Orientação de Estudos 3 - Aulas 13 a 17

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Física do Movimento 
 
 
Orientação de Estudos 3 - Aulas 13 a 17 da apostila 
 
Aula 13 - Leitura Teórica Sugerida 
Leitura básica: 
• (Torque) HALLIDAY & RESNICK - Volume 1 - Capítulo 10, seção 10-8 
 
Aula 13 - Lista de Exercícios 
Exercício 1 
Calcule: 
a) O produto vetorial �⃗� × �⃗⃗�, sendo �⃗� = 3𝑖̂ + 4𝑗 ̂e �⃗⃗� = 2𝑖̂ − 1𝑗;̂ 
b) O produto vetorial 𝑑 × 𝑒, sendo 𝑑 = 10𝑖̂ + 2𝑗̂ − 3�̂� e 𝑒 = −5𝑖̂ + 3𝑗̂ + 7�̂�; 
c) O módulo do vetor 𝑑 × 𝑒 do item b; 
d) O ângulo entre os vetores 𝑑 e 𝑒 do item b. Use o produto escalar para calcular esse ângulo e confirme se 
seu seno é igual a |𝑑 × 𝑒|/(|𝑑| ⋅ |𝑒|); 
e) Mostre que 𝑟 = 4,33𝑖̂ + 2,5𝑗 ̂e 𝑠 = −3,5𝑖̂ + 6,062𝑗 ̂são vetores perpendiculares entre si; 
 
Exercício 2 (adaptado de Halliday&Resnick, sessão 10-8, ex. 45, p. 279) 
O corpo da figura pode girar em torno de um eixo perpendicular 
ao papel passando por O e está submetido a duas forças, como 
mostra a figura. Se 𝑟1 = 1,30𝑚, 𝑟2 = 2,15𝑚, 𝐹1 = 4,20𝑁, 𝐹2 =
4,90𝑁, 𝜃1 = 75° e 𝜃2 = 60°, qual o vetor torque resultante em 
relação ao eixo O? Suponha que versor 𝑖 ̂seja horizontal para a 
direita e 𝑗 ̂vertical para cima. 
 
Exercício 3 (Diagnóstico 2 – 2022-2) 
Uma peça está sendo desenhada 
para estabilizar a vibração de 
uma desempenadeira elétrica, 
por meio de um cabo de aço 
esticado. A figura a seguir ilustra 
uma perspectiva da peça, sendo 
�⃗� a força de tração que será 
aplicada no ponto 𝐶, por meio do 
cabo. A peça é fixa por dois 
apoios que foram projetados da 
seguinte maneira: 
 
 
A
B
C
Física do Movimento 
 
 
• Apoio 𝐴: não permite a translação em 𝑥, 𝑦 e 𝑧, e também não permite a rotação em 𝑥, mas permite 
a rotação em 𝑦 e em 𝑧; 
• Apoio 𝐵: não permite a translação em 𝑥 e 𝑧, mas permite a rotação em todas as direções. Esse apoio 
foi projetado para não ter nenhuma reação em 𝑦. 
A origem do sistema de coordenadas coincide com o ponto A e o vetor força de tração é dado por: 
�⃗� = −2.000𝑖̂ − 1.000�̂� [𝑁] 
Sabendo que o peso da peça é desprezível, calcule o vetor torque da força �⃗� em relação ao ponto 𝐴. 
 
 
Física do Movimento 
 
 
Aula 13 - Respostas 
1. a) −11 �̂� 
b) 23𝑖̂ − 55𝑗̂ + 40�̂� 
c) |𝑑 × 𝑒| = 71,79 
d) 132,16°. Sim, o seno desse ângulo é igual à razão |𝑑 × 𝑒|/(|𝑑| ⋅ |𝑒|). 
e) 
|𝑟×𝑠|
|𝑟|⋅|𝑠|
= 1, portanto, o ângulo entre eles é 90° 
 
2. −3,85�̂� [𝑁 ⋅ 𝑚] 
 
3. 𝜏𝐴
𝐹 = −300𝑖̂ + 1800𝑗̂ + 600�̂� [𝑁 ⋅ 𝑚] 
 
 
 
