Circuitos RLC

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CENTRO UNIVERSITÁRIO CENTRAL PAULISTA
ENGENHARIA ELÉTRICA
MATHEUS SOUSA FILIÉ | R.A.: 3801192
WAGNER JOSÉ SANTANA | R.A.: 3800957
SISTEMA RESISTIVO, CAPACITIVO E INDUTIVO
SÃO CARLOS
2022
MATHEUS SOUSA FILIÉ
WAGNER JOSÉ SANTANA
SISTEMA RESISTIVO, CAPACITIVO E INDUTIVO
Trabalho apresentado como requisito parcial de avaliação da disciplina Circuitos Elétricos II.
SÃO CARLOS
2022
SUMÁRIO
SISTEMA RESISTIVO, CAPACITIVO E INDUTIVO	1
SISTEMA RESISTIVO, CAPACITIVO E INDUTIVO	2
RESUMO	3
INTRODUÇÃO	4
CIRCUITOS RESISTIVOS, CAPACITIVOS OU INDUTIVOS	5
CIRCUITOS RC E RL SÉRIE	9
FONTES BIBLIOGRÁFICAS	11
RESUMO
A engenharia elétrica se divide em diferentes áreas que se complementam entre si, tais como: energia, telecomunicações, eletrônica, computação, entre outras. Na área de energia, trabalha-se com geração de energia, transmissão da mesma entre dois pontos, dimensionamento de redes elétricas, entre outros temas. Em telecomunicações: na modulação, codificação, transmissão e recepção de diferentes sinais de áudio e imagem para televisão, celulares, rádio, satélites. 
A área de eletrônica está inserida dentro das demais nos circuitos e dispositivos eletrônicos para geração, processamento e medição das informações. Os equipamentos envolvidos em todas as áreas da engenharia necessitam ser reproduzidos através de componentes tais como resistores, indutores, capacitores, entre outros.
Apresentar os circuitos RL, RC e RLC, suas aplicações sendo alimentados por fontes de tensão alternada e tensão continua. Um circuito resistor-indutor (circuito RL), filtro RL ou malha RL, é um dos mais simples filtros eletrônicos de resposta de impulso infinita analógicos. Ele consiste de um resistor e de um indutor, podendo estar ligados tanto em série quanto em paralelo, sendo alimentados por uma fonte de tensão.
Um circuito resistor-capacitor (circuito RC), filtro RC ou malha RC é um dos mais simples filtros eletrônicos de resposta de impulso infinita analógicos. Ele consiste de um resistor e de um capacitor, podendo estar ligados tanto em série quanto em paralelo, sendo alimentados por uma fonte de tensão. 
Um circuito RLC é um circuito elétrico consistindo de um resistor (R), um indutor (L), e um capacitor (C), conectados em série ou em paralelo, sendo alimentados por uma fonte de tensão.
INTRODUÇÃO
No circuito elétrico em que há corrente contínua, a resistência elétrica é a única grandeza que expressa uma barreira à passagem da corrente elétrica. Já na alternada, existem outros efeitos além do resistivo que influenciam a passagem de corrente no circuito; por exemplo, a indutância quando o circuito contém bobinas, ou a capacitância quando o circuito contém capacitores. Deste modo, a razão tensão/corrente em um circuito de corrente alternada não depende apenas das resistências elétricas do mesmo.
Um circuito elétrico é um modelo matemático que se comporta aproximadamente como um sistema elétrico real. Circuitos elétricos estão em toda a engenharia elétrica e algumas das leis fundamentais como Lei de Ohm e Leis de Kirchhoff são utilizadas em todas as áreas, desde a análise de polarização de um transistor até projeto de sistemas de telecomunicações e redes de transmissão de energia elétrica. Portanto, um bom embasamento em circuitos elétricos é fundamental ao engenheiro eletricista. De acordo com Kienittz (2010), o equacionamento de circuitos puramente resistivos sempre resulta em equações algébricas lineares nas correntes de ramo e potenciais dos nós. 
