Ebook Completo - Matemática Financeira

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Elidio Luiz Martinelli
Paulo Vitoriano Dantas Pereira
ORGANIZADOR(A): Ana Carolina Cavalcanti de Vasconcelos
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Matemática 
Financeira
© by Ser Educacional
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MARTINELLI, Elidio Luiz ; PEREIRA, Paulo Vitoriano Dantas.
Organizador(a): VASCONCELOS, Ana Carolina Cavalcanti de; .
Matemática Financeira:
Recife: Grupo Ser Educacional- 2023.
159 p.: pdf
ISBN: 978-65-5487-104-4
1. matemática 2. finanças 3. planejamento.
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PROFESSOR/AUTOR
Nota pessoal e particular 
do autor.
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um determinado texto.
RESUMINDO
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foi visto no conteúdo.
SAIBA MAIS
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SINTETIZANDO
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conteúdo estudado.
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ASSISTA
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ATENÇÃO
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CURIOSIDADES
Informações 
interessantes e 
relevantes.
CONTEXTUALIZANDO
Contextualização sobre o 
tema abordado.
DEFINIÇÃO
Definição sobre o tema 
abordado.
DICA
Dicas interessantes sobre 
o tema abordado.
EXEMPLIFICANDO
Exemplos e explicações 
para melhor absorção do 
tema.
EXEMPLO
Exemplos sobre o tema 
abordado.
FIQUE DE OLHO
Informações que 
merecem relevância.
SUMÁRIO
UNIDADE 1
Juros e a Matemática Financeira � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 11
Conceitos Importantes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �12
Capitalização Simples � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �14
Juros exatos, ordinários e bancários � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �17
Capitalização Composta � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �18
Diferença Entre os Regimes de Capitalização � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �21
Aplicação das Fórmulas e o Uso da Calculadora Financeira � � � � � � � � � � 23
Taxas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 30
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 31
Taxa Nominal e Taxa Efetiva � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 35
UNIDADE 2
Descontos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 41
Desconto Simples � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 43
Desconto Composto � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 49
Equivalência de capitais � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �56
Fluxo de Caixa � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 57
Data Focal � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 58
Equação de Valor � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 59
Capitais Equivalentes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 60
UNIDADE 3
Série de pagamentos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �67
Séries Uniformes Postecipadas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 69
Séries Uniformes Antecipadas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 83
Séries Uniformes Diferidas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 92
Sistemas de amortização � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �97
Sistema Americano de Amortização (SAA) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 99
Sistema de Amortização Constante � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 102
Sistema Price ou Francês de amortização (SFA) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 108
Sistema de Amortização Misto � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �114
UNIDADE 4
Correção monetária e inflação � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 123
Índice de preços e taxas de inflação � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 127
Impacto da inflação sobre as atividades empresariais � � � � � � � � � � � � � 130
Cálculo da variação nos níveis de preços � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 131
Índices de inflação � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 132
Juros e inflação � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 134
Análise de investimentos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 140
Métodos e técnicas de Avaliação de Investimentos � � � � � � � � � � � � � � � 142
Método do Valor Presente Líquido (VPL) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 145
Método do prazo de retorno (Payback) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 146
Índice de Lucratividade (IL) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 148
Taxa Interna de Retorno (TIR) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 149
Depreciação � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 151
Fundo de depreciação � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 152
Método Linear � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �153
Apresentação
Olá, aluno(a)!
Desde muito pequenas, as crianças têm contato com o di-
nheiro e, para elas, ele é o facilitador na obtenção de bens. São pou-
cas as pessoas que compreendem a rentabilidade de investimentos, 
os cálculos de um financiamento ou fazem uma comparação entre o 
preço à vista e o total a prazo na hora de adquirir um bem. Há falta 
de planejamento para a aposentadoria, e não é apenas no Brasil que 
isso acontece.
Esse cenário poderia mudar se o estudo da matemática fi-
nanceira estivesse mais presente na vida das pessoas. Desde muito 
cedo, as escolas deveriam trabalhar esses conteúdos como forma 
de preparar seus alunos para a vida. Por isso, procurou-se abordar 
neste material didático o estudo da matemática financeira focado 
não somente em cálculos matemáticos, mas tambémexemplo.
Fonte: Martinelli e Pereira (2018).
Dados:
FV = 20.000,00
n = 3 anos x 12 = 36 meses
EXEMPLO
75
i = 2% a.m. = 0,02
PMT = ?
Aplicando a fórmula, temos:
Logo, essa pessoa terá de depositar mensalmente nesse Fun-
do de Renda Fixa uma quantia de R$ 384,66. Realizando o cálculo 
através da calculadora HP 12c, temos:
Tabela 3 - Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12c
Fonte: elaborado pela autora (2023).
Um empresário quer saldar uma dívida que vencerá daqui a 60 me-
ses, no valor de R$ 150.000,00. Qual o valor da parcela que ele deverá 
depositar em um Fundo de Renda Fixa para quitar esse débito, sa-
bendo que a taxa mensal dessa aplicação é de 1,5 % ao mês?
→
76
Gráfico 5 - Representação gráfica dos dados do exemplo.
Fonte: Martinelli e Pereira (2018).
Dados:
FV = 150.000,00
n = 60 meses
i = 1,5% a.m. = 0,015
PMT = ?
Aplicando a fórmula, temos:
Portanto, para esse empresário saldar sua dívida, terá de de-
positar uma quantia mensal de R$ 1.559,01. Realizando o cálculo 
através da calculadora HP 12c, temos:
→
EXEMPLO
77
Tabela 4 - Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12c.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
 • Fator de Valor Atual (FVA) em Fluxo Postecipado
Com relação ao valor presente ou atual, vamos determinar o 
valor presente (PV) que deve ser aplicado para que se possa retirar 
parcelas (PMT) em cada um dos períodos subsequente (n). Assim, 
iremos resolver o problema que envolve uma série de pagamentos 
com termos vencidos, chamado de Fator de Valor Atual (FVA), com 
o auxílio da seguinte equação:
Fórmula:
Onde:
PV = Valor Presente ou Valor do Financiamento
PMT = Valor de cada Pagamentos ou Recebimentos
i = Intervalo de tempo / nº de pagamentos
n = Taxa de juros
Vamos a aplicação de exemplos práticos:
Qual o valor que, financiado à taxa de 2,5 % ao mês, pode ser pago 
ou amortizado em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 
200,00 cada uma?
78
Dados:
PMT = 200,00
i = 2,5% a.m. = 0,025
n = 5 meses
PV = ?
Aplicando a fórmula, temos:
Logo, o valor do financiamento é de R$ 929,17. Realizando o 
cálculo através da calculadora HP 12c, temos: 
Tabela 5 - Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12c.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
→
EXEMPLO
79
Calcule o valor atual de uma série de 24 parcelas iguais, mensais e 
con- secutivas, de R$ 350,00 cada uma, considerando que a taxa de 
aplicação é de 4 % ao mês.
Gráfico 6 - Representação gráfica dos dados do exemplo.
Fonte: Martinelli e Pereira (2018).
Dados:
PMT = 350,00
i = 4% a.m. = 0,04
n = 24 meses
PV = ?
Aplicando a fórmula, temos:
→
EXEMPLO
80
Logo, o valor atual desse financiamento é R$ 5.336,44. Reali-
zando o cálculo através da calculadora HP 12c, temos:
Tabela 6 - Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12c.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
 • Fator de Recuperação de Capital (FRC) em Fluxo Postecipado
No fator de recuperação de capital (FRC), podemos calcular o 
valor das parcelas iguais, referentes a um empréstimo ou a um fi-
nanciamento, que deve ser retirada em cada período (n) para que se 
recupere o investimento (PV), através de um fluxo postecipado, por 
meio da equação a seguir:
Fórmula: 
Onde:
PV = Valor Presente ou Valor do Financiamento
PMT = Valor de cada Pagamento ou Recebimento
i = Intervalo de tempo / nº de pagamentos
n = Taxa de juros
Vamos a aplicação de exemplos práticos:
Um empréstimo de R$ 30.000,00 é concedido por uma instituição 
financeira para ser quitado em 12 parcelas iguais, mensais e conse-
cutivas. Sabendo-se que a taxa de juros é 2,5 % ao mês, o valor das 
parcelas é:
81
Gráfico 7 - Representação gráfica dos dados do exemplo.
Fonte: Martinelli e Pereira (2018).
Dados:
PV = 30.000,00
i = 2,5% a.m. = 0,025
n = 12 meses
PMT = ?
Aplicando a fórmula, temos:
→
EXEMPLO
82
Dessa forma, o valor das parcelas para esse financiamento 
é R$ 2.924,62. Realizando o cálculo através da calculadora HP 12c, 
temos:
Tabela 7 - Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12c.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
Um microcomputador foi adquirido por R$ 2.800,00, em 12 parcelas 
iguais. Sabendo que a loja trabalha com uma taxa de financiamento 
de 3,5% ao mês, qual o valor da parcela mensal do financiamento?
Gráfico 8 - Representação gráfica dos dados do exemplo.
Fonte: Martinelli e Pereira (2018).
Dados:
PV = 2.800,00
i = 3,5% a.m. = 0,035
n = 12 meses
PMT = ?
83
Aplicando a fórmula, temos:
Portanto, o valor das parcelas do financiamento do micro é 
de R$ 289,75. Realizando o cálculo através da calculadora HP 12c, 
temos:
Tabela 8 - Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12c.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
Séries Uniformes Antecipadas
Quando o início dos pagamentos ou recebimentos ocorre na data 
zero, o fluxo recebe o nome de antecipado.
Nas séries uniformes com termos antecipados, os pagamen-
tos ou recebimentos são efetuados no início de cada intervalo de 
tempo a que se refere a taxa de juros considerada. Assim, a primeira 
prestação é sempre paga ou recebida no momento “zero”, ou seja, 
na data do contrato, do empréstimo, do financiamento ou de qual-
quer outra operação que implique pagamentos ou recebimentos de 
→
84
prestações. Segue o fluxo de caixa desse tipo de operação represen-
tado na tabela abaixo:
Gráfico 9 - Representação de fluxo antecipado.
Fonte: Martinelli e Pereira (2018).
 • Fator de Acumulação de Capitais (FAC) em Fluxo Antecipado
Vamos determinar o montante (FV) acumulado no fim do pe-
ríodo (n), a uma taxa (i) de juros compostos, a partir de (n) parcelas 
iguais a prestações (PMT), de pagamentos antecipados. Utilizare-
mos a equação a seguir para o cálculo do FAC em séries antecipadas:
Fórmula:
Onde:
FV = Valor Futuro / Montante
PMT = Valor de cada Pagamentos ou Recebimentos
i = Intervalo de tempo / nº de pagamentos
n = Taxa de juros
Vamos a aplicação de exemplo prático:
EXEMPLO
85
Quanto terá, no final de 4 anos, uma pessoa que aplicar R$ 200,00 
por mês, durante esses quatro anos, em um Fundo de Renda Fixa, à 
taxa de 3 % ao mês?
Gráfico 10 - Representação gráfica dos dados do exemplo
Fonte: Martinelli e Pereira (2018).
Dados:
PMT = 200
n = 4 anos * 12 = 48 meses
i = 3% a.m. = 0,03
FV = ?
Aplicando a fórmula, temos:
Para efeitos didáticos, observe que para a demonstração do 
fluxo antecipado, estamos utilizando os mesmos exemplos usados 
→
86
para os cálculos do fluxo postecipado, visando demonstrar a dife-
rença nos valores apresentados em cada uma das aplicações. Per-
ceba que o montante acumulado através do fluxo antecipado (R$ 
21.508,13), foi maior que o apresentado pelo fluxo postecipado (R$ 
20.881,67). Isso se deve ao fato de que no fluxo antecipado os valo-
res aplicados (R$ 200,00) começam a ocorrer no momento “zero” e 
consequentemente os juros também passam a ser calculados a par-
tir deste momento, e no fluxo postecipado o primeiro valor aplicado 
ocorre apenas ao final do primeiro mês.
Realizando o cálculo através da calculadora HP 12c, temos:
Tabela 9 - Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12c.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
*Atenção: A calculadora HP 12c está configurada para cálculo de série de 
pagamento do tipo postecipada� Para cálculo de séries antecipadas, antes 
de incluir os dados da questão, você deverá acionar as teclas [g][BEG] (lo-
calizado no numeral 7 da calculadora), e ativar a função BEGIN, dessa for-
ma, a calculadora irá entender que o pagamento da primeira parcela será 
realizado no momento “zero”�
OBS: Para desativar a função BEGIN, você deverá acionar as teclas [g][END] 
(localizado no numeral 8 da calculadora)�
 • Fator de Acumulação de Capitais (FFC) em Fluxo Antecipado
Vamos determinar o valor das prestações (PMT), capaz de 
formar o montante (FV) no fim do período (n) com uma taxa de ju-
ros (i). O cálculo do FFC em sériesantecipadas é realizado por meio 
da equação a seguir.
Fórmula:
EXEMPLO
87
Onde:
FV = Valor Futuro / Montante
PMT = Valor de cada Pagamento ou Recebimento
i = Intervalo de tempo / nº de pagamentos
n = Taxa de juros
Vamos a aplicação de exemplo prático:
Quanto uma pessoa terá de aplicar mensalmente em um Fundo de 
Renda Fixa, durante três anos, para que possa resgatar R$ 20.000,00 
no final desse período, sabendo que o fundo proporciona um rendi-
mento de 2% ao mês?
Gráfico 11 - Representação gráfica dos dados do exemplo.
Fonte: Martinelli e Pereira (2018).
Dados:
FV = 20.000,00
n = 3 anos x 12 = 36 meses
i = 2% a.m. = 0,02
PMT = ?
CURIOSIDADE
88
Aplicando a fórmula, temos:
A pessoa terá que depositar mensalmente, no início de cada 
mês, um valor de R$ 377,11, ou seja, valor inferior ao calculado no 
exercício envolvendo fluxo postecipado que foi de R$ 384,66.
Para realizar o cálculo de uma potência com expoente negativo, in-
verte-se a base e muda-se o sinal do expoente para positivo, exem-
plo: (1,02)-1 = (1/1,02)1 = 0,980392
Agora realizando o cálculo através da calculadora HP 12c, 
temos:
Tabela 10 - Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12c.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
→
EXEMPLO
89
 • Fator de Valor Atual (FVA) em Fluxo Antecipado
Vamos determinar o valor presente (PV) que deve ser aplica-
do para que se possa retirar parcelas (PMT) em cada um dos perío-
dos subsequentes (n). Utilizaremos a equação a seguir para o cálculo 
do FVA em séries antecipadas:
Fórmula:
Onde:
PV = Valor Presente ou Valor do Financiamento
PMT = Valor de cada Pagamento ou Recebimento
i = Intervalo de tempo / nº de pagamentos
n = Taxa de juros
Vamos a aplicação de exemplos práticos:
Qual o valor que, financiado à taxa de 2,5 % ao mês, pode ser pago 
ou amortizado em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 
200,00 cada uma?
Gráfico 12 - Representação gráfica dos dados do exemplo.
Fonte: Martinelli e Pereira (2018).
90
Dados:
PMT = 200,00
i = 2,5% a.m. = 0,025
n = 5 meses
PV = ?
Aplicando a fórmula, temos:
Logo, o valor do financiamento é de R$ 952,39, ou seja, va-
lor superior ao calculado no exercício envolvendo fluxo postecipado 
que foi de R$ 929,17. Realizando o cálculo através da calculadora HP 
12c, temos:
Tabela 11 - Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12c.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
 • Fator de Recuperação de Capital (FRC) em Fluxo Antecipado
Vamos determinar o valor das parcelas (PMT), que devem ser 
retiradas em cada período (n), para que se recupere o investimento 
(PV), através de um fluxo antecipado, por meio da equação a seguir:
→
EXEMPLO
91
Fórmula: 
Onde:
PV = Valor Presente ou Valor do Financiamento
PMT = Valor de cada Pagamento ou Recebimento
i = Intervalo de tempo / nº de pagamentos
n = Taxa de juros
Vamos a aplicação de exemplo prático:
Um empréstimo de R$ 30.000,00 é concedido por uma instituição 
financeira para ser quitado em 12 parcelas iguais, mensais e conse-
cutivas. Sabendo-se que a taxa de juros é 2,5 % ao mês, o valor das 
parcelas é:
Gráfico 13 - Representação gráfica dos dados do exemplo.
Fonte: Martinelli e Pereira (2018).
Dados:
PV = 30.000,00
i = 2,5% a.m. = 0,025
n = 12 meses
PMT = ?
92
Aplicando a fórmula, temos:
O valor das parcelas para esse financiamento é R$ 2.853,28, ou seja, 
valor inferior ao calculado no exercício envolvendo fluxo postecipa-
do que foi de R$ 2.924,62. Realizando o cálculo através da calcula-
dora HP 12c, temos:
Tabela 12 - Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12c.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
Séries Uniformes Diferidas
Quando a série de pagamentos (ou recebimentos) se inicia após um 
período de carência, ou seja, ser formado por um prazo em que se-
para o início da operação do período de pagamento da primeira par-
cela, o fluxo recebe o nome de diferido.
Alguns financiamentos são feitos de maneira que a primei-
ra prestação seja paga somente após um determinado período. Esse 
tipo de financiamento é muito comum na concessão de empréstimos 
aos agricultores que necessitam de recursos, mas que dependem da 
→
93
colheita da safra para iniciar o pagamento. Financiamentos de má-
quinas através do FINAME, bem como promoções do tipo: Compre 
hoje e comece a pagar somente depois do carnaval. Desse modo, no 
fluxo diferido o período de carência constitui-se em um prazo que 
separa o início da operação do período de pagamento da 1ª parcela. 
Segue abaixo o fluxo de caixa desse tipo de operação representado 
no gráfico abaixo:
Gráfico 14 - Representação de fluxo diferido.
Fonte: Martinelli e Pereira (2018).
Neste tipo de série, existe uma sequência de capitais de valo-
res que são iguais e uniformes, com exceção do primeiro, que recebe 
o nome de carência. Por este motivo, as séries diferidas envolvem 
apenas cálculos relativos ao valor atual (PV), pois o montante será 
igual ao montante de uma série de pagamentos iguais com termos 
vencidos, uma vez que, durante o prazo de carência, não há paga-
mentos e capitalizações.
 • Fator de Valor Atual (FVA) em Fluxo Diferido
A fórmula que possibilita trazer para o presente um valor 
mediante determinada carência é dado por:
Fórmula:
Onde:
PV = Valor Presente ou Valor do Financiamento
PMT = Valor de cada Pagamento ou Recebimento
i = Intervalo de tempo / nº de pagamentos
n = Taxa de juros
m = Período de carência
EXEMPLO
94
Vamos aplicar os conceitos aprendidos, utilizando o mesmo 
exemplo resolvido através dos fluxos postecipados e antecipados:
Qual o valor que, financiado a taxa de 2% ao mês, pode ser pago ou 
amortizado em 9 prestações mensais de R$ 350,00 iguais e sucessi-
vas, com período de carência de 3 meses para começar a pagar?
Gráfico 15 - Representação gráfica dos dados do exemplo.
Fonte: Martinelli e Pereira (2018)
Dados:
PMT = 350
i = 2% a.m. = 0,02
n = 9 meses
m = 3 meses
PV = ?
Aplicando a fórmula, temos:
→
95
Logo, o valor do financiamento é de R$ 2.692,01 no fluxo 
diferido.
