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Imagem: Escola vetor criado por macrovector 
 
 
 
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101. Introdução 
Funções Quadráticas ou de Segundo Grau são funções que 
possuem em sua definição uma variável ao quadrado. Ex: f(x) = 
ax² + bx + c. 
Dessa forma, temos uma nova classe de gráficos, com duas 
possibilidades de valores para X e um desenho de parábola ao 
invés de uma reta. 
Estas funções são utilizadas, principalmente, quando queremos 
saber uma combinação que nos dê valores máximos ou mínimos. 
Por exemplo: qual o melhor preço de venda para um produto? Se 
for barato demais, o lucro será baixo, mas venderá muito. Já se 
for caro demais, as poucas vendas compensarão. O ideal então 
seria encontrar a combinação que traga o melhor preço por 
venda. 
 
102 - Pré-Requisitos (Opcional) 
• Função de 1º Grau 
• Equação de 1º Grau 
• Trigonometria 
• Sistemas de Equação 
 
 
 
 
 
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201 – Função Quadrática 
Questão 1 – Raízes de x 
Sabemos que √4 = 2; porém quando falamos de equações, 
x² = 4 pode trazer dois resultados: 2 ou -2. Sabendo disso, sendo 
x um número real, resolva as questões: 
a) x² = 16 
b) x² - 6 = 30 
c) x(x – 4) = 0 
d) 2x² = 18 
e) x² = -16 
Gabarito 1 
a) +4, -4 b) +6, -6 c) 0 ou 4 d) -3, 3 e) não existe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 2 - Coeficientes 
As funções quadráticas possuem 3 coeficientes, onde: 
• Coeficiente “a” multiplica o x² 
• Coeficiente “b” multiplica o x 
• Coeficiente “c” não multiplica o x 
f(x) = ax² + bx + c 
Sabendo disso, encontre os valores de a, b e c das seguintes 
funções: 
a) f(x) = 2x² + 3x + 4 
b) f(x) = -3x² -2x 
c) f(x) = 12 + 3x - 5x² 
d) f(x) = x(2x + 2) – 4 
e) f(x) = x²/2 + 10(2x – 4) 
Gabarito 2 
a) a=2; b=3; c= 4 
b) a=-3; b=-2; c=0 
c) a=-5; b=3; c=12 
d) 2x² + 2x – 4; a=2; b=2; c=-4 
e) x²/2 + 20x – 40; a=1/2; b=20; c=-40 
 
 
 
 
 
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Questão 3 – Método da substituição 
(ENEM 2021 adaptado) Uma empresa visa obter o lucro máximo 
vendendo barras de chocolate. Para tal, eles testaram alguns 
preços e obtiveram como fórmula do lucro a função: 
f(x) = -x² + 14x – 45 
Sendo que o resultado da função o lucro total e o valor X sendo o 
preço da barra. 
Sendo assim, qual o preço que terá melhor retorno? 
a) R$ 2 
b) R$ 3,50 
c) R$ 4 
d) R$ 7 
e) R$ 8 
Dica: substitua X e veja qual obtem o maior valor 
Gabarito 3 
Podemos fazer por tentativa e erro, que é o método simples e 
que vocês deveriam usar na prova. 
f(2) = -4 + 28 – 45 = -23; ou seja, prejuízo. O problema dos 
números pequenos é que eles não são suficientes para passar de 
45. 
f(8) = -64 + 112 – 45 = 3; ou seja, pouco lucro. 
f(7) = -49 + 98 – 45 = 4; provavelmente o melhor valor. 
f(4) = -16 + 56 – 45 = -5; ou seja, prejuízo. 
A resposta só pode ser 7, letra d 
 
 
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Questão 4 – Equação de 2º 
Toda função quadrática possui dois pontos chamados de “raízes 
da função”, pontos que cruzam o eixo x (ou seja, y = 0) no gráfico. 
Por ex: 
 
Para encontrar os valores de x1 e x2, é preciso utilizar a famosa 
fórmula de Bháskara, que é resolvida em duas etapas, 
substituindo os coeficientes abaixo: 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
𝑥 = 
−𝑏 ∓ √∆
2𝑎
 
