Séries de Pagamentos e Amortização

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O estudo das séries de pagamentos e métodos de amortização de financiamentos se faz importante para o estudo de finanças, uma vez que os fluxos de caixa, estudados anteriormente, devem ser analisados não só pela ótica de tempo e taxa, mas também pela sua forma, que envolve igualdade ou diferença de valores e intervalo de prazos, carências ou interrupções nas séries de pagamento e mesmo a soma de mais de um fluxo em uma única operação financeira. 
Objetivos
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de: 
· Analisar uma série de pagamentos no que se refere à sua aplicação nos diversos contextos financeiros, sistemas de amortização e variáveis financeiras envolvidas.
Conteúdo Programático
Esta unidade está dividida em: 
· Aula 1 - Séries de pagamentos: definição e classificação.
· Aula 2 - Sistemas de amortização.
· Aula 3 - Aplicações das séries de pagamentos.
Rota de Aprendizagem
A Rota de Aprendizagem apresenta as ações que devem ser realizadas nesta unidade. Utilize a Rota de Aprendizagem para planejar e gerir, com eficiência, as suas ações e o seu tempo de estudo. Isso facilitará a construção do seu conhecimento e aumentará a possibilidade de que você tenha um bom desempenho nas avaliações. Clique aqui para acessar a Rota de Aprendizagem. 
O mercado financeiro participa ativamente do nosso dia a dia em que a aquisição de bens, produção de produtos e construção e venda de imóveis é financiada através de operações financeiras que viabilizam tais ações transferindo recursos de agentes superavitários para outros deficitários ou que simplesmente desejam antecipar seu consumo ou investir em atividades produtivas. 
Tais operações assumem fluxos de caixa cujo processo de concessão de crédito e pagamentos seguem regras distintas e estão presentes, como produto complementar em importantes indústrias como a construção civil, naval, aeronáutica e automobilística. 
Aula 1 Séries de pagamentos: definição e classificação 
Construção de um fluxo de caixa
Uma vez que já conhecemos os principais componentes de um fluxo de caixa, cabe agora melhor definir técnicas e critérios para sua construção. 
Os componentes de um fluxo ou série de pagamentos devem refletir, pelo critério de caixa, as entradas e saídas referentes a operações financeiras ou a soma algébrica de várias movimentações seguindo a linha do tempo. 
Dessa forma, não devemos utilizar critérios de competência, em que uma transação pode ser efetivada sem que haja efetiva entrada ou saída de caixa, como, por exemplo, uma venda a prazo. 
Outro aspecto a ser determinado é a periodicidade de expressão do fluxo, limitando a menor fração como o dia. Portanto, um fluxo poderá ser desde diário até anual ou com intervalo de tempo ainda maior, mas a questão que surge é a conciliação dos efetivos pagamentos com essa divisão de tempo. 
Podemos imaginar um fluxo mensal, cuja periodicidade é a mínima indicada para análises gerenciais e de investimento, mas sabemos que os pagamentos não ocorrerão necessariamente no primeiro ou último dia do mês; assim, o que fazemos, na verdade, é acumular todas as movimentações para uma data de corte e aplicação de taxas e metodologias. 
Tal técnica pode ser aplicada para períodos maiores, como semestre ou ano, mas, por outro lado, um fluxo que orienta pagamentos em uma tesouraria de empresa ou banco deve ser diário ou, melhor, seguir um fluxo de dias úteis, pois a esse fluxo cabe a função de agenda financeira para os funcionários encarregados dessas atividades. 
Outro aspecto importante é o sentido da operação, isto é, pagamento ou recebimento, ou, na linguagem bancária, encaixes ou desencaixes. 
Tomemos por exemplo uma operação de empréstimo para uma empresa. Na visão do banco, a contratação do empréstimo tem, em seguida, uma saída de numerário e, no seu vencimento, uma entrada desse mesmo valor acrescido de juros e taxas. Por outro lado, a visão da empresa em seu fluxo deve ser inversa, em que o recurso entra em seu caixa após a contratação, e na data de vencimento ocorre uma saída para saldar a dívida e respectivos encargos. 
Voltando ao exemplo da empresa, e mesmo de um banco, lembremos aqui que em ambos os casos, assim como em finanças pessoais e governamentais, existem entradas e saídas de recursos todo o tempo e em operações iguais ou semelhantes. 
Sendo assim, o correto posicionamento da operação é importante para que o fluxo tenha consistência. 
Componentes de uma série de pagamentos
Como estudamos anteriormente, um fluxo de caixa é composto de três aspectos, tempo, taxa e valores, cuja notação sugerida aqui recordamos: 
	n 
	
