Aula - Leis de Newton

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Leis de Newton
Guilherme Henrique Siqueira Camargo
guilhermehenrique@unifei.edu.br
Sumário
1 Introdução 1
1.1 Aristóteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Galileu Galilei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Isaac Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Primeira Lei de Newton 3
3 Segunda Lei de Newton 5
3.1 Força Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Princípio da Conservação do Momento 9
5 Terceira Lei de Newton 11
6 Força Normal 12
6.1 Plano Inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7 Tração 13
1 Introdução
Quando estudamos a cinemática, discutimos os elementos que entram na descrição do movimento de uma
partícula, onde usamos conceitos como aceleração a fim de determinar a posição de um determinado corpo.
Agora, o objetivo é estudar a física por trás da causa da aceleração. Esse estudo é baseado no conceito de
força. Por esse motivo, esse estudo é chamado Dinâmica, palavra derivada do grego dynamis, que significa
força.
1.1 Aristóteles
A importância de Aristóteles (384-322 a.C.) para a Mecânica é que suas ideias sobre o movimento dominaram
o pensamento ocidental até o final da Idade Média. Na teoria de Aristóteles, a Terra e todos os corpos que dela
fazem parte são formados pela mistura de quatro elementos: terra, água, ar e fogo. A Lua, os planetas e o
Sol seriam formados por um quinto elemento (quinta-essência): o éter.
Cada elemento teria um movimento natural. Para os corpos celestes, o movimento natural seria circular: a
Lua, o Sol e os planetas teriam movimentos circulares em torno da Terra. Para os quatro elementos da Terra,
o movimento natural seria retilíneo e vertical: a terra e a água tenderiam naturalmente para baixo e o ar e o
fogo tenderiam naturalmente para cima. No caso de um corpo qualquer, constituído pela mistura dos quatro
elementos, o movimento natural seria o do elemento que aparecesse em maior proporção. Por exemplo, em um
pedaço de ferro, o elemento predominante é a terra; portanto, se largarmos um pedaço de ferro de uma certa
altura, ele vai naturalmente para baixo, sem que nada o puxe. Além disso, o movimento natural para baixo
seria diferente para os vários corpos: os mais pesados cairiam mais rapidamente que os mais leves.
No final da Idade Média começaram a aparecer contestações às teorias de Aristóteles. Uma contestação à
obra de Aristóteles foi feita por Nicolau Copérnico (1473-1543), que defendeu um Sistema de Mundo em que o
Sol estaria fixo, enquanto a Terra e os outros corpos celestes se moveriam em torno do Sol.
1.2 Galileu Galilei
Outra contestação às teorias de Aristóteles foi sobre sua afirmação de que os corpos mais pesados caem mais
depressa que os mais leves. A análise correta da queda dos corpos só foi feita por Galileu Galilei (1564-1642).
1
mailto:guilhermehenrique@unifei.edu.br
O Discorsi di dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (Discurso sobre duas novas ciências)
de Galileu, publicado em 1638, foi escrito na forma de diálogos, sendo Salviati, o representante das ideias do
autor, Simplício, defendendo a filosofia e física de Aristóteles, e Sagredo, atuando como uma espécie de árbitro
entre os dois pensamentos, os três personagens da obra, mais especificamente a terceira jornada do livro, o
capítulo que descreve os procedimentos realizados para efetuar o plano inclinado
Inicialmente, o plano inclinado em questão foi proposto para interpretar a queda de corpos, assim como em
sua famosa experiência da queda livre realizado na torre de Pisa, que detinha do problema referente à medição
da variação do tempo, ocasionado pela precariedade da tecnologia da época (para medir o intervalo temporal da
queda eram utilizados relógios d’água ou até mesmo o período do batimento cardíaco), e como os movimentos
de queda livre são rápidos, não era possível medir os intervalos de tempo com precisão.
Para resolver o problema na obtenção dos dados, Galileu construiu uma estrutura composta por uma viga de
madeira com uma caneleta no meio para que possa ser adicionada uma esfera de bronze perfeitamente redonda
e lisa que será utilizada como o corpo em queda no plano inclinado.
Após a montagem do aparato, o experimento se constituía na repetição da queda centenas de vezes e
comprovando que a variação temporal não se alterava. Também foi modificado o deslocamento do corpo,
fazendo com ele se desloque a quarta parte do percurso inicial, e analisando esses novos dados, concluiu-se que
o tempo levado para essa nova translação era exatamente a metade do movimento completo, esse procedimento
foi repetido inúmeras vezes, variando a fração da trajetória total, checando que a relação entre os espaços
percorridos era igual ao quadrado da razão entre os tempos.
“Tomou-se uma peça de madeira ou uma trave, com cerca de 12 côvados de comprimento, meio
côvado de largura e três dedos de espessura. Em sua borda, foi cortado um canal com pouco mais de
um dedo de largura. Depois de fazer este sulco bem reto, liso e polido, e revesti-lo com pergaminho
igualmente liso e polido, rolamos ao longo dele uma bola de bronze dura, lisa e muito redonda.
Colocando esta prancha em uma posição inclinada, elevando uma extremidade cerca de um ou dois
côvados acima da outra, fizemos a bola rolar, como acabei de mencionar, ao longo do canal, anotando,
da maneira que descreverei em breve, o tempo necessário para completar a descida.
... Em seguida, rolamos a bola por apenas um quarto do comprimento do canal; e, tendo medido
o tempo de sua descida, descobrimos que era exatamente metade do anterior. Depois, testamos
outras distâncias, comparando o tempo para a extensão total com o para a metade, ou com dois
terços, ou três quartos, ou, de fato, para qualquer fração; nesses experimentos, repetidos cem vezes,
sempre descobrimos que os espaços percorridos eram proporcionais aos quadrados dos tempos, e isso
era verdadeiro para todas as inclinações do plano, ou seja, do canal ao longo do qual rolávamos a
bola.”
