01 - EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 01- TEORIA DOS CONJUNTOS

Prévia do material em texto

TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
1 
 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
1. ORIGEM 
 
A teoria dos Conjuntos foi introduzida pelo 
matemático russo Georg 
Cantor em 1892 e é 
considerada um marco na 
matemática contemporânea 
pois favoreceu a melhoria da 
lógica matemática 
estruturada e da álgebra. 
 
 
 
A noção de conjunto é bastante simples e 
fundamental na Matemática, pois a partir dela 
podem ser expressos todos os conceitos 
matemáticos. 
2. CONCEITOS PRIMITIVOS 
 
Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas 
sem definição, isto é, são consideradas noções 
primitivas: 
 
• conjunto; 
• elemento; 
• pertinência entre elemento e conjunto. 
CONJUNTO -ELEMENTO -PERTINÊNCIA 
A noção matemática de conjunto é 
praticamente a mesma que se usa na linguagem 
comum: é o mesmo que agrupamento, coleção. 
Exemplos: 
1. Conjunto dos planetas do sistema solar: Mercúrio, Vênus, 
Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno. 
2. Conjunto dos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,17… 
3. Conjunto dos tipos de linguagens de programação: C, 
C++, Java, Pascal, Phyton, R, … 
 
Cada membro ou objeto que entra na formação 
do conjunto é chamado de elemento. 
Geralmente utilizamos letras maiúsculas para 
representar um conjunto (𝐴, 𝐵, 𝐶, … ) e letras 
minúsculas para utilizar seus elementos 
(𝑎, 𝑏, 𝑐 … ). 
Quando um objeto 𝑥 é elemento de um 
conjunto 𝐴 dizemos que: 
• 𝒙 pertence a 𝑨 e escrevemos: 𝒙 ∈ 𝑨 
Caso contrário, 
• 𝒙 não pertence a 𝑨 e escrevemos: 𝒙 ∉ 𝑨 
Exemplo: 
No exemplo, temos que: 
𝑎 ∈ 𝐴; 
𝑏 ∈ 𝐴; 
𝑐 ∈ 𝐴; 
𝑑 ∉ 𝐴 
 
 
 
É comum apresentar graficamente um 
conjunto, como no exemplo acima. 
Construímos uma linha fechada e no seu 
interior inserimos os elementos do conjunto. 
Chamamos essa representação de diagrama de 
Venn ou diagrama de Euler-Venn, em 
homenagem ao matemático britânico John Venn 
(1834-1923). 
 
3. DESCRIÇÃO DE UM CONJUNTO 
 
Utilizamos três recursos principais para 
descrever um conjunto e seus elementos: 
DESCRIÇÃO PELA CITAÇÃO DOS ELEMENTOS 
➢ Quando um conjunto é dado pela enumeração 
de seus elementos, devemos indicá-lo 
escrevendo seus elementos entre chaves. 
Exemplos: 
1. Conjunto das vogais: {a, e, i, o, u} 
2. Conjunto dos números naturais: {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} 
 
 
 
“Do paraíso criado por 
Cantor ninguém nos tirará”. (David Hilbert) 
 
Georg Ferdinand 
Ludwig Philipp Cantor 
 
 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
2 
 
2. DESCRIÇÃO POR UMA PROPRIEDADE 
➢ Quando queremos descrever um conjunto A 
por meio de uma propriedade característica P 
de seus elementos 𝑥, escrevemos: 
 
 
e lemos: “A é o conjunto dos elementos 𝑥 tal 
que 𝑥 tem a propriedade P”. 
Exemplos: 
1. {𝑥|𝑥 é 𝑡𝑖𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑡𝑒𝑏𝑜𝑙} é uma maneira de indicar o 
conjunto: 
{𝑆𝑎𝑛𝑡𝑎 𝐶𝑟𝑢𝑧, 𝑁á𝑢𝑡𝑖𝑐𝑜, … , 𝑆𝑝𝑜𝑟𝑡} 
2. {𝑥|𝑥 é 𝑢𝑚 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜} pode ser indicado por: 
{0, 1, 4, 9, 16 … } 
3. DESCRIÇÃO POR UMA CONDIÇÃO 
➢ Às vezes os elementos de um conjunto 
precisam satisfazer algumas condições. 
Exemplos: 
1. 𝑥 é um número inteiro que satisfaz a condição 
𝑥2 − 4 = 0. 
Logo o conjunto citado é 𝑆 = {−2 , 2} 
 