	i 
	
	PV 
	
	FV 
	
	PMT 
	
Classificação das séries de pagamentos
As séries de pagamentos compõem um fluxo de caixa que também chamamos de anuidade. A essa série, que pode também ser formada por recebimentos, sempre corresponderá uma contraparte oposta no próprio fluxo de caixa, na forma de valor presente (PV), valor futuro (FV), ou mesmo outra série. 
O exemplo a seguir mostra uma série de pagamentos na qual se busca conhecer a taxa de juros ou simplesmente o custo embutido na operação. Tal cálculo pode ser feito em uma planilha MS Excel ou por meio do fluxo externo da HP 12C, como optamos por demonstrar. 
Exemplo: 
Um consórcio disponibiliza uma carta de crédito para um automóvel no valor de R$ 33.470,00, mediante a seguinte estrutura de parcelas mensais, sem taxa de adesão. 
· Parcelas 01 a 05: R$ 679,28.
· Parcelas 01 a 05: R$ 602,34.
· Parcelas 41 a 75: R$ 447,96.
Qual a taxa de administração, a qual pode ser entendida pelo consumidor como taxa de juros prefixada, implícita nessa operação? 
f FIN
33470 CHS g CFo
679,28 g CFj
5 g Nj
602,34 g CFj
35g Nj
447,96 g CFj
35 g Nj
IRR. 
No visor, aparecerá a resposta 0,54, que corresponde a 0,54% a.p. ou 0,54% a.m. 
O quadro a seguir nos apresenta o embasamento teórico para identificar e classificar os diversos tipos de séries de pagamentos, que são classificadas por fatores como tempo, uniformidade, início do período de amortização etc. 
	
Quanto ao tempo.
	Temporárias.
	Quando tem um número limitado de pagamentos.
	
	Infinitas ou perpétuas.
	Quando tem um número infinito de pagamentos.
	
Quanto à constância ou periodicidade.
	Periódicas.
	Quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempo iguais.
	
	Não periódicas.
	Quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempo variáveis.
	
Quanto ao valor dos pagamentos.
	Fixas ou uniformes.
	Quando todos os pagamentos são iguais.
	
	Variáveis.
	Quando os valores dos pagamentos são diferentes.
	
Quanto ao vencimento do primeiro pagamento.
	Imediatas.
	Quando o primeiro pagamento ocorre exatamente no primeiro período da série.
	
	Diferidas.
	Quando o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período da série.
	
Quanto ao momento dos pagamentos.
	Antecipadas.
	Quando os pagamentos ocorrem no início de cada período da série.
	
	Postecipadas ou vencidas.
	Quando os pagamentos ocorrem no final de cada período da série.
Séries de pagamentos uniformes
As séries uniformes se caracterizam por valores iguais distribuídos em intervalos de tempo também iguais. Tal característica facilita seu cálculo, seja de forma algébrica ou utilizando ferramentas da HP 12C ou planilha eletrônica. 
A partir do quadro apresentado anteriormente, destacamos as características necessárias para uma série ser considerada uniforme: 
	
Quanto ao tempo.
	Temporárias.
	Quando tem um número limitado de pagamentos.
	
	Infinitas ou perpétuas.
	Quando tem um número infinito de pagamentos.
	
Quanto à constância ou periodicidade.
	Periódicas.
	Quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempo iguais.
	
	Não periódicas.
	Quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempo variáveis.
	
Quanto ao valor dos pagamentos.
	Fixas ou uniformes.
	Quando todos os pagamentos são iguais.
	
	Variáveis.
	Quando os valores dos pagamentos são diferentes.
	
Quanto ao vencimento do primeiro pagamento.
	Imediatas.
	Quando o primeiro pagamento ocorre exatamente no primeiro período da série.
	
	Diferidas.
	Quando o primeiro pagamento não ocorreno primeiro período da série.
	
Quanto ao momento dos pagamentos.
	Antecipadas.
	Quando os pagamentos ocorrem no início de cada período da série.
	
