Torção em Eixos Circulares

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TORÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
Índice
• Introdução
• Deformação por Torção de Eixo Circular
• Fórmula da Torção
• Cálculo do Ângulo de Torção
• Elementos Estaticamente Indeterminados
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Introdução
• Torção / torque:
• Momento que tende a rotacionar um elemento em torno do
seu eixo longitudinal.
• Seu efeito é de interesse principalmente em projetos de
equipamentos mecânicos.
• Também tem sua relevância em estruturas civis.
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Introdução
4
Introdução
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• Torção de um eixo circular:
• As seções transversais continuam planas e as retas radiais
assim permanecem durante a deformação.
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Deformação por Torção
• Se o eixo estiver preso em uma extremidade e for aplicado um
torque na outra, o plano sombreado da figura abaixo se
distorcerá e assumirá uma forma oblíqua.
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ϕ(x) é o ângulo de torção
Deformação por Torção
• A fim de compreender como essa
distorção deforma o material, isola-
se um pequeno elemento localizado
a uma distância ρ do centro do eixo.
• A diferença entre rotações, Δϕ,
torna o elemento sujeito à
deformação de cisalhamento!
• Pela definição de deformação de
cisalhamento:
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

 
2
Deformação por Torção
• Relação entre o comprimento do elemento e a diferença no
ângulo de rotação:
• Quando Δx e Δϕ  0:
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  xLBD



dx
d
Deformação por Torção
• Como dx e dϕ são os mesmos para todos os elementos
localizados na seção transversal em x:
• A deformação de cisalhamento varia linearmente com a
distância ao centroide do eixo.
• Supondo que o material obedece à Lei de Hooke e que este se
encontra no regime elástico, temos que:
• A tensão por cisalhamento varia linearmente com a
distância ao centroide do eixo.
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cdx
d max


 max

 






c
Deformação por Torção
 G max

 






c
Fórmula da Torção
• Para que a seção esteja em equilíbrio, é necessário que a
distribuição de tensão em toda a seção transversal seja igual ao
torque T aplicado:
Onde:
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
A
dAT 
J
c
dA
c
dA
c
T
AA
max2max
max





 





 

A
dAJ 2 MOMENTO POLAR DE 
INÉRCIA!
Fórmula da Torção
• Como as tensões de cisalhamento variam linearmente na seção
transversal, pode-se obter τ em função da distância radial ρ:
• Onde:
• T é o torque aplicado na seção (N.m),
• τ é a tensão de cisalhamento na seção (N/m2 = Pa),
• ρ é a distância radial do centroide ao ponto na seção em que
a tensão de cisalhamento deve ser calculada (m),
• J é o momento polar de inércia (m4).
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J
T
  FÓRMULA DA 
TORÇÃO
Fórmula da Torção
• Note que τ(ρ=0) = 0 e τ(ρ=c) = τmax
• Notas:
• A fórmula do cisalhamento aqui desenvolvida só é válida se
o eixo for circular, com material homogêneo que obedece à
Lei de Hooke.
• A tensão de cisalhamento atua na seção transversal sempre
na direção perpendicular a ρ. A força resultante gerada deve
fornecer uma torção em torno do centroide de módulo,
direção e sentido igual à T.
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Fórmula da Torção
• Momento Polar de Inércia de uma seção circular maciça:
• Elemento na forma de um anel infinitesimal com espessura
dρ e circunferência 2πρ. Deste modo, dA = (2πρ)dρ.
Portanto:
• Momento Polar de Inércia de uma seção circular vazada:
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
A
dAJ 2
 4
int
4
2
ccJ ext 

4
2
cJ


Exemplo 1
A distribuição de tensão em um eixo maciço foi representada em
gráfico ao longo de três linhas radiais arbitrárias, como mostrado
abaixo. Determine o torque interno na seção.
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Usar:
• 8 ksi = 56 Mpa
• 2 pol = 50 mm
Exemplo 2
Determine a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos C e
D do eixo abaixo. O raio interno do eixo mede 15 mm e o raio
externo 30 mm.
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Exemplo 3
Um eixo maciço de raio c é submetido ao torque T. Determinar a
fração de T que é resistida pelo material contida na região externa
do eixo, com raio interno c/2 e raio externo c.
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Ângulo de Torção
• Assim como no caso dos deslocamentos, alguns projetos
podem impor limitações na quantidade de rotação ocorrida
quando um eixo é sujeito a uma torção.
• Suponha que o eixo tenha seção transversal circular e que esta
pode variar ao longo do comprimento.
• Material homogêneo,
• Obedece à Lei de Hooke,
• Despreza-se os efeitos locais de aplicação
da carga e das condições de contorno.
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Ângulo de Torção
• Um disco de comprimento infinitesimal dx é retirado do eixo.
• A rotação relativa entre as faces do disco é dϕ.
• Um elemento localizado no raio ρ sofre uma deformação γ,
de modo que:
• Sendo:
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dxd


