aula_3_BIO

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DA AMAZÔNIA
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
CAMPUS DE TOMÉ-AÇU
Estatística
Aula 3
Profa. Msc. Shirlaine Moraes e Souza
Tomé-Açu/PA
2025
1. Medidas de Tendência Central
1.1. Média Aritmética
1.2. Mediana
1.3. Moda
1.4. Medidas Separatrizes
1. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
São medidas representativas das
características avaliadas pelos seus valores
centrais, em torno dos quais tendem a concentrar-
se os dados. Tais medidas possibilitam
comparações de séries de dados pelo confronto de
seus valores.
As medidas de tendência centrais mais
utilizadas são:
 média aritmética,
 moda e
 mediana.
1.1. Média Aritmética ( ):
É obtida pela soma de todos os valores de
uma variável X dividida pelo número total de
observações (n):
n
X
n
XXX
X
n
i
i
n



 121 ...
X
Exemplo: Sabendo-se que o atendimento diário em uma
Clínica de Oftalmologia, durante uma semana foi de 10,
14, 13, 15, 16, 18 e 12 pacientes, temos para
atendimento médio diário na semana de:
pacientes
7
12181615131410 
X
14
7
98
X
a) Sem intervalos de Classe:
Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de
quatro filhos, tomando para variável o nº de filhos do gênero
masculino. Calcularemos a quantidade média de meninos por
família:
Como as frequências são números indicadores da intensidade
de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de
ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética
ponderada:
, em que









k
i
i
k
i
ii
k
kk
f
Xf
fff
XfXfXf
X
1
1
21
2211
)(
...
... nf
k
i
i 
1
Que na prática pode ser determinado como:
b) Com intervalo de Classe:
Neste caso, convencionamos que todos os valores
incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem
com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética
ponderada por meio da fórmula com agora sendo o ponto
médio da classe.
Exemplo: Calcular a estatura média de bebês conforme a
tabela abaixo.
Aplicando a fórmula temos: cm.
iX
 
61
40
2440
1
1 
f
Xf
X
k
i
i
k
i
ii







1.2 Mediana
 Colocados os valores em ordem crescente de
grandeza (rol), a mediana será o valor que
ocupa a posição central da série de dados,
ou seja, é o valor que divide a série em duas
partes com números iguais de elementos.
 A mediana é preferível à média quando se está
interessado em conhecer exatamente o centro da
distribuição dos dados, ou ainda, quando os
valores extremos podem afetar sensivelmente a
média.
O cálculo da mediana é feito sob duas
condições:
1.2.1 Mediana em dados não-agrupados:
Dada uma série de valores como, por
exemplo: {5, 2, 6, 13, 9, 15, 10}.
De acordo com a definição de mediana, o
primeiro passo a ser dado é o da ordenação
(crescente ou decrescente) dos valores:
{2, 5, 6, 9, 10, 13, 15}.
O valor que divide a série acima em duas
partes iguais é igual a 9, logo = 9.dM
i) Método Prático para o cálculo da Mediana:
a) Se a série de dados tiver número ímpar de 
termos: 
 O valor mediano será o termo que ocupa a posição 
central do rol, ou seja, o termo cuja posição é dada 
pela fórmula: (n + 1)/2
Ex: Calcule a mediana da série {1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5}
 1º - ordenar a série {0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5}
 2º - calcular a posição: n = 9, logo (n + 1)/2 é dado por 
(9+1) / 2 = 5, ou seja, o 5º elemento da série ordenada 
será a mediana.
Portanto, a mediana será o 5º elemento, então = 2dM
b) Se a série dada tiver número par de termos:
 O valor mediano será a média aritmética dos valores
centrais do rol, ou seja, os termos que ocupam a posição n/2
e n/2+1
Ex: Calcule a mediana da série {1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6}
 1º - ordenar a série {0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6}
 2º - calcular a posição: n = 10 logo a mediana será a média
aritmética do termo que ocupa a posição n/2 = 10/2 =5, ou
seja, o 5º termo e do termo que ocupa a posição n/2+1 =
10/2+1 = 6, ou seja, o 6º termo.
 No rol: 5º termo = 2 e 6º termo = 3
 A mediana será a média aritmética do 5º e 6º termos da
série, ou seja = (2+3) / 2 ou seja, = 2,5.dM
1.2.2 Mediana para dados agrupados
a) Sem intervalos de classe:
Neste caso, é o bastante identificar a
frequência acumulada imediatamente superior
à metade da soma das frequências.
A mediana será aquele valor da variável
que corresponde a tal Frequência acumulada.
Exemplo: conforme distribuição de frequências
abaixo:
 Quando o somatório das frequências for ímpar o
valor mediano será o termo que ocupa a posição
dada pela fórmula:
 Como o somatório das frequências = 35 a fórmula
ficará: (35+1)/2 = 18º termo. Localizando na coluna
da variável (Xi), = 3.
2
1 if
dM
 Exemplo: Calcule a Mediana da distribuição de
frequências abaixo:
 Quando o somatório das frequências for par o valor
mediano será a média aritmética dos valores centrais
da distribuição, ou seja, os termos que ocupam a
posição e
 Localizando a posição da mediana na frequência
acumulada teremos: 8/2 = 4º termo e 8/2+1 = 5º termo.
 Localizando na coluna da variável (Xi), o 4º termo = 15
e o 5º termo = 16. Logo = (15 + 16) / 2 = 15,5
2
 if
1
2
 if
dM
b) Com intervalos de classe: Devemos seguir os
seguintes passos:
1º) Determinamos as frequências acumuladas;
2º) Calculamos para localizar a classe mediana;
3º) Marcamos a classe correspondente à frequência
acumulada imediatamente superior à . Tal classe
será a classe mediana;
4º) Calculamos a Mediana pela fórmula:
onde: = Limite inferior da classe da mediana;
= Frequência acumulada anterior à classe que contém 
a mediana;
= Frequência simples da classe da mediana;
= Intervalo de classe.
il
if
h
h
f
F
n
lM
i
anti
id x2 .)(









