Unidade 16

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MECÂNICA 
DOS SOLOS 
APLICADA
Cleber Floriano
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
F635m Floriano, Cleber.
 Mecânica dos solos aplicada / Cleber Floriano. – Porto 
 Alegre : SAGAH, 2017.
 263 p. : il. ; 22,5 cm. 
 ISBN 978-85-9502-064-1
 1. Mecânica do solo. 2. Engenharia. I. Título. 
CDU 624.131 
Livro_MecanicaSolo.indb 2Livro_MecanicaSolo.indb 2 13/03/2017 16:48:2313/03/2017 16:48:23
Coefi cientes de empuxo e 
sua relação com a interação 
solo/estrutura, aspectos 
gerais que infl uenciam na 
determinação do empuxo
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 Defi nir o conceito de empuxo lateral de solos.
 Determinar os coefi cientes de empuxo do solo.
 Entender o que é o estado ao repouso, empuxo ativo e empuxo
passivo.
Introdução
Neste capítulo, vamos introduzir o assunto sobre empuxos laterais no 
solo. Faremos a determinação e o entendimento dos coeficientes de 
empuxo em função da avaliação do estado de tensões plano e o círculo 
de Mohr. Entenderemos o que é o estado de tensões geostático, bem 
como desenvolveremos o raciocínio sobre como ocorre a mobilização 
do estado ativo e passivo de Rankine. Por fim, de forma sucinta, cita-se 
os possíveis métodos e relata-se a importância do atrito de interface 
solo-estrutura.
U N I D A D E 4 
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Coeficiente de empuxo nos solos e estado de 
deformação
O Empuxo corresponde a um vetor força resultante e está relacionado à ação 
produzida pelo maciço de solo sobre as obras que estão em contato. Determinar 
o valor do empuxo de solo atuante nas estruturas é fundamental para análise 
e verifi cações de projetos de estruturas em contato com solo, como: muros de 
arrimo, escavações de subsolo, contenções em encontro de pontes, tubulações 
de água ou esgoto, projeto de fundações, entre outros.
Você pode observar que as pressões de solo que atuam sobre as estruturas 
abaixo da superfície do terreno são dependentes do estado de deformações 
em que se encontram. Neste caso, a relação entre tensões e deformações não 
é simplesmente linear, fazendo com que a solução para o problema não seja 
trivial, pois são muitas variáveis associadas.
A forma simples de entender o problema é submeter a estrutura a três 
tipos de estados de deformações. São estados de referência para o cálculo de 
estruturas nas diversas situações que podem existir na presença uma estrutura 
enterrada. Os seguintes estados são:
  Estado geostático (ou de repouso).
  Estado ativo.
  Estado passivo.
Vamos entender cada um destes estados e como eles se desenvolvem nas 
estruturas!
Estado geostático (ou de repouso)
No estado geostático, há equilíbrio de tensões em todas as direções. A estrutura 
não permite que ocorra deformações ou deslocamentos do solo, portanto, neste 
caso, ocorre uma situação em que as deformações entre o solo e a estrutura 
são praticamente nulas.
Podemos citar diversos exemplos em que se aplica o estado geostático como: 
galerias, bueiros, túneis, o fuste de fundações profundas, tanques enterrados, 
entre outros, exemplificados na Figura 1.
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Figura 1. Situações de estruturas em que o estado geostático atua. 
Nas situações de estado ao repouso, as pressões laterais são calculadas 
a partir das pressões verticais de solo, no caso, calcula-se tensões efetivas. 
O efeito da água em situações como esta jamais deve ser desprezado. Você 
entenderá o motivo no decorrer deste e dos próximos capítulos. 
A equação que governa o estado de repouso corresponde ao equilíbrio mecâ-
nico supondo comportamento elástico-linear das tensões efetivas. Não somente 
os solos, mas a maior parte dos materiais naturais apresentam propriedades 
anisotrópicas, ou seja, diferentes propriedades em diferentes direções. Mas, 
existem também materiais isotrópicos, como a água, em que as propriedades 
são iguais em qualquer direção. 