 
 
 xJ
xT
G

 
Ângulo de Torção
• Combinando as equações anteriores, temos:
• Deste modo, a rotação relativa entre dois pontos, A e B, nas
coordenadas xa e xb pode ser calculado integrando a
expressão anterior neste domínio:
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 
 
dx
xGJ
xT
dxd 



 
 
b
a
x
x
dx
xGJ
xT

Ângulo de Torção
• Se a área da seção transversal e o torque são constantes ao
longo do comprimento do eixo (xa = 0 e xb = L), então:
• Pode-se utilizar tubos sujeitos à torção para se obter G:
• Um corpo de prova de comprimento e diâmetro
padronizados é colocado em uma máquina de teste de
torção. O torque e o ângulo de torção são medidos em um
comprimento de referência.
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GJ
TL

Ângulo de Torção
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Ângulo de Torção
• Se o eixo estiver submetido a vários torques, a área da seção ou
o módulo de elasticidade mudar abruptamente de uma região
do eixo para outra, a equação apresentada pode ser aplicada a
cada trecho do elemento.
• Neste caso, o ângulo de torção é calculado superpondo os
efeitos de cada trecho, ou seja:
• Convenção de sinais: Regra da Mão Direita.
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
n
i ii
ii
JG
LT

Exemplo 4
Calcular o ângulo de rotação relativo entre as extremidades A e D
da barra abaixo supondo que LAB = LBC = LCD = 0.1 m, r = 0.01 m
e G = 80 GPa.
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Exemplo 5
Determine o ângulo de torção relativo entre os pontos A e B do
eixo abaixo. O raio interno do eixo mede 15 mm e o raio externo
30 mm. Considere G = 80 GPa.
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Exemplo 6
As engrenagens acopladas à extremidade fixa do eixo de aço
estão sujeitas aos torques mostrados abaixo. Se o módulo de
rigidez do material é 80 GPa e o eixo tiver 14 mm de diâmetro,
determine o deslocamento do dente P da engrenagem A. O eixo
gira livremente dentro do mancal em B.
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Indeterminação Estática
• Ocorre quando a equação de equilíbrio não é suficiente para
determinar as reações no eixo.
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0 xM TTT BA 
Indeterminação Estática
• Visto que existem duas incógnitas e somente uma equação de
equilíbrio, o problema é classificado como estaticamente
indeterminado.
• Para se resolver o problema, torna-se necessário a utilização de
uma equação de compatibilidade (cinemática).
• Como as duas extremidades estão presas, o ângulo de
torção de uma extremidade em relação à outra deve ser
nulo, de modo que:
0/ BA
Indeterminação Estática
• Como mostrado anteriormente, a relação entre o esforço de
torção e o ângulo de rotação devido a este esforço é dado por:
• Deste modo:
• Com a equação obtida acima e pelo equilíbrio, temos:
GJ
TL

0/ 
GJ
LT
GJ
LT BCBACA
BA







L
L
TT BC
A 






L
L
TT AC
B
Exemplo 7
O eixo mostrado na figura é composto por um tubo de aço unido
a um núcleo de latão. Se uma torção de 250 N.m for aplicada em
sua extremidade, faça uma representação da distribuição de
tensão de cisalhamento na seção do eixo. Gaço = 80 GPa e Glat =
36 GPa.
30
20 mm
10 mm
250 N.m 800 mm
Exemplo 8
O eixo maciço de aço mostrado na figura tem diâmetro de 20
mm. Se este for submetido aos torques abaixo, determine as
reações de apoio.
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Lista de Exercícios
Hibbeler, R. C. Resistência dos Materiais. 7ª ed. Pearson, 2010.
• Fórmula da Torção (item 5.2):
• 5.1, 5.2, 5.3, 5.6, 5.7, 5.8, 5.9, 5.12, 5.14, 5.15.
• Ângulo de Torção (item 5.4):
• 5.44, 5.45, 5.47, 5.48, 5.50, 5.51.
• Eixos Estaticamente Indeterminados (Item 5.5):
• 5.73, 5.74, 5.75, 5.76,
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