Física do Movimento 
 
 
Aulas 14 a 17 - Leitura Teórica Sugerida 
 
Leitura básica: 
• (Equilíbrio estático e tipos de apoios em 2D) BEER, JOHNSTON & EISENBERG - Estática - 
Capítulo 4, seções 4.3 e 4.4 
• (Dinâmica da rotação) HALLIDAY & RESNICK - Volume 1 - Capítulo 10, seção 10-9 
Leitura complementar: 
• (Equilíbrio estático e tipos de apoios em 3D) BEER, JOHNSTON & EISENBERG - Estática - 
Capítulo 4, seções 4.8 e 4.9 
• (Dinâmica da rotação) NUSSENZVEIG – Volume 1 - Capítulo 12, seção 12.3 
 
Aulas 14 a 17 - Lista de Exercícios 
 
Exercício 1 (adaptado de Beer-Johnston 2013) 
Uma viga está presa à parede por um pino em A e 
sustentada, em repouso, por uma barra em B, presa à 
parede no ponto C, conforme a figura. Na viga, é aplicado 
um torque de 900 𝑁 ⋅ 𝑚 na direção e sentido de −�̂�, 
conforme a figura. Determine as reações do pino na viga, 
em A, e do apoio na viga, em B. Adote 𝑖 ̂horizontal para a 
direita e 𝑗 ̂vertical para cima. 
 
Exercício 2 (APS7 – 2018-2) 
Um carro de 1.000 𝑘𝑔 está parado em uma rampa de 
inclinação 20°. A distância entre os eixos das rodas é 
de 1,4 𝑚, e o centro de massa está localizado a 0,6 𝑚 
do eixo traseiro e a 0,2 𝑚 do piso, conforme a figura. 
Supondo que ele esteja com os freios acionados 
apenas nas rodas traseiras, estando as rodas 
dianteiras livres, responda as questões que seguem, 
adotando 𝑔 = 10 𝑚/𝑠2. 
a) Considerando que o raio das rodas é 30 𝑐𝑚, qual é 
o torque que a força de atrito causa em cada uma das 
rodas traseiras? 
b) Escreva as três equações do equilíbrio do carro no sistema de coordenadas normal-tangente em função 
das intensidades das forças que atuam sobre o veículo. Use os símbolos �⃗⃗⃗�𝑑 e �⃗⃗⃗�𝑡 para as forças normais em 
cada uma das rodas dianteira e traseira, respectivamente. Para a equação do torque, adote como eixo de 
rotação o ponto de contato da roda traseira com o chão. 
c) Calcule a intensidade das forças normais �⃗⃗⃗�𝑑 e �⃗⃗⃗�𝑡 em cada uma das rodas. Lembre-se que o carro possui 
2 rodas traseiras e 2 dianteiras. 
d) Se o ângulo de inclinação da rampa aumentasse, o que aconteceria com as forças normais nas rodas 
dianteiras e traseiras? Elas se manteriam constantes, aumentariam ou diminuiriam? 
 
20°
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Exercício 3 
Uma viga de metal de 2 metros de comprimento e 1.000N 
de peso está apoiada em suas extremidades por um pino e 
por um rolete, como ilustra a figura ao lado. Exatamente no 
seu centro de massa (𝑪𝑴), por meio de um eixo acoplado 
a um motor elétrico, é aplicado um torque 𝝉 no sentido 
indicado na figura. 
Responda aos itens que seguem. 
a) Quais as equações de equilíbrio da viga? 
b) Esboce os gráficos das reações verticais, 𝐴𝑦 e 𝐵𝑦 , em função da intensidade do torque 𝝉 aplicado no 
centro de massa da viga. 
c) Qual a intensidade do torque 𝝉 para que 𝐵𝑦 seja nula? 
d) Supondo que o motor elétrico, em vez de ser acoplado ao centro de massa da viga, seja acoplado no ponto 
A, quais os gráficos das reações verticais 𝐴𝑦 e 𝐵𝑦 em função da intensidade desse torque (𝝉)? 
e) O torque 𝝉 aplicado no centro de massa se “propaga” ao longo de toda a viga? 
 
