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13 
2. CAMPO ELÉTRICO 
 
2.1. INTRODUÇÃO 
 
A todo ponto do espaço nas vizinhanças da 
Terra associamos um vetor intensidade de cam-
po gravitacional g. Esse vetor representa a ace-
leração gravitacional à qual fica sujeito um corpo 
de prova abandonado nesse ponto. Sendo m a 
massa do corpo e F a força gravitacional que 
sobre ele atua, tem-se 
 
 
m
F
g


 (2.1.1) 
 
Este é um exemplo de um campo vetorial. 
Nos pontos pertos da superfície da Terra este 
campo é freqüentemente considerado uniforme, 
isto é, g é o mesmo em todos os pontos da regi-
ão considerada. 
O escoamento da água de um rio nos dá ou-
tro exemplo de campo vetorial, chamado campo 
de velocidade. A todo ponto na água associa-se 
uma grandeza vetorial, a velocidade v com que 
a água passa pelo ponto. Se g e v não variam 
com o tempo, os campos correspondentes são 
denominados estacionários.. No caso do rio, 
note-se que, apesar da água estar em movimen-
to, o vetor v, em qualquer ponto, não varia com 
o tempo nas condições de regime estacionário. 
Quando uma carga é colocada perto de um 
bastão carregado, uma força eletrostática atuará 
sobre a carga, dizendo-se, então, que existe um 
campo elétrico nessa região. Analogamente, diz-
se que existe um campo magnético na região 
em torno de um ímã. 
Quando se trata de campos elétricos asso-
ciados a cargas e encarados de um referencial 
no qual se encontrem em repouso, está se estu-
dando a Eletrostática. 
Antes de Faraday, acreditava-se que a força 
entre partículas carregadas era uma interação 
direta e instantânea entre cada par de partículas. 
Este conceito de ação à distância aplicava-se 
também às forças magnéticas e gravitacionais. 
Ao invés de ação à distância, é preferível 
considerar que: 
i) A carga q1, na figura 2.1.1, produz um 
campo elétrico no espaço a sua volta. 
ii) O campo atua sobre a carga q2; isso é 
percebido pela ação de F sobre q2. 
O campo desempenha um papel de trans-
missão da interação entre as cargas. 
 
 
Campo elétrico carga q1 (central) 
 Carga q2 
 
 
 
 
 
 F 
 
 
 
 
 
 
 Fig 2.1.1. Campo elétrico criado pela carga 
central q1 e força sobre a carga de 
prova q2. 
 
Surgem, então duas questões a serem tra-
tadas: 
1a: Cálculo do campo produzido por distri-
buições de cargas conhecidas. 
2a: Cálculo das forças que um dado campo 
exerce sobre as cargas nele colocadas. 
 
A interação deve ser entendida em termos 
de 
 
 carga  campo  carga 
 
e não sob o ponto de vista de ação à distân-
cia, em termos de 
 
 carga  carga 
 
Na figura 2.1.1 pode-se aceitar que a carga 
q2 produz um campo, e que esse campo atua 
sobre a carga q1, que será submetida a ação de 
uma força – F, em conformidade com a terceira 
lei de Newton. A situação é completamente si-
métrica, cada uma das cargas estando sob a 
influência do campo associada à outra. 
Se a única situação a ser analisada no Ele-
tromagnetismo fosse o estudo de forças entre 
cargas em repouso, as duas formas de análise 
seriam equivalentes. Supondo, entretanto que a 
carga q1 da figura 2.1.1 acelere subitamente 
para a direita. Após quanto tempo q2 “sentirá” 
que q1 se moveu e que a força que nela (q2) atua 
deve aumentar? A teoria eletromagnética diz 
que q2 “tomará conhecimento” do movimento de 
q1 através de uma perturbação do campo que se 
origina em q1, perturbação essa que se propaga 
com a velocidade da luz. 
O ponto de vista de ação à distância exige 
que a informação sobre a aceleração de q1 seja 
transmitida instantaneamente a q2, o que contra-
 14 
diz os resultados experimentais. Os elétrons 
acelerados em uma antena transmissora de 
rádio só influenciam os elétrons de uma antena 
receptora, colocada a uma distância d, depois de 
um tempo d/v, onde v é a velocidade da luz no 
meio entre as antenas. 
“Diz-se que existe um campo elétrico num 
dado ponto, se uma força de origem elétrica 
atuar sobre um corpo carregado (carga de pro-
va) colocado nesse ponto”. 
 
 
2.2. DEFINIÇÃO DE CAMPO ELÉTRICO 
 
Seja uma distribuição de cargas elétricas 
puntiformes em vários pontos do espaço e uma 
carga de prova qo colocada num ponto P do 
espaço. A força exercida sobre essa carga de 
prova será a soma vetorial das forças exercidas 
pelas cargas individuais. Como cada uma destas 
forças é proporcional à carga qo, a força resul-
tante é proporcional à qo. “O campo elétrico E no 
ponto P é definido como a razão entre essa for-
ça resultante e a carga de prova qo colocada no 
ponto P”. 
 
 
o
q
F
E


 (2.2.1) 
 
Na expressão anterior, E é um vetor que tem 
o mesmo sentido de F se qo > 0 e contrário ao de 
F se qoquando se admite que o campo 
não se propaga instantaneamente. Assim a força 
exercida sobre a carga qo, colocada num ponto 
P, é a força exercida pelo campo e não pelas 
cargas. O campo elétrico no ponto P é produzido 
pelas outras cargas, mas não se instala instan-
taneamente. 
Seja uma carga puntiforme q1 colocada no 
ponto 1 e uma carga de prova qo no ponto 0. O 
vetor posição de q1 é r1 e de qo é ro, o vetor 
distância entre as cargas é r10 = ro – r1. A lei de 
Coulomb (eq. 1.8.1) permite encontrar a força 
elétrica trocada entre as duas cargas: 
 
10
ˆ
2
10
1
10
r
r
o
qq
kF 



 (2.3.1) 
que pode ser reescrita da forma 
 
10
ˆ
2
10
110
r
r
q
k
o
q
F


 e como 
o
q
F
E
10
1


 
antão 
 
10
ˆ
2
10
1
1
r
r
q
kE 

 (2.3.2) 
onde: 
1
E

: é o campo elétrico produzido pela carga 
q1 no ponto 0. 
2
10
r : é o módulo do vetor distância da carga 
q1 até a carga qo. 
10
10
10
ˆ
r
r
r

 : é o versor na direção do vetor 
distância entre as cargas. 
 
O campo elétrico num ponto P, devido a um 
sistema de cargas puntiformes pode ser calcula-
do, também, pela lei de Coulomb. Seja 
i
rr
i
r


00
 o vetor distância da i-ésima carga 
até o ponto P onde se encontra a carga qo. A 
força sobre a carga de prova qo em P, é dada 
por: 
 
 ...
0
ˆ
2
0
0
...
20
ˆ
2
20
02
10
ˆ
2
10
01

i
r
i
r
q
i
kq
r
r
qkq
r
r
qkq
F

 
 
 











i
i
r
i
r
i
kq
qF
0
ˆ
2
0
0

 
 
 











i
i
r
i
r
i
kq
q
F
0
ˆ
2
0
0

 mas 
o
q
F
E


 
 
portanto, o campo elétrico no ponto P, é da-
do por: 
 
 











i
i
r
i
r
i
kq
q
F
E
0
ˆ
2
0
0


 (2.3.3) 
 
A equação 2.3.3 pode ser reescrita como: 
 
i
i
E
o
q
F
E



 (2.3.4) 
 
 16 
Onde 
i
E

 é o campo da i-ésima carga no 
ponto. 
 
Escrevendo o módulo do vetor distância da 
carga q1 até a carga q0 como d e a carga q1, 
criadora do campo, como Q, a intensidade do 
campo elétrico no ponto P, descrito na equação 
2.3.2, pode ser escrita como: 
 
 
2
d
Q
kE  (2.3.5) 
 
Nessa forma de interpretar o problema a di-
reção do vetor campo elétrico é a direção da reta 
que passa pela carga central e pelo ponto P e o 
sentido será de afastamento da carga central, se 
a carga central for positiva e de aproximação da 
carga central se a carga central for positiva. 
 