 • Fator de Recuperação de Capital (FRC) em Fluxo Diferido
No fator de recuperação de capital diferido, podemos calcular 
o valor das parcelas iguais referentes a um empréstimo ou a um fi-
nanciamento, por meio da seguinte equação:
Fórmula:
Onde:
PV = Valor Presente ou Valor do Financiamento
PMT = Valor de cada Pagamento ou Recebimento
i = Intervalo de tempo / nº de pagamentos
n = Taxa de juros
m = Período de carência
Vamos aplicar os conceitos aprendidos, utilizando o mesmo 
exemplo resolvido através dos fluxos postecipados e antecipados:
EXEMPLO
96
Um empréstimo de R$ 30.000,00, concedido por uma instituição fi-
nanceira para ser quitado em 12 parcelas iguais, mensais e consecu-
tivas, com período de carência de 6 meses. Sabendo-se que a taxa de 
juros é de 2,5 % ao mês, qual será o valor das parcelas?
Gráfico 16 - Representação gráfica dos dados do exemplo.
Fonte: Martinelli e Pereira (2018).
Dados:
PV = 30.000
i = 2,5% a.m. = 0,025
n = 12 meses
m = 6 meses
PV = ?
Aplicando a fórmula, temos:
Logo, o valor da parcela será R$ 3.391,66 no fluxo diferido.
→
INFOGRÁFICO
97
Abaixo, segue resumo das principais fórmulas relacionadas às sé-
ries de pagamentos uniformes:
Tabela 13 - Resumo das fórmulas de séries de pagamentos.
TIPOS DE 
SÉRIES PV FV
ANTECIPADAS
POSTECIPADAS
DIFERIDAS -
Fonte: elaborado pela autora (2023).
Sistemas de amortização
Na língua portuguesa amortizar tem significado relacionado ao ato 
de abater, descontar, extinguir, quitar, pagar. No contexto financei-
ro, o conceito é associado ao pagamento de uma dívida, que geral-
mente ocorre em parcelas, mas que também pode ser abatida uma 
única vez.
Castanheira e Macedo (2020, p. 231) apresenta a seguinte 
definição:
DEFINIÇÃO
98
“Amortizar é devolver o capital que se tomou emprestado”.
Em outros termos, a amortização é o ato de devolver os re-
cursos financeiros a quem concedeu o crédito. Esse processo deli-
quidação de uma dívida ocorre através de pagamentos periódicos, 
realizados através de um planejamento, de modo que cada presta-
ção corresponde a soma do reembolso do capital mais o pagamento 
dos juros incidentes na operação, além de outros possíveis e alter-
nativos encargos financeiros.
O reembolso do capital corresponde à amortização e é calcu-
lada a partir do saldo devedor, fazendo com que a dívida decresça a 
cada período, já os juros são calculados sempre sobre o saldo deve-
dor. Observe a relação na figura 3.
Figura 3 - Composição de uma parcela de financiamento.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
No Brasil, existe mais de uma forma de realizar essa amor-
tização, cada uma com suas regras e peculiaridades. Esse conjunto 
de regras recebe o nome de Sistema de Amortização. Estudaremos 
quatro destas metodologias, como apresentado na figura a seguir:
99
Figura 4 - Tipos de Sistemas de Amortização.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
Sistema Americano de Amortização (SAA)
Dentre os sistemas de amortizações disponíveis no mercado finan-
ceiro, o Sistema Americano de Amortização (SAA) é considerado 
o mais simples, uma vez que sua dinâmica consiste em devolver o 
capital emprestado em um pagamento único, no término do prazo 
contratado, sendo assim, é comum a disponibilização de uma ca-
rência ao tomador do empréstimo (Castanheira; Macedo, 2020, p. 
233).
Essa modalidade de amortização é amplamente utilizada nas 
operações relativas a papéis de renda fixa com renda quitada no 
final, além das letras de câmbio e os certificados de depostos com 
renda final.
Conforme anunciam Castanheira e Macedo (2020, p. 234), as 
características associadas ao Sistema Americano de Amortização 
(SAA) são: 
 ◼ os juros são calculados sobre o valor original da dívida;
 ◼ o contratante pode saldar seu débito a qualquer momento; 
EXEMPLO
100
 ◼ existe maior controle no fluxo de caixa para saldar a dívida;
 ◼ permite o pagamento fracionado da dívida, reduzindo o valor 
dos juros, proporcionalmente;
 ◼ aconselhado quando está previsto o recebimento de uma 
quantia futura suficiente para saldar a dívida;
 ◼ o principal é liquidado em parcela única no término do prazo 
do financiamento.
Quanto aos juros referentes a essa modalidade de amortiza-
ção, eles podem ser saldados apenas no vencimento do principal, 
caracterizando o Sistema Bullet, ou liquidados em parcelas periódi-
cas (“cupons”), caracterizando o Sistema Padrão.
Estes sistemas se distinguem pelo fato de que no Sistema 
Americano Padrão ocorre menor pagamento de juros quando com-
parado ao Sistema Americano Bullet, uma vez que a quitação dos 
juros em cada período não é preciso sua incorporação no principal, 
isto é, juros compostos (Assaf Neto, 2012, p. 218).
Vamos verificar como esse sistema se comporta através de 
um exemplo prático:
Uma pessoa jurídica adquiriu um empréstimo no valor de R$ 
50.000,00 a ser quitado no término de quatro meses, sendo firmada 
entre as partes que os juros também seriam cobrados no término 
deste período. Considerando uma taxa de juros simples utilizada na 
operação de 2% com capitalização mensal, qual será o montante 
pago?
As informações da situação problema são:
PV = 50.000,00
i = 2% a.m.
101
n = 4
FV = ?
Basta aplicarmos a relação de juros simples, substituindo nela os 
dados obtidos: 
M = C (1 + i . n) 
M = 50000 (1 + 0,02 . 4) 
M = 50.000 . 1,08 
M = 54.000,00
Logo, é possível afirmar que para quitar uma dívida de R$ 50.000,00 
após quatro meses seguindo o Sistema de Amortização Americano, 
o valor a ser pago equivale a R$ 54.000,00.
Realizando o cálculo na HP 12c:
Tabela 14 - Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12c.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
Outra maneira de visualizarmos esse processo é pela elabo-
ração de tabelas e sua posterior interpretação e comparação com os 
outros sistemas. A movimentação do SAM é representada no quadro 
a seguir:
102
Tabela 15 - Apresentação dos dados da questão pelo SAM.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
Sistema de Amortização Constante
Esse sistema é simples e sua denominação deriva da sua principal 
caracte rística, que são amortizações periódicas e constantes. As 
amortizações são constantes a cada parcela e o juro, que incide so-
bre o saldo devedor, decresce ao longo do tempo.
Nesse sistema, o devedor obriga -se a restituir o principal em 
um número de presta ções, nas quais as cotas de amortização são 
sempre constantes. Ou seja, o principal da dívida é dividido pela 
quantidade de prestações, e os juros são calculados em relação aos 
saldos existentes mês a mês.
Observe no gráfico abaixo a relação entre o valor das presta-
ções e a quantidade de prestações.
Gráfico 17 – Comportamento das prestações de um financiamento pelo sistema SAC.
Fonte: Martinelli e Pereira (2018).
CURIOSIDADE
103
Através da visualização do gráfico, observe que à medida que 
a dívida começa a ser amortizada, a parcela dos juros e consequen-
temente o valor associado a cada prestação como um todo tendem 
a decrescer, uma vez que o próprio saldo devedor se reduz. Por 
consequência deste fato, no SAC, o saldo devedor e a sua prestação 
tendem a diminuir permanentemente a partir do início do finan-
ciamento e não deixa resíduo, assim, neste contexto, existe menos 
exposição quanto aos aumentos de indexadores do contrato durante 
o financiamento.
Um indexador é um índice que é utilizado como um parâmetro para 
um reajuste contratual ou do valor de um ativo. Este percentual 
possui muita utilidade para estabelecer a rentabilidade de alguns 
ativos, além de usufruído como base para o reajuste de contratos na 
economia.
No sistema de amortização constante (SAC), a prestação ini-
cial é um pouco maior quando comparados a outros sistemas de 
amortização, uma vez que a quantia a ser paga pela amortização 
também é maior. De início isso pode parecer um pouco inviável, 
considerando que você está iniciando a liquidação de uma dívida, 
no entanto, o processo a ser realizado consiste em um abatimento 
maior no valor do débito, e consequentemente pagando menos ju-
ros ao longo do contrato como um todo.
De modo geral, as características gerais desta metodologia, 
assim como suas vantagens e desvantagens estão listadas na figura 
abaixo.
104
Figura 5 - Características do Sistema de Amortização Constante (SAC).
Fonte: elaborado pela autora (2023).
É interessante pontuar que no sistema de amortização cons-
tante (SAC) a parcela de amortização da dívida é calculada pela ra-
zão entre o saldo devedor pelo prazo total do financiamento, como 
um percentual fixo da dívida. Devido a essa característica, o SAC é 
classificado como um sistema linear.
Conforme descrito por Castanheira e Macedo (2020, p. 262), a 
relação que possibilita o cálculo da parcela é dada por:
Fórmula: 
Onde:
A = parcela correspondente a amortização 
C = capital 
n = quantidade de parcelas de amortização 
Além desta igualdade, trabalharemos com outras que permi-
tem o cálculo referente à parcela correspondente ao juro cobrado e 
ao valor correspondente a cada prestação. Observe:
Fórmulas: J = i . SD e P = A + J 
Onde: 
EXEMPLO
105
J = juros incidido na parcela 
P = prestação 
i = taxa de juros
SD = saldo devedor
A = amortização
Agora partiremos para um exemplo, a fim de compreender-
mos como ocorre esse sistema de amortização.
Um imóvel no valor de R$100.000,00 foi financiado pelo Sistema de 
amortização constante, sem correção monetária, sob as seguintes 
condições:
 ◼ Entrada de R$30.000,00;
 ◼ Sete parcelas mensais, vencendo a primeira após 30 dias da 
assinatura do contrato;
 ◼ Taxa de juro composto de 1,8% ao mês. 
Quais os valores referentes as parcelas, amortizações e o saldo de-
vedor considerando o SAC?
Inicialmente foi dada uma entrada no valor de R$30.000,00, assim 
o valor a ser financiado será de R$ 100.000,00 – R$ 30.000,00 = R$ 
70.000,00, logo, a parcela de amortização será dada por:
Para encontrar osvalores referentes às parcelas é preciso determi-
nar o valor do juro de cada período, considerando que o saldo de-
vedor inicial é de R$ 70.000,00, é possível de ser encontrado pela 
relação: 
→ →
106
J1 = i x SD 
J1 = 0,018 x 70000 
J1 = 1260,00 
Assim como a parcela é encontrada pelo somatório entre a parcela 
de amortização e o juro: 
P1 = A + J 
P1 = 10000 + 1260 
P1 = 11.260,00 
Logo, o novo saldo devedor é de R$70.000,00 – R$10.000,00 = 
R$60.000,00. Assim, o juro e o valor da segunda parcela serão dados 
por, respectivamente: 
J2 = i x SD = 0,018 x 60000 = 1.080,00
P2 = A + J = 10000 + 1080 = 11.080,00
Iniciamos o cálculo da terceira parcela calculando o novo saldo de-
vedor é de R$60.000,00 – R$10.000,00 = R$50.000,00. O juro e o 
valor da parcela são:
J3 = i x SD = 0,018 x 50000 = 900,00
P3 = A + J = 10000 + 900 = 10.900,00
A próxima parcela considera o saldo devedor como de R$50.000,00 
– R$10.000,00 = R$40.000,00. O juro e o valor da quarta parcela são:
J4 = i x SD = 0,018 x 40000 = 720,00
P4 = A + J = 10000 + 720 = 10.720,00
O novo saldo devedor é de R$40.000,00 – R$10.000,00 = 
R$30.000,00. O juro e o valor da quinta parcela são:
J5 = i x SD = 0,018 x 30000 = 540,00
P5 = A + J = 10000 + 540 = 10.540,00
107
O novo saldo devedor é encontrado por R$30.000,00 – R$10.000,00 
= R$20.000,00. O juro e o valor da sexta parcela são:
J6= i x SD = 0,018 x 20000 = 360,00
P6 = A + J = 10000 + 360 = 10.360,00
Como último saldo devedor, é de R$20.000,00 – R$10.000,00 = 
R$10.000,00, o juro e o valor da última parcela são, respectivamente:
J7 = i x SD = 0,018 x 10000 = 180,00
P6 = A + J = 10000 + 180 = 10.180,00
Vamos, então, visualizar através do quadro 2, os dados cor-
respondentes ao exemplo resolvido, onde foi utilizado o sistema de 
amortização constante (SAC):
Tabela 16 - Apresentação dos dados da questão pelo sistema SAC.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
108
Sistema Price ou Francês de amortização (SFA) 
O sistema francês de amortização, que também pode ser referencia-
do por sistema Price, foi criado pelo pensador, matemático, filóso-
fo e teólogo inglês Richard Price (1723 – 1791), que viveu no Século 
XVIII e incorporou a teo ria dos juros compostos às amortizações de 
empréstimos ou financiamentos (Pereira, 1965, p. 1).
Nesta metodologia de amortização, que é muito utilizado no 
setor financeiro, mercado de capitais e amplamente inserido por 
instituições financeiras e imobiliárias, é adotado o conceito de ren-
das imediatas, isto é, o pagamento acontece em parcelas periódicas, 
sucessivas e iguais, sendo que o primeiro pagamento ocorre ao fi-
nal do primeiro período estabelecido (Castanheira; Macedo, 2020, 
p. 278). 
Nesse sistema, o principal associado aos juros é devolvido 
através de prestações iguais e periódicas, calculadas segundo uma 
série uniforme postecipada. Os juros incidem no saldo devedor e são 
decrescentes, enquanto as parcelas de amor tização são crescentes. 
Observe pelo gráfico a seguir que, diferentemente do SAC, no SFA, o 
valor referente a cada uma das prestações é constante.
Gráfico 18 – Comportamento das prestações de um financiamento pelo sistema SFA.
Fonte: Martinelli e Pereira (2018).
109
À medida que as parcelas são quitadas, o saldo devedor de-
cresce, e como o juro é calculado também sobre o saldo devedor, 
este consequentemente também diminui.
Sobre o Sistema de Amortização Francês, os pontos mais sig-
nificativos que merecem destaque quanto a sua relevância peran-
te sua dinâmica de aplicação apresentam-se expostos na figura a 
seguir:
Figura 6 - Características do Sistema de Amortização Francês (SFA).
Fonte: elaborado pela autora (2023).
Durante a evolução dos pagamentos no sistema francês, te-
mos condições de, a qualquer momento (estado de dívida), calcular 
o valor da parcela de juros, o saldo devedor e também a parcela de 
amortização.
O valor das prestações é determinado com base na mesma 
equação utilizada para séries de pagamento com termos vencidos 
ou postecipadas, isto é:
Fórmula: 
Onde:
C = capital 
P = parcela do financiamento 
EXEMPLO
110
i = taxa de juros 
n = quantidade de parcelas 
Além desta fórmula, trabalharemos com as já conhecidas no 
sistema de amortização constante, que indicam a relação a ser uti-
lizada para o cálculo referente à parcela correspondente ao juro co-
brado e ao valor correspondente a cada prestação.
Fórmulas: J = i . SD e P = A + j 
Onde: 
J = juros incidido na parcela 
P = prestação 
i = taxa de juros
SD = saldo devedor
A = amortização
Agora, partiremos para a resolução do mesmo exemplo que 
utilizamos no sistema de amortização constante e que é comum em 
nosso cotidiano, para juntos entendermos como ocorre o funciona-
mento desse sistema de amortização e, ao final, estabelecemos uma 
comparação entre esses dois métodos de amortização.
Um imóvel no valor de R$100.000,00 foi financiado pelo Sistema 
Price, sem correção monetária, sob as seguintes condições: 
 ◼ Entrada de R$30.000,00;
 ◼ Sete parcelas mensais, vencendo a primeira após 30 dias da 
assinatura do contrato;
 ◼ Taxa de juro composto de 1,8% ao mês. 
111
Quais os valores referentes as parcelas, amortizações e o saldo de-
vedor considerando o SFA?
Para o cálculo das parcelas utilizamos a fórmula apresentada ante-
riormente, logo:
Logo, esse financiamento será composto por sete prestações fixas e 
iguais a R$ 10.732,84. 
No momento do pagamento da primeira parcela, o saldo devedor 
inicial é de R$70.000,00, dessa forma, é possível determinar o juro 
pela relação: 
J = i x SD 
J1 = 0,018 x 70.000,00 
J1 = 1260,00 
Assim como a parcela é encontrada pelo somatório entre a parcela 
de amortização e o juro: 
P = A + J 
10732,84 = A1 + 1260,00 
A1 = 9.472,84 
Logo, o novo saldo devedor é de R$ 70.000,00 – R$ 9.472,84 = R$ 
60.527,16. Assim, o juro e o valor amortizado da segunda parcela 
serão dados por:
→
112
J2 = i x SD = 0,018 x 60527,16 = 1.089,49
A2 = P - J = 10732,84 – 1089,49 = 9.643,35
Para a terceira parcela, o novo saldo devedor é de R$60.527,16 – 
R$9.643,35 = R$50.883,81, logo, o juro e o valor amortizado da par-
cela são:
J3 = i x SD = 0,018 x 50883,81 = 915,91
A3 = P - J = 10732,84 – 915,91 = 9.816,93
A quarta parcela considera o saldo devedor como de R$50.883,81 
– R$9.816,93 = R$41.066,88. Assim o juro e o valor amortizado da 
parcela são:
J4 = i x SD = 0,018 x 41066,88 = 739,20
A4 = P - J = 10732,84 – 739,20 = 9.993,64
Neste momento, o novo saldo devedor é de R$41.066,88 – 
R$9.993,64 = R$31.073,24. Assim, o juro e o valor amortizado da 
quinta parcela são:
J5 = i x SD = 0,018 x 31073,24 = 559,32
A5 = P - J = 10732,84 – 559,32 = 10.173,52
Para a sexta parcela, o novo saldo devedor é de R$31.073,24 – 
R$10.173,52 = R$20.899,72, logo, o juro e o valor amortizado da 
parcela são:
J6 = i x SD = 0,018 x 20899,72 = 376,19
A6 = P - J = 10732,84 – 376,19 = 10.356,65
Como último saldo devedor é de R$20.899,72 – R$10.356,65 = 
R$10.543,07, logo o juro e o valor amortizado da parcela são:
J7 = i x SD = 0,018 x 10543,07 = 189,77
A6 = P - J = 10732,84 – 189,77 = 10.543,07
113
Uma vez que a amortização resultou nesse valor, o saldo devedor é 
de R$ R$10.543,07 - R$10.543,07 = 0,00
Com estes valores, é possível visualizar no quadro a seguir, os 
dados correspondentes ao exemplo resolvido, utilizando como base 
a dinâmica do sistema francês de amortização (SFA):
Tabela 17 - Apresentação dos dados da questão pelo sistema SFA.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
A calculadora financeira HP 12c realiza os cálculos relaciona-
dos às prestações utilizando a metodologia do Sistema Price através 
do PMT. No entanto, para cálculo dos juros e amortização utilizando 
esse dispositivo, é necessário seguir os seguintes passos:
Tabela 18 - Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12c.
