DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS

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iiii 
 
ÍNDICE 
 
4. DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS................................................................................................63 
4.1. INTRODUÇÃO...........................................................................................................................63 
4.2. DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS DISCRETAS......................................................................................64 
4.2.1 Prova de Bernoulli ..................................................................................................................................64 
4.2.2 Distribuição binomial ............................................................................................................................65 
4.2.3 Distribuição binomial negativa. ..........................................................................................................65 
4.2.4 Distribuição geométrica. .......................................................................................................................66 
4.2.5 Distribuição hipergeométrica. ..............................................................................................................67 
4.2.6 Distribuição de Poisson. ........................................................................................................................68 
4.3 DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS CONTÍNUAS................................................................................69 
4.3.1 Distribuição uniforme ............................................................................................................................69 
4.3.2 Distribuição exponencial .......................................................................................................................70 
4.3.3 Distribuição normal ...............................................................................................................................71 
4.4 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL............................................................................................74 
4.5 APROXIMAÇÕES ENTRE AS DISTRIBUIÇÕES..........................................................................74 
D I S T R I B U I Ç Õ E S T E Ó R I C A S 
 
 63636363 
4. Distribuições Teóricas 
4.1. Introdução 
Existem variáveis aleatórias que têm uma função de distribuição pertencente a 
uma classe de distribuições teóricas. As distribuições teóricas, que como o nome 
indica foram sujeitas a um estudo prévio, têm propriedades conhecidas que nos 
permitem numa situação em que a distribuição esteja identificada, tirar partido 
desse trabalho teórico que já foi efectuado e assim pouparmos tempo na análise 
do problema que estivermos a estudar. As distribuições teóricas que nós vamos 
estudar são as seguintes: 
Caso discreto 
• Distribuição binomial 
• Distribuição binomial negativa 
• Distribuição geométrica 
• Distribuição hipergeométrica 
• Distribuição de Poisson 
Caso contínuo 
• Distribuição uniforme 
• Distribuição exponencial 
• Distribuição normal 
Algumas distribuições teóricas contínuas (como a distribuição t de Student, a 
distribuição qui-quadrado e a distribuição F de Snedecor) irão ser estudadas no 
capítulo 5, onde são aplicadas em contextos muito próprios. 
Capítulo 
4 
D I S T R I B U I Ç Õ E S T E Ó R I C A S 
 
 64646464 
4.2. Distribuições teóricas discretas 
4.2.1 Prova de Bernoulli 
A prova de Bernoulli é uma experiência aleatória que serve de base a várias 
distribuições teóricas que vamos estudar (a distribuição binomial, a distribuição 
binomial negativa e a distribuição geométrica). 
Consideremos uma experiência aleatória na qual existem apenas dois 
acontecimentos em que estamos interessados: o acontecimento A que 
designaremos por sucesso e o acontecimento contrário, A , que designaremos 
por insucesso. O sucesso ocorre com probabilidade p , e o insucesso com 
probabilidade pq −= 1 . 
O espaço de resultados está assim particionado em dois acontecimentos 
{ }A,AS = , em que: 
 A =sucesso; 
 A =insucesso; 
 p)A(P = ; 
 pq)A(P −== 1 . 
A uma experiência aleatória com as características anteriores dá-se o nome de 
prova de Bernoulli. 
Sucessão de provas de Bernoulli: 
Vamos definir sucessão de provas de Bernoulli como o processo caracterizado por 
repetidas provas que têm lugar nas seguintes condições: 
1- Em cada prova só estamos interessados em dois acontecimentos, A ou 
A . 
2- A probabilidade de sucesso, designada por p , mantém-se constante de 
prova para prova. A probabilidade de insucesso designa-se por 
pq −= 1 . 
3- As provas são independentes, isto é, os resultados obtidos numa 
sequência de provas não influenciam os resultados da(s) prova(s) 
subsequente(s). 
D I S T R I B U I Ç Õ E S T E Ó R I C A S 
 
 65656565 
4.2.2 Distribuição binomial 
Consideremos uma sucessão de n provas de Bernoulli. A variável aleatória que 
representa o número de sucessos obtidos nas n provas de Bernoulli tem 
distribuição binomial. 
X = variável aleatória que representa o número de sucessos obtidos na realização 
de uma sucessão de n provas de Bernoulli. 
X tem distribuição binomial com parâmetros n e p )p,n(BX ∩⇔ com 
{ }n,...,,x 10∈ . 
Os parâmetros n e p são dois valores que é necessário conhecer para que a 
distribuição da variável aleatória fique completamente definida. Os valores que a 
variável pode tomar são representados por x , e pode ser qualquer valor inteiro 
desde 0 até n. 
A probabilidade da variável aleatória tomar o valor x é dada por: 
 ( ) n...,,,,xqp
x
n
p;n;xb)xX(P xnx 10=⋅⋅







