Aula 2 - Empuxo de terra _ Tensões

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ENGENHARIA CIVIL
Obras de terras e contenções 
Engenharia Civil
Obras de terra e contenções 
Prof. Alan de Paula 
Almeida 
E-mail_alan.almeida@fmu.br
Aula 2
Obras de terra e contenções na 
engenharia 
Empuxo de terra 
• Tensões
Empuxo de terra
Definição de Empuxo
Entende-se por empuxo de terra a ação horizontal produzida por um maciço de 
solo sobre as obras com ele em contato.
A determinação do valor do empuxo de terra é fundamental para a análise e o 
projeto de obras como muros de arrimo, cortinas de estacas-prancha, construção 
de subsolos, encontro de pontes, etc. O valor do empuxo de terra, assim como a 
distribuição de tensões ao longo do elemento de contenção, depende da interação 
solo-elemento estrutural durante todas as fases da obra. O empuxo atuando sobre 
o elemento estrutural provoca deslocamentos horizontais que, por sua vez, alteram 
o valor e a distribuição do empuxo, ao longo das fases construtivas da obra.
Empuxo de terra
Empuxo de terra
A figura ilustra alguns exemplos de obras de arrimo em que são utilizadas diferentes 
soluções na estrutura de contenção, a saber: (a) muro em solo-cimento ensacado e 
compactado, (b) muro em concreto ciclópico, (c) muro em pedras arrumadas manualmente 
em gaiolas metálicas – gabiões e (d) muro em concreto armado.
Muros de contenção ou 
arrimo: 
a) solo-cimento, 
b) concreto ciclópico,
c) gabião 
d) concreto armado
Empuxo de terra
O cálculo dos empuxos constitui uma das maiores e mais antigas preocupações da 
engenharia civil; data de 1776 a primeira contribuição efetiva ao tema, em muito anterior ao 
nascimento da Mecânica dos Solos como ciência autônoma. Trata-se de um problema de 
grande interesse prático, de ocorrência frequente e de determinação complexa.
Empuxo de terra
No estudo deste assunto, como na maioria dos problemas sob domínio da Mecânica dos 
Solos, raras são as situações em que é possível determinar forças e, por conseguinte, tensões 
com base apenas nas condições de equilíbrio; os problemas são, em geral, estaticamente 
indeterminados. Para vencer esta dificuldade é imperioso considerar as condições de 
compatibilidade entre os deslocamentos, o que implica a necessidade de conhecer-se 
também a variação das tensões com as deformações, ou seja, a curva σ x ε (Vilar e Bueno, 
1979).
Considerações iniciais sobre empuxo
Vilar e Bueno (1979) ressalta que há, em síntese, duas linhas de conduta no estudo dos 
empuxos de terra. A primeira, de cunho teórico, apoia-se em tratamentos matemáticos 
elaborados a partir de modelos reológicos (estudo de deformações) que tentam traduzir, 
tanto quanto possível, o comportamento preciso da relação tensão x deformação dos solos.
A segunda forma de abordagem é de caráter empírico-experimental; são recomendações 
colhidas de observações em modelos de laboratório e em obras instrumentadas.
Considerações iniciais sobre empuxo
A automatização dos métodos numéricos (diferenças finitas, método dos elementos finitos) 
através de computadores e a evolução das técnicas de amostragem e ensaios têm propiciado, 
nos últimos anos, um desenvolvimento significativo dos processos de cunho teórico.
Neste capítulo serão tratados apenas os processos clássicos de determinação de empuxos, 
baseados nas teorias da Elasticidade, de Rankine e de Coulomb.
Teoria da Elasticidade - Relação entre Tensão x Deformação
Para a determinação das pressões de empuxo de terra utilizaremos inicialmente os 
conceitos da teoria de elasticidade no que se refere ao comportamento dos solos e suas 
características de deformabilidade quando submetido a uma pressão de compressão.
Pode-se a partir do gráfico “tensão x deformação” , obtido em um ensaio de compressão, 
determinar o módulo de elasticidade (E) em um segmento reto (AB - módulo inicial - Lei 
de Hooke = proporcionalidade tensão-deformação, AC – módulo secante ou CD – módulo 
tangente).
Teoria da Elasticidade - Relação entre Tensão x Deformação
Figura – Deformação de um corpo submetido a um carregamento 
(Cilindro)
Teoria da Elasticidade - Relação entre Tensão x Deformação
Considerando que o corpo de prova de solo sofre uma tensão de compressão, no sentido 
da altura, este sofre uma deformação neste sentido e consequentemente no sentido de seu 
raio (diâmetro) R, teremos então:
Teoria da Elasticidade - Relação entre Tensão x Deformação
Logo, podemos concluir que:
•εv​: deformação vertical;
•εh​: deformação horizontal;
•σ: tensão;
•E: módulo de deformabilidade do solo;
•μ: coeficiente de Poisson.