 

)(antiF
2
n
2
n
Exemplo:
1º Localizar a classe mediana: . A frequência
acumulada que contém a 20ª unidade é a 3ª classe
(classe mediana será 58 |─ 62)
2º Identificar os elementos da fórmula na classe
mediana:
= 58; = 13; = 4 e = 11;
3º Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:
20
2
40
2
 if
il h if)(antiF
 
55,604
11
.1320
58 

Md
1.3 Moda ( )
A moda é o valor que ocorre com maior
frequência ou o valor que mais se repete.
Quando a série de dados é tal que as
frequências são maiores nos extremos, ou quando se
quer destacar um valor de alta frequência ou quando
se pretende obter uma medida rápida e aproximada
da tendência central, a moda pode então, ser
considerada para a interpretação dos dados.
Com relação à moda, uma série de dados pode
ser classificada em:
 amodal (não possui moda),
 unimodal (possui apenas uma moda),
 bimodal (possui duas modas) ou
 multimodal (possui mais de duas modas).
oM
1.3.1. A Moda quando os dados não estão
agrupados
 A moda é facilmente reconhecida: basta, de
acordo com definição, procurar o valor que mais
se repete.
Ex: Na série {7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12} a moda é
igual a 10.
 Há séries nas quais não exista valor modal, isto é,
nas quais nenhum valor apareça mais vezes que
outros.
Ex: { 3, 5, 8, 10, 12, 2, 1, 0 } não apresenta moda.
 A série é amodal.
 Em outros casos, pode haver dois ou mais
valores de concentração. Dizemos, então, que
a série tem dois ou mais valores modais.
Ex: {2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9 } apresenta duas
modas: 4 e 7.
 A série é bimodal.
1.3.2 A Moda quando os dados estão
agrupados
a) Sem intervalos de classe: Uma vez agrupados
os dados, é possível determinar imediatamente a moda:
basta localizar o valor da variável de maior frequência.
Ex: Qual a temperatura mais comum medida no mês
abaixo:
Resp: 2º C é a temperatura modal, pois é a de maior
Frequência.
b) Com intervalos de classe:
 A classe que apresenta a maior Frequência é
denominada classe modal.
 Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste
caso, é o valor dominante que está compreendido
entre os limites da classe modal.
O método mais simples para o cálculo da moda
consiste em tomar o ponto médio da classe modal.
Damos a esse valor a denominação de moda bruta.
onde = limite inferior da classe modale = limite superior
da classe modal.
2/)( sio llM 
il sl
Exemplo: Calcule a estatura modal conforme a
tabela abaixo.
Resposta: a classe modal é 58|─ 62, pois é a de
maior frequência. = 58 e = 62
= (58+62) / 2 = 60 cm (este valor é estimado,
pois não conhecemos o valor real da moda).
il sl
oM
Método mais elaborado pela fórmula de 
CZUBER:
onde: = Limite inferior da classe modal;
= Frequência modal;
= Frequência simples anterior à classe modal;
= Frequência simples posterior à classe modal;
= Intervalo de classe.
h
fff
ff
lM
postantMo
antMo
io 











