Estatística e Probabilidades

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Estatística e Probabilidades/1ª Prova/AULAS/Capitulo_1.pdf
O Papel da Estatística em áreas do
conhecimento
Marcos Oliveira Prates
2012/02
Site: http://www.est.ufmg.br/˜marcosop
e-mail: marcosop@est.ufmg.br
Marcos Oliveira Prates O Papel da Estatística em áreas do conhecimento
Marcos Oliveira Prates O Papel da Estatística em áreas do conhecimento
Distribuição de Pontos
3 provas - 30 pontos cada;
± 6 listas - 10 pontos.
Marcos Oliveira Prates O Papel da Estatística em áreas do conhecimento
Objetivos
Ao final deste capítulo você deve ser capaz de:
Identificar o papel da estatística na resolução de
problemas.
Discutir como a variabilidade afeta os dados coletados e
usados para tomada de decisão.
Diferenciar estudos enumerativos e analíticos.
Discutir métodos de coletas de dados.
Marcos Oliveira Prates O Papel da Estatística em áreas do conhecimento
Identificar as vantagens de experimentos planejados.
Diferenciar modelos mecanicistas de modelos empíricos.
Discutir como probabilidade e modelos de probabilidade
são usados em administração e em ciência.
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O Pensamento Estatístico
Marcos Oliveira Prates O Papel da Estatística em áreas do conhecimento
Objetivo de um pesquisador:
resolver problemas de interesse da sociedade através da
aplicação do método científico.
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Método científico⇒ abordagem para formular e resolver
problemas.
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O que pesquisadores devem saber:
planejar eficientemente experimentos;
coletar dados;
analisá-los e interpretá-los;
entender como os dados estão relacionados com o
modelo proposto em estudo.
Marcos Oliveira Prates O Papel da Estatística em áreas do conhecimento
Estatística lida com:
coleta, apresentação e análise de dados;
uso desses dados para tomar decisões e resolver
problemas.
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O conhecimento de estatística é importante para qualquer
profissional.
Técnicas estatísticas podem ser uma ajuda poderosa no
planejamento de novos produtos e sistemas.
Podem ser usadas melhorando projetos existentes e
planejando, desenvolvendo e melhorando sistemas
existentes.
Marcos Oliveira Prates O Papel da Estatística em áreas do conhecimento
Métodos estatísticos nos ajudam a entender a
variabilidade.
Variabilidade⇒ sucessivas observações de um sistema
não produzem o mesmo resultado.
Pensamento estatístico⇒ nos ensina a incorporar essa
variabilidade na tomada de decisão.
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Exemplo: Desempenho do consumo de gasolina de um carro
O desempenho não é o mesmo para cada tanque de
combustível.
Depende de fatores como:
tipo de estrada usada;
mudanças nas condições do veículo;
marca da gasolina;
condições climáticas.
São fatores potenciais de variabilidade.
Estatística nos fornece uma estrutura para
descrever a variabilidade;
aprender quais fontes são mais importantes.
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Exemplo: projeto de um conector de náilon para aplicação
automotiva
Especificação da espessura da parede: 3/32 polegadas.
Está inseguro quanto a força de remoção.
Produz oito unidades do protótipo e mede suas forças de
remoção.
Valores observados: 12,9; 13,4; 12,3; 13,6; 13,5; 12,6;
13,1.
Nem todos protótipos tem a mesma força de remoção.
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Consideramos a força de remoção como uma variável
aleatória X.
Podemos pensar em X como
X = µ+ �
onde µ é uma constante e � é uma perturbação aleatória.
A constante permanece a mesma em cada medida.
O valor de � pode mudar, devido a
mudanças no ambiente;
diferenças na peças individuais;
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O diagrama de pontos permite visualizar localização e
dispersão dos dados.
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Inferência Estatística
raciocinar a partir de um conjunto de medidas para casos
mais gerais.
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O raciocínio baseado em alguns objetos pode resultar em
erros:
erros amostrais.
Se amostra é selecionada adequadamente,
esses riscos podem ser quantificados e um tamanho
apropriado de amostra é determinado.
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Coleta de dados
Marcos Oliveira Prates O Papel da Estatística em áreas do conhecimento
Três métodos básicos de coletar dados são:
estudo retrospectivo usando dados históricos;
estudo de observação;
um experimento planejado.
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Estudo Retrospectivo
Utiliza dados arquivados.
Esses dados podem conter informação relativamente de
pouca utilidade para o problema.
Alguns dados relevantes podem ser omitidos.
Podem haver erros de transcrição ou registro, resultando
em outliers (valores não-usuais).
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Exemplo:
Deseja-se medir a concentração de acetona em um
destilado.
Fatores que afetam:
temperatura do refervedor,
temperatura do condensado,
taxa de refluxo.
Uma amostra de dados arquivados é utilizada.
Pode-se estar interessado em descobrir relações entre as
duas temperaturas e a taxa de refluxo sobre a
concentração de acetona.
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Estudo de observação
Observa-se o processo perturbando-o tão pouco quanto
possível.
Ocorrem por um curto período de tempo.
Assim, variáveis que não são rotineiramente medidas
podem ser incluídas.
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No exemplo de destilação:
O cientista poderia planejar uma forma de medir as
temperaturas e a taxa de refluxo quando as medidas de
concentração são feitas.
Poderia ser possível também medir concentrações da
corrente de alimentação e estudar seu impacto.
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Experimentos planejados
O cientista faz variações deliberadas em variáveis
controláveis do sistema.
Observa os dados de saída resultante.
Faz uma inferência sobre quais variáveis são responsáveis
pelas mudanças observadas.
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Exemplo:
No exemplo do conector de náilon.
O cientista escolhe duas espessuras da parede e mede a
força de remoção para cada uma delas.
Nesse tipo de experimento comparativo o interesse é
em determinar se existe diferença entre os dois projetos.
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Observando Processos ao Longo do Tempo
Dados coletados ao longo do tempo.
É útil plotar os dados versus tempo em um gráfico de
série temporal.
Nesse tipo de gráfico, fenômenos que possam afetar o
sistema se tornam mais visíveis.
O conceito de estabilidade pode ser mais bem julgado.
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Exemplo:
No exemplo da destilação.
Poderíamos fazer um gráfico de série temporal da
concentração de acetona como esse mostrado abaixo.
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Modelos Mecanicistas e Empíricos
Marcos Oliveira Prates O Papel da Estatística em áreas do conhecimento
Modelos desempenham um papel importante em quase
todos problemas.
Suponha que estejamos medindo a corrente em um fio de
cobre.
O modelo para esse fenômeno pode ser a lei de Ohm:
Corrente=voltagem/resistência
ou
I = E/R
Esse tipo de modelo é chamado mecanicista.
É construído a partir do nosso
conhecimento do
mecanismo físico que relaciona essas variáveis.
Marcos Oliveira Prates O Papel da Estatística em áreas do conhecimento
Se fizermos o processo de medição mais de uma vez, a
corrente observada poderá diferir.
Isso pode ser consequência de: mudanças de
temperatura, flutuações no desempenho de medidor, etc.
O modelo mais realista seria
I = E/R + �
sendo � uma medida de erro.
� inclui efeitos de todas as fontes de variabilidade que não
fazem parte do modelo.
Esse tipo de modelo é chamado modelo empírico.
Marcos Oliveira Prates O Papel da Estatística em áreas do conhecimento
Em muitas situações não temos modelos mecanicistas
simples ou bem entendidos.
Suponha que estamos interessados no peso molecular
médio (Mn) de um polímero.
Sabemos que está relacionado com:
viscosidade do material (V);
quantidade de catalisador (C);
temperatura (T).
A relação entre Mn e essas variáveis é
Mn = f (V ,C,T )
onde f é uma função desconhecida.
Marcos Oliveira Prates O Papel da Estatística em áreas do conhecimento
Talvez um modelo razoável seja
Mn = β0 + β1V + β2C + β3T
sendo os β’s parâmetros desconhecidos.
Esse modelo não descreve exatamente o fenômeno.
Desse modo devemos adicionar o termo � ao modelo
Mn = β0 + β1V + β2C + β3T + �
Veremos que esse tipo modelo é chamado modelo de
regressão.
Os termos β’s podem ser encontrados através de métodos
de mínimos quadrados
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Probabilidade e Modelos de Probabilidade
Marcos Oliveira Prates O Papel da Estatística em áreas do conhecimento
Vimos que as decisões são tomadas tendo como base os
objetos de uma amostra.
Precisamos saber o quão bem essa amostra representa a
população.
Devemos quantificar os riscos de decisões tomadas tendo
como base a amostra.
Os modelos de probabilidade ajudam a quantificar esses
riscos.
Marcos Oliveira Prates O Papel da Estatística em áreas do conhecimento
Suponha que temos um lote com 25 pastilhas.