Exercício 4 (adaptado de Beer-Johnston 2013) 
Uma placa retangular uniforme de 100 kg de massa é 
sustentada na posição mostrada na figura (perpendicular 
à parede) pelas dobradiças A e B e pelo cabo CE. Considere 
que as dobradiças A e B não exerçam qualquer esforço 
axial, ou seja, na direção do eixo 𝐴𝐵. Determine: 
a) o vetor tração no cabo (dica: equacione o torque 
resultante na direção 𝑖)̂; 
b) a equação vetorial do torque resultante em relação ao 
ponto B (dica: trabalhe com a definição vetorial de torque, 
em 3D); 
c) as reações nos pontos A e B (adote-as nos sentidos dos 
eixos); 
 
Exercício 5 (adaptado de Beer-Johnston 2013 e complementar ao exercício 3) 
A figura ao lado faz parte de uma estrutura mecânica de 
amortecimento. No ponto D, é aplicada uma força de 
900 𝑁 na direção vertical. A estrutura está fixa por um 
pino esférico no ponto A (o que significa que o único 
movimento possível para essa estrutura é a rotação em 
torno do eixo 𝑦, que passa pelos pontos A e B. 
Determine as reações de apoio na junta esférica em A, no 
mancal em B e no rolete em C. 
 
𝐶 
𝐴
𝐵
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Exercício 6 (adaptada de Avaliação Final – 2017) 
Uma estação espacial capaz de gerar gravidade artificialmente no espaço sideral é 
constituída de uma casca cilíndrica rotativa, como mostra a figura ao lado. 
Adotando um modelo simplificado, vamos admitir que a estação espacial possa ser 
aproximada por dois cilindros de paredes finas, com uma haste cilíndrica oca que 
os atravessa, e duas tampas laterais, como mostram as figuras a seguir. 
 
A figura a abaixo representa uma seção da estação espacial perpendicular ao seu eixo de rotação, e o detalhe 
de um astronauta que se encontra encostado na superfície do cilindro externo, no interior da estação 
espacial: 
Considere que: 
• a parede externa é um cilindro de paredes 
finas, raio medindo 𝑅𝑒𝑥𝑡 = 40 𝑚 e massa 
igual 160 toneladas; 
• a parede interna é um cilindro de paredes 
finas, raio medindo 𝑅𝑖𝑛𝑡 = 35 𝑚 e massa igual 
140 toneladas; 
• a haste central é um cilindro oco, raio 
medindo 2 𝑚, comprimento igual a 2𝑅𝑖𝑛𝑡 =
70 𝑚 e massa de 75 toneladas; 
• as tampas laterais são coroas circulares de paredes finas, raio externo medindo 𝑅𝑒𝑥𝑡 = 40 𝑚, raio 
internomedindo 𝑅𝑖𝑛𝑡 = 35 𝑚 e massa de 110 toneladas; 
a) Calcule a velocidade angular necessária para que o astronauta sinta uma aceleração de gravidade 
aparente de intensidade igual a 10 𝑚/𝑠2. Para essa velocidade angular, quanto tempo a estação espacial 
leva para executar uma revolução completa? 
b) Calcule o momento de inércia da estação espacial em relação ao seu centro de rotação. 
c) Calcule o torque externo necessário para manter o movimento de rotação da estação com velocidade 
angular constante. 
 
Exercício 7 
(APS 2018) Uma torre de transmissão de 
30 𝑚 de comprimento e 20 toneladas de 
massa será instalada em uma região plana e 
horizontal. Para isso, primeiramente ela é 
montada no chão e, em seguida, erguida com o 
auxílio de um guindaste. 
 
Pino
Torre
𝑂 
 
 
𝑅𝑒𝑥𝑡 𝑅𝑖𝑛𝑡 
Física do Movimento 
 
 
Com a torre ainda deitada no chão, uma de suas extremidades é pinada no ponto 𝑂 (ou seja, a torre pode 
girar livremente em torno desse suporte, mas o suporte em si é fixo ao chão), como mostra a figura ao lado. 
Em seguida, um guindaste passa a içar a torre por meio de um cabo de aço preso à outra extremidade, como 
pode ser visto nas próximas figuras. A extremidade do cabo conectada ao guindaste sempre permanece 
numa altura de 40 𝑚 e a distância entre o pino da torre e o ponto em que o guindaste está fixado no chão é, 
também, de 40 𝑚 . Além disso, sabe-se que o centro de massa da torre se encontra na metade do seu 
comprimento. 
Instante inicial Instante 𝒕 > 𝟎 
 