)(2
)(
il
Mof
antf
postf
h
Exemplo: Calcule a Moda da tabela do exemplo
anterior pelo processo de CZUBER
Obs.:
 A moda é utilizada quando desejamos obter uma
medida rápida e aproximada de posição ou
quando a medida de posição deva ser o valor mais
típico da distribuição.
 Já a média aritmética é a medida de posição
que possui a maior estabilidade e
 A mediana é a medida mais central.
  6,594
89112
911
58 







Mo
1.4. MEDIDAS SEPARATRIZES
Além das medidas de posição que estudamos,
há outras que, consideradas individualmente, não
são medidas de tendência central, mas estão
ligadas à mediana relativamente à sua
característica de separar a série em partes que
apresentam o mesmo número de valores.
Essas medidas - os quartis, os decis e os
percentis - são conhecidas pelo nome genérico de
separatrizes.
1.4.1 Quartis (Qq)
 Denominamos quartis os valores de uma série
que a dividem em quatro partes iguais.
 Precisamos portanto de 3 quartis (Q1 , Q2 e Q3)
para dividir a série em quatro partes iguais.
Obs: O quartil 2 (Q2) sempre será IGUAL A
MEDIANA DA SÉRIE.
i) QUARTIS EM DADOS NÃO AGRUPADOS
 O método mais prático é utilizar o princípio do
cálculo da mediana para os 3 quartis.
 Na realidade serão calculadas “3 medianas” em
uma mesma série.
Exemplo 1: Calcule os quartis da série: {5, 2, 6, 9, 10, 13,
15}
 O primeiro passo a ser dado é o da ordenação dos
valores:
{2, 5, 6, 9, 10, 13, 15}.
 O valor que divide a série acima em duas partes iguais
é igual a 9, logo a Md = 9 que será = Q2 = 9.
 Temos agora {2, 5, 6} e {10, 13, 15} como sendo os dois
grupos de valores iguais proporcionados pela mediana
(quartil 2).
Exemplo 1 (cont):
 Para o cálculo do quartil 1 e 3 basta calcular as
medianas das partes iguais provenientes da
verdadeira Mediana da série (quartil 2).
 Logo em {2, 5, 6} a mediana é = 5. Ou seja, será o
Quartil 2 = Q2 = 5 = Q1
 Em {10, 13, 15} a mediana é =13. Ou seja será o
Quartil 2 = Q2 = 13 = Q3
Exemplo 2: Calcule os quartis da série:
{1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13}
 A série já está ordenada, então calcularemos o
Quartil 2 = Md = (5+6)/2 = 5,5
 O quartil 1 será a mediana da série à esquerda
de Md: {1, 1, 2, 3, 5, 5}
Q1 = (2+3)/2 = 2,5
 O quartil 3 será a mediana da série à direita de
Md: {6, 7, 9, 9, 10, 13}
Q3 = (9+9)/2 = 9
ii) Quartis para dados Agrupados em intervalos de classes
A fórmula para determinação dos quartis para dados
agrupados é semelhante à usada para o cálculo da mediana.
Passos para Determinação do Quartil ( ):
1º passo: calcula-se a posição: ;
2º passo: identifica-se a classe pela coluna das Frequências 
Acumuladas;
3º passo: Aplica-se a fórmula: , para 
q= 1, 2, 3
onde: = Limite inferior da classe do Quartil;
= Frequência acumulada anterior a classe do Quartil;
= Frequência simples da classe do Quartil;
= Intervalo de classe.
qQ
44
1 qn
p
fq
p
k
i
i




 ou 
qQ
h
f
F
n
q
lQ
iQq
antAc
qiQq 









 