114
Fonte: elaborado pela autora (2023).
Sistema de Amortização Misto
O sistema de amortização misto (SAM), como o próprio nome sugere,é o resultado entre a “mistura” de outros dois sistemas de amorti-
zação, ou seja, nesse método as concepções do Sistema de amorti-
zação constante e o sistema francês de amortização são agregados. 
De acordo com Castanheira e Serenato (2008), o SAM foi criado pelo 
extinto Banco Nacional de Habitação em 1979, representando um 
mesclado entre o sistema francês e o sistema constante. 
Por este sistema, o devedor paga o empréstimo em presta-
ções, que representam a média aritmética entre as prestações do 
EXEMPLO
115
sistema PRICE e do SAC. Por consequência deste fato, no sistema 
de amortização misto, os juros, amortizações e saldos devedores, 
em cada período, também são compostos, cada um, pela média arit-
mética entre juros, amortizações e saldos devedores dos sistemas 
PRICE e SAC. Na prática, nem sempre é viável calcular esses valores 
segregados, de modo que normalmente apenas as prestações são 
calculadas como médias aritméticas.
Nesse contexto, as prestações são calculadas através da res-
pectiva relação:
Fórmula:
Onde:
PSAM = prestação no sistema de amortização misto;
PSFA = prestação no sistema francês de amortização;
PSAC = prestação no sistema de amortização constante.
Vale salientar que a mesma lógica é aplicada para o cálculo 
dos juros e da amortização. Agora, vamos partir para a resolução do 
mesmo exemplo, utilizando novamente os dados obtidos na dinâ-
mica do sistema Price e Sistema de amortização constante. 
Um imóvel no valor de R$100.000,00 foi financiado pelo Sistema 
de Amortização Misto, sem correção monetária, sob as seguintes 
condições: 
 ◼ Entrada de R$30.000,00;
 ◼ Sete parcelas mensais, vencendo a primeira após 30 dias da 
assinatura do contrato;
 ◼ Taxa de juro composto de 1,8% ao mês. 
116
Quais os valores referentes as parcelas, amortizações e o saldo de-
vedor considerando o SAM?
No Sistema de amortização constante, encontramos como valor de 
prestação, de parcela de amortização e de juros respectivamente:
Tabela 19 - Apresentação dos dados da questão pelo sistema SAC.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
Já no Sistema Price, encontramos como valor de prestação, de 
parcela de amortização e de juros respectivamente: 
Tabela 20 - Apresentação dos dados da questão pelo sistema SFA.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
117
Para descobrirmos os valores na metodologia no sistema de 
amortização misto, utilizaremos os dados acima e realizaremos a 
média aritmética por parcela, conforme apresentado no quadro 
abaixo:
Tabela 21 - Apresentação dos dados da questão pelo sistema Misto.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
Observe que a média aritmética entre os valores gera um valor in-
termediário, isto é, as quantias são um pouco maiores que o do sis-
tema francês de amortização e um pouco menores que o sistema de 
amortização constante.
Concluímos que no sistema de amortização misto as amorti-
zações são crescentes, enquanto os juros e as prestações são decres-
centes, além disso, o valor referente a prestação inicial é superior 
quando comparado ao sistema francês de amortização e inferior ao 
do sistema de amortização constante. Suas características são indi-
cadas na figura a seguir.
SINTETIZANDO
118
Figura 7 - Características do Sistema de Amortização Misto (SAM). 
Fonte: elaborado pela autora (2023).
Olá, estudante!
Neste objeto de aprendizagem, aprendemos sobre um conceito que 
não é muito conhecido pela população, mas que sua operação é bas-
tante utilizada no dia a dia, chamado série de pagamentos, a qual 
podemos conceituar como um conjunto de pagamentos ou recebi-
mentos de valores sucessivos com seus respectivos vencimentos ao 
longo do tempo. Conhecemos sobre as classificações das séries de 
pagamento e nos aprofundamos nas séries do tipo finita, periódica 
e uniforme, abordando os cálculos em relação ao período do paga-
mento da primeira parcela.
Conhecemos sobre as séries de pagamentos antecipadas, que fun-
cionam baseadas em termos antecipados, ou seja, os pagamentos ou 
recebimentos ocorrem no início do contrato, com a primeira pres-
tação sempre quitada ou recebida na data do contrato do emprésti-
mo ou financiamento. Também apreciamos as séries postecipadas, 
119
que ocorrem quando os pagamentos ou recebimentos se iniciam em 
um período subsequente a data zero, ou seja, no período seguinte a 
assinatura do contrato. Conhecemos as séries diferidas, que aconte-
cem quando o vencimento do primeiro termo se dá no fim de um de-
terminado número de períodos a contar da data zero, ou seja, após 
uma carência.
Por fim, aprendemos que amortizar é devolver o capital que se to-
mou emprestado, e nesse contexto os sistemas de amortização sur-
gem para apresentar as diretrizes desse processo de liquidação da 
dívida. No Brasil, os sistemas de amortização mais conhecidos são 
o sistema de amortização Americano (SAA), o sistema de amortização 
constante (SAC), o sistema francês de amortização ou price e o sistema 
de amortização misto, cada qual com suas particularidades. A apli-
cação desses sistemas é amplamente utilizada pelas instituições fi-
nanceiras na concessão de créditos imobiliários para aquisição de 
imóveis
Até a próxima!
Objetivos
1. Aprender o conceito e os impactos da inflação e da correção 
monetária.
2. Conhecer os índices de atualização e os cálculos de variação.
3. Estudar as metodologias e técnicas utilizadas nas análises dos 
investimentos.
4. Compreender o conceito e o cálculo da depreciação.
UN
ID
AD
E
4
122
Introdução
Olá, aluno(a)!
Até aqui fomos apresentados a diversos e fundamentais con-
ceitos de Matemática Financeira. Agora, iremos estudar um tema 
importante, que afeta diretamente o nosso poder de compra e a eco-
nomia como um todo: a chamada inflação. Atualmente, a inflação 
está teoricamente estável, mas já passamos por períodos de hipe-
rinflação, quando o valor do dinheiro se alterava rapidamente e os 
preços subiam diariamente e exponencialmente. 
Ademais, conheceremos, também, a correção monetária, os 
índices que medem a inflação e como calculá-los, e as taxas apa-
rente e real, que se diferenciam pela inclusão da inflação do período. 
Ainda neste capítulo, abordaremos a importância da matemática 
financeira na análise de projetos de investimentos, conhecendo as 
metodologias utilizadas para mensurar o seu retorno e dar suporte 
na tomada de decisão. 
Para finalizar, estudaremos o conceito de depreciação e como 
ocorre a perda de valor do bem atrelado à sua vida útil. Prontos para 
participar de mais esse momento de aprendizagem? 
Vamos lá! Bons estudos!
DEFINIÇÃO
123
Correção monetária e inflação
No Brasil, até bem pouco tempo, o processo inflacionário na econo-
mia era gritante e as taxas, muito elevadas. Hoje, vivemos em uma 
economia bem mais estável e com um cenário econômico mundial 
mais equilibrado, em que as taxas do juro real continuam importan-
tes no contexto econômico e na matemática financeira. 
Para adentrarmos nesta temática que interfere em diversos 
fatores do nosso cotidiano, é importante compreendermos concei-
tos que nos guiarão no aprendizado dos assuntos seguintes. Inicia-
remos conceituando correção monetária, que, segundo Castanheira 
e Macedo (2020, p. 179),
“É a revisão estipulada pelas partes de um contrato, ou definida por 
lei, que tem como referência a desvalorização da moeda.”
De modo mais simples, correção monetária é o processo de 
atualização de valores de acordo com a inflação do período, ou pode 
ser definida como o ato de realizar ajustes contábeis e financeiros, 
realizados para demonstrar os preços de compra da moeda que está 
em circulação no país atualmente; no nosso caso, desde 1994, é o 
Real, comparado ao valor das moedas de outros países, o que é de-
nominado ajuste cambial, índices de inflação ou cotação do merca-
do financeiro.
Bem, mas como esta definição interfere em nossas vidas? 
Esta é uma dúvida comum, não é mesmo? Um bom exemplo da 
incidência da correção monetária acontece, por exemplo, quando 
vocêefetua uma compra em euros no cartão de crédito e, na data 
de fechamento de sua fatura, o valor da moeda apresenta diferença, 
estando mais cara ou mais barata em relação ao valor que estava 
na data da compra. Essa diferença é denominada correção, isto é, 
SAIBA MAIS
124
ocorre o ajuste do valor da moeda entre a data da compra até a data 
atual. 
Já associada aos juros, a correção monetária pode ser aplicada 
em diversas situações, bastando que exista alguma decisão judicial 
instituída que necessite da devida atualização dos valores financei-
ros. Existem tabelas de atualizações monetárias judiciais que têm 
como objetivo preservar o poder aquisitivo da moeda mediante de-
terminados critérios utilizados pelas diferentes esferas da Justiça, 
seja pela aplicação da Lei e da doutrina, ou pela aplicação do enten-
dimento jurisprudencial dos Tribunais Superiores. Há também as 
tabelas extrajudiciais, que podem utilizar um só indexador ou vários 
encadeados, como tabelas do INPC, da TR, do IGP-M etc.
Hoje, a correção monetária é determinada pelo Conselho Fe-
deral de Contabilidade e trata-se de um Princípio Fundamental da 
Contabilidade. Antes de ser controlada pelo Conselho Federal, a de-
terminação dos valores acontecia pelo Governo Federal e era cha-
mada de Correção Monetária de Balanço. É importante ressaltar que 
este é um conceito muito intercalado à área de economia, uma vez 
que se refere ao ajuste periódico de alguns valores econômicos, ten-
do como base o índice de inflação de um período pré-determinado, 
dispondo como meta a compensação da perda de valor da moeda 
corrente.
O Banco Central do Brasil (BACEN) disponibiliza para a população 
a chamada “Calculadora do Cidadão”. Este aplicativo possibilita ao 
usuário a simulação das operações de suas finanças, com base nas 
informações disponibilizadas pelo próprio usuário. Com esse recur-
so, é possível fazer o cálculo de correções monetárias com emprego 
de séries históricas de taxas e indicadores financeiros armazenados 
no Banco Central do Brasil.
125
Após entendermos o conceito de correção monetária e as 
consequências desses ajustes periódicos, é viável afirmar que todo 
processo inflacionário possibilita consequências positivas e nega-
tivas para investidores e credores. Desse modo, avaliar a inflação 
como boa ou ruim é considerada como uma questão de ponto de 
vista. Mas, então, o que seria a inflação? Como ela impacta nossas 
vidas? Castanheira e Macedo (2020, p.181) definem inflação como “a 
deterioração do poder aquisitivo da moeda”.
Em outros termos, podemos definir a inflação como a ele-
vação generalizada dos preços que provoca a redução do poder 
aquisitivo da moeda nos mais diferentes bens e serviços. Bem, com 
o passar do tempo, o capital vai perdendo poder aquisitivo, não é 
mesmo? Um carro que compramos hoje por determinado valor não 
terá o mesmo preço ao ser revendido daqui a um, dois ou três anos, 
por exemplo. 
É comum apenas considerarmos a inflação quando os valo-
res se elevam gradativamente em determinado período. Porém, as 
elevações de preços sazonais, isto é, a variação de demanda sobre 
determinado produto e/ou serviço de acordo com a época ou período 
do ano, como acontece com os preços dos produtos agrícolas que 
dependem das safras (queda) e da entressafra (alta), não são consi-
deradas inflacionárias. 
Ao contrário da inflação, há a deflação, que, segundo Casta-
nheira e Macedo (2020, p. 181), “[...] é o oposto da inflação, ou seja, 
é um processo de queda nos preços das mercadorias durante um 
intervalo de tempo”. De forma análoga, compreendemos deflação 
como a baixa predominante dos preços dos bens e serviços. Para nós, 
esta definição pode parecer surreal, mas a verdade é que a deflação 
acontece praticamente com a mesma frequência que a inflação. 
Um exemplo prático dessa aplicação consiste no lançamento 
de um modelo novo de celular, evento que acarreta uma deflação no 
preço do modelo que o antecede, uma vez que este é considerado ve-
lho e/ou defasado. Basicamente, assim como a inflação, a deflação 
implica consequências para a economia como um todo. A deflação 
considerada boa é consequência do aumento da produção de vários 
segmentos, uma vez que, com mais peças no mercado, a demanda 
SAIBA MAIS
126
consequentemente também aumenta, pois é mais fácil encontrar 
determinados itens e, com uma gama maior de possibilidades, os 
preços tendem a cair. 
Continuando, estudos apontam que, analisando o Índice Ge-
ral de Preços (IGP), foi a partir de 1958 que o aumento descontrolado 
da inflação iniciou no Brasil, com índices anuais superiores a 30%. 
O auge aconteceu em 1964, quando a inflação atingiu 86% (Moraes, 
2018). Em 1993, a inflação no país alcançou uma taxa de 2700%, e 
foi apenas após a implantação da nova moeda que o valor da infla-
ção média dos governos seguintes manteve-se constante (12,6% na 
presidência de Fernando Henrique Cardoso, e 6,3% no mandato de 
Lula). 
Em 1994, o Brasil passou pela pior crise de inflação, denominada 
hiperinflação. Nessa época, os balanços no Brasil eram demonstra-
dos com alguns ajustes chamados de Correção Monetária de Balan-
ços, conforme a lei 6.404/76. Com o fim da hiperinflação, os ajustes 
originários dessas atualizações são feitos em razão das altas taxas 
de juros utilizadas pelas instituições financeiras, e, também, em 
decorrência do câmbio flutuante. Este câmbio oportuniza grandes 
oscilações na cotação do dólar americano em relação ao Real.
Como vimos, os conceitos de inflação e deflação são opostos 
em suas concepções: enquanto um eleva o poder de compra, o outro 
o diminui. Tais distinções são sinalizadas na figura a seguir.
Figura 1 – Inflação x Deflação.
Fonte: Ana Vasconcelos (2023).
127
Índice de preços e taxas de inflação
Um índice de preços é consequência de procedimentos estatísticos 
que, entre outras aplicações, mede as oscilações que aconteceram 
nos níveis gerais de preços ocorridos em períodos para compara-
ções. É uma média geral das variações de preços que se verificam em 
um conjunto de determinados bens, ponderada pelas quantidades 
respectivas.
O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) pro-
duz dois dos mais importantes índices de preços: o Índice de Preços 
ao Consumidor Amplo (IPCA), considerado o oficial pelo governo 
federal, e o Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC). Ambos 
os índices possuem como propósito a medição da variação de preços 
de uma cesta de produtos e serviços consumida pela população. O 
resultado apresenta se os preços aumentaram ou diminuíram, ten-
do como referência o período de um mês, considerando não apenas 
a variação de preço de cada item, mas o peso que ele exerce no or-
çamento familiar. Mais adiante abordaremos com mais detalhes os 
índices mais importantes no cenário econômico.
Agora, vamos utilizar como exemplo a tabela do IPCA de 
2023, medido no primeiro quadrimestre do ano citado.
Tabela 1 – Valor do IPCA de Jan a Abr/2023
Fonte: Tabela [...], 2023.
Por meio desses índices, é possível constatar como os preços, 
em geral, variaram no período em questão. Por exemplo, a inflação 
do primeiro trimestre medida pelo IPCA pode ser calculada por meio 
da equação a seguir:
Inflação do 1º trimestre de 2023 = {[( 1 + IPCA de JAN) . ( 1+ 
IPCA de FEV) . (1+IPCA de MAR)] -1} . 100
Inflação do 1º trimestre de 2023 = {[(1+0,0053) . (1+0,0084) . 
(1+0,0071)] -1} . 100
EXEMPLO
128
Inflação do 1º trimestre de 2023 = 2,09%
Dessa forma, para a determinação da taxa de inflação a partir 
de índices, usaremos a expressão:
Em que:
I = taxa de inflação medida a partir de índices de preços;
P = índice de preços utilizados para o cálculo da taxa de 
inflação;
n = data de determinação da taxa de inflação;
n – t = período anterior considerado.
Vamos agora aplicar em um exemplo prático:
João e Pedro poupam uma parte do salário líquido após o pagamento 
dos gastos essenciais. Na tabela a seguir, em um “tempo 1”, cada um 
deles poupa o seu salário líquido:Tabela 2 – Composição dos gastos de João e Pedro no tempo 1
Fonte: Martinelli; Pereira (2018).
129
Observe, agora, no “tempo 2”, que o salário é reajustado pela in-
flação média desse período. Dessa forma, João e Pedro mantêm o 
padrão da quantidade e da qualidade da cesta de consumo do tempo 
1, mas o preço de alguns produtos e serviços foram alterados, con-
forme apresentado na tabela abaixo:
Tabela 3 – Composição dos gastos de João e Pedro no tempo 2
Fonte: Martinelli; Pereira (2018).
A variação dos gastos na tabela do tempo 2 em relação à tabela do 
tempo 1 foi diferente para João e Pedro; houve um impacto em níveis 
diferentes para cada um. O salário foi reajustado pela inflação média 
de 10,5% e a inflação para cada indivíduo foi diferente. A poupança 
continua com 10% do salário líquido.
Observe que no exemplo abordado destacamos algumas con-
sequências da inflação, como a distribuição de renda e a alteração da 
relação salário, consumo e poupança.
130
Impacto da inflação sobre as atividades 
empresariais
A inflação causa impactos na vida financeira das pessoas e pode 
ocasionar muitos problemas às administrações das empresas. Dessa 
forma, o acompanhamento e as análises da inflação são relevantes 
para a administração do preço de venda e controle de custos.
O exemplo anterior, que demonstra o impacto da inflação na 
vida de João e Pedro, é análogo à determinação da inflação das em-
presas. Basta substituir os “gastos” por “custos e despesas”, “salá-
rio” por “preço de venda” e “poupança” por “lucro”. As empresas 
que melhor controlam os custos internos têm maior possibilidade 
de gerar lucros. Vamos analisar os dados na tabela a seguir.
Tabela 4 – Composição dos custos e despesas de uma empresa no tempo 2.
Fonte: Martinelli; Pereira (2018).
Perceba que a comparação para o impacto nas empresas só foi 
realizada para o tempo 2, sem a necessidade de comparação com o 
outro período, já que os dados são exatamente os mesmos.
131
Cálculo da variação nos níveis de preços
Observe, através do diagrama de fluxo de caixa abaixo, a evolução 
dos preços em um determinado período:
Gráfico 1 – Evolução de preços em determinado período.
Fonte: Martinelli; Pereira (2018)
Em seguida, utilizaremos as informações acima para abordar 
cada item.
 ◼ Cálculo da inflação com as variações médias dos preços: para 
este cálculo, utilizaremos os preços ao final de cada semana, 
determinando a média aritmética simples de cada período:
Inflação de maio =
Inflação de maio = (1.102 / 1.032) – 1
Inflação de maio = 0,0069 = 6,9%
 ◼ Cálculo da inflação utilizando as variações “ponta a ponta”: 
para este cálculo, utilizaremos os preços considerando o in-
tervalo de 1 mês:
Inflação de maio = (1.123 / 1.044) - 1
Inflação de maio = 0,0756 = 7,56%
132
Índices de inflação
No Brasil, existem vários índices importantes no contexto econô-
mico. Observe, na figura a seguir, os principais deles:
Figura 2 – Índices de Inflação.
Fonte: Ana Vasconcelos (2023).
