EX 10-11-

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DADOS INICIAIS: 
Tensões de fase fornecidas: 
V_AN = 170 ∠ −25° V 
 V_BN = 100 ∠ −130° V 
 V_CN = 130 ∠ −70° V 
Carga em estrela com impedâncias: 
Z_A = Z_B = Z_C = 6 ∠ 30° Ω 
 Z_N = 10 ∠ 20° Ω (impedância do neutro) 
Admitâncias: 
Y_A = Y_B = Y_C = 1 / (6 ∠ 30°) = 0,1667 ∠ −30° 
 Y_N = 1 / (10 ∠ 20°) = 0,1 ∠ −20° 
TENSÃO DO NEUTRO DESLOCADO EM SISTEMA COM Z_N FINITO 
A fórmula geral (válida para Z_N ≠ 0) é: 
Vn' = 
 ( V_AN·Y_A + V_BN·Y_B + V_CN·Y_C ) 
 / 
 ( Y_A + Y_B + Y_C + Y_N ) 
Como Y_A = Y_B = Y_C, podemos usar diretamente: 
Converter tensões para forma retangular 
V_AN = 170 ∠ −25° 
 = 153,9 − j71,8 
V_BN = 100 ∠ −130° 
 = −64,3 − j76,6 
V_CN = 130 ∠ −70° 
 = 44,46 − j122,16 
Aplicar admitância 
Y_A = 0,1667 ∠ −30° 
 = 0,1443 − j0,0833 
Multiplicações: 
T_A = V_AN · Y_A 
 T_B = V_BN · Y_B 
 T_C = V_CN · Y_C 
T_A = V_AN · Y_A 
(153,9 − j71,8)(0,1443 − j0,0833) 
Resultado: 
T_A = 29,01 − j28,01 
T_B = V_BN · Y_B 
(−64,3 − j76,6)(0,1443 − j0,0833) 
T_B = −16,35 − j4,79 
T_C = V_CN · Y_C 
(44,46 − j122,16)(0,1443 − j0,0833) 
T_C = −2,98 − j18,64 
Somatório do numerador: 
T_sum = T_A + T_B + T_C 
Real: 29,01 − 16,35 − 2,98 = 9,68 
 Imag: −28,01 − 4,79 − 18,64 = −51,44 
T_sum = 9,68 − j51,44 
DENOMINADOR 
D = Y_A + Y_B + Y_C + Y_N 
3·Y_A = 3(0,1443 − j0,0833) 
 = 0,4329 − j0,2499 
Y_N = 0,1 ∠ −20° 
 = 0,0940 − j0,0342 
Somando: 
Real: 0,4329 + 0,0940 = 0,5269 
 Imag: −0,2499 − 0,0342 = −0,2841 
D = 0,5269 − j0,2841 
TENSÃO DO NEUTRO DESLOCADO 
Vn' = T_sum / D 
 Vn' = (9,68 − j51,44) / (0,5269 − j0,2841) 
Após multiplicar pelo conjugado: 
Vn' = −82,3 − j71,6 
Convertendo para polar: 
|Vn'| = √(82,3² + 71,6²) = 109,3 V 
 θ = arctan(−71,6 / −82,3) 
 Ambos negativos → ângulo no terceiro quadrante: 
θ ≈ −140° 
 RESULTADO DA TENSÃO DE NEUTRO: 
Vn' ≈ 109,3 ∠ −140° V 
TENSÕES APLICADAS À CARGA 
V_A' = V_AN − Vn' 
V_B' = V_BN − Vn' 
V_C' = V_CN − Vn' 
Converter Vn' para retangular: 
Vn' = −82,3 − j71,6 
V_A' 
(153,9 − j71,8) − (−82,3 − j71,6) 
 = 236,2 − j0,2 
 ≈ 236,2 ∠ 0° 
V_B' 
(−64,3 − j76,6) − (−82,3 − j71,6) 
 = 18,0 − j5,0 
 Magnitude ≈ 18,7 
 Ângulo ≈ −15° 
V_C' 
(44,46 − j122,16) − (−82,3 − j71,6) 
 = 126,8 − j50,6 
 Magnitude ≈ 136,6 
 Ângulo ≈ −22° 
CORRENTES DE FASE 
I_k = V_k' / Z 
 Z = 6 ∠30° 
I_A: 
V_A' ≈ 236,2 ∠ 0° 
 I_A = 236,2 ∠ 0° / 6 ∠ 30° 
I_A = 39,37 ∠ −30° A 
I_B: 
18,7 ∠ −15° / 6 ∠ 30° 
 I_B = 3,11 ∠ −45° A 
I_C: 
136,6 ∠ −22° / 6 ∠ 30° 
 I_C = 22,77 ∠ −52° A 
COMPONENTES SIMÉTRICOS 0, 1 e 2 
a = 1∠120° 
 a² = 1∠240° 
Definições: 
I0 = (I_A + I_B + I_C)/3 
 I1 = (I_A + a I_B + a² I_C)/3 
 I2 = (I_A + a² I_B + a I_C)/3 
Após realizar todos os produtos 
I0 ≈ 21,0 ∠ −40° A 
I1 ≈ 16,7 ∠ −33° A 
I2 ≈ 8,6 ∠ −144° A 
RESUMINDO: 
Tensão do neutro: 
Vn' = 109,3 ∠ −140° V 
Correntes de fase: 
I_A = 39,37 ∠ −30° A 
 I_B = 3,11 ∠ −45° A 
 I_C = 22,77 ∠ −52° A 
Componentes simétricos: 
I0 = 21,0 ∠ −40° A 
 I1 = 16,7 ∠ −33° A 
 I2 = 8,6 ∠ −144° A 
 
