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Fundação Escola de Comércio Álvares Penteado 
Time series 
Lista 3 
Questão 1- O que quer dizer quando se tem duas variáveis cointegradas? 
Questão 2- Desenvolva o teste de cointegração proposto por Engle e Granger. 
Questão 3- Quais os requisitos para haver cointegração entre as variáveis? (Em relação às 
séries de tempo e a série de resíduos da regressão.) 
 
 Questão 4- 
Considere a seguinte regressão entre yt e zt: 
corretas as afirmativas: 
yt  zt  ut , em que ut é o erro. São 
I- Se yt for I(1) e zt for I(0), então yt e zt são co-integradas. 
II- Se yt for I(0) e zt for I(1), então yt e zt são co-integradas. 
III- Se yt for I(1) e zt for I(1), então yt e zt são co-integradas. 
IV- Se yt for I(1), zt for I(1) e ut for I(0), então yt e zt são co-integradas. 
V- Se ut for I(0) as séries yt e zt são necessariamente co-integradas. 
 
 
Questão 5- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 6- 
 
 
 
 
Observação: considere a título de simplificação que o valor crítico da estatística do teste CRADF 
é muito próximo ao valor crítico da estatística do teste de Dickey-Fuller . (assuma que são iguais). 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 7- Considere o modelo de regressão linear 
 
Ct   0  1Yt  ut , t  1,…,T , 
 
Em que: Ct é o consumo pessoal em t, Yt é a renda pessoal em t e ut é o termo aleatório. 
É correto afirmar que: 
 
I- se Ct e Yt são I(1), então ut será obrigatoriamente estacionário; 
II- se Ct e Yt são I(1), então o teste ADF aplicado aos resíduos da regressão poderá 
identificar a presença de co-integração entre as variáveis; 
III- se Ct e Yt são I(1), mas os resíduos são I(0), então há co-integração entre as 
variáveis; 
IV- se Ct e Yt são I(1) e os resíduos também são I(1), então a regressão de Ct em Yt é 
inválida. 
 
 
 
Questão 8 
 
Um economista estimou dois modelos para demanda por moeda, o primeiro modelo 
considerando as variáveis no nível [regressão 1: mt =14+0,8(yt)+et] e o segundo na primeira 
diferença [regressão 2: dmt =0,3+0,15(dyt)+vt], onde as variáveis são a quantidade de moeda 
(m), como proxy de demanda por moeda, e a renda nacional (y). Sendo ainda: dmt = mt - mt-1 e 
dyt = yt - yt-1. E et e vt os termos de erros. 
 
O economista realizou testes ADF e CRADF cujos resultados, em termos de estatística 
tau estão reportados na tabela abaixo. 
 
Variável mt yt dmt dyt et vt 
Estatística tau -1,792 -1,250 -2,565 -3,450 -1,505 -4,034 
 
Considerando estritamente o valor crítico da tabela ADF e CRADF a 5% que são, neste 
caso, respectivamente iguais –1,955 e –1,673. E, levando-se em conta os parâmetros dos 
modelos estimados são estatisticamente significantes a pelo menos 10%, responda: 
a- O economista está diante de um problema de regressão espúria em algum dos modelos 
estimados? Explique. 
b- Considerando estritamente os resultados indicados, podemos estimar um Mecanismo de 
Correção de Erros para algum dos modelos citados (no sentido de Engle & Granger)? 
Explique. 
 
 
 
 
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Questão 9 
Sejam x3,t e x4,t, respectivamente, a série de tempo dos preços das ações ON e PN da empresa X 
no período recente. Considere os seguintes modelos de regressões (equações 1 a 4) estimadas, 
por um financista, por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO). 
Equação 1: 𝛥𝑥 , = 0,14𝑥 , 
 (-3,04) 
 
Equação 2: 𝛥𝑥 , = 0,21𝑥 , 
 (-2,67) 
 
Equação 3: 𝑥 , = 2,65 + 0,52𝑥 , + �̂� . Sendo que a constante (2,65) e o parâmetro de x4,t 
(0,52) são estatisticamente significantes a 5%. 
 
Equação 4: 𝛥𝑒 = 0,222�̂� 
 (-2,851) 
 
Os números entre parênteses são os valores da estatística (calculada) ‘tau’ de significância 
individual dos parâmetros. Considere que o valor crítico a 5% da estatística de Dickey e Fuller é 
-2,576. 
a- As séries x3,t e x4,t são estacionárias. Explique. 
b- As séries x3,t e x4,t possuem uma relação de equilíbrio de longo prazo, ou seja, cointegram? 
Explique. 
 
 
 
Observação: considere a título de simplificação que o valor crítico da estatística do teste CRADF 
é muito próximo ao valor crítico da estatística do teste de Dickey-Fuller . (assuma que são iguais).