 
EXEMPLOS 
 
01) Seja uma carga central de 4C e um ponto P 
a 30cm da carga central, no vácuo. Determi-
ne a intensidade do campo elétrico no ponto 
P. 
 Solução: 
 Q = 4C = 4x10-6C; d = 30cm = 3x10-1m 
 
2
d
Q
kE  
 
 21
103
6
1049
109




E 
 
 E = 4x105 N/C 
 
02) Seja uma carga central de 6C, no vácuo. 
Construa o gráfico da intensidade do campo 
elétrico num ponto P, em função da distância 
do ponto à carga central. 
 Solução: 
 Calculando o campo elétrico nos pontos: 
 
X (x10-1m) E (x105N/C) 
3 6 
6 1,5 
12 0,375 
 
 
 
 
 
 E (x105 N/C) 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
 3 
 
 2 
 
 1 
 
 0 3 6 12 x 
 (x10-1m) 
 
03) Duas cargas puntiformes de 3C e 4C são 
colocados nos vértices de um triângulo re-
tângulo e isósceles, conforme a figura. De-
termine a intensidade do campo elétrico re-
sultante da ação das duas cargas no outro 
vértice. 
 q1 = 4C = 4x10-6C 
 
 
 
 
 30cm 
 
 
 
 30cm 
 q2=3C 
Solução: 
Cada carga produz um capo no ponto consi-
derado e esses vetores forma um ângulo de 
90o entre si. Inicialmente, calcula-se cada 
um dos campos, para em seguida obter o 
campo resultante. A figura a seguir, mostra 
essa situação. 
 q1 = 4C = 4x10-6C 
 
 
 
 
 30cm 
 
 
 E2 
 30cm 
 q2=3C 
 E1 
 E 
Calculando E1: 
 17 
2
1
1
1
d
q
kE   
 21
103
6
1049
109
1




E 
 
 CNE /
5
104
1
 
 
Calculando E2: 
2
2
2
2
d
q
kE   
 21
103
6
1039
109
1




E 
 
 CNE /
5
103
2
 
 
Calculando o campo resultante: 
 
2
2
2
1
2
EEE  
    25
103
2
5
104
2
E 
 
Portanto 
 
 E = 5 x 105 N/C 
 
 
04) Uma carga de 2,5C está fixada no ponto 
A(-3, 7)dm. Determine o vetor campo elétrico 
produzido por essa carga no ponto 
 B(1, 4)dm 
 Solução: 
 qA =2,5C = 2,5x10-6C 
 O vetor distância entre de A até B é: 
 )3;4()7;3()4;1( 
AB
r

 
 rAB = 4i – 3j 
 
 O módulo do vetor distância será: 
 
2
)3(
2
4
2

AB
r  rAB = 5dm=0,5m 
 Cálculo do versor na direção do vetor distân-
cia: 
 
AB
r
AB
r
AB
r

ˆ  
5
34
ˆ
ji
AB
r


 
 ji
AB
r

6,08,0ˆ  
 
 Cálculo do campo (Eq 2.3.2): 
 
AB
r
AB
r
A
q
k
A
E ˆ
2
. 

 
)6,08,0(
2
5,0
6
105,29
109 ji
A
E




 
)6,08,0.(
4
109 ji
A
E

 
 
Portanto: 
 ji
A
E
 4
104,5
4
102,7  
 
 
05) Tem-se três cargas puntiformes qA=4C, 
qB=-6C e qC=8C, fixadas nos pontos A(-1, 
0)dm, B(2, 4)dm e C(3,-2)dm. Determine o 
vetor campo elétrico resultante produzido 
por essas três cargas no ponto P(0, 2)dm. 
 Solução: 
 i) Vetores distâncias de cada carga a P 
 rAP=(0, 2) – (-1, 0)  rAB = i +2j 
 rBP=(0, 2) – (2, 4)  rBP = -2i -2j 
 rCP=(0, 2) – (3, -2)  rCP = -3i +4j 
 ii) Módulos das distâncias: 
 
2
2
2
1
2

AP
r  5
AP
r dm=0,1 5 m 
 
2
)2(
2
)2(
2

BP
r  22
BP
r dm 
 22,0
BP
r m 
 
2
4
2
)3(
2

CP
r  mdmCPr 5,05  
 iii) Versores de cada direção 
 ji
ji
AP
r


894,0447,0
5
2
ˆ 

 
 ji
ji
BP
r


707,0707,0
22
22
ˆ 

 
 ji
ji
CP
r


8,06,0
5
43
ˆ 

 
 iv) Vetores campos elétricos de uma das 
cargas: 
 
 
)894,0447,0(
2
5.1,0
6
1049
109 ji
A
E




 
 ji
A
E
 5
104368,6
5
10128,3  
 
 
)707,0707,0(
2
2.2,0
6
1069
109 ji
B
E




 
 ji
B
E
 5
1077225,4
5
1077225,4  
 
 18 
 )8,06,0(
2
5,0
6
1089
109 ji
C
E




 
 ji
C
E
 5
10304,2
5
10728,1  
 
 v) Campo resultante 
 Aplicando a equação 2.3.4: 
 
C
E
B
E
A
EE

 
 Então: 
 jiE
 6
1035131,1
5
1017225,6  
 
 
06) Uma carga positiva q1 está na origem, e uma 
segunda carga positiva q2 está sobre o eixo 
dos x, em x=a, sendo a>0. Determinar o 
campo elétrico nos pontos sobre o eixo x. 
 Solução: 
 A figura a seguir, mostra a situação: 
 
 
 0 a 
 
 
 i) se x>a, então r1=xi, r1=x e ir 
1
ˆ 
 r2=(x-a)i, r2=x-a e ir 
2
ˆ 
 
2
ˆ
2
2
2
1
ˆ
2
1
1
r
r
kq
r
r
kq
E 

 
 i
ax
q
x
q
kE












2
)(
2
2
1 
 ii) Se 02
2
1 
 
 iii) Se x 0. 
 Solução: 
 r1 = yj, r1 = y e jr


1
ˆ 
 r2=-ai + yj, 22
2
yar  e 
 
222
ˆ
ya
jyia
r




 
 
 










 iajy
yaya
q
j
y
q
kE

22
.
22
2
2
1 
 
 
 
08)Uma carga puntiforme q1=+q está na origem 
e uma outra carga q2=-q, está no eixo x a 
uma pequena distância, em x=-a, conforme 
a figura a seguir. Determinar o campo elétri-
co nos pontos do eixo x, afastados da ori-
gem, sendo x>0. 
 
 
 -q q 
 
 
 a x 
 
ixr


1
  r1 = x  ir


1
ˆ 
iaxr

)(
2
  r2=x+a  ir


2
ˆ 
 
21
EEE

 
i
axx
kqi
ax
qk
i
x
kq
E














2
)(
1
2
1
2
)(
)(
2
 
 i
x
a
x
x
a
ax
kqE






























2
1.
.4
2
1.2
 
 como x>>a, então 0
2

x
a
 e 0
x
a
 
 
 
3
2
x
kqa
E 

 
 
 
 19 
Um sistema constituído por duas cargas elé-
tricas de mesmo módulo mas opostas, separa-
das por uma pequena distância, é um dipolo 
elétrico. Um vetor, da carga negativa para a 
carga elétrica positiva, com módulo qa, é o vetor 
momento de dipolo p. Em termos do momento 
de dipolo, o campo elétrico sobre o eixo de dipo-
lo é dado por: 
 
 
3
2
x
pk
x
E

 (2.3.6) 
 
 
EXERCÍCIO 
 
01) Calcule a intensidade do campo elétrico num 
ponto situado a 40cm de uma carga central 
de 4C, no vácuo. 
 R: 2,25x105N/C 
 
02) Seja uma carga central de 6C. Determine a 
que distância da carga central, o campo terá 
intensidade de 6x104N/C. 
 R: 3cm 
 
03) A 50cm de uma carga central, o campo elé-
trico tem intensidade de 9x105N/C. Determi-
ne o módulo da carga central. 
 R: 25C. 
 