	Postecipadas ou vencidas.
	Quando os pagamentos ocorrem no final de cada período da série.
Em negrito, temos os aspectos e a condição considerados para classificarmos uma série como uniforme, em que apenas o momento dos pagamentos é indiferente, ou seja, tanto séries antecipadas como postecipadas podem vir a ser enquadradas como uniformes. 
Para séries infinitas ou perpétuas, fugimos da condição de PMT (periodic payment amount), mas podemos caracterizar a série como uniforme se os demais requisitos forem atendidos e a esta, por meio da matemática financeira, atribuir o cálculo de perpetuidade, a qual estudaremos mais à frente. 
Aula 2 Sistemas de amortização 
O conceito de amortização
Podemos definir amortização como o procedimento financeiro pelo qual uma dívida ou obrigação é paga progressivamente por meio de parcelas, sendo que, ao término do prazo estipulado, o débito deverá estar integralmente liquidado. 
Aqui estudaremos os sistemas de amortização francês, constante (SAC) e americano. Optamos por não detalhar, neste material, o sistema de amortização crescente – Sacre, utilizado em alguns financiamentos habitacionais. 
Uma vez que já estudamos as fórmulas aplicadas a séries e fluxos de caixa, vamos nos limitar aqui a mostrar as particularidades de cada sistema e indicar as ferramentas e formas de cálculo de parcelas e eventuais verificações. 
Sistema de amortização francês
No sistema francês de amortização, observamos o pagamento de empréstimos ou financiamentos por meio de prestações iguais e de periodicidade constante, sendo considerado o sistema mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral. 
Sua denominação vem do fato de ter sido utilizado primeiramente na França, no século XIX. Nesse sistema, portanto, temos prestações iguais durante todo o período do contrato, em que os valores referentes às parcelas de amortização do principal aumentam a cada período, e os juros compensatórios seguem caminho inverso, ou seja, decrescem a cada período. 
No exemplo a seguir, utilizaremos o cálculo via PMT, uma vez que as parcelas do sistema francês caracterizam uma série temporária, periódica, fixa, usualmente imediata, podendo ser antecipada ou postecipada. 
Exemplo: 
A empresa XYZ contratou junto a uma instituição financeira um empréstimo no valor de R$ 200.000,00, a ser pago por meio de quatro parcelas, com a primeira vencendo em 30 dias. A taxa contratada foi de 2% a.m., e será adotado o sistema francês de amortização. 
PV = 200.000,00; n = 4 meses; i = 2% a.m.; PMT = ?
f FIN
4 n
2 i
200000 PV
PMT. 
No visor, aparecerá a resposta -52.524,75. 
A tabela a seguir demonstra parcela a parcela a operação exemplificada. 
	MÊS
	SALDO INICIAL
	JUROS
	PRESTAÇÃO(*)
	SALDO FINAL
	0
	200.000,00
	0,00
	0,00
	200.000,00
	1
	200.000,00
	4.000,00
	(52.524,75)
	151.475,25
	2
	151.475,25
	3.029,51
	(52.524,75)
	101.980,01
	3
	101.980,01
	2.039,60
	(52.524,75)
	51.494,86
	4
	51.494,86
	1.029,90
	(52.524,75)
	0,00
	(*)PRESTAÇÃO
	JUROS
	AMORTIZAÇÃO
	
	
	
	(52.524,75)
	4.000,00
	(48.524,75)
	(52.524,75)
	3.029,51
	(49.495,25)
	(52.524,75)
	2.039,60
	(50.485,15)
	(52.524,75)
	1.029,90
	(51.494,85)
Tabela Price
O sistema ou tabela Price tem esse nome em homenagem ao economista inglês Richard Price, que incorporou a teoria do juro composto às amortizações de empréstimos, ainda no século XVIII. 
A tabela Price, na verdade, vem a ser um caso particular do sistema francês de amortização, no qual a taxa é fornecida em termos nominais e usualmente apresentada ao ano, sendo a periodicidade das parcelas também usualmente mensal ou menor que a expressão da taxa, fazendo com que seja necessário extrair da taxa nominal uma taxa efetiva, para, então, realizar os cálculos. 
Sistema de amortização constante – SAC
Pelo sistema de amortização constante, também conhecido como SAC, o principal é reembolsado em quotas de amortização iguais ao longo do contrato. 
Nesse sistema, os juros se mostram decrescentes ao longo do período de pagamento, uma vez que a amortização do principal é constante, e, por consequência, as parcelas também decrescem ao longo do período. 
Calculam-se as cotas de amortização constantes dividindo-se o principal (PV) pelo número de parcelas (n) do financiamento: 
	AMORT = PV / N
A cada período, são somados às parcelas de amortização os juros correspondentes ao saldo devedor, sendo eles, como já mencionado, decrescentes. 
A tabela a seguir reproduz o exemplo detalhado na tabela anterior, transposto agora para o SAC. 
	MÊS
	SALDO INICIAL
	JUROS
	PRESTAÇÃO(*)
	SALDO FINAL
	0
	200.000,00
	0,00
	0,00
	200.000,00
	1
	200.000,00
	4.000,00
	(54.000,00)
	150.000,00
	2
	150.000,00
	3.000,00
	(53.000,00)
	100.000,00
	3
	100.000,00
	2.000,00
	(52.000,00)
	50.000,00
	4
	50.000,00
	1.000,00
	(51.000,00)
	0,00
	(*)PRESTAÇÃO
	JUROS
	AMORTIZAÇÃO
	
