MATEMATICA - PARTE 1

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CONJUNTOS NÚMERICOS 
 
Conjunto dos Números Naturais (N) 
O conjunto dos números naturais é representado por N. Ele reúne os números que usamos para 
contar (incluindo o zero) e é infinito. 
No conjunto dos naturais, há apenas números positivos (além do zero). Nele, um novo número 
sempre pode ser obtido ao adicionar uma unidade ao número anterior. 
Subconjuntos dos Números Naturais 
• N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, 
sem o zero. 
• Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares. 
• Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares. 
• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números naturais primos. 
Conjunto dos Números Inteiros (Z) 
O conjunto dos números inteiros é representado por Z. Reúne os elementos dos números naturais 
(N) e seus opostos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z, assim, N ⊂ Z (N está contido em 
Z). 
Z contém N 
É possível obter sempre um sucessor, ao adicionar uma unidade ao elemento anterior. Também é 
possível obter sempre um antecessor, ao subtrair uma unidade do anterior. 
O conjunto dos inteiros é infinito, tanto no sentido dos negativos como dos positivos. 
Subconjuntos dos Números Inteiros 
• Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos números inteiros não-
nulos, ou seja, sem o zero. 
• Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros e não-negativos. Note que Z+ = N. 
• Z*
+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero. 
• Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos. 
• Z*
– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero. 
Conjunto dos Números Racionais (Q) 
O conjunto dos números racionais é representado por Q. Reúne todos os números que podem ser 
escritos na forma: 
https://www.todamateria.com.br/numeros-naturais/
https://www.todamateria.com.br/numeros-inteiros/
https://www.todamateria.com.br/numeros-racionais/
, 
sendo a e b números inteiros e b ≠ 0. 
Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...} 
Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q. 
Q contém Z 
Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais. Elas são números decimais 
que se repetem após a vírgula, por exemplo: 1,4444444444... Embora possua infinitas casas 
decimais, pode ser escrito como a fração 13/9. 
Subconjuntos dos Números Racionais 
• Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem 
o zero. 
• Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos números racionais 
positivos e o zero. 
• Q*
+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais 
positivos, sem o zero. 
• Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais 
negativos e o zero. 
• Q*– = subconjunto dos números racionais negativos, formado pelos números racionais 
negativos, sem o zero. 
 
Conjunto dos Números Irracionais (I) 
O conjunto dos números irracionais é representado por I. Reúne os números decimais não 
exatos com uma representação infinita e não periódica, por exemplo: 3,141592... ou 
1,203040... 
Os números irracionais não contêm os racionais. São conjuntos sem intersecção. 
https://www.todamateria.com.br/numeros-irracionais/
 
A intersecção entre os racionais e os irracionais é vazia. 
 
Conjunto dos Números Reais (R) 
O conjunto dos números reais é representado por R. Esse conjunto é formado pelos números 
racionais (Q) e irracionais (I). Assim, temos que R = Q ∪ I (união entre os racionais e os 
irracionais). 
Além disso, N, Z, Q e I são subconjuntos de R. 
 
O conjunto dos reais contém todos os anteriores. 
Subconjuntos dos Números Reais 
• R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos. 
• R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos. 
• R*
+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos. 
• R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos. 
• R*
– = {x ∈ R│xComo o sistema padrão de medida de massa é decimal, as transformações entre os múltiplos e 
submúltiplos são feitas multiplicando-se ou dividindo-se por 10. 
https://www.youtube.com/watch?v=mdYL0FjIKBM
Para transformar as unidades de massa, podemos utilizar a tabela abaixo: 
 
Aula (6 min) - https://www.youtube.com/watch?v=WFGQelMfd5U 
 
Medidas de Volume 
A medida de volume no sistema internacional de unidades (SI) é o metro cúbico (m3). Sendo que 1 
m3 corresponde ao espaço ocupado por um cubo de 1 m de aresta. 
Neste caso, o volume é encontrado multiplicando-se o comprimento, a largura e a altura do cubo. 
 
