AULA 03 - TEOREMAS DE ENERGIA - 2023

Prévia do material em texto

1
ESTRUTURAS I
TEOREMAS DE ENERGIA
2
PRINCÍPIO DA SOBREPOSIÇÃO DE 
EFEITOS
• Hipótese: relação linear entre 
– forças generalizadas e deslocamentos generalizados
– esforços internos e deformações internas
– tensões e extensões
• Deslocamentos, esforços internos, 
deformações, tensões e extensões totais 
causados por um sistema de cargas serão a 
soma dos causados por cada carga actuando 
isoladamente – Princípio da Sobreposição de 
Efeitos(PSE)
3
RELAÇÃO NÃO LINEAR
• Relação não linear pode surgir nos 
seguintes casos:
– Relação tensão-extensão do material não 
segue a lei de Hooke
– Geometria da estrutura modifica-se 
significativamente com a aplicação das 
cargas (exemplo: encurvadura)
ELASTICIDADE NÃO LINEAR
4
5
TEOREMA DE CLAPEYRON
• Corpo com elasticidade linear, apoios 
fixos
• Forças aplicadas lentamente – forças de 
inércia desprezáveis, não há perdas de 
energia por dissipação de calor nem por 
atrito interno com aparelhos de apoio
• PSE – energia acumulada não pode 
depender da ordem de aplicação das 
forças, atinge-se sempre os mesmos 
deslocamentos finais
6
TEOREMA DE CLAPEYRON
• Se uma força cresce uniformemente de 0 
até Fi o deslocamento cresce da mesma 
forma de 0 até δi. A energia acumulada é 
iie F 
2
1
=
7
TEOREMA DE CLAPEYRON
• Trabalho realizado pelas forças exteriores 
é independente da ordem de aplicação 
das forças
i
i
ie F  =
2
1
8
ENERGIA ELÁSTICA DA PEÇA 
LINEAR
• Quando se aplicam cargas, o trabalho das 
forças exteriores é convertido em energia 
elástica de deformação (energia interna 
de deformação do corpo)
• Quando as cargas são retiradas:
– Corpo volta ao estado inicial se o limite de 
elasticidade não tiver sido ultrapassado
– Se limite de elasticidade foi ultrapassado, 
ficam deformações permanentes, parte do 
trabalho das forças exteriores convertido em 
calor
ENERGIA INTERNA DE 
DEFORMAÇÃO
• A energia interna de deformação pode ser 
expressa em termos dos esforços internos 
e correspondentes deformações
• Pode ser também expressa em termos de 
tensões e extensões
9
10
ENERGIA INTERNA DE 
DEFORMAÇÃO
• Energia correspondente a esforço axial
Se N(x) constante ao longo de l
dNdNd N  == N
EA
dx
=
dNN
EA
dx
d N =
2
0 2
1
N
EA
dx
dNN
EA
dxN
N ==  dx
EA
Nl
N =
0
2
2
1

EA
lN
N
2
2
1
=
11
ENERGIA INTERNA DE 
DEFORMAÇÃO
• Energia correspondente a momento flector
Se M(x) constante ao longo de l, 
dx
EI
Ml
M =
0
2
2
1

EI
lM
M
2
2
1
=
EI
M
==


1
ENERGIA INTERNA DE 
DEFORMAÇÃO
• Energia devida a esforço transverso
• Energia devida a momento torçor
12
dx
GA
Tl
T =
0 '
2
2
1

dx
GJ
Ml
t
M t =
0 '
2
2
1

13
ENERGIA INTERNA DE 
DEFORMAÇÃO
 ==
v v
dvdldA 
2
1
2
1
)( zzyy
xx
xx
EE


 +−=
zzyy eparassemelhanteEquações 
G
xy
xy

 = zxyz eparassemelhanteEquações 
  +++++−++=
v v
zxyzxyyyxxxxzzzzyy
v
zzyyxx dv
G
dv
E
dv
E
)(
2
1
)()(
2
1 222222