Contudo, quando o circuito não é puramente resistivo, isto é, um circuito dinâmico, também chamado circuito ressoante, ou ainda como circuito RLC (circuito formado por resistores, indutores e capacitores), gera-se um conjunto de equações algébricas e diferenciais, advindas do equacionamento de elementos que armazenam energia. 
CIRCUITOS RESISTIVOS, CAPACITIVOS OU INDUTIVOS
A análise de circuitos RL, RC e RLC aplicando as leis de Kirchhoff para circuitos puramente resistivos resulta em equações algébricas, enquanto a aplicação dessas leis a circuitos RL, RC e RLC produz equações diferenciais, que são mais difíceis de resolver que as algébricas. As equações diferenciais resultantes da análise de circuitos RL e RC são de primeira ordem, já o circuito RLC e de segunda ordem.
CIRCUITO PURAMENTE RESISTIVO
Este modelo de circuito apresentado na figura abaixo (Figura 1) é considerado o mais simples, em vista de possuir somente uma fonte de alimentação com uma determinada tensão (d.d.p.) aplicada sobre um componente que oferece resistência à passagem de corrente elétrica pelo condutor, o resistor.Figura 1 - Circuito Resistivo
Figura 1 – Esquema elétrico de um circuito puramente resistivo.
A queda de tensão que flui através do resistor pode ser calculada utilizando-se a lei de
Ohm, que relaciona tanto a tensão sobre o resistência do componente, como a corrente que flui através dele:
Neste caso, observa-se que tensão e corrente variam conforme a relação trigonométrica denominada “cosseno” no dominio do tempo, e não existe divergência de fase entre ambas. A amplitude da corrente, Io, é dada por Vo / R.
A impedância do circuito, em módulo, é dada pela razão entres os valores de pico da tensão (Vo) e da corrente (Io), portanto, neste caso a impedância é simplesmente a resistência do circuito:
CIRCUITO PURAMENTE CAPACITIVO:
Em um circuito onde a reatância indutiva é zero temos que a tensão está 90° atrasada em relação a corrente. Quando essa situação ocorre temos um circuito puramente capacitivo.
 I 
	Q~
+
C
-
+
-
Figura 2 – Esquema elétrico de um circuito puramente capacitivo.
A defasagem entre a tensão e a corrente é dada por
                
Onde R é a resistência e Z a impedância dada pela equação acima.
Neste caso, a tensão e a corrente variam no dominío do tempo, no entanto estão em defasagem em um ângulo de 90º (π/2 rad). No circuito capacitivo, a corrente é adiantada em relação a tensão e tem amplitude dada por Io = ωCVo. 
Tal comportamento é esperado em vista do momento em que o capacitor descarregado é ligado no circuito a corrente atinge o valor máximo e a tensão, o valor mínima e à medida que o tempo passa a corrente diminui e a tensão aumenta (a carga vai se acumulando nas placas do capacitor) e depois de um certo tempo a corrente é zero e a tensão é máxima (capacitor carregado).
A potência média dissipada em um circuito elétrico capacitivo é nula, independente do valor de ω. Ou seja, um capacitor não dissipa potência, ele armazena energia eletrostática durante uma parte do ciclo para fornecê-la durante a outra parte, de modo que o fluxo médio é nulo. A impedância do circuito, em módulo, está de acordo com a razão entre os valores máximos de tensão (Vo) e de corrente (Io).
Laboratório de Eletricidade e Magnetismo: Circuitos de Corrente Alternada I
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CIRCUITO PURAMENTE INDUTIVO:
O circuito é indutivo quando a tensão está atrasada em relação a corrente. Em um circuito RLC isso ocorre quando a reatância indutiva é maior que a reatância capacitiva.
 I 
	L+
~
+
-
-
Figura 3 – Esquema elétrico de um circuito puramente indutivo
A tensão e a corrente variam periodicamente no tempo, e estão fora de fase por um ângulo de 90º. Entretanto, no caso do circuito elétrico puramente indutivo a corrente possui um atraso em relação à tensão. Esse resultado pode ser compreendido qualitativamente se lembrarmos que a força contra eletromotriz no indutor é proporcional a taxa de variação da corrente no tempo pela lei de Faraday-Lenz. 
