Matemática Tópico 10 Aplicações de Derivadas em Administração e Economia 27-10-2025

Prévia do material em texto

Tópico 10
Matemática
Aplicações de Derivadas em
Administração e Economia
1. Introdução
Já estudamos algumas das aplicações das derivadas; agora,
porém, com o auxílio das regras de derivação, estamos em
posição de estudar as aplicações da derivação na área de
Administração, Economia e Contabilidade com maior
profundidade. Aprenderemos como aplicar derivadas para obter
o custo marginal, receita marginal e Lucro marginal; além disso,
utilizaremos o conceito de Máximo e Mínimo de uma função
como ferramenta para calcular custo máximo, receita máxima e
lucro máximo. Mostraremos que muitos problemas práticos das
áreas de Administração, Contabilidade e Economia podem
querer minimizar o custo ou maximizar uma dada receita para
obter o lucro máximo.
Para entendermos como isso se dá, inicialmente, vamos revisitar
alguns conceitos muito importantes, os quais estão descritos no
item a seguir.
2.  Conceitos Fundamentais
Uma das aplicações de derivadas é a resolução de problemas de
otimização que, em Administração, Contabilidade e Economia, é
o cálculo da taxa de variação do custo, da receita e do lucro.
Exemplo 01:
O custo para produzir unidades de um certo produto é C(t)=
t -3t + 4treais e o número de unidades produzidas em horas de
trabalho é t unidades de horas. Qual é a taxa de variação do
custo com o tempo após 5 horas de trabalho?
Solução:
C′ (t) = 3t – 6t + 4
Agora, basta usar o t=5h e teremos o valor da variação do custo
após 5 horas de trabalho.
C′ (5) = 3(5) – 6(5) + 4 = 75 – 30 + 4
C′ (5) = 49 unidades de reais.
Exemplo 02:
Suponha que o lucro total, ao se vender um certo tipo de
brinquedo, seja dado pela expressão L(x)=x -3x, onde L é
medido em unidades monetárias e x é medido em dias de
Lembrando: considerando uma função y = f(x), a taxa
de variação da variável y em relação à variável xf′(x),
isto é, esta taxa pode ser interpretada como uma forma
de medir “quão rápido” a variável y está mudando à
medida em que a variável x muda.

Fique sabendo um pouco mais sobre lucro.