 ◼ Índice Nacional de Preços ao consumidor (INPC): calculado 
pelo IBGE, este índice mede a variação dos preços pagos pelos 
consumidores das principais regiões metropolitanas, consi-
derando apenas famílias que possuem renda mensal de um a 
cinco salários-mínimos;
 ◼ Índice Nacional de Preços ao consumidor amplo (IPCA): cal-
culado pelo IBGE, é o índice que estabelece a execução da po-
lítica monetária do Banco Central do Brasil. Este índice reflete 
133
a variação dos preços das cestas de consumo das famílias com 
renda mensal de 1 até 40 salários mínimos;
 ◼ Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo Especial 
(IPCA-E): calculado pelo IBGE, é divulgado ao final de cada 
trimestre, sendo formado pelas taxas do IPCA-15 de cada 
mês. Possui como objetivo realizar um balanço trimestral da 
inflação;
 ◼ Índice de Preços ao Consumidor Amplo-15 (IPCA-15): me-
dido pelo IBGE, este índice foi constituído com a meta de ofe-
recer a variação dos preços no mercado varejista, mostrando, 
assim, o incremento do custo de vida da população;
 ◼ Índice Geral de Preços (IGP): medido pela Fundação Getúlio 
Vargas (FGV), apresenta a inflação de preços desde matérias-
-primas agrícolas e industriais até bens e serviços finais. Este 
índice é composto pela média de três índices que refletem a 
economia: Índice de Preços por Atacado (IPA), Índice de Pre-
ços ao Consumidor (IPC) e Índice Nacional de Custos da Cons-
trução (INCC);
 ◼ Índice Geral de Preços 10 (IGP-10): é uma das categorias do 
IGP. Mensurado pela FGV, ele identifica a inflação de preços 
desde matérias-primas agrícolas e industriais até bens e ser-
viços finais;
 ◼ Índice Geral de Preços – Disponibilidade Interna (IGP-DI): 
é uma das versões do Índice Geral de Preços. Mensurado pela 
FGV, ele registra a inflação de preços desde matérias-primas 
agrícolas e industriais até bens e serviços finais;
 ◼ Índice Geral de Preços do Mercado (IGP-M): é outra das ver-
sões do Índice Geral de Preços. Identificado pela FGV, ele re-
gistra a inflação de preços desde matérias-primas agrícolas e 
industriais até bens e serviços finais;
134
 ◼ Índice de Preços ao Consumidor Semanal (IPC-S): calcula a 
variação de preços de produtos e serviços em sete capitais es-
pecíficas do país. É medido pela FGV;
 ◼ Índice de Preços ao Consumidor, da Fundação Instituto 
de Pesquisas Econômicas (IPC-Fipe): é medido pela Fipe e 
mensura, especificamente, a inflação na cidade de São Paulo;
 ◼ Índice de Preços ao Consumidor – São Paulo (IPC-SP): cal-
cula a variação de preços de produtos e serviços da cidade de 
São Paulo e é calculado pela FGV.
Juros e inflação
Os governos utilizam a taxa de juros como elemento de política eco-
nômica e monetária para dosar o consumo e incentivar a poupan-
ça, já que os proprietários do dinheiro, quando bem remunerados, 
poupam e contêm o consumo. O juro é ditado pelo mercado finan-
ceiro conforme a lei da oferta e procura do capital; quando o risco 
envolvido é grande, com certeza o retorno deve ser maior. Em um 
empréstimo, por exemplo, o indivíduo ou instituição que o propicia 
está investindo, e o que está tomando o empréstimo está captando 
recursos financeiros no mercado que, por meio de um acordo, selam 
os procedimentos para a devolução de quem emprestou.
As taxas de juros são expressas em meses ou ano comercial 
de 360 dias. A seguir, conheceremos alguns tipos de taxas de juros:
 ◼ taxa fixa: é a taxa que não se altera durante todo o tempo de 
duração da operação financeira, mesmo que exista mais de 
um período de capitalização;
 ◼ taxa pré‑fixada: é a taxa determinada no momento da con-
tratação. Exemplo: 3% a.m. pelo prazo de 120 dias;
DEFINIÇÃO
135
 ◼ taxa pós‑fixada: é a taxa cujo valor efetivo do juro é calculado 
somente após o reajuste da base de cálculo. Exemplo: IGP-M 
+ 10% a.a. pelo prazo de 180 dias;
 ◼ taxas flutuantes ou variáveis: são as taxas que variam a cada 
período de capitalização, ou seja, a cada período são fixadas 
novas taxas. Exemplo: Libor, taxa Andib etc.
Compreendidos os tipos de taxas de juros, agora, conhece-
remos as suas estruturas. Mas, antes de seguirmos, façamos um 
questionamento: será que podemos afirmar que “as aparências en-
ganam” quando trabalhamos com juros? Para nossa surpresa, a res-
posta é sim! Costumeiramente, somos enganados ao acreditar que 
certa quantia de dinheiro, quando aplicada numa poupança, em um 
único mês, rendeu 1,5% ao mês. Mas por que esta afirmação é uma 
ilusão? Porque dentro deste percentual está incluído, também, a in-
flação do período considerado; dessa forma, quando retiramos essa 
diferença, o rendimento, na verdade, é bem inferior ao afirmado.
Nesse contexto, considerando a dinâmica do mercado em que 
estamos inseridos, em que vimos que a inflação é um componente 
a ser considerado, vamos conhecer os conceitos de taxa aparente e 
taxa real. Castanheira e Macedo (2020, p. 97) definem taxa aparente 
como
“[...] a taxa que não contabiliza a inflação do período”.
Esta taxa é a divulgadano mercado, contratada ou declarada 
em uma operação financeira. Por exemplo, se um banco oferece um 
fundo de investimento que remunera 23% ao ano, esta é a taxa no-
minal. A taxa nominal de juros é usada para demonstrar os efeitos da 
inflação no período analisado, tendo por base os fundos financeiros 
DEFINIÇÃO
136
(empréstimos); é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do 
período da operação, podendo ser, inclusive, negativa.
Por outro lado, a taxa real é descrita por Castanheira e Mace-
do (2020, p. 97) como
“[...] a taxa que utiliza a inflação do período”. 
A taxa real de juros é a taxa que realmente gera lucro ao in-
vestidor, pois é a taxa que remunera acima da inflação. É importante 
ressaltar que a taxa real pode ser positiva ou negativa, caso a corre-
ção realizada sobre o capital tenha sido inferior à inflação inserida 
no período (Assaf Neto, 2012). Podemos ver a composição da taxa 
real na figura abaixo.
Figura 3 – Composição da taxa nominal.
Fonte: Ana Vasconcelos (2023).
Os rendimentos financeiros são os responsáveis pela corre-
ção de capitais investidos mediante uma determinada taxa de juros, 
EXEMPLO
137
que é corrigida pelo governo conforme os índices inflacionários re-
ferentes a um período. Todo esse processo ocorre no intuito de cor-
rigir a desvalorização dos capitais aplicados durante uma crescente 
alta da inflação. 
A taxa real e aparente relacionam-se mediante a seguinte de-
monstração matemática:
Fórmula: Taxa real =
Observe que, se a taxa de inflação for nula, ou seja, igual a 
zero, as taxas de juros nominal e real serão coincidentes, isto é, te-
rão o mesmo índice percentual. Mas como essa relação é trabalhada 
em situações cotidianas? Vamos abordá-la através de exemplos.
Qual foi a taxa real de juros de uma aplicação financeira cuja taxa 
aparente foi de 32% ao ano, durante um ano que teve a taxa de in-
flação definida em 10,75%?
Dados do enunciado:
Taxa de inflação = 10,75% = 0,1075
Taxa aparente = 32% = 0,32
Taxa real =
Taxa real =
Taxa real = 1,1987 – 1
Taxa real = 0,1987 = 19,87%
Assim, é possível afirmar que a taxa real de juros neste pe-
ríodo foi de 19,87%. Realizando o cálculo através da HP 12C, temos:
EXEMPLO
138
Tabela 5 – Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12C
Fonte: Ana Vasconcelos (2023) 
Encontre a taxa de rendimento real de determinada aplicação, cuja 
taxa aparente ficou definida em 5,25% mensal, em um mês em que 
a taxa de inflação fixou em 8,1%.
Identificando as informações do enunciado: 
Taxa real = ? 
Taxa de inflação = 8,1% = 0,081 
Taxa aparente = 5,25% = 0,0525
Agora, substituindo os dados na relação entre as taxas, 
obtemos:
Taxa real = 
Taxa real = 
Taxa real = 0,9736 – 1
Taxa real = -0,0264 = -2,64%
Observe que o resultado da taxa real foi negativo; tal respos-
ta indica que houve prejuízo para o aplicador neste período. Logo, 
é possível afirmar que, no período determinado, a taxa real foi de 
-2,64%. Realizando o cálculo através da HP 12C, temos:
EXEMPLO
139
Tabela 6 – Passos para o cálculo de operação de juros simples na HP 12C.
Fonte: Ana Vasconcelos (2023) 
Um investidor adquiriu um título de renda fixa por RS 10.000,00 e o 
resgatou pela quantia de R$ 15.000,00 após um período de seis me-
ses. Determine a taxa de retorno real desse investimento, conside-
rando uma taxa de inflação para o período de 25% a.s.
Dados da questão:
Taxa de inflação = 25% a.s. = 0,25 
PV = 10.000 
FV = 15.000 
n = 6 meses = 1 semestre 
Taxa aparente = ? 
Taxa real = ? 
Observe que o solicitado é a determinação da taxa real, no entanto, 
é preciso encontrar a taxa aparente para substituir na relação exis-
tente. Para isso, recorremos à fórmula de juros compostos, a qual já 
fomos apresentados na unidade inicial. Logo: 
FV = PV(1 + i)n
15000 = 10000 (1 + i)1
1 + i = 1,5
i = 1,5 – 1 = 0,5 = 50% a.s.
140
De posse dessa informação, basta substituir os dados na relação en-
tre as taxas aparente e real:
Taxa real = 
Taxa real = 
Taxa real = 1,20 – 1
Taxa real = 0,20 = 20% a.s.
Logo, a taxa real que incide nesta transação financeira equivale a 
20% a.s. Realizando o cálculo através da HP 12C, temos:
Tabela 7 – Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12C.
Fonte: Ana Vasconcelos (2023).
Análise de investimentos
Ao analisar a viabilidade econômico-financeira de um projeto de 
investimento, é importante utilizar métodos e técnicas que mos-
trem com clareza as taxas e o período de retorno esperado do inves-
timento, bem como sua lucratividade, valor atual e riscos inerentes 
ao processo. Desse modo, teremos suporte na tomada de decisão, no 
que se refere a qual o melhor investimento, ou se o projeto é acei-
tável ou não. 
Segundo Hirschfeld (1992, p. 23), um projeto de investimento 
envolve recursos humanos, materiais e financeiros, proporcionan-
do um processo de produção em que qualquer falha na otimização 
DEFINIÇÃO
141
desses recursos pode prejudicar a comunidade. As decisões de in-
vestimentos devem ser tomadas com base em informações anali-
sadas, pois comprometem os recursos de uma empresa por longo 
tempo e seu retorno efetivo pode ser somente estimado no presente, 
o que gera incertezas. Para dar suporte a essas decisões, as análi-
ses de viabilidade econômica devem ser feitas com métodos e cri-
térios que demonstram, com bastante clareza, os retornos sobre os 
investimentos.
Nesse contexto, as simulações são muito importantes para 
analisar a viabilidade econômica dos projetos de investimentos. An-
tes disso, porém, vamos entender o conceito de análise de investi-
mentos. Segundo Casarrotto Filho e Kopittke (1998, p. 46),
“Análise de Investimentos é um conjunto de técnicas que permite a 
comparação entre os resultados de tomada de decisões referentes a 
alternativas diferentes de uma maneira científica”.
Nessas comparações, as diferenças que marcam as alternati-
vas devem ser expressas tanto quanto possível em termos quanti-
tativos. É aí que entra a matemática financeira: como a ferramenta 
para essa mensuração através de dados quantitativos. Nesse senti-
do, muitos autores consideram que a engenharia econômica é, em 
boa parte, uma aplicação das técnicas de matemática financeira nos 
problemas de tomada de decisão, envolvendo análise de investi-
mentos, orçamento de capital e até mesmo o estudo da depreciação.
Algumas premissas são necessárias para análise de investi-
mentos, tais como:
 ◼ fluxo de caixa: envolve as receitas e despesa;
 ◼ vida econômica ou vida útil: consiste no intervalo de tempo 
entre o ciclo e o final previsto para determinado investimento;
142
 ◼ valor atual ou valor presente: consiste em determinar o va-
lor atual do fluxo de caixa, empregando-o à taxa mínima de 
atratividade;
 ◼ taxa de atratividade: consiste na taxa mínima de retorno que 
o investidor pretende conseguir como rendimento ao realizar 
algum investimento. 
É importante salientar que, no processo da tomada de deci-
são, a alternativa escolhida deve ser sempre a mais econômica, após 
a verificação de que todas as variáveis que influem no sistema foram 
convenientemente estudadas.
Métodos e técnicas de Avaliação de Investimentos
Abordaremos os principais métodos para a avaliação e análise das 
alternativas econômicas de investimento a seguir. Vale salientar 
que os diferentes métodos apresentados podem ser utilizados iso-
ladamente ou combinados, dependendo de cada caso.
Para a compreensão dos métodos, iremos considerar a exis-
tência de dois projetos de investimentos, nas condições abaixo:
 ◼ Projeto A: investimento inicial de R$140.000,00 e Fluxo de 
Caixa (FC) corrente em:
Ano 1 = R$ 62.000,00
Ano 2 = R$ 25.000,00
Ano 3 = R$ 42.000,00
Ano 4 = R$ 51.000,00
Total R$180.000,00
 ◼ Projeto B: investimento inicial de R$120.000,00 e Fluxo de 
Caixa (FC) corrente em:
143
Ano 1 = R$ 45.000,00
Ano 2 = R$ 45.000,00
Ano 3 = R$ 45.000,00
Ano 4 = R$ 45.000,00
Total R$180.000,00
Considerando que a taxa de atratividadepara o projeto A e B 
será de 16% no ano, é preciso:
a. calcular a viabilidade econômica financeira dos projetos;
b. analisar os resultados;
c. apontar o melhor projeto.
1º passo: colocar as informações financeiras na planilha e avaliar os 
dados em valor presente:
Tabela 8 – Valor presente dos projetos A e B.
Fonte: Martinelli; Pereira (2018).
2º passo: descontar o Fluxo de Caixa (FC):
Tabela 9 – Fluxo de caixa descontado dos projetos A e B
Fonte: Martinelli; Pereira (2018)
144
A taxa mínima de atratividade é de 16% a.a., logo, os valores 
correntes do fluxo de caixa devem ser descontados a esta taxa. A re-
presentação matemática que define este cálculo é:
Fórmula:
Em que:
Fcd = fluxo de caixa descontado;
C = parcela de fluxo de caixa;
i = taxa de retorno;
n = prazo de retorno.
Dessa forma, para o cálculo do fluxo de caixa descontado para 
o projeto A, temos:
Para cálculo do projeto B, basta repetir o mesmo processo que 
fizemos no projeto A; então, chegaremos aos valores a seguir:
Fcd1 = 38.790;
Fcd2 = 33.435;
Fcd3 = 28.845;
Fcd4 = 24.840.
145
Identificados os fluxos, partiremos para conhecer os métodos 
de análise de investimentos.
Método do Valor Presente Líquido (VPL)
No método de valor presente líquido, também conhecido como VPL, 
os cálculos são baseados no tempo e no custo que a empresa ou o 
investidor teve. O VPL é obtido calculando-se o valor presente de 
uma série de fluxos (pagamentos ou recebimentos) com base em 
uma taxa de custo de oportunidade conhecida ou estimada e, de-
pois, subtraindo-se o investimento inicial. A fórmula matemática 
que representa este método é:
VPL = ∑Fcd – I.I.
Em que:
VPL = Valor Presente Líquido
∑Fcd = Somatório de fluxo de caixa descontado
I.I. = Investimento Inicial
Os critérios de aceitação para este método são:
 • Se o VPL > 0, o projeto deve ser aceito;
 • Se o VPL 1 significa que o fluxo de caixa líquido gera lucro, ou seja, 
além de recuperar o investimento inicial, o projeto gerará um 
ganho adicional;
 • IL custo de oportunidade, o projeto deve ser aceito;
 • Se a IRR 16%, logo, o projeto deverá ser aceito.
DEFINIÇÃO
151
Depreciação
Em nossos estudos, conhecemos sobre a amortização e suas aplica-
ções na ótica financeira. Agora, iremos abordar o conteúdo por uma 
visão gerencial e contábil para conhecer um novo conceito: a depre-
ciação. Conforme as Normas Brasileiras de contabilidade, através da 
NBC T 19.5 (Conselho Federal de Contabilidade, 2005), 
“Depreciação é a redução do valor dos bens pelo desgaste ou perda 
de utilidade por uso, ação da natureza ou obsolescência e amorti-
zação é a redução do valor aplicado na aquisição de direitos de pro-
priedade e quaisquer outros com existência ou exercício de duração 
limitada, ou cujo objeto sejam bens de utilização por prazo legal ou 
contratualmente limitado”.
A principal distinção entre esses dois encargos está baseada 
no fato de que a depreciação incide sobre os bens físicos de proprie-
dade do próprio contribuinte, enquanto a amortização relaciona-se 
com a diminuição de valor dos direitos com prazo definido. Em ou-
tros termos, depreciação é a perda de valor dos bens que pode ocor-
rer por desgastefísico, pelas ações da natureza ou pelo próprio uso, 
envelhecimento ou obsolescência devido às inovações tecnológicas. 
Financeiramente, pode ser entendida como a diferença en-
tre o preço da compra de um bem e seu valor de troca depois de um 
tempo de uso. Existem muitas variáveis no cálculo da depreciação, 
o que torna difícil o cálculo matemático adequado e preciso, no en-
tanto, conheceremos alguns elementos básicos e o método mais 
utilizado para sua mensuração.
152
Fundo de depreciação
Com o objetivo de gerar fundos que irão possibilitar a substituição 
de itens necessários à empresa no final de sua vida útil, o valor de 
depreciação deve ser uma reserva contábil da empresa; dessa forma, 
ele será reposto com mais facilidade quando não tiver mais capaci-
dade de uso ou ficar obsoleto. Portanto, a depreciação é um custo 
operacional na empresa, devendo estar incluída no custo total de 
produção, o que chamamos de fundo de depreciação.
Cada bem tem seu tempo estimado de vida útil, valor residual 
e porcentagem anual de depreciação. A vida útil é o tempo que leva 
entre a aquisição do produto e o momento em que ele deixa de ge-
rar caixa ou começa a representar um custo. Já o valor residual é o 
valor que sobra em relação ao custo de aquisição quando a vida útil 
do bem termina. É possível que, em caso de desgaste total, o valor 
residual seja zero.
Consideramos como A o custo de um ativo de vida útil esti-
mado em n anos. R é o valor residual que o bem apresentará ao final 
daquele prazo. Então, o ativo A sofre em n anos uma depreciação D. 
A relação matemática que representa esta operação se dá por:
D = A – R
Em que:
D = Depreciação;
A = custo de aquisição do bem;
R = valor residual.