14
TEOREMA DOS TRABALHOS 
VIRTUAIS
• Forças exteriores – concentradas, distribuídas, 
forças de massa
• Estado de deformação virtual – deslocamentos 
e deformações pequenos, compatíveis com as 
ligações ao exterior e com as condições de 
continuidade
• TTV: o trabalho realizado pelas forças exteriores 
para qualquer conjunto de deslocamentos 
virtuais é igual ao trabalho interno de 
deformação realizado pelos esforços internos 
gerados pelas forças exteriores para as 
deformações virtuais internas
15
SISTEMA I – SISTEMA DE 
CARGAS
16
SISTEMA II – SISTEMA DE 
DESLOCAMENTOS E DEFORMAÇÕES 
VIRTUAIS
• Deslocamentos virtuais dos pontos da 
superfície δ e 
• Deslocamentos virtuais dos pontos do 
interior
• Deformações internas virtuais definidas 
pelo tensor de extensões
• Note-se que os deslocamentos e 
deformações internas do sistema II não 
são causados pelas forças do sistema I 
),,( ssss wvud
),,( wvud
ij
17
TEOREMA DOS TRABALHOS 
VIRTUAIS
• Trabalho realizado pelas forças exteriores
• Trabalho interno total
   ++++++=
i
s v
zyxszsysxiie wdvvdvudvwdAtvdAtudAtP )()( 
( )













++
+++
+++
=
A
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
it
wdydxdxdzdzdy
vdydxdxdzdzdy
udydxdxdzdzdy
)(
)(




18
TEOREMA DOS TRABALHOS 
VIRTUAIS
• Trabalho interno de deformação
+ expressões análogas obtidas por permutação circular
• Trabalho interno para deslocamento dos 
paralelipípedos como corpos rígidos
• Trabalho realizado para deslocamentos 
virtuais de um corpo rígido tem de ser nulo
iditi  −=0
00 =−+=+ iditeie 
+++=  )( dzdydxdydxdzdxdzdy zx
v
zxyxyxxxxxid 
19
TRABALHO INTERNO DE 
DEFORMAÇÃO
• Expresso em função de esforços internos 
(sistema I) e deformações (sistema II)
• ESFORÇOS INTERNOS DEFORMAÇÕES
Momento flector M Rotação relativa
Esforço transverso T Deslocamento transverso 
relativo
Esforço axial N Deslocamento axial 
relativo
Momento torçor Mt Rotação relativa de 
torção
dx
EI
M
=
dx
GA
T
T '
=
dx
EA
N
N =
dx
GJ
M t=
20
EXEMPLO
21
TEOREMA DE BETTI
• Corpo em equilíbrio, elasticidade linear
• Sistemas de cargas I e II
• Teorema de Betti: trabalho realizado pelas 
forças do sistema I para os 
deslocamentos causados pelas forças do 
sistema II = trabalho realizado pelas 
forças do sistema II para os 
deslocamentos causados pelas forças do 
sistema I
22
TEOREMA DE BETTI
TEOREMA DE BETTI
• Exercício: Demonstrar o teorema de Betti 
(sugestão: usar o TTV considerando o 
trabalho das forças exteriores do sistema I 
para os deslocamentos do sistema II e o 
trabalho das forças exteriores do sistema 
II para os deslocamentos do sistema I, 
mostrando que o trabalho interno de 
deformação é o mesmo nos dois casos)
23
24
TEOREMA DE MAXWELL
• Corpo em equilíbrio, elasticidade linear
• Sistema I – força Pi , sistema II – força Pj , 
módulos iguais
• δij = θji
• Genericamente δij = δji
25
TEOREMA RECÍPROCO DE 
MAXWELL
• Corpo em equilíbrio, elasticidade linear
• Pontos i e j associados a determinadas 
direcções
• Força kij aplicada no ponto i provoca o 
deslocamento δ do ponto j
• Teorema recíproco de Maxwell: kij = kji
26
VARIAÇÕES DE TEMPERATURA
• Deformações causadas por variações de 
temperatura
• Variação uniforme – todas as fibras 
longitudinais sofrem a mesma variação, + 
= aumento de temperatura
• Variação diferencial – caso da variação 
linear ao longo da altura, variação nula na 
fibra média, + = aumento nas fibras 
superiores
27
VARIAÇÕES DE TEMPERATURA
28
VARIAÇÃO UNIFORME DE 
TEMPERATURA
• Variação uniforme Δt
• dl = α Δt dx
• Deformação axial equivalente à provocada 
por N = α Δt EA
• Variação uniforme de temperatura não 
gera esforços em sistemas isostáticos, 
adaptam-se às deformações
29
VARIAÇÃO DIFERENCIAL DE 
TEMPERATURA
• Rotação relativa equivalente à causada 
por um momento M = EI α Δt / h
• Variação diferencial de temperatura não 
gera esforços em sistemas isostáticos, 
adaptam-se às deformações
h
dxt
h
dxt 
=

