AULA 7 - DISTRIBUICAO DE TENSOES NO SOLO24

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DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES 
NO SOLO 
Tensões Devido ao Peso Próprio 
 As tensões no interior de um maciço de solo 
são causadas por: 
 Peso Próprio 
 Cargas externas 
 A determinação das tensões no interior do 
maciço pode apresentar muitas dificuldades, 
entretanto existem algumas situações 
simplificadoras em que as tensões podem ser 
obtidas de uma forma bastante simples. 
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Tensões Devido ao Peso Próprio 
 Se 
 A superfície do terreno for horizontal; 
 A natureza do solo não muda muito 
horizontalmente 
 Então 
 Os planos horizontais e Verticais são os principais 
 Ou seja, nestes planos não há tensões de 
corte. 
Tensão Geostática Vertical 
 SOLO HOMOGÊNEO 
 
 
 No caso em que o peso específico do solo () é constante com a 
profundidade, a tensão no ponto “A” poderá ser determinada como se 
segue: 
z vo 
vo =  z 
 
 
z
zvo d
0
A 
3 
Tensão Geostática Vertical 
 SOLO HETEROGÊNEO: 
 Quando o perfil do subsolo é estratificado, composto por várias 
camadas, a tensão é obtida pelo somatório das tensões de cada 
camada. 
z1 
z2 
z3 
1 
2 
3 
vo 




ni
i
iivo z
1
Tensão Hidrostática 
 O peso da água contida nos vazios, ou poros do 
solo, também dão origem a uma pressão. Esta 
pressão é denominada de poro pressão ou 
pressão neutra e é representada pela letra u. 
 
 Quando o solo está saturado, abaixo do nível 
de água a pressão é obtida pela equação: 
wwZu 
4 
Tensão Hidrostática 
N. A. 
zw 
w wwzu 
Onde: w = peso específico da água 
 Zw = profundidade do ponto 
em relação ao nível de água 
Tensão efetiva 
 
 
 Onde: 
 ’ =tensão efetiva; 
  = tensão total; 
 u = pressão neutra. 
 
 Todos os efeitos mensuráveis oriundos da variação do 
estado de tensão, tais como compressão e variação da 
resistência ao corte são devido a variação do estado 
de tensões efetivas. 
u '
5 
Tensão Geostática Horizontal 
 Ao contrário da tensão vertical a tensão horizontal 
pode variar bastante nos diferentes tipos de solo, e 
é obtida através de um coeficiente, como indicado 
abaixo. 
 
 
 Onde: 
 Ko é denominado de coeficiente de impulso em repouso e pode 
variar de aproximadamente 1/3 até 3. 
 O valor de Ko para uma determinada camada de solo, a uma 
determinada profundidade, depende do tipo de solo e das 
tensões que essa camada já suportou no passado. 
''
vooho K 
Valores Típicos de Ko 
Solo Ko 
Areia fofa 0,55 
Areia densa 0,40 
Argila de baixa plasticidade 0,50 
Argila de alta plasticidade 0,65 
Argila sobreconsolidada  1 
Argila Normalmente Adensada  1 
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 Define-se como argila sobreconsolidada a argila 
que, no passado, suportou tensões maiores do 
que as que está submetidas no presente, e 
como argilas normalmente consolidadas aquelas 
em que as maiores tensões já suportadas 
actuam no presente. 
 Assim sendo o valor de Ko, a uma determinada 
profundidade depende do: 
 Tipo de solo 
 História das tensões 
Acréscimo de Tensões devido 
a uma Sobrecarga Externa 
 Condição inicial 
 vo 
 uo 
 ’vo 
 ’ho = ’vo Ko 
Ponto A 
7 
Acréscimo de Tensões devido 
a uma Sobrecarga Externa 
 Após o 
carregamento 
 v 
 h 
 u 
 vf = vo +v 
 hf = ho +h 
 ’vf = vf – uo 
 ’hf = hf – uo 
 
Ponto A 
8 
Acréscimo de Tensões devido 
a uma Sobrecarga Externa 
 Para se determinar a variação das 
tensões no subsolo faz-se uso da Teoria 
da Elasticidade, isto é, da teoria 
matemática que fornece condições para 
calcular as variações das tensões devido 
a um carregamento externo. 
Acréscimo de Tensões devido 
a uma Sobrecarga Externa 
 Hipótese da teoria da elasticidade 
 Solo Homogêneo (propriedades iguais em qualquer direcção), 
isotrópico (propriedades não variam com a direcção), e um 
material com comportamento elástico-linear; 
 O solo é um material (meio) contínuo; 
 As deformações devido ao carregamento são infinitesimais; 
 O solo é um espaço infinito (semi-espaço); 
 O carregamento é flexível, ou seja, a distribuição de tensões é 
uniforme. 
 Com base na teoria da elasticidade podemos 
calcular a variação de tensões v e h em 
qualquer ponto abaixo do carregamento. 
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Transferência de carga ao Subsolo 
1 
1/2 1/2 
1/2 1/4 1/4 
1/8 1/8 3/8 3/8 
1/16 1/4 3/8 1/4 1/16 
1/32 3/32 5/16 5/16 4/32 1/32 
P 
Transferência de carga ao Subsolo 
0,1 
0,2 
0,3 
0,4 
0,5 
P 
10 
Transferência de carga ao Subsolo 
 Observa-se que no esquema de transferência de carga, 
em profundidades diferentes tem-se valores percentuais 
constantes de P. A curva que une esses pontos são 
chamadas de isóbaras. Um conjunto de isóbaras 
formam o Bolbo de tensões. 
 A propagação de tensões no interior de um maciço 
ocorre teoricamente até ao infinito, mas para fins 
práticos de engenharia, os valores de tensões menores 
do que 10% em relação ao valor de P não causam 
deformações consideráveis no subsolo de fundações. 
Carga Pontual – Boussinesq, 1885 
 A mais importante solução para a distribuição de 
tensões num semi-espaço infinito para uma carga 
pontual aplicada na superfície do solo foi apresentada 
por Boussinesq. 
r 
z 
R 
z 
11 
Carga Pontual – Boussinesq, 1885 
 