A depreciação corresponderá, ao final de cada ano, à depre-
ciação total do ativo nesta data. Então, podemos considerar que a 
diferença entre o custo do ativo A e a depreciação acumulada repre-
sentam o valor do ativo naquele período. Esse valor é decrescente, 
com valor inicial sendo o custo do ativo, e o valor final sendo o valor 
residual do ativo.
EXEMPLO
153
Método Linear
A depreciação linear é o método de depreciação mais simples e mais 
utilizado, que parte do princípio de que um ativo perde uma quan-
tidade sempre igual de valor em cada ano da sua vida útil estimada; 
isto significa que os custos de aquisição e de produção são unifor-
memente distribuídos por toda a vida útil do bem. O método linear é 
o quociente entre a depreciação total D pelos n anos. Assim, a quota 
anual é igual a:
Fórmula:
Em que:
D = depreciação anual;
A = custo de aquisição do bem;
R = valor residual;
n = anos de vida útil do bem.
Uma máquina custa R$ 200.000,00 e a sua vida útil é estimada em 
10 anos. Supondo que seu valor residual ao fim dos 10 anos seja de 
R$ 20.000,00, calcule, pelo método linear, a quota para o fundo de 
depreciação.
Dados da questão:
A = R$ 200.000,00
R = R$ 20.000,00
n = 10 anos
Aplicando a fórmula, temos:
Logo, a quota anual de depreciação desse bem será de R$ 18.000,00.
SINTETIZANDO
154
Olá, estudante! 
Neste objeto de aprendizagem, vimos que a inflação é o nome dado 
ao aumento dos preços de produtos e serviços diversos, enquanto a 
deflação é o oposto, ou seja, a baixa predominante dos preços dos 
bens e serviços. Conhecemos, também, que a correção monetária é 
o processo de atualização de valores de acordo com a inflação do pe-
ríodo e que essa atualização é realizada através dos índices de pre-
ços, que costumeiramente recebem o nome de índices de inflação. 
Em nosso país, os índices mais utilizados na medição da inflação são 
o INPC e o IPCA, ambos possuem a capacidade de medir a variação 
de preços de uma cesta de produtos e serviços consumida pela po-
pulação e o resultado apresenta o aumento ou diminuição dos pre-
ços de um mês para o outro. Além disso, apreciamos outros índices 
que possibilitam a mensuração da inflação sob diferentes aspectos.
Ademais, fomos apresentados aos conceitos de taxa aparente e taxa 
real, assuntos recorrentes no mundo das finanças e dos investi-
mentos. A taxa aparente é aquela que está inserida nas operações 
correntes, ou seja, é a que consta nos contratos em geral, já a taxa 
real é o rendimento ou custo de uma operação, desconsiderando os 
efeitos inflacionários. No caso da taxa real de juros, o efeito inflacio-
nário não existe, por isso, ela tende a ser menor que a taxa aparente.
Também entendemos o papel da matemática financeira como uma 
ferramenta fundamental no processo de análise de investimentos 
através da aplicação de metodologias e técnicas de retorno, au-
xiliando nos problemas de tomada de decisão, análise de investi-
mentos, viabilidade, orçamento de capital e até mesmo o estudo da 
depreciação. Sobre este último tema, encerramos nosso conteúdo 
aprendendo que a depreciação é a perda de valor dos bens, que pode 
ocorrer por desgaste físico, ações da natureza ou pelo próprio uso, 
envelhecimento ou obsolescência, assim como conhecemos o mé-
todo linear, o mais simples e comumente utilizado para o cálculo da 
depreciação.
155
Sucesso na sua trajetória profissional!
Forte abraço!
156
Referências
UNIDADE 1
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. 
12. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática financeira fundamental. São 
Paulo: Atlas, 2003. 
CALCULADORA HP 12c | Como calcular Juros Simples e a Taxa? Ma-
temática Simplificada, [s.d.]. 1 imagem. Disponível em: . Aces-
so em: 13 nov. 2023.
CASTANHEIRA, Nelson Pereira; MACEDO, Luiz Roberto Dias de. 
Matemática Financeira Aplicada. 2. ed. Curitiba: Intersaberes, 2020.
LAPPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira - Uma Abordagem 
Moderna. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC,1994. 
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática 
Financeira. São Paulo: Editora Atlas, 1996.
TAXAS Nominal, Efetiva, Proporcional e Equivalente – Explicação 
Passo a Passo. Calculadora de Juros Compostos, [s.d.]. 1 imagem. 
Disponível em: . Acesso em: 13 nov. 2023.
UNIDADE 2
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. 
12ª. ed. São Paulo: Atlas, 2012. 
BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática financeira fundamental. São 
Paulo: Atlas, 2003. 
157
CASTANHEIRA, Nelson Pereira; MACEDO, Luiz Roberto Dias de. 
Matemática Financeira Aplicada. 2ª ed. Curitiba: Intersaberes, 
2020.
LAPPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira: Uma Abordagem 
Moderna. 2ª. ed. Rio de Janeiro: LTC,1994. 
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática 
Financeira. São Paulo: Editora Atlas, 1996.
UNIDADE 3
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. 
12ª. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática Financeira Fundamental. 
São Paulo: Atlas, 2003.
CASTANHEIRA, Nelson Pereira; MACEDO, Luiz Roberto Dias de. 
Matemática Financeira Aplicada. 2ª ed.Curitiba: Intersaberes, 
2020.
CASTANHEIRA, Nelson Pereira; SERENATO, Verginia S. Matemá-
tica financeira e análise financeira para todos os níveis: soluções 
algébricas e soluções na HP-12c. 2ª ed. CURITIBA: Juruá, 2011.
FUSINATO, Joni. Aula 7: Série de Pagamentos. 2010. Disponível em 
. Acesso: 14 nov. 2023.
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática 
Financeira. São Paulo: Atlas, 2007.
LAPPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira: Uma Abordagem 
Moderna. 2ª.ed. Rio de Janeiro: LTC, 1994.
PEREIRA, M. G. Plano básico de amortização pelo sistema francês 
e respectivo fator de conversão. 175 f. Tese de doutoramento apre-
sentada à congregação da Faculdade de Ciências Econômicas e Ad-
ministrativas da Universidade de São Paulo, São Paulo. 1965.
158
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e apli-
cada. 9ª ed. São Paulo: Elsevier, 2011.
UNIDADE 4
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas Aplicações.em situações 
do cotidiano, para que o leitor possa refletir sobre a melhor decisão 
a ser tomada diante de cada caso.
Autoria
Elidio Luiz Martinelli.
Olá! Meu nome é Elidio Luiz Martinelli. Sou graduado em Mate-
mática pela Universidade Federal do Rio Grande (1991), possuo es-
pecialização em Administração e Planejamento Para Docentes pela 
ULBRA-RS e mestrado em Educação pela Universidade de Brasília 
(2009). Atualmente sou professor da Universidade do Estado de 
Mato Grosso (UNEMAT) e professor da UNILASALLE de Lucas do 
Rio Verde-MT. Tenho experiência na área de Educação Matemática 
e Matemática. Atuo com os temas: Matemática Financeira; Cálculo 
Diferencial e Integral; Geometria Analítica e Álgebra Linear; Lin-
guagens, Comunicação e Tecnologias; Educação Matemática; For-
mação Continuada; Gestão Social; Residência Social e EaD.
Paulo Vitoriano Dantas Pereira.
Olá, meu nome é Paulo Vitoriano Dantas Pereira. Possuo gradua-
ção em Matemática pela Universidade Estadual da Paraíba (1991) e 
pós-graduação em “Educação: Formação do Educador” pela Uni-
versidade Estadual da Paraíba (2002). Sou professor efetivo da Uni-
versidade Federal do Tocantins e do Instituto Federal de Educação 
do Tocantins. Tenho experiência nas áreas de Cálculo, Álgebra Li-
near e Estatística Básica.
Currículo Lattes
Currículo Lattes
Organizador(a)
Ana Carolina Cavalcanti de Vasconcelos.
Olá! Meu nome é Ana Carolina Cavalcanti Vasconcelos. Sou ba-
charel em Administração pela UPE, bacharel em Ciências Contábeis 
pela UFPE, e possuo MBA em Gestão Tributária pela UNINASSAU, 
além de ser professora no Grupo Ser Educacional e atuar no merca-
do como contadora. Sou apaixonada pelo que faço e tenho imensa 
satisfação em transmitir conhecimento. Estou feliz em poder ajudar 
você nessa fase de muito estudo e trabalho. Conte comigo!
Currículo Lattes
UN
ID
AD
E
1
Objetivos
1. Aprender o que são os juros e os principais conceitos no con-
texto da matemática financeira.
2. Compreender os juros simples e compostos e os elementos 
que os constituem.
3. Diferenciar os regimes de capitalização (simples e composto) 
e suas aplicações práticas.
4. Entender e diferenciar os tipos de taxas mais utilizadas no 
mercado financeiro.
10
Introdução
Olá, aluno(a)!
A matemática financeira, no geral, é uma categoria da ma-
temática focada na análise de dados financeiros e que tem como 
objetivo estudar o comportamento do dinheiro. Ela fornece dados 
relevantes na tomada de decisões gerenciais e, quando devidamen-
te aplicada, traz índices de rentabilidades mais altos, permitindo 
a maximização dos lucros. Em questões mais simples do dia a dia, 
como na hora de calcular as prestações de um imóvel, decidir qual 
aplicação apresenta uma maior rentabilidade ou qual desconto é 
possível obter caso o pagamento seja feito à vista, a matemática fi-
nanceira também está presente. 
A partir dessas necessidades, este primeiro momento de nos-
so material didático apresenta-se como uma base sólida para com-
preender o mundo em que se situa essa temática. 
No primeiro tópico, serão estudados os juros simples e com-
postos, assim como seus respectivos regimes de capitalização; nes-
se sentido, é recomendado ao aluno relembrar alguns conteúdos de 
matemática básica, necessários ao estudo deste tema, como tam-
bém a utilização de uma calculadora. Serão trabalhados, também, 
os conceitos, as características, as semelhanças, as diferenças, os 
aspectos gráficos e financeiros de cada regime. No segundo tópico, 
estudaremos os tipos de taxas de juros, seus mecanismos, aplica-
ções e diversas formas de apresentação.
Convidamos você a participar deste momento de aprendiza-
gem. Vamos juntos adentrar em um mundo interessante e muito útil 
para nossa vida financeira! 
Ao trabalho! Bons estudos!
DEFINIÇÃO
11
Juros e a Matemática Financeira
Os juros estão intimamente conectados às diversas situações que 
permeiam a dinâmica de nosso cotidiano. Mais comum que ima-
ginamos, essa representação matemática é muito recorrente para 
indicar diferentes operações financeiras. Por exemplo, em algum 
momento da vida com certeza já nos deparamos com notícias como:
 ◼ “Compre seu carro com uma pequena entrada e parcele o sal-
do sem juros!”;
 ◼ “Adquira seu apartamento financiado com parcelas 
decrescentes!”;
 ◼ “Aumento da taxa Selic sobe juros de cheque especial e cartão 
de crédito”;
 ◼ “Juros fecham em queda, com alívio do câmbio e melhora na 
percepção geopolítica”.
Por isso, para iniciarmos nossa jornada, definiremos o juro, 
que, conforme Castanheira e Macedo (2020, p. 27), pode ser descrito 
da seguinte forma:
Juro é a remuneração do capital.
Este é o conceito mais trivial, contudo, ainda conforme os 
mesmos autores, outras proposições mais populares também ca-
racterizam juros:
 ◼ juro é o valor que se paga pelo uso de dinheiro que se toma 
emprestado;
12
 ◼ juro é o dinheiro produzido quando o capital é investido;
 ◼ juro é a recompensa do capital agregado em atividades 
produtivas.
Constantemente associamos os juros a uma ideia pejorativa, 
vinculando-os ao desembolso pelo uso do capital. No entanto, é im-
portante compreender que existem duas facetas deste conceito, afi-
nal, os juros podem agregar ou depreciar nossa vida financeira, uma 
vez que essa operação pode acelerar o crescimento de uma renda 
ou bem, assim como reduzi-lo a partir do momento em que esses 
investimentos são adquiridos. 
Então, por que existe a prática de juros? Qual a necessidade 
da admissão desse quantitativo nas operações financeiras? Basica-
mente, de acordo com Assaf Neto (2012, p. 1), as taxas de juros são 
eficientes de maneira a remunerar:
 ◼ o risco inerente à operação (empréstimo ou aplicação), indi-
cado pela incerteza em relação ao futuro;
 ◼ a diminuição de compra do capital impulsionada pela infla-
ção, uma vez que este fator corrói o capital, diminuindo a ca-
pacidade de compra de posse do mesmo montante;
 ◼ o capital aplicado e/ou emprestado; os juros devem agregar 
lucro ao proprietário do capital de maneira a compensar a 
privação do uso capital emprestado durante certo período de 
tempo.
Conceitos Importantes
Antes de iniciarmos os cálculos e relações no contexto da matemáti-
ca financeira, é necessário definir e entender conceitos importantes 
e comumente utilizados.
 ◼ Capital (C) – também conhecido como principal, valor pre-
sente ou valor atual, capital representa o valor aplicado em 
13
uma operação financeira, ou o valor do dinheiro no momento 
atual. Este quantitativo é muito importante no contexto fi-
nanceiro, uma vez que, fundamentado nele, a proporção de 
lucro ou prejuízo será calculado.
 ◼ Juros (J) – os juros representam o preço pago pelo uso do di-
nheiro, ou seja, é a remuneração oriunda do capital aplicado 
ou emprestado por determinado período de tempo. 
 ◼ Taxa de juros (i) – representa um percentual que se aplica so-
bre o capital durante certo período. 
 ◼ Montante (M) – também conhecido como valor final ou va-
lor futuro, montante representa o valor acumulado em deter-
minado intervalo de tempo, resultado do somatório entre o 
capital aplicado (C) + Juros (J) provenientes desta aplicação 
(M = C + J).
 ◼ Período (n) – representa o tempo que o quantitativo finan-
ceiro estará submetido a determinada taxa de juros.
 ◼ Período de Capitalização – representa o intervalo de tempo 
em que irá incidir a taxa de juros. 
Exemplos:
0,05% ao dia – Capitalização Diária
2 % ao mês – Capitalização Mensal
5% ao bimestre – Capitalização Bimestral
15% ao ano – Capitalização Anual
Baseados em todos esses conceitos, será possível determinar 
uma relação que permite o cálculo dos juros. Mas, antes da determi-
nação do cálculo, é importante entender que a maneira na qual os 
juros são incorporados permite sua categorização; dessa forma, ele 
pode ser classificado como simples ou composto.
DEFINIÇÃO
14
Capitalização Simples
Os juros (J) são ditos simples quando a taxa de juros incide di-
retamente sobre o Capital12. ed. 
São Paulo: Atlas, 2012. 
BAUER, U. R.. Matemática financeira fundamental. São Paulo: 
Atlas, 2003. 
CASARROTTO FILHO, N.; KOPITTKE, B. H. Análise de investimen-
tos. São Paulo: Atlas, 1998.
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. de. Matemática Financeira 
Aplicada. 2. ed. Curitiba: Intersaberes, 2020. 
CASTANHEIRA, N. P.; SERENATO, V. Matemática financeira e aná-
lise financeira para todos os níveis: soluções algébricas e soluções 
na HP-12c. 2. ed. CURITIBA: Juruá, 2011.
CONSELHO FEDERAL DE CONTABILIDADE. Resolução CFC nº. 
1.027, de 15 de abril de 2005. Aprova a NBC T 19.5: Depreciação, 
Amortização e Exaustão. Disponível em: . Acesso em: 16 nov. 
2023. 
CONSELHO FEDERAL DE CONTABILIDADE. Resolução CFC nº. 
1.136, de 21 de novembro de 2008. Aprova a NBC T 16.9: Deprecia-
ção, Amortização e Exaustão. Disponível em: . Acesso 
em out/2023. 
FARIA, R.G. de. Matemática comercial e financeira: com exercícios 
e cálculos em Excel e HP-12C. São Paulo: Ática, 2007. 
HIRSCHFELD, H. Engenharia econômica e análise de custos. 5. ed. 
São Paulo: Atlas, 1992.
159
MARTINELLI, E. L.; PEREIRA, P. V. D. Matemática Financeira. Curi-
tiba: Fael, 2018
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática Financeira. São Paulo: 
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MORAES, M. F. Plano Real, 20 anos - Moeda trouxe novo ciclo de 
desenvolvimento econômico. Vestibular UOL, 2018. Disponível em: 
. Acesso em: out/2023
LAPPONI, J. C. Matemática Financeira - Uma Abordagem Moderna. 
2.ed. Rio de Janeiro: LTC, 1994. 
PUCCINI, A. de L. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 9. ed. 
São Paulo: Elsevier, 2011.
TABELA IPCA 2023. Investidor10, 2023. 1 Tabela. Disponível em: 
. Acesso em: 14 nov. 
2023.Inicial ou Principal (C) aplicado, indepen-
dentemente do período de capitalização, ou seja, apenas o capital 
inicial será remunerado ao longo do tempo de aplicação. Nesse caso, 
os juros não são capitalizados.
Mas e a capitalização simples? Em que sentido este conceito 
se atrela ao de juros? Essencialmente, capitalizar associa-se à ideia 
de juntar, agregar, acumular, e, na matemática financeira, esta 
concepção mantém-se agregada a outros conceitos. Nesse sentido, 
a capitalização simples é definida por Castanheira e Macedo (2020, 
p. 27) como:
Regime de capitalização em que se utilizam os juros simples.
Logo, na capitalização simples, para cada período, temos a 
mesma taxa de juros calculada sob o mesmo capital. Dessa maneira, 
é possível ter uma previsão de seu total por meio da multiplicação 
do total de juros por intervalo pelo total de intervalos.
Ainda segundo Castanheira e Macedo (2020, p. 28), o juro é 
calculado por intermédio de uma taxa percentual aplicada sobre o 
capital que “sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semes-
tre, bimestre, trimestre, mês, dia”. Assim, a fórmula que possibilita 
o cálculo dos juros simples é dada por:
Fórmulas: J = C . i . n e M = C + J ou M = C . ( 1 + i.n) 
Em que:
J = juros.
C = Capital inicial ou Principal.
EXEMPLO
15
M = Montante.
i = Taxa de juros.
n = Intervalo de tempo.
Destaca-se que, na determinação dos juros simples, a curva 
do capital é linear, ou seja, é gerada uma função linear na qual cada 
adicional de juros é associado diretamente ao valor que inicialmente 
é investido. 
Agora, vamos apresentar exemplos para exercitar essas rela-
ções que embasam os cálculos dos juros simples.
Durante um semestre, Patrícia emprestou a quantia de R$10.000,00, 
a uma taxa de 2,5% ao mês. De quanto serão os juros obtidos neste 
período?
Iniciaremos a resolução de um exercício destacando as informações 
contidas no enunciado, logo: 
n = 6 
i = 2,5% = 2,5/100 = 0,025
C = 10.000 
J = ?