1.3 Isaac Newton
Isaac Newton (1642-1727) apresentou as leis do movimento em uma obra, escrita em latim, cujo título é
Philosophiae naturalis principia mathematica (Princípios matemáticos da filosofia natural), publicada em 1867.
Mais tarde essa obra ficou conhecida simplesmente como Principia.
Newton eliminou a diferença entre corpos terrestres e corpos celestes. Para ele, todos os corpos do Universo
obedecem às mesmas leis de movimento e, para determinar o movimento de um corpo, só precisamos conhecer
as forças que atuam sobre ele e, a seguir, aplicar as leis do movimento.
Newton formulou suas leis de maneira clara e concisa em latim, a língua científica da época.
Primeira Lei de Newton
“Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em linha reta, a menos
que seja compelido a mudar esse estado por forças impressas sobre ele.”
Segunda Lei de Newton
“A mudança de movimento é proporcional à força motriz aplicada e ocorre na direção da linha reta
ao longo da qual essa força é aplicada.”
Terceira Lei de Newton
“A toda ação há sempre uma reação oposta e de igual intensidade: ou seja, as ações mútuas de dois
corpos são sempre iguais e opostas em direção.”
2
Figura 1: Discorsi di dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze.
2 Primeira Lei de Newton
Antes de Newton formular sua mecânica, pensava-se que uma influência, uma força, fosse necessária para
manter um corpo em movimento com velocidade constante e que um corpo estava em seu estado natural
apenas quando se encontrava em repouso. Para que um corpo se movesse com velocidade constante, tinha que
ser impulsionado de alguma forma, puxado ou empurrado; se não fosse assim, pararia naturalmente.
Essas ideias pareciam razoáveis. Se um disco de metal deslizarem uma superfície de madeira, o disco diminui
a sua velocidade até parar. Para que ele continue deslizando indefinidamente com velocidade constante, deve
ser empurrado continuamente.
Por outro lado, se for lançado em um rinque de patinação, o disco percorrerá uma distância bem maior
antes de parar. É possível imaginar superfícies mais escorregadias, nas quais o disco percorreria distâncias
ainda maiores. No limite, podemos pensar em uma superfície extremamente escorregadia (conhecida como
superfície sem atrito), na qual o disco não diminuiria de velocidade. Podemos, de fato, chegar muito perto
dessa situação fazendo o disco deslizar em uma mesa de ar, na qual ele é sustentado por uma corrente de ar.
A partir dessas observações, podemos concluir que um corpo manterá seu estado de movimento com veloci-
dade constante se nenhuma força agir sobre ele. Isso nos leva à primeira das três leis de Newton.
Primeira Lei de Newton:
Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em linha reta, a
menos que seja compelido a mudar esse estado por forças impressas sobre ele.
Que significa realmente esta lei? Como podemos saber que não existem “forças impressas sobre o corpo”?
Pelo fato de que permanece em repouso ou movimento retilíneo e uniforme? se assim fosse, a 1ª Lei seria uma
mera definição de quando não há forças impressas sobre o corpo.
Esta crítica é injusta. Se todas as forças fossem devidas ao contato com outros corpos, bastaria a ausência
de contato para estabelecer a ausência de forças. O exemplo da força-peso, e das forças elétricas e magnéti-
cas, mostra que existem forças que atuam sem que haja contato direto com o corpo responsável pela força.
Entretanto, estas forças tendem a diminuir à medida que os corpos em interação se afastam um do outro. A
observação das estrelas confirma que elas obedecem com muito boa aproximação à lei da inércia. Em relação a
que referencial? Não é em relação à Terra, pois um observador terrestre vê as estrelas girarem no céu noturno.
Isto indica outro ponto importante na compreensão da primeira lei: ela não pode ser válida em qualquer
referencial. Os referenciais em que é válida chamam-se referenciais inerciais. A Terra não é um referencial
inercial. Entretanto, o movimento de rotação da Terra em torno do eixo afeta muito pouco os movimentos
3
PHILOSOPHIÆ 
NATuRALIS 
PRINCIPI A 
MATHE MA TICA 
Autore s. NEVTO N, Trin. Coll. Cantab. Soc. Mathefeos 
Profeflore Lcafiano, & Societatis Regalis Sodali. 
I MPRIMA TUR: 
S. PE P Y S, Reg. Soc. P RÆSE S. 
Julii s. 1686. 
LON DINI 
|Jufiu Societatis Regie ac Typis Fofepbi Streater. Proftat apud 
plures Bibliopolas. Anno MDCLXXXVII. 
Figura 2: Philosophiae naturalis principia mathematica.
AXIO MAT A 
SIVE 
LEGES MO TUS 
Lex. I. 
Curpus onne perfeverare in fhatu fuo quiefcendi oel movendi unifor 
miter in direinm, nift quatenns a viribus impreffs cogitnr ftaum 
illun miutare. 
DRojeilia perfeverant in motibus fuis nifi quatenus a refiften 
tia acris retardantur & vi gravitatis impelluntur deorfum. 
Trochus, cujus partes cohærendo perpetuo retrahunt fefe 
a motibus re�tilincis, non ceflat rotari nili quatenus ab acre re 
tardatur. Majora autem Planctarum & Comctarum corpora mo 
tus fuos & progreflivos & circulares in fpatiis minus refiftentibus 
fa�tos confervant dhutius. 
Lex. II. 