Se todas forem defeituosas ou todas boas:
as pastilhas da amostra serão todas defeituosas ou todas
boas.
Suponha que só uma pastilha é defeituosa.
Uma amostra retirada pode ou não conter essa pastilha
defeituosa.
Para quantificarmos os riscos de uma pastilha defeituosa
ser detectada devemos usar:
um modelo de probabilidade
um método para selecionar a amostra.
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		Coleta de dados
		Modelos Mecanicistas e Empíricos
		Probabilidade e Modelos de Probabilidade
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Espaços Amostrais e Eventos
Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Probabilidade - aula I
Marcos Oliveira Prates
2012/02
Marcos Oliveira Prates Probabilidade - aula I
Espaços Amostrais e Eventos
Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
1 Espaços Amostrais e Eventos
Experimentos Aleatórios
2 Espaços Amostrais
3 Eventos
4 Técnicas de Contagem
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Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Objetivos
Ao final deste capítulo você deve ser capaz de:
Entender e descrever espaços amostrais e eventos para
experimentos aleatórios.
Interpretar probabilidades.
Calcular probabilidades de eventos em espaços amostrais
discretos.
Usar combinações permutações para contar número de
resultados.
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Experimentos Aleatórios
Espaços Amostrais e Eventos
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Técnicas de Contagem
Experimentos Aleatórios
Experimento Aleatório
Um experimento que pode fornecer diferentes resultados,
mesmo sendo repetido toda vez da mesma maneira.
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Técnicas de Contagem
Experimentos Aleatórios
Exemplo:
Se medimos a corrente em um fio, estamos conduzindo
um experimento.
Em repetições diárias dessas medidas, os resultados
poderão diferir levemente.
Isso pode ocorrer por causa de variações em variáveis
que não estamos controlando, como:
variações na temperatura;
variações nos medidores;
impurezas na composição química do fio.
Dizemos então que esse experimento tem um
componente aleatório.
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Eventos
Técnicas de Contagem
Experimentos Aleatórios
Não importa quão cuidadosamente o experimento tenha
sido planejado, a variação está quase sempre presente.
Sua magnitude pode ser tão grande que as conclusões do
experimento podem não ser tão óbvias.
Precisamos então de métodos para modelar e analisar os
resultados desses experimentos.
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Técnicas de Contagem
Experimentos Aleatórios
Queremos compreender, quantificar e modelar variações
que encontramos com frequência.
Modelos que incluem variação não são diferentes de
modelos de outras áreas como engenharia e ciência.
Por exemplo, as Leis de Newton não são uma descrição
perfeita do nosso universo físico.
Porém são modelos úteis para quantificar o desempenho
de produtos em engenharia.
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Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Experimentos Aleatórios
Precisamos formular uma abstração matemática do
fenômeno estudado.
E validá-la com medidas de nosso sistema.
O modelo pode, então, ser usado para entender aspectos
do sistema físico.
Pode ser usado ainda para prever a resposta do sistema à
alimentação de dados (inputs).
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Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Espaços Amostrais
Marcos Oliveira Prates Probabilidade - aula I
Espaços Amostrais e Eventos
Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Para modelar um experimento aleatório devemos entender
o conjunto de resultados possíveis.
Esse conjunto de resultados possíveis é denominado
espaço amostral
O espaço amostral é geralmente definido baseado nos
objetos da análise.
Espaço Amostral
Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento
aleatório. É denotado por S.
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Espaços Amostrais
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Técnicas de Contagem
Exemplo:
Medir a espessura de uma peça plástica moldada.
O valor da espessura depende de:
resolução do instrumento de medição;
dos limites superior e inferior da espessura.
Podemos, porém, simplesmente definir o espaço amostral
como a linha real positiva
S = R+ = {x |x > 0}
Pois a espessura não pode assumir valores negativos.
Marcos Oliveira Prates Probabilidade - aula I
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Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Se sabemos que todas peças tem espessura entre 10 e 11
milímetros, podemos definir
S = {x |10 < x < 11}
Se queremos considerar apenas o fato da peça ter
espessura baixa, média ou alta, pode-se considerar
S = {baixa, média, alta}
Se queremos avaliar se a peça obedece ou não a
determinadas especificações podemos dizer que
S = {sim, não}
que indica se as peças obedecem ou não.
Marcos Oliveira Prates Probabilidade - aula I
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Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Existem dois tipos de espaços amostrais:
Discreto
Consiste em um conjunto finito ou infinito contável de
resultados.
Contínuo
Contém um intervalo (tanto finito quanto infinito) de números
reais.
Marcos Oliveira Prates Probabilidade - aula I
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Técnicas de Contagem
No exemplo anterior:
S = R+ é um espaço amostral contínuo;
S = {sim, não} é um espaço amostral discreto.
A escolha do espaço amostral depende do objetivo do estudo.
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Técnicas de Contagem
Exemplo:
Se dois conectores são selecionados.
Medimos a espessura de cada um deles.
Podemos estender o espaço amostral anterior.
O espaço amostral será o quadrante positivo
S = R+ × R+
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Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Se queremos apenas saber se os conectores seguem ou
não determinadas especificações.
Abreviamos sim ou não para s e n.
sn indica que o primeiro conector obedece e o segundo
não; os demais são análogos.
O espaço amostral é representado por:
S = {ss, sn, ns, nn}
Se estivermos interessados apenas no número de peças
conformes na amostra
S = {0, 1, 2}
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Eventos
Técnicas de Contagem
Considere outro experimento.
A espessura é medida até que o conector não satisfaça as
especificações.
O espaço amostral é dado por
S = {n, sn, ssn, sssn, e assim por diante}
esse é um exemplo de espaço discreto que infinito
contável.
Marcos Oliveira Prates Probabilidade - aula I
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Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Muitos experimentos envolvem a seleção de objetos
dentro de um grupo.
Como retirar bolas de uma urna.
Devemos indicar se o item será reposto ou (com
reposição) ou não (sem reposição) antes da próxima
seleção.
Marcos Oliveira Prates Probabilidade - aula I
Espaços Amostrais e Eventos
Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Exemplo:
Temos três itens {a, b, c}.
Vamos selecionar dois itens sem reposição.
O espaço amostral é dado por
Ssem = {ab, ac, ba, bc, ca, cb} .
Consideramos a ordem os elementos retirados:
ab e ba são elementos distintos do espaço amostral.
Se não considerarmos a ordem o espaço amostral se
reduz a
Ssem = {{a,b}, {a, c}, {b, c}} .
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Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Exemplo:
Temos novamente três itens {a, b, c}.
Selecionamos dois itens com reposição.
Os resultados possíveis passam a ser
Scom = {aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc} .
Observações: a amostragem sem reposição é mais
comum em aplicações industriais.
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Eventos
Técnicas de Contagem
Em alguns casos não é necessário especificar o item
exato, mas somente uma propriedade.
Suponha que em um conjunto de itens:
existem 5 defeituoso e 95 bons.
Selecionamos dois itens sem reposição.
Seja b um item bom e d o item defeituoso.
É suficiente descrever o espaço amostral em termos da
qualidade dos itens
S = {bb, bd , db, dd} .
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Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Observe que existem muito mais pares de itens em que
ambos são bons.
Estamos porém apenas listando os resultados possíveis.
Essas diferenças serão consideradas quando calcularmos
probabilidades.
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Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Uma outra forma de descrever espaços amostrais é
através de diagrama em forma de árvore.
Usado quando podemos construir o espaço amostral em
várias etapas.
Podemos representar da seguinte forma:
no primeiro ramo, cada uma das n1 maneiras de completar
a primeira etapa;
no segundo ramo, cada uma das n2 maneiras de
completarmos a segunda etapa;
assim por diante.
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Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Exemplo:
Um sistema digital recebe mensagens.
Elas são classificadas conforme são recebidas dentro de
um tempo especificado.
Três mensagens são classificadas, temos o seguinte
espaço amostral.
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Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Exemplo:
Um fabricante de automóveis provê veículos equipados
com opcionais selecionados.
Cada veículo é ordenado:
com ou sem transmissão automática;
com ou sem ar condicionado;
com uma das três escolhas de sistema estéreo;
com uma das quatro cores exteriores.
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Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Esse espaço amostral tem 48 resultados possíveis
(2× 2× 3× 4).
O espaço amostral pode ser representado pelo seguinte
diagrama:
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Eventos
Técnicas de Contagem
Eventos
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Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Frequentemente estamos interessados em um conjunto de
resultados possíveis.
Podem ser descritos com subconjuntos do espaço
amostral.
Podemos aplicar também operações de conjuntos.
Evento
Subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.
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Eventos
Técnicas de Contagem
Podemos estar interessados em novos eventos a partir de
combinações dos eventos existentes.
Como são subconjuntos, podemos usar operações
básicas de conjuntos.
As principais operações:
união;
interseção;
complemento.