04) Uma carga central de 20C está fixada no 
ponto (2, -3)dm. Determine o vetor campo 
elétrico no ponto (8, 5)dm. 
 R: E = 1,08x105i + 1,44x105j 
 
05) Considerando o anterior, se carga central for 
de -8C, qual é o vetor campo elétrico no 
mesmo ponto? 
 R: E = -4,32x104i – 5,76x104j 
 
06) Duas cargas puntiformes q1 = 6C e q2 = 
8C são fixadas em dois vértices de um tri-
ângulo eqüilátero de 60cm de lado. Determi-
ne a intensidade do vetor campo elétrico no 
terceiro vértice do triângulo. 
 R: 3,041x105 N/C 
 
07) Duas cargas puntiformes e iguais a 4,8C 
cada, são fixadas nas extremidades da hipo-
tenusa de um triângulo retângulo. Se a hipo-
tenusa do triângulo medir 100cm e um dos 
catetos medir 80cm, determine a intensidade 
do vetor campo elétrico no vértice em ângulo 
reto desse triângulo. R: 1,377x105 N/C 
 
08) Uma carga puntiforme qA=12C está fixada 
no ponto A(-6, 4)dm e uma carga puntiforme 
qB = -8C está fixada no ponto (4, 6)dm. De-
termine o vetor campo elétrico no ponto (2, -
2)dm. 
 R: E = 8,894x104i – 5,462x104j 
 
09) Sejam três cargas puntiformes qA=3,6C, 
qB=-6C e qC=4C, estão fixadas no pontos 
A(-2, 6, 0), B(0, -4, 2) e C(6, 0, 4). Determine 
o vetor campo elétrico no ponto (0, 2, -2). 
 R: 2,249x104i + 1,857x105j –4,484x104k 
 
10) Uma carga de prova q1 está fixada no ponto 
(0, 2) e uma carga de prova q2 está fixada no 
ponto (0, -2). Determine o vetor campo elé-
trico nos pontos do eixo x, em função da 
constante eletrostática k, das cargas q1, q2 e 
de x. 
R:
 
    jqqixqq
xx
k
E

12
.2
21
4
2
.4
2


 
 
 
11) O que é dipolo? Como se calcula o campo 
produzido por um dipolo? 
 
 
 
2..4. LINHAS DE FORÇA 
 
O conceito de linhas de força foi introduzido 
por Michael Faraday (1791 – 1867), para ajudar 
a visualizar os campos elétricos e magnéticos. 
Uma linha de força (em um campo elétrico) é 
uma linha imaginária traçada de tal maneira que 
sua direção e sentido em qualquer ponto (isto é, 
a direção e o sentido de sua tangente) são os 
mesmos que os do campo elétrico nesse ponto, 
conforme mostra a figura 2.4.1, a seguir. 
 EA EB 
 
 B 
 
 A 
 
 Linha de força 
 
Fig 2.4.1. Linha de Força 
 
 
Como, em geral, a orientação de um campo 
varia de ponto para ponto, as linhas de força são 
quase sempre curvas. Faraday as chamou de 
linhas de força, mas o termo “linhas de campo” 
é mais indicado. 
 20 
É conveniente representar o campo elétrico 
mediante linhas de campo que indicam a direção 
do campo em qualquer ponto. O vetor campo 
elétrico E é tangente à linha que passa pelo 
ponto e indica a direção e sentido da força elétri-
ca sobre uma carga de prova positiva colocada 
no ponto. Em virtude de ser infinito o número de 
pontos no espaço por onde traçar uma linha, 
escolhe-se apenas algumas poucas, representa-
tivas, para serem desenhadas 
Em qualquer ponto nas vizinhanças de uma 
carga positiva , uma carga de prova positiva é 
repelida pela carga; as linhas de campo, por 
isso, divergem de um ponto ocupado por uma 
carga positiva.. Analogamente, as linhas conver-
gem para um ponto ocupado por uma carga 
negativa. É costume, porém, e também conveni-
ente, traçar as linhas continuamente, principian-
do numa carga positiva e terminando numa ne-
gativa. A figura 2.4.2 mostra as linhas de força 
de uma carga positiva e de uma carga negativa. 
 
 
 
 
 
 + _ 
 
 
 
 
Fig 2.4.2. Linhas de força em cargas “isoladas” 
 
A figura 2.4.2 mostra as linhas de força, ou 
as linhas do campo elétrico, de uma única carga, 
positiva ou negativa. Considerando uma superfí-
cie esférica de raio r, com centro na carga. Sen-
do fixo o número de linhas que emergem da 
carga, o número de linhas por unidade de área 
da esfera é inversamente proporcional à área da 
esfera, 4r2. Então, a densidade das linhas de-
cresce com a distância segundo 1/r2, exatamen-
te como decresce o módulo do campo elétrico. 
Se adotarmos a convenção de traçar um número 
fixo de linhas a partir de uma carga puntiforme, 
número este proporcional ao valor da carga, e se 
desenharmos as linhas simetricamente em torno 
da carga puntiforme, a intensidade do campo 
fica indicada pela densidade das linhas. 
Tendo mais de uma carga puntiforme, pode-
se indicar a intensidade do campo mediante uma 
escolha em que os números de linhas que diver-
gem das cargas positivas ou que convergem 
para as cargas negativas sejam proporcionais ao 
valor de cada carga. 
A figura 2.4.3 mostra as linhas de campo de 
duas cargas idênticas e positivas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + + 
 
 
 
 
 
Fig 2.4.3. Linhas de força de campo formado por 
duas cargas puntiformes positivas e 
idênticas. 
 
 
Na figura 2.4.4 são mostradas as linhas de 
força de um campo formado por duas cargas 
puntiformes, idênticas e negativas: 
Na figura 2.4.5 são mostradas as linhas de 
força do campo criado por duas cargas puntifor-
mes de mesmo módulo mas de sinais opostos, 
ou seja de um dipolo elétrico. Nas vizinhanças 
estreitas da carga positiva as linhas são dirigidas 
radialmente para fora. Nas vizinhanças estreitas 
da carga negativa, as linhas são radiais para 
dentro. Como as cargas tem mesmo módulo, o 
número de linhas que principiam na carga positi-
va é igual ao número de linhas que terminam ma 
negativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - - 
 
 
 
 
 
Fig 2.4.4. Linhas de força de campo formado por 
duas cargas puntiformes negativas e 
idênticas. 
 
 
 
 
 
 21 
 
 
 
 
 
 
 
 - + 
 
 
 
 
 
Fig 2.4.5.Linhas de força de campo formado por 
duas cargas puntiformes de mesmo mó-
dulo mas de sinais opostos (dipolo elé-
trico). 
 
Numa esfera de raio muito pequeno (r >a as li-
nhas de campo são mais ou menos igualmente 
espaçadas. 
Pode-se perceber pelas figuras 2.4.3 e 2.4.4 
que o campo elétrico na região entre as cargas é 
fraco, em virtude de existirem poucas linhas de 
campo nessa região. Isso pode ser verificado 
pelo cálculo direto. 
O raciocínio anterior pode ser aplicado para 
qualquer sistema de cargas puntiformes. Nas 
proximidades estreitas de cada carga as linhas 
de campo são igualmente espaçadas e saem da 
carga ou nela entram, dependendo do respectivo 
sinal da carga. Muito longe de todas as cargas, a 
estrutura particular do sistema pode não ser 
importante, e as linhas de campo coincidem com 
as de uma única carga puntiforme igual à soma 
de todas as cargas do sistema. 
Para desenhar linhas de campo elétrico, de-
ve-se respeitar as seguintes regras: 
1. O número de linhas que saem de uma 
carga puntiforme positiva, ou que entram 
numa carga puntiforme negativa, é propor-
cional ao valor da carga. 
2. As linhas que entram ou que saem de 
uma carga puntiforme são esferossimétri-
cas. 
3. As linhas principiam, ou terminam, exclu-
sivamente em cargas. 
4. A densidade de linhas (número por unida-
de de área perpendicular às linhas) é pro-
porcional à grandeza do campo. 
5. Duas linhas de campo não podem se in-
terceptar. 
 