	
	
	(54.000,00)
	4.000,00
	(50.000,00)
	(53.000,00)
	3.000,00
	(50.000,00)
	(52.000,00)
	2.000,00
	(50.000,00)
	(51.000,00)
	1.000,00
	(50.000,00)
Sistema de amortização americano
Por esse sistema de amortização, o principal é pago ao final do prazo da operação, sendo os juros pagos também ao final, ou periodicamente, como é mais comum. Verificamos, então, uma operação com parcelas constantes de juros, ou inexistentes, e a amortização, ou pagamento, do principal, ao final do período do contrato. 
Ressalta-se que o pagamento de juros deve respeitar uma periodicidade uniforme, ou seja, mensal, trimestral, semestral ou mesmo anual. 
A tabela a seguir simula a operação exemplificada anteriormente, agora no sistema de amortização americano, com pagamentos mensais de juros e, posteriormente, sem que eles ocorram, em que o pagamento do principal e dos juros devidos no período total da operação são quitados ao final desta, também dentro das regras do sistema americano. 
	MÊS
	SALDO INICIAL
	JUROS
	PARCELA(*)
	SALDO FINAL
	0
	200.000,00
	0,00
	0,00
	200.000,00
	1
	200.000,00
	4.000,00
	(4.000,00)
	200.000,00
	2
	200.000,00
	4.000,00
	(4.000,00)
	200.000,00
	3
	200.000,00
	4.000,00
	(4.000,00)
	200.000,00
	4
	200.000,00
	4.000,00
	(204.000,00)
	0,00
	(*)PARCELA
	JUROS
	AMORTIZAÇÃO
	
	
	
	(4.000,00)
	(4.000,00)
	0,00
	(4.000,00)
	(4.000,00)
	0,00
	(4.000,00)
	(4.000,00)
	0,00
	(204.000,00)
	(4.000,00)
	(200.000,00)
	MÊS
	SALDO INICIAL
	JUROS
	PARCELA(*)
	SALDO FINAL
	0
	200.000,00
	0,00
	0,00
	200.000,00
	1
	200.000,00
	4.000,00
	0,00
	204.000,00
	2
	204.000,00
	4.080,00
	0,00
	208.080,00
	3
	208.080,00
	4.161,60
	0,00
	212.241,60
	4
	212.241,60
	4.244,83
	(216.486,43)
	0,00
	(*)PARCELA
	JUROS
	AMORTIZAÇÃO
	
	
	
	0,00
	(4.000,00)
	4.000,00
	0,00
	(4.080,00)
	4.080,00
	0,00
	(4.161,60)
	4.161,60
	(216.486,43)
	(4.244,83)
	(212.241,60)
Vídeo da Unidade
Para saber mais sobre Sistemas de Amortização, assista ao vídeo da unidade. 
Aula 3 Aplicações das séries de pagamentos 
Elementos do fluxo de caixa
Estudamos anteriormente a composição de um fluxo de caixa e suas nomenclaturas. Cabe agora analisar a sua importância e suas aplicabilidades a algumas das principais metodologias de investimento. 
Dentre os prontos críticos da composição de um fluxo de qualidade, está a escolha da sua periodicidade e taxas, sejam elas para utilização no método de análise ou para servir como parâmetro de análise dos resultados obtidos. 
Aqui estudaremos metodologias cujas entradas e saídas de dados estão abaixo indicadas e serão trabalhadas de forma mais profunda no decorrer desta aula. 
	