2. 𝑥 é um número real que satisfaz a condição 𝑥 ≠ 0 𝑒 
𝑥8 − 1𝑐}, {𝑎, 𝑏, 𝑐}} 
 
OBSERVAÇÃO: 
O total de subconjuntos de um conjunto 
qualquer é dado por 𝟐𝒏, onde 𝑛 é a quantidade 
de elementos desse conjunto. 
 
7. COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO 
 
Dado um conjunto 𝐴, subconjunto de um certo 
universo 𝑈 , chama-se complementar de 𝐴 em 
relação a 𝑈 o conjunto formado pelos elementos 
de 𝑈 que não pertencem a 𝐴. 
 
NOTAÇÃO: 𝐴 𝑜𝑢 𝐴𝐶𝑜𝑢 ∁𝑈 
𝐴 𝑜𝑢 𝐴′ 
(lê-se complementar de A em relação a U). 
 
𝐄𝐱𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨: 
Considere 𝑈 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e 𝐴 = {1,2}. 
Logo: ∁𝑈
𝐴 = {0, 3, 4, 5} 
PROPRIEDADES DA COMPLEMENTAÇÃO 
Uma vez considerado o conjunto A, em um 
universo 𝑈 , para cada elemento 𝑥 ∈ 𝑈 , vale 
uma, e somente uma, das possibilidades 
𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐴 (na lógica esse fato é conhecido 
como princípio do terceiro excluído). 
As alternativas 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐴 não podem ser 
verdadeiras ao mesmo tempo (princípio da não 
contradição). 
Desses princípios podemos tirar as seguintes 
propriedades: 
1ª) (𝑨𝒄)𝒄 para todo 𝑨 ⊂ 𝑼 (o complementar do 
complementar de um conjunto A é o próprio 
conjunto A). 
2ª) Se 𝑨 ⊂ 𝑩 então 𝑩𝒄 ⊂ 𝑨𝒄 (se um conjunto A 
está contido em B, o complementar de B está 
contido no complementar de A). 
OBSERVAÇÃO: 
Podemos também calcular o complementar de 
um conjunto B em relação a um conjunto A. 
Neste caso escreveremos: ∁𝑨
𝑩 
Notemos que ∁𝐴
𝐵 só é definido para B ⊂ A, e aí 
temos: ∁𝐴
𝐵= 𝐴 − 𝐵 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
5 
 
Exemplos: 
1. Se 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} 𝑒 𝐵 = {𝑐, 𝑑, 𝑒}, então: 
∁𝐴
𝐵= {𝑎, 𝑏} 
2. Se 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} = 𝐵 
 ∁𝐴
𝐵= ∅ 
3. Se 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} 𝑒 𝐵 = ∅ 
 ∁𝐴
𝐵= {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} = 𝐴 
 
EXERCÍCIO DE AULA 
 
1. Escreva os conjuntos abaixo por enumeração 
dos seus elementos: 
 
𝐴 = {𝑥|𝑥 é letra da palavra matemática} 
𝐵 = {𝑥|𝑥 é cor da bandeira de Pernambuco} 
𝐶 = {𝑥|𝑥 é nome do estado brasileiro que começa 
com a letra a} 
𝐷 = {𝑥|𝑥 é cidade brasileira que já foi capital do país} 
 
2. Dados os conjuntos: 
A = {x | x é múltiplo natural de 6} 
B = {x | x é múltiplo natural de 8} 
determine o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de 
6 e 8. 
 