 
 
 
 Observa-se que a solução de Boussinesq não 
toma em consideração os parâmetros 
elásticos do Solo E (módulo de elasticidade) e 
 (coeficiente de Poisson). 
3
5/25 2 22
3 3 1
2 2
1
z z p
Pz P Q
OU I
R z zr
z
 
 
    
  
  
   
Fator de influencia (carga pontual) 
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Carga distribuída 
 Os problemas de engenharia não são geralmente 
com cargas pontuais, mas sim com cargas 
distribuídas como por exemplo de uma sapata. 
 Se uma área de forma qualquer, está carregada na 
superfície do semi-espaço infinito com uma carga 
“q” a intensidade do acréscimo de tensões no 
ponto “P”, no interior da massa, pode ser 
calculado dividindo-se a área carregada em 
pequenas partes “dA” cada uma suportando uma 
carga pontual, como esquematizado na figura 
seguinte. 
Carga distribuída 
“q” 
dA 
z 
R 
r 
dz 
DQ = q dA 
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Carga distribuída 
 Essa carga é considerada concentrada no centro de gravidade da 
área elementar dA. De acordo com a equação de Boussinesq, cada 
carga concentrada produz, no ponto “P” um acréscimo diferencial 
de tensões vertical igual a “dz”. 
 
 
 
 A intensidade da variação de tensão no ponto “P” é calculada pela 
integração da equação acima. Com base nesta integração, vários 
autores elaboraram ábacos que possibilitam a determinação de z. 
 
dA
zrz
q
d z 2/522
)/(1
1
2
3


Carga rectangular 
 Fadum (1948) apresentou um ábaco que permite o cálculo da 
variação da tensão vertical num ponto do vértice de uma área 
rectangular carregada. 
 
 
 
 
 
 
 
 A entrada no gráfico é feita através dos parâmetros m e n dados por: 
 m = a/z 
 n = b/z 
a 
b 
z 
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Carga rectangular 
 Onde: a e b são os lados do rectângulo e z é a 
profundidade em que se deseja calcular o 
acréscimo de tensão. 
 Do ábaco obtém-se o valor de I(m,n), que 
possibilita o cálculo de z. 
 
 z = q I(m,n) 
 
 O princípio da sobreposição de efeitos para o 
cálculo de z é válido e permite calcular o 
acréscimo de tensão num ponto central de uma 
área carregada. 
 
 
Carga 
rectangular 
15 
Carga rectangular (factor de 
influencia) 
Carga rectangular (factor de 
influencia) 
16 
Carga rectangular 
 Ponto central da área rectangular carregada 
a b c 
d 
e f 
g h i 
)()()()()( efcbehifedghebade zzzzz 
Carga rectangular 
 Ponto fora da área rectangular carregada 
a b c 
d 
e f 
g h i 
)()()()()( cbefcbhicadfcagic zzzzz 
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Carga Qualquer (Newmark, 1942) 
 Newmark sugeriu um ábaco onde cada quadrado possui a 
mesma influência no acréscimo da tensão vertical numa 
profundidade definida. Para seu uso, é conveniente fazer, 
num papel transparente, um desenho à escala docarregamento (a escala é apresentada no ábaco). 
 O ponto abaixo no qual se deseja saber o acréscimo das 
tensões é então colocado fazendo-o coincidir com o centro do 
ábaco e conta-se o número dos quadrados cobertos pela 
área. O acréscimo da tensão vertical é determinado pela 
equação. 
 z = I N q 
 Onde: 
 I = valor de influência do ábaco; 
 N = número de quadrados; 
 Q = carga uniformemente distribuída. 
Carga Qualquer (Newmark, 1942) 
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Área circular carregada 
X/R 
Z/R 
0 
1 
3 
4 
2 
2 3 
X 
Z 
R 
q
z
z 
Área circular carregada 
Carga circular 
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Carga distribuída em faixa infinita 
 Esta situação ocorre em fundações de muros 
e sapatas corridas que transmitem ao terreno 
uma carga distribuída de valor “q”. 
B=2b 
 
 
q 
x 
z 
y 
Carga distribuída em faixa infinita 
 
 
)2sen( sen
 
2
)2cos( sen
)2cos( sen
x
















q
q
q
q
y
z
 = coef. de Poisson 
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Círculo de Mohr 
 O estado de tensões num ponto pode ser 
representado graficamente, através do 
círculo de Mohr. 
 
 O Círculo de Mohr é a representação 
gráfica do estado de tensões num ponto. 
Círculo de Mohr 
’3 
’1 
 
’3 
’1 
’3 
’1 
 
Círculo de Mohr 
21 
Círculo de Mohr 
 1 e 3 são as tensões principais; 
 Nos planos onde actuam as tensões 
principais, a tensão de corte é nula, estes 
planos são chamados de planos 
principais; 
 1 é a tensão principal maior; 
 3 é a tensão principal menor; 
 2 é a tensão principal intermediária. 
 
Círculo de Mohr 
 
 
 
Há necessidade de se conhecer as tensões num plano qualquer 
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Círculo de Mohr 
’3 
’1 
 
 
’3 
’1 
’3 
’1 
’ 
 
 2  
’ 
Círculo de Mohr 
 Pólo é o ponto do círculo de Mohr a partir 
do qual com uma recta se intercepta o 
circulo de Mohr no ponto que indica as 
tensões num plano paralelo a esta recta.