=


2
2
30
VIGA SIMPLESMENTE APOIADA
• Tem muito interesse calcular as deformações 
independentes numa viga simplesmente 
apoiada em função dos esforços independentes
 










=
j
j
i
m
e
u 

31
VIGA SIMPLESMENTE APOIADA
 










=
j
j
i
m
N
M
M
X
Xm é o vector dos esforços independentes. Pretende-se
calcular os valores das deformações independentes um
causadas por Xm. Obtém-se uma matriz 3 x 3, matriz de
flexibilidade.
MATRIZ DE FLEXIBILIDADE
• Exercício: calcular a matriz de flexibilidade 
para uma viga simplesmente apoiada 
utilizando os teoremas de energia
32
33
MATRIZ DE FLEXIBILIDADE






























=












j
j
i
j
j
i
N
M
M
EA
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
e
00
0
36
0
63

Matriz de flexibilidade
Um elemento r,s da matriz de flexibilidade representa a
deformação ur para um esforço Xs = 1 e todos os Xt = 0,
com t ≠ s
34
CARGAS DE VÃO
• Também se podem utilizar os teoremas de 
energia para calcular as deformações 
independentes numa viga simplesmente 
apoiada para as cargas de vão
• Há fórmulas para as cargas de vão mais 
frequentes, como forças e momentos 
concentrados, carga uniformemente 
distribuída e carga distribuída triangular 
(tabela 2.2 de “Análise de Estruturas” – J. 
T. Freitas)
35
	Slide 1: ESTRUTURAS I
	Slide 2: PRINCÍPIO DA SOBREPOSIÇÃO DE EFEITOS
	Slide 3: RELAÇÃO NÃO LINEAR
	Slide 4: ELASTICIDADE NÃO LINEAR
	Slide 5: TEOREMA DE CLAPEYRON
	Slide 6: TEOREMA DE CLAPEYRON
	Slide 7: TEOREMA DE CLAPEYRON
	Slide 8: ENERGIA ELÁSTICA DA PEÇA LINEAR
	Slide 9: ENERGIA INTERNA DE DEFORMAÇÃO
	Slide 10: ENERGIA INTERNA DE DEFORMAÇÃO
	Slide 11: ENERGIA INTERNA DE DEFORMAÇÃO
	Slide 12: ENERGIA INTERNA DE DEFORMAÇÃO
	Slide 13: ENERGIA INTERNA DE DEFORMAÇÃO
	Slide 14: TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS
	Slide 15: SISTEMA I – SISTEMA DE CARGAS
	Slide 16: SISTEMA II – SISTEMA DE DESLOCAMENTOS E DEFORMAÇÕES VIRTUAIS
	Slide 17: TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS
	Slide 18: TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS
	Slide 19: TRABALHO INTERNO DE DEFORMAÇÃO
	Slide 20: EXEMPLO
	Slide 21: TEOREMA DE BETTI
	Slide 22: TEOREMA DE BETTI
	Slide 23: TEOREMA DE BETTI
	Slide 24: TEOREMA DE MAXWELL
	Slide 25: TEOREMA RECÍPROCO DE MAXWELL
	Slide 26: VARIAÇÕES DE TEMPERATURA
	Slide 27: VARIAÇÕES DE TEMPERATURA
	Slide 28: VARIAÇÃO UNIFORME DE TEMPERATURA
	Slide 29: VARIAÇÃO DIFERENCIAL DE TEMPERATURA
	Slide 30: VIGA SIMPLESMENTE APOIADA
	Slide 31: VIGA SIMPLESMENTE APOIADA
	Slide 32: MATRIZ DE FLEXIBILIDADE
	Slide 33: MATRIZ DE FLEXIBILIDADE
	Slide 34: CARGAS DE VÃO
	Slide 35