3 2
2 
2
3
http://bit.ly/2kx4X7V
exposição do produto numa loja. Determine a taxa de variação
do lucro deste brinquedo após 10 dias de exposição.
Solução:
L′ (x) = 3x -3
Agora, basta usar o x=10 dias e teremos o valor da variação do
lucro após 10 dias de venda.
L′ (10) = 3(10) – 3(10) = 300 – 30
L′(10) = 270 unidades de monetárias.
Exemplo 03:
Custos, Receitas e Lucros
Como aprendemos nos tópicos anteriores, nos problemas
apresentados no início deste tópico, os procedimentos que
usamos até agora em cálculo tinham o objetivo de determinar o
maior ou menor valor de uma função de interesse, como, por
exemplo, a maior venda, o menor custo e o maior lucro. Nos
problemas de otimização, o objetivo principal era encontrar o
máximo absoluto ou o mínimo absoluto de uma função
delimitada por um intervalo. Abaixo, relembramos as definições
de máximos e mínimos.
2
2
Máximos e Mínimos Absolutos de uma Função. Seja f uma
função definida em um intervalo I que contém o número c, nesse
caso:
1. f( c ) é o máximo absoluto de f em I se f(c) f(x) para todo x
pertencente ao intervalo I.
2. f( c ) é o mínimo absoluto de f em I se f(c) f(x) para todo x
pertencente ao intervalo I.
Os máximos e mínimos absolutos são conhecidos pelo nome
genérico de extremos absolutos da função.
Representação gráfica dos valores extremos de uma função.
Uma forma de calcular os extremos absolutos de uma função
contínua no intervalo I, usando derivada segunda, é executar os
passos abaixo:
1. Determine a derivada primeira;
2. Calcule os valores críticos (x=c) que tornam a derivada primeira
igual a zero;
3. Determine a derivada segunda;
4. Substitua cada um dos valores críticos na derivada segunda:
se f ″ (c)>0,então, f(c)é o mínimo absoluto de f(x)no intervalo;
se f ″ (c) 0
C″ (78,33)= 0,012*78,33-12= -11,06 → C″ (78,33) 
Vamos aplicar o teste da derivada segunda:
R″ (x)= -4
Como R″ (x) 0 como x=1, temos que a função demanda
possui um valor máximo em x=1.
3. Análise Marginal
Se você está estudando Administração, Contabilidade, Economia
ou algum outro curso nesta área, é muito provável que já tenha
algum conhecimento ou, pelo menos, já ouviu falar em análise
marginal.
Contudo, é bom lembrar que a análise marginal é um conceito
que tem origem na economia e é uma ferramenta muito
importante, no momento que se está elaborando o planejamento
estratégico da empresa, comparando custos e benefícios para
melhorar a eficiência da empresa.
3 2
3 2
2
Em síntese, podemos dizer que, por meio da análise marginal,
uma empresa pode comparar os custos incorridos com os
benefícios alcançados pelas estratégias financeiras adotadas. A
estratégia dessa análise é fazer uma comparação entre os custos
de aplicação de várias medidas com os seus respectivos
resultados, com o objetivo de aumentar a lucratividade (HALL,
2017).
Iniciaremos nossos estudos de análise marginal com o custo.
Em Administração e em Economia, a variação de uma
quantidade em relação à outra também pode ser calculada por
intermédio da Média ou, então, por meio do cálculo de Marginal.
Porém, convém lembrar que o cálculo da média mostra a
variação de uma quantidade em consideração a um conjuntoespecífico de valores de uma segunda quantidade; por outro
lado, o cálculo de marginal revela que uma mudança instantânea
na primeira quantidade provoca alterações na segunda
quantidade (VANBAREN, 2017).
Definiremos a função custo marginal como a derivada da
função custo. (STEWART, 2013).
Exemplo 01:
Suponha que o custo total ao se fabricar x unidades de
brinquedos seja de C(x)=3x + 18x + 10. Determine o custo
marginal para se fabricar 50 unidades do produto.
Solução:
Fique sabendo um pouco mais sobre custo marginal.

2 
https://blog.nubank.com.br/custo-marginal/
Vamos derivar a função custo.
C′(x)=6x+18
Agora, basta substituir x por 50 na função derivada.
C′ (50)= 6*50 + 18= 300 + 18
C′ (50)= 318
Logo, o custo marginal procurado é 318 unidades monetárias.
Exemplo 02:
Suponha que C(x) seja o custo total de produção de x unidades
de canetas, eC(x)= 3x + 2x -6x + 10. Determine:
a) A função custo médio, lembrando que o custo médio é o
custo total dividido pela quantidade de unidades produzidas, ou
seja, é o custo médio ou custo unitário. Mesmo tendo algumas
unidades mais caras e outras mais baratas, teremos um média
deste custo.
Solução:
Para determinar a função custo médio para se produzir x
unidades, basta dividir a função custo total por x.
b) A função Custo Marginal
Solução:
3 2
Para determinar a função custo marginal, basta derivar a função
custo total em relação a x.
C′(x)= 9x + 4x – 6
Exemplo 03:
Suponha que C(x) seja o custo total de produção de x unidades
de borrachas, eC(x)= 20x – 60x + 10. Determine o custo médio
e o custo marginal para se produzir 15 borrachas.
Solução:
Calculando o custo marginal:
C′(x)= 40x – 60
C′ (15)= 40*15 – 60= 600 – 60
C′ (15)= 540 unidades monetárias
Outras aplicações de derivada em Administração, Economia e
Contabilidade são os conceitos de receita média, isto é, a função
receita total dividida pela quantidade de produtos vendidos e a
2
2
Fique sabendo um pouco mais sobre receita marginal.