Observe que o período foi definido como seis em referência ao pe-
ríodo de um semestre, visto que a taxa de juros é mensal. A taxa de 
juros sempre deve ser transformada para sua forma decimal, isto é, 
é preciso encontrar seu número decimal correspondente; para isso, 
basta dividir o valor informado por 100. Como foi solicitado o cálculo 
dos juros neste período, basta substituirmos as informações e apli-
cá-las na relação:
J = C . i . n 
J = 10000 . 0,025 . 6
EXEMPLO
16
J = 1500,00
E para descobrirmos o montante recebido por Patrícia no final do 
semestre? Basta aplicarmos o resultado na relação:
M = C + J
 M = 10000 + 1500
 M = 11500,00 
Para elucidar com mais propriedade a resolução deste exercício, é 
possível elaborar uma tabela para a determinação do juro mensal 
até a conclusão de seu total semestral. Observe:
Tabela 1 – Capitalização Simples.
Fonte: Ana Vasconcelos (2023). 
Observe que o total parcial se refere ao início do período, enquanto 
o total é obtido ao final do período. Além disso, atente-se ao fato de 
que o valor encontrado de juros nesta modalidade é sempre o mes-
mo, pois a base de referência para o cálculo não se modifica no de-
correr do tempo.
Pedro aplicou R$10.000,00 e, após 7 anos, resgatou um montante 
de R$ 28.500,00. Qual foi a taxa de juros simples incidente nesta 
transação?
Dados:
17
M = 28.500,00 
C = 10.000,00
n = 7 anos 
i = ? 
Logo: 
M = C . ( 1 + i.n)
28500 = 10000 . (1 + i . 7)
(1 + i . 7) = 28500/10000
2,85 = 1 + 7.i
i = 1,85 / 7
i = 0,2642 x 100 = 26,42% a.a
Juros exatos, ordinários e bancários
Já aprendemos que os juros correspondem, resumidamente, a “um 
aluguel” pago pela utilização de certa quantia, e o seu valor final irá 
variar de acordo com o período estabelecido para o cálculo: afinal, se 
calculado em 30 dias, será obtido um valor, em 31 dias, outro valor. 
Este exemplo parece irrisório perante cálculos financeiros, porém 
os juros tornam-se relevantes nas seguintes situações: “como irei 
pagar juros referentes a 30 dias quando o mês de fevereiro possui 
apenas 28?”, ou então “como vou receber juros sobre o valor em-
prestado referente a 30 dias quando o mês de março possui 31?”
Devido a essa diferenciação, surgem três tipos de juros: exa-
tos, ordinários e bancários. Conforme destaca Assaf Neto (2012, p. 
10), os juros exatos são descritos como uma “Modalidade em que se 
adota a quantidade exata de dias que compõem um ano civil, poden-
do variar entre 365 dias e 366 dias, caso o ano seja bissexto”. 
Castanheira e Macedo (2020, p. 33) caracterizam juros or-
dinários como a “Modalidade que utiliza como referência o ano 
DEFINIÇÃO
18
comercial, isto é, considera que todos os meses são compostos por 
30 dias e por consequência, o ano será composto por 360 dias”. Por 
fim, Assaf Neto (2012, p. 10) elucida os juros bancários como a “Mo-
dalidade que utiliza como referência a quantidade exata que compõe 
cada mês, ou seja, 28,29, 30 ou 31 dias; assim, o ano possui 360, 
assim como o comercial”.
Nas operações financeiras, os bancos geralmente utilizam 
uma combinação entre os juros comerciais e exatos, denominado 
de juros pela “regra dos banqueiros”, o qual funciona da seguinte 
forma: para calcular o número de dias entre duas datas, utiliza-se o 
conceito de juros exatos, já para calcular o número total de dias de 
um ano ou mês, utiliza-se o conceito de juros comerciais.
Capitalização Composta
Os juros são ditos compostos quando a taxa de juros incide sobre 
o Capital Inicial ou Principal (C) aplicado ou investido somente no 
primeiro período de capitalização; posteriormente, a taxa de juros 
incidirá sempre sobre o Montante (M), ou seja, ao final de cada pe-
ríodo, os juros são capitalizados e o montante constituído passa a 
render juros no período seguinte. Nesse caso, os juros são capita-
lizados e, por isso, esta modalidade é reconhecida como “juros sob 
juros”.
E a capitalização composta? Possui o mesmo raciocínio da 
capitalização simples? Nesse sentido, Assaf Neto (2012, p. 3) define 
que:
A capitalização composta é um regime que adota a taxa de juros 
composta, isto é, o juro produzido em determinado tempo será 
acrescido ao valor produzido pelo capital, passando ambos, juro e 
capital, a render juros no próximo período. Nesta dinâmica finan-
ceira, cada intervalo em que o juro é agregado ao valor que o gerou é 
chamado de período de capitalização.
EXEMPLO
19
Ao realizar um empréstimo, compra a prazo, financiamento 
de imóvel ou automóvel em qualquer instituição financeira, sempre 
estamos pagando por juros e, na grande maioria das vezes, eles são 
compostos. Na capitalização composta, diferentemente da simples, 
o capital é alterado a cada período, pois, a cada término de um pe-
ríodo de capitalização, é obtido um novo montante parcial maior. 
Assim, as fórmulas que permitem a utilização dos juros compostos 
são dadas por:
Fórmulas: M = C ( 1 + i )n e J = M – C 
Em que:
M = Montante
C = Capital inicial ou Principal
J = Juros
i = Taxa de juros
n = Intervalo de tempo
A seguir, vamos apresentar exemplos para exercitar estas re-
lações que embasam os cálculos dos juros compostos.
Qual é o montante produzido pela aplicação de um capital de R$ 
10.000,00 a uma taxa de 2,5% a.m. por um período de 6 meses?
Retirando as informações do enunciado:
C = 10.000
i = 2,5% = 2,5/100 = 0,025
n = 6
M = ? 
Vamos aplicar na fórmula:
VOCÊ SABIA?
20
M = C ( 1 + i )n
M = 10000 (1 + 0,025)6
M = 10000 . 1,159693
M = 11.596,93
Para elucidar com mais propriedade a dinâmica da capitalização 
composta, vamos observar a tabela 2 com os valores respectivos a 
este exercício:
Tabela 2 – Capitalização Composta.
Fonte: Ana Vasconcelos (2023). 
Observe que o capital no qual incide a taxa de juros a cada período 
é sempre alterado, por isso, esta modalidade é reconhecida como 
“juros sob juros”. Vale salientar que sempre utilizaremos duas ca-
sas em nossos cálculos em virtude do Sistema Monetário Brasileiro.
As regras dearredondamento estabelecidas pela Associação Brasi-
leira de Normas Técnicas (ABNT) instituem que, para arredondar 
a segunda casa após a vírgula, é necessário observar o número que 
ocupa a terceira casa decimal, se este valor for igual ou menor que 
cinco, este último algarismo será mantido, caso contrário, acres-
centa-se uma unidade ao algarismo que ocupa a segunda casa após 
a vírgula.
EXEMPLO
21
Uma poupança foi criada com a entrada de R$ 21.000,00 e ficou ca-
pitalizando por um período de 12 anos. Após esse tempo, foi comu-
nicado ao cliente detentor da conta em questão que o valor presente 
era de R$32.000,00. Logo, qual a taxa de juros compostos aplicado 
a esse capital?
As informações do enunciado são:
C = 20.000,00
n = 12 
M = 32.000,00
i = ?
Aplicando os dados na fórmula:
M = C ( 1 + i ) n
32000 = 20000 (1 + i)¹²
(1 + i)¹² = 32000/20000
(1 + i)¹² = 1,6
¹²√1,6 = ¹²√(1+i)¹²
1,04 = 1 + i
i = 0,04 x 100 = 4% a.a.
Diferença Entre os Regimes de Capitalização
Com relação à categorização dos regimes de capitalização, Assaf 
Neto (2012, p. 32) define que 
A capitalização é o espaço de tempo em que 
a aplicação gera os juros contratados. Desta 
maneira, um período de três anos e os juros 
22
capitalizados semestralmente, produz seis pe-
ríodos de capitalização, no entanto, a maneira 
na qual o valor presente é determinado, adi-
cionado ao juros obtido ou não, é que permite 
categorizá-lo em simples ou composto.
O regime de capitalização simples e o composto diferenciam-
-se quanto a modalidade que cada um adota ao capitalizar os juros. 
Essa diferença é percebida principalmente quando um determinado 
capital é aplicado a uma mesma taxa de juros, envolvendo diver-
sos períodos de capitalização. Nesse caso, quanto maior o período 
de capitalização, maior será o montante acumulado através de juros 
compostos.
Observe na tabela 3 que o montante acumulado através de ju-
ros compostos foi superior ao acumulado pelos juros simples. Isso 
ocorreu em razão da taxa dos juros compostos, com exceção à do 
primeiro mês, incidir sempre sobre o montante do mês anterior, ao 
passo que, nos juros simples, a taxa sempre incide sobre o valor do 
capital aplicado.
Tabela 3 – Montante resultado da capitalização simples e composta.
Fonte: Ana Vasconcelos (2023).
Dessa forma, nos juros simples, o crescimento do capital é 
linear, pois cada período acrescenta a mesma parcela de juros, en-
quanto que nos juros compostos o crescimento é exponencial, ca-
racterizado por acrescentar sempre ao valor presente uma parcela 
corrigida a partir do montante anterior:
Juros simples = 250 + 250 + 250 + 250 + 250 + 250 = 1.500,00
Juros compostos = 250 +256,25 +262,66 +269,22 +275,95 +282,85 = 1.596,93
23
A distinção entre essas duas modalidades de capitalização 
pode ser observada através do gráfico a seguir.
Gráfico 1 – Comportamento da capitalização simples e composta.
Fonte: Assaf Neto (2012, p. 5).
Observe no gráfico que a capitalização composta é bem mais 
inclinada do que a capitalização simples, essa diferença reflete di-
retamente no juro obtido nas relações financeiras.
Aplicação das Fórmulas e o Uso da Calculadora 
Financeira
Grande parte dos cálculos inerentes ao mercado financeiro podem 
ser feitos auxiliados por uma calculadora financeira, a qual visa 
simplificar e agilizar os cálculos financeiros e é bastante usada por 
economistas, contadores, matemáticos e integrantes do merca-
do financeiro. A mais utilizada para esse fim é a “HP 12C”. Em um 
primeiro momento, seu uso pode parecer difícil, afinal, a dinâmica 
de entrada de valores na calculadora “HP 12C” é diferente das cal-
culadoras tradicionais, pois opera com a entrada de dados Notação 
Polonesa Reversa (RPN), na qual se introduzem os dados, que são 
separados pela tecla ENTER, e, em seguida, a operação é efetuada.
CURIOSIDADE
24
Esse sistema foi adotado para tornar os cálculos extensos 
muito mais rápidos e simples, o que uma calculadora convencional 
não consegue suportar da mesma forma que a “HP 12C”.
A calculadora “HP 12C” é o produto mais longo e mais vendido da 
HP, em produção contínua desde seu lançamento. O que torna esta 
calculadora totalmente única entre todos os produtos eletrônicos 
de consumo é que ela foi introduzida pela primeira vez pela HP há 
42 anos atrás, em 1981, e ainda hoje é considerada um produto re-
levante e atualizado, o “estado da arte” para analistas financeiros, 
corretores, investidores, professores e demais usuários.
Abaixo estão apresentadas as teclas financeiras mais utili-
zadas para os cálculos que envolvem as operações da matemática 
financeira: 
Figura 1 – Teclas de função financeira da HP 12C .
Fonte: Calculadora [...], [s.d.].
Em que:
 ◼ a tecla [n] calcula o número de períodos;
 ◼ a tecla [i] calcula a taxa de juros;
 ◼ a tecla [PV] calcula o valor presente ou capital;
EXEMPLO
25
 ◼ a tecla [PMT] calcula os pagamentos ou prestações;
 ◼ a tecla [FV] calcula o valor futuro ou montante;
 ◼ a tecla [CHS] troca o sinal de um número;
 ◼ pressionamos [f] FIN para zerar os registros financeiros;
 ◼ pressionamos [f] REG para zerar todos os registros.
Após a apresentação da calculadora, iremos explorar novos 
exemplos com a aplicação da fórmula e o cálculo na HP 12C:
Temos um Capital no valor de R$10.000,00 aplicado à uma taxa de 
juros de 5% ao mês, num intervalo de tempo de 4 meses. Como en-
contrar o valor dos juros e do montante, aplicando as fórmulas de 
juros simples e compostos respectivamente? E como ficaria o cál-
culo na HP 12C?
Dados:
C = 10.000
i = 5% a.m. /100 = 0,05
n = 4
J = ?
M = ?
I. Aplicação da fórmula através de juros simples
J = C . i . n 
J = 10000 . 0,05 . 4
J = 2.000,00
26
M = C + J
M = 10000 + 2000
M = 12.000,00
II. Cálculo de juros simples através da HP 12C
Tabela 4 – Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12C
Fonte: Ana Vasconcelos (2023) 
Obs1: a calculadora HP 12C é configurada para cálculo direto de juros 
compostos, pois é o tipo de juro mais utilizado das operações finan-
ceiras do mercado. Dessa forma, para adaptarmos os cálculos para 
juros simples, é necessário sempre incluir no momento do cálculo 
a taxa no formato anual e o tempo no período diário. Ainda devi-
do a essa limitação, a HP 12C calcula apenas os juros e o montan-
te a juros simples; todos os demais problemas que envolvam juros 
simples devem ser resolvidos utilizando as fórmulas da matemática 
financeira.
Obs2: os passos 8º e 9º são adendos ao que foi solicitado na questão, 
porém apresentamos a vocês o cálculo, através da HP 12C, do valor 
dos juros exatos, considerando os 365 dias do ano civil.
27
Dessa forma, temos:
juros comercial = 2.000,00;
juros exatos = 1.972,60.
III. Aplicação da fórmula através dos juros compostos
M = C . ( 1 + i )n 
M = 10000 (1 + 0,05)4
M = 10000 . 1,215506
M = 12.155,06
J = M – C
J = 12155,06 – 10000,00
J = 2.155,06
IV. Cálculo de juros compostos através da HP 12C
Tabela 5 – Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12C.
Fonte: Ana Vasconcelos (2023) 
Observe que não há a necessidade de nenhuma conversão e os 
dados são imputados diretamente para o cálculo.
EXEMPLO
28
Um determinado aplicador deposita, durante 2 anos, um capital de 
R$50.000,00 em um Banco que paga juros de 1,5% ao mês. Qual será 
o valor dos juros acumulados e do montante, através da capitaliza-
ção simples e composta, ao final desse período?
Dados:
C = 50.000,00
i = 1,5% a.m./100 = 0,015 
n = 2 anos = 24 meses (obs.: sempre deveremos aplicar taxa e tempo 
proporcionais, isto é, taxa e tempo anual, taxa e tempo mensal ou 
taxa e tempo/dia etc.).
M = ?
J = ?
I. Aplicação da fórmula através de juros simples
J = C . i . n
J = 50000 . 0,015 . 24
J = R$ 18.000,00
M = C + J
M = 50000 + 18000
M = R$ 68.000,00
29
II. Cálculo de juros simples através da HP 12C
Tabela 6 – Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12C.
Fonte: Ana Vasconcelos (2023). 
III.Aplicação da fórmula através dos Juros Compostos
M = C . ( 1 + i )n
M = 50000 (1 + 0,015)24
M = 50000 . 1,429503
M = 71.475,14
J = M – C
J = 71475,14 – 50000,00
J = R$ 21.475,14
30
IV. Cálculo de juros compostos através da HP 12C
Tabela 7 – Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12C.
Fonte: Ana Vasconcelos (2023). 
Após os exemplos apresentados, por mais difícil que o seu uso 
pareça inicialmente, percebemos que a calculadora HP 12C existe 
para trazer maior segurança e agilidade aos cálculos das operações 
financeiras.
Taxas
Até aqui aprendemos que, em transações financeiras, o período (n) 
deve estar sempre condizente com a unidade de tempo (dias, meses 
e anos) em que foi estabelecida a taxa de juros. Ao realizar um em-
préstimo, por exemplo, é comum questionarmos sobre a taxa inci-
dente na operação e, como resposta, somos informados sobre a taxa 
anual, mesmo quando a operação é contratada em apenas alguns 
meses.
Nesse contexto, surge a importância de compreender sobre 
taxas de juros e as operações possíveis de serem executadas, bus-
cando entender as formas de apresentação, os tipos de capitalização 
estabelecidos e a conversão de uma taxa para outra.
31
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
A taxa proporcional e a taxa equivalente possuem a função de trans-
formar uma taxa que capitaliza os juros perante certo período para 
outro. A grande diferença entre ambas consiste na categoria de ju-
ros: a taxa proporcional é aplicada aos juros simples, enquanto a 
taxa equivalente relaciona-se aos juros compostos. Veja no gráfico 
abaixo essa distinção.
Gráfico 2 – Organograma sobre a classificação de taxas conforme o tipo de juros.
Fonte: Ana Vasconcelos (2023) 
Duas taxas são ditas proporcionais quando promovem a 
igualdade dos montantes de um mesmo capital ao término de de-
terminado período, isto é, a razão entre elas é igual à razão entre os 
respectivos períodos. Matematicamente, isso corresponde à fórmu-
la que será apresentada a seguir:
Fórmula: i1 . n2 = i2 . n1 
Em que:
i1 = percentual da taxa 1;
i2 = percentual da taxa 2;
n1 = prazo da taxa 1;
n2 = prazo da taxa 2.
Vamos apresentar um exemplo para a compreensão do 
conteúdo:
EXEMPLO
32
Considerando uma taxa de juros simples de 5,0% a.m., qual seria a 
taxa proporcional para um ano?
Dados:
i1 = 5% a.m
i2 = ?
n1 = 1
n2 = 12
Observe que o período 2 foi definido como doze em referência a um 
ano, porque o período 1 é mensal. É necessário realizar uma com-
patibilização entre as unidades do período antes da realização dos 
cálculos, ou seja, se o primeiro período é dado em meses, o segundo 
também deverá ser utilizado em meses.
Vamos aplicar a fórmula:
i1 . n2 = i2 . n1
5 . 12 = i2 . 1
i2 = 60% a.a.
Após aprendermos sobre a taxa proporcional, voltemos ao 
contexto da capitalização composta, com a abordagem das taxas 
equivalentes e as técnicas admissíveis de serem utilizadas.
Duas taxas são ditas equivalentes quando aplicadas a juros 
compostos, e, considerando um mesmo capital, produzem um mes-
mo valor de montante.
A fórmula matemática que possibilita determinar essa equi-
valência é:
EXEMPLO
33
 Fórmula: iq = (1 + it)
q/t - 1 
 Em que:
 iq = percentual da taxa que eu quero;
 it = percentual da taxa que eu tenho;
 q = prazo da taxa que eu quero;
 t = prazo da taxa que eu tenho.
 Iremos considerar o mesmo exemplo anterior:
Considerando uma taxa de juros compostos de 5,0% a.m., qual seria 
a taxa equivalente para um ano?
Dados:
iq = ?
it = 5% a.m/100 = 0,05
q = 12
t = 1
Aplicando a fórmula:
iq = (1 + it)
q/t - 1 
iq = (1 + 0,05)¹²/¹ -1
iq = (1,05)¹² -1
iq = 1,7959 -1
iq = 0,7959 x 100 = 79,59% a.a.
Agora, vamos realizar o mesmo cálculo na HP 12C:
34
Tabela 8 – Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12C.
Fonte: Ana Vasconcelos (2023). 
 • Obs.1: para calcular a taxa equivalente na HP 12C é necessário 
inicialmente calcular o montante (FV), utilizando a capitali-
zação composta, para, em seguida, calcular a taxa equivalente.