Quando o indutor é conectado ao circuito ele se comporta como um curto-circuito e a corrente tende a aumentar de forma rápida e imediatamente aparece uma tensão nos terminais do indutor (força contra-eletromomotriz) de modo a impedir que a corrente venha a se estabelecer.
À medida que o tempo passa, a força eletromotriz da fonte faz com quea corrente estabeleça a si mesma de forma mais lenta e a tensão no indutor vai decrementando até que a corrente atinja um valorde equilíbrio e a tensão no indutor seja nula. 
O pico de tensão no indutor ocorre antes da corrente atingir o valor máximo e, portanto, a tensão está adiantada em relação a corrente. Como no caso do circuito capacitivo, a potência média dissipada no circuito é nula para qualquer valor de ω. O indutor armazena energia (em forma de campo magnético) durante uma parte do ciclo e fornece essa energia na outra parte do ciclo. A impedância do circuito é, em módulo, a razão entre Vo e Io.
A impedância de um circuito indutivo cresce com a freqüência, e vai a zero em circuitos de corrente contínua. De fato, como nesses circuitos a corrente não varia, a tensão sobre o indutor é nula. Um indutor real (bobina) é composto por muitas voltas de fios enrolados e possui, além da indutância, uma resistência. Porém hoje existem materiais que em baixa temperaturas podem atingir o estado supercondutor e ter resistência elétrica nula. 
Isso pode parecer a princípio uma idealização sem muita aplicação, mas, de fato, nos equipamentos de ressonância magnética nuclear, comuns em hospitais hoje em dia, a geração do alto campo magnético necessário ao experimento (ou exame clínico, no caso) é feita através de um solenóide feito de material supercondutor, justamente para aproveitar essa máxima eficiência na conversão de energia elétrica em energia magnética.
CIRCUITOS RC E RL SÉRIE
Na análise dos circuitos esquematizados na figura 4a e 4b, utilizaremos o formalismo da impedância complexa. Vamos assumir que os circuitos são alimentados por uma fonte de tensão senoidal da forma V(t) = V0 cos (ω t), que na notação complexa se escreve V (t) = V0 . A corrente que atravessa o circuito é também senoidal, e dada por I(t) = K .
Para o circuito RC, utilizando a lei de Kirchhoff, podemos escrever:
As tensões no resistor e no capacitor são dadas por: 
Substituindo na equação 16 e cancelando a exponencial que é comum a todos os termos, obtemos:
 
Isso permite determinar K: 
A impedância complexa é a razão entre os valores complexos da tensão e da
corrente:
O módulo da impedância, que é a razão entre os valores de pico da tensão e da corrente, é o módulo desse valor:
No circuito RL, figura 4b, a tensão sobre o indutor é dada por:
A tensão total é dada por R L V(t) = V +V. Logo:
Logo:
A impedância complexa e o seu módulo são, portanto:
“Com o formalismo de impedâncias complexas a análise dos circuitos de corrente alternada fica muito parecida com o tratamento dados aos circuitos de corrente contínua. Do mesmo modo que uma combinação de resistores em série e em paralelo pode ser representada por um único resistor equivalente, um circuito contendo uma combinação arbitrária de resistores, indutores e capacitores pode ser representado por uma impedância total Z.
As equações mostram que a impedância complexa equivalente de componentes ligados em série é a soma das impedâncias complexas individuais, como acontece com as resistências em circuitos de corrente contínua. Da mesma forma, a regra de associação de impedâncias complexas em paralelo é idêntica à das resistências. No entanto, devemos ressaltar que:
O formalismo de impedância complexa é útil para tratar relações lineares, como, por exemplo, uma equação de malha, mas não pode ser usado quando as relações não são lineares, como no cálculo de potência.