http://bit.ly/2m3VGED
função receita marginal, que definiremos como a derivada
da função receita.
Exemplo 04:
Suponha que R(x)=-x + 3x + 4 seja a receita total recebida da
venda de mesas. Determine a função receita marginal.
Solução:
Basta derivar a função receita que teremos a função receita
marginal.
R′(x)= -3x + 3
Exemplo 05:
Suponha que R(x)= -2x + 1800x seja a receita total diária
recebida na fabricação de fogões, onde x é o número de unidades
produzidas diariamente. Atualmente, o fabricante está
produzindo 400 fogões e pretende elevar este número para 401.
Determine a receita marginal na produção de 401 fogões.
Solução:
Vamos derivar a receita total:
R“(x)= -4x + 1800
Calculando a receita marginal na produção de 401 fogões:
R′ (401)= -4*401 + 1800
R′ (401)= -1604 + 1800
R′ (401)= 196 unidades de reais
Resposta: a receita marginal será de R$ 196,00 por fogão
produzido.
3
2
2
Exemplo 06 (adaptado de Hoffmann e Bradley):
Um empresário estima que, se x unidades de um certo produto
forem produzidas e vendidas, o receita obtidoa será de R(x)
milhares de reais, onde R(x)= -2x + 68x – 128. Determine:
a) A função receita médio;
b) A função receita marginal;
c) A receita média e a marginal para se produzir 5 unidades;
d) O nível de produção para o qual a receita média é igual ao
lucro marginal.
Solução:
a) Para determinar a função receita média para se produzir x
unidades, basta dividir a função receita total por x
b) Determinando a função receita marginal:
R“(x)= -4x + 68
2
Outra aplicação de derivada em Administração, Economia e
Contabilidade são as funções lucro médio que é divisão entre a
função lucro total e a quantidade de produtos vendidos e a
função lucro marginal, que definiremos como a derivada da
função lucro.
Exemplo 07:
A função lucro de um produto é dada por L(x)= 200 –
0,02x com 0 ≤ x ≤ 10 (em milhares de unidades vendidas).
Determine a função lucro médio e a função lucro marginal.
Solução:
a) Para determinar a função lucro médio na venda de x unidades,
basta dividir a função lucro total por x.
4
Determinando a função lucro marginal:
L′(x)=-0,08×3
Exemplo 08:
O lucro total em reais para vender x unidades de um certo bem é
modelado pela função L(x)= 8000 + 200x – 0,2x em centenas
de reais. Determine:
a) A função lucro marginal;
b) O lucro marginal ao se vender 200 peças.
Solução:
a) Para determinar a função lucro marginal, basta derivar função
lucro total.
L′ (x)= 200 – 0,4x
b) Para determinar a função lucro marginal de 200 unidades,
basta trocar x por 200 na função lucro marginal.
L′ (x)= 200 – 0,4x
L′ (x)= 200 – 0,4*200
L′ (x)= 200 – 80
L′ (x)= 120
Estabelecendo o critério de análise marginal para o lucro
máximo:
Lembre-se que L(x)= R(x) – C(x) é máximo para um nível de
produção x, no qual a receita marginal é igual ao custo marginal;
a taxa de variação do custo marginal é maior que a taxa de
variação da receita marginal, ou seja, a derivada segunda da
receita total é menor que a derivada segunda da função custo
total.
R′ (x)= C′ (x) e R′′ (x)16). Khan Academy
Brasil. Otimização:Lucro. Economia.08min14. Disponível
em: http://bit.ly/2kx4X7V.
YouTube. (2017, Agosto, 15). Khan Academy Brasil. Custo
marginal e custo médio total. 10 min08.
VANBAREN, Jennifer.Explicando um benefício marginal..
 Disponível em: https://www.ehow.com.br/explicando-
beneficio-marginal-info_257493/.
Parabéns, esta aula foi
concluída!
O que achou do conteúdo estudado?
Péssimo Ruim Normal Bom Excelente
http://bit.ly/2m3VGED
http://bit.ly/2kx4X7V.
Mínimo de caracteres: 0/150
Deixe aqui seu comentário
Enviar