Mitationem motns proportionalewz effe vi motrici imprefe, c feri fe 
CHndum linean: ream qua vis illa imprimit ur. 
Sivis aliqua motum quemvis generet, dupla duplunm, tripla tri 
plun generabit, five imul & fncl, five gradatim & íucccllive im 
prella fuerit. Et hic motus quoniam in candem iemper plagam 
CUm vi gencratrice dterminarur, fi corpus antca movebatur, mo 
tui cjus velconfpiranti additur, vel contrario fubduciur, ved obli 
quo oblique adjicitur, & cum co kecundun utriufq; deterninatio 
ICM componitur. Lex. II. 
[ 13 J 
Lex. III. 
Aaioni eemrariam fempero eqmatem effe reatiione 
dnornm aiones in fe wtno femper eje aquales 
rias dirigi. 
Quicquid premit vel trahit alterum, tantundem ab eo premitur 
vel trahitur. Siquis lapidem digito premit, premitur & hujus 
digitus a lapide, SicquusJapidem funi allégatum trahit, retrahe 
tur etiam & e�uusæqualiter in lapidem: nam funis utrinq; diftentus 
codem relaxandi fe conatu urgebit Equum verfus lapidem, ac la 
pidem verfus equum, tantumq; impcdict progrefium unius quan 
tum promovet progreffum alterius. Si corpus aliquod in corpus 
aliud in1pingens, motum ejus vi lua quomodocunq: mutaverit, i 
dem quoque viciffim in motu proprio canden mutationem in par 
tem contrariam vi alterius ( ob æqualitatem preflionis mutuæ ) 
fubibit. His a�tionibus zquales fiunt nmutationes non velocitatum 
led motuum, ((cilicet in corporibus non aliunde impeditis:) Mu 
tationes enim velocitatum, in contrarias itidem partes fa
tæ, quia 
ferren 
Corol. I. 
fae orpor: 
in partes contra 
Corpus viribus conjun
is diagonalem parallelogrammi eodem tempore 
defcribere, quo latera feparatis. 
Si.corpus dato tempore, vifola M,n laco A 
ab adB, & vi fcla N, ab CocoA 
A ad C, compleatur parallelogran 
mum ABDC,, & vi utraq; feretur id 
codem tempore,ab A ad D. Nam 
B 
AC ipi BD parallelam, hac Vis, nilil mutabit velocitatem acce dendi ad lineam illam B Da vi altera genitam. Accedet igitur corpus eodem tempore ad lincam B D five vis N imprimatur, five S3On, atq; adco in fine ijln1s temporis repcrictur alicubi in linea 
illa 
L 
motus æqualiter mutantur, funt corporibus reciproce proportio 
quoniam vis N agit fecundum Jneam 
Figura 3: Leis de Newton. Primeira Lei: Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in
directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare. Segunda Lei: Mutationem motus proportionalem
esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur. Terceira Lei: Actioni contrariam
semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes
contrarias dirigi.
usuais, na escala de laboratório, e na prática empregamos o laboratório como referencial inercial.
Imagine que você está observando uma árvore. Numa primeira situação, você está parado de frente para a
árvore. Nessa situação, você mede a força que atua sobre a árvore e conclui que a força total é nula. Além disso,
para você, a árvore permanece em repouso. Logo, a sua conclusão é de acordo com a primeira lei, a árvore
4
permanece em repouso e a força total sobre ela é nula. Numa segunda situação, você observa a mesma árvore,
porém de dentro de um carro. Se o carro se move com velocidade constante, no seu referencial, é a árvore que
está se movendo com velocidade constante. Novamente, a sua conclusão será de que a força resultante sobre
a árvore é nula e que o seu movimento é retilíneo e uniforme, estando de acordo com a primeira lei. Porém,
caso você esteja no interior de um carro que descreve um movimento acelerado, para você, é a árvore que está
sujeita a uma aceleração. Com isso surge um aparente desacordo com a primeira lei: a força resultante continua
sendo nula, entretanto a árvore descreve um movimento acelerado. Essa contradição surge pelo fato do carro
não ser mais um referencial inercial devido à aceleração, para verificar a validade da primeira lei é necessário
que o movimento seja analisado com o observador em um referencial inercial.
3 Segunda Lei de Newton
Uma das implicações da primeira lei de Newton é que qualquer variação da velocidade v de um corpo
(em módulo, direção ou sentido) em relação a um referencial inercial, ou seja, qualquer aceleração, deve estar
associada à ação de forças. Isso sugere procurar uma relação mais precisa entre força e aceleração.
Sabemos que a mesma força, quando aplicada em corpos diferentes, produz em geral acelerações diferentes.
Acelerar um carro requer uma força bem maior do que para uma bicicleta, para a mesma variação de velocidade.
Dizemos usualmente que o carro tem inércia muito maior que uma bicicleta, resistindo bem maisa variações
de velocidade.
Na Fig. 4, temos uma série de experiências idealizadas que poderiam ser feitas com discos deslizantes sobre
uma camada de gás, para minimizar o atrito. Na primeira situação, imagine que o disco é preso a uma mola cuja
outra extremidade é puxada, a fim de sempre manter a distensão da mola constante. A força F , medida pela
distensão de uma mola, é aplicada ao disco D, que desliza com movimento retilíneo uniformemente acelerado
de aceleração a na direção de F. Na segunda situação, o disco D é o mesmo, mas a força aplicada é 2F, e
verifica-se que a aceleração de D passa a ser 2a. Logo, temos a proporcionalidade entre aceleração e força para
um mesmo corpo D,
a =
F
m
, (1)
onde o coeficiente de proporcionalidade m é característico do disco D e indica o quão fácil ou difícil é causar
uma aceleração ao corpo.