3. Sendo A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3, 4} e D = 
{1, 2, 3, 4}, classifique em V ou F cada sentença 
abaixo. 
a) ( ) A ⊂ D 
b) ( ) B ⊂ C 
c) ( ) C = D 
d) ( ) A ⊂ B 
e) ( ) D ⊃ B 
f) ( ) A ⊄ C 
 
4. Dado o conjunto 𝑩 = {𝟏, 𝟐, {𝟑}}, julgue se os 
itens abaixo são verdadeiros ou falsos: 
a) ( ) 𝐵 𝑡𝑒𝑚 2 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠. 
b) ( ) 1 ∈ 𝐵 
c) ( ) 2 ∈ 𝐵 
d) ( ) 3 ∈ 𝐵 
e) ( ) {1} ∈ 𝐵 
f) ( ) {2} ∈ 𝐵 
 
 
 
5. Quais das igualdades abaixo são 
verdadeiras? 
a) {𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑎, 𝑏} = {𝑎, 𝑏} 
b) {𝑥|𝑥2 = 4} = {𝑥|𝑥 ≠ 0 𝑒 𝑥3 − 4𝑥 = 0} 
c) {𝑥|2𝑥 + 7 = 11} = {2} 
d) {𝑥|𝑥por meio 
de diagramas de Venn organiza e facilita 
significativamente a resolução de certos 
problemas de contagem, conforme mostram os 
exercícios resolvidos a seguir. 
PROBLEMA 01 
Uma pesquisa foi realizada com 350 pessoas 
para avaliar a eficácia de um anúncio de 
divulgação de dois novos produtos, A e B. Ao 
final da pesquisa, constatou-se que, dos 
entrevistados, precisamente: 
• 280 conheciam o produto A; 
• 80 conheciam os dois produtos; 
• 20 não conheciam nenhum dos dois 
produtos. 
De acordo com esses dados, quantas pessoas 
entrevistadas conheciam apenas o produto B? 
Resolução: 
Por meio de um diagrama de Venn 
representamos os conjuntos: 
• U, o conjunto universo das pessoas 
entrevistadas; 
• A, o conjunto das pessoas entrevistadas 
que conhecem o produto A; 
• B, o conjunto das pessoas entrevistadas 
que conhecem o produto B. 
 
1º) O conjunto 𝐴 ∩ 𝐵, aquele das pessoas que 
conhecem os dois produtos, possui 80 
elementos. Para nos orientar, escrevemos o 
número 80 na região correspondente a 𝐴 ∩ 𝐵: 
 
2º) O conjunto A possui 280 elementos, porém, 
na primeira etapa, já foram consideradas 80 
pessoas desse total, faltando, portanto, 200 
pessoas para completar o conjunto. 
O número 200 deve ser escrito na região que 
corresponde a 𝐴 − 𝐵. 
 
3º) A região que corresponde a (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 é a das 
pessoas que não conhecem nenhum dos dois 
produtos. Nessa região, escrevemos o número 
20: 
 
 
 
 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
9 
 
4º) A região que corresponde ao conjunto 𝐵 − 𝐴 
é a das pessoas que conhecem apenas o 
produto 𝐵 . O número 𝑥 de elementos desse 
conjunto é o que procuramos: 
 
⟹ Como o conjunto universo 𝑈 tem 350 
elementos, obtemos: 
20 + 200 + 80 + 𝑥 = 350 
𝒙 = 𝟓𝟎 
Logo, 50 pessoas conheciam apenas o 
produto B. 
 