	Output/resultado
	Input
	TIR
	taxa
	Valores/tempo
	VPL
	valor
	taxa/tempo
	Período de payback
	Tempo
	Valores
	Período de payback descontado
	Tempo
	Valores/taxa
Período de payback
O chamado período de payback, ou simplesmente payback, consiste em somar algebricamente os valores do fluxo de caixa de forma sucessiva a partir do período zero, até que a soma indique resultado igual ou superior azero, resultado esse que é associado ao tempo de retorno necessário para o investimento. 
Em princípio, não se aplica nenhuma taxa ao aplicar o payback, porém é possível também descontar ou desagiar os valores ao período inicial utilizando uma taxa de oportunidade ou similar, ao que passamos a chamar de payback descontado. 
Tal metodologia, quando aplicada juntamente com outras, como o VPL ou a TIR, deve utilizar para o desconto das parcelas a mesma taxa de juros presente ou obtida na outra metodologia, passando uma a ser complementar à outra. 
O payback tem como crítica o fato de “cortar” bruscamente o fluxo de caixa, não levando em conta alterações futuras que possam ocorrer e que muitas vezes estão próximas, por isso é uma metodologia usualmente aplicada em conjunto com outras, como TIR ou VPL. 
Por outro lado, o payback pode ser muito útil em negócios cujo ciclo de vida tem perspectiva de curta duração, tais como boates, bares e entretenimentos em geral, cujo negócio deve, em geral, ser reformulado após alguns poucos anos e mesmo meses de vida, em contraponto a indústrias e obras de infraestrutura, como estradas, pontes e portos. 
Trataremos o fluxo de caixa indicado abaixo a partir de dois exemplos, que utilizarão os métodos de payback simples e payback descontado: 
	N0 = (R$ 400.000,00)
N1 = (R$ 200.000,00)
N2 = R$ 100.000,00
N3 = R$ 300.000,00
N4 = R$ 300.000,00
N5 = R$ 300.000,00
Exemplo 1: Aqui aplicaremos o payback simples: 
	Fluxo
	Somatório
	N0 = - R$ 400.000,00
	- 400.000,00
	N1 = - R$ 200.000,00
	- 600.000,00
	N2 = + R$ 100.000,00
	- 500.000,00
	N3 = + R$ 300.000,00
	- 200.000,00
	N4 = + R$ 300.000,00
	+ 100.000,00
	N5 = + R$ 300.000,00
	+ 400.000,00
Podemos concluir que o período de payback é igual a “4”, ou seja, no quarto período, o investimento terá retornado ao aplicador. 
Exemplo 2: Aqui aplicaremos o payback descontado e utilizaremos uma taxa de juros igual a 15% ao período: 
	Fluxo
	PV
	Somatório
	N0 = - R$ 400.000,00
	- 400.000,00
	- 400.000,00
	N1 = - R$ 200.000,00
	- 173.913,04
	- 573.913,04
	N2 = + R$ 100.000,00
	+ 75.614,37
	- 498.298,67
	N3 = + R$ 300.000,00
	+ 197.245,87
	- 301.052,80
	N4 = + R$ 300.000,00
	+ 171.525,97
	- 129.526,83
	N5 = + R$ 300.000,00
	+ 149.153,02
	+ 19.626,19
Podemos concluir que o período de payback descontado é igual a “5”, ou seja, no quinto período, o investimento terá retornado ao aplicador, considerando uma taxa de oportunidade ou custo do dinheiro igual a 15% a.p. 
Valor presente líquido – VPL
O VPL consiste em descontar o fluxo de caixa a determinada taxa, que deve ser implantada pelo analista após seus estudos e pesquisas, e carregar todos os valores ao período inicial — zero. 
Tal metodologia demanda cuidado no estudo e na construção do fluxo de caixa e a aplicação de dados corretos e bem apurados, sendo que também se mostra importante a correta determinação da taxa de desconto a ser utilizada e a duração da análise, isto é, quantos períodos serão considerados. 
O VPL tem como crítica o fato de indexar todo o fluxo de caixa, entendendo que a tomada de recursos em períodos “deficitários” pode ser feita a taxas idênticas à aplicação dos recursos em períodos “superavitários”. 
Também criticada é a reaplicação dos recursos durante todo o fluxo, o que pode ser contornado com a retirada de parcelas de resultado e alocação destas em um fluxo paralelo, com taxa de desconto diferenciada. 
