Equações do 1° Grau: Conceitos e Resolução

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Instituto Universal Brasileiro Educação de Jovens e Adultos a Distância BRASILEIRO Curso a distância de: SUPLETIVO PREPARATÓRIO ENSINO MÉDIO 1° Série MatemáticaENSINO MÉDIO TICA SÉRIE AULA 6 EQUAÇÕES DO 1° GRAU CONCEITO Equação Em EQUAÇÃO significa igualdade entre duas sentenças. sinal de = entre as sentenças matemáticas caracteriza uma equação. Resolver uma equação significa calcular o valor ou valores numérico(s) da sua incógnita. é o termo desconhecido, a ser calculado o seu valor. A incógnita é, geralmente representada por embora possa ser usada outra letra qualquer. Conjunto Verdade é o conjunto que possui o valor da incógnita. Conjunto Universo é o conjunto que contém o conjunto Verdade da equação. Se um valor numérico da incógni- ta achado em uma equação não pertencer ao conjunto Universo, conseqüentemente este não pertencerá ao conjunto verdade. E, se nenhum valor da incógnita calculada não pertencer ao conjunto Universo, o conjunto Verdade da equação é o conjunto Vazio. Esses conceitos serão aplicados agora. atento! Exemplo 2 = 11 2 + 5 = 11 é uma equação, pois o sinal de igual (=) a caracteriza. é a incógnita ou termo desconhecido dessa equação. conjunto Universo dessa equação é o conjunto Z. conjunto Z é o conjunto dos números inteiros. Lembrando: Z = { 3, 1, 0, 1, 2, 3, A solução dessa equação é = 3, pois verificando X = 3, 2 . X + 5 = 11 Sentença Verdadeira Como em X = 3 o valor 3 pertence ao conjunto Z, isto é, 3 é um número inteiro, então o conjunto Verdade dessa equação é:Embora o estudo sobre equações seja uma revisão do conteúdo do ensino fundamental, isto é de a série do antigo 1° grau, vale a pena ser estudado novamente. Assim, você poderá fixá-lo e aplicá-lo convenientemente na con- tinuidade do estudo das funções. EQUAÇÃO DO 1° GRAU Uma equação é chamada do 1° grau quando o maior expoente de sua variável for 1. Exemplo é uma equação do 1° grau, pois: é o mesmo que + 3 = 11. Observando que 1 é o maior (e único) expoente de X, a equação é portanto, do 1° grau. Observação: 1 é expoente único, se não considerar que 3 é o mesmo que Como = 1, então 3 = e a equação 2x + 3 = 11 é o mesmo que: Veja outros exemplos de equações do 1° grau: . 8 + 2x 2 5 2x + 3 - 5 Observação importante: As equações dadas como exemplos são equações do 1° grau com uma incógnita. Embora ela apareça numa mesma equação mais de uma vez, ela é única, ou seja é único; ele assume apenas um valor. Em qualquer equação do 1° grau existe apenas um valor para a incógnita (x se for o caso). Definição: Equação do 1° grau (na incógnita x) é toda equação que pode ser reduzida a: onde a E IR* 1° Exemplo 2x + 3 = 11 é uma equação do 1° grau. Observe que 2x 8 = 0 está na forma ax + b = 0. 2° Exemplo - 10 = 0 é uma equação do 1° grau. 3 1 Essa equação é do 1° grau, porque está na forma ax + b = 0, onde a = 3 = 10.3° Exemplo 2 - 5 = 3 é uma equação do 1° grau. Essa equação é do 1° grau porque pode ser reduzida à forma ax + b = 0. Assim procedendo obtemos 3x - 15 = 0. X 2 - 5 é equivalente a onde a = NOTA: No decorrer desta aula você tirará todas as suas dúvidas sobre resolução de equações. Aguarde! RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DO 1° GRAU Vimos que equação é uma igualdade. A sentença à esquerda do sinal de igualdade é chamada 1° membro e a sentença da direita, 2° membro da igualdade. Exemplo 1° membro 2° membro Como o objetivo é obter o valor de vê-se que é preciso isolar a incógnita seja no 1° membro ou no 2° mem- bro da igualdade. Aplica-se então os princípios aditivo e multiplicativo. Como é mais usual, isolaremos o no 1° membro. Para isso precisaremos relembrar dois