Estudo da Reta no Espaço

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5 Estudo da Reta no Espaço R² 5.1 Equação Geral da Reta 118 5.2 Ângulo entre Duas Retas 122 5.3 Distância de um Ponto a Reta 122 rede de ensino DOCTUM Transformando vidas!UNIDADE 5 : ESTUDO DA RETA NO ESPAÇO R2 OBJETIVOS: 01_Desenvolver a equação da reta; 02_Identificar a inclinação de uma reta em relação à Ox ; 03_Correlacionar a inclinação no gráfico com coeficiente angular escrito na equação reduzida; 04_Determinar a equação de uma reta dados a sua inclinação e um ponto. 5.1 EQUAÇÃO GERAL DA RETA Chama-se equação de uma curva a uma igualdade envolvendo as variáveis X, a qual é satis- feita se, e somente se, o ponto P = y) pertence à curva Por exemplo, x=yé a equação da bissetriz comum ao primeiro e ao terceiro quadrantes. Analo- gamente, X = é a equação da reta comum ao segundo e ao quarto quadrantes. A toda reta r do plano está associada uma equação na forma + by + onde a b e são números reais e a e b não são nulos. Qualquer par ordenado (x, y) que satisfaz a equação citada representa um ponto de Será que axioma de geometria euclidiana que fala que "por dois pontos distintos passa uma única reta" é válido? No caso, deve-se verificar se a pro- posição dados dois pares ordenados distintos, existe um único conjunto de pares ordenados que satisfazem uma equação + by C, a² + b² # que contém dois pares é verdadeira no plano cartesiano, que é que faremos a seguir. DISTINÇÃO DE PONTOS Se P e Q são distintos então existem a, b e com a² + b² tais que Além disso, se existem outros a', b' com + tais que e b'x₂ = então existe um número k tal que a' ka, b' = kb, c' = kc. Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e compartilhamento digital, sob as penas da lei. As principais propriedades que pretendemos demonstrar são as seguintes. DEMONSTRAÇÃO Observe que é uma equação do tipo procurado, pois é da forma + by a equação é satisfeita pelos pontos P e Q 118UNIDADE 5: ESTUDO DA RETA NO ESPAÇO R2 Vamos mostrar, agora, a segunda parte da proposição. Supondo, então, que Temos, então, que a( + e + Se então pois e são distintos. Obtemos, nesse caso, que Logo, tanto a como a' são não nulos. Assim, Logo, a a' = c' = Se Y₂, por raciocínio análogo, chegamos ao mesmo resultado. Vamos supor, agora, que e Por (*), temos que: = a' = a b' b Logo, a a' = b' b k. Por conseguinte, COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA NÃO VERTICAL o coeficiente angular m (ou a inclinação, ou a declividade) da reta que passa por dois pontos A e y₂), tais que Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e compartilhamento digital, sob as penas da lei. 119UNIDADE 5 : ESTUDO DA RETA NO ESPAÇO R2 B X Imagem: Segmento AB definindo coeficiente angular m Observe que esse número é a razão entre a variação de ordenadas e a variação de abcissas dos dois pontos. Ele corresponde à tangente do ângulo que a reta, determinada por esses dois pon- tos, faz com eixo horizontal. No caso das retas verticais, cujos pontos têm uma mesma abcissa, dizermos informalmente que elas têm declividade infinita. A equação delas tem a forma X = em que é a abcissa comum a todos pontos da reta. Agora, sejam dados dois pontos P = e Q em que # Seja r a reta que passa por eles. Observe que que chamamos de reta é um conjunto de pontos que satisfaz uma equa- ção linear em X e y, que é algo muito abstrato. Se esse conjunto realmente representa uma reta como a que estamos acostumados em geometria euclidiana plana, um ponto (x, desse con- junto, (x, tal que a declividade da reta que passa por (x, y) e Pé a mesma que a da reta Pe Q. Traduzindo para a linguagem matemática, = Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e digital, sob as penas da lei. ou seja, Essa equação é a que vamos chamar de equação reta-2 pontos, para chamar a nossa atenção sobre que utilizamos para determinar uma equação de reta. 120UNIDADE 5 : ESTUDO DA RETA NO ESPAÇO Observe que essa equação é da forma + by = C. Exemplo Achar uma equação da reta que passa por (2,1) e (0,3). Solução: Usando a fórmula acima, temos que ou seja, Note que, se m = então a equação reta -2 pontos pode ser rescrita como que vamos chamar de equação reta-declividade mais um ponto. Exemplo Achar uma equação da reta que tem declividade 4e