Como nosso assunto é mecânica dos solos, tratamos de anisotropia e iso-
tropia de comportamento mecânico. Assim, nota-se que os solos apresentam 
tensões verticais na sub-superfíce diferentes das tensões horizontais. Eis que 
surge neste estado de equilíbrio definido por um coeficiente que relaciona as 
tensões verticais efetivas com as tensões horizontais efetivas:
σ’h0 = k0 × σ’v0
Onde:
σ’h0 - é a pressão lateral efetiva.
σ’v0 - é a pressão vertical efetiva.
k0 - é o coeficiente de empuxo ao repouso na teoria da elasticidade, a 
expressão mais utilizada é a equação Jaky (1944) que foi simplificada 
por este mesmo autor em 1948. Trata-se de uma solução teórica a 
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partir da mecânica do contínuo apresentando aproximação com valores 
experimentais geralmente obtidos de ensaios triaxiais e ensaios com o 
pressiômetro auto-perfurante (ensaio de campo especial). A equação de 
Jaky (1944 e 1948) apud Pipatpongsa e Vardhanabhuti (2016) é utilizada 
da seguinte forma e compatível com solos granulares:
k0 = 1 - senØ
onde:
Ø - é o ângulo de atrito interno do solo.
A Tabela 1 indica algumas formulações utilizadas para a definição de 
k0 incluindo exemplos utilizados em solos argilosos moles. Os valores de k0 
varia em torno de 0,5.
Equação Origem Autores
Teórica - original de Jaky Jaky (1944)
ko = 1 - senØ’ Simplificação de Jaky Jaky (1948)
ko = 0,95 - senØ’ Para argilas 
normalmente adensadas
Brooker e 
Ireland (1965)
ko = (1 - senØ’) . OCRsenØ’ Para argilas 
pré-adensada
Mayne & 
Kulhawy (1981)
Tabela 1. Fórmulas utilizadas para a definição de k0
Quando desejarmos dimensionar qualquer estrutura de concreto que não permite 
nenhum tipo de deslocamento ou deformações, devemos utilizar como coeficiente 
de empuxo, o valor de ko. Caso aplicarmos o valores de ka estaremos indicando um 
valor de empuxo menor do que de fato irá ocorrer, isto acarreta em sérios danos a 
estrutura como fissuração, deterioração precoce ou até mesmo a ruína. 
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Estados ativos e passivos
Observando a Figura 2 podemos notar como ocorre a mudança de estado 
segundo interpretação gráfi ca pelos círculos de Mohr. 
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Estado ativo de Rankine
O estado ativo representa a situação em que o solo se movimenta contra a 
estrutura (ver Figura 3). A massa de solo se plastifi ca por expansão lateral. 
Desta forma, mobiliza-se a máxima resistência ao cisalhamento do solo atrás 
da estrutura, num plano defi nido com ângulo teórico (45° - Ø/2) formando um 
prisma, chamado, no estado plano, de cunha ativa. Nesta situação dizemos 
que o solo se encontra no Estado “crítico” ativo.
Para efeito de cálculo de empuxo, podemos atribuir esta condição às pres-
sões que atuam no tardoz (atrás) de um muro de arrimo. São as pressões que 
empurram o muro. 
Figura 3. Situações de estruturas no estado ativo.
Vamos observar o estado de tensões ativo com base no círculo de Mohr. 
Primeiro, consideramos o círculo de Mohr no estado de repouso (tracejado 
da Figura 4), este representa a condição do solo antes do muro ser construído. 
Notamos que nosso ponto de referência se encontra a uma profundidade que 
corresponde a uma tensão maior vertical efetiva (σv’). A tensão menor é repre-
sentada pela tensão horizontal ao repouso (σho’).À medida que executamos o 
muro e construímos o aterro ao tardoz, passamos a mobilizar as tensões até 
que atinja o estado crítico ativo, ou seja, a tensão horizontal desloca-se (há uma 
expansão lateral com redução do valor da tensão horizontal efetiva) passando 
a ser a tensão horizontal crítica ativa (σha’) naquele estado de tensões, forma-
tando, assim, o círculo ativo. Este círculo ativo tangencia o que chamamos de 
envoltória crítica (envoltória de ruptura). Na verdade isto representa o limite 
da condição de estabilidade mecânica na expansão lateral. Notamos, portanto, 
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que se forma uma reta interceptando o eixo da tensão de cisalhamento, que 
corresponde a um intercepto coesivo do solo (c), com um ângulo definido e 
conhecido, que corresponde ao ângulo de atrito interno do solo (Ø). 