 • Obs.2: para o cálculo correto da taxa equivalente na calcula-
dora HP 12C é essencial definir a ordem de inclusão do período 
de capitalização, ou seja, se partiremos de uma capitalização 
maior para uma menor (de uma taxa anual para uma mensal, 
por exemplo) ou vice-versa.
No exemplo anterior, partimos de uma taxa mensal e des-
cobrimos a taxa equivalente anual. Caso o exemplo se tratasse do 
inverso (“Considerando uma taxa de juros composto de 5,0% a.a., 
qual seria a taxa equivalente mensal?”), o cálculo na HP 12C seria:
Tabela 9 – Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12C.
Fonte: Ana Vasconcelos (2023). 
35
Neste caso, a taxa de 5,0% a.a. é equivalente à taxa mensal de 
0,41% a.m.
Resumindo:
 • Capitalização menor para o maior (Ex: mês para ano): incluir 
primeiro o período de capitalização da taxa que queremos (q).
 • Capitalização maior para o menor (Ex: ano para mês): incluir 
primeiro o período de capitalização da taxa que temos (t).
Taxa Nominal e Taxa Efetiva
Castanheira e Macedo (2020, p. 92) conceituam que “Uma taxa é 
chamada de nominal quando o intervalo de tempo ao qual se refere 
a taxa não se equipara com o período de capitalização”; em outros 
termos, a taxa nominal é aquela em que o percentual atribuído a ela 
não coincide com o tempo em que o empréstimo ou investimento 
irá render. Ela serve para definir o valor anual da taxa, porém os pe-
ríodos de capitalização podem ser diários, mensais, bimestrais ou 
semestrais; por exemplo, podemos ter uma taxa de 12 % ao ano com 
capitalização mensal. A taxa nominal será sempre representada por 
ano, ou seja, quando dizem que um empréstimo terá 40% de juros 
ao ano, estamos falando de uma taxa nominal.
Após as definições relacionadas à taxa nominal, conhecere-
mos outra modalidade de taxa, a efetiva. De acordo com Castanheira 
e Macedo (2020, p. 96), “Quando o prazo referente a uma taxa coin-
cide com o período de formação e incorporação do juro ao capital que 
o produziu existe uma taxa efetiva”, ou seja, a taxa efetiva é aquela 
que representa exatamente o período de capitalização constante no 
contrato de empréstimo ou de investimento; é a taxa em que os pe-
ríodos de capitalização coincidem com a unidade de tempo, como 
por exemplo, uma taxa de 3% ao mês, capitalizada mensalmente. 
Como o próprio nome diz, a taxa efetiva aponta, efetivamente, qual 
será o “custo do dinheiro”. 
As diferenças entre as duas taxas estão apresentadas na fi-
gura a seguir.
36
Gráfico 3 – Comparativo entre taxa nominal e efetiva.
Fonte: Ana Vasconcelos (2023). 
É importante destacar que a taxa nominal não é usada nos 
cálculos financeiros, mas sim a taxa efetiva; além disso, por conven-
ção, a transformação da taxa nominal para a taxa efetiva é realizada 
proporcionalmente, dividindo-se pelo número de capitalizações.
Exemplo: taxa nominal de 12% ao ano com capitalização 
mensal. Taxa efetiva = 12%/ 12 = 1% ao mês.
Para finalizarmos nossos estudos, apresentaremos um info-
gráfico com um resumo sobre as taxas que aprendemos.
Infográfico
INFOGRÁFICO
37
Figura 2 – Taxas nominal, efetiva, proporcional e equivalente.
Fonte: Taxas [...], [s.d.]. 
SINTETIZANDO
38
Olá, estudante!
Até aqui, aprendemos os conceitos de juros simples e compostos, 
assim como seus regimes de capitalização. Entendemos que, na di-
nâmica dos juros, é necessário estabelecer uma taxa de juros, um 
período, como também o capital e o montante, os quais também po-
dem ser chamados de valor presente e valor futuro, respectivamente.
Ademais, vimos que a principal diferença entre os juros simples e 
compostos consiste no valor no qual se incide o cálculo da taxa: na 
modalidade simples, esse valor é constante, sendo aplicado sem-
pre sobre o capital inicial; já na modalidade composta, esse número 
sempre aumenta e é variável, pois agrega o juro do período anterior. 
Notadamente, os juros compostos representam uma remuneração 
maiorque o simples e são os mais aplicados no mercado financei-
ro brasileiro. Um exemplo clássico e conhecido por todos em que se 
utilizam os juros compostos é o das cadernetas de poupança.
Por fim, aprendemos sobre a classificação das taxas de juros e suas 
respectivas peculiaridades. Entendemos que as taxas podem ser 
calculadas proporcionalmente quando os juros são aplicados na 
modalidade simples e encontradas equivalentemente na aplicação 
com juros compostos. Também conhecemos as taxas nominais e 
efetivas, que se diferenciam e se classificam quanto ao período em 
que ocorre a capitalização, assim como o período de incidência e de 
cálculo da taxa de juros.
Vamos continuar nossa jornada de conhecimentos?
Até a próxima!
Objetivos
1. Compreender o conceito e tipos de descontos;
2. Definir e solucionar problemas relacionados ao Desconto 
Simples;
3. Conceituar e resolver situações problemas de Desconto 
Composto;
4. Entender a equivalência de capitais e suas aplicações.
UN
ID
AD
E
2
40
Introdução
Caro(a) aluno(a),
Você sabia que a ideia de desconto se associa ao abatimen-
to de dado valor monetário? Pois bem, quem nunca pediu um des-
conto? Ou foi direcionado a conceder desconto de acordo com certa 
situação? Com certeza sua é resposta é sim, para um ou os dois 
questionamentos. Não é nada difícil compreender a ideia de des-
conto. Especialmente quando é algo tão presente na rotina de abso-
lutamente todo mundo, independentemente de estar diretamente 
ligado à área financeira.
Neste objeto de aprendizagem, seremos apresentados ao 
descontos simples, que é interligado a metodologia da capitaliza-
ção simples e ao desconto composto, que é inerente a capitaliza-
ção composta, assim como as suas categorias. Dando sequência aos 
nossos estudos, conheceremos a importância da determinação da 
equivalência de capitais diante das possibilidades ou necessidades 
de antecipar ou prorrogar títulos nas operações financeiras.
Convido você a participar desse momento de aprendizagem. 
Vamos juntos adentrar em mais uma temática de grande utilidade 
para nossa vida financeira! 
Ao trabalho! Bons estudos!
41
Descontos
A prática de aplicar desconto é um ato inerente às relações comer-
ciais. Costumeiramente solicitamos descontos ou somos atraídos 
por propagandas que ofertem algum tipo de desconto. De regra, a 
prática de desconto é realizada quando temos ciência do montante 
ou valor nominal de um título de crédito e se almeja encontrar o va-
lor atual desse título.
Os descontos podem ser classificados em duas categorias: 
 ◼ Descontos incondicionais ou comerciais;
 ◼ Descontos condicionais ou financeiros.
Os descontos incondicionais ou comerciais são oferecidos em 
uma negociação. Por exemplo, você deseja comprar um amendoim 
na praia que é vendido a R$ 3,00, porém negocia com o vendedor: 
“Não pode fechar 2 unidades por R$ 5,00?”. Caso o vendedor aceite 
a negociação, ele te ofereceu um desconto que não está vinculado a 
nenhuma condição específica de pagamento, por isso, é um descon-
to incondicional.
Já os descontos condicionais ou financeiros são oferecidos 
normalmente por instituições financeiras quando você precisa re-
ceber um título de crédito antecipado, ou ainda quando quer pagar 
uma dívida antecipadamente. Por exemplo, você tem uma duplicata 
de R$ 500,00 que vence em 6 meses, mas já teria o dinheiro para pa-
gamento hoje. Quanto você pagaria? É importante lembrar que juros 
são o preço do dinheiro no tempo e o desconto é uma consequência 
de preferência temporal, logo, para pagar essa dívida hoje, é natural 
que você queira um desconto, afinal poderia investir esse dinheiro 
em uma aplicação de renda fixa, obter o rendimento e pagar a du-
plicata no vencimento. 
Suponha que você realizou um acordo com o banco e pagará 
R$ 450,00 hoje em troca da liquidação do título. A operação citada 
corresponde a um desconto financeiro ou condicional, ou seja, está 
condicionada ao pagamento.
SAIBA MAIS
42
O que são títulos de créditos?
São Instrumentos legais previstos no direito comercial (contratos), 
usados para formalizar dívidas que serão pagas no futuro, em prazo 
previamente estipulado. Em termos mais simples, títulos de crédi-
to são documentos que expressam a existência de uma dívida a ser 
paga e um valor a ser recebido e representam, ao mesmo tempo, um 
direito para seu portador e, por outro lado, uma obrigação para seu 
emissor. No Brasil, os títulos de crédito mais utilizados no mercado 
são: cheque, letra de câmbio, nota promissória, duplicata e cédula 
de crédito bancário.
Muitas vezes, portadores de títulos de crédito, tais como du-
plicatas e notas promissórias com vencimentos futuros, necessitam 
gerar caixa objetivando saldar seus compromissos financeiros, ou 
seja, possuem títulos com direito de recebimento futuro, porém, 
não possuem dinheiro no momento atual. Nesse momento, os por-
tadores desses títulos procuram as instituições financeiras, visando 
transformar esses papéis em dinheiro. Buscando atender as neces-
sidades dos clientes, o Banco irá propor a cobrança de uma deter-
minada taxa de juros (Desconto) e consequentemente a liberação de 
uma quantia inferior (Valor Líquido) ao valor de face (Valor Nomi-
nal) do referido título. Resumindo, a diferença entre o valor de face 
do título/valor nominal (N) e o valor recebido pelo portador do títu-
lo/valor líquido (V) é o que se denomina Desconto (D), representado 
matemáticamente por:
Fórmula: D = N – A 
Onde:
D = Desconto
N = Valor Nominal / Valor de face do Título
A = Valor Atual / Valor líquido recebido pelo portador do título.
43
Desconto Simples
Da mesma maneira como ocorre com os juros simples e compostos, 
o desconto também pode ser simples e composto.
Na modalidade de desconto simples, aprenderemos as duas 
categorias pertinentes a essa modalidade. Observe a apresentação 
na figura a seguir:
Figura 1 - Classificação de desconto simples.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
 • Desconto Simples Comercial
O desconto simples comercial é o mais usado nas operações co-
merciais do dia a dia. É conhecido como desconto “por fora”, pois 
é calculado sobre o valor nominal a um determinado prazo de 
antecipação.
A relação matemática que permite esse cálculo é dada por:
Cálculo do Desconto Comercial Simples: Dc = N . i . n
Cálculo do Valor Atual: Ac = N (1 – i . n) 
Onde:
Dc = Desconto Comercial Simples
N = Valor Nominal / Valor de face de um título
Ac = Valor Atual do Desconto Comercial / Valor líquido 
recebido
i = Taxa de desconto
EXEMPLO
44
n = Período ou intervalo de tempo
Vamos apresentar exemplos para aplicação prática:
Determinado título de R$ 8.600,00 foi descontado dois meses antes 
de seu vencimento. Sabe-se que a taxa corrente em desconto co-
mercial é de 23% ao ano. Determine o desconto comercial e o valor 
que o dono do título recebeu.
Dados da questão:
i = 23% a.a. = 23/12 = 1,9167% a.m. (a taxa e o prazo precisam estar 
na mesma unidade) 
n = 2 m 
N = 8.600,00 
Dc = ? 
Ac = ? 
Aplicando a fórmula do desconto comercial: 
Dc = N . i . n
Dc = 8600 . 0,019167 . 2
Dc = 329,67
Descoberto o valor do desconto, para determinar o valor do título 
recebido (atual), basta subtrair do valor nominal:
Ac = N – Dc 
Ac = 8600 – 329,67 
Ac = 8.270,33
EXEMPLO
45
Logo, o desconto comercial foi de R$ 329,67 e o valor recebido pelo 
dono do título foi de R$ 8.270,33. Realizando o cálculo através da 
HP 12c:
Tabela 1 – Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12c.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
Suponha que você tenha um título de R$ 500,00, cujo prazo de ven-
cimento se encerra em 45 dias. Se a taxa de desconto “por fora” é de 
1% ao mês, o valor do desconto simples será igual a?
Dados da questão:
i = 1% a.m.
n = 45 dias/30 = 1,5 mês (a taxa e o prazo precisam estar na mesma 
unidade)
N = 500,00 
Dc = ? 
Ac = ? 
Aplicando a fórmula do desconto comercial: 
Dc = N . i . n
Dc = 500 . 0,01 . 1,5
46
Dc = 7,50
E qual seria o valoratual?
Ac = N – Dc 
Ac = 500 – 7,50 
Ac = 492,50
Logo, o desconto “por fora” foi de R$ 7,50. Realizando o cálculo 
através da HP 12c:
Tabela 2 - Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12c.
Fonte: elaborado pela autora (2023)
 • Desconto Simples Racional
O desconto simples racional é utilizado em decisões de inves-
timento, quando, por exemplo, queremos saber se é mais vantajoso 
investir o dinheiro que temos ou antecipar um pagamento e obter 
um desconto. É conhecido como “por dentro”, pois é calculado so-
bre o valor atual, ou seja, sobre o dinheiro que temos no momento. 
A relação matemática que permite esse cálculo é dada por:
Cálculo do Desconto Racional Simples : 
Cálculo do Valor Atual: 
Onde:
Dr = Desconto Racional Simples
EXEMPLO
47
N = Valor Nominal / Valor de face de um título
Ar = Valor Atual do Desconto Racional / Valor líquido recebido
i = Taxa de desconto
n = Período ou intervalo de tempo
Vamos apresentar um exemplo para aplicação prática:
Encontre o valor do desconto racional simples e o valor a ser res-
gatado de um título R$ 25.700,00, vencível em 2 meses e 10 dias, 
descontado a uma taxa de juros de 27% ao ano.
Dados do enunciado:
i = 27% a.a. = 27/360 = 0,075% a.d. (a taxa e o prazo precisam estar 
na mesma unidade)
n = 2m 10d = 70d
N = 25.700,00 
Dr = ? 
Ar = ?
Para descobrir o desconto racional é necessário determinar inicial-
mente o valor atual, que será determinado da seguinte forma:
INFOGRÁFICO
48
Descoberto o valor atual, para determinar o valor do desconto, basta 
subtrair do valor atual:
Dr = N – Ar
Dr = 25700 – 24418,05
Dr = 1.281,95
Logo, o desconto racional foi de R$ 1.281,95 e o valor recebido pelo 
dono do título foi de R$ 24.418,05.
Obs: Não conseguimos realizar o cálculo de desconto racional sim-
ples através da calculadora HP 12c.
Para fixarmos o conteúdo abordado, vamos resumir o que 
aprendemos sobre desconto simples na figura a seguir:
Figura 2 - Resumo de desconto simples.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
49
Desconto Composto
Conheceremos, agora, a modalidade dos descontos compostos. O 
desconto composto tem os mesmos conceitos do desconto simples, 
a única diferença é que utiliza o regime de capitalização composta.
A modalidade de desconto composto também se subdivide 
em duas categorias. Observe a apresentação na figura a seguir:
Figura 3 - Classificação de desconto composto.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
 • Desconto Composto Comercial
Também conhecido como desconto bancário, o desconto 
composto comercial, semelhante ao desconto simples comercial, 
é calculado sobre o valor da dívida (valor nominal) no dia do seu 
vencimento.
A relação matemática que permite esse cálculo é dada por:
Cálculo do Desconto Comercial: Dc = N [1- (1 - i)n]
Cálculo do Valor Atual: Ac = N (1 – i)n
EXEMPLO
50
Onde:
Dc = Desconto Comercial Composto
N = Valor Nominal / Valor de face de um título
Ac = Valor Atual do Desconto Comercial / Valor líquido 
recebido
i = Taxa de desconto
n = Período ou intervalo de tempo
Atenção! É importante destacar que muitas das fórmulas uti-
lizadas no cálculo do desconto composto se assemelham às do cál-
culo do desconto simples. A principal diferença está no fato de que o 
intervalo de tempo no desconto composto ocorre de maneira expo-
nencial. Muitos autores costumam utilizar siglas diferentes visando 
diferenciar os dois tipos de desconto. Porém, para efeitos didáticos 
optou-se em manter as mesmas siglas objetivando facilitar o en-
tendimento do aluno. 
Vamos agora ao exemplos para aplicação prática:
Encontre o valor do desconto composto comercial de um título de 
R$ 14.000,00, descontado seis meses antes do vencimento, subme-
tido a uma taxa de desconto de 1,5% a.m.?
Identificando as informações do enunciado, obtemos:
i = 1,5% a.m.
n = 6 m 
N = 14.000,00 
Dc = ? 
Ac = ?
Aplicando a fórmula do desconto comercial: 
51
Dc = N [1- (1 - i)n]
Dc = 14000 . [1 – (1 – 0,015)6] 
Dc = 14000 . [1- (0,9850)6]
Dc = 14000 . 0,0867
Dc = 1.213,68
Para determinar o valor do título recebido, basta subtrair o valor 
nominal do valor atual: 
Dc = N – Ac 
1213,68 = 14.000 – Ac 
Ac = 12.786,32 
Assim, concluímos que o desconto composto comercial foi de R$ 
1.213,68 e o valor recebido foi de R$ 12.786,32. Realizando o cálculo 
através da HP 12c:
Tabela 3 - Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12c.
Fonte: elaborado pela autora (2023). 
Obs: No cálculo do desconto comercial composto, a taxa incide so-
bre o valor futuro, porém, no algoritmo da HP12C a taxa incide no 
PV. Dessa forma, para conseguirmos utilizar a calculadora, temos 
que inverter a informação do valor nominal (informar o valor do FV 
no PV) e o sinal da taxa (considerar negativo).
EXEMPLO
52
Suponha você tenha um título de R$ 2.000,00, cujo prazo de venci-
mento é de 60 dias. Se a taxa de desconto “por fora” é de 1% ao mês, 
o valor do desconto composto será igual a?
Identificando as informações do enunciado, obtemos:
i = 1% a.m.
n = 60 dias /30 = 2 meses 
N = 2.000,00 
Dc = ? 
Aplicando a fórmula do desconto comercial: 
Dc = N [1- (1 - i)n]
Dc = 2000 . [1 – (1 – 0,01)2] 
Dc = 2000 . [1- (0,9850)6]
Dc = 2000 . 0,0199
Dc = 39,80
E caso resgatássemos hoje? Quanto receberíamos? 
Dc = N – Ac 
39,80 = 2000 – Ac 
Ac = 1.960,20
Assim, concluímos que o desconto “por fora” foi de R$ 39,80. Rea-
lizando o cálculo através da HP 12c:
53
Tabela 4 - Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12c.
Fonte: elaborado pela autora (2023). 
 • Desconto Composto Racional
O desconto racional composto é o tipo de desconto mais im-
portante para a sua vida e deve ser utilizado na decisão de alocação 
de recursos que tem por base os juros compostos. Como já expli-
camos no tópico de desconto racional simples, o desconto racional 
procura calcular qual o valor atual que deveria ser investido hoje 
para resultar no valor nominal desejado no futuro. Isso é que se cha-
ma de trazer a dívida ao valor presente.