=== − (1) 
Demonstra-se que se a variável aleatória X tem distribuição binomial com 
parâmetros n e p então: 
 pn)X(E ⋅= (2) 
 qpn)X(Var ⋅⋅= (3) 
4.2.3 Distribuição binomial negativa. 
Consideremos uma sucessão de provas de Bernoulli. A variável aleatória que 
representa o número de provas realizadas até obtermos k sucessos tem 
distribuição binomial negativa. 
X = variável aleatória que representa o número de provas de Bernoulli realizadas 
até obtermos k sucessos. 
X tem distribuição binomial negativa com parâmetros k e p )p,k(BNX ∩⇔ 
com { },...k,kx 1+∈ . 
Os parâmetros k e p são dois valores que é necessário conhecer para que a 
distribuição da variável aleatória fique completamente definida. Os valores que a 
variável pode tomar são representados por x , e pode ser qualquer valor inteiro 
desde k até ∞+ . 
 
A probabilidade da variável aleatória tomar o valor x é dada por: 
D I S T R I B U I Ç Õ E S T E Ó R I C A S 
 
 66666666 
 ( )
1
( ) ; ; , 1, ...
1
k x k
x
P X x bn x k p p q x k k
k
−
− 
= = = ⋅ ⋅ = + − 
 (4) 
Demonstra-se que se a variável aleatória X tem distribuição binomial negativa 
com parâmetros k e p então: 
 
p
k
)X(E = (5) 
 ( )
2p
qk
XVar
⋅
= (6) 
 
4.2.4 Distribuição geométrica. 
A distribuição geométrica é um caso particular da distribuição binomial negativa 
em que 1=k . 
Consideremos uma sucessão de provas de Bernoulli. A variável aleatória que 
representa o número de provas realizadas até obtermos 1 sucesso tem 
distribuição geométrica. 
X = variável aleatória que representa o número de provas de Bernoulli realizadas 
até obtermos 1 sucesso. 
X tem distribuição geométrica com parâmetro p )p(GX ∩⇔ com 
{ },...,x 21∈ . 
O parâmetro p é um valor que é necessário conhecer para que a distribuição da 
variável aleatória fique completamente definida. Os valores que a variável pode 
tomar são representados por x , e pode ser qualquer valor inteiro desde 1 até ∞+ . 
A probabilidade da variável aleatória tomar o valor x é dada por: 
 ( ) ...,,xqpp;xg)xX(P x 211 =⋅=== − (7) 
Demonstra-se que se a variável aleatória X tem distribuição geométrica com 
parâmetro p então: 
 
p
)X(E
1
= (8) 
 
2p
q
)X(Var = (9) 
D I S T R I B U I Ç Õ E S T E Ó R I C A S 
 
 67676767 
4.2.5 Distribuição hipergeométrica. 
Suponhamos que temos um conjunto de N elementos e que M destes elementostêm uma certa característica em que estamos interessados (sucesso); logo os 
outros N-M elementos não têm essa característica. 
Ao retirarmos n elementos do conjunto inicial de N elementos (retirar de forma 
aleatória e sem reposição) consideremos X a variável aleatória que representa o 
número de elementos que são retirados e que têm a característica em que estamos 
interessados. 
A variável aleatória definida nas condições anteriores tem distribuição 
hipergeométrica com parâmetros N, M e n )n,M,N(HX ∩⇔ . 
A probabilidade da variável aleatória tomar o valor x é dada por: 
( )
















−
−
⋅







===
n
N
xn
MN
x
M
n;M;N;xh)xX(P (10) 
 com ( ){ } { }M,nmin...,,MNn,máxx −−= 0 
Demonstra-se que se a variável aleatória X tem distribuição hipergeométrica com 
parâmetros N, M, n então: 
 
N
M
n)X(E ⋅= (11) 
 