D
F
v
t
v = at
D
2F
v
t
v = 2at
D
F
D′
v
t
v =
1
2
at
Figura 4: Coeficiente de inércia.
Na terceira situação, a força voltou a ser F, mas empilhamos dois discos idênticos D e D′, e a aceleração
caiu à metade. Comparando então a primeira e a terceira situações, vemos que, na (1), é preciso atribuir ao
sistema de dois discos idênticos D e D′ o coeficiente de proporcionalidade 2m, ou seja, que a inércia de dois
objetos idênticos formando um objeto único é o dobro da de um deles. O coeficiente de inércia m mede
portanto, nesse sentido, a quantidade de matéria do objeto.
Experiências deste tipo nos permite inferir a Segunda Lei de Newton,
F = ma, (2)
onde o coeficiente de inércia m associado à partícula sobre a qual age a força F chama-se massa inercial
dessa partícula.
Utilizando uma mesma força padrão F, podemos estabelecer uma escala relativa de massas inerciais. Em
lugar de escolher arbitrariamente uma unidade de força, é mais conveniente escolher arbitrariamente uma
unidade de massa inercial. Em geral, omitiremos a palavra inercial, falando simplesmente de massa.
5
Figura 5: Protótipo internacional do quilograma.
A unidade de massa era definida em termos de um protótipo (padrão de platina iridiada, depositado no
Ofício Internacional de Pesos e Medidas em Paris) que representava o quilograma (kg). Por definição, 1 kg era
a massa desse protótipo.
Desde 20 de maio de 2019, o quilograma não é mais baseado em um artefato físico. A nova definição é dada
em termos da constante de Planck h, estabelecendo uma relação com o sistema quântico. A definição oficial é:
O quilograma, símbolo kg, é a unidade de massa do SI. É definido tomando o valor numérico fixado da
constante de Planck, h, igual a 6, 626 070 15× 1034 kg m2 s−1.
Essa definição conecta o quilograma às unidades básicas de comprimento e tempo (o metro e o segundo),
com base em medições feitas em balanças de Kibble e no uso do sistema SI. Isso garante maior estabilidade e
precisão na definição da unidade, pois constantes fundamentais, como a constante de Planck, não variam com
o tempo ou com condições externas.
Assim, a (2) permite definir a unidade de força Newton (N), unidade de força do sistema SI. Por definição,
1 N é a força que, quando aplicada a um corpo de massa de 1 kg, lhe imprime uma aceleração de 1m s−2. Para
ter uma ideia concreta da ordem de grandeza do Newton, 1 N é a ordem de grandeza da força-peso exercida
pela gravidade sobre um objeto de massa 100 g.
1 N = 1
kg m
s2
. (3)
A 2ª lei de Newton é o princípio fundamental da dinâmica, é a lei básica que permite determinar a evolução
de um sistema na mecânica clássica. A 1ª lei pode ser considerada como um caso particular da 2ª: se a
força resultante F que atua sobre uma partícula é nula, a (2) mostra que a = 0, o que acarreta que a partícula
permanece em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. A 2ª lei, como a 1ª, só é válida num referencial
inercial.
A 2ª lei não é uma mera definição de força. Se assim fosse, ela seria desprovida de conteúdo físico. Se F fosse
dado apenas pela (2), ela seria realmente uma definição de força. Entretanto, isto não é verdade, as forças que
atuam sobre uma partícula resultam de sua interação com outras partículas, que são dadas por leis de forças,
que definem F em termos da situação em que a partícula se encontra.
A segunda lei tem ainda diversas outras implicações. Uma delas é que só intervêm na dinâmica desloca-
mentos, velocidades e acelerações das partículas. Não é preciso considerar, por exemplo, derivadas temporais
da aceleração, tais como da/dt ou d2a/dt2.
6
Outra implicação importante está relacionada com o caráter vetorial da (2). Como a é um vetor e m um
escalar, segue-se que F é um vetor. Assim, se F1, F2, ..., Fn são forças de diferentes origens que atuam sobre
a mesma partícula, F na (2) é a força resultante que atua sobre a partícula, ou seja,
F = F1 + F2 + · · ·+ Fn (4)
onde a soma é vetorial. Este é um resultado experimental, conhecido como princípio de superposição de
forças.
F1
F2
F = F1 + F2
Figura 6: Princípio da superposição.
A (2) não corresponde à formulação original de Newton da segunda lei. Newton começou definindo o
que chamou de quantidade de movimento, também conhecido como momento linear, ou simplesmente
momento. A definição de Newton foi:
“A quantidade de movimento é a medida do movimento, que surge da velocidade e da quantidade
de matéria em conjunto.”
Newton definiu quantidade de movimento em termos da quantidade de matéria em conjunto, que por sua
vez, é definida em termos da densidade e do volume:
“A quantidade de matéria é a medida que surge da densidade e do volume em conjunto.”
PHILOSOPHIE 
NAT URALIS 
Principia 
MATHEMA TICA 
tur. 
Def1nitiones. 
Quantitas Materie ef menfura ejulde orta ex illins Denfitate o 
Magnitndine conjun
tim. 
A 
Def. I. 
Er duplo denfior in duplo fpatio quadruplus cft, Tdem 
intellige de Nive et Pulveribus per comprcflionem vel lique 
faionem condenfatis. Et par eft ratio corporum omnium, quæ 
per caufas quafcunq; diverfimode condenfantur. Medi interca, 
fi quod fuerit, interftitia partium libere pervadentis, hic nullam ra 
tioncm habeo. Hanc autem quantitatem fub nomine corporis vel 
Mafke in fequentibus pallim intelligo. Innotcelcit ca per corporis cu 
julq; pondus. Nam ponderi proportionalem cfle reperi per cxpe 
rimenta pendulorum accuratifiime infituta , utipofthac docebi 
B Def. 