As unidades do sistema métrico decimal de volume são: quilômetro cúbico (km3), hectômetro cúbico 
(hm3), decâmetro cúbico (dam3), metro cúbico (m3), decímetro cúbico (dm3), centímetro cúbico 
(cm3) e milímetro cúbico (mm3). 
As transformações entre os múltiplos e submúltiplos do m3 são feitas multiplicando-se ou dividindo-
se por 1000. 
Para transformar as unidades de volume, podemos utilizar a tabela abaixo: 
 
Aula (7 minutos) - https://www.youtube.com/watch?v=105pfqwyduw 
https://www.youtube.com/watch?v=WFGQelMfd5U
https://www.youtube.com/watch?v=105pfqwyduw
Medidas de Tempo 
Existem diversas unidades de medida de tempo, por exemplo a hora, o dia, o mês, o ano, o século. 
No sistema internacional de medidas a unidades de tempo é o segundo (s). 
O segundo é definido como a duração de 9 192 631 770 períodos da radiação correspondente à 
transição entre os dois níveis hiper finos do estado fundamental do átomo de césio 133. 
Muitas vezes necessitamos transformar uma informação que está, por exemplo, em minuto para 
segundos, ou em segundos para hora. 
Para tal, devemos sempre lembrar que 1 hora tem 60 minutos e que 1 minuto equivale a 60 
segundos. Desta forma, 1 hora corresponde a 3600 segundos. 
Assim, para mudar de hora para minuto devemos multiplicar por 60. Por exemplo, 3 horas equivalem 
a 180 minutos (3x60 = 180). 
O diagrama abaixo apresenta a operação que devemos fazer para passar de uma unidade para outra. 
 
O intervalo de tempo de uma rotação completa da terra equivale a 24h, que representa 1 dia. 
O mês é o intervalo de tempo correspondente a determinado número de dias. Os meses de abril, 
junho, setembro, novembro têm 30 dias. 
Já os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro possuem 31 dias. O mês de 
fevereiro normalmente têm 28 dias. Contudo, de 4 em 4 anos ele têm 29 dias. 
O ano é o tempo que a Terra leva para dar uma volta completa ao redor do Sol. Normalmente, 1 ano 
corresponde a 365 dias, no entanto, de 4 em 4 anos o ano têm 366 dias (ano bissexto). 
Aula (5 minutos) - https://www.youtube.com/watch?v=XPVu6ThD3O0 
 
Medidas de Área 
O cálculo de áreas é uma parte da Geometria que possui uma variedade de aplicações no cotidiano. 
A área pode ser calculada através do produto entre duas dimensões do plano: comprimento x 
largura ou base x altura. Existem algumas expressões algébricas matemáticas que são associadas a 
figuras geométricas, possibilitando o cálculo de suas áreas. As unidades usuais de áreas, de acordo 
com o SI (sistema internacional de unidades), são as seguintes: 
km² = quilômetro quadrado, hm² = hectômetro quadrado, dam² = decâmetro quadrado, m² = 
metro quadrado, dm² = decímetro quadrado, cm² = centímetro quadrado, mm² = milímetro 
quadrado. 
https://www.youtube.com/watch?v=XPVu6ThD3O0
 
Aula (6 minutos) - https://www.youtube.com/watch?v=Q5uS6UITvd8 
 
https://www.youtube.com/watch?v=Q5uS6UITvd8
REGRA DE TRÊS 
 
A regra de três é um processo matemático para a resolução de muitos problemas que envolvem 
duas ou mais grandezas diretamente, ou inversamente proporcionais. 
Nesse sentido, na regra de três simples, é necessário que três valores sejam apresentados, para que 
assim, descubra o quarto valor. 
Com a regra de três composta podemos determinar um valor desconhecido quando relacionamos 
três ou mais grandezas. 
Em outras palavras, a regra de três permite descobrir um valor não identificado, por meio de outros 
três ou mais valores conhecidos. 
Regra de Três Simples 
A regra de três simples é uma proporção entre duas grandezas, por exemplo: velocidade e tempo, 
venda e lucro, mão de obra e produção… 
Para resolver uma regra de três simples, escrevemos a proporção entre as razões das grandezas, com 
uma letra para representar o valor desconhecido, desta forma: 
 
Se as grandezas forem diretas (aumentando uma, a outra também aumenta, e vive e versa) a 
proporção é mantida. Se as grandezas forem indiretas (aumentando uma, a outra diminui, e vive e 
versa) inverte-se uma razão. 
Multiplicam-se os meios pelos extremos (multiplicação cruzada), assim: 
 
Por último, isola-se o valor desconhecido para determinar seu valor. 
 