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Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
União entre dois enventos
Todos resultados que estão contidos em cada um dos dois
eventos. Notação: E1 ∪ E2.
Interseção entre dois eventos
Todos resultados que estão nos dois eventos simultaneamente.
Notação: E1 ∩ E2
Complemento de um evento
Conjunto dos resultados do espaço amostral que não estão no
evento. Notação: o complemento de E é denotado por E ′.
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Eventos
Técnicas de Contagem
Exemplo:
Considere o espaço amostral do exemplo anterior
S = {ss, sn, ns, nn} .
Seja E1 o subconjunto dos resultados para os quais no
mínimo uma peça é conforme
E1 = {ss, sn, ns, } .
Seja E2 o subconjunto dos resultados para os quais no
mínimo uma peça é não-conforme
E2 = {sn, ns, nn} .
Então
E1 ∪ E2 = S, E1 ∩ E2 = {sn, ns} e E ′1 = {nn} .
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Eventos
Técnicas de Contagem
Podemos usar diagramas de Venn para descrever
relações entre eventos.
Figura: Diagramas de Venn
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Técnicas de Contagem
Eventos mutuamente excludentes
Dois eventos E1 e E2 tais que
E1 ∩ E2 = ∅ .
Figura: Eventos mutuamente excludentes.
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Eventos
Técnicas de Contagem
Resultados adicionais sobre conjuntos:
Pela definição de complemento
(E ′)′ = E .
Lei distributiva
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
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Eventos
Técnicas de Contagem
Lei DeMorgan:
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′ e (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
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Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Técnicas de Contagem
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Espaços Amostrais e Eventos
Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Em muitos exemplos é fácil determinar o número de
resultados
em cada evento.
Em exemplos mais complicados podem ser necessárias
algumas técnicas de contagem.
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Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Regra da Multiplicação
Se uma operação puder ser descrita em k etapas e
se o número de maneiras de completar a etapa 1 for n1;
número de maneiras de completar a etapa 2 for n2
e assim por diante.
O número total de completar a operação será
n1 × n2 . . . nk .
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Eventos
Técnicas de Contagem
Permutações
Número de sequências ordenadas de um conjunto.
O número de permutações de n elementos é n! sendo
n! = n × (n − 1)× (n − 2) · · · × 2× 1 .
Coloca-se na primeira posição um dos n elementos.
Seleciona-se para segunda posição um dentre os n − 1
restantes.
E assim sucessivamente.
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Espaços Amostrais
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Técnicas de Contagem
Permutações de subconjuntos
Podemos estar interessados no número de arranjos de
alguns elementos do conjunto.
O número de permutações de subconjuntos de r
elementos selecionando em n elementos é dado por
Pnr =
n!
(n − r)!
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Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Exemplo:
Um placa de circuito tem oito localizações diferentes.
Quatro componentes distintos são colocados na placa.
Quantos projetos diferentes são possíveis?
Precisamos selecionar uma localização entre as 8 para a
primeira componente.
Uma localização dentre as sete restantes para a segunda
e assim por diante.
O número de projetos possíveis é dado por
P84 = 8× 7× 6× 5 =
8!
4!
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Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Permutações de objetos similares
Podemos querer contar sequências ordenadas de objetos
não todos diferentes.
O número de permutações de n = n1 + n2 + · · ·+ nr
objetos.
Nos quais n1 são de um tipo, n2 de um segundo tipo, . . . , e
nr de um r-ésimo tipo.
O total de resultados possíveis é
n!
n1!n2! . . . nr !
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Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Exemplo:
Uma peça é marcada pela impressão de:
4 linhas espessas;
3 linhas médias;
2 linhas finas.
Cada ordenação das 9 linhas representa um marca
diferente.
O total de marcas possíveis é dado por
9!
4!3!2!
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Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Combinações
Queremos contar o número de subconjuntos de r
elementos a partir de um conjunto de n elementos (r < n).
A ordem não é importante.
O número total de resultados possíveis é dado por
Cnr =
(
n
r
)
=
n!
(n − r)!r !
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Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Exemplo:
Um componente pode ser colocado em 8 localizações
diferentes uma placa de circuito.
Cinco componentes idênticos são colocados na placa.
Cada projeto é um subconjunto das 8 localizações que
podem conter os componentes.
O número total de projetos é
C85 =
8!
5!3!
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Espaços Amostrais e Eventos
Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Exemplo (amostragem sem reposição):
50 itens são fabricados.
3 são defeituosos e 47 são não-defeituosos.
Uma amostra de 6 itens é selecionada.
Quantas amostras têm exatamente 2 itens defeituosos?
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Espaços Amostrais
Eventos
Técnicas de Contagem
Solução:
Primeiro selecionamos 2 dois dos 3 itens defeituosos(
3
2
)
.
Depois selecionamos 4 dentre os 47 itens não defeituosos(
47
4
)
.
O número total de possibilidades, usando a regra da
multiplicação é dado por(
3
2
)
×
(
47
4
)
.
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		Espaços Amostrais
		Eventos
		Técnicas de Contagem
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Interpretações de Probabilidade
Regras da Adição
Probabilidade Condicional
Probabilidade - aula II
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2012/02
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Interpretações de Probabilidade
Regras da Adição
Probabilidade Condicional
1 Interpretações de Probabilidade
2 Regras da Adição
3 Probabilidade Condicional
Amostras Aleatórias e Probabilidade Condicional
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Interpretações de Probabilidade
Regras da Adição
Probabilidade Condicional
Objetivos
Ao final deste capítulo você deve ser capaz de:
Calcular probabilidades de eventos conjuntos.
Interpretar e calcular probabilidades condicionais de
eventos.
Determinar a independência de eventos e usá-la para
calcular probabilidades.
Marcos Oliveira Prates Probabilidade - aula II
Interpretações de Probabilidade
Regras da Adição
Probabilidade Condicional
Interpretações de Probabilidade
Marcos Oliveira Prates Probabilidade - aula II
Interpretações de Probabilidade
Regras da Adição
Probabilidade Condicional
Vamos introduzir probabilidades para espaços amostrais
discretos.
Probabilidade
Quantifica a possibilidade de ocorrência de um resultado de
um experimento aleatório.
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Probabilidade Condicional
“A chance de chover é 30 %” → quantifica o nosso
sentimento acerca da possibilidade de chuva.
A possibilidade de um resultado é quantificada
atribuindo-se um número no intervalo [0, 1].
Números maiores indicam que o resultado é mais
provável.
Probabilidade zero indica que o resultado não ocorrerá.
Probabilidade um significa que irá ocorrer com certeza.
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Interpretações da probabilidade:
Subjetiva: grau de crença de que o resultado ocorrerá.
Frequentista: valor limite da proporção de vezes que o
resultado ocorre em n repetições do experimento aleatório.
Exemplo:
Se dizemos que a probabilidade de um pulso estar
corrompido em um sinal digital é 0,2.
Podemos interpretar que se analisarmos muitos pulsos
20% deles vão estar corrompidos.
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As probabilidades são escolhidas de forma que a soma
resulte em um.
Elas devem ser atribuídas com base em um modelo
razoável para o sistema em estudo.
Uma abordagem simples é basear no conceito de
resultados igualmente prováveis.
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Exemplo:
Dentre 100 diodos a laser selecionamos um
aleatoriamente.
O espaço amostral é o conjunto dos 100 diodos.
Aleatoriamente significa todos diodos têm a mesma
probabilidade de serem selecionados.
Como as probabilidades devem somar um, cada diodo tem
probabilidade 0,01 de ser selecionado.
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Resultados igualmente prováveis
Considere que o espaço amostral é formado por N
resultados possíveis.
Suponha que todos resultados são igualmente prováveis.
Cada resultado tem probabilidade 1/N.
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Frequentemente precisamos atribuir probabilidades a
eventos que consistem em vários resultados do espaço
amostral.
Para um espaço amostral discreto isso pode
ser feito
facilmente.
Probabilidade de um evento
Para um espaço amostral discreto, a probabilidade de um
evento E , P(E), é igual a soma dos resultados em E .
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Exemplo:
Considere novamente um conjunto de 100 diodos a laser.
Considere que 30% deles satisfazem certos requisistos
mínimos do consumidor.
Um diodo é selecionado ao acaso (todos com mesma
probabilidade).
Intuitivamente: probabilidade dele satisfazer os
requerimentos é 0,3.
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Vamos calcular essa probabilidade em termos de eventos.
Seja E o evento em que o diodo satisfaz os requerimentos.
E é um subconjunto de 30 diodos que satisfazem o
requerimento mínimo.
E contém 30 resultados e cada um deles com
probabilidade 0,01, logo
P(E) = 30× (0, 01) = 0, 3
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Exemplo:
Suponha que temos quatro itens
{a, b, c, d} .