−
−
⋅




 −
⋅⋅=
1N
nN
N
MN
N
M
n)X(Var (12) 
D I S T R I B U I Ç Õ E S T E Ó R I C A S 
 
 68686868 
4.2.6 Distribuição de Poisson. 
A distribuição de Poisson (que deve o seu nome ao físico francês Simon Poisson) 
está associada a um grande conjunto de situações práticas cujos alguns exemplos 
são os seguintes: 
• Número de chamadas telefónicas que chegam num período de uma hora a 
uma central telefónica. 
• Número de microorganismos numa determinada quadrícula de 1mm2 de 
área. 
• Número de partículas defeituosas num cm3 de volume de um certo 
líquido. 
• Número de defeitos num metro de comprimento, dum fio produzido por 
uma máquina têxtil. 
Todos os exemplos apresentados têm uma característica comum: a variável 
aleatória em estudo representa o número de ocorrências de um certo 
acontecimento ao longo de um dado espaço contínuo (tempo, comprimento, área 
ou volume). Os valores que a variável aleatória pode tomar são valores inteiros 
não negativos: ,...n,...,,10 . 
Outras características que devem estar presentes para que estejamos na presença 
de uma distribuição de Poisson são: 
• O número de ocorrências em intervalos não sobrepostos são variáveis 
independentes. 
• A probabilidade de um certo número de ocorrências se verificar é a mesma 
para intervalos da mesma dimensão; isto é, aquela probabilidade depende 
apenas da amplitude do intervalo e não da posição em que se situa nesse 
intervalo. 
• As ocorrências do fenómeno descrito verificam-se uma a uma e nunca em 
grupos. 
A variável aleatória definida nas condições anteriores tem distribuição de Poisson 
com parâmetro λ )(PX λ∩⇔ . 
O parâmetro λ representa o número médio de ocorrências no espaço contínuo 
em estudo. 
A probabilidade da variável aleatória tomar o valor x é dada por: 
 ( ) ...,,,x
!x
e
;xp)xX(P
x
210=
λ⋅
=λ==
λ−
 (13) 
D I S T R I B U I Ç Õ E S T E Ó R I C A S 
 
 69696969 
Demonstra-se que se a variável aleatória X tem distribuição de Poisson com 
parâmetro λ então: 
 λ=)X(E (14) 
 λ=)X(Var (15) 
 
4.3 Distribuições teóricas contínuas 
4.3.1 Distribuição uniforme 
Consideremos uma variável aleatória contínua, cujos valores podem ocorrer 
dentro dum intervalo limitado (aberto ou fechado) ( )b,a . Se quaisquer dois sub--
intervalos de igual amplitude têm a mesma probabilidade, então a variável 
aleatória tem distribuição uniforme. 
Diz-se que a variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme no intervalo 
( )b,a e escreve-se )b,a(UX ∩ se a sua função de densidade de probabilidade 
for dada por: 
 
1
( )
0 outros valores
a x b
f x b a

⋅λ= λ− x,e)x(f x (20) 
onde λ é o parâmetro caracterizador da distribuição, sendo 0>λ . 
Demonstra-se que se a variável aleatória X tem distribuição exponencial de 
parâmetro λ então: 
 
λ
=
1
)X(E (21) 
 
2
1
λ
=)X(Var (22) 
A distribuição exponencial está intimamente ligada com a distribuição de 
Poisson. Demonstra-se que se o número de ocorrências de um certo 
acontecimento segue uma distribuição de Poisson, a “medida de espaço” entre 
duas ocorrências consecutivas ou a “medida de espaço” até à primeira ocorrência 
segue uma distribuição exponencial. A distribuição exponencial é também 
usualmente utilizada na descrição do tempo de vida de aparelhos, de organismos, 
etc – lei de falhas exponencial. 
 
Exemplo 4.1: 
Consideremos uma variável aleatória X que representa o número de clientes que 
chegam a uma certa agência bancária num período de uma hora. Suponhamos 
que )(PX 4∩ . Podemos concluir que em média chegam 4 clientes por hora. 
Consideremos agora uma variável Y que representa o tempo entre duas 
chegadas consecutivas de clientes à mesma agência bancária. Se em média 
chegam 4 clientes por hora podemos concluir que o tempo médio entre chegadas 
é de 
4
1
 da hora, ou seja 15 minutos. 
 
Como vamos ver a seguir existe um teorema que nos garante que a variável 
aleatória Y tem distribuição exponencial com parâmetro 4 . A unidade de tempo 
considerada para a variável Y é exactamente o comprimento do período de 
contagem da variável aleatória X que lhe está associada. 
 