A relação matemática que permite esse cálculo é dada por:
Cálculo do Desconto Racional Composto: 
Cálculo do Valor Atual: 
Onde:
Dr = Desconto Racional Composto
N = Valor Nominal / Valor de face de um título
Ar = Valor Atual do Desconto Racional / Valor líquido recebido
i = Taxa de desconto
n = Período ou intervalo de tempo
Vamos agora aos exemplos para aplicação prática:
EXEMPLO
54
Suponha que você deva um título a determinado banco no valor de 
R$ 45.108,50 com previsão de vencimento para daqui a cinco meses 
e deseja liquidá-lo hoje. Considerando uma taxa de desconto com-
posto racional de 2,5% mensal, qual o valor referente ao desconto e 
o valor referente à quantia a ser paga? 
Identificando as informações do enunciado, obtemos:
N = 45.108,50 
i = 2,5% a.m.
n = 5 m
Dr = ? 
Ar = ? 
, partiremos da determinação do valor atual do título, assim:
De posse deste valor, encontramos o desconto composto racional:
Dr = N – Ar
Dr = 45108,50 – 39869,34
Dr = 5.239,16
55
Logo, o desconto composto racional será de R$ 5.239,16 e valor a 
ser pago é de R$ 39.869,34. Realizando o cálculo através da HP 12c:
Tabela 5 - Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12c.
Fonte: elaborado pela autora (2023). 
INFOGRÁFICO
56
Para fixarmos o conteúdo abordado, vamos resumir o que aprende-
mos sobre desconto composto na figura a seguir:
Figura 4 - Resumo de desconto composto
Fonte: elaborado pela autora (2023).
Observe que a incidência das taxas e a forma de utilização são as 
mesmas do desconto simples. A única diferença são as fórmulas, 
devido ao regime de capitalização.
Equivalência de capitais
A importância da determinação da equivalência de capitais revela-
-se similarmente às possibilidades e necessidades de antecipar ou 
DEFINIÇÃO
57
prorrogar títulos nas operações financeiras, assim como na possibi-
lidade de substituição de um título por outro ou por vários.
Tais situações dizem respeito,de modo geral, a equivalência 
de valores em datas diferentes. E para a resolução dessas questões 
usamos a equivalência de capitais.
Para nos auxiliar nesse processo de aprendizagem, é impor-
tante termos conhecimento de algumas definições importantes, 
que abordaremos a seguir.
Fluxo de Caixa
A matemática financeira estuda a relação do dinheiro conforme o 
tempo. Nesse contexto, o fluxo de caixa surge como uma ferramenta 
importante, já que possibilita a visualização da variação do capital. 
Assaf Neto (2012, p. 105) define fluxo de caixa como:
Fluxo de caixa é a representação gráfica de um conjunto de entradas 
e saídas em uma linha do tempo.
O fluxo de caixa não será o mesmo sempre, pois os valores e 
quantidade de entradas e saídas variarão, no entanto, há um este-
reótipo definido para essa representação, que chamamos de diagra-
ma de fluxo de caixa, apresentado na figura 5.
Figura 5 - Exemplo de diagrama de fluxo de caixa.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
EXEMPLO
58
Para construir essa representação é necessário seguir algu-
mas regras, são elas:
 ◼ a linha horizontal indica uma escala de tempo, isto é, o hori-
zonte financeiro da operação;
 ◼ o ponto zero indica o período inicial e os demais pontos às da-
tas com registros financeiros; 
 ◼ setas acima da linha do tempo indicam recebimentos ou 
entradas;
 ◼ setas para baixo da linha do tempo sinalizam aplicações ou 
saídas de dinheiro.
Data Focal
É a data de referência para comparação dos valores referidos com 
datas diferentes.
José tem um título a receber, cujo valor nominal é de R$ 15.000,00, 
a vencer em 2 anos. Ele possui hoje R$ 20.000,00, que vai aplicar à 
taxa de 2% a.m. Quanto José tem hoje, daqui a um ano e também 
daqui a dois anos?
Para descobrirmos o valor que José tem hoje, teremos que calcular o 
valor atual do título a receber na data zero e posteriormente somar 
com o dinheiro que ele já possui. Para isso, usaremos a fórmula do 
desconto racional composto:
Hoje = [15000 / (1 + 0,02)24 ] + 20000
Hoje = [15000 / 1,6084] +20000
Hoje = 29.325,82
Já para descobrirmos o valor que José terá daqui a 1 ano, teremos que 
calcular o valor atual do título a receber e o montante atualizado do 
59
que ele já tem hoje. Para isso, utilizaremos as fórmulas do desconto 
racional composto e juros compostos:
1 ano = [15000 / (1 + 0,02)12] + [20000 . (1 + 0,02)12]
1 ano = 11827,40 + 25364,84
1 ano = 37.192,24
Enquanto para descobrirmos o valor que José terá daqui a 2 anos, 
teremos apenas que calcular o montante atualizado do que ele já 
tem hoje e somar com o título que tem a receber, para isso, utiliza-
remos a fórmula de juros compostos:
2 anos = [20000 . (1 + 0,02)²⁴] + 15000
1 ano = 32168,74 + 15000
1 ano = 47.168,74
Equação de Valor
A equação de valor possibilita que capitais distintos sejam iguala-
dos, em datas distintas, para uma única data, com a fixação de uma 
taxa de juros.
Considerando o exemplo anterior, o valor para 1ano = R$ 
37.192,24 é composto por R$ 25.364,84 oriundo do capital inicial de 
R$ 20.000,00 mais juros de 2% a.m. e R$ 11.827,40, que é o valor 
presente dos R$ 15.000,00 à taxa de juros de 2% a.m, enquanto o 
valor para 2 anos = R$ 47.168,74 passa direto do período 0 para o 
período de 24 meses.
A equação de valor corresponde a:
X = 37192,24 . (1+ 0,02)12
X = 47.168,74
Concluímos que as duas equações, “1 ano” (exemplo ante-
rior) e “x”, resultam no mesmo valor. Isso significa que a compa-
ração de capitais com juros compostos não depende da data focal.
DEFINIÇÃO
60
É importante enfatizar que para a capitalização simples a 
equivalência entre capitais depende da escolha da data focal esco-
lhida e, por isso, na prática não é muito utilizada.
Capitais Equivalentes
A equivalência financeira se refere diretamente a equivalência entre 
capitais e esse conceito é muito útil em ocasiões em que se desejam 
postergar ou antecipar o vencimento de diferentes títulos.
Assaf Neto (2012, p.110) descreve equivalência financeira 
como:
“Dois ou mais capitais são ditos equivalentes quando, a uma certa 
taxa de juros produz resultados iguais numa data em comum.”
Dessa forma, em uma data, a uma taxa de juros, esses capitais 
serão equivalentes se:
Onde:
V = Valores Atuais
C = Capital
n = Período
i = Taxa de juros
Vamos fixar o conhecimento através de um exemplo prático:
EXEMPLO
61
Dado os valores nominais da tabela a seguir, considerando uma taxa 
de juros de 10% a.a., verificar se os capitais são equivalentes.
Tabela 6 - Dados da questão.
Fonte: Martinelli e Pereira (2018).
Para descobrirmos, basta aplicar a fórmula:
V1= C1 / (1 + i)¹ = 1100 / 1,10 = R$ 1.000,00
V2= C2 / (1 + i)2 = 1210 / 1,21 = R$ 1.000,00
V3= C3 / (1 + i)3 = 1331 / 1,331 = R$ 1.000,00
V4= C4 / (1 + i)4 = 1464 / 1,4641 = R$ 1.000,00
V5= C5 / (1 + i)5 = 1610,51 / 1,61051 = R$ 1.000,00
Logo, todos os capitais são equivalentes. Isso significa que o possui-
dor desses valores ficará indiferente ao período de tempo.
É possível realizar os cálculos na calculadora HP 12 c, basta calcular 
do mesmo modo que realizamos o desconto racional composto:
Tabela 7 - Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12c.
Fonte: Elaborado pela autora (2023).
EXEMPLO
SINTETIZANDO
62
Agora, iremos abordar um exemplo através de uma situação 
comum ao nosso dia a dia:
O preço de venda de um terreno à vista é de R$ 100.000,00, ou por R$ 
50.000,00 no ato, mais duas parcelas semestrais: a primeira de R$ 
34.000,00, a segunda R$ 35.000,00, considerando uma taxa de juros 
corrente de 50% a.a. Qual a melhor opção de compra?
Para compararmos o pagamento a prazo com à vista, é preciso tra-
zer as parcelas para a data zero, ou seja, descobrir o valor atual. Des-
sa forma, teremos na data zero:
V = 50000 + 27760,88 + 23333,33
V = 101.094,21
De acordo com o resultado apresentado, pagaríamos R$ 101.094,21 
na compra à prazo, logo, a melhor possibilidade é a compra à vista.
Olá, estudante!
Neste objeto de aprendizagem, aprendemos sobre um conceito 
muito utilizado no nosso dia a dia, o desconto, mas agora sob uma 
concepção mais formal, fundamentado em fórmulas matemáti-
cas adequadas. Aprendemos que o desconto comercial simples é 
calculado sob o valor total da dívida no dia do seu vencimento, já 
o desconto racional simples é incidido sobre o valor atual do título 
63
de crédito e essa é a diferença fundamental entre essas duas moda-
lidades de desconto simples.
Estudamos que o desconto composto tem os mesmos conceitos do 
desconto simples, sendo a única diferença o regime de capitaliza-
ção. Por esse motivo, não utiliza as mesmas fórmulas pelo fato da 
taxa de juros ser calculada ao modo “juros sob juros”, isto é, sob ca-
pitalização composta. Neste contexto, somos apresentados às mo-
dalidades de desconto composto: o comercial e o racional. 
O desconto composto comercial se caracteriza também pelo poder 
de ser chamado de desconto bancário e é determinado sobre o valor 
da dívida no seu dia de vencimento. Já o desconto composto racio-
nal é calculado sobre o valor atual do título, diferença esta que pode 
parecer inicialmente irrelevante ou simples, mas que altera e muito 
nos resultados obtidos, após aplicação das taxas de juros compostos.
Por fim, aprendemos sobre fluxo de caixa, determinação da equi-
valência de capitais e sua importância diante das possibilidades 
e necessidades de antecipar ou prorrogar títulos nas operações 
financeiras.
Objetivos
1. Entender o que são série de pagamentos e suas classificações;
2. Estudar os conceitos e cálculos das séries de pagamentos uni-
formes dos tipos postecipadas, antecipadas e diferidas;
3. Conhecer o conceito e aplicações dos sistemas de amortização;
4. Compreender sobre as particularidades e aplicações do siste-
ma de amortização Americano (SAA), sistema de amortização 
constante (SAC), sistema francês de amortização (SFA) e sis-
tema de amortização misto (SAM).
UN
ID
AD
E
3
66
Introdução
Estimado(a), aluno(a),
Comcerteza você já se deparou com alguma propaganda que 
ofertava: “em nosso crediário, você tem até 60 dias para começar 
pagar  a primeira parcela e ainda pode parcelar tudo em até seis 
vezes”. Esse tipo de situação corriqueira nos apresenta uma apli-
cação prática do que chamamos na matemática financeira de série 
de pagamentos, que se caracteriza pelo retorno do capital através 
de pagamentos ou recebimentos, especialmente quando se tra-
ta de prestações fixas e periódicas. Neste objeto de aprendizagem, 
conheceremos os conceitos relacionados às séries de pagamentos, 
suas classificações e aplicações, assim como os cálculos através dos 
tipos de séries postecipadas, antecipadas e diferidas. Também neste 
objeto, seremos apresentados aos sistemas de amortização. 
Resumidamente, podemos afirmar que um sistema de amor-
tização consiste em um plano de pagamento de uma dívida contraí-
da através de condições de pagamento específicas. Podemos citar 
como exemplo de aplicação desses sistemas, a compra da casa pró-
pria financiada pelo sistema financeiro de habitação, as dívidas de-
correntes de tributos, sejam eles municipais, estaduais ou federais, 
empréstimos bancários para pagamento em parcelas periódicas, 
dentre outros. Entendeu?
Convido você a participar desse momento de aprendizagem. 
Vamos mergulhar juntos nesse universo de conhecimento! 
Ao trabalho! Bons estudos!
DEFINIÇÃO
67
Série de pagamentos
É bem provável que você já tenha se deparado com alguma situa-
ção referente às operações financeiras que envolvam pagamentos 
ou recebimentos parcelados, não é mesmo? Com toda certeza sua 
resposta a este questionamento deve ter sido sim! Neste contexto, 
iniciamos nossos estudos com a definição de Séries de Pagamentos, 
que conforme Assaf Neto (2012, p.126):
“Uma série de pagamentos ou anuidades representam as operações 
financeiras em um dado período, sobre um investimento ou dívida”.
Em outros termos, as séries de pagamentos podem ser defi-
nidas como um conjunto de pagamentos ou recebimentos (V1, V2, 
V3, ... Vn), de valores sucessivos, com seus respectivos vencimen-
tos ao longo do tempo, podendo ser esses pagamentos de valores 
constantes ou de valores distintos. O conjunto de pagamentos e/ou 
recebimentos, ao longo dos períodos, constitui um fluxo de caixa. 
Situações como aquisição de bens e empréstimos são situa-
ções que exemplificam bem as séries de pagamentos. A represen-
tação gráfica referente a uma série de pagamentos é exibida por 
intermédio da figura a seguir:
Figura 1 - Representação de uma série de pagamentos
Fonte: FUSINATO (2010).
68
As séries de pagamentos podem ser classificadas mediante 
cinco critérios, que estabelecem diferenças entre vários aspectos 
de uma série de pagamentos e estes são apresentados na figura a 
seguir:
Figura 2 – Classificação das séries de pagamentos.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
Iremos explicar detalhadamente cada critério de classificação.
Com relação ao tempo, que remete a característica da quanti-
dade de pagamentos, existem duas categorias:
 ◼ temporária: quando existe um número limitado de 
pagamentos;
 ◼ infinita: quando a quantidade de pagamentos é ilimitada. 
69
Quanto à periodicidade, característica que indica a frequência 
dos pagamentos; há duas divisões:
 ◼ periódicos: pagamentos ocorrem em intervalos de tempo 
iguais;
 ◼ não-periódicos: pagamentos ocorrem em intervalos de tem-
po variáveis. 
Em relação ao valor dos pagamentos, que são descritos pelo 
valor de cada parcela, os subgrupos são: 
 ◼ fixos ou uniformes: os valores dos pagamentos são iguais; 
 ◼ variáveis: os valores dos pagamentos são diferentes.
Em relação ao vencimento da primeira prestação, também 
existem duas possibilidades: 
 ◼ imediata: o pagamento ocorre no primeiro período da série; 
 ◼ diferida: o pagamento ocorre em períodos subsequentes ao 
primeiro. 
E por fim, quanto ao momento dos pagamentos, existem duas 
divisões: 
 ◼ antecipada: o primeiro pagamento ocorre no “ato” do 
negócio; 
 ◼ postecipada: o primeiro pagamento ocorre um período após o 
“ato” do negócio. 
Séries Uniformes Postecipadas 
Quando a série de pagamentos (ou recebimentos) se inicia em um 
período após a data zero, o fluxo recebe o nome de postecipado.
Nas séries uniformes com termos postecipados, os pagamen-
tos ou recebimentos são efetuados no fim de cada intervalo de tempo 
CURIOSIDADE
70
a que se refere a taxa de juros considerada. Segue abaixo o fluxo de 
caixa desse tipo de operação representado na tabela a seguir.
Gráfico 1 - Representação de fluxo postecipado.
Fonte: Martinelli e Pereira (2018).
 • Fator de Acumulação de Capitais (FAC) em Fluxo Postecipado
O fator de acumulação de capital (FAC) representa o montan-
te (FV) proveniente da aplicação de parcelas (PMT) de uma unidade 
de capital, em determinado intervalo de tempo (n) e uma determi-
nada taxa de juros(i). Utilizaremos a equação a seguir para o cálculo 
do FAC:
Fórmula:
Onde:
FV = Valor Futuro / Montante
PMT = Valor de cada Pagamentos ou Recebimentos
i = Intervalo de tempo / nº de pagamentos
n = Taxa de juros
PMT origina da abreviação da expressão inglesa “Periodic Payment 
Amount” e se refere a pagamentos de um mesmo valor. Na calcu-
ladora financeira HP 12c encontramos uma sigla já referente a esta 
operação com a simbologia PMT.
EXEMPLO
71
Vamos, agora, praticar através da aplicação de exemplos 
práticos:
Quanto terá, no final de 4 anos, uma pessoa que aplicar R$ 200,00 
por mês, durante esses quatro anos, em um Fundo de Renda Fixa, à 
taxa de 3% ao mês?
Gráfico 2 - Representação gráfica dos dados do exemplo.
Fonte: Martinelli e Pereira (2018).
Dados:
PMT = 200
n = 4 anos * 12 = 48 meses
i = 3% a.m. = 0,03
FV = ?
Aplicando a fórmula, temos:
→
EXEMPLO
72
Portanto, essa pessoa terá, ao final da aplicação, um mon-
tante de R$ 20.881,67. Realizando o cálculo através da calculadora 
HP 12c, temos:
Tabela 1 - Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12c.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
Observe que o resultado da calculadora ficou com uma dife-
rença de R$ 0,01 em relação ao cálculo realizado através da fórmula. 
Este fato é decorrente de arredondamentos que são realizados du-
rante os cálculos numéricos e são passíveis de aceitação na mate-
mática financeira.
Também é importante destacar, que para cálculo de série de 
pagamentos na HP, o “n” não é prazo, e sim quantidade de presta-
ções (parcelas).
Quanto terei no final de 24 meses, depositando mensalmente, em 
um Fundo de Renda Fixa, uma quantia de R$ 280,00, à uma taxa 
mensal de 1,8 %?
Gráfico 3 - Representação gráfica dos dados do exemplo.
Fonte: Martinelli e Pereira (2018).
73
Dados:
PMT = 280,00
i = 1,8% a.m. = 0,018
n = 24 meses
FV = ?
Aplicando a fórmula, temos:
Logo, ao final de 2 anos, terei com essa aplicação um mon-
tante de R$ 8.313,33. Realizando o cálculo através da calculadora HP 
12c, temos:
Tabela 2 - Passos para o cálculo do exemplo utilizando a calculadora HP 12c.
Fonte: elaborado pela autora (2023).
 • Fator de Acumulação de Capitais (FFC) em Fluxo Postecipado
O fator de formação de capital (FFC) é obtido quando são co-
nhecidos o valor do montante, a taxa e o número de prestações, e 
em seguida determinaremos o valor das prestações ou recebimen-
tos através do Fluxo Postecipado. Significa que vamos determinar o 
valor do pagamento (PMT) capaz de formar o montante (FV) no fim 
→
EXEMPLO
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do período (n). O cálculo do FFC é realizado por meio da equação a 
seguir:
Fórmula: 
Onde:
FV = Valor Futuro / Montante
PMT = Valor de cada Pagamentos ou Recebimentos
i = Intervalo de tempo / nº de pagamentos
n = Taxa de juros
Vamos a aplicação de exemplos práticos:
Quanto uma pessoa terá de aplicar mensalmente em um Fundo de 
Renda Fixa, durante três anos, para que possa resgatar R$ 20.000,00 
no final desse período, sabendo que o fundo proporciona um rendi-
mento de 2% ao mês?
Gráfico 4 - Representação gráfica dos dados do