Temos ainda que
P(a) = 0, 1, P(b) = 0, 3, P(c) = 0, 5 e P(d) = 0, 1 .
Logo
P({a, b}) = P(a) + P(b) = 0, 1 + 0, 3 = 0, 4
P({b, c, d}) = P(b)+ P(c)+ P(d) = 0, 3 + 0, 5 + 0, 1 = 0, 9
P({d}) = P(d) = 0, 1 .
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Podemos ainda calcular outras probabilidades como
P({a, b}′) = P({c, d}) = 0, 5 + 0, 1 = 0, 6
P({b, c, d}′) = P(a) = 0, 1
P({d}′) = P({a, b, c}) = 0, 1 + 0, 3 + 0, 5 = 0, 9
P({a, b} ∩ {b, c, d}) = P(b) = 0, 3
P({a, b} ∪ {b, c, d}) = P({a, b, c, d}) = 1
P({a, b} ∩ {d}) = P(∅) = 0
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Em alguns casos podemos seleciondar mais de um item
de um conjunto de objetos.
Nesse caso aleatoriamente selecionado significa que
cada subconjunto possível de itens é igualmente provável.
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Exemplo:
Suponha que tenhamos agora seis items
{a, b, c, d , e, f} .
Dois itens são selecionados aleatoriamente (todos com a
mesma probabilidade) sem reposição.
Suponha que f é defeituosos e todos demais são bons.
Qual a probabilidade do item f aparecer na amostra?
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O espaço amostral consiste em todos os pares
desordenados possíveis selecionados sem reposição.
Sabemos que o total de pares possíveis é dado por
(
6
2
)
=
6× 5
2 = 15 .
Se E é o evento que o item f é selecionado
E = {{a, f}, {b, f}, {c, f}, {d , f}, {e, f}} .
Como cada resultado é igualmente provável
P(E) = 5/15 = 1/3 .
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Sempre que definimos probabilidades elas devem
satisfazer alguns axiomas.
Esses axiomas garantem que as atribuições sejam
consistentes com o nosso entendimento intuitivo de
frequencia relativa.
Tais axiomas não determinam as probabilidades.
As probabilidades são atribuídas baseadas no
conhecimento do sistema de estudo.
Porém, os axiomas nos capacitam calcular facilmente a
probabilidade de alguns eventos.
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Axiomas da Probabilidade
Se S é o espaço amostral e E é um evento qualquer em
um experimento aleatório
1 P(S) = 1
2 0 ≤ P(E) ≤ 1
3 Para dois eventos E1 e E2, com E1 ∩ E2 = ∅
P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)
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Interpretações dos axiomas em termos de frequências
relativas:
0 ≤ P(E) ≤ 1 equivale ao requerimento que a frequência
relativa deve estar entre 0 e 1.
P(S) = 1 é consequência de que algum dos resultados do
espaço amostral ocorre em cada rodada do experimento.
Propriedade (3) significa que se E1 e E2 não tiverem
resultados em comum:
frequência relativa de E1 ∪ E2 é a soma das frequencias
relativas de E1 e E2.
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Como consequência desses resultados temos que
(mostrar como exercício)
P(∅) = 0
e para qualquer evento E
P(E ′) = 1− P(E) .
Além disso, se E1 ⊂ E2
P(E1) ≤ P(E2) .
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Eventos conjuntos são gerados pela aplicação de
operações básicas de conjuntos a eventos individuais.
Essas operações são: união, interseção, complemento.
Nesta seção nosso foco será na união de eventos.
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Para calcularmos a probabilidade da união de dois eventos
A ∪ B (A ou B) podemos usar o seguinte resultado.
Probabilidade de um união
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B) .
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Exemplo:
A tabela a seguir lista a história de 940 pastilhas em um
processo de fabricação de condutores.
Seja H o evento em que a pastilha contém altos níveis de
contaminação.
C o evento em que a pastilha está no centro da ferramenta
de recobrimento.
P(H) = 358940 P(C) =
626
940 P(H ∩C) =
112
940
P(H∪C) = P(H)+P(C)−P(H∩C) = 358 + 626− 112940 =
872
940
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Já vimos que dois eventos A e B são mutuamente
exclusivos se A ∩ B = ∅.
Nesse caso então P(A ∩ B) = 0 e o resultado anterior se
simplifica para o terceiro axioma da probabilidade.
Se A e B são eventos mutuamente excludentes
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
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Três ou mais evento
Probabilidades mais complicadas, como P(A ∪ B ∪ C),
podem ser determinadas pelo uso repetido do resultado
anterior.
Probabilidade da união três eventos
P(A ∪ B ∪C) = P(A) + P(B) + P(C)− P(A ∩ B)
−P(A ∩ C)− P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩C)
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Um resultado análogo vale para um número arbitrário de
eventos (não será apresentado aqui).
Esse resultado para três ou mais eventos é simplificado
consideravelmente se eles forem mutuamente
excludentes.
O eventos E1, E2, . . . , Ek são ditos ser mutuamente
excludentes se não houver superposição entre qualquer
um deles.
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Eventos mutuamente excludentes
Uma coleção de eventos E1, E2, . . . , Ek é dita ser mutuamente
excludente se para todos pares
Ei ∩ Ej = ∅ .
Para uma coleção de eventos mutuamente excludentes
P(E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ Ek ) = P(E1) + P(E2) + · · ·+ P(Ek )
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Exemplo:
Seja X o pH de uma amostra.
Considere o evento X maior que 6,5 e menor ou igual a
7,8.
A probabilidade desse evento pode ser calculada como a
soma de eventos mutuamente excludentes
P(6, 5 < X ≤ 7, 8) = P(6, 5 < X ≤ 7, 0)+P(7,
0 < X ≤ 7, 5)
+P(7, 5 < X ≤ 7, 8)
ou
P(6, 5 < X ≤ 7, 8) = P(6, 5 < X ≤ 6, 6)+P(6, 6 < X ≤ 7, 1)
+P(7, 1 < X ≤ 7, 4) + P(7, 4 < X ≤ 7, 8)
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Amostras Aleatórias e Probabilidade Condicional
Probabilidade Condicional
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Algumas vezes as probabilidades precisam ser
reavaliadas à medida que informaçõe adicionais se tornam
disponíveis.
Podemos considerar que o resultado gerado é um
elemento de um dado evento.
Esse evento, A por exemplo, define as condições em que
se sabe que o resultado é satisfatório.
A probabilidade de um evento B, sabendo qual será o
resultado de um evento A, é denotada por
P(B|A) .
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Exemplo:
Em um processo de fabricação de um filme fino, 2% dos
itens não são aceitos.
O processo é sensível ao problema de contaminação que
podem aumentar o a taxa de itens não aceitáveis.
Se durante uma mudança tivesse havido um problema
com os filtros que controlam a contaminação.
Estimaríamos a probabilidade de um item não ser
aceitável como maior que 2%.
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Amostras Aleatórias e Probabilidade Condicional
Exemplo:
Em um processo de fabricação:
10% dos itens são defeituosos,
25% dos itens que contém falhas na superfície são
realmente defeituosos,
5% dos itens sem falha na supefície são defeituosos.
Definimos os eventos:
D = { o item é defeituoso}
F = { o item tem falha na superfície}
Então
P(D) = 0, 10 P(D|F ) = 0, 25 P(D|F ′) = 0, 05
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Podemos calcular a probabilidade condicional a partir de
sua definição.
Probabilidade Condicional
A probabilidade condicional de um evento B, dado um evento
A, denotada por P(B|A) é
P(B|A) = P(A ∩ B)P(A)
para P(A) > 0.
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Probabilidade Condicional
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Exemplo:
Considere que todos resultados do experimento são
igualmente prováveis.
Se houver n resultados possíveis
P(A) = (número de resultados em A)
n
P(A ∩ B) = (número de resultados em A ∩ B)
n
Logo
P(B|A) = P(A ∩ B)P(A) =
(número de resultados em A ∩ B)
(número de resultados em A)
P(B|A) é a frequencia relativa do evento B dentre as
tentativas que produzem o evento A.
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Amostras Aleatórias e Probabilidade Condicional
Amostras Aleatórias e Probabilidade Condicional
Para calcularmos probabilidades em amostragem sem
reposição pode ser útil usar probabilidades condicionais.
Quando retiramos um item modificamos a probabilidade
de retirada dos demais.
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Exemplo:
Suponha que em um conjunto de itens temos:
10 itens da ferramenta 1
40 da ferramenta 2.
Dois itens são selecionados sem reposição.
Qual a probabilidade de um item da ferramenta 2 ser
selecionado (E2), dado que um item da ferramenta 1 foi
selecionado (E1) primeiro?
Um item da ferramenta 1 é retirado, sobram 49 itens:
9 da ferramenta 1,
40 da ferramenta 2, logo
P(E2|E1) =
40
49 .