A perpetuidade e a taxa de crescimento, as quais veremos mais à frente, devem ser consideradas, calculadas e aplicadas de forma a completar análises que utilizem a metodologia do VPL. 
A fórmula abaixo indica o cálculo do VPL: 
VPL = - I + [FCF1 / (1+i)] + [FCF2 / (1+i)2] + ... + [FCFn / (1+i)n] 
Onde: 
I = Investimento inicial 
FCF1, FCF2,FCFn = fluxo de caixa líquido (free cash flow) nos períodos 1,2 e n 
i = taxa de desconto ou de oportunidade a ser aplicada ao fluxo de caixa 
Taxa interna de retorno – TIR
A consiste em obter uma taxa implícita em determinado fluxo por um período também determinado de tempo; para tal, observamos suas entradas e saídas líquidas de caixa. 
Tal metodologia pode ser melhor definida quando observamos sua fórmula, que consiste em simplesmente buscar um VPL igual a “zero”, o que significa obter um retorno nulo que coincide com um desconto do fluxo a um custo de oportunidade interno. 
Cabe ressaltar uma propriedade dessas metodologias, que explica a fórmula, que determina que um fluxo descontado à sua TIR apresenta VPL igual a zero. 
VPL = - I + [FCF1 / (1+TIR)] + [FCF2 / (1+TIR)2] + ... + [FCFn / (1+TIR)n] = 0 
Onde: 
I = Investimento inicial 
FCF1, FCF2,FCFn = fluxo de caixa líquido (free cash flow) nos períodos 1,2 e n 
TIR = taxa interna de retorno 
Perpetuidade
A perpetuidade consiste em um valor presente associado a um fluxo que assume ou assumirá valores iguais indefinidamente, ou seja, uma séria infinita ou perpétua, podendo ocorrer de imediato, ou transcorridos períodos anteriores. Assim: 
	PERPETUIDADE = PV / i ou PERPETUIDADE = FV(n) / i
Na qual: 
PV = valor presente do fluxo. 
FV(n) = valor futuro do fluxo em determinado período “n”. 
i = taxa de desconto ou de oportunidade a ser aplicada ao fluxo de caixa perpétuo. 
Exemplo: 
Um investidor estuda a aquisição de um imóvel comercial alugado para terceiros. É conhecido o valor anual do aluguel, e optou-se por desconsiderar a valorização do imóvel. Assim, divide-se o valor do aluguel, R$ 5.000,00 mensais, que totalizam R$ 60.000,00 anuais, pela taxa que o investidor considera atrativa para o negócio, 15% a.a. Cabe observar que quanto maior a taxa, menor será o valor do imóvel. 
PERPETUIDADE = R$ 60.000,00 / 0,15 = R$ 400.000,00. 
Portanto, dentro dos parâmetros do investidor, o imóvel pode ser adquirido por até R$ 400 mil. 
Taxa de crescimento
A taxa de crescimento (g) se aplica para fluxos de caixa futuros, para os quais podemos mensurar seu crescimento uniforme e de forma indefinida, assumindo, assim, o fluxo, a partir de determinado ponto, valores progressivamente crescentes e perpétuos. 
Na fórmula de perpetuidade, a taxa de crescimento é aplicada como redutora da taxa de desconto ou de oportunidade, reduzindo o denominador e, consequentemente, aumentando o valor presente do fluxo. Assim: 
	PERPETUIDADE = PMT / (i - g)
Na qual: 
PMT = parcelas constantes futuras do fluxo. 
i = taxa de desconto ou de oportunidade a ser aplicada ao fluxo de caixa perpétuo. 
g = taxa de crescimento. 
A aplicação da perpetuidade demanda cuidados e acurada análise do negócio, uma vez que os valores encontrados podem ser surpreendentemente elevados e desproporcionais à realidade de mercado. 
O mesmo conceito de crescimento pode, algebricamente, assumir uma posição inversa, em que se acredita que um negócio terá um decréscimo em seus fluxos futuros, cabendo, então, “um crescimento negativo”, que, pela álgebra, elevará a taxa de desconto e, por conseguinte, diminuirá ao valor do negócio. Assim: 
	PERPETUIDADE = PV / [i – (-g)] = PV / (i + g)
Em que: 
PV = valor presente do fluxo. 
FV(n) = valor futuro do fluxo em determinado período “n”. 
i = taxa de desconto ou de oportunidade a ser aplicada ao fluxo de caixa perpétuo. 
g = “taxa de crescimento negativa”. 
Encerramento 
Resumo da Unidade