Os circuitos RL e RC possuem propriedades muito interessante quanto analisado como função da frequência. Esses circuitos funcionam como filtros elétricos e são utilizados em instalações elétricas e equipamentos eletrônicos para rejeitar ruído e para protegê-los, por exemplo, contra transientes induzidos pela queda de raios durante as tormentas. De modo geral um filtro pode ser representado como um circuito com dois terminais de entrada e dois de saída, como na figura 5.
CIRCUITO RLC SÉRIE
Diante disso, considerando o circuito RLC em série mostrado na Figura 1, observamos um circuito que é excitado pela energia inicialmente armazenada no capacitor e indutor. A tensão inicial é representada por V0 no capacitor e pela corrente inicial I0 no indutor.
F
Assim, em t = 0:
    Ao aplicar as Leis de Kirchhoff (LKT) no circuito da Figura 1, temos:
    Para remover a integral, diferenciamos em relação a t e reorganizamos os termos para deixar no formato de equação diferencial de segunda ordem.
E justamente por ser uma equação diferencial de segunda ordem, os circuitos RLC são chamados circuitos de segunda ordem. Para resolvermos uma equação diferencial de segunda ordem são necessárias duas condições iniciais: o valor inicial de i e sua primeira derivada ou os valores iniciais de i e v. 
Como sabemos que o valor inicial de i é I0. É possível obter o valor inicial da derivada de i:
Com as duas condições iniciais é possível resolver a equação diferencial. Relembrando os artigos de circuito RC e RL, de primeira ordem, é plausível concluir que a solução é na forma exponencial. 
Em que A e s são constantes a serem determinadas.
Substituindo na equação diferencial de segunda ordem, temos:
Diante do fato que i = Aest é a solução que estamos buscando encontrar, somente a expressão entre parênteses pode ser igual zero.
    Essa a equação quadrática é conhecida como equação característica da equação diferencial, pois as raízes da equação descrevem as características básicas de i.
    Uma outra forma mais de expressar as raízes é através de α e ω0:
    Em que:
    Isso porque as raízes s1 e s2 são chamadas frequências naturais (cuja unidade é (Np/s) nepers por segundo), por estarem associadas à resposta natural do circuito. Então, ω0 é conhecido como frequência natural não amortecida ou frequência ressonante com unidade dada em radianos por segundo (rad/s), e α é o fator de amortecimento ou frequência de neper com unidade nepers por segundo. 
    Assim, em termos de α e ω0, a equação característica pode ser reescrita como:
    Como há dois valores de s, há duas soluções possíveis para i. Onde cada uma delas estará na forma da solução pressuposta, ou seja:
    Como a equação inicial encontrada é linear, a solução completa de i é uma combinação linear de i1 e i2. Logo, a resposta natural do circuito RLC em série:
Em que as constantes A1 e A2 são determinadas a partir dos valores iniciais i(0) e di(0)/dt.
Dependendo dos valores de α e ω0 é possível ter três tipos de soluções: 
· Caso de amortecimento supercrítico (α  > ω0)
Para α ser maior ω0 é preciso que:
Quando isso ocorre, as raízes s1 e s2 são negativas e reais. A resposta, então, é:
Essa resposta decai e se aproxima de zero a cada vez que t aumenta. A Figura 2 mostra a resposta característica para o amortecimento supercrítico.
· Caso de amortecimento crítico (α = ω0)
    Quando α = ω0:
    Isso implica em duas raízes (s1 e s2) reais e iguais. Logo:
Nesse caso, a resposta é:
Assim, a resposta natural de um circuito com amortecimento crítico é a soma de dois termos, dentre eles um linear. Graficamente temos o comportamento mostrado na Figura 3.
Caso de subamortecimento (αfrequência natural não amortecida;
· Como nesse caso, α Acesso em: 20 Maio 2022.
KARDEK, A. de R. et al. Eletrônica de Potência e Acionamentos Elétricos. Área de e-Tec. 2015. 
Disponível em: Acessado em: 20 Maio 2022.
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