)(4
qiQl
)(antAcF
qiQf
h
Exemplo 3 - Calcule os quartis da tabela abaixo:
O quartil 2 = , logo: . Logo a classe mediana 
será 58 |─ 62
li = 58; = 13; fi = 11; hi = 4
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos: 
O quartil 1: 
O quartil 3: 
10
4
401 p
30
4
403 p 654
8
2430
623 


 
Q

)(antAcF
20
4
402 pdM
ଶ
ଵ
Exemplo 3 - Calcule os quartis da tabela abaixo:
1.4.2 Decis
A definição dos decis obedece ao mesmo princípio
dos quartis, com a modificação da porcentagem de
valores que ficam aquém e além do decil que se pretende
calcular.
A fórmula básica será: k×fi /10 onde k é o
número de ordem do decil a ser calculado. Indicam-se os
decis: D1, D2,... , D9.
Deste modo precisa-se de 9 decis para se dividir
uma série em 10 partes iguais.
De especial interesse é o quinto decil, que divide o
conjunto em duas partes iguais. Assim sendo, o QUINTO
DECIL É IGUAL AO SEGUNDO QUARTIL, que por sua
vez É IGUAL À MEDIANA.
Para D5 tem-se: 5xfi / 10 = fi / 2
Exemplo: Calcule o 3º decil da tabela anterior com 
classes.
 k= 3 onde 3x (fi / 10) = 3 x 40/10 = 12. Este 
resultado corresponde a 2ª classe.
ଷ
1.4.3 Percentil ou Centil
 Denomina-se percentis ou centis como sendo os 
noventa e nove valores que separam uma série em 100 
partes iguais. Indicamos: P1, P2,... , P99.
 É evidente que P50 = Md; P25 = Q1 e P75 = Q3.
 O cálculo de um centil segue a mesma técnica do 
cálculo da mediana, porém a fórmula será: k×fi /100, 
onde k é o número de ordem do centil a ser calculado.
 Para P45 temos: 45×fi /100 
Ex: Calcule o 45º Centil da tabela anterior com classes.
Relação entre as Medidas Separatrizes:
Uma relação importante entre as quatro
Medidas Separatrizes é na verdade uma relação até
visual, que não precisamos fazer esforço para
percebê-la, basta traçar uma reta horizontal (que
representará o conjunto de dados), e depois fazer as
divisões, exatamente como mostramos nas seções
anteriores, como pode ser visto a seguir:
Daí, concluí-se sem maiores dificuldades que:
5052 PDQMd 
EXERCÍCIO:
 Determine a média, a mediana e a moda das 
séries:
a) 2; 5; 8; 10; 12; 8; 5; 12; 9; 12
b) 20; 12; 16; 11; 18; 20; 22; 20; 17; 22; 23.
c) 1,65; 1,50; 1,70; 1,65; 1,80; 1,50; 1,65; 1,90; 1,50,
 Observando-se as “mesadas” dos alunos do Curso de Engenharia
Agrícola, foram obtidos os seguintes valores em reais:
De acordo com os dados, responda:
a) A média aritmética, a mediana e a moda para o conjunto de dados não
agrupados?
b)Construa a distribuição de frequências por intervalos.
c ) A frequência simples ou absoluta. j) Moda
d) A frequência relativas. l) Q3
e) As frequências acumuladas das classes. m) D4
f) Frequência relativa acumulada n) P30
g) Percentual simples.
h) Percentual acumulado.
i) Os pontos médios das classes.
j) A média
l) A mediana
800 500 700 400 200 700 500 700 300 900 600
400 800 200 800 200 600 700 400 800 1000 400
200 300 900 500 400 300 500 400 120 200 400
Exercício: Consideremos a distribuição de frequência por classes das
alturas dos 40 alunos da turma de Engenharia Agrícola e vamos
calcular o que pede-se
a) A frequência relativas.
b) As frequências acumuladas das classes.
c) Frequência relativa acumulada
d) Percentual simples.
e) Percentual acumulado.
f) Os pontos médios das classes.
g) A média
h) A mediana
i) A moda.
j) Q3
k) D4
l) P30