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Exemplo:
Podemos calcular também a probabilidade de
selecionarmos um par de itens no qual o primeiro vem da
ferramenta 1 e o segundo da ferramenta 2.
Temos então que como
P(E2|E1) =
P(E1 ∩ E2)
P(E1)
então
P(E1 ∩ E2) = P(E2|E1)P(E1) =
40
49
10
50 =
8
49
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Estatística e Probabilidades/1ª Prova/AULAS/Capitulo_2_3.pdf
Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Probabilidade - aula III
Marcos Oliveira Prates
2012/02
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
1 Regra da Multiplicação
2 Regra da Probabilidade Total
3 Independência
4 Teorema de Bayes
5 Variáveis Aleatórias
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Objetivos
Ao final deste capítulo você deve ser capaz de:
Usar a regra da multiplicação para calcular probabilidade
de eventos
Usar a Regra da Probabilidade Total.
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Regra da Multiplicação
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Frequentemente precisamos da probabilidade da
interseção de dois eventos.
A definição da probabilidade condicional
P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A)
pode ser reescrita e resultar na regra conhecida como
regra da multiplicação.
Regra da Multiplicação
P(A ∩ B) = P(B|A)P(A) = P(A|B)P(B)
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Exemplo:
A probabilidade de que o primeiro estágio de uma
operação de usinagem atenda às especificações é de
0,90.
Falhas ocorrem devido a: variações no metal, condição da
lâmina, etc.
Dado que o primeiro estágio atende as especificações, a
probabilidade de que o segundo estágio atenda é de 0,95.
Qual a probabilidade de ambos encontrarem as
especificações?
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Solução:
Definimos os eventos:
A = {o primeiro estágio atende as especificações}
B = {o segundo estágio atende as especificações}
A probabilidade requerida é
P(A ∩ B) = P(B|A)P(A) = (0,95)(0,90) .
Observação: Apesar de ser também verdade que
P(A ∩ B) = P(A|B)P(B) a informação dada no problema
não nos permite usar essa fórmula.
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Regra da Probabilidade Total
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
A probabilidade de um evento pode ser dada sob várias
condições.
A partir dessa informação podemos recuperar a
probabilidade do evento.
Esse resultado é conhecido como regra da probabilidade
total.
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Exemplo:
Considere um processo de fabricação de semicondutores.
Dado que um chip está sujeito a altos níveis de
contaminação, a probabilidade de que ele cause defeito na
produção
é de 0,1.
Dado que o chip não está sujeito a altos níveis de
contaminação, a probabilidade dele causar defeito na
produção é 0,005.
Sabemos ainda que a probabilidade de um chip estar sob
altos níveis de contaminação é 0,2.
Estamos interessados no evento: o chip causa uma falha
na produção.
As condições a que esse evento está sujeito são:
está sujeito a altos níveis de contaminação;
não está sujeito a altos níveis de contaminação.
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Para qualquer evento B podemos escrever
B = (B ∩ A′) ∪ (B ∩ A) .
Como (B ∩ A′) e (B ∩ A) são mutuamente excludentes
P(B) = P(B∩A′)+P(B∩A) = P(B|A)P(A)+P(B|A′)P(A′).
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Exemplo:
Considere o exemplo de contaminação discutido
anteriormente.
Seja
F = {o chip causa defeito na produção}
H = {o chip está sujeito a altos níveis de contaminação}
Temos que
P(F |H) = 0,10 P(F |H ′) = 0,005 P(H) = 0,2 .
Logo
P(F ) = P(F |H)P(H) + P(F |H ′)P(H ′)
= (0,10)(0,2) + (0,005)(0,8) = 0,0235.
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Uma coleção de eventos E1, . . . ,En é dita exaustiva e
mutuamente excludente se
E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ En = S e Ei ∩ Ej = ∅ .
Regra da Probabilidade Total
Se E1, . . . ,En é uma coleção exaustiva e mutuamente excludentes de
eventos
P(B) = P(B ∩ E1) + P(B ∩ E2) + · · ·+ P(B ∩ En)
= P(B|E1)P(E1) + P(B|E2)P(E2) + · · ·+ P(B|En)P(En) .
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Exemplo:
Considere o exemplo de contaminação.
Porém agora o chip pode estar sujeito a níveis de
contaminação: alto, médio e baixo.
Seja
F = {o chip causa defeito na produção}
H = {o chip está sujeito a altos níveis de contaminação}
M = {o chip está sujeito níveis médios de contaminação}
L = {o chip está sujeito níveis baixos de contaminação}
Qual a probabilidade do chip causar defeito na produção?
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Exemplo: (solução)
Temos que
P(F |H) = 0,10 P(F |M) = 0,01, P(F |L) = 0,001
P(H) = 0,2 P(M) = 0,3 P(L) = 0,5 .
Logo
P(F ) = P(F |H)P(H) + P(F |M)P(M) + P(F |L)P(L)
= (0,10)(0,2) + (0,01)(0,3) + (0,001)(0,5) = 0,0235.
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Independência
Em alguns casos podemos ter que
P(A|B) = P(A) .
O conhecimento de B não nos diz nada sobre A.
Temos assim que
P(A ∩ B) = P(A|B)P(B) = P(A)P(B) .
Além disso
P(B|A) = P(A|B)P(B)
P(A)
=
P(A)P(B)
P(A)
= P(B) .
Dizemos assim que A e B são independentes.
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Independência
Dois eventos A e B são independentes se uma das seguintes
afirmações é verdade
P(A|B) = P(A);
P(B|A) = P(B);
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Observação: se A e B são independentes A′ e B′ também
são. (Fazer como exercício.)
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Exemplo:
Considere o circuito abaixo.
Ele só opera se houver um caminho de dispositivos
funcionando da esquerda para direita.
A probabilidade de cada dispositivo funcionar é mostrada
na figura.
Suponha que os disposistivos falhem independentemente.
Qual a probabilidade do circuito operar?
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Solução:
Definimos os eventos:
E = {o dispositivo da esquerda opera}
D = {o dispositivo da direito opera}
A propabilidade do circuito operar é
P(E ∩ D) = P(E)P(D) = (0,95)(0,95) = 0,9025 .
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Independência coletiva
Os eventos E1, . . . ,En são mutuamente independentes se para
qualquer subconjunto de eventos Ei1 ,Ei2 , . . . ,Eik
P(Ei1 ∩ Ei2 ∩ · · · ∩ Eik ) = P(Ei1)P(Ei2) . . .P(Eik )
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Exemplo:
Considere que a probabilidade de uma pastilha conter
uma grande partícula de contaminação é 0,01.
Suponha que as pastilhas são independentes:
a probabilidade de uma pastilha cotem uma partícula de
contaminação não é influenciada pelas demais.
15 pastilhas são analisadas.
Qual a probabilidade de nenhuma pastilha ser
contaminada?
Defina o evento:
Ei = {a i-ésima particula não é contaminada}, P(Ei) = 0,99
P(E1 ∩ E2 . . .En) = P(E1)P(E2) . . .P(En)
= (0,99)15 = 0,86
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Exemplo:
Considere o circuito apresentado a seguir.
Ele só opera se houver um caminho de dispositivos
funcionando da esquerda para direita.
A probabilidade de cada dispositivo funcionar é mostrada
na figura.
Suponha que os dois falhem independentemente.
Qual a probabilidade do circuito operar?
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Solução:
Definimos os eventos:
S = {o dispositivo da parte superior opera}
I = {o dispositivo da parte inferior opera}
Haverá um caminho disponível se pelo menos um deles
operar.
A probabilidade do circuito operar é
P(S ∪ I) = 1− P[(S ∪ I)′] = 1− P[S′ ∩ I′]
Como S e I são independentes, S′ e I′ também são, logo
P(S′ ∩ I′) = P(S′)P(I′) = (0,05)2
portanto
P(S ∪ I) = 1− (0,05)2 = 0,9975 .
Marcos Oliveira Prates Probabilidade - aula III
Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Considere o circuito abaixo.
Ele só opera se houver um caminho de dispositivos
funcionando da esquerda para direita.
Suponha que os dispositivos são independentes.
Qual a probabilidade do circuito funcionar?
(Fazer no quadro)
Marcos Oliveira Prates Probabilidade - aula III
Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Teorema de Bayes
Marcos Oliveira Prates Probabilidade - aula III
Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Vimos que a informação muitas vezes é apresentada em
forma de probabilidade condicional.
Elas nos fornecem a probabilidade de um evento (uma
falha) dada uma condição (estar contaminado).
Pode ser que estejamos interessados em investigar:
depois que o evento deu um resultado (falhar);
qual a probabilidade de uma certa condição estar presente
(alta contaminação)?
Esse tipo de problema é tratado usando o importante
resultado conhecido como Teorema de Bayes.
Marcos Oliveira Prates Probabilidade - aula III
Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Da definição de probabilidade condicional sabemos que
P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B) .
