Aula 2 - Desconto simples

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1 Matemática Financeira 
DESCONTO SIMPLES 
 
O desconto é uma modalidade de empréstimo a curto prazo destinado ao capital de giro de uma 
empresa, e que é concedido através de adiantamento, mediante a cobrança de uma determinada taxa de 
desconto, sobre um título ou nota promissória de crédito com recebimento futuro. 
As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime linear como sob o regime 
composto. Nas operações de desconto, precisamos entender alguns conceitos fundamentais antes de 
iniciarmos com os cálculos, tais conceitos são: 
Valor Nominal (𝑽𝑵): Significa tão somente o valor monetário que é devido numa data futura. 
Normalmente, o valor nominal figura nas questões como sendo uma obrigação que tem que ser paga 
numa data posterior a de hoje. 
Valor Atual (𝑽𝑨): Também chamado de Valor Líquido ou Valor Descontado. Significa o quanto 
representa o Valor Nominal, quando projetado para uma data anterior. É o quanto pagaremos hoje por 
aquele nosso título por isso, recebe esse nome de Valor Atual. Porque atual é hoje! Naturalmente que o 
Valor Atual será necessariamente menor que o Valor Nominal, uma vez que, na linha do tempo, estará 
sempre numa data anterior. 
Desconto (𝑫): Se havia uma dívida a ser paga numa data futura, e se resolvemos antecipar o pagamento 
desse valor, já sabemos que vamos pagar hoje um valor menor do que o que era devido. Essa diferença 
entre o valor que era devido no futuro e o valor menor que pagarei hoje (em decorrência da antecipação 
do pagamento) é exatamente o que chamaremos de Desconto. 
𝐷 = 𝑉𝑁 − 𝑉𝐴 
Tempo de Antecipação (𝒏): Sabemos que na operação de desconto estamos na verdade projetando um 
valor monetário para uma data anterior. Entao, "𝑛" será, numa questão de desconto, a distância de tempo 
entre o Valor Nominal e o Valor Atual. Se o Valor Nominal representar uma dívida que seria paga numa 
data futura, e pretendemos pagá-la hoje, então "𝑛" será o "tempo de antecipação" do pagamento daquela 
obrigação. 
Taxa: A taxa faz com que os valores monetários nunca fiquem parados com o transcorrer do tempo. E 
também, ela que faz com que uma quantia vencível (devida) numa data futura diminua de valor, caso 
venha a ser projetada para uma data anterior. 
 
 No regime linear são identificados dois tipos de desconto simples: o desconto racional e o 
desconto comercial. 
 
 
 
2 Matemática Financeira 
DESCONTO RACIONAL (OU ‘’POR DENTRO’’) 
 
É aquele em que a referência para o cálculo percentual do desconto é o valor líquido, isto é, sobre 
o valor atual, sendo calculado a juros simples. Podemos calcular o desconto racional (𝐷𝑟) da seguinte 
maneira: 
𝐷𝑟 = 𝑉𝐴 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
em que 𝑖 representa a taxa de juros simples. Sabendo que o valor do desconto pode ser calculado, 
também, como 
𝐷𝑟 = 𝑉𝑁 – 𝑉𝐴 
podemos encontrar uma expressão para o valor atual (𝑉𝐴) 
 
 
 
 
 
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Se observarmos cuidadosamente essas fórmulas, veremos que o desconto racional corresponde 
ao juro simples da operação proposta; em outras palavras, o desconto racional se vale de todas as 
fórmulas vistas para juros simples por operar nesse regime. 
 
Exemplo: Um banco operou o desconto racional simples de um título no valor nominal de R$ 3.000,00 
com vencimento para 90 dias e aplicou uma taxa de juros de 3% am. Qual o valor do desconto e qual o 
valor recebido pelo detentor do título? (R$ 247,71 e R$ 2.752,29) 
 
 
 
 
 
 
3 Matemática Financeira 
Exemplo: Uma operação de desconto de um título que vence daqui a 90 dias produziu um desconto de 
R$ 247,70. Sabendo-se que o banco opera em desconto racional simples e com juros de 3% am, qual o 
valor nominal e o valor presente desse título. (R$ 3.000,00 e R$ 2.752,23) 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Na operação de desconto racional simples considere conhecidos o valor nominal de 
R$ 3.000,00; o valor do desconto de R$ 247,70; e a taxa de juros de 3% am. Qual o prazo de 
antecipação do título? (3 meses) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Calcule o valor da taxa mensal de desconto simples “por dentro” usada numa operação de 
desconto de 60 dias de um título cujo valor de resgate é R$10.000,00 e cujo valor do principal é 
R$ 9.750,00. (1,282% ao mês) 
 
 
 
 
 
 
4 Matemática Financeira 
DESCONTO COMERCIAL (OU ‘’POR FORA’’) 
 
É aquele no qual a referência para o cálculo percentual do desconto é o valor nominal. Pode ser 
calculado pelo produto do valor nominal do título pela taxa de desconto fornecida pelo banco e pelo 
prazo a decorrer até o vencimento do título, isto é: 
𝐷𝑐 = 𝑉𝑁 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛 
em que 𝑑 representa a taxa de desconto comercial, 𝑛 o prazo e 𝑉𝑁 o valor nominal do título. Sabendo 
que o valor do desconto pode ser calculado, também, como 
𝐷𝑐 = 𝑉𝑁 – 𝑉𝐴 
podemos encontrar uma expressão para o valor atual (𝑉𝐴) 
 
 
 
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Observe que a taxa de desconto 𝑑 (“por fora”) é aplicada sobre o valor nominal para produzir o 
valor atual, ao passo que a taxa de desconto 𝑖 (“por dentro”), ou taxa de rentabilidade, é aplicada sobre o 
valor atual para produzir o valor nominal. 
O desconto “por fora” é amplamente adotado pelo mercado, notadamente em opreções de crédito 
bancário e comercial a curto prazo. 
 