εh = μ * εv​ = μ * 
σ𝑣
𝐸
A partir das deformações nos 
sentidos horizontal e vertical 
poderemos determinar o Coeficiente 
de Poisson (μ ). O Coeficiente de 
Poisson é o parâmetro que reflete o 
quanto o solo deforma no sentido 
horizontal em relação à deformação 
no sentido do carregamento.
Teoria da Elasticidade - Relação entre Tensão x Deformação
Então, o que podemos concluir a partir disso?
Simples! Percebemos através da relação entre as constantes de elasticidade do 
material ( μ e E) que existe uma proporcionalidade entre a tensão vertical no solo e 
sua respectiva tensão horizontal.
Logo, a partir desse momento você sabe que os valores de tensões horizontais podem 
ser calculados através da tensão vertical efetiva no solo para o mesmo ponto:
σh​=k⋅σ′v​
Onde:
•k: coeficiente de empuxo do solo.
Agora que você já entendeu a proporcionalidade entre as tensões e sabe uma fórmula 
geral para a determinação da tensão horizontal no solo, vamos falar um pouco mais 
sobre os tipos de empuxo.
Teoria da Elasticidade - Relação entre Tensão x Deformação
** Valores típicos para Módulo de Elasticidade (E) de solos
Como ordem de grandeza, podem-se indicar os valores apresentados na Tabela como 
módulos de elasticidade para argilas sedimentares saturadas, em solicitações rápidas, que 
não dão margem à drenagem.
Tabela – Módulos de elasticidade típicos de argilas saturadas não drenada
Teoria da Elasticidade - Relação entre Tensão x Deformação
** Valores típicos para Módulo de Elasticidade (E) de solos
Para as areias, os módulos são os correspondentes à situação drenada, Tabela, pois a 
permeabilidade é alta, em relação ao tempo de aplicação das cargas.
Tabela – Módulos de elasticidade típicos de areias em solicitação drenada
(para tensão confinante de 100 kPa)
Teoria da Elasticidade - Relação entre Tensão x Deformação
** Valores típicos para coeficiente de Poisson (μ) de solos
Para solos, tem-se a seguinte variação: 0,25condição de calcular a resultante deste esforço horizontal que é chamado 
simplesmente de empuxo, correspondente a área do diagrama de pressões horizontais e 
agindo no centro de gravidade do mesmo (isto é, no terço inferior da sua
altura).
Empuxo no repouso
Condição em que o plano de contenção não se movimenta
Tem-se neste tipo de empuxo, um equilíbrio perfeito em que a massa de solo 
se mantem absolutamente estável, sem nenhuma deformação na estrutura 
do solo, isto é, está em equilíbrio elástico. Considerando a massa semi-
infinita de solo homogêneo, em uma só camada permeável, sem ocorrência de 
NA e com o terrapleno horizontal, e estando o solo em equilíbrio elástico, os 
esforços na direção horizontal podem ser calculados, teoricamente, baseados 
nas constantes elásticas do material, isto é, dos parâmetros E e μ.
Empuxo no repouso
O empuxo no repouso é definido pelas tensões horizontais, calculadas para 
condição de repouso. Neste caso para a condição de semi-espaço infinito 
horizontal, o empuxo é produto do coeficiente de empuxo lateral no repouso (ko) 
e da tensão efetiva vertical, acrescido da parcela da poro pressão.
Empuxo no repouso
O valor de ko depende de vários parâmetros geotécnicos do solo, dentre os quais 
pode-se citar: ângulo de atrito, índice de vazios, razão de pré-adensamento, etc.). 
A determinação do coeficiente de empuxo no repouso pode ser feita a partir 
ensaios de laboratório e ensaios de campo, teoria da elasticidade ou correlações 
empíricas
Empuxo no repouso
A determinação experimental pode ser feita através das seguintes técnicas de 
ensaio:
i) ensaio com controle de tensões, tal que h=0. Este ensaio pode ser feito 
medindo-se as deformações axial e volumétrica e alterando as tensões tal que 
axial= vol. Alternativamente pode- se medir as deformações horizontais da 
amostra através de instrumentação e, consequentemente, corrigir as tensões;
ii) ensaios de campo (pressiometro, ensaio de fratura hidráulica)
iii) instrumentação de campo (células de pressão)
Empuxo no repouso
i) Ensaios triaxiais (mantendo-se h =0), realizados por Bishop, em areias 
uniformes (n = 40%) mostraram que na Figura.
ii) no descarregamento ko é variavel podendo atingir valores superiores a 1 
em solos Pré-adensados não há como estimar ko se OCR varia ao logo do 
perfil Ko também varia
Figura. Variação de ko
Empuxo no repouso
No entanto, a determinação experimental de ko torna-se difícil 
principalmente por dois fatores: alteração do estado inicial de tensões 
e amolgamento, provocados pela introdução do sistema de medidas. 