Rearranjando a última igualdade temos o seguinte
resultado.
P(A|B) = P(B|A)P(A)
P(B)
, para P(B) > 0 .
Marcos Oliveira Prates Probabilidade
- aula III
Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Exemplo:
Reconsidere o exemplo do chip.
Qual a probabilidade de que um nível alto de
contaminação estava presente dado que uma falha
ocorreu?
Relembrando que
H = {ocorre um nível alto de contaminação}
F = {ocorre uma falha}
Vimos que
P(F ) = P(F |H)P(H) + P(F |H ′)P(H ′) = 0,0235 .
Temos então que
P(H|F ) = P(F |H)P(H)
P(F )
=
(0,10)(0,20)
(0,0235)
= 0,85 .
Marcos Oliveira Prates Probabilidade - aula III
Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Podemos sempre usar a Regra da probabilidade total para
calcular a probabilidade do denominador.
Temos então o seguinte resultado geral.
Teorema de Bayes
Sejam E1,E2, . . . ,Ek eventos mutuamente excludentes e
exaustivos. Seja B um evento qualquer com P(B) > 0 temos
então que
P(Ei |B) = P(B|Ei)P(Ei)P(B|E1)P(E1) + P(B|E2)P(E2) + · · ·+ P(B|En)P(En)
Marcos Oliveira Prates Probabilidade - aula III
Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Exemplo:
Um rastreamento médico é realizado para testar um novo
procedimento.
A probabilidade do teste identificar corretamente alguém
com a doença é 0,99.
A probabilidade do teste identificar corretamente alguém
sem a doença é 0,95.
A incidência da doença na população em geral é 0,0001.
Você faz o teste e o resultado é positivo.
Qual a probabilidade de você ter a doença, nesse caso?
Defina:
D = {você tem a doença}, S = {o teste deu positivo} .
(Fazer no quadro.)
Marcos Oliveira Prates Probabilidade - aula III
Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Variáveis Aleatórias
Marcos Oliveira Prates Probabilidade - aula III
Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Frequentemente estamos interessados em resumir o
resultado de um experimento aleatório através de um
número.
Em muitos casos, o espaço amostral é apenas uma
descrição dos resultados possíveis.
Em outros, é necessário associar um número com cada
resultado do espaço amostral.
Exemplo: lançamos três moedas e observamos o número
de caras que aparecem.
Marcos Oliveira Prates Probabilidade - aula III
Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Não sabemos de ante-mão qual o resultado do
experimento aleatório.
Portanto o valor da variável resultante também não é
conhecido.
Por isso uma variável que associa um número ao
resultado do experimento aleatório é conhecida como
variável aleatória.
Variável Aleatória
Função que confere um número real a cada resultado no
espaço amostral de um experimento aleatório.
Marcos Oliveira Prates Probabilidade - aula III
Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Precisamos de uma notação para distinguir variável
aleatória de número real.
Uma variável aleatória é denotada por letra maiúscula, tal
como X .
Depois do experimento ser conduzido, o valor observado
da variável aleatória é denotado por letra minúscula, tal
como x = 70 miliampéres.
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Algumas medidas podem assumir qualquer valor em um
intervalo de números reais.
Exemplo: o comprimento de uma peça pode assumir
qualquer valor positivo.
Na prática, porém, arredondamos a medida para o
centésimo ou décimo mais próximo.
Mas vamos considerar que pode assumir qualquer valor.
Esse tipo de variável é denominada contínua.
Marcos Oliveira Prates Probabilidade - aula III
Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Em alguns casos podemos registrar variáveis que são
apenas pontos discretos na reta.
Exemplo: o número de bits que são transmitidos e
recebidos com erro.
Ou ainda a proporção de bits transmitidos recebidos com
erro, essa medida ainda é limitada a pontos discretos na
reta real.
Nesse tipo de situação dizemos que a variável aleatória é
discreta.
Marcos Oliveira Prates Probabilidade - aula III
Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas
Discreta: possui uma faixa finita (ou infinita contável) de
valores.
Contínua: possui um intervalo (tanto finito como infinito)
de números reais para sua faixa.
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Em alguns casos a variável X é discreta, mas como sua
faixa de valores é muito grande assumimos que é
contínua.
Suponha que medidas de corrente sejam lidas a partir de
um instrumento com precisão de centésimos.
Como as medidas são limitadas, a variável é discreta.
Porém, por conveniência e simplicidade, podemos assumir
que a variável é contínua.
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Regra da Multiplicação
Regra da Probabilidade Total
Independência
Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias
Exemplos de Variáveis Aleatórias
Discretas:
número de arranhões em uma superfície;
proporção de parte defeituosas em 1000 resultados;
número de bits transmitidos e recebidos com erro.
Contínuas:
corrente elétrica;
comprimento;
pressão;
temperatura.
Marcos Oliveira Prates Probabilidade - aula III
		Regra da Multiplicação
		Regra da Probabilidade Total
		Independência
		Teorema de Bayes
		Variáveis Aleatórias
Estatística e Probabilidades/1ª Prova/AULAS/Capitulo_3_1.pdf
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição
de Probabilidades
Marcos Oliveira Prates
2012/02
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
1 Variáveis Aleatórias Discretas
2 Distribuições de Probabilidade e Funções de Probabilidade
3 Funções de Distribuição Cumulativa
4 Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Objetivos
Ao final deste capítulo você deve ser capaz de:
Determinar probabilidades a partir de funções de
probabilidade e o contrário.
Determinar probabilidades a partir de funções distribuição
e o contrário.
Calcular médias e variâncias de variáveis aleatórias
discretas.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Variáveis Aleatórias Discretas
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Muitos sistemas físicos podem ser modelados pelos
mesmos experimentos aleatórios e pelas mesmas
variáveis aleatórias.
A distribuição dessas variáveis aleatórias pode ser
analisada e os resultados podem ser usados em diversas
aplicações e exemplos.
Vamos apresentar aqui experimentos que envolvem
variáveis aleatórias discretas.
Muitas vezes vamos omitir a discussão sobre o espaço
amostral e apresentar somente a descrição da variável
aleatória.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição
de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Exemplo:
Um sistema de comunicação possui 48 linhas externas.
O sistema é observado e algumas linhas estão sendo
usadas.
Seja a variável X o número de linhas em uso.
X pode assumir quaisquer valores inteiros de 0 até 48.
Exemplo: se o sistema é observado e 10 linhas estão em
uso x = 10.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Exemplo:
Em um processo de fabricação de semicondutor, dois
lotes de pastilhas são testadas.
Cada pastilha é classificada como passa ou falha.
A probabilidade de uma pastilha passar no teste é 0,8.
As pastilhas falham independentemente umas das outras.
Por exemplo, a probabilidade da primeira pastilha passar e
a segunda falhar, denotada por {pf}, é dada por
P({pf}) = (0,8)(0,2) = 0,16
Defina X como o número de pastilhas que passam.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
A tabela a seguir mostra os valores de X que são
atribuídos a cada resultado do experimento
Resultados
Pastilha 1 Pastilha 2 Probabilidade x
Passa Passa 0,64 2
Falha Passa 0,16 1
Passa Falha 0,16 1
Falha Falha 0,04 0
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Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Exemplo:
Considere um processo de fabricação de pastilhas.
Seja X o número de partículas de contaminação em uma
pastilha.
Os valores possível de X são inteiros de 0 até um número
grande que representa o máximo de partículas em uma
pastilha.
Se esse valor máximo é muito grande podemos considerar
que X pode assumir qualquer valor inteiro maior ou igual a
0.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Distribuições de Probabilidade e Funções de Probabilidade
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Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Muitas vezes ignoramos o espaço amostral original do
experimento.
E estamos interessados apenas na distribuição de
probabilidade da variável aleatória.
No exemplo das pastilhas, estávamos interessados
apenas no número de pastilhas que falham.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
A distribuição de probabilidade é uma descrição das
probabilidades associadas com os valores possíveis de X .
Para uma variável discreta, a distribuição é apenas uma
lista de valores possíveis com suas probabilidades
associadas.
Em alguns casos pode ser conveniente expressar a
probabilidade como uma fórmula.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Exemplo:
Considere um canal de transmissão através do qual são
transmitidos bits.
Existe a possibilidade desses bits serem transmitidos com
erro.
Seja X o número de bits com erros nos próximos 4 bits.
Os valores possíveis de X são {0,1,2,3,4}.
Suponha que as probabilidades associadas a cada valor
são
P(X = 0) = 0,651 P(X = 1) = 0,2916 P(X = 2) = 0,0486
P(X = 3) = 0,0036 P(X = 4) = 0,0001
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Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
A figura abaixo mostra representação gráfica da
distribuição de X .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
A distribuição de uma variável discreta X pode ser descrita
por uma funlçao que especifica a probabilidade em cada
valor de X .