Exemplo: Um título com 119 dias a decorrer até seu vencimento está sendo negociado, a juros simples, 
com uma taxa de desconto “por fora” de 15% ao ano. Assuma o ano comercial com 360 dias e calcule o 
valor da aplicação que proporciona um valor de resgate de R$ 1.000,00. (R$ 950,42) 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 Matemática Financeira 
Exemplo: Calcule o valor do desconto simples de um título de R$ 1.000,00, com vencimento para 60 
dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por fora” é de 1,5% ao mês. (R$ 30,00) 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Calcule o valor da taxa mensal de desconto “por fora” usada numa operação de desconto de 
60 dias, de um título com valor de resgate de R$ 10.000,00 e com valor do principal igual a 
R$ 9.750,00. (1,25% a.m.) 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Necessitando equilibrar o fluxo de caixa da empresa, o gerente financeiro vendeu uma 
duplicata no valor de R$ 1.035,00 a taxa de desconto “por fora” de 0,08 % a.d.. Calcule a antecipação 
considerando que o banco pagou R$ 985,32 pela compra dessa duplicata. (60 dias) 
 
 
 
 
 
 
 
6 Matemática Financeira 
DESCONTO BANCÁRIO 
 
Algumas vezes, problemas de desconto comercial simples trazem em seus enunciados, além dos 
dados convencionais (valor nominal, valor atual, taxa, prazo de antecipação), algumas informações 
adicionais, referentes a um tipo especial de taxa: taxa de serviço ou taxa de despesa administrativa. 
Denominaremos essa modalidade de desconto comercial, que é acrescida dessa taxa especial, de 
Desconto Bancário. 
O Desconto Bancário, portanto, será uma questão de Desconto por Fora, só que com um dado 
extra, que será justamente essa taxa administrativa ou de serviço. O que temos que saber acerca dessas 
taxas administrativas é que elas não se confundem com taxas de juros ou de desconto. São taxas que 
virão desacompanhadas de uma unidade de tempo! Em outras palavras, não haverá taxa administrativa 
ao mês, ou ao semestre, ou ao ano etc.. Será apenas um valor percentual, e só. A outra informação 
essencial é que essas taxas administrativas incidirão sempre sobre o valor nominal. 
Chamando 𝑡 a taxa administrative cobrada pelos bancos em suas operações de desconto e 
incluindo essa taxa na formulação, obtemos: 
𝐷𝑐 = 𝑉𝑁 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛 + 𝑉𝑁 ∙ 𝑡 
𝐷𝑐 = 𝑉𝑁(𝑑 ∙ 𝑛 + 𝑡) 
Exemplo: Um título de R$ 5.000,00, foi descontado no Banco ABC, que cobra 5% como despesa 
administrativa. Tendo sido o título descontado 6 meses antes do seu vencimento, e considerando a taxa 
de desconto simples comercial de 40% a.a., calcule o desconto bancário e o valor líquidorecebido pelo 
título. (R$ 1.250,00 e R$ 3.750,00) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 Matemática Financeira 
RELAÇÃO ENTRE AS TAXAS DE DESCONTO RACIONAL E 
COMERCIAL 
 
As expressões para os cálculos dos valores atuais dos descontos “por dentro” e “por fora” permitem 
escrever a relação 
𝑉𝐴 = 𝑉𝑁(1 − 𝑑 ∙ 𝑛) =
𝑉𝑁
1 + 𝑖 ∙ 𝑛
 
que fornece 
1 − 𝑑 ∙ 𝑛 =
1
1 + 𝑖 ∙ 𝑛
 
Nessa relação, ao se explicitar a taxa 𝑖 (desconto “por dentro”), ou a taxa 𝑑 (desconto “por fora”), 
obtemos, respectivamente: 
𝑖 =
𝑑
1−𝑑∙𝑛
 e 𝑑 =
𝑖
1+𝑖∙𝑛
 
Nessas duas relações, as unidades referenciais de tempo das taxas 𝑖 e 𝑑 devem coincidir com a unidade 
referencial de tempo utilizada para medir o número de períodos 𝑛. 
Se um enunciado trouxer, para uma operação de desconto, o valor da taxa de desconto simples por fora, 
e pedir que você calcule qual sera a taxa efetiva de juros daquela operação, então, na verdade, o que ela quer é 
que você encontre a taxa de desconto simples por dentro! 
 
Exemplo: Calcule a taxa efetiva de juros que foi cobrada em um desconto de uma duplicata no valor de 
R$ 10.000,00, descontada 5 meses antes do vencimento e cuja taxa de desconto é de 10% a.m. (20% a.m.) 
 
 
 
Referências bibliográficas 
Assaf Neto, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. 12. ed.. São Paulo: Atlas, 2012. 
Carvalho. Sergio. Matemática Financeira Simplificada. 2 ed.. Salvador: JusPOOIVM. 2016 
Crespo, Antônio Arnot. Matemática financeira fácil. 14. ed.. São Paulo: Saraiva, 2009. 
Lapponi, Juan Carlos. Matemática financeira: redesenho organizacional para o crescimento e 
desempenho máximos. Rio de Janeiro: Elsevier, 2005. 
Macêdo, Álvaro Fabiano Pereira de. Matemática Financeira. Mossoró : EdUFERSA, 2014. 
Puccini, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 9. ed.. São Paulo: Elsevier, 
2011.