Def. IL. 
Quantitas motus eft menfura ejufdem orta ex Velocitae et quantitate 
Materie conjun
tin. 
Motus totius eft fumma motuum in partibus fingulis, adeoq; in. 
corpore duplo majore æquili cum Velocitate duplus eft, ct du 
pla cum Velocitate quadruplus. 
Def. IIL 
Materie vis infita efi poteutia vefftedi, qua corpxs Mnumquodqi, qhan 
tum in fe efi, perfeverat in fiatu fno vel quiefcendi vel movendi 
4niformiter in directnm. 
Hæc femper proportionaljs eft fåo corpori, neq; differt quic 
quam ab inertia Malila, nili in modo concipiendi. Per inertiam 
materiæ fit ut corpus omne de ftatu fuo vel quiefcendi vel moven 
di difficulter deturbetur. Unde etiam vis iníita nomine fignifican 
tilffino vis inertiz dici poflit. Exercet vero corpus hanc vim folum 
modo in mutatione ftatus fui per vim aliam in fe impreffam facta, 
eftq; exercitium ejus fub diverfo refpe�u et Refiftentia et Impetus : 
Reliftentia quatenus corpus ad conlervandum ftatum fuum relut-. 
atur vi impreflæ ; Impetus quatenus corpus idem, vi reliftentis ob 
ftaculi dificulter cedendo,conatur ftatum cjus mutarc. Vulgus Re 
iftentiam quiefcentibus et Impetum moventibus tribuit; fed mo 
tus et quies, uti vulgo concipiuntur, refpe�iu folo diftinguuntur ab 
invicem, neq; femper verc quielcunt quæ vulge tanguam quielcen 
tia fpetantur. 
Def. !V. 
Vis imprefla eft alio in corpus exercita, ad mut and1n ejns fiatw: 
el quefcendi vel movendi uniformiter in direhun. 
Confiftit hæc vis in aione lola, neq; poft aciioncm permanet 
n corpore. P'erlevcrat chm cor pus in itatu oMni novo per lolam 
Figura 7: Definições de quantidade de quantidade de matéria e de quantidade de movimento. Quantidade de matéria:
Quantitas materiae est mensura ejusdem orta ex ejus densitate& magnitudine conjunctim. Quantidade de movimento:
Quantitas motus est mensura ejusdem orta ex velocitate et quantitate materiae conjunctim.
7
Ou seja, o momento (linear) de uma partícula é o produto de sua massa por sua velocidade,
p = mv. (5)
Decorre imediatamente desta definição que p é um vetor.
Se m não varia com o tempo, ou seja, se excluirmos sistemas de massa variável, obtemos, derivando em
relação ao tempo ambos os membros da Eq. (5),
dp
dt
= m
dv
dt
= ma, (6)
e, comparando com a Eq. (2),
F =
dp
dt
, (7)
o que corresponde à formulação de Newton da 2ª lei:
Segunda Lei de Newton:
A mudança de movimento é proporcional à força motriz aplicada e ocorre na direção da linha reta
ao longo da qual essa força é aplicada.
Ou seja, a força é a taxa de variação temporal do momento. Embora esta formulação da segunda lei pareça
inteiramente equivalente à (2), ela tem vantagens. Uma delas revela a importância do conceito de momento.
Exemplo 1 Uma partícula de massa m = 1 kg está submetida a duas forças, F1 = (2x̂− 4ŷ) N e F2 =
(4x̂− 4ŷ) N. Se a partícula está na origem e parte do repouso em t = 0, determine,
(a) A aceleração a sofrida pelo corpo.
(b) A posição r num instante t qualquer.
Solução:
(a) Primeiramente, precisamos determinar a força resultante F que atua na partícula. Do princípio da super-
posição (5), temos,
F = F1 + F2 = 2x̂− 4ŷ + 4x̂− 4ŷ = (6x̂− 8ŷ) N.
Logo, a aceleração do corpo será,
a =
F
m
= (6x̂− 8ŷ)
m
s2
.
(b) Como a aceleração do corpo é constante, a equação horária do seu movimento será a de um movimento
uniformemente acelerado. Assim, sendo r (0) = 0 e v (0) = 0,
r (t) = 3t2x̂− 4t2ŷ.
3.1 Força Peso
Se você larga um objeto próximo à superfície da Terra, ele acelera para a Terra. Se a resistência do ar é
desprezível, todos os objetos caem com a mesma aceleração, chamada de aceleração de queda livre g. A força
que causa esta aceleração é a força gravitacional, ou peso, P exercida pela Terra sobre o objeto. O peso do
objeto é a magnitude da força gravitacional sobre ele. Se a força gravitacional é a única força que atua sobre
um objeto, dizemos que o objeto está em queda livre. Podemos aplicar a segunda lei de Newton (F = ma) a
um objeto de massa m que está em queda livre com aceleração g para obter uma expressão para o peso P,
P = mg. (8)
Como g é o mesmo para todos os corpos, segue que o peso sobre um corpo deve ser proporcional à sua massa
m. Próximo da Terra, o vetor g é a força gravitacional por unidade de massa exercida pelo planeta Terra sobre
qualquer corpo, e é chamado de campo gravitacional da Terra. Próximo da superfície da Terra, a magnitude de
g⃗ temo valor
g = 9, 81 N/kg = 9, 81 m/s2.