Essa função deve cumprir alguns requisitos.
Funções de Probabilidade
Para uma variável aleatória X , com possíveis valores
x1, x2, . . . , xn, a função de probabilidade é uma função tal que
1 f (xi) ≥ 0
2
∑n
i=1 f (xi) = 1
3 f (xi) = P(X = xi)
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Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Exemplo:
Para o exemplo anterior vimos que
f (0) = 0,651 f (1) = 0,2916 f (2) = 0,0486
f (3) = 0,0036 f (4) = 0,0001
Todos são maiores que zero.
Temos ainda que
f (0) + f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = 1
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Exemplo
Considere o processo de fabricação de pastilhas.
Seja X o número de pastilhas que precisam ser avaliadas
até que uma partícula com grande partícula de
contaminação seja encontrada.
Seja p uma pastilha com grande partícula de
contaminação.
Seja a uma pastilha sem grande partícula de
contaminação.
A probabilidade de uma pastilha conter uma grande
partícula de contaminação é 0,01.
Determine a função de distribuição de X .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Solução:
O espaço amostral do experimento é infinito.
Pode ser representado por todas sequências que
comecem com a e terminem com um p:
S = {{p}, {ap}, {aap}, {aaap}, {aaaap}, e assim em diante}.
Temos que
P(X = 1) = P({p}) = 0,01
P(X = 2) = P({ap}) = (0,99)(0,01) = 0,0099
Em geral temos que
P(X = x) = P({aa . . . ap}︸ ︷︷ ︸
(x−1)a′s
) = (0,99)x−1(0,01)
Veremos mais a frente que essa é uma distribuição
conhecida como distribuição geométrica.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Funções de Distribuição Cumulativa
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Algumas vezes podemos precisar probabilidades
acumuladas, do tipo P(X ≤ x).
Veremos que tais probabilidades também podem ser
usadas para encontrar distribuição de probabilidade de X .
Esse é um método alternativo para descrever funções de
probabilidade.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Seja X uma variável aleatória que assume valores
x1, x2, . . . , xn.
Geralmente os eventos {X = x1}, {X = x2}, . . . , {X = xn}
são mutuamente excludentes.
De maneira que
P(X ≤ x) =
∑
xi≤x
f (xi)
Essa é então a definição de Função de Distribuição
Cumulativa.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Função de Distribuição Cumulativa
A função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória
discreta X , denotada por F (x), é
F (x) = P(X ≤ x) =
∑
xi≤x
f (xi) .
Ela satisfaz as seguintes propriedades
1 F (x) = P(X ≤ x) =∑xi≤x f (xi)
2 0 ≤ F (x) ≤ 1
3 Ela é não decrescente
x ≤ y ⇒ F (x) ≤ F (y) .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
As propriedades (1) e (2) são consequências da definição.
A propriedade (3) é decorrente do fato de que se
x ≤ y ⇒ {X ≤ x} ⊂ {X ≤ y} .
Se F (x) da um salto em um ponto x1 então o tamanho do
salto é igual a P(X = x1).
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Exemplo:
Considere o exemplo da transmissão de bits.
Lembrando que X é o número de bits transmitido com erro.
Poderíamos estar interessados em calcular P(X ≤ 3).
Temos então que
P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
= 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 + 0,0036 = 0,9999
Podemos usar a Função de Probabilidade Cumulativa para
calcular
P(X = 3) = P(X ≤ 3)− P(X ≤ 2)
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Observação:
Mesmo se X assume apenas valores inteiros.
F (x) está definida em valores não inteiros.
Para o exemplo dos bits temos
F (1,5) = P(X ≤ 1,5)
= P(X = 0) + P(X = 1) = 0,6561 + 0,2916 = 0,9477 .
Veremos no exemplo a seguir como F (x) pode ser usada
para determinar probabilidades.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Exemplo:
Determine a função de probabilidade de X a partir da
função de distribuição cumulativa
F (x) =

0 se x < −2
0,2 se −2 ≤ x < 0
0,7 se 0 ≤ x < 2
1 se x ≥ 2.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Solução:
A figura abaixo apresenta o gráfico de F (x).
Como o gráfico salta nos pontos -2, 0, 2, esses são os valores
que X assume.
Temos então que
f (−2) = P(X = −2) = P(X ≤ −2)−P(X ≤ −3) = 0,2−0 = 0,2
f (0) = P(X = 0) = P(X ≤ 0)− P(X ≤ −1) = 0,7− 0,2 = 0,5
f (2) = P(X = 2) = P(X ≤ 2)− P(X ≤ 1) = 1− 0,7 = 0,3
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Exemplo:
Considere um processo em que 850 peças são
produzidas.
50 delas não obedecem os requerimentos do consumidor.
Duas peças são selecionadas ao acaso sem reposição.
Seja X o número de peças não conformes.
Qual a função de distribuição cumulativa de X?
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Solução:
Precisamos primeiro encontrar a função de probabilidade
de X
P(X = 0) =
800
850
799
849
= 0,886
P(X = 1) = 2
800
850
50
849
= 0,111
P(X = 2) =
50
850
49
849
= 0,003
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Logo
F (0) = P(X ≤ 0) = 0,886
F (1) = P(X ≤ 1) = 0,886 + 0,111 = 0,997
F (2) = P(X ≤ 2) = 1
A figura abaixo mostra o gráfico de F (x).
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Dois números são geralmente usados para resumir a
distribuição de uma variável:
média e variância.
A média é uma medida do centro das probabilidades.
A variância é uma medida de dispersão na distribuição.
Elas não identificam uma distribuição:
duas distribuições diferentes podem ter mesma média e
mesma variância.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Média e Variância
A média ou valor esperado de uma variável discreta X ,
denotada por µ ou E(X ), é dada por
µ = E(X ) =
∑
x
xf (x) .
A variância de X , denotada por σ2 ou V (X ) é
σ2 = V (X ) = E(X − µ)2 =
∑
x
(x − µ)2f (x)
=
∑
x
x2f (x)− µ2
O desvio padrão de X é σ =
√
σ2 .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
A variância pode ser calculada de duas formas:
V (X ) =
∑
x
(x − µ)2f (x) =
∑
x
x2f (x)− µ2 : .
Para ver isso, basta usar propriedades de somatório:
V (X ) =
∑
x
(x − µ)2f (x) =
∑
x
x2f (x)− 2µ
∑
x
xf (x) + µ2
∑
x
f (x)
=
∑
x
x2f (x)− 2µ2 + µ2 =
∑
x
x2f (x)− µ2 .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
O valor esperado de uma variável é uma média ponderada
de pelas probabilidades de seus valores.
Podemos compará-la ao centro de massa de um objeto
(veja figura).
Da mesma forma que o centro de massa é o centro de
equilíbrio do objeto a E(X ) é o centro da distribuição de X .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
A variância é uma medida de espalhamento dos possíveis
valores de X .
Mede quanto os seus valores se afastam do centro
(média).
Ela usa o peso f (x) como multiplicador de cada desvio
(xi − µ)2.
É comum termos distribuições com mesma média porém
com variâncias distintas (veja figura a seguir).
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Distribuições com mesma média mas variâncias distintas.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Pode ocorrer ainda distribuições que diferem muito, mas
têm a mesma média e mesma variância.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Exemplo:
Retomando o exemplo do bit que é transmitido através do
canal digital.
Seja X o número de bits com erros nos
próximo quatro
transmitidos.
Os valores possíveis para X são {0,1,2,3,4} e sua
distribuição é dada por
P(X = 0) = 0,6561, P(X = 1) = 0,2916, P(X = 2) = 0,0486,
P(X = 3) = 0,0036, P(X = 4) = 0,0001.
Logo
E(X ) = 0(0,6561) + 1(0,2916) + 2(0,0486)+
3(0,0036) + 4(0,0001) = 0,4.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Embora X nunca assuma valor 0,4 a média ponderada de
seus valores é 0,4.
Para calcularmos a variância usamos a seguinte tabela.
V (x) =
5∑
i=1
f (xi)(xi − 0,4)2 = 0,36 .
A fórmula alternativa da variância leva ao mesmo
resultado.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Exemplo:
Dois projetos novos de produtos devem ser comparados
com base no potencial de retorno.
É previsto que o retorno do Projeto A seja de US$ 3
milhões.
Já o retorno do projeto B é mais difícil de se estimar.
O setor conclui que o retorno de B é igual a:
US$ 7 milhões com probabilidade 0,3
US$ 2 milhões com probabilidade 0,7.
Qual projeto você escolheria?
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Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Solução:
Seja X o retorno do projeto A e Y o retorno do projeto B.
Temos que P(X = 3 milhões) = 1 logo E(X ) = 3 milhões.
O valor esperado de Y é dado por
E(Y ) = 7(0,3) + 2(0,7) = 3,5 milhões.