 
PROBLEMA 2 
Uma indústria de artigos esportivos fez uma 
pesquisa de mercado com 1.500 pessoas, que 
deveriam responder “sim” ou “não” a cada uma 
das seguintes perguntas: 
 
 I. Você pratica caminhada? 
II. Você pratica corrida? 
III. Você pratica musculação? 
 
O resultado da pesquisa foi apresentado na 
tabela: 
 
Resposta “sim” Número de pessoas 
à pergunta I 800 
à pergunta II 332 
à pergunta III 618 
às perguntas I e II 
simultaneamente 
118 
às perguntas I e III 
simultaneamente 
172 
às perguntas II e III 
simultaneamente 
110 
às perguntas I, II, e III 
simultaneamente 
70 
De acordo com esses dados, quantas pessoas 
responderam “não” a todas as perguntas? 
Resolução: 
Sejam: 
• U o conjunto das 1.500 pessoas 
entrevistadas; 
• A o conjunto das pessoas que responderam 
“sim” à pergunta I; 
• B o conjunto das pessoas que responderam 
“sim” à pergunta II; 
• C o conjunto das pessoas que responderam 
“sim” à pergunta III. 
 
1º) Nesse tipo de problema, convém indicar, 
inicialmente, o número de elementos da 
intersecção dos conjuntos. Assim, escrevemos o 
número 70 na região que corresponde 
a 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶: 
 
 
 
 
 
2º) A seguir, devemos indicar o número de 
elementos das intersecções dos conjuntos dois a 
dois. Como o número de elementos de 𝐴 ∩ 𝐵 é 
118 e já indicamos 70 elementos nessa 
intersecção, faltam 48 elementos em 𝐴 ∩ 𝐵 . 
Como o conjunto 𝐴 ∩ 𝐶 tem 172 elementos e já 
indicamos 70 elementos nessa intersecção, 
faltam 102 elementos em 𝐴 ∩ 𝐶 . Como o 
conjunto 𝐵 ∩ 𝐶 tem 110 elementos e já 
indicamos 70 elementos nessa intersecção, 
faltam 40 elementos em 𝐵 ∩ 𝐶: 
 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
10 
 
 
3º) Como o número de elementos do conjunto A 
é 800 e já indicamos 220 elementos em A, faltam 
580 elementos para completar o conjunto. Como 
o número de elementos do conjunto B é 332 e já 
indicamos 158 elementos em B, faltam 174 
elementos. Como o número de elementos de C é 
618 e já indicamos 212 elementos em C, faltam 
406 elementos. Finalmente, indicamos por 𝑥 o 
número de pessoas que responderam “não” às 
três perguntas: 
 
Como o número de elementos do conjunto 
universo U é 1.500, temos: 
 𝑥 + 174 + 48 + 70 + 40 + 580 + 102 + 406
= 1.500 
𝒙 = 𝟖𝟎 
Concluímos que, das pessoas entrevistadas, 
80 responderam “não” às três perguntas. 
 
EXERCÍCIO DE AULA 
 
11. Dados os conjuntos: 
 
 𝐴 = {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, 
𝐵 = {2, 4, 5, 6, 9} 
𝐶 = {0, 3, 6, 9, 10} 
 
Determine: 
a) 𝐴 ∪ 𝐵 
b) 𝐵 ∩ 𝐶 
c) (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶 
d) (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 
e) 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) 
f) 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) 
 
12. Dado o diagrama, hachure os conjuntos 
fazendo uma figura para cada item: 
 
a) 𝐴 ∪ 𝐵 
b) 𝐵 ∪ 𝐶 
c) (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 
d) (𝐵 ∩ 𝐶) ∪ 𝐴 
e) 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) 
f) (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) 
 
13. Dado o diagrama, hachure os conjuntos 
fazendo uma figura para cada item: 
 
a) A – B 
b) B - C 
c) A - C 
d) B – A 
 
 
14. Dados os conjuntos A = {3, 4, 5, 6}, 
B = {1, 3, 5, 7} e H = {4, 6}, determine: 
a) ∁𝐴
𝐻 
b) (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐻 
c) (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) 
d) (𝐵 ∪ 𝐻) − 𝐴 
 
