2ª lista de Calculo 1 Prof. Edson Sampaio

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Ca´lculo I
Engenharia Ambiental
Edson Sampaio
Segunda Lista de Exerc´ıcios
1. Se lim
x→a [f(x) + g(x)] = 2 e limx→a [f(x)− g(x)] = 1, encontre limx→a f(x) · g(x).
2. Seja a func¸a˜o f definida por f(x) = 5x − 2 para todo x real. Se lim
x→2
f(x) = 8,
encontre um δ para � = 0, 01 tal que
0 < |x− 2| < δ ⇒ |f(x)− 8| < 0, 01
3. Nos itens abaixo encontre o valor do limite:
(a) lim
x→−1
2x+1
x2−3x+4
(b) lim
t→0
2−√4−t
t
(c) lim
y→−2
y3+8
y+2
(d) lim
h→0
3√h+1−1
h
4. Calcule quando existirem os limites abaixo e quando na˜o existirem, explique o
porqueˆ.
(a) lim
x→1
x− 1
x3 − 1
(b) lim
x→1
1
x3 − 1
(c) lim
x→2
1− x2
x2 + 3x− 10
(d) lim
x→−2
3
√
x3 + 2x2 − 3x+ 2
x2 + 4x+ 3
(e) lim
x→3
√
1 + x− 2
x− 3
5. Calcule quando existirem os limites abaixo e quando na˜o existirem, explique o
porqueˆ.
(a) lim
x→0
|x|
x
(b) lim
x→4
f(x), onde
f(x) =
{ √
x− 4 se x ≥ 4
8− 2x se x < 4
(c) lim
x→−4−
|x+ 4|
x+ 4
.
6. Se lim
x→2
f(x)−7
x−2 = 4, determine limx→2
f(x).
7. Existe um nu´mero a tal que lim
x→−2
3x2+ax+a+3
x2+x−2 exista e seja igual a L? Caso afir-
mativo, encontre a e L.
1
8. Nos itens abaixo encontre o valor do limite:
(a) lim
x→+∞
2x+1
5x−2
(b) lim
x→+∞
√
x2 + x− x
(c) lim
x→+∞
3x4−7x2+2015
2x4+2015
(d) lim
h→+∞
√
h+
√
h+
√
h√
h+1
9. Mostre que:
(a) lim
x→∞
x2 + x
3− x = −∞
(b) lim
x→∞
3x2 − x− 2
5x2 + 4x+ 1
= 3/5
(c) lim
x→∞
x2
2x
= 0.
10. Existe um nu´mero a tal que
lim
x→−2
3x2 + ax+ a+ 3
x2 + x− 2
exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
11. Sendo f(x) = ax
3+bx2+cx+d
x2+x−2 , obter os reais a, b, c e d, sabendo-se que limx→+∞ f(x) = 1
e lim
x→1
f(x) = 0.
12. Resolva os itens abaixo:
(a) Encontre a constante c que torna g cont´ınua em R, onde
g(x) =
{
x2 − c2 se x < 4
cx+ 20 se x ≥ 4
(b) Encontre nu´meros a e b tais que lim
x→0
√
ax+ b− 2
x
= 1.
13. Mostrar que
lim
n→+∞
1
n
[(
x+
a
n
)
+
(
x+
2a
n
)
+ · · ·+
(
x+
(n− 1)a
n
)]
= x+
a
2
.
14. Mostre que lim
x→0+
√
x3 + x2 sin pix = 0.
15. Calcule, se existir, os limites abaixo e se na˜o existir, explique o porqueˆ.
(a) lim
x→1
|x−1|
x−1
(b) lim
x→4
f(x), onde f(x) =
{ √
x− 4, se x ≥ 4
8− 2x, se x < 4 .
(c) lim
x→0
sin 1x .
(d) lim
x→0
x sin 1x .
16. Determine as ass´ıntotas vertical e horizontal do gra´fico da func¸a˜o f(x) =
√
2x2+1
3x−5 .
2
17. Determine a ass´ıntota obl´ıqua do gra´fico de
f(x) =
x2 − 3
2x− 4 .
18. Um tanque conte´m 5000 litros de a´gua pura. Salmoura contendo 30 g de sal por
litro de a´gua e´ bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 25 l/min.
(a) Mostre que a concentrac¸a˜o de sal apo´s t minutos (em gramas por litro) e´
C(t) =
30t
200 + t
.
(b) O que acontece com a concentrac¸a˜o quando t→∞?
19. Mostre que lim
x→0+
3
√
x3 + x2 sin pix = 0.
20. Use o Teorema do Confronto para mostrar que
lim
x→0
x10 · sin
(
50pi
3
√
x
)
= 0.