A proporcionalidade da força-peso à massa inercial é uma peculiaridade notável dessa força. É também
graças a ela que podemos medir a massa inercial pelo peso, por exemplo, por pesagem com uma balança de
mola. É importante, porém, evitar confusão entre os conceitos de massa e peso, que são totalmente diferentes.
Num ponto muito distante da superfície da Terra (na superfície da Lua, por exemplo), o peso de uma partícula,
indicado pela distensão da balança de mola, seria muito diferente, embora sua massa não se tenha alterado.
Aliás, o peso sofre pequenas variações mesmo de ponto a ponto da superfície da Terra, devido às variações locais
de g.
8
4 Princípio da Conservação do Momento
Como consequência imediata da lei da inércia, podemos dizer que um observador inercial reconhece que uma
partícula não é livre (i. e., que ela interage com outras) quando ele observa que a velocidade ou a quantidade
de movimento da partícula não permanece constante; ou, em outras palavras, quando a partícula sofre uma
aceleração.
Consideremos agora uma situação ideal. Suponhamos que observamos duas partículas sujeitas somente
às suas interações mútuas e isoladas do resto do universo. Como resultado das interações, suas velocidades
individuais variam com o tempo e suas trajetórias são de modo geral curvas, como indica a Fig. 8 pelas curvas (1)
e (2). Num certo instante t, a partícula 1 está em A com velocidade v1 e a particula 2 está em B com velocidade
v2. Num instante posterior t′, as partículas estarão em A′ e B′ com velocidades v′
1 e v′
2, respectivamente.
Chamando de m1 e m2 as massas das partículas, dizemos que momento total do sistema, no instante t, é
P = p1 + p2 = m1v1 +m2v2. (9)
A
A′
B
B′
v1
v′
1
v2 v′
2
(1)
(2)
Figura 8: Interação entre duas partículas.
No instante posterior t′, o momento total do sistema é,
P′ = p′
1 + p′
2 = m1v
′
1 +m2v
′
2. (10)
Ao escrevermos essa equação consideramos que as massas das partículas independem de seus estados de movi-
mento, e assim, utilizamos as mesmas massas que aparecem na (9). O resultado do nosso experimento é que
não importa quais sejam os instantes t e t′, encontramos sempre, como resultado de nossa observação, que
P = P′. (11)
Embora esse exemplo considere somente duas partículas constituindo o sistema isolado, a conclusão também
vale para um número qualquer de partículas constituindo um sistema isolado, i. e., vale para partículas sujeitas
somente a suas interações mútuas, sem interações com outras partes do universo. Portanto, de forma geral, o
princípio da conservação do momento tem o seguinte enunciado:
Princípio da Conservação do Momento:
A quantidade de momento total de um sistema isolado de partículas é constante.
Para um exemplo mais prático, vamos considerar experiências de colisão entre dois discos idênticos (portanto,
de mesma massa m). As forças de interação entre os dois discos são forças de contato, que atuam somente durante
o tempo de colisão, o intervalo de tempo ∆t em que os dois discos permanecem em contato. Antes e depois
da colisão, a força resultante sobre cada disco é nula, de modo que as velocidades dos discos antes e depois
da colisão são constantes. Vamos chamar de v1 e v2 as velocidades respectivamente dos discos 1 e 2 antes da
colisão, e de v′
1 e v′
2 as velocidades correspondentes depois da colisão. Os momentos correspondentes são p1 e
p2 (antes da colisão) e p′
1 e p′
2 (depois da colisão). Vamos considerar somente experiências em que as colisões
são frontais, ou seja, se dão segundo a linha que une os centros dos dois discos.
Na experiência 1 (Fig. 9), os discos se aproximam com velocidades de módulos e direções iguais, mas
de sentidos contrários. Depois da colisão, observa-se que os discos se afastam depois de terem trocado suas
velocidades.
Na experiência 2 (Fig. 10), o disco 2 está inicialmente parado e o disco 1 se aproxima dele com velocidade
v. Após a colisão, 1 parou e 2 se afasta de 1 com velocidade v.
9
Experiência 1
Antes da Colisão Depois da Colisão
Velocidades
Momentos
Total
m m
v −v
mm
v−v
v1 = v v2 = −v
p1 = mv p2 = −mv
P = p1 + p2 = 0
v′
1 = −v v′
2 = v
p′
1 = −mv p′
2 = mv
P′ = p′
1 + p′
2 = 0
1 2
1 2
Figura 9: Colisão entre dois discos com velocidades opostas.
Experiência 2
Antes da Colisão Depois da Colisão
Velocidades
Momentos
Total
m m
v
mm
v
v1 = v v2 = 0
p1 = mv p2 = 0
P = p1 + p2 = mv
v′
1 = 0 v′
2 = v
p′
1 = 0 p′
2 = mv
P′ = p′
1 + p′
2 = mv
1 2
1 2
Figura 10: Colisão com um disco em repouso.
Experiência 3
Antes da Colisão Depois da Colisão
Velocidades
Momentos
Total
m m
v
2m
v
2
v1 = v v2 = 0
p1 = mv p2 = 0
P = p1 + p2 = mv
v′
1 = v′
2 = v/2
p′
1 = p′
2 = mv/2
P′ = p′
1 + p′
2 = mv
1 2
1 2
Figura 11: Colisão com união.
Na experiência 3 (Fig. 11), a situação inicial é a mesma da experiência 2, porém, após a colisão, os dois
discos permanecem colados, passando a se mover juntos. Neste caso, observamos que os dois discos se movem
juntos com velocidade v/2.
Em todos os casos, o momento total do sistema, dado pela soma dos momentos das partículas 1 e 2 se
conserva,
P = p1 + p2 = p′
1 + p′
2 = P′, (12)
ou seja, que o momento total do sistema de duas partículas é o mesmo antes e depois da colisão.
