Mecânica hamiltoniana

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1. O que é a mecânica hamiltoniana?
A) Um método para calcular as trajetórias de partículas usando coordenadas e
velocidades.
B) Um formalismo que descreve a evolução do sistema em termos de coordenadas
generalizadas e momentos conjugados.
C) Um método para resolver equações diferenciais de movimento.
D) Um modelo específico para sistemas quânticos.
Resposta correta: B) Um formalismo que descreve a evolução do sistema em termos de
coordenadas generalizadas e momentos conjugados.
Explicação: A mecânica hamiltoniana é um formalismo que reformula a mecânica
clássica em termos de coordenadas generalizadas
q
i
e momentos conjugados
p
i
, fornecendo uma descrição mais abstrata e poderosa dos sistemas dinâmicos.
2. Qual é a função fundamental na mecânica hamiltoniana?
A) A função de onda.
B) A função de Lagrange.
C) O Hamiltoniano,
H(q
i
,p
i
,t).
D) A energia cinética.
Resposta correta: C) O Hamiltoniano,
H(q
i
,p
i
,t).
Explicação: O Hamiltoniano é a função central na mecânica hamiltoniana. Ele descreve
a energia total do sistema (soma da energia cinética e potencial) e depende das
coordenadas generalizadas
q
i
, dos momentos conjugados
p
i
, e do tempo
t.
3. Qual é a relação entre o Hamiltoniano
H e a energia total do sistema?
A)
H é sempre igual à energia potencial do sistema.
B)
H é igual à energia total (cinética + potencial) para sistemas conservativos.
C)
H representa apenas a energia cinética do sistema.
D)
H não tem relação com a energia do sistema.
Resposta correta: B)
H é igual à energia total (cinética + potencial) para sistemas conservativos.
Explicação: Para sistemas conservativos, o Hamiltoniano
H corresponde à energia total, que é a soma da energia cinética e da energia potencial.
Em sistemas não conservativos, o Hamiltoniano pode incluir outros termos, como forças
dissipativas.
4. O que representam as equações de Hamilton?
A) São uma forma de resolver as equações de movimento em sistemas quânticos.
B) São um conjunto de equações diferenciais que descrevem a evolução temporal do
sistema em termos de coordenadas generalizadas e momentos conjugados.
C) São equações para descrever a distribuição de velocidades em um sistema.
D) São uma simplificação da equação de Schrödinger.
Resposta correta: B) São um conjunto de equações diferenciais que descrevem a
evolução temporal do sistema em termos de coordenadas generalizadas e momentos
conjugados.
Explicação: As equações de Hamilton são um par de equações diferenciais (uma para
q
■
i
e outra para
p
■
i
) que descrevem a evolução temporal do sistema. Elas fornecem uma maneira de
calcular as trajetórias das partículas.
5. O que é um momento conjugado
p
i
na mecânica hamiltoniana?
A) A derivada da coordenada generalizada
q
i
em relação ao tempo.
B) A derivada da Lagrangiana em relação à velocidade.
C) A derivada do Hamiltoniano em relação à coordenada
q
i
.
D) A energia potencial do sistema.
Resposta correta: B) A derivada da Lagrangiana em relação à velocidade.
Explicação: O momento conjugado
p
i
é definido como
p
i
=
∂
q
■
i
∂L
, sendo a derivada da Lagrangiana
L em relação à velocidade
q
■
i
. Ele é uma quantidade fundamental na mecânica hamiltoniana e está relacionado à
quantidade de movimento.
6. Qual é a forma geral das equações de Hamilton para coordenadas e momentos?
A)
q
■
i
=
∂p
i
∂H
e
p
■
i
=−
∂q
i
∂H
.
B)
q
■
i
=−
∂p
i
∂H
e
p
■
i
=
∂q
i
∂H
.
C)
q
■
i
=
∂p
i
∂L
e
p
■
i
=−
∂q
i
∂L
.
D)
q
■
i
=
∂q
i
∂L
e
p
■
i
=
∂p
i
∂L
.
Resposta correta: A)
q
■
i
=
∂p
i
∂H
e
p
■
i
=−
∂q
i
∂H
.
Explicação: As equações de Hamilton relacionam a evolução temporal das coordenadas
generalizadas
q
i
e dos momentos conjugados
p
i
com as derivadas parciais do Hamiltoniano
H.
7. O que significa a função de Legendre no contexto da mecânica hamiltoniana?
A) A função que descreve a relação entre as coordenadas generalizadas e as
velocidades.
B) A função que é utilizada para transformar o formalismo de Lagrange para o de
Hamilton.
C) A função que descreve a energia de um sistema em movimento.
D) A função que descreve a troca de energia entre os sistemas.
Resposta correta: B) A função que é utilizada para transformar o formalismo de
Lagrange para o de Hamilton.
Explicação: A função de Legendre é usada para transformar a Lagrangiana
L(q
i
,
q
■
i
) em uma função Hamiltoniana
H(q
i
,p
i
), onde
p
i
são os momentos conjugados. Esse processo é uma mudança de variáveis importante
entre os dois formalisms.
8. O que é o princípio da mínima ação em mecânica hamiltoniana?
A) A ação é mínima no movimento de partículas não interativas.
B) A ação é mínima quando a trajetória é uma reta.
C) A ação é minimizada nos caminhos que levam ao equilíbrio térmico.
D) A ação é minimizada ao longo do caminho seguido pelo sistema entre dois estados,
e é a base para as equações de movimento.
Resposta correta: D) A ação é minimizada ao longo do caminho seguido pelo sistema
entre dois estados, e é a base para as equações de movimento.
Explicação: O princípio da mínima ação, ou princípio de Hamilton, afirma que a
trajetória seguida por um sistema físico é aquela que minimiza a ação, que é a integral
do Lagrangiano (ou Hamiltoniano) ao longo do tempo. Esse princípio fundamenta as
equações de movimento em ambos os formalisms.
9. O que caracteriza um sistema conservativo na mecânica hamiltoniana?
A) O Hamiltoniano não depende do tempo.
B) O Hamiltoniano depende do tempo.
C) O sistema troca energia com o ambiente.
D) O sistema possui interações dissipativas.
Resposta correta: A) O Hamiltoniano não depende do tempo.
Explicação: Em um sistema conservativo, o Hamiltoniano não depende explicitamente
do tempo, o que implica que a energia total do sistema (descrita pelo Hamiltoniano) é
constante ao longo do tempo. Isso ocorre porque o sistema não troca energia com o
ambiente.
10. O que significa a simetria de translação em um sistema hamiltoniano?
A) A energia do sistema é invariável sob transformações de translação no espaço.
B) A posição das partículas é invariável sob translação no espaço.
C) O momento conjugado de uma coordenada é invariável sob translação.
D) O Hamiltoniano não muda com o tempo.
Resposta correta: A) A energia do sistema é invariável sob transformações de
translação no espaço.
Explicação: A simetria de translação implica que as propriedades do sistema, como a
energia, não dependem da posição espacial. Isso resulta na conservação do momento
linear, de acordo com o teorema de Noether.