Você vai notar que para qualquer estado de tensões (qualquer profundi-
dade - σv’), teremos na condição crítica ativa um circulo de Mohr que tangencia 
a envoltória crítica. Com um pouco de geometria, podemos notar que uma reta 
perpendicular na envoltória crítica intercepta o centro do círculo crítico ativo 
e seu tamanho corresponde ao raio deste círculo (ver Figura 4).
Uma importante discussão que você deve fazer é se o coeficiente de empuxo é re-
presentativo para o dimensionamento da estrutura uma vez que ele determina a 
magnitude dos empuxos laterais. Por exemplo, muros de concreto armado trabalham 
a flexão, são dimensionados utilizando empuxos ativos. Mas para que mobilize os 
empuxos ativos deve-se deformar a estrutura (sofrer flexão). O nível de deformação 
atingido pela estrutura é compatível com o seu estado limite de serviço? Não haverá 
abertura de fissuração no concreto?
Figura 4. Círculo de Mohr no estado ativo.
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Segundo o círculo de Mohr o raio ativo pode ser definido geometricamente, 
como:
Com um pouco de trigonometria, conseguimos definir a seguinte equação:
Considerando que o coeficiente de empuxo é uma relação entre tensão 
horizontal e vertical, agora com um pouco de álgebra, conseguimos obter que 
o coeficiente de empuxo ativo depende matematicamente somente do ângulo 
de atrito interno do solo.
Portanto, a expressão que define o valor do empuxo ativo em função do 
ângulo de atrito interno resume assim:
A expressão do empuxo de forma mais simplificada e aplicável é apre-
sentada a seguir:
Estado passivo de Rankine
O estado passivo representa a situação em que a estrutura se movimenta contra 
o solo, ou seja, a estrutura exerce compressão deslocando o solo à sua frente 
(no pé do muro), como mostra a Figura 5.
A massa de solo se plastifica por compressão lateral. Desta forma, mobiliza-
-se a máxima resistência ao cisalhamento do solo atrás da estrutura num plano 
definido com ângulo teórico (45° + Ø/2) formando um prisma chamado no 
estado plano de cunha passiva. A esta situação dizemos que o solo se encontra 
no Estado “crítico” passivo.
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Para efeito de cálculo de empuxo, podemos atribuir esta condição às pres-
sões que atuam no tardoz (atrás) de um muro de arrimo. São as pressões que 
empurram o muro. 
Figura 5. Situações de estruturas no estado passivo. 
Assim como fizemos para o estado ativo, agora vamos observar o estado 
de tensões passivas com base no círculo de Mohr. Primeiro, consideramos o 
círculo de Mohr no estado de repouso (tracejado), este representa a condição 
do solo antes do muro ser construído. Notamos que nosso ponto de referên-
cia se encontra a uma profundidade que corresponde a uma tensão maior 
vertical efetiva (σv’). A tensão menor é representada pela tensão horizontal 
ao repouso (σho’). À medida que executamos o muro, passamos a mobilizar 
as tensões até que atinja o estado crítico passivo, ou seja, a tensão horizontal 
desloca-se (há uma compressão lateral com aumento do valor da tensão 
horizontal efetiva) passando a ser a tensão horizontal crítica passiva (σhp’) 
naquele estado de tensões, formatando, assim, o círculo passivo. Este círculo 
tangencia o que chamamos de envoltória crítica (envoltória de ruptura). Em 
verdade, isto representa o limite da condição de estabilidade mecânica na 
compressão lateral. Notamos, portanto, que se forma uma reta interceptando 
o eixo da tensão de cisalhamento, que corresponde a um intercepto coesivo 
do solo (c), com ângulo definido e conhecido, que corresponde ao ângulo 
de atrito interno do solo (Ø).