Se fizéssemos experiências de colisão com discos de massas diferentes m1 ̸= m2e quaisquer velocidades v1 e
v2 antes da colisão, verificaríamos sempre, como nas três experiências descritas acima, a validade da (12), desde
que as únicas forças que atuem sobre o sistema sejam as interações entre as duas partículas durante a colisão,
ou seja, desde que possamos desprezar os efeitos de forças externas ao sistema (como o atrito).
A conservação do momento pode ser expressa matematicamente como,
P =
∑
i
pi = p1 + p2 + p3 + · · · = constante, (13)
a qual implica que, para um sistema isolado, a variação do momento de uma partícula durante um certo intervalo
de tempo é igual em módulo e de sinal contrário à variação do momento do resto do sistema durante o mesmo
intervalo de tempo.
Para o caso particular de duas partículas,
p1 + p2 = constante, (14)
ou,
p1 + p2 = p′
1 + p′
2. (15)
10
Note que, pela Eq. (15),
p′
1 − p1 = p2 − p′
2 = − (p′
2 − p2) . (16)
Ou, sendo ∆p = p′ − p a variação de momento entre os instantes t e t′, podemos escrever,
∆p1 = −∆p2. (17)
Este resultado indica que, para duas partículas em interação, a variação do momento de uma partícula durante
certo intervalo de tempo é igual em módulo, e de sinal contrário, à variação do momento da outra durante o
mesmo intervalo de tempo. Assim, o resultado acima pode também ser expresso como
uma interação acarreta uma troca de momento,
de modo que o momento “perdido” por uma das partículas em interação é igual ao momento “ganho” pela outra
partícula.
p1
p′
1
∆p1
p2
p′
2
∆p2
Figura 12: Troca de momento resultante da interação entre duas partículas.
Exemplo 2 Uma arma, cuja massa é 0,80 kg, dispara um projétil de massa de 0,016 kg com velocidade de 700
m/s. Calcular a velocidade de recuo da arma.
Solução: Inicialmente, a arma e o projétil estão em repouso e o momento total é zero. Após a explosão o
projétil move-se para a frente com momento,
p1 = m1v1 = (0, 016 kg)×
(
700 m · s−1
)
= 11, 20 m · kg · s−1.
A arma deve, então, recuar com um momento de mesmo módulo e de sentido contrário. Portanto, devemos
ter,
p2 = 11, 20 m · kg · s−1 = m2v2 ⇒ v2 =
11, 20 m · kg · s−1
0, 80 kg
= 14, 0 m · s−1.
5 Terceira Lei de Newton
A Eq. (17) relaciona as variações dos momentos das partículas 1 e 2 durante o intervalo de tempo ∆t = t′−t.
Dividindo-se ambos os membros dessa equação por ∆t, pode-se escrever,
∆p1
∆t
= −∆p2
∆t
, (18)
o que indica que as variações (vetoriais) médias do momento das partículas no intervalo de tempo ∆t são iguais
em módulo e de sentidos opostos. Fazendo-se ∆ muito pequeno, i. e., calculo o limite da Eq. (18) para ∆t → 0,
tem-se,
dp1
dt
= −dp2
dt
, (19)
de modo que as variações (vetoriais) instantâneas do momento das partículas, em qualquer instante t, tem
mesmo módulo e sentidos opostos.
Aplicando a 2ª lei de Newton (7) à (19), vemos que dp1
dt
corresponde à força sobre a partícula 1 (devido a
2) durante a interação, que será denotada por F12
1. Analogamente, dp2
dt
= F21 e a (19) equivale a,
F12 = −F21, (20)
ou seja, a força exercida por 1 sobre 2 é igual em módulo mas com sentido contrário àquela exercida por 2 sobre
1.
1A força Fij corresponde à força sobre a i-ésima partícula devida à j-ésima partícula.
11
Cada par de forças é chamado par ação-reação. Esta terminologia pode causar confusão, pois soa como
se uma força “reagisse” à outra, o que não é o caso. As duas forças ocorrem simultaneamente. É importante
notar que a “ação” e a “reação” sempre atuam em corpos diferentes.
A Eq. (20) fornece a 3ª Lei de Newton.
Terceira Lei de Newton:
A toda ação há sempre uma reação oposta e de igual intensidade: ou seja, as ações mútuas de
dois corpos são sempre iguais e opostas em sentido.
1 2
F12 F21
Figura 13: Ação e reação.
6 Força Normal
Se você fica em pé em um piso, a Terra o puxa para baixo, mas você permanece em repouso. Isso acontece
porque o piso se deforma sob o seu peso e empurra você para cima. O empurrão exercido pelo piso é uma força
normal N. O nome vem do termo matemático normal, que significa perpendicular. A força que o piso exerce
sobre você é perpendicular ao piso.
Quando um corpo exerce uma força sobre uma superfície, a superfície empurra o corpo com uma
força normal N que é perpendicular à superfície.
A Fig. 14 mostra um bloco posicionado sobre uma superfície horizontal. Devido à sua interação com a Terra,
o bloco sofre a ação da força peso P. O bloco pressiona a superfície para baixo e a superfície empurra o bloco
para cima com uma força normal N. As forças P e N são as únicas forças que atuam sobre o bloco, e ambas
são verticais. Assim, a segunda lei de Newton para o bloco, tomando um eixo y com o sentido positivo para
cima, fornece,
N+P = ma ⇒ N −mg = ma,
onde m é a massa do bloco e a = aŷ é a aceleração do bloco. Se a superfície e o bloco não estiverem acelerados
em relação ao solo, a = 0, temos,
N = mg.