A figura 2.4.6 mostra as linhas do campo 
elétrico produzido por duas cargas puntiformes 
de valores +2q e –q. 
 
 
 
 
 
 
 +2q -q 
 
 
 
 
 
 
Fig 2.4.6.: linhas de força do campo produzido 
por duas puntiformes de valores +2q 
e –q.. 
 
Na figura 2.4.6 pode-se notar que o número 
de linhas de campo que saem da carga +2q é o 
dobro do número de linhas de campo que en-
tram na carga –q. A grandes distâncias das car-
gas as linhas de força são as mesmas que as de 
uma carga +q. 
 
 
2.5. CAMPO ELÉTRICO DE UMA ESFERA 
 
Considerando o campo elétrico devido a 
uma casca esferossimétrica de cargas, com raio 
R e espessura desprezível. Seja Q a carga total 
na casca, admitida positiva. (Esta distribuição de 
cargas, pode ser realizada, na prática, mediante 
a colocação de carga num condutor esférico e 
essa carga irá se distribuir uniformemente pela 
superfície da casca). 
Escolhendo a origem do sistema de coorde-
nadas no centro da esfera. Em virtude da sime-
tria da casca esférica, a única direção possível 
para as linhas de campo elétrica é ao longo dos 
raios, seja no sentido da origem, seja no sentido 
para longe da origem. A distâncias grandes em 
comparação com o raio da casca R, o campo 
deve ser muito parecido com o de uma única 
carga puntiforme Q. Então, as linhas são radiais, 
para fora e igualmente espaçadas longe da cas-
ca. As linhas de força desse sistema são mos-
tradas na figura 2.5.1, a seguir: 
 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 2.5.1: linhas de força numa casca esférica 
eletrizada positivamente e em equilíbrio 
eletrostático. 
 
Fora da casca esférica as linhas de força 
são exatamente as mesmas que as de uma car-
ga puntiforme Q. Então o campo elétrico provo-
cado no exterior da casca tem direção radial e 
módulo dado por: 
 
 
2
r
Q
kE  r > R (2.5.1) 
 
As linhas devem principiar na carga sobre a 
casca. Não pode haver linhas de campo no inte-
rior da casca, pois se existissem divergiriam do 
centro da casca, na origem, ou para ele conver-
giriam. Disso se conclui que uma distribuição 
esferossimétrica de carga não provocar campo 
elétrico no seu interior, ou seja no interior de 
uma casca esférica em equilíbrio eletrostático, o 
campo elétrico é nulo: 
 
 E = 0 rcargas, sim-
plesmente se somam (vetorialmente) ou se su-
perpõe independentemente. O Princípio da Su-
perposição é aplicado igualmente a campos 
gravitacionais e magnéticos.. 
Se a distribuição de cargas for contínua, o 
campo produzido num ponto P pode ser calcula-
do dividindo-se a carga total em elementos infini-
tesimais de carga dq. Calcula-se, então, o cam-
po dE, no ponto P, produzido por cada um des-
ses elementos, sendo estes tratados como car-
gas puntiformes. O módulo de dE é dado por: 
 
 
2
.
r
dqk
dE  (2.6.4) 
 
onde r é a distância do elemento de carga 
ao ponto P. O campo resultante neste ponto é 
calculado somando (isto é, integrando) as con-
tribuições de todos os elementos de carga, ou 
seja, 
 
  EdE

 (2.6.5) 
 
Esta integração é uma operação vetorial. 
 
 
EXEMPLOS 
 
01) determinar o campo elétrico devido a um 
anel circular uniforme de cargas elétricas, 
sobre o eixo do anel. 
 Solução: 
Seja q a carga positiva total, distribuída uni-
formemente num anel de raio ª Quer-se cal-
cular o campo num ponto sobre o eixo do 
anel, a uma distância x do centro do anel. 
A figura 2.6.1,a seguir, mostra um esquema 
da situação. 
 
 
 q 
 
 a r 
  Ex 
 C x 
 
 E E 
 
 
 
Fig 2.6.1. Anel de raio a carregado com carga q e 
o campo resultante no ponto a uma dis-
tância x do centro C do anel. 
 
Na figura 2.6.1 vê-se uma parte do campo 
elétrico E no ponto a uma distância x do 
centro do anel é devido à porção de carga 
q. Esta parte tem componente Ex sobre o 
eixo do anel e uma componente E per-
pendicular ao eixo. A simetria da figura mos-
tra que o campo resultante, devido ao anel 
completo, deve estar na direção do eixo do 
anel, isto é, as componentes perpendicula-
res terão soma nula. Em particular, a com-
ponente perpendicular que aparece na figura 
2.6.1 será cancelada por outra componente 
devida a uma outra parte da carga que está 
 24 
em posição simétrica à que aparece na figu-
ra. 
 
A parte do campo no ponto E tem módulo 
dado por: 
 
2
.
r
qk
E

 
A componente axial devida à parte da carga 
que aparece na figura é: 
 
 cos.E
x
E  
ou 
 cos
2
.



r
qk
x
E 
mas 
r
x
cos e 
222
axr  
então 
 
2222
.
ax
x
ax
qk
x
E




 
logo 
 
 322
..
ax
xqk
x
E


 
 
Desde que a distância do ponto de onde se 
está calculando o campo a todas as partes 
da distribuição de cargas é a mesma, e uma 
vez que o ângulo  é o mesmo para todas as 
partes da carga, o campo devido a todo o 
anel de carga é: 
 
 









3
22
..
ax
xqk
x
E
x
E 
 
 
 
 

 q
ax
xk
x
E
322
.
 
mas qq  
portanto, o módulo do campo elétrico em 
qualquer ponto a uma distância x do centro 
do anel será dado por: 
 
 
 322
..
ax
xqk
x
E

 
 
 
02) Resolver o mesmo problema anterior, consi-
derando o campo resultante no ponto como 
uma soma dos campos gerados pelas infini-
tas partes da distribuição de cargas de com-
primento ds, como mostra a figura 2.6.2, a 
seguir: 
 
 ds dq 
 
 
 a r 
  dEx 
 C x 
 
 dE dE 
 
 
 
Fig 2.6.2. Anel de raio a carregado com carga q e 
o campo resultante no ponto a uma dis-
tância x do centro C do anel. 
 
Seja um elemento do anel de comprimento 
ds, conforme figura 2.6.2. A carga nesse pe-
daço do anel é : 
 
a
ds
qdq
2
. 
onde a é o raio do anel. Essa carga produz 
um campo elétrico elementar dE, no ponto 
considerado. 
O campo elétrico resultante E, nesse ponto, 
é calculado somando-se (integrando-se) os 
campos produzidos por todos os elementos 
de carga que constituem o anel. Por sime-
tria, esse campo resultante está orientado ao 
longo do eixo do anel; logo, apenas a com-
ponente de dE paralela ao este eixo contri-
bui para o resultado final. A componente 
perpendicular ao eixo será cancelada pela 
componente de mesmo módulo e sentido 
contrário, produzida pelo elemento de carga 
diametralmente oposto no anel. 
O campo elétrico será dado pela equação 
2.6.5 
 
  EdE

 
 
que é uma integral vetorial, mas que pelas 
considerações anteriores, pode se tornar 
uma integral escalar da forma: 
 
  cos.dEE 
onde 
 25 
 
2
.
r
dqk
dE  , 
22
cos
ax
x

 , 
222
axr  e 
a
ds
qdq
2
. 
 
então: 
 
 22
...2
..
axa
dsqk
dE



 
 
Substituindo, fica: 
 
 
 




2222
...2
..
ax
x
axa
dsqk
E

 
 
Para um dado ponto P, x é constante para 
todos os elementos da distribuição de carga 
no anel, então: 
 
 
 




 ds
ax
x
axa
qk
E
2222
...2
.