príncipios da igualdade. Veja: - princípio aditivo da igualdade: somando-se ou subtraindo-se aos dois membros de uma igualdade um mes- mo número, esta não se altera. Então, se: a + n = ou princípio multiplicativo da igualdade: multiplicando-se os dois membros de uma igualdade por um mesmo 1 número n (ou pelo seu inverso a igualdade não se altera, desde que n # 0). n Então, se: ou a n = 1 n a b = n nEquação do 1° grau 2x + 5 = 11 (U=Z) 2x + 5 Conjunto Universo = Z = 11 1° membro membro 2x + 11 - 5 Aplicando-se princípio aditivo - (subtraimos 5 em 2x = 11 - 5 ambos os membros da igualdade) 2x 6 Aplicando-se o multiplicativo - (multiplicamos por = 2 1 ambos os membros da igualdade) 2 6 2 Como 3 E Z, NOTA: Com a aplicação dos princípios aditivo e multiplicativo nas igualdades, dá-se a idéia de que um termo é "transportado" de um membro para outro da igualdade. Isso facilita a resolução de uma equação. Contudo, é preciso que se entenda que ao "transportar" um termo para o outro lado da igualdade, "transporta-se" o mesmo trocando a operação que ele realiza, pela operação inversa, no outro membro. Por exemplo, se um termo está "somando" no 1° membro, ele é "transportado" e fica "subtraindo" no 2° membro. Com esse "artifício de transportar para o outro lado", a resolução de equações do 1° grau fica bem mais fácil. Será assim que procederemos daqui em diante. Observe: Equação do 1° grau 2x + 5 = 11 "transportando + 5" (Repare que 5 está "somando") 2x 11 5 5 "veio subtraindo" no membro 2x = 6 "transportando 2 (Repare que 2 está "multiplicando") 6 X = 2 no membro 2 veio dividindo. Atenção! Note que o 2 foi transportado com o mesmo sinal. Inverteu-se apenas a operação.Resumindo ... 2x 2x = 6 6 Outro exemplo: Resolveremos a equação Resolução: = 6 - 18 - 3x = -12 -3 Observação: Quando tem-se por exemplo, 3x = 12 pode-se multiplicar ambos termos por -1 para elimi- nar o sinal negativo de - 3, daí: 3x 12 12 3 NOTA: Quando não for dado o conjunto de definição de uma equação, ou seja, o conjunto Universo, este será o maior conjunto que você conhece, no caso o conjunto IR dos números reais. EXERCÍCIOS PARA VOCÊ ESTUDAR 1. Determine o conjunto verdade das seguintes 2. Resolver a equação 3x + 8 = 12 equações: Comentário: Q = conjunto dos números Racionais. a) 3x - 16 = 11 (U=IN) Números racionais são aqueles possíveis de serem Resolução: 3x - escritos em forma de fração. 3x = 11 + 16 São racionais: 3x = 27 - Os números naturais Os números inteiros - Os números fracionários - Os números decimais e E IN - As dízimas periódicas. Não são racionais: b) 5x + 8 = 12 (U=IN) - As raízes inexatas de números racionais. Resolução: 5x + 8 = 12 5x = Exemplo: V 2, V 3, 1 5 etc. - número (pi) : = 3,141592... 4 4 Resolução: = 5 Como 5 IN 3x =5x - 9x 4 4 X = 3 ; 3 E Q 4x = 5 V = { 4 3 5 X ; 4 3. Assinale a alternativa correta. Comentário: valor de a A raiz da equação 6. Assinalar a alternativa correta. a) (X) 4 Considerando o conjunto Universo U = b) - 10 c) ( ) conjunto 0 ( vazio ) é conjunto verdade da equação: d) 10 Resolução: 4x a) (X) 6x b) ( ) 3 - 2x - 3x c) 2 + 12 Resoluções: = A alternativa correta é a a - 4. Dado U = Z, o conjunto verdade da equação = -2 5 : -2 5 5 a) ( ) A alternativa a é correta. 4 b) Observe que nas equações das demais alternativas, o conjunto verdade não é 0 : -5 c) ( ) - 4 b) - 9 = 9 - 3 ( ) { 4 5 = 6 d) 6 Resolução: 5x + ; que 3 X c) + 1 2 X 2 5 4 5 V=0 X = 4 ("Transportando o 2 que está dividin- 2 do, multiplicando, para o 2° membro"). 