Etapa 1: descobrir o valor de DELTA (simbolizado pelo triângulo). 
Etapa 2: resolver o resto da fórmula. 
Como vimos na questão 1, uma raiz na equação pode ter até 2 
resultados: positivo e negativo. 
Isso gera uma versão da fórmula para cada valor, indicado pelo 
símbolo ∓: 
𝑥1 = 
−𝑏 + √∆
2𝑎
 
ou então: 
 
 
 7 
𝑥2 = 
−𝑏 − √∆
2𝑎
 
Sabendo disso, encontre as raízes das funções abaixo. Caso tenha 
dúvidas, assista às aulas: 
a) f(x) = 2x² -3x - 5 
b) f(x) = 2x² + 7x +5 
c) f(x) = 2x² + 4x- 6 
d) f(x) = x² - x -12 
e) f(x) = x² -4x -5 
OBS: não é necessário saber bháskara para o ENEM, mas 
entender o processo é necessário para entender as funções 
quadráticas. 
Gabarito 4 
a) {2,5; -1} b) {-1; -2,5} c) {1, -3} d) {4,-3} e) {5,-1} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 5 – Ponto máximo ou mínimo 
Como veremos, toda função quadrática gera uma parábola que 
possui um ponto máximo ou mínimo (o topo da curva) chamado 
de vértice. 
Para calcularmos o vértice de uma parábola, é necessário utilizar 
a fórmula: 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
 
𝑦𝑣 = −
∆
4𝑎
 
Assim, calcule o vértice das seguintes funções (as mesmas do 
exercício anterior): 
a) f(x) = 2x² -3x - 5 
b) f(x) = 2x² + 7x +5 
c) f(x) = 2x² + 4x- 6 
d) f(x) = x² - x -12 
e) f(x) = x² -4x -5 
Gabarito 5 
a) x= 3/4; y= -49/8 
b) x= -7/4; y= -9/8 
c) x=-1; y = -8 
d) x = ½; y= -49/4 
e) x = 2; y = -9 
 
 
 
 
 
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Questão 6 – Gráfico da Quadrática 
Para traçar o gráfico de uma função quadrática são necessários 3 
pontos básicos para a parábola: 
• as raízes x1 e x2 que possuem y=0 
• o vértice que é o ponto mais alto ou mais baixo da parábola 
Sendo assim, trace o gráfico das 5 funções anteriores utilizando 
os pontos que você calculou: 
a) f(x) = 2x² -3x - 5 
b) f(x) = 2x² + 7x +5 
c) f(x) = 2x² + 4x- 6 
d) f(x) = x² - x -12 
e) f(x) = x² -4x -5 
Gabarito 6 
Insira as funções no site para gerar os gráficos e conferir seus 
resultados. 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.mathepower.com/pt/funcoesquadraticas.php
 
 
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Questão 7 – Trajetória da bala 
(ENEM 2018 PPL adaptado) Um canhão dispara uma bala que faz 
uma trajetória parabólica conforme a imagem: 
A trajetória possui uma altura máxima de 25m e uma distância 
máxima de 150m. 
Considere como pontos notáveis para o problema: 
• (0; 0) destino da bola de canhão 
• (150; 0) o canhão 
 
A equação da parábola que representa a trajetória descrita pelo 
projétil é 
a) y = 150x – x² 
b) y = 3 750x - 25x² 
c) 75y = 300x - 2x² 
d) 125y = 450x - 3x² 
e) 225y = 150x – x² 
Dica: uma forma simples de resolver é substituir os valores nas 
funções, porém é preciso mais um valor para testar a função! 
 