D I S T R I B U I Ç Õ E S T E Ó R I C A S 
 
 71717171 
Teorema 
Consideremos uma variável aleatória X que tem distribuição de Poisson com 
parâmetro λ para um certo intervalo de espaço contínuo (tempo, comprimento, 
área ou volume). A variável aleatória contínua que representa o comprimento de 
espaço entre duas ocorrências consecutivas tem distribuição exponencial com o 
mesmo parâmetro λ . 
Nota: A unidade de medida da variável Y é o comprimento do intervalo de 
contagem da variável X , tornando-se assim importante que este seja do 
comprimento de uma unidade do espaço contínuo em que estamos a trabalhar. 
4.3.3 Distribuição normal 
A distribuição normal é a distribuição mais utilizada na estatística. A grande 
maioria das variáveis aleatórias contínuas que descrevem processos físicos ou 
características humanas seguem uma distribuição normal. Por vezes, as variáveis 
aleatórias não seguem distribuição normal mas aproximam-se muito desta 
distribuição. Por outro lado, a distribuição normal desempenha um papel crucial 
na inferência estatística (capítulo 6). 
Diz-se que uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal e escreve-
se ( )σµ∩ ;NX se a sua função densidade de probabilidade for dada por: 
 2
2
2
2
1
σ⋅
µ−
−
⋅
πσ
=
)x(
e)x(f com +∞de probabilidades na distribuição normal. 
Seja ( )σµ∩ ;NX . Calcular o valor de )bXa(P ≤≤ implica calcular o valor 
de: ∫ σ⋅
µ−
−
⋅
πσ
b
a
)x(
dxe 2
2
2
2
1
 o que não é um cálculo trivial. 
Poderíamos construir uma tabela que nos desse o valor da função de distribuição 
para diversos pontos da variável mas nesse caso teríamos de ter um infinito 
número de tabelas (já que existem infinitas distribuições normais). No entanto, 
dado que pelo teorema anterior qualquer distribuição normal pode ser reduzida à 
distribuição ( ));NZ 10∩ , existe uma tabela para a função de distribuição da 
variável Z que tem distribuição normal com média 0 e desvio padrão 1. Esta 
função vamos representar por )zZ(P)z( ≤=Φ . 
D I S T R I B U I Ç Õ E S T E Ó R I C A S 
 
 73737373 
Deste modo para calcular o valor de )( bXaP ≤≤ e dado que este valor é o 
mesmo que 





σ
µ−
Φ−





σ
µ−
Φ=
σ
µ−
≤≤
σ
µ− ab
)
b
Z
a
(P vamos utilizar a 
tabela da função de distribuição da normal reduzida. 
Teorema da aditividade da normal 
Consideremos n variáveis aleatórias independentes )n,...,,i(X i 21= em que 
);(NX iii σµ∩ . A variável ∑
=
=
n
i
iXS
1
 tem a seguinte distribuição: 
 







σµ∩= ∑ ∑∑
= ==
n
i
n
i
ii
n
i
i ;NXS
1 1
2
1
 (26) 
 
Como resultados do teorema anterior podemos deduzir: 
Corolário 1 
Se )n,...,,i(X i 21= são variáveis aleatórias independentes em que 
);(NX i σµ∩ então : 
 ( )σ⋅µ⋅∩= ∑
=
n;nNXS
n
i
i
1
 (27) 
Corolário 2 
Se );(NX 111 σµ∩ e );(NX 222 σµ∩ e forem independentes então: 
 ( )222
12121 σ+σµ+µ∩+ ;NXX (28) 
 ( )222
12121 σ+σµ−µ∩− ;NXX (29) 
Corolário 3 
Se );(NX i σµ∩ então 
n
X
X
n
i
i∑
== 1 tem distribuição: 
 




 σ
µ∩
n
;NX (30) 
D I S T R I B U I Ç Õ E S T E Ó R I C A S 
 
 74747474 
Teorema do limite central 
Seja )n,...,,i(X i 21= uma sucessão de n variáveis aleatórias i.i.d. 
(independentes e identicamente distribuídas), com ( ) µ=iXE e ( ) 2σ=iXVar , 
quando ∞→n , isto é, para n suficientemente grande (em geral 30≥n ), a 
variável ∑
=
=
n
i
iXS
1
 tem aproximadamente a seguinte distribuição: 
( )n;nNXS
n
i
i σµ∩= ∑
=
o
1
 (31) 
 
4.4 Aproximações entre as distribuições 
É possível utilizar um conjunto de relações existentes entre as diferentes 
distribuições (sob certas condições) para calcular probabilidades de forma 
aproximada. As diferentes relações existentes encontram-se esquematizadas na 
figura seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
De notar que no caso em que a variável em causa é uma variável discreta 
(binomial e/ou Poisson) e se utiliza a distribuição normal (distribuição contínua) 
para o cálculo da probabilidade pretendida deveremos utilizar a chamada 
correcção de continuidade: 
 ( ) ( )5050 ,kX,kPkXP +>>>−−−−∧∧∧∧>>>>
≤≤≤≤≤≤≤≤
5)1(5
9,01,0
pnnp
p
 




−−−−====σσσσ
====µµµµ
)1(2
pnp
np
N
M
p ====
n



>>>>∨∨∨∨>>>λλλλ 
>>>>λλλλ
λλλλ====σσσσ====µµµµ 2
Poisson 
λλλλ