15. (CEFET-MG) Em uma enquete realizada com 
pessoas de idade superior a 30 anos, pesquisou-
se as que estavam casadas ou não, se tinham ou 
não filhos. Constatou-se que 45 pessoas não 
eram casadas, 49 não tinham filhos, e 99 
estavam casadas e com filhos. Sabendo-se que 
180 pessoas responderam a essa enquete, o 
número das que se declararam não casadas e 
sem filhos foi de: 
a) 13 
b) 23 
c) 27 
d) 32 
e) 36 
 
 
 
 
 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
11 
 
16. Classifique em verdadeiro (V ) ou falso (F): 
( ) Se A tem 3 elementos e B tem 4 elementos, 
então 𝐴 ∪ 𝐵 tem 7 elementos. 
( ) Se A tem 2 elementos e B tem 3 elementos, 
então 𝐴 ∩ 𝐵 tem 2 elementos. 
( ) Se 𝐴∩ 𝐵=∅, A tem 5 elementos e B tem 4 
elementos, então 𝐴∪𝐵 tem 9 elementos. 
 
17. (PUC-MG) Em um grupo de 60 pessoas 
residentes em certo município, há 28 que 
trabalham por conta própria, 26 que trabalham 
com carteira assinada e 15 que têm esses dois 
tipos de trabalho. O número de pessoas desse 
grupo que não trabalham por conta própria e nem 
trabalham com carteira assinada é: 
a) 21 
b) 23 
c) 25 
d) 27 
 
18. (ESPM-SP) Numa empresa multinacional, 
sabe-se que 60% dos funcionários falam inglês, 
45% falam espanhol e 30% deles não falam 
nenhuma daquelas línguas. Se exatamente 49 
funcionários falam inglês e espanhol, podemos 
concluir que o número de funcionários dessa 
empresa é igual a: 
a) 180 
b) 140 
c) 210 
d) 165 
e) 127 
 
19. (UERN) Em um vestibular para ingresso no 
curso de Engenharia de uma determinada 
universidade, foi analisado o desempenho dos 
1472 vestibulandos nas provas de português, 
matemática e física, obtendo-se o seguinte 
resultado: 
 
• 254 candidatos foram aprovados somente em 
Português; 
• 296 candidatos foram aprovados somente em 
Matemática; 
• 270 candidatos foram aprovados somente em 
Física; 
• 214 candidatos foram aprovados em 
Português e Física; 
• 316 candidatos foram aprovados em 
Matemática e Física; 
• 220 candidatos foram aprovados em 
Português e Matemática; 
• 142 candidatos foram reprovados nas três 
disciplinas. 
 
O número de alunos aprovados nas três 
disciplinas, e, portanto, aptos a ingressarem no 
curso de Engenharia, é: 
a) 98 
b) 110 
c) 120 
d) 142 
 
20. (ESPCEX-SP) Uma determinada empresa 
de biscoitos realizou uma pesquisa sobre a 
preferência de seus consumidores em relação a 
seus três produtos: biscoitos cream cracker, 
wafer e recheados. Os resultados indicaram 
que: 
 
• 65 pessoas compram cream crackers. 
• 85 pessoas compram wafers. 
• 170 pessoas compram biscoitos recheados. 
• 20 pessoas compram wafers, cream 
crackers e recheados. 
• 50 pessoas compram cream crackers e 
recheados. 
• 30 pessoas compram cream crackers e 
wafers. 
• 60 pessoas compram wafers e recheados. 
• 50 pessoas não compram biscoitos dessa 
empresa. 
 
Determine quantas pessoas responderama 
essa pesquisa. 
a) 200 
b) 250 
c) 320 
d) 370 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
12 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Segundo a teoria, um conjunto com 𝑚 
elementos tem exatamente 2𝑚 Subconjuntos. 
Usando esse raciocínio, determine o número de 
elementos do conjunto A, sabendo que: 
 
1. B é um conjunto de três elementos; 
2. A ∩ B é vazio; 
3. O número de subconjuntos de A∪B é 32. 
 
2. Uma prova era constituída de dois problemas. 
300 alunos acertaram somente um dos 
problemas, 260 acertaram o segundo, 100 
alunos acertaram os dois e 210 erraram o 
primeiro. Quantos alunos fizeram a prova? 
 