Até o instante 𝑡 representado, o plano que contém o guindaste, a torre, a reta perpendicular ao solo e o cabo 
de aço não gira. Inicialmente, o ângulo formado entre o cabo de aço e a reta perpendicular ao solo, a qual 
passa pelo pino e pelo ponto de fixação do cabo no guindaste, tem medida 𝜃0. Posteriormente, num instante 
𝑡, esse ângulo passa a ter medida 𝜃 e a torre forma com o solo um ângulo de medida 𝛼. Como o processo é 
extremamente lento, pode-se admitir que, em todos os instantes, a torre se encontra em equilíbrio. Em um 
certo instante 𝑡, tem-se 𝜶 = 𝟑𝟎° e 𝜽 = 𝟒𝟓°. Nesse instante, determine: 
a) As equações da resultante de forças na torre. 
b) A equação do torque resultante em relação ao pino 𝑂. 
c) A intensidade da tração e das reações no pino 𝑂. 
d) Se, no instante 𝑡 representado na figura o cabo se rompesse, qual seria a aceleração angular da torre 
nesse instante? Considere que o momento de inércia da torre em relação ao ponto 𝑂 seja 𝐼 =
𝑚⋅𝑙2
3
. 
 
Exercício 8 (adaptada de APS 2019) 
A biomecânica estuda a estrutura e a função dos sistemas 
biológicos utilizando princípios e leis da mecânica. Um dos 
ramos de pesquisa da biomecânica é a avaliação dos esforços a 
que estão submetidos músculos, ossos e articulações de um ser 
humano que executa uma determinada tarefa. É o caso do 
levantamento de halteres, ilustrado ao lado. 
 Para determinar a intensidade da tração exercida pelo bíceps 
no antebraço e da força exercida pelo úmero no antebraço 
através da articulação do cotovelo, considere o modelo 
simplificado a seguir (fora de escala). 
Reta perpendicular ao solo Reta perpendicular ao solo
Física do Movimento 
 
 
 
No esquema anterior, o eixo de rotação é representado por O, o ponto de inserção do bíceps no rádio por 
B, o centro de massa do antebraço + mão por G e o ponto de apoio do halteres na mão por H. A linha 
pontilhada representa o eixo do bíceps e o eixo 𝑂𝐻̅̅ ̅̅ do antebraço está na posição horizontal. Considere que 
a massa do antebraço + mão seja igual a 3,0 kg, que a massa do halteres seja igual a 20 kg e que OB = 4 cm, 
OG = 15 cm, OH = 30 cm e  = 60𝑜 . Adote g = 10 m/s2. 
a) Determine a intensidade aproximada da tração no bíceps, em newtons, para a situação de equilíbrio 
estático. Sugestão: utilize o esquema fornecido para marcar as forças e os braços de alavanca. 
b) Determine a intensidade aproximada da força que o braço exerce no antebraço através da articulação 
do cotovelo, em newtons, para a situação de equilíbrio estático. Suponha que a articulação do cotovelo se 
comporte como um apoio do tipo pino. 
c) Suponha que o atleta afrouxe subitamente o seu bíceps, mas sem largar o halteres. Nesse caso, a tração 
no bíceps torna-se momentaneamente nula e o antebraço gira em torno do ponto O (fixo). Determine a 
aceleração angular aproximada do antebraço nesse instante, em 𝑟𝑎𝑑/𝑠2. Para essa situação, considere que 
o antebraço do atleta seja uma barra de massa desprezível e que existam dois corpos puntiformes G e H 
presos a ela. As massas dos corpos G e H são respectivamente iguais a 3 kg e 20 kg. 
 
 Exercício 9 (adaptada de Avaliação Individual - 2020-2) 
Um gerador eólico com três pás sofre uma rajada de vento frontal, que 
aplica forças resultantes em cada pá de sua turbina, como mostra a 
figura. Note que as forças �⃗�1, �⃗�2 e �⃗�3 estão contidas no plano 𝑦𝑧. 
Esse trio de forças produz um torque no eixo da turbina, representado 
pelo ponto A, causando o seu movimento de rotação. 
 