As séries de pagamento dão sequência ao conceito de fluxo de caixa, porém com maior ênfase nos conceitos de investimento e financiamento, estudados nesta unidade. 
Ao observarmos o perfil de uma série de pagamentos, temos importantes características a considerar em relação a tempo, uniformidade, eventuais carências e conceitos de perpetuidade. 
Em operações de financiamento, temos o conceito de amortização, ao qual incorporamos diferentes sistemas, com destaque para os sistemas francês, de amortização constante e americano. 
A avaliação de projetos e investimentos é feita por meio de metodologias, entre as quais podemos citar a TIR, o VPL e o período de payback, esse último nas modalidades simples ou descontado. 
Atividades
Além do estudo dos roteiros, do livro da disciplina, das leiturascomplementares e dos vídeos das unidades, você deverá realizar as atividades pontuadas que se encontram no menu lateral do ambiente virtual de aprendizagem. Acompanhe os prazos de envio das avaliações no documento “Calendário e Critérios de Avaliação”, na introdução da disciplina. 
Lembre-se: procure o professor-tutor no fórum "Fale com o tutor". 
Midiateca 
Sites
· Crédito imobiliário (Santander)
· Encontre seu crédito – Imóveis (Bradesco)
· Crédito imobiliário (Itaú)
· Habitação (Caixa Econômica Federal)
· Citi Crédito Residência (Citibank):
· Crédito para financiar imóveis (Banco do Brasil):
Midiateca 
Artigos
· ALVES, M. S. Os sistemas de amortização e a polêmica sobre a capitalização de juros em financiamentos habitacionais. In: PRÊMIO ABECIP DE MONOGRAFIA EM CRÉDITO IMOBILIÁRIO E POUPANÇA, 3., São Paulo, 2010. Anais... São Paulo: Abecip, 2012.
· BIEGER, M.; PUDEL, V. Análise de decisão de investimentos: um estudo de caso em indústrias do setor metal mecânico de médio porte da região da grande Santa Rosa do Rio Grande do Sul. In: CONGRESSO VIRTUAL BRASILEIRO DE ADMINISTRAÇÃO, 7., [S.l.], 2010. Anais... [S.l.]: Convibra, 2010.
· CAPRA, M. Métodos de sistemas de amortização: dívidas de curto prazo. 2015. 23 f. Artigo científico apresentado ao curso de pós-graduação lato sensu em Finanças e Mercado de Capitais como requisito parcial para obtenção do grau de Especialista em Finanças e Mercado de Capitais, Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul. Ijuí, 2015. 
· LIZOTE, S. A. et al. Análise de investimentos: um estudo aplicado em uma empresa do ramo alimentício. In: SIMPÓSIO DE EXCELÊNCIA EM GESTÃO E TECNOLOGIA, 11., Penedo, 2014. Anais... Penedo: AEDB, 2014.
· MASCARI, J. Ferramentas para análise de investimentos. Administradores, João Pessoas, 21 jan. 2015. 
· PEREIRA, N. B. C. A utilização de metodologias de análise de investimentos empresariais voltada para análise de investimentos pessoais. 2006. 41 f. Monografia apresentada como parte dos requisitos necessários para a graduação em Engenharia de Produção, Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, 2006. 
Referências
· CARRETE, L. S. Cálculo no mercado financeiro: conceitos, ferramentas e exercícios. São Paulo: Atlas, 2015. 
· CASAROTTO FILHO, N. Análise de investimentos: matemática financeira, engenharia econômica, tomada de decisão, estratégia empresarial. 11. ed. São Paulo: Atlas, 2010. 
· CORREIA NETO, J. F. Excel para profissional de finanças. Rio de Janeiro: Elsevier, 2007. 
· GIMENEZ, C. M. Matemática financeira com HP 12C e Excel. São Paulo: Pearson, 2009. 
· GITMAN, L. J. Princípios da administração financeira. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2010. 
· ROSS, S. A.; WESTERFIELD, R. W.; JAFFE, J. F. Fundamentos de administração financeira. 9. ed. São Paulo: AMGH, 2013. 
· SAMANEZ, C. P. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson, 2010. 
· WAKAMATSU, A. Matemática financeira. São Paulo: Pearson, 2012. 
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