Estes dois fatores também influenciam o comportamento de amostras 
utilizadas em ensaios de laboratório.
As proposições empíricas (Tabela abaixo) valem para solos 
sedimentares. Solos residuais e solos que sofreram transformações 
pedológicas posteriores, apresentam tensões horizontais que 
dependem das tensões internas da rocha ou do processo de evolução 
sofrido. Nestes solos o valor de ko é muito difícil de ser obtido.
Empuxo no repouso
Tabela. Correlações empíricas para estimativa de ko
Empuxo no repouso
Tabela. Correlações empíricas para estimativa de ko
Empuxo passivo x empuxo ativo
Nos problemas de fundações, a interação das estruturas com o solo implica a transmissão de forças 
predominantemente verticais. Contudo, são também inúmeros os casos em que as estruturas interagem com 
o solo através de forças horizontais, denominadas empuxo de terra. Neste último caso, as interações dividem-
se em duas categorias.
A primeira categoria verifica-se quando determinada estrutura é construída para suportar
um maciço de solo. Neste caso, as forças que o solo exerce sobre as estruturas são de natureza
ativa. O solo “empurra’ a estrutura, que reage, tendendo a afastar-se do maciço. Na Figura 
estão apresentadas diversas obras deste tipo.
Exemplos de obra em que os empuxos são de natureza ativa
Empuxo passivo x empuxo ativo
Na segunda categoria, ao contrário, é a estrutura que é empurrada contra o solo. A
força exercida pela estrutura sobre o solo é de natureza passiva. Um caso típico deste tipo de
interação solo-estrutura é o de fundações que transmitem ao maciço forças de elevada
componente horizontal, como é o caso de pontes em arco mostrado na figura.
Exemplos de obra em que os empuxos são de natureza passiva
Empuxo passivo x empuxo ativo
Em determinadas obras, a interação solo-estrutura pode englobar simultaneamente as
duas categorias referidas. É o caso da Figura , onde se representa um muro-cais ancorado. As
pressões do solo suportado imediatamente atrás da cortina são equilibradas pela força Ft de um
tirante de aço amarrado em um ponto perto do topo da cortina e pelas pressões do solo em frente
à cortina. O esforço de tração no tirante tende a deslocar a placa para a esquerda, isto é, empurra
a placa contra o solo, mobilizando pressões de natureza passiva de um lado e pressões de
natureza ativa no lado oposto
Muro-cais ancorado – caso 
em que se desenvolvem 
pressões ativas e passivas.
Estados de Equilíbrio Plástico
Diz se que a massa de solo esta sob equilíbrio plástico quando todos os pontos 
estão em situação de ruptura Seja uma massa semi-infinita de solo seco, não 
coesivo, mostrada na Figura. O elemento está sob condição geostática. e as 
tensões atuantes em uma parede vertical, imaginaria será calculada com base 
em:
Figura. Estado de equilíbrio plástico
Estados de Equilíbrio Plástico
Como não existem tensões cisalhantes, os planos vertical e horizontal são planos
principais. Supondo que haja um deslocamento do diafragma, haverá uma redução 
da tensão horizontal (h), sem que a tensão vertical sofra qualquer variação. Se o 
deslocamento do diafragma prosseguir, a tensão horizontal até que ocorra a 
condição de ruptura. Neste caso, diz-se que a região esta em equilíbrio plástico e 
h atingirá seu limite inferior (condição ativa).
Tensões horizontais
Solo,g v = g z
h =?
Onde: K= coeficiente de 
empuxo
h = K v
Para tensões 
totais e efetivas
K = f (d) d Deslocamento 
horizontal
=
z
dz
Determinação dos coeficientes de empuxo
Solo,g
▪ Condição de deformação lateral negativa
V
h
Anteparo 
vertical
dz
z
H
dh -
h
Decresce 
até ha
Condição 
ativa
Ka = ’ha
’va
Ka = coeficiente de empuxo ativo
Determinação dos coeficientes de 
empuxo
▪ Condição de deformação lateral positiva
Solo,g V
h
Anteparo 
vertical
dz
z
H
dh +
h
Cresce até 
hp
Condição 
passiva
Kp = ’ha
’vaKp = coeficiente de empuxo passivo
Determinação dos coeficientes de 
empuxo
E0
Ativo
Ea
Passivo
Ep
E
0 CompressãoExpansão (+)(-)
Equilíbrio 
Elástico
Métodos para a determinação dos 
empuxos de terra
▪ Processos clássicos: Métodos de Equilíbrio Limite
Cunha de solo: Estados de 
Plastificação (Ativo ou Passivo)
Método de Rankine Método de Coulomb
Estruturas de contenção - arrimo sob empuxo em repouso (a), ativo (b) e passivo (c)
Próxima Aula 
Aprenderemos sobre EMPUXO Analisar a influência dos diversos 
parâmetros do solo e da interação solo-estrutura em estruturas 
de contenção.