21. Se 2− x2 ≤ g(x) ≤ 2 cosx para qualquer x, determine lim
x→0
g(x).
22. Suponha que, para todo x, |g(x)| ≤ x4. Calcule lim
x→0
g(x)
x .
23. Encontre:
(a) lim
x→0
sin 3x
sin 5x
(b) lim
x→0
1−cosx
x2
(c) lim
x→0
tan 2x
3x
(d) lim
h→pi
4
sinx−cosx
1−tanx
24. Seja f a func¸a˜o definida por
f(x) =
{
2x− 1, se x 6= 2
1, se x = 2
(a) Trace um esboc¸o do gra´fico de f .
(b) Encontre lim
x→2
f(x) e mostre que lim
x→2
f(x) 6= f(2).
25. Se f e g sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em a, mostre que sa˜o cont´ınuas em a as func¸o˜es
f + g, f − g, f · g e fg , neste u´ltimo caso, desde que g(a) 6= 0.
26. Se f e g forem cont´ınua, com f(3) = 5 e lim
x→3
[2f(x)− g(x)] = 4, encontre g(3).
27. Calcule:
(a) lim
x→1
2
x3−3x+2
x2+x−2
(b) lim
x→0
xx
(c) lim
x→4
(
1
e
)x2−5x+4√
x−2
(d) lim
x→3
ln x−3√
x+1−2
3
(e) lim
x→2
log 3−
√
1−4x√
x+6−2
28. Calcule:
(a) lim
x→0
(1 + x)
1
x
(b) lim
x→+∞
(
1 + 1x
)2x
(c) lim
x→−∞
(
1 + 3x
)x
(d) lim
x→0
e2x−1
x
29. Calcule:
(a) lim
x→1
(1− x) tan pix2
(b) lim
x→0
tan ax
bx
, com a e b diferentes de zero.
(c) lim
x→0
1− 1cosx
x2
(d) lim
x→0
1− cosx
x2
(e) lim
x→pi
1− sin x2
pi − x .
30. Calcule:
(a) lim
x→1
10
x−1
x3−1
(b) lim
x→3
2
√
1+x−2
x−3
(c) lim
x→0+
√
x lnx.
31. Sabendo que lim
x→∞(1 +
1
x)
x = e, calcule lim
x→0
x
√
1 + 2x.
32. Mostre que o teorema do valor intermedia´rio garante que a equac¸a˜o x3 +x+ 3 = 0
tenha raiz entre −2 e −1.
33. Mostre que existe soluc¸a˜o real para a equac¸a˜o xx = 10.
34. Suponha que f : [0, 2] → R e´ uma func¸a˜o cont´ınua tal que f(0) = 5, f(1) = 4 e
f(2) = 9. Mostre que existe c ∈ (0, 1) tal que 2f(c) = f(2c).
35. Seja f : [0, 1]→ R cont´ınua tal que f(0) = f(1). Prove que existe x ∈ [0, 1] tal que
f(x) = f(x+ 1/2). Prove o mesmo resultado para 1/3 em vez de 1/2.
36. Seja p um polinoˆmio de coeficientes reais e grau ı´mpar. Mostre que p possui pelo
menos uma raiz real.
37. Seja f : [a, b]→ R e´ uma func¸a˜o cont´ınua que so´ assume valores racionais. Mostre
que f e´ constante.
38. Sejam c > 0 uma constante real e f uma func¸a˜o definida nos reais e tomando
valores reais que satisfaz |f(x)−f(y)| ≤ c|x−y|, para quaisquer x, y reais. Mostre
que f e´ cont´ınua.
4
39. Suponha que um aluno do IFCE Quixada´ decida iniciar uma subida na famosa
pedra do Cruzeiro cuja altura e´ H, ele iniciou a subida a`s 8:00h e alcanc¸ou o
topo ao meio-dia, ele decidiu enta˜o ficar o resto do dia acampando no topo e
consequentemente passar a noite naquele local. Na manha˜ seguinte ele iniciou sua
descida novamente a`s 8:00h e chegou embaixo a`s 10:00h (a gravidade claramente
auxiliou o aluno). Baseado nesse relato, prove que em algum momento da descida
o rapaz estava na mesma altura e na mesma hora que na subida do dia anterior,
na˜o importando a velocidade que o mesmo desenvolveu durante o trajeto.
40. Seja f : [a, b]→ [a, b] uma func¸a˜o cont´ınua. Prove que f possui um ponto fixo.
Avenida Jose´ de Freitas Queiroz, na˜o 5000, Bairro Cedro
CEP: 63.902-580 - Quixada´ - CE
Fone: (88) 3412.0111
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