 
 
onde   ads ..2  , portanto simplificando, o 
módulo do campo no ponto a uma distância x do 
centro do anel, é dado por: 
 
 
 322
..
ax
xqk
E

 
 
Observações: 
- para x=0  E = 0. 
- para x >> a pode-se desprezar o valor de a 
no denominador e a expressão fica: 
 
2
.
x
q
kE  
 que é um resultado coerente pois, para 
pontos muito distantes, o anel se compor-
tará como uma carga puntiforme q. 
 
 
03) Calcular o campo elétrico sobre a mediatriz 
de uma reta uniformemente carregada. 
Seja  a densidade linear de carga. Num 
ponto sobre a mediatriz o campo E não terá 
componente paralela à reta carregada. 
Solução: 
A figura 2.6.3 mostra a situação: 
 
 
 y 
 E 
 Ey 
 
  
 
 Ex P 
 
 o  
 y r q 
 
 L/2 x 
 ++++++++++++++++++++++++++ 
 0 
 x 
 Fig 2.6.3: Reta carregada. Parte do campo no 
ponto P, produzida pela parte da reta 
com carga q.. 
 
Na figura 2.6.3 o sistema de coordenadas é 
escolhido de modo que a origem esteja no 
centro do segmento de reta carregado, e es-
te ao longo do eixo dos x. O campo está so-
bre o eixo y no ponto P. O módulo do campo 
provocado por um elemento de carga 
xq  . é: 
 
2
..
2
.
r
xk
r
qk
E





 
A componente perpendicular ao segmento 
de reta carregado (neste caso, a componen-
te y) é: 
 
 cos.E
y
E  
 

cos
2
..



r
xk
y
E 
onde 
r
y
cos 
então 
r
y
r
xk
y
E 


2
..
 (2.6.7) 
Calcula-se o campo total Ey efetuando a so-
ma de todos os campos produzidos pelos 
elementos x da reta carregada. Nesse caso 
pode-se efetuar a soma (integrar) desde x=0 
até x= L/2 e multiplicar o resultado por 2, em 
virtude da simetria, pois cada metade da reta 
carregada contribui com uma mesma parce-
la para o módulo de Ey. A integração é mais 
simples se for efetuada a troca de variável, 
de x para  e integrara a expressão de =0 
até =o.: 
 26 
 
y
L
o
tg
2
 e 
y
x
tg  
ou x = y.tg 
 
 dx = y.sec2.d 
 d
y
r
ydx .
2
. 





 
 
Sendo x suficientemente pequeno, pode-se 
fazer Ey=dEy, x=dx, então a equação 
2.6.7 pode ser reescrita como: 
 

d
y
r
y
r
yk
dx
r
yk
y
dE 
2
2
3
..
3
..
 
 



d
y
k
d
r
y
y
k
y
dE  cos
..
 
A componente y total do campo é igual ao 
dobro da integraldesta forma, desde =0 até 
=o: 
 



o
d
y
ko
y
dE
y
E




 0
.cos
..2
0
2 
 
 
oy
k
y
E 

sen
..2
 
 
onde 
 
2
2
2
2
sen
y
L
L
o








 
 
Para obter o campo provocado por uma reta 
carregada, de comprimento infinito, deve-se 
fazer o=90o . Então: 
 
 
y
k
y
E
..2
 
 
 
04) Calcular o campo elétrico sobre o eixo de um 
disco uniformemente carregado. 
Solução: 
Seja R o raio do disco e  a carga uniforme 
por unidade de área. O campo elétrico no ei-
xo do disco será paralelo ao eixo. Pode-se 
calcular este campo tratando o disco como 
um conjunto de anéis concêntricos de car-
gas e usando o resultado do exemplo 01. 
Seja um anel de raio r e largura dr, como 
mostra a figura 2.6.4. 
 
 r dr 
 
 
 
 
 
 
 R 
 x 
 Fig. 2.6.4: Disco com uma densidade su-
perficial de carga uniforme 
 
A área do anel mostrado na figura anterior é 
2rdr, e a sua carga é dq=2rdr. O campo 
provocado por este anel é dado pela solução 
do exemplo 01 substituindo q por 2rdr e a 
por r. Então 
 
 322
....2..
rx
drrxk
x
dE



 
 
O campo total, provocado pelo disco encon-
tra-se mediante a integração de dEx de r=0 
até r=R: 
 








R
rx
drrxk
R
x
dE
x
E
0 3
22
....2..
0

 
 








R
rx
drr
xk
x
E
0 3
22
..2
...  
 











x
Rx
kx
x
E
1
22
1
.2  
portanto 
 
 










22
1.2
Rx
x
k
x
E  
 
Observação: 
- Para o caso de um campo nas vizinhanças 
de um plano infinito de carga, pode ser ob-
tido a partir do resultado anterior, fazendo-
se R tender para o infinito ou x tender para 
zero. Então 
 27 
 
 Ex = 2k 
 
Assim, o campo devido a uma distribuição 
de carga, plana e infinita, é uniforme, isto 
é, o campo não depende de x. 
 
05) Calcular o campo elétrico devido a uma 
casca esférica de carga. 
Solução: 
Seja um ponto P fora da casca. A geometria 
é mostrada na figura 2.6.5. Por simetria o 
campo deve ser radial. Podemos considerar 
a casca esférica como um conjunto de ele-
mentos anelares e usar o resultado do 
exemplo 01. escolhendo, então, como ele-
mento de carga a faixa assinalada na figura, 
cuja circunferência é 2Rsen e a largura é 
Rd. A área dessa faixa é dA=2R2send, e 
a carga é: 
 
 
 
Fig 2.6.5. Casca esférica de raio R, com uma 
carga superficial uniforme. uma distância 
r do centro da esfera é calculado medi-
ante o cálculo do campo de um anel de 
largura Rd e raio R.sen seguido pela 
integração sobre todos os anéis, de =0 
até =. O campo resultante, com r>R, 
coincide com o campo que existiria se 
todas as cargas estivessem na origem. 
Quando o ponto P está no interior da 
casca, o campo devido a casca é nulo. 
 
 
  dRdAdq .sen.
2
..2..  
 
A componente radial do campo devido a es-
se anel é: 
 
 cos
2
.

s
dqk
r
dE 
 

cos
2
sen.
2
..2.
s
dRk
r
dE  (1) 
Antes de se integrar sobre a distribuição de 
carga, deve-se eliminar duas entre as três variá-
veis relacionadas s,  e . È conveniente escre-
ver tudo em função de s, que varia desde s = r – 
R em =0 até s = r+R em =. Pela lei dos cos-
senos, tem-se que: 
 
 cos...2
222
RrRrs  (2) 
 
diferenciando ambos os membros, fica: 
 
  dRrdss .sen..2.2  
ou 
 
Rr
dss
d
.
.
.sen  (3) 
Uma expressão para cos também pode ser 
obtida a partir da lei dos cossenos aplicadas ao 
mesmo triângulo. Tem-se: 
 cos...2
222
rsrsR  
ou 
 
rs
Rrs
..2
222
cos

 (4) 
 
substituindo esses valores na equação (1), 
fica: 
 
 
rs
Rrs
Rr
dss
s
Rk
r
dE
..2
222
.
.
2
2
..2.. 


 
 ds
s
Rr
r
Rk
r
dE







 

2
22
1
2
... 
 (5) 
 
O campo devido à carga da casca inteira, 
encontra-se pela integração de s=r-R (=0) até 
s=r+R (=): 
 



Rr
Rr
r
dEE 













Rr
Rr
ds
s
Rr
r
Rk
r
E
2
22
1
2
... 
 