 
Regra de três composta 
permite descobrir um valor a partir de três ou mais valores conhecidos, analisando a proporção 
entre três, ou mais grandezas. 
Escrevem-se as razões de cada grandeza, com uma letra para o valor desconhecido. 
15 4 5 
x 3 2 
Fazemos a razão com o x igual ao produto das demais: 
 
Esta razão com o valor desconhecido deve ser comparada com as outras. Caso a grandeza seja 
inversamente proporcional, invertemos a razão. 
Multiplicam-se as razões, isolando o valor desconhecido e determinando seu valor. 
 
Grandezas Diretamente Proporcionais 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, o aumento de uma implica no aumento da 
outra na mesma proporção. 
Grandezas Inversamente Proporcionais 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, o aumento de uma implica na redução da 
outra. 
Exercícios resolvidos sobre regra de três composta 
Questão 1 
Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para 
torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras 
(ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de páginas ocupadas. 
O primeiro passo para responder à questão é verificar a proporcionalidade entre as grandezas. 
Linhas Letras Páginas 
A B C 
45 80 6 
30 40 X 
• A e C são inversamente proporcionais: quanto menos linhas em uma página, maior o número 
de páginas para ocupar todo o texto. 
• B e C são inversamente proporcionais: quanto menos letras em uma página, maior o número 
de páginas para ocupar todo o texto. 
Utilizando setas, a relação entre as grandezas é: 
 
Para encontrar o valor de X devemos inverter as razões de A e B, já que essas grandezas são 
inversamente proporcionais, 
 
Considerando as novas condições, serão ocupadas 18 páginas. 
 
Aula (9 minutos) - https://www.youtube.com/watch?v=xuQgQTiD3mw 
 
RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
A razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, sendo o coeficiente entre dois números. 
Já a proporção é determinada pela igualdade entre duas razões, ou ainda, quando duas razões 
possuem o mesmo resultado. 
Note que a razão está relacionada com a operação da divisão. Vale lembrar que duas grandezas são 
proporcionais quando formam uma proporção. 
Ainda que não tenhamos consciência disso, utilizamos cotidianamente os conceitos de razão e 
proporção. Para preparar uma receita, por exemplo, utilizamos certas medidas proporcionais entre 
os ingredientes. 
Atenção! 
Para você encontrar a razão entre duas grandezas, as unidades de medida terão de ser as mesmas. 
Exemplos 
A partir das grandezas A e B temos: 
https://www.youtube.com/watch?v=xuQgQTiD3mw
https://www.todamateria.com.br/unidades-de-medida/
Razão: ou A : B, onde b≠0 
Proporção: , onde todos os coeficientes são ≠0 
Exemplo 1 
Qual a razão entre 40 e 20? 
 
Lembre-se que numa fração, o numerador é o número acima e o denominador, o de baixo. 
 
Se o denominador for igual a 100, temos uma razão do tipo porcentagem, também chamada de 
razão centesimal. 
 
Além disso, nas razões, o coeficiente que está localizado acima échamado de antecedente (A), 
enquanto o de baixo é chamado de consequente (B). 
 
Exemplo 2 
Qual o valor de x na proporção abaixo? 
 
3 . 12 = x 
x = 36 
Assim, quando temos três valores conhecidos, podemos descobrir o quarto, também chamado de 
“quarta proporcional”. 
Na proporção, os elementos são denominados de termos. A primeira fração é formada pelos 
primeiros termos (A/B), enquanto a segunda são os segundos termos (C/D). 
https://www.todamateria.com.br/fracoes/
https://www.todamateria.com.br/porcentagem/
Nos problemas onde a resolução é feita através da regra de três, utilizamos o cálculo da proporção 
para encontrar o valor procurado. 
Propriedades da Proporção 
1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, por exemplo: 
 
Logo: 
A·D = B·C 
Essa propriedade é denominada de multiplicação cruzada. 
2. É possível trocar os extremos e os meios de lugar, por exemplo: 
é equivalente 
Logo, 
D. A = C . B 
Aula Razão (8 minutos) - https://www.youtube.com/watch?v=MvoCTWC3aoY 
Aula Proporção (8 minutos) - https://www.youtube.com/watch?v=GjxEHeAKWAU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.todamateria.com.br/regra-de-tres-simples-e-composta/
https://www.youtube.com/watch?v=MvoCTWC3aoY
https://www.youtube.com/watch?v=GjxEHeAKWAU