3. (UFGO) Nas sentenças abaixo, assinalam-se 
com V as sentenças verdadeiras e com F as 
falsas: 
 
1. {2} ∈ {0, 1, 2} 
2. ∅ ⊂ {5, 6, 7} 
3. ∅ ∈ {∅, 4} 
4. 5 ∈ {3, {5, 1}, 4} 
5. {5, 6} ⊃ {5, 6, 7} 
 
Nesta ordem, a alternativa CORRETA é: 
(A) F, V, V, F, F 
(B) V, F, F, V, F 
(C) F, V, V, F, V 
(D) V, F, F, V, V 
 
4. Qual das proposições abaixo é 
VERDADEIRA? 
(A) 0 = {0} 
(B) 0 ∈ ∅ 
(C) { } = ∅ 
(D) {{ }} = ∅ 
 
5. Sendo A = {1, 2, {1}, {2, 3}}, qual das 
proposições abaixo é FALSA? 
(A) 1 ∈ A 
(B) {3} ∈ A 
(C) {1} ∈ A 
(D) A possui quatro elementos 
 
6. Dado o conjunto A = {1, {2}, 2}, qual das 
relações abaixo é FALSA? 
(A) {2} ∈ A 
(B) {1} ∈ A 
(C) {1, 2} ⊂ A 
(D) {2} ⊂ A 
(E) {2, {2}} ⊂ A 
 
7. Dado o conjunto A = {3, {3}} e as proposições: 
 
I. 3 ∈ A 
II. {3} ⊂ A 
III. {3} ∈ A 
 
Então: 
 (A) apenas as proposições I e II são verdadeiras 
(B) apenas as proposições II e III são verdadeiras 
(C) apenas as proposições I e III são verdadeiras 
(D) todas as proposições são verdadeiras 
(E) nenhuma proposição é verdadeira 
 
8. (F. C. Chagas) Se A = {∅, 3, {3}, {2, 3}}, então: 
(A) {2, 3} ⊂ A 
(B) 2 ∈ A 
(C) ∅ ∉ A 
(D) 3 ⊂ A 
(E) {3} ∈ A 
 
9. (UNB) No diagrama abaixo, tem-se que: 
(A) 3 ∈ 𝑃(𝐹) 
(B) {4, 5} ⊂ 𝑃(𝐹) 
(C) {3} ∉ 𝑃(𝐹) 
(D) {2, 3} ⊂ 𝑃(𝐹) 
(E) {{9}} ∈ 𝑃(𝐹) 
 
10. (PUC – MG) Considere os seguintes 
conjuntos de números naturais: 
𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ/ 0 ≤ 𝑥 ≤ 25} e 
𝐵 = {𝑥 ∈ ℕ / 16 ≤ 𝑥leem A e B 
• 15% dos entrevistados leem A e C 
• 19% dos entrevistados leem B e C 
• 7% dos entrevistados leem os três jornais 
• 135 pessoas entrevistadas não leem 
nenhum dos três jornais. 
 
Considerando-se esses dados, é CORRETO 
afirmar que o número de entrevistados foi: 
(A) 1200 
(B) 1250 
(C) 1500 
(D) 1350 
 
34. Numa sociedade existem: 
 
• 35 homens 
• 18 pessoas que usam óculos 
• 15 mulheres que não usam óculos 
• 7 homens que usam óculos 
 
Qual o número de pessoas que compõem a 
sociedade? 
(A) 26 
(B) 35 
(C) 40 
(D) 46 
(E) 61 
 
35. Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam 
xadrez, 31 são homens ou jogam xadrez e 3 
mulheres jogam xadrez. Conclui-se, portanto, 
que: 
(A) 31 são mulheres 
(B) 29 são homens 
(C) 29 mulheres não jogam xadrez 
(D) 23 homens não jogam xadrez 
(E) 9 homens jogam xadrez 
 
36. Numa pesquisa sobre a preferência em 
relação a dois jornais, foram consultadas 470 
pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 delas 
leem o jornal A, 180 leem o jornal B e 60 leem os 
dois jornais. Pergunta-se: 
A) Quantas pessoas leem apenas o jornal A? 
B) Quantas pessoas leem apenas o jornal B? 
C) Quantas pessoas leem jornais? 
D) Quantas pessoas não leem jornais? 
 
37. Responda: 
A) Como se chama o conjunto que tem um só 
elemento? 
B) Se A ∩ B = ∅, como se chamam os conjuntos 
A e B? 
C) Se um conjunto A tem 3 elementos e um 
conjunto B tem 5 elementos, quantos elementos, 
no máximo, terá o conjunto A ∩ B? 
D) Se A e B são disjuntos, quantos elementos 
terá o conjunto A ∩ B? 
 
 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
16 
 
38. Uma editora estuda a possibilidade de lançar 
novamente as publicações HELENA, SENHORA 
e A MORENINHA. Para isso, efetuou uma 
pesquisa de mercado e concluiu que em cada 
1.000 pessoas consultadas, 600 leram A 
MORENINHA, 400 leram HELENA, 300 leram 
SENHORA, 200 leram A MORENINHA e 
HELENA, 150 leram A MORENINHA e 
SENHORA, 100 leram HELENA e SENHORA e 
20 leram as três obras. Pergunta-se: 
A) Quantas pessoas leram apenas uma das três 
obras? 
B) Quantas pessoas não leram nenhuma das 
três obras? 
C) Quantas pessoas leram duas ou mais obras? 
 
39. Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 
20 jogam vôlei e basquete, 22 jogam basquete e 
futebol, 18 jogam vôlei e futebol, 11 jogam as três 
modalidades. O número de pessoas que jogam 
basquete é igual ao número de pessoas que 
jogam futebol. Pergunta-se: 
A) Quantos jogam futebol e não jogam vôlei? 
B) Quantos jogam basquete e não jogam vôlei? 
C) Quantos jogam vôlei e não jogam basquete? 
 
40. Numa cidade são consumidos três produtos 
A, B e C. Foi feito um levantamento de mercado 
Sobre o consumo desses produtos e obteve-se o 
seguinte resultado: 
 
 
 
 
 
Pergunta-se: 
A) Quantas pessoas consomem apenas o 
produto A? 
B) Quantas pessoas consomem o produto A ou 
o produto B ou o produto C? 
C) Quantas pessoas consomem o produto A ou 
o produto B? 
D) Quantas pessoas foram consultadas? 
 
41. Numa escola 30% dos alunos falam inglês e 
90% falam francês. Qual a porcentagem de 
alunos que falam as duas línguas? 
(A) 40% 
(B) 10% 
(C) 20% 
(D) 60% 
 
42. Num grupo de 30 pessoas, 21 estudam 
francês, 14 estudam inglês, enquanto três não 
estudam nem francês nem inglês. O número de 
pessoas que estudam ambas as línguas é: 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 6 
(D) 8 
 
43. (UFMG) Em uma escola, 5.000 alunos 
inscreveram-se para cursar as disciplinas A e B. 
Desses alunos, 2.825 matricularam-se na 
disciplina A e 1.027 na disciplina B. Por falta de 
condições acadêmicas, 1.324 alunos não 
puderam matricular-se em nenhuma das 
disciplinas. O número de alunos matriculados, 
simultaneamente, nas duas disciplinas, é: 
(A) 156 
(B) 176 
(C) 297 
(D) 1.027 
 