 













Rr
Rr
ds
s
Rr
r
Rk
r
E
2
22
1
2
... 
 
 28 
Rr
Rr
s
Rr
s
r
Rk
r
E











 22
2
... 
 
 
2
2
.4..
r
Rk
r
E

 (6) 
como a carga total da carga pode ser dada 
por: 
 
2
..4. Rq  
então: 
 
2
r
q
k
r
E  
 
Que é um resultado esperado, pois quando 
r>R a casca se comporta como uma carga 
puntiforme colocada na origem 
Observação: 
Considerando um ponto no interior da casca 
esférica, o cálculo é idêntico, exceto que, 
neste caso, s varia de R-r ata r+R, ou seja: 
 
Rr
rR
s
Rr
s
r
Rk
r
E











 22
2
... 
 
portanto: 
 0
r
E 
que também é um resultado esperado pelo 
estudo das linhas de força dessa distribuição 
de carga. 
 
06) Calcular o campo elétrico devido a uma esfe-
ra maciça de densidade de carga =Q/V, 
onde V=4R3/3 é o volume da esfera de car-
ga. 
Solução: 
Considerando a esfera como um conjunto de 
cascas esféricas concêntricas e usando o 
resultado obtido no exemplo 05, ou seja, que 
o campo provocado por uma casca é nulo no 
interior da casca e kq/r2 no exterior da casca, 
onde q é a carga da casca. Nos pontos ex-
ternos à esfera maciça de carga, cada casca 
provoca um campo idêntico ao de uma carga 
puntiforme no centro da esfera, e com r>R 
temos: 
 
2
r
Q
k
r
E  
Considerando agora, um ponto P no interior 
da esfera, r |q|. As 
duas cargas estão separadas pela distância 
d. Determine o ponto sobre o eixo que une 
as cargas para o qual a campo elétrico é nu-
lo. 
 R: d
qQ
qQQ


 .
, mais próximo da carga q 
 
02) Uma carga de 0,5C está uniformemente 
distribuída num anel de 3cm de raio. Calcu-
lar o campo elétrico sobre o eixo do anel a 
uma distância: a) de 1cm, b) de 2cm c) de 
3cm e d) de 600cm do centro do anel. R: 
1,423 x 106i N/C, 
 1,920 x 106i N/C, 1,768x106i N/C 
 125i N/C03) Um segmento de reta uniformemente carre-
gado tem a densidade linear de carga  e 
está sobre o eixo dos x desde x=-a até x=b. 
Calcular a expressão da componente y do 
campo elétrico num ponto sobre o eixo dos 
y. 
 R: 












2222
.
by
b
ay
a
y
k
y
E

 
 
04) Uma reta carregada tem a densidade linear  
= 2C/m e o comprimento de 6m. Calcular o 
campo elétrico sobre a mediatriz do segmen-
to, nas distâncias de 2cm e de 60m. 
 R: 1,79996x106N/C e 29,96N/C 
 
05) Um disco, de raio 6cm, tem uma densidade 
superficial de carga elétrica constante de 
30C/m2. Calcular o campo elétrico sobre o 
eixo do disco a distâncias de : a) 0,01cm 
b) 0,02cm c) 0,03cm d) 500cm. 
 R: a) 1,694x106N/C b) 1,691x106N/C 
 c) 1,688x106N/C d) 122,13N/C 
 
06) Uma casca esférica de raio 10cm tem uma 
carga de 2C, uniformemente distribuída so-
bre a sua superfície. Calcular o campo elé-
trico nas seguintes distâncias: 
 a) 5cm b) 9,99cm c) 10,01cm 
 d) 20cm e) 40cm 
 R: a) 0 b) 0 c) 1,796x106N/C 
 d) 4,5x105N/C e) 1,125x105N/C 
 
 
2.7. CAMPO ENTRE DUAS PLACAS PLANAS 
PARALELAS COM CARGAS DE SINAIS 
OPOSTOS 
 
Sejam as duas placas condutoras planas e 
paralelas, tendo o espaçamento mostrados na 
figura 2.7.1, a seguir: 
 
 
Fig. 2.7.1. Campo elétrico entre duas placas pla-
nas paralelas e carregadas com car-
gas opostas. 
 
Se as placas da figura 2.7.1 receberem car-
gas iguais mas de sinais opostos, o campo entre 
elas e nas suas proximidades será aproximada-
mente igual ao mostrado na figura 2.7.1a. Embo-
ra a maior parte das cargas se acumulem sobre 
as faces internas opostas das placas e o campo 
seja essencialmente uniforme no espaço entre 
elas, existe uma pequena quantidade de cargas 
sobre as superfícies externas, resultando uma 
certa dispersão ou um “franjamento” do campo 
nas bordas das placas. 
Quanto maiores as placas e quanto menor a 
distância entre elas, menor se torna a influência 
relativa do efeito de franjas das bordas. Este tipo 
 30 
de configuração, com um par de placas com 
cargas de sinais opostos e separados por uma 
distância pequena, em relação às suas dimen-
sões lineares, é encontrado em muitos compo-
nentes de equipamentos elétricos, notadamente 
nos capacitores. Em muitos casos, o efeito de 
bordas é completamente desprezível e mesmo 
quando não o é, é normalmente desprezado 
para maior simplicidade de cálculo. Pode-se, 
então, supor que o campo elétrico entre duas 
placas carregadas opostamente é uniforme, 
como na figura 2.7.1b e que as cargas são dis-
tribuída uniformemente sobre as faces internas. 
O campo elétrico, em qualquer ponto, pode 
ser considerado como a resultante dos campos 
devidos às duas camadas de cargas de sinais 
opostos. Assim, nos pontos a e c da figura 
2.7.1b, as componentes E1 e E2 têm a mesma 
intensidade, 2..k. (ver exemplo 04 da seção 
2.6), mas direções opostas, dando resultante 
nula.. Em qualquer ponto b entre as placas, as 
componentes têm a mesma direção e sentido, e, 
a sua resultante será: 
 
 E = 4..k. (2.7.1) 
 
A equação 2.7.1 fornece o campo elétrico 
em qualquer ponto entre as placas. 
 
 
 
2.7.1. MOVIMENTO DE CARGAS PUNTIFOR-
MES NOS CAMPOS ELÉTRICOS 
 
Quando se coloca uma carga q num campo 
elétrico E, a carga sofre uma força qE. Se ape-
nas esta força agir sobre a carga, a partícula 
terá uma aceleração qE/m, onde m é a massa 
da partícula. Se o campo elétrico for conhecido, 
a razão entre a carga e a massa da partícula 
(carga específica) pode ser determinada a partir 
da aceleração medida. Por exemplo, num campo 
elétrico uniforme no espaço e constante no tem-
po (estático) a trajetória da partícula é parabóli-
ca, semelhante à de um projétil num campo gra-
vitacional uniforme. 
A medição da deflexão dos elétrons num 
campo elétrico uniforme foi usada por J. J. Tho-
mson em 1897 para demonstrar a existência de 
elétrons e medir a respectiva carga específica. 
 
EXEMPLOS 
 
01) Um elétron foi projetado num campo elétrico 
uniforme E = 1000N/C com a velocidade de 
2x106m/s paralela ao campo e no mesmo 
sentido das linhas de campo. Qual é a dis-
tância percorrida pelo elétron até ficar mo-
mentaneamente em repouso? 
Solução: 
vo = 2x106m/s; v = 0; E = 1000N/C; 9,11x10-
31kg; x=? 
Como campo é uniforme, a força sobre o 
elétron é constante e, como a força é cons-
tante, a aceleração também é constante, 
portanto, o movimento descrito pelo elétrons 
é um movimento uniformemente uniforme. 
Então, a partir da equação de Torricelli: 
 
 V2 = vo
2 + 2.a.x onde 
m
Eq
a
.
 
