica feita acima é o primeiro passo para a determinação da correlação mas ela é
somente um indício desta correlação, precisamos de uma análise numérica para reforçar nossa decisão.
O coeficiente de correlação mede o grau de relação linear
1
entre os valores emparelhados x e y
em uma amostra. Também conhecido como coeficiente de correlação de Pearson, o valor de r deve
estar entre �1 e +1, inclusive.
Se o valor de r está próximo de 0, concluímos que não há correlação linear significativa entre x
e y, mas se r está próximo de �1 ou +1, concluímos pela existência de correlação linear significativa
entre x e y.
1
Significa o espalhamento dos pontos do diagrama de dispesão ao redor de uma reta chamada de ajuste linear.
106
14.2. COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR - R CAPÍTULO 14. CORRELAÇÃO LINEAR
O valor máximo de r (-1 ou +1) é atingido quando os pontos do diagrama estão sobre uma reta
(figuras "a"e "b") e representam uma correlação linear perfeita entre as variáveis.
Quando não existe correlação, os pontos distrtibuem-se em forma de nuvens circulares, tal como
nas figuras "c"e "f".
As correlações lineares intermediárias formam nuvens inclinadas relativamente próximas da reta de
ajuste (figuras "d"e "e").
Existem também outros tipos de correlações que, embora boas, não estão em torno de uma reta,
mas formam outras formas, como mostram as figuras "g"e "h". Estas correlações não são bem
calculadas pelo coeficiente de correlação pois este foi criado para correlações lineares.
Voltando ao nosso exemplo, como podemos determinar o coeficiente de correlação?
Simplesmente olhando a figura abaixo:
107
14.3. REGRESSÃO LINEAR SIMPLES CAPÍTULO 14. CORRELAÇÃO LINEAR
O coeficiente de correlação que procuramos é r = 0; 2482, que indica uma baixa correlação entre
as variáveis "Altura"e "Massa", pelo menos para este conjunto de dados.
Antes de continuarmos, é preciso entender bem a seguinte observação:
14.3 Regressão Linear Simples
Após analisarmos um diagrama de dispersão é possível que verifiquemos um comportamento linear
entre as variáveis, vejamos um exemplo:
Exemplo: Os dados abaixo referem-se ao peso (gramas) e a idade (semanas), de codornas:
Idade (X) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Peso (Y ) 60 100 120 150 200 210 310 320 330 360
Qual é o peso estimado de uma codorna com nove semanas e meia de vida?
Iniciamos analisando o diagrama de dispersão:
108
14.3. REGRESSÃO LINEAR SIMPLES CAPÍTULO 14. CORRELAÇÃO LINEAR
A reta "ajusta"os pontos do diagrama, ou seja, ela é capaz de resumir (ao menos teoricamente)
tais pontos, já que os pontos se encontro pouco dispersos ao redor da reta. Isto significa que podemos
trocar este conjunto de pontos pela expressão matemática da reta pontilhada, este processo é chamado
de Regressão Linear.
Um problema de regressão
2
consiste em determinar a função que descreve a relação entre duas
variáveis. Estudaremos somente o caso em que esta relação é descrita por uma função linear (reta).
A reta é a regressão linear entre as grandezas y e x conforme as medições indicados pelos pontos.
Portanto, a relação é a equação de uma reta:
Y = a + b �X
Determinar a regressão linear significa achar os valores dos coeficientes a e b (calculados pelo
Bioestat).
No Bioestat:
Estatísticas > Regressão > Linear Simples
2
A palavra Regressão é atribuída a sir Francis Galton, que, em 1886, procurou explicar por que pais mais altos tinham
filhos com estatura em média mais baixa que a deles, este fenômeno foi chamado de regressão à média.
109
14.4. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 14. CORRELAÇÃO LINEAR
Pela imagem, o valor de a é 22,6667 e o de b é 35,1515, o que nos permite montar a equação da
reta:
Y ` = 22; 6667 + 35; 1515 �XAgora que podemos contar com a equação da reta, temos a ferramenta matemática necessária
para estimar o peso de uma codorna com 9 semanas e meia de vida:
No Bioestat:
Estatísticas > Regressão > Linear Simples; clique sobre "Estimar Y"
Perceba que o Bioestat substituiu o valor desejado (9,5) pelo X da equação de ajuste, obtendo
356,6060 de valor estimado para Y, com isto, temos que se estima um peso de 356,6060 gramas para
uma codorna com 9 semanas e meia de vida.
14.4 Exercícios
1. Em um estudo conduzido na Itália, 10 pacientes com hipertrigliceridemia foram colocados sob
dieta de baixas gorduras e altos carboidratos. Antes de inicia-la, as medidas de colesterol e de
triglicerídeos foram registradas para cada indivíduo:
110
14.4. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 14. CORRELAÇÃO LINEAR
Paciente Nível de colesterol (mmol/l) Nível de triglicerídeos (mmol/l)
1 5,12 2,3
2 6,18 2,54
3 6,77 2,95
4 6,65 3,77
5 6,36 4,18
6 5,9 5,31
7 5,48 5,53
8 6,02 8,83
9 10,34 9,48
10 8,51 14,2
Existe alguma correlação entre os níveis de colesterol e de triglicerídeos antes da dieta? Ela é
significativa?
2. É esperado que a massa muscular de uma pessoa diminua com a idade. Para estudar essa
relação, uma nutricionista selecionou 18 mulheres, com idade entre 40 e 79 anos, e observou
em cada uma delas a idade (x) e a massa muscular (y).
Massa muscular (Y) Idade (X)
82.0 71.0
91.0 64.0
100.0 43.0
68.0 67.0
87.0 56.0
73.0 73.0
78.0 68.0
80.0 56.0
65.0 76.0
84.0 65.0
116.0 45.0
76.0 58.0
97.0 45.0
100.0 53.0
105.0 49.0
77.0 78.0
73.0 73.0
78.0 68.0
a) Calcule o coeficiente de correlação linear entre X e Y;
b) Ajuste uma reta de regressão para a relação entre as variáveis Y: massa muscular (dependente)
e X: idade (independente);
c) Considerando a reta estimada dada no item (b), estime a massa muscular média de mulheres
com 50 anos.
3. Um pesquisador deseja verificar se um instrumento para medir a concentração de determinada
substância no sangue está bem calibrado. Para isto, ele tomou 15 amostras de concentrações
conhecidas (X) e determinou a respectiva concentração através do instrumento (Y), obtendo:
x 2,0 2,0 2,0 4,0 4,0 4,0 6,0 6,0 6,0 8,0 8,0 8,0 10,0 10,0 10,0
y 2,1 1,8 1,9 4,5 4,2 4,0 6,2 6,0 6,5 8,2 7,8 7,7 9,6 10,0 10,1
a) Calcule o coeficiente de correlação entre as variáveis x e y;
b) Obtenha a reta de regressão da variável y em função de x.
111
14.4. EXERCÍCIOS CAPÍTULO 14. CORRELAÇÃO LINEAR
4. As medidas da concentração de uma substância no soro sanguíneo de 10 pessoas com idades
diferentes foram indicadas abaixo. Calcular o coeficiente de correlação entre a concentração
dessa substância e a idade e ajustar a equação da concentração em função da idade.
Idade(x) 16 25 25 39 39 40 50 64 65 72
Concentração(y) 1,6 1,6 1,5 4 2,7 2,5 4 5 5 6,3
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