44. (Mack – SP) Numa escola há n alunos. Sabe-
se que 56 alunos leem o jornal A, 21 alunos leem 
os jornais A e B, 106 leem apenas um dos dois 
jornais e 66 não leem o jornal B. O valor de n é: 
(A) 249 
(B) 137 
(C) 158 
(D) 127 
 
45. (UFPE) Os alunos de uma turma cursam 
alguma(s) dentre as disciplinas matemática, 
física e química. Sabendo que: 
 
 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
17 
 
• o número de alunos que cursam matemática e 
física excede em 5 o número de alunos que 
cursam as três disciplinas; 
• Existem 7 alunos que cursam matemática e 
química, mas não cursam física; existem 6 
alunos que cursam física e química, mas não 
cursam matemática; 
• O número de alunos que cursam exatamente 
uma das disciplinas é 150; 
• O número de alunos que cursam pelo menos 
uma das três disciplinas é 190. 
Quantos alunos cursam as três disciplinas? 
 
46. (UFPB) A Secretaria de Saúde do Estado da 
Paraíba, em estudos recentes, observou que o 
número de pessoas acometidas de doenças 
como gripe e dengue tem assustado bastante a 
população paraibana. Em pesquisas realizadas 
com um universo de 700 pessoas, constatou-se 
que 10% tiveram gripe e dengue, 30% tiveram 
apenas gripe, e 50% tiveram gripe ou dengue. O 
número de pessoas que tiveram apenas dengue 
é: 
(A) 350 
(B) 280 
(C) 210 
(D) 140 
(E) 70 
 
47. (PUC-RS) Em uma escola, numa turma de 20 
estudantes, 16 jogam futebol, 12 jogam voleibol, 
e 2 não praticam esporte algum. O número de 
alunos dessa turma que joga somente futebol é: 
(A) 4 
(B) 6 
(C) 10 
(D) 12 
 
48. Um conjunto F possui exatamente 128 
subconjuntos. Qual é o número de elementos de 
F? 
 
49. Dados A e B conjuntos tais que 𝑛(𝐴) = 4, 
𝑛(𝐵) = 5 e 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 3, determine o número 
de subconjuntos de 𝐴 ∪ 𝐵. 
50. (UEPA) A Câmara dos Deputados reuniu-se 
extraordinariamente para decidir sobre a 
instalação de duas Comissões Parlamentares de 
Inquéritos (CPIs): a do futebol e a do caixa 2. Dos 
320 deputados presentes, 190 votaram a favor 
da instalação da CPI do futebol; 200 pela 
instalação da CPI do caixa 2; 90 votaram a favor 
da instalação das duas comissões; e x 
deputados foram contrários à instalação das 
CPIs. O número x de deputados que votaram 
contra a instalação das CPIs é: 
(A) 160 
(B) 90 
(C) 70 
(D) 50 
(E) 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. (A) 2. 450 
 
3. (A) 4. (C) 5. (B) 
6. (B) 7. (D) 8. (E) 9. (E) 10. (A) 
11. (D) 12. (B) 13. (B) 14. (B) 15. (C) 
16. (A) 17. (A) 18. (A) 19. (C) 20. (D) 
21. (C) 22. (A) 23. (E) 24. (D) 25. (C) 
26. (B) 27. (D) 28. (C) 29. (C) 30. (C) 
31. (C) 32. (C) 33. (A) 34. (E) 35. (C) 
36. 
A) 190 
B) 120 
C) 370 
D) 100 
37. 
A) Unitário 
B) Disjuntos 
C) 3 
D) 0 
38. 
A) 460 
B) 130 
C) 410 
39. 
A) 36 
B) 34 
C) 20 
40. 
A) 420 
B) 280 
C) 140 
41. (C) 42. (D) 43. (B) 44. (C) 45. 22 
46. (E) 47. (B) 48. 7 49. 64 50. (E) 
 
 
“Always remember: your focus determines your reality.” 
(Qui-Gon Jinn - Jedi master) 
(Lembre-se sempre: Seu foco determina sua realidade.)