 
 
Tensão de fase dada: 
V_AN = 120∠−30° 
 V_BN = 120∠−150° 
 V_CN = 120∠90° 
Impedâncias: 
Z_A = 6∠0° Ω 
Z_B = 6∠30° Ω 
Z_C = 5∠45° Ω 
Z_N = 10∠20° Ω 
Admitâncias: 
Y_A = 0,1667 
Y_B = 0,1667∠−30° 
Y_C = 0,20∠−45° 
Y_N = 0,1∠−20° 
Cálculo do numerador 
T_A = 17,32 − j10 
 T_B = −20 + j0 
 T_C = 16,97 + j16,97 
Soma: 
N = 14,29 + j6,97 
Cálculo do denominador 
D = Y_A + Y_B + Y_C + Y_N 
 D = 0,5464 − j0,2589 
Tensão do neutro deslocado 
V_n' = (14,29 + j6,97) / (0,5464 − j0,2589) 
Resultado: 
V_n' ≈ 31,6 + j41,8 
V_n' ≈ 52,5∠53° volts 
Corrente de neutro 
I_N = Y_N · V_n' 
 I_N = 0,1∠−20° × 52,5∠53° 
 I_N ≈ 5,25∠33° A 
Resultados finais (para copiar no Word): 
V_n' ≈ 52,5∠53° volts 
I_N ≈ 5,25∠33° amperes 
 
	TENSÃO DO NEUTRO DESLOCADO EM SISTEMA COM Z_N FINITO 
	Converter tensões para forma retangular 
	Aplicar admitância 
	T_A = V_AN · Y_A 
	T_B = V_BN · Y_B 
	T_C = V_CN · Y_C 
	DENOMINADOR 
	TENSÃO DO NEUTRO DESLOCADO 
	TENSÕES APLICADAS À CARGA 
	V_A' 
	V_B' 
	V_C' 
	CORRENTES DE FASE 
	I_A: 
	I_B: 
	I_C: 
	COMPONENTES SIMÉTRICOS 0, 1 e 2 
	I0 ≈ 21,0 ∠ −40° A 
	I1 ≈ 16,7 ∠ −33° A 
	I2 ≈ 8,6 ∠ −144° A 
	RESUMINDO: 
	Tensão de fase dada: 
	V_AN = 120∠−30°​ V_BN = 120∠−150°​ V_CN = 120∠90° 
	Impedâncias: 
	Z_A = 6∠0° Ω​Z_B = 6∠30° Ω​Z_C = 5∠45° Ω​Z_N = 10∠20° Ω 
	Admitâncias: 
	Y_A = 0,1667​Y_B = 0,1667∠−30°​Y_C = 0,20∠−45°​Y_N = 0,1∠−20° 
	Cálculo do numerador 
	T_A = 17,32 − j10​ T_B = −20 + j0​ T_C = 16,97 + j16,97 
	Soma: 
	N = 14,29 + j6,97 
	Cálculo do denominador 
	D = Y_A + Y_B + Y_C + Y_N​ D = 0,5464 − j0,2589 
	Tensão do neutro deslocado 
	V_n' = (14,29 + j6,97) / (0,5464 − j0,2589) 
	Resultado: 
	V_n' ≈ 31,6 + j41,8​V_n' ≈ 52,5∠53° volts 
	Corrente de neutro 
	I_N = Y_N · V_n'​ I_N = 0,1∠−20° × 52,5∠53°​ I_N ≈ 5,25∠33° A 
	Resultados finais (para copiar no Word): 
	V_n' ≈ 52,5∠53° volts​I_N ≈ 5,25∠33° amperes