Você vai notar que, para qualquer estado de tensões (qualquer profundidade 
- σv’), teremos na condição crítica ativa um círculo de Mohr que tangencia a 
envoltória crítica, assim como ocorre no estado ativo. 
213Coeficientes de empuxo e sua relação com a interação solo/estrutura, aspectos gerais ...
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Com um pouco de geometria, podemos notar que uma reta perpendicular, 
a envoltória crítica intercepta o centro do círculo crítico passivo e seu tamanho 
corresponde ao raio deste círculo (ver Figura 6).
Figura 6. Círculo de Mohr no estado passivo.
Segundo o círculo de Mohr, o raio passivo pode ser definido geometrica-
mente, como:
Com um pouco de trigonometria, conseguimos definir a seguinte equação:
Considerando que o coeficiente de empuxo é uma relação entre tensão 
horizontal e vertical, com um pouco de álgebra, conseguimos obter que o 
coeficiente de empuxo passivo depende matematicamente somente do ângulo 
de atrito interno do solo.
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Portanto, a expressão que define o valor do empuxo passivo em função do 
ângulo de atrito interno resume assim:
A expressão do empuxo de forma mais simplificada e aplicável é apre-
sentada a seguir:
Importante atentar-se ao detalhe de que a expressão do coeficiente de 
empuxo ativo diferencia-se do empuxo passivo somente por um sinal de 
subtração em vez de adição.
Por fim, podemos notar que o valor de ka é o inverso de kp Portanto:
Aproximadamente, a mobilização de empuxo para causar o estado ativo corresponde 
apenas à metade do valor do empuxo passivo. Por isso, na condição de calcular o em-
puxo passivo atuante em uma estrutura, muitas vezes, aplica-se um coeficiente redutor 
de 0,5, uma vez que o equilíbrio ocorrerá apenas com a mobilização do empuxo ativo.
Deformações associadas aos estados críticos
Pressões ativas e passivas são condições de plastifi cação do solo, isto é, 
situações teóricas em que as deformações se desenvolvem sem o aumento de 
tensões. Atingir um estado (ativo ou passivo) exige deformações na estrutura 
ou deslocamento. 
A Figura 7 mostra o desenvolvimento de uma parede de contenção no estado 
crítico ativo, com deslocamento delta negativo (-δ), e, a situação oposta, onde 
mostra-se a contenção no estado passivo, com deslocamento delta positivo 
(+δ). Ao lado, apresenta-se o gráfico indicando a mobilização dos dois esta-
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dos, passando pela situação de repouso (intercepto no eixo K). Nota-se que 
para mobilizar o estado ativo, a partir do estado de repouso, necessita-se de 
deslocamentos muitos menores (δA) do que aqueles exigidos para mobilizar 
o estado passivo (δP).
Médias aproximadas indicam que para o solo entrar em plastificação 
no estado ativo, as deformações devem atingir valores da ordem de 0,2% 
da altura da estrutura.Enquanto que para o solo entrar em plastificação no 
estado passivo, as deformações são muito maiores, da ordem de 4% da altura 
da estrutura solicitada. 
Figura 7. Deformações que mobilizam os estados críticos. 
Interferências nos valores dos empuxos passivos 
e ativos
Os cálculos dos empuxos podem ser obtidos de diversas formas segundo as 
teorias e métodos desenvolvidos. Apenas para citar, os principais métodos de 
cálculo avaliados são os de Coulomb, Rankine, Caquot-Kerisel, empírico de 
Terzaghi-Peck e o geométrico. No entanto, largamente utiliza-se o método 
de Coulomb para defi nição de empuxos ativos e de Rankine para a defi nição 
de empuxos passivos. 
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Em verdade, o método de Rankine trata-se de uma simplificação do método 
de Coulomb. Você estudará especificamente estes dois métodos nos próximos 
capítulos. Os demais métodos são tratados nesta unidade como complemen-
tares, não sendo apresentados. 
No método de Coulomb, é considerado o atrito entre o solo e o muro. 
Este atrito geralmente é posto em função do ângulo de atrito interno do solo. 
O ângulo de atrito de interface entre o tardoz da contenção e o solo (δ) de-
pende da rugosidade do muro e da granulometria do solo. Alguns valores de 
referência podem ser observados na Tabela 2. 