O gráfico ao lado mostra a intensidade da velocidade angular da 
turbina, em 𝑟𝑎𝑑/𝑠, em função do tempo 𝑡, em segundos, nos primeiros 
instantes do movimento. Determine o momento de inércia da 
turbina em relação ao eixo que passa por 𝐴, em 𝑘𝑔𝑚2, sabendo 
que: 
• |�⃗�1| = |�⃗�2| = |�⃗�3| = 150 𝑁; 
• |𝑟1| = |𝑟2| = |𝑟3| = 0,5 𝑚; 
• 𝛼 = 30°; 
• Os únicos torques aplicados na turbina são aqueles 
relacionados às forças �⃗�1, �⃗�2 e �⃗�3. 
 
 
 
0 
 (𝑟𝑎𝑑/𝑠) 
𝑡 (𝑠) 
3,0 
0,5 
Física do Movimento 
 
 
Exercício 10 
Anemômetros são equipamentos que registram a velocidade de fluidos, e são muito usados para medir a 
velocidade do vento em estações meteorológicas. Considere um anemômetro composto por uma barra de 
500 𝑔 e comprimento total de 50 𝑐𝑚, conforme mostra a figura a seguir, e uma cuia de 750𝑔, cujo centro 
de massa está alinhado com a extremidade da barra. Sabendo que a velocidade angular da barra variou 
conforme o gráfico abaixo, determine o torque aplicado pelo vento no instante 2𝑠. Para resolver esse 
problema, considere que a cuia possa ser representada por um corpo puntiforme localizado em seu centro 
de massa. 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 11 (adaptado de Avaliação Final 2023-1-Férias) 
Um disco fino, homogêneo, de massa 20 𝑘𝑔 e raio 150 𝑚𝑚, está ligado à 
extremidade de uma barra biarticulada 𝐵𝐶, de massa desprezível. O disco 
gira com velocidade angular = 60 𝑟𝑎𝑑/𝑠 em torno de 𝐵, no sentido 
indicado na figura, no instante em que é encostado em uma parede vertical, 
de coeficiente de atrito cinético 𝜇𝐶 = 0,3. O centro de massa do disco 
permanece na posição ilustrada na figura durante todo o intervalo de 
tempo entre o instante em que é colocado em contato com a parede e o 
instante em que para de girar. 
Determine o intervalo de tempo necessário para que o disco pare de girar, 
em segundos. São apresentados abaixo os momentos de inércia de um 
disco fino e homogêneo. 
 
 
 
40 𝑐𝑚 10 𝑐𝑚
barra
cuia
vento
Física do Movimento 
 
 
Aulas 14 a 17 - Respostas 
 
1. Em A, a força que o pino aplica na viga é �⃗�𝐴 = −3.133,33�̂� − 950𝑗̂. Em B, a força que a barra aplica na viga 
é �⃗�𝐵 = 3.133,33𝑖̂ + 2350𝑗̂. 
 
2. a) Aproximadamente 513 𝑁 ⋅ 𝑚 
b) 𝑅𝑡 = −2𝐴+ 𝑃 ∙ sen20°; 𝑅𝑛 = 2𝑁𝑑 + 2𝑁𝑡 − 𝑃 ∙ cos20°; 𝜏𝑡 = 𝑃 ∙ cos20° ∙ 0,6 − 2𝑁𝑑 ∙ 1,4 − 𝑃 ∙ sen20° ∙ 0,2 
c) 𝑁𝑑 = 1.769 𝑁; 𝑁𝑡 = 2.929 𝑁 
d) Ao aumentar o ângulo, 𝑁𝑑 diminui e 𝑁𝑡 aumenta. 
 
3. a) 𝐵𝑥 = 0; 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 − 1000 = 0; 𝜏𝐶𝑀
𝑅 = −𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 + 𝜏 = 0 
b) 
 
 
 
 
 
c) 1000 𝑁𝑚 
d) 
 
 
 
 
 
e) Sim! Chegaremos aos mesmos gráficos se equacionarmos o equilíbrio da viga em relação ao ponto B, o 
que mostra que é indiferente o acoplamento do torque 𝜏 no centro de massa ou em qualqueroutro ponto. 
O torque aplicado a um corpo rígido se propaga pela estrutura; 
 