5. A raiz da equação 5x + 3 = 9x a) ( ) { 4 5 } 8 E Z ; b) 5 4 2 = - 4 Resolução:7. Resolver a equação: = X + 3 5 = 3 5 + = 5 Resolução: "Transportando" o 3 que está dividindo no 1° membro, para o 2° membro, multiplicando. = 13 4x - 1 = X + 20 3 A 10 é raiz dessa equação. (Aplicando propriedade distributiva) c) 4x 4 4 - = 60 + 1 10 não é raiz (F) dessa equação d) 5x + Prova: (Não é necessário tirar prova). Isso é apenas uma verificação para você observar: (F) 10 não é raiz = X + 20 3 dessa equação 4 3 - = 61 + 20 244 - 1 = 81 61 1 9. Resolver a equação: 243 = 81 2x 7 1 3 4 = 2 Comentário: Resolve-se essa equação aplicando a regra das proporções, ou reduzindo as frações ao 8. é raiz da equação : mesmo denominador comum. a) 2x - 8 1°) Pela propriedade das proporções: multiplica-se "cruzado" pois o produto dos meios é igual ao produto 5 = + dos extremos: c) 4 - 1 4 2 d) 5x + 10 = 0 Verificando as alternativas, substituindo X por 10: a) 4x = 18 18 4 20 - 7 = 18 9 Simplificando: 9 13 = 18 ( = F) 10 não é raiz dessa equação. = 2 22° ) Pela redução das frações ao mesmo denominador + X 3 4 = 1 - 6 comum: m.m.c. (4,2) = 4 12 4x + - 3 12x 2x 2x - 7 1 4,2 2 = 4 2 2 1.1 2 x 2 2 4' = 4' 4x 9 2x = = 7x - 10x = -3 - -3x = 11. Resolver a equação: m.m.c. (3,4,6) = 12 3 3,4,6 2 3 X X + 1 X 3,2,3 3 + 4 = - 2 3,1,3 3 2 x 2 x 3 = 12 EXERCÍCIOS PARA VOCÊ RESOLVER 1. Resolver a equação - 6. Resolver a equação: 2. Identifique e marque com (X) as equações que são do 3 + 2 + 14 dado 1° grau. 7. Determine a raiz das equações seguintes: a) - - - 1 c) = 12 b) d) ( - 0 3 d) 4 - = 6 e) - f) = - X 2 = 5 6 g) ) 5 + X 3 3. Determine conjunto verdade da equação 8. A equação cuja raiz é 4, é: (U = Z) a) ( ) 4x - 4. Determine o conjunto verdade da equação b) - U=Z) 3x 2 - 5. Determine o conjunto verdade da equação ( U=Z) =c) ( ) 4 9. A equação 2 - 5 = 3 tem como raiz inteira d) o número: 3 a) 2 10. Verifique se 1 é raiz da equação 2x + 11 5 4 = + 2 CHAVE DE RESPOSTAS 1. Resolver a equação 4x - expoente 1, não é uma equação a uma equação do 1° grau. Veja: 5 5 3 + 1 = m.m.c. X 1 3 : 3 E IN 5 + 3x = X 2. Identifique e marque com (X) as equações que são do 5 + 3x = - X x2 1° grau. - X a) (X) b) (X) 8 - 2x = 10 c) d) Observe que esta é uma equação do grau. e) ( ) f) 3. Determine o conjunto verdade da equação 5 g) Comentário: As equações dos itens e e não são do 1° grau, pois possuem incógnita com expoente diferente de 1. Observe que há incógnita com expoente 2 e nesse 2x = 15 - 9 caso elas são equações do 2° grau e serão estudadas na próxima apostila. 6 2 A equação do item g, embora contenha incógnita com Z4. Determine o conjunto verdade da equação (U=Z) b) 5x - 3x c) 20 + 8 = 4x 5. Determine o conjunto verdade da equação 28 = 4x ou 4x = 28 (U=Z) 28 d) 4 = - 2 ; 2 7 6. Resolver a equação: X 4x = -36 + 6 3 (-1) 3x = -30 (-1) X 3 X 7 3x 14 + = + m.m.c. (3,2)=6 2x 42 9x 84 = = 6 5 ("multiplicando cruzado", vem:) = 9x + 84 = 5 - - 7x = 42 (-1) 7x = - 42 7 5x - 5x = -3 - 3 7. Determine a raiz das equações seguintes: =-6 a) - (-1) - é indeterminado, pois não é possível dividir 0 4x = 11 por zero, uma vez que uma fração indica uma divisão. 4 Portanto X é indeterminado.8. 5x + 15 - 2x = 30 A equação cuja raiz é 4, é: 3x = 15 a) 4x - b) 15 3 d) ( ) 5x = 8 7x 10. Verifique se 1 é raiz da equação 2x + 11 4 5 Resolução: Verifica-se cada alternativa até encontrar a Há duas formas de se resolver: correta, substituindo X por 4: 1°) Calculando a raiz da equação: a) 2x + 11 X 5 = + m.m.c. (4,2) 4 Sentença falsa = 4' (-1) - Sentença falsa 1 2 c) 3x 2 - = Resposta: Como 2 1 diferente de 1, então 1 não 12 é raiz da equação dada. OU: Sentença 2°) Resolve-se ainda, substituindo-se X por 1: verdadeira A alternativa c é a correta. 5 4 9. A equação 2 - X 5 = 3 tem como raiz inteira 4 = 2 5 o número: 1 4 = 1 2 3 a) ( ) 2 13 1 5 4 = 1 + 2 m.m.c. b) ( ) 2 c) ( ) 4 13 4 10 = + d) 4 4 4 Resolução: - 5 = 3 1 m.m.c. = 10 4 = - 10 2x -1-0 30 13 4 = 14 4 ( ) 1 não é raiz