 
 
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Gabarito 7 (Método fácil) 
Antes de mais nada, é preciso perceber que o valor de y=0 anula 
bola parte das alternativas. 
É preciso de mais um ponto: aquele do vértice que é possível 
intuir, já que está a 25m de altura e na metade do trajeto, ou seja, 
x = 75m. 
Um valor que vamos usar sempre:75² = 5625 
Então, é possível simplificar as funções quando substituímos os 
valores: 
a) y = 150x – x² 
25 = 150*75 – 5625 
Perceba que 150 = 75*2, então temos: 
25 = 2*5625 – 5625 = não serve 
b) y = 3 750x - 25x² 
25 = 3750*75 – 25*75² 
Visualmente vemos que não vai dar certo. 
c) 75y = 300x - 2x² 
75*25 = 75²*4 – 2*75² 
75*25 = 2*75² 
Não dará certo a igualdade 
d) 125y = 450x - 3x² 
125*25 = 6*75² – 3*75² 
125*25 = 3*75² 
Também não vai dar certo! 
e) 225y = 150x – x² 
225*25 = 2*75² - 75² 
225 * 25 = 75² 
 
 
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5625 = 5625 
A alternativa certa é f(x) = 225y = 150x – x² 
 
Gabarito 7 (Método rápido) 
Utilizando os pontos, podemos substituir em f(x) = ax² + bx + c 
para obter: 
Pontos: (0;0) 
0 = a0 + b0 + c 
Assim, c = 0 
Pontos (75;25) 
Como C = 0, então ∆ = b² - 0 
25 = b²/4a 
75 = -b/2a 
Descobrimos que: -150a = b 
Substituindo: 
25 = -(150²a²/4a) 
25 = -(6²*25²a/4) 
1 = - (36*25a/4) 
1 = -225a 
a = -1/225 
b = 150/225 
Substituindo: y = -x²/225 + 150x/225 
Como não existe essa opção, podemos simplificar: 
225y = 150x - x², resposta e 
 
 
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Questão 8 – Raízes da Função 
As raízes da função quadrática são os valores de x1 e x2, 
encontrados através da fórmula de Bháskara. 
Entretanto, podemos descobrir os valores das raízes 
visualmente, pois quando temos as raízes quando y = 0. 
Ou seja, em um gráfico, as raízes são os valores de X onde a 
parábola toca o eixo X (o chão). 
Encontre nos próximos gráficos as raízes da equação: 
a) 
b) 
c) 
Gabarito 8 
a) 1 e 3 b) 0 e150 c) -5 e 5 
 
 
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Questão 9 – Forma Fatorada 
Quando queremos descobrir uma função quadrática sem ter a 
própria fórmula, a solução padrão é utilizar a forma fatorada: 
y = a(x - x1)(x - x2) 
Aqui, precisamos de 3 elementos: 
• as raízes x1 e x2 
• Um ponto da parábola (x; y) 
a) Sendo assim, encontre o valor do coeficiente a acima 
substituindo os valores: 
• raízes: x1 = 0 e x2=150 
• ponto qualquer (x;y): (75;25) 
b) Reescreva a forma fatorada substituindo o coeficiente a e 
deixando (x; y) como variáveis. Distribua as multiplicações para 
descobrir a função final. 
Gabarito 9 
a) Substituindo as raízes: y = a(x – 0)(x – 150) 
E agora o ponto: 25 = a(75)(75-150) 
25 = -a(75²) 
a = -25/75² 
a = -1/225 
b) Substituindo a: 
y = (-1/225) *(x)(x-150) 
y = -
x² - 150x
225
 
225y = -x² + 150x 
 
 
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Questão 10 – Niemayer 
A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica 
modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da 
Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A 
seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da 
capela. A Figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com 
medidas hipotéticas para simplificar os cálculos. 
 
Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2? 
a) 16/3 
b) 31/5 
c) 25/4 
d) 25/3 
e) 75/2 
 
 
 
 
 
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Gabarito 10 
Temos uma parábola que podemos interpretar de duas formas: o 
eixo Y saindo do meio da figura ou do começo dela. 
Preferi definir que o Y sai do meio, tendo então as raízes: -5 e 5. 
Além disso, temos um ponto (4;3) e queremos saber a altura. 
a) Pelo método da forma fatorada: 
y = a(x-x1)(x-x2) 
3 = a(4+5)(4-5) 
3 = a(9)(-1) 
a = -1/3 
y = -1/3 (x +5)(x-5) 
y = -1/3 x² - 5x + 5x -25 
y = -x²/3 + 25/3 
Sabemos então que b = 0 
A altura é o Vy = -∆/4a 
- 
0² - 4ac
4a
 = c 
c = 25/3 
resposta d