Ou seja: 
 x
m
Eq
o
vv  




 .
2
22
 
ou 
 
 
Eq
v
o
vm
x
..2
22
. 
 
Substituindo os valores, fica: 
 
1000.
19
106,1.2
0
6
102.
31
1011,9





x 
Portanto: 
 
 mx
2
10139,1

 
 
 
02) Um elétron é projetado num campo elétrico 
uniforme E = 2000N/C com velocidade inicial 
de 106m/s, perpendicular ao campo. Compa-
rar o peso do elétron à força elétrica que 
atua sobre ele. Qual a deflexão do elétron 
depois de percorrer 1cm? 
 Solução: 
 m=9,11x10-31kg; E=2000N/C; vo=106m/s; 
q=e=1,6x10-19C, x=1cm=1x10-2m, F/P=?; 
y=? 
 
A razão entre a força elétrica e o peso é: 
13
10584,3
8,9
31
1011,9
2000
19
106,1
.
.








gm
Eq
P
F
 
Para calcular a deflexão do elétron, antes 
deve-se encontrar o tempo gasto pelo elé-
tron para percorrer 1cm, perpendicularmente 
ao campo. Na direção perpendicular às li-
nhas de campo, a força é nula, a aceleração 
é nula e o movimento é uniforme, então, o 
tempo gasto é: 
 31 
 s
o
v
x
t
8
10
6
10
2
101 



 
Na direção paralela às linhas de campo, a 
aceleração é constante e o movimento é uni-
formemente variado, com velocidade inicial 
igual a zero e posição inicial igual a zero, en-
tão: 
 
2
2
1
ta
y
o
v
o
yy  , com 
m
Eq
a
.
 
ou seja: 
 
2.
2
1
t
m
Eq
y  
Substituindo os valores, fica: 
  28
10
31
1011,9
2000
19
106,1
2
1 






y 
Portanto: 
 
 y = 1,756 x 10-2m 
 
 y = 1,756cm 
 
 
EXERCÍCIO 
 
01) Um campo elétrico uniforme tem intensidade 
de 4000N/C. Uma partícula com carga de 
2C e massa de 0,5g é abandonada no inte-
rior desse campo. Determine a aceleração 
adquirida pela partícula. R: 40m/s2 
 
02) Numa região do espaço existe um campo 
elétrico uniforme de intensidade de 
200000N/C. Uma partícula de massa 0,4g 
e carga de 3C é lançada paralelamente às 
linhas de campo e em sentido contrário ao 
das linhas de campo, com uma velocidade 
de 4x103 m/s. Considerando que a força elé-
trica é a única força que atua sobre a partí-
cula, determine o máximo afastamento que a 
partícula sofre, em relação ao ponto de lan-
çamento e quanto tempo ela leva para voltar 
ao ponto de lançamento. 5,33m e 0,005333s 
 
 
2.8. DIPOLOS ELÉTRICOS EM CAMPOS ELÉ-
TRICOS 
 
Embora os átomos e as moléculas sejam 
eletricamente neutros, ambos são afetados pe-
los campos elétricos, pois contêm cargas positi-
vas e negativas. Em algumas moléculas o centro 
de carga positiva não coincide com o centro de 
carga negativa. Estas moléculas polares têm um 
momento de dipolo elétrico permanente. Quando 
uma destas moléculas é colocada num campo 
elétrico uniforme, não há uma força líquida sobre 
elas, mas há um torque, que tende a fazer a 
molécula girar. Num campo elétrico não uniforme 
a molécula sofre uma força resultante, pois o 
campo no centro das cargas positivas é diferente 
do que existe no centro das cargas negativas. 
Um exemplo de molécula polar é CO, uma com-
binação de um átomo de carbono, com seis elé-
trons, com um de oxigênio, com oito elétrons. 
Os átomos e as moléculas em que os cen-
tros de cargas positivas e negativas coincidem 
tambémsão afetados por um campo elétrico. Em 
virtude de a força elétrica sobre uma carga posi-
tiva estar no sentido oposto ao da carga negati-
va, o campo elétrico tende a separar, ou a pola-
rizar estas cargas. Estes sistemas então tem um 
momento de dipolo induzido quando estão num 
campo elétrico, e também experimentam uma 
força resultante num campo elétrico não unifor-
me. A força provocada por um campo elétrico 
não uniforme sobre um sistema de cargas eletri-
camente neutro é a responsável pela atração de 
pequenos pedaços de papel, eletricamente des-
carregados, por um pente eletricamente carre-
gado. 
A figura 2.8.1 mostra um esquema de uma 
molécula polar, com a posição dos centros de 
cargas positiva e negativa: 
 
 
 
 - + 
 
 L 
 
Fig. 2.8.1: Esquema de uma molécula polar. Os 
centros das cargas positiva e negativa 
estão separados por uma distância L. 
A molécula comporta-se como um di-
polo elétrico de momento p=qL, onde 
q é o módulo da carga total positiva ou 
negativa. 
 
O centro de carga define-se de maneira aná-
loga ao centro de massa, com a massa substitu-
ída pela carga. O comportamento dessas molé-
culas pode ser descrito por um vetor p, denomi-
nado momento de dipolo. Seja q a carga positiva 
total da molécula e –q a carga total negativa. O 
momento de dipolo da molécula define-se como 
o produto da carga q pelo vetor deslocamento L, 
 32 
que vai do centro das cargas negativas para o 
centro das cargas positivas, ou seja, 
 
 p = q.L (2.8.1) 
 
Onde: p é o momento; 
 q é a carga elétrica; 
 L vetor com origem no centro das 
cargas positivas e extremidade no 
centro das cargas negativa. 
 
Uma unidade conveniente para os momen-
tos de dipolo elétrico dos átomos e moléculas é 
o produto da carga elementar e pela distância 
1nm. Por exemplo, o momento de dipolo do 
NaCl, nestas unidades, tem o valor aproximado 
de 0,2e.nm. O diâmetro de uma molécula é da 
ordem de 10-10m = 0,1nm. 
As vezes, é possível simplificar a descrição 
do comportamento de uma molécula polar num 
campo elétrico, mediante a substituição da com-
plicada distribuição de carga da molécula por um 
simples momento elétrico, constituído por duas 
cargas q e –q separadas pela distância L, e ten-
do o mesmo momento de dipolo que a molécula. 
Na figura 2.8.2 é mostrado um dipolo sim-
ples cujo momento de dipolo forma um ângulo  
com um campo elétrico uniforme E. 
 
 E 
 
 +q 
 F1 
 
 L  
 
 
 
F2 -q 
 
 
 Figura 2.8.2: Dipolo elétrico num campo elétri-
co uniforme. A força resultante so-
bre o dipolo é nula, porém, existe 
um torque resultante L x F1 = qL x E 
= p x E. 
 
Na figura 2.8.2 as forças que atuam sobre o 
dipolo são: 
 
 
F1 = qE e F2 = –qE (2.8.2) 
 
 
Essas forças tem a mesma direção mas sen-
tidos opostos e módulos iguais, pois o campo 
elétrico é uniforme. A força elétrica resultante 
sobre o dipolo é nula. No entanto, as duas forças 
provocam um torque que tende a girar o dipolo 
de modo que ele aponta no sentido do campo 
elétrico. Sabe-se que o torque produzido por 
duas forças iguais e opostas, um conjugado ou 
par, é o mesmo em qualquer ponto do espaço. 
Observando a figura 2.8.2 vê-se que em tor-
no da carga negativa tem o módulo 
 
p1 = F1Lsen = qELsen = pEsen (2.8.3) 
 
A direção do torque dado pela equação 2.8.3 
para a figura 2.8.2, é perpendicular à página e 
com sentido de entrada no plano. Esse torque 
faz com que o momento de dipolo p gire na 
direção de alinhamento com o campo elétrico E. 
Este torque pode ser escrito, convenientemente, 
como o produto vetorial do momento de dipolo p 
pelo campo elétrico E: 
 
 
p E   (2.8.4) 
 