4. a) �⃗⃗� = 500𝑗̂ − 333,33�̂� [𝑁]; 
b) 𝜏𝐵
𝑅 = 𝜏𝐵
𝐴𝑦
+ 𝜏𝐵
𝐴𝑧 + 𝜏𝐵
𝑃 + 𝜏𝐵
𝑇; 
𝜏𝐵
𝑅 = (−0,78𝑖)̂ × 𝐴𝑦 �̂� + (−0,78𝑖̂) × 𝐴𝑧�̂� + (−0,39𝑖̂ + 0,225�̂�) × −1000𝑗̂ + (0,45�̂� + 0,09𝑖)̂ × (500𝑗̂ −
333,33�̂� ) == 0⃗⃗; 
𝜏𝐵
𝑅 = (−0,78𝐴𝑦�̂�) + (0,78𝐴𝑧𝑗)̂ + (390�̂� + 225𝑖)̂ + (45�̂� − 225𝑖̂ + 30𝑗̂) = 0⃗⃗; 
𝜏𝐵
𝑅𝑥 = 225 − 225 = 0; 
𝜏𝐵
𝑅𝑦
= 0,78𝐴𝑧 + 30 = 0; 
𝜏 
𝐴𝑦 
500 
𝐴𝑦(𝜏) =
𝜏
2
+ 500 
𝜏 
𝐵𝑦 
500 𝐵𝑦(𝜏) = −
𝜏
2
+ 500 
𝜏 
𝐴𝑦 
500 
𝐴𝑦(𝜏) =
𝜏
2
+ 500 
𝜏 
𝐵𝑦 
500 𝐵𝑦(𝜏) = −
𝜏
2
+ 500 
Física do Movimento 
 
 
𝜏𝐵
𝑅𝑦
= −0,78𝐴𝑦 + 390 + 45 = 0; 
c) 𝐴𝑧 = −38,46 𝑁; 𝐴𝑦 = 557,69 𝑁; 
𝐵𝑧 = 371,79 𝑁; 𝐵𝑦 = −57,69 𝑁; 
d) 
𝑑�⃗⃗⃗⃗�
𝑑𝑡
= 33,33𝑖 ̂[𝑟𝑎𝑑/𝑠2]. O módulo da aceleração diminui, já que o torque da força peso diminui conforme 
o ângulo entre o vetor posição e a força peso diminui; 
 
5. 𝐴 = 0𝑖̂ + 0𝑗̂ + 750�̂� [𝑁]; �⃗⃗� = 0𝑖̂ − 450�̂� [𝑁]; 𝐶 = 600�̂� [𝑁]; 
 
6. a) = 0,5 𝑟𝑎𝑑/𝑠 e 𝑇 ≅ 12,57𝑠 
b) 𝐼 = 768.875.000 𝑘𝑔 ⋅ 𝑚2 
c) 𝜏𝑅𝑒𝑥𝑡 = 0⃗⃗ 
 
7. a) 𝑅𝑥 = 𝑂𝑥 − 𝑇𝑐𝑜𝑠45° = 0 e 𝑅𝑦 = 𝑂𝑦 − 200.000 + 𝑇𝑠𝑒𝑛45° = 0 
b) 𝜏𝑂
𝑅 = −200.000 ⋅ 15 cos 30° + 𝑇𝑐𝑜𝑠45° ⋅ 30𝑠𝑒𝑛30° + 𝑇𝑠𝑒𝑛45° ⋅ 30𝑐𝑜𝑠30° = 0 
c) 𝑇 = 89,66 𝑘𝑁, 𝑂𝑥 = 63,4 𝑘𝑁 e 𝑂𝑦 = 136,6 𝑘𝑁 
d) 
𝑑𝜔
𝑑𝑡
= −0,43 𝑟𝑎𝑑/𝑠2 (o sinal negativo indica que o sentido de rotação é horário) 
 
8. a) 𝑇  1862 𝑁 
b) 𝐹  1666,78 𝑁 
c) 
𝑑
𝑑𝑡
= −34,54 𝑟𝑎𝑑/𝑠2 
 
9. 𝐼𝐴 = 18,75 𝑘𝑔 ∙ 𝑚
2 
 
10. 𝜏𝑅 = 0,0583 𝑁 ⋅ 𝑚 
 
11. Δ𝑡 ≈ 3,05 𝑠 
 
 
Física do Movimento 
 
 
Tabela com momentos de inércia de configurações clássicas