Característica da face Solo δ
Concreto pré-fabricado Fino
Grosso
0,6 Ø
0,5 Ø
Concreto moldado 
no local
Fino
Grosso
0,7 Ø
0,6 Ø
Gabiões e alvenarias Fino
Grosso
0,8 Ø
0,7 Ø
Crib-wall, solo reforçado Fino
Grosso
Ø
0,9 Ø
 Tabela 2. Valores de ângulo de interface solo-muro. 
Neste caso, entende-se por solos finos aqueles com predomínio de siltes ou 
argilas, enquanto que os solos grossos são aqueles com predomínio de areias. 
Quanto mais rugoso for o contato da estrutura com o solo, melhor será o desempenho 
desta estrutura, pois, este atrito de contato é um vetor que aponta para baixo e contribui 
com a estabilização ao tombamento e deslizamento do muro. 
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1. Quais dos estados de tensão 
ocorre relaxação das tensões 
horizontais efetivas? 
a) Passivo.
b) Ativo.
c) Repouso.
d) Ativo e passivo.
e) Ativo passivo e repouso.
2. Calcule o coeficiente de empuxo 
ativo, considerando que no ensaio 
de cisalhamento direto obteve-se 
ângulo de atrito de 30°. 
a) 1/3.
b) 0,3.
c) 3.
d) 0,23.
e) 0,38.
3. Calcule o coeficiente de empuxo 
passivo, considerando que no ensaio 
de cisalhamento direto obteve-se 
ângulo de atrito de 30°. 
a) 1/3.
b) 0,3.
c) 3.
d) 0,23.
e) 0,38.
4. Estime a deformação ativa e 
passiva para uma hipotética 
estrutura de contenção 
com altura de 10 m. 
a) Ativa: 2 cm, passiva: 40 cm
b) Ativa: 20 cm, passiva 40 cm 
c) Ativa: 0,2 cm, passiva: 4 cm
d) Ativa: 0,2 m, passiva: 4 m
e) Ativa: 0,02 m, passiva: 0,04 m
5. Ao escavar uma parede de 
solo sem colocar contenção, 
provocamos em uma determinada 
profundidade a ruptura desta 
escavação. Esta ruptura é uma 
demonstração física: 
a) Da ação de empuxo passivo, 
atuante no maciço de solo.
b) Da ação do empuxo ao repouso, 
atuante na parede escavada.
c) Da ação de plastificação, 
criando uma cunha de solo 
por mobilização passiva 
na frente de escavação.
d) Da ação de plastificação, 
criando uma cunha de solo 
por mobilização ativa na 
frente de escavação
e) Da mobilização de atrito 
ativo, devido ao equipamento 
de escavação.
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BROOKER, E. W.; IRELAND, H. O. Earth pressures at rest related to stress history. Canadian 
Geotechnical Journal, Ottawa, v. 2, n. 1, p.1-15, 1965.
CAPUTO, H. P.; CAPUTO, A. N. Mecânica dos solos e suas aplicações: fundamentos. Rio 
de Janeiro: LTC, 2016. v. 2.
FERNANDES M. M. Mecânica dos solos: introdução à engenharia geotécnica. São Paulo: 
Oficina de textos, 2014. v. 2.
CRAIG, R. F.; KNAPPETT, J. A. Craig mecânica dos solos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
MAYNE, P. W. & KULHAWY, F. H. (1982). Ko–OCR relationships in soil. Journal of the Geo-
technical Engineering Division, Nova Iorque, v. 108, n. 6, p. 851-872, jun. 1982.
PINTO, C. S. Curso básico de mecânica dos solos em 16 aulas. 2. ed. São Paulo: Oficina 
de Textos, 2012.
PIPATPONGSA, T., VARDHANABHUTI, B. Analyses of coefficient of lateral earth pressure 
in wedge shaped granular mound based on Jaky’s (1944) hypothesis. In: THE NATIONAL 
CONVENTIONON CIVIL ENGINEERING, 21., Thailand, 2016. Anais eletrônicos... Disponível 
em: . Acesso em: 01 mar. 2017.
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