passa por (2,3). Solução: Pela fórmula acima, temos que m = 2 e uma equação da reta que é dada por y 3 2( X 2), isto Conclusão: se be R + by = é equação de reta se, e só se, a ou b Ou seja, a única coisa que não pode ocorrer é ambos coeficientes a e b serem nulos, pois assim a equação se torna Ox + Oy que ou não tem solução (c # O), ou todos pares ordenados são soluções ( = ou seja, conjunto-solução é plano todo. Temos então um outro modo de achar a equação de reta, dados dois pontos: eu substituo as co- ordenadas de cada ponto na equação da forma + by = obtendo assim um sistema de duas equações, cujas incógnitas são a, b e C. Exemplo Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e compartilhamento digital, sob as penas da lei. Achar uma equação da reta que passa por (0,1) e (2,3). Solução: Substituindo os dois pontos em + by = C, obtenho 121UNIDADE 5 : ESTUDO DA RETA NO ESPAÇO R2 b=c b=c que é equivalente ao sistema ou seja, 2a + 3b = a = -c Atribuindo um valor qualquer a C, diferente de zero (pois a e b não podem ser ambos nulos), ob- temos a reta cuja equação é 5.2 ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS Duas retas distintas no plano podem ser ou concorrentes ou paralelas. Retas paralelas são aquelas que têm mesma declividade. Por exemplo, as reatas X = 1 são paralelas; assim como as retas q + e caso de retas coincidentes é considerado em alguns livros como um caso particular de retas paralelas. Notemos que duas equações de reta representam a mesma reta se, e somente se, coeficientes a, b e de uma são são múltiplos dos coeficientes da reta. Concluímos, então, que duas retas são concorrentes se, e somente se, suas declividades são distintas uma da outra. 5.3 DISTÂNCIA DE UM PONTO A RETA Vamos considerar problema de calcular a distância de um ponto P a uma reta, que não é nem vertical nem horizontal, r:y = mx + b. Vamos supor, obviamente, que P não pertence à reta. Quando falamos a distância do ponto à reta, queremos dizer com isso a menor distância, que corresponde ao comprimento do segmento que vai do ponto P à reta, Uma solução seria encontrarmos a reta S, que passa por Pe é perpendicular a r; depois, acharmos ponto Q de interseção das duas retas e, então, calcularmos a distância de P a Q Exemplo Calcule a distância do ponto (1, à reta Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e compartilhamento digital, sob as penas da lei. Solução: A reta 2 (x-1) é a reta perpendicular a r que passa por (0,1). Resolvendo sistema X temos que ponto Q é a interseção das duas retas. 2 2 Logo, a distância pedida é d(P,Q) V5. 122UNIDADE 5: ESTUDO DA RETA NO ESPAÇO R2 Outra solução, que é uma versão resumida da primeira, seria achar ponto Q da reta r tal que a declividade de PeQé a de uma reta perpendicular a r. Ou seja, o ponto a solução do sistema: A solução é = m²+1 A distância de PaQé, então, igual a + ou seja: d(P,Q) = = Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e compartilhamento digital, sob as penas da lei. 123UNIDADE 5 : ESTUDO DA RETA NO ESPAÇO R2 RESUMO: Nesta unidade estudamos: 01_Declividade de uma reta não vertical; 02_Equação da reta, dados dois pontos no R ; 03_Equação da reta não vertical, dados um ponto e a declividade; 04_Retas paralelas; 05_Retas perpendiculares; 06_Distância de ponto a reta; 07_Distância entre duas retas paralelas; 08_Ângulo entre retas concorrentes. Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e compartilhamento digital, sob as penas da lei. 124UNIDADE 5 : ESTUDO DA RETA NO ESPAÇO R2 REFERÊNCIA: BOULOS, Paulo; CAMARGO, Ivan. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. Pearson / Prentice Hall (Grupo Pearson), 2004. WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. Makron Books (Grupo Pearson), 2000. ANTON, Howard. Álgebra Linear com Aplicações edição. Bookman, 2001. MACHADO, Antonio dos Santos. Álgebra Linear e Geometria Analítica - edição. São Paulo: Atual Editora, 1996. MURDOCK, David D. Geometria Analítica - edição. Rio de Janeiro: LCT Editora, 1971. BOLDRINI, José Luiz; COSTA, Sueli I. Rodrigues; FIGUEIREDO, Vera Lucia; WETZLER, Henry G. Álgebra Linear edição. São Paulo: Harper e How do Brasil, 1980. Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e O compartilhamento digital, sob as penas da lei. 125rededeensino DOCTUM