Onde:  é o torque sobre o dipolo 
 p é o momento de dipolo 
 E é o campo elétrico 
 
Se um dipolo elétrico for colocado num cam-
po elétrico uniforme de modo a formar um ângu-
lo  com o campo, sofrerá um torque de módulo 
pEsen que tende a girar o dipolo no sentido da 
sua posição de equilíbrio  = 0. 
Se o dipolo for livre, o torque provocará sua 
rotação, de modo que o verto p oscila em torno 
da posição de equilíbrio  = 0 até que a sua 
energia seja dissipada. Pode-se calcular a ener-
gia potencial de um dipolo num campo elétrico 
uniforme mediante o cálculo do trabalho que se 
deve fazer para aumentar o ângulo . Se for 
aplicado um torque de módulo pEsen e o dipolo 
for girado de um ângulo d, o trabalho efetuado 
será igual ao aumento da energia potencial, 
dado por: 
 
 
dU pEsen d  (2.8.5) 
 
Integrando, ambos os membros da equação 
2.8.5, encontra-se: 
 
0cosU pE U   (2.8.6) 
 
A equação 2.8.6 fornece a energia potencial 
de um dipolo num campo elétrico uniforme. Essa 
 33 
energia depende de um valor Uo. Tomando usu-
almente, como sendo nula a energia potencial 
quando o dipolo está perpendicular ao campo 
elétrico, isto é, U = 0 quando  = 90º. Dessa 
forma: Uo = 0, e, a equação 2.8.6 fica: 
 
cosU pE   (2.8.7) 
 
Lembrando da definição de produto interno 
de dois vetores, a equação 2.8.7, se transforma 
em: 
 
U p E   (2.8.8) 
 
Se o dipolo elétrico for colocado num campo 
elétrico não uniforme, como mostrado na figura 
2.8.3, a seguir: 
 
 
 
 
 
 +q 
 F1 
 
 
 F2 -q 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.8.3: Para a orientação geral de um di-
polo elétrico num campo elétrico não-
uniforme há um torque resultante, que ten-
de a alinhar o dipolo com o campo e uma 
força resultante sobre o dipolo. Neste ca-
so,a força resultante tem uma componente 
paralela a E e uma pequena componente 
para baixo. O seu módulo depende do 
momento de dipolo p, da sua orientação e 
da taxa de modificação do campo no es-
paço. 
 
Na figura 2.8.3, vê-se que a força resultante 
sobre o dipolo tem uma componente para baixo 
e uma outra na direção dos campos crescentes. 
A força resultante depende da orientação do 
diplo no campo, do momento de dipolo e da taxa 
de variação do campo no espaço. Dessa manei-
ra, então, além do torque que tende a alinhar o 
dipolo com o campo, existe uma força resultante 
sobre ele. 
A maioria das moléculas, e todos os átomos, 
são apolares, isto é, têm coincidentes os centros 
das cargas elétricas positivas e negativas e não 
há momento de dipolo elétrico permanente. No 
entanto, um campo elétrico externo provoca a 
separação da distribuição das cargas positivas e 
negativas, o que induz um momento de dipolo, 
como mostra a figura 2.8.4, a seguir: 
 
 
 E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 2.8.4: Esquema de uma molécula apolar. 
Em (a), a molécula está na ausência de 
um campo elétrico externo, o centro das 
cargas positivas coincide com o das car-
gas negativas e, não há momento de di-
polo. Em (b) existe um campo elétrico 
externo e, os centros das cargas elétri-
cas positivas e negativas são desloca-
dos, provocando-se um momento de di-
polo paralelo ao campo externo. O mó-
dulo do momento de dipolo depende do 
módulo do campo elétrico E. 
 
Desde que a carga positiva se desloca no 
sentido do campo e a negativa se desloca em 
sentido oposto, o momento de dipolo induzido 
está sempre na direção do campo elétrico exter-
no. Dessa formanão há torque, pois o ângulo 
entre o momento de dipolo p e o campo elétrico 
E é nulo. 
Se o campo elétrico não for uniforme, haverá 
uma força externa atuando sobre o dipolo. Na 
figura 2.8.5, observa-se uma molécula apolar no 
campo elétrico de uma carga puntiforme Q. Nes-
sa figura, observa-se que o momento de dipolo 
induzido é paralelo ao campo elétrico E, na dire-
ção radial da carga puntiforme Q. Em virtude de 
o campo elétrico ser mais intenso na carga ne-
gativa, a força sobre o dipolo tem sentido para a 
carga puntiforme Q e o dipolo é atraído para a 
carga puntiforme Q. Se a carga puntiforme Q 
fosse negativa, o dipolo induzido teria sentido 
oposto, e o dipolo seria novamente atraído pela 
carga elétrica puntiforme Q. 
Diante o que foi exposto, pode-se elaborar a 
seguinte questão: uma pequena esfera conduto-
ra, leve e sem carga elétrica, está pendurada por 
um fio isolante e leve. Quando dela se aproxima 
uma carga positiva, a esfera é atraída; Por quê? 
 34 
Se a esfera fosse feita de um material isolante, 
continuaria a ser atraída; Por quê? A situação 
seria diferente se a carga aproximada fosse 
negativa em vez de positiva? 
 
 
 
 F2 
 
 
 
 p 
 
 F1 
 
 
 Q 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.8.5: Molécula apolar no campo elétrico 
de uma carga puntiforme positiva. O 
momento de dipolo induzido é paralelo 
ao campo E. Como a carga puntiforme Q 
está mais próxima do centro de cargas 
negativas que do centro de cargas posi-
tivas, o dipolo é atraído para a carga 
puntiforme Q. 
 
 
EXERCÍCIO 
 
01) Duas cargas elétricas puntiformes q1 = 2pC e 
q2 = -2pC estão separadas por uma distân-
cia de 4m. Considerando que q2 está sobre 
a origem do plano cartesiano e que q1 está 
sobre o eixo x, qual é o momento de dipolo 
desse par de cargas? R: p = 8x10-18iCm 
 
02) Um dipolo, com momento 0,5enm, está colo-
cado num campo elétrico uniforme de inten-
sidade4x104N/C. Qual é o valor do torque 
sobre o dipolo quando: 
 a) O dipolo está paralelo ao campo elétrico? 
 R: zero 
 b) O dipolo está perpendicular ao campo 
elétrico? R: 3,2x10-24Nm 
 c) O dipolo forma um ângulo de 30º com a 
direção das linhas do campo elétrico. 
 R: 1,6x10-24Nm 
 
03) Um dipolo elétrico é constituído por duas 
cargas +q e –q separadas por uma distância 
muito pequena 2a. O seu centro está sobre 
o eixo dos x em x = x1 e aponta ao longo do 
eixo dos x para os x positivos. O dipolo está 
imerso num campo elétrico não uniforme, 
que também tem a direção do eixo dos x, 
dado por E = Cxi, onde C é uma constante. 
 a) Calcular a força sobre a carga positiva e 
sobre a carga negativa e mostrar que a 
força resultante sobre o dipolo é Cpi. 
 b) Mostrar que, em geral, se o momento do 
dipolo p está orientado ao longo do eixo x, 
num campo elétrico de direção x, a força 
resultante sobre o dipolo é dada aproxi-
madamente por ( )x
d
F E pi
dx
 . 
 
04) Um dipolo elétrico é formado por duas car-
gas q1 = - 6nC e q2 = 6nC, colocadas nos 
pontos (2, 3)mm e (6, 6)mm, respectivamen-
te. Sabendo que, nessa região, existe um 
campo elétrico uniforme de intensidade 
5x105N/C, de direção paralela ao eixo x e 
sentido coincidindo com o do eixo x, deter-
mine: 
 a) O vetor L, distância entre os pontos. 
 R: L = (4i + 3j)mm 
 b) O momento de dipolo desse par de car-
gas. R: p = (4i + 3j)x10-12Cm 
 c) O torque sobre o dipolo. (1,5x10-6)kNm