N
P
x
y
N
P
Figura 14: Força normal.
6.1 Plano Inclinado
Considere um bloco de massa m colocado sobre um plano inclinado de ângulo de inclinação θ. Além da
força peso P = mg, atua sobre o bloco a força normal N devida ao seu contato com o plano. A força resultante
F que atua sobre o bloco é,
F = N+P. (21)
12
O movimento do bloco ocorre ao longo do plano inclinado, por isso, é conveniente adotar um sistema de
coordenadas que use justamente a posição do bloco ao longo do plano inclinado como uma de suas coordenadas.
Adotando os eixos como ilustrado na Fig. 15, temos,
N = N ŷ, P = mg sen θ x̂−mg cos θ ŷ. (22)
Como o movimento do bloco se dá ao longo do eixo x, temos que sua aceleração possui componente apenas
na direção desse eixo,
a = ax̂,
o que implica que a força resultante também só pode ter componente na direção x. Usando a Eq. (22) na
Eq. (21), temos,
F = mg sen θ x̂+ (N −mg cos θ) ŷ = ma = max̂. (23)
θ
x
y
θ
P
N
Figura 15: Plano inclinado.
Logo, igualando componente a componente da Eq. (23), obtemos,
N −mg cos θ = 0 ⇒ N = mg cos θ, (24)
e,
ma = mg sen θ ⇒ a = g sen θ. (25)
Logo, o efeito do plano inclinado é reduzir a aceleração de queda livre por um fator igual ao seno do ângulo
de inclinação. Este resultado foi empregado por Galileu no estudo do movimento uniformemente acelerado. Por
se tratar de uma aceleração constante, todos os resultados obtidos ao estudar a cinemática em um movimento
retilíneo uniformemente variado são válidos nesse caso.
7 Tração
Quando uma corda é presa a um corpo e esticada, a corda aplica ao corpo uma força T orientada na direção
da corda. Essa força é chamada de força de tração porque a corda está sendo tracionada (puxada). A tração
da corda é o módulo T da força exercida sobre o corpo.
Uma corda é frequentemente considerada sem massa (o que significa que a massa da corda é desprezível
em comparação com a massa do corpo ao qual está presa) e inextensível (o que significa que o comprimento
da corda não muda quando é submetida a uma força de tração). Nessas circunstâncias, a corda existe apenas
como ligação entre dois corpos: ela exerce sobre os dois corpos forças de mesmo módulo T , mesmo que os dois
corpos e a corda estejam acelerando e mesmo que a corda passe por uma polia sem massa e sem atrito, ou
seja, uma polia cuja massa é desprezível em comparação com as massas dos corpos e cujo atrito no eixo de
rotação pode ser desprezado.
Exemplo 3 O bloco 1, de massa m1, está em um plano horizontal sem atrito e preso por uma corda de massa
desprezível e inextensível, que passa por uma polia de massa e atrito desprezíveis, ao bloco 2, de massa m2.
Determine
(a) A aceleração a do sistema.
(b) A tração T da corda.
Solução:
13
m1
m2
m1
P1 = m1g
N
T1
x m2
P2 = m2g
T2
y
Figura 16: Exemplo 3.
(a) A força resultante que atua no bloco 1 é,
F1 = N+P1 +T1 = m1a1, (26)
e no bloco 2,
F2 = T2 +P2 = m2a2. (27)
O movimento do bloco 1 ocorre ao longo do plano horizontal, por isso, vamos escolher como sendo x o
eixo que é paralelo ao plano, apontando para a direita. Já para o bloco 2, o movimento é vertical para
baixo, portanto, iremos escolher eixo y ao longo de sua trajetóriacomo sendo o eixo vertical apontando
para baixo.
Assim, como P1 e N possuem apenas componentes perpendiculares ao plano horizontal, as Eqs. (26) e
(27) se tornam,
T1 = m1a1, m2g − T2 = m2a2. (28)
Por se tratar de um fio de massa desprezível, temos que T1 = T2 = T , e, além disso, por se tratar de um
fio inextensível, a1 = a2 = a2. Desse modo, a Eq. (28) se torna,
T = m1a, m2g − T = m2a. (29)
Somando membro a membro, obtemos,
T +m2g − T = m1a+m2a ⇒ m2g = (m1 +m2) a ⇒ a =
m2g
m1 +m2
. (30)
(b) Para determinar a tração no fio basta usar o resultado (30) em um das equações de (29). Por simplicidade,
substituindo na primeira equação,
T = m1a =
m1m2g
m1 +m2
. (31)
Vale notar que, para m2 ≫ m1, a Eq. (30) se torna a = g, como deveria ser, já que corresponde à situação
quando o bloco 1 é desprezível, ou seja, o bloco 2 estaria em queda livre. Além disso, para m1 ≫ m2,
temos a = 0 e T = m2g, como deveria ser, já que equivale à situação onde o bloco 2 é desprezível frente
ao bloco 1, fazendo com que o sistema permaneça em repouso, e a tração no fio é suficiente para manter
o bloco 2 em equilíbrio.
2Caso tivéssemos escolhido o eixo y apontando verticalmente para cima, teríamos que a1 = −a2, uma vez que, quando o bloco
1 se move para direita, o bloco 2 se move para baixo descrevendo a mesma distância.
14
	Introdução
	Aristóteles
	Galileu Galilei
	Isaac Newton
	Primeira Lei de Newton
	Segunda Lei de Newton
	Força Peso
	Princípio da Conservação do Momento
	Terceira Lei de Newton
	Força Normal
	Plano Inclinado
	Tração