Como E(Y ) > E(X ) poderíamos escolher o projeto B.
Porém a variabilidade de B é maior:
V (y) = (7− 3,5)2(0,3) + (2− 3,5)2(0,7)
= 5,25 milhões de dólares2
Para termos a variabilidade em dólares devemos retirar a
raiz
σ = 2,29 milhões de dólares.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Observações:
Notamos que apear da E(X ) < E(Y ) isso não garante que
o projeto B é melhor.
Ele está sujeito a maior variabilidade.
Se o setor estiver disposto a correr um risco maior em
busca de um projeto que pode dar maior retorno pode
escolher o B.
Porém se prefere um investimento mais seguro, com um
possivelmente um retorno menor, o melhor seria escolher
o projeto A.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Valor esperado de um função da variável
Se X é uma variável aleatória discreta com função de
probabilidade f (x),
E [h(X )] =
∑
x
h(x)f (x) .
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Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Exemplo:
Considere novamente o exemplo dos bits que são
transmitidos através do canal digital.
Qual o valor esperado de X 2?
Usando o resultado anterior:
E(X 2) = 02(0,6561) + 12(0,2916) + 22(0,0486)+
32(0,0036) + 42(0,0001) = 0,52.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições e Funções de Probabilidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância
Observe que no exemplo anterior
E(X 2) 6= E2(X ) .
Em geral teremos que
E(h(X )) 6= h(E(X )) .
Para o caso especial em que h(x) = ax + b temos que
E(aX + b) = aE(X ) + b .
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		Variáveis Aleatórias Discretas
		Distribuições de Probabilidade e Funções de Probabilidade
		Funções de Distribuição Cumulativa
		Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta
Estatística e Probabilidades/1ª Prova/AULAS/Capitulo_3_2.pdf
Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição
de Probabilidades - parte II
Marcos Oliveira Prates
2012/02
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Objetivos
Ao final deste capítulo você deve ser capaz de:
Ententer suposições para cada uma das distribuições
discretas apresentadas.
Selecionar a distribuição discreta em situações
específicas.
Calcular probabilidades, médias e variâncias para as
distribuições discretas apresentadas.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Uniforme Discreta
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
É a variável aleatória discreta mais simples.
Assume um número finito de valores.
Cada um com igual probabilidade.
Se X segue uma distribuição uniforme discreta:
os possíveis valores de X são x1, . . . , xn
todos eles com probabilidade 1/n.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Uniforme Discreta
X tem distribuição uniforme discreta se cada um dos n valores
em sua faixa, (x1, . . . , xn) tiver igual probabilidade.
Sua função de probabilidade é dada por
f (xi) =
1
n
.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo:
O primeiro dígito de um número de uma peça é igualmente
provável de ser cada um dos números de 0 a 9.
Uma peça é selecionada aleatoriamente.
Seja X o primeiro dígito do número da peça.
X tem uma distribuição uniforme discreta.
Seus valores possíveis são R = {0,1,2, . . . ,9}.
Sua função de probabilidade é dada por
f (xi) = 0,1
para cada xi em R.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Suponha que X pode assumir quaisquer valores
consecutivos
a,a + 1,a + 2, . . . ,b, para a ≤ b .
X pode assumir (b − a + 1) valores distintos, cada um com
probabilidade
1
b − a + 1 .
Portanto, a função de probabilidade de X é dada por
f (xi) =
1
b − a + 1
para xi ∈ {a,a + 1,a + 2, . . . ,b}.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Média e Variância
Para E(X ), vamos usar a soma de uma p.a.:
n∑
i=1
ai =
n(a1 + an)
2 .
Temos então que
E(X ) = (b + a)2 .
A variância não será mostrada aqui
Var(X ) = (b − a + 1)
2 − 1
12 .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Média e Variância
Se X tem distribuição uniforme discreta e assume valores
a,a + 1,a + 2, . . . ,b, para a ≤ b temos então que:
A média de X é
E(X ) = b + a2
A variância de X é
Var(X ) = (b − a + 1)
2 − 1
12 .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo:
Um sistema de comunicação possui 48 linhas externas.
Seja X o número de linhas em uso.
Considere que X é uma variável uniforme discreta, que
assume valores de 0 a 48.
Temos então que
E(X ) = (48 + 0)2 = 24
Var(X ) = (48 − 0 + 1)
2 − 1
12 σ =
√
(48 − 0 + 1)2 − 1
12 = 14,4.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Observações:
Se todos valores de X são multiplicados por uma
constante :
Y = kX .
A média fica multiplicada por k
E(Y ) = kE(X ) .
A variância fica multiplicada por k2
Var(Y ) = k2Var(X ) .
O desvio padrão fica multiplicado por k
√
Var(Y ) = k
√
Var(X ) .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo:
Considere novamente o exemplo da 48 linhas telefônicas.
Seja Y a proporção de linhas que estão em uso.
E X o número de linhas em uso.
Temos então que
Y = X/48.
Logo
E(Y ) = E(X )48 = 0,5 .
Var(Y ) = Var(X )
482 = 0,087 .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Binomial
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Considere os seguintes experimentos e as variáveis aleatórias:
1 Jogue uma moeda 10 vezes.
X = número de caras obtidas.
2 Um tear produz 25 peças.
1% são defeituosas;
X = número de peças defeituosas.
3 5 bits são transmitidos através de um canal digital.
10% são recebidos com erro;
X = número de bits com erro.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Cada experimento pode ser considerado como uma série
de tentativas aleatórias e repetidas:
10 arremessos da moeda;
a produção de 25 peças;
o envio de 5 bits.
X é uma contagem do número de tentativas que
satisfazem determinado critério.
Podemos resumir cada tentativa como resultando em um
sucesso ou fracasso.
X conta o número de sucessos.
Observação: os termos sucesso e falha são apenas
designações.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Esse tipo de tentativa (com somente dois resultados
possíveis) é chamada tentativa de bernoulli.
Considera-se que elas são independentes.
O resultado de uma não tem efeito sobre a outra:
se já sairam muitas caras não significa que irá aparecer
uma coroa.
Supõe-se ainda que a probabilidade de sucesso em cada
tentativa é constante.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo:
Considere o exemplo dos bits transmitidos por um canal
digital digital.
4 bits são transmitidos.
A probabilidade de um bit ser recebido com erro é 0,1.
Suponha que as tentativas de transmissão são
independentes.
Seja X o número de bits transmitidos com erro.
Calcule P(X = 2).
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Solução:
Defina
E = {um bit com erro} e O = {um bit bom}
O quadro a seguir representa os resultados possíveis do
experimento e os respectivos valores de X .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Solução (continuação):
O evento X = 2 corresponde a seis resultados
( 4!
2!2!
)
{EEOO,EOEO,EOOE ,OEEO,OEOE ,OOEE} .
Como as tentativas são independentes
P(EEOO) = (0,1)2(0,9)2 = 0,0081 .
Todos os resultado para X = 2 são mutuamente
excludentes e têm a mesma probabilidade (0,0081).
Ou seja
P(X = 2) = 6(0,0081) = 0,0486 .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Solução (continuação):
De um modo geral temos que
P(X = x) = (número de resultados com x erros)(0,1)x (0,9)4−x .
Precisamos de uma expressão para contar o número de
resultados com x erros.
Temos um total de quatro tentativas.
Dentre essas 4 tentativas precisamos escolher x para
serem erros.
O total de possibilidades então é dado por
(
4
x
)
=
4!
x!(4 − x)! .
Se x = 2, temos que
(4
2
)
= 6.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Binomial
Um experimento aleatório consiste em n tentativas de
Bernoulli, de modo que:
1 as tentativas sejam independentes;
2 elas resultam em um sucesso ou um falha;
3 a probabilidade de sucesso p permanece constante.
A variável X, que conta o número de sucessos, é uma variável
binomial com parâmetros 0 < p < 1 e n = 1,2, . . . .
A função de probabilidade de X é dada por
f (x) =
(
n
x
)
px(1 − p)n−x .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Para verificar que a soma das probabilidades é um basta
usar o fato que
(a + b)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
akbn−k
Se p é a probabilidade de sucesso, basta fazer a = p e
b = 1 − p
n∑
k=0
(
n
k
)
pk(1 − p)n−k = (p + (1 − p))n = 1 .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
A figura abaixo mostra um exemplo de distribuição
binomial.
Para p = 0,5 a distribuição é simétrica.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Abaixo temos um outro exemplo da binomial.
Para n fixo, a distribuição fica mais assimétrica:
quando p fica mais próximo de 0 ou 1.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo:
18 amostras de ar são selecionadas.
Cada uma tem 10% de chance de conter um poluente
orgânico.
Considere que as amostras sejam independentes.
Seja X o número de amostras que têm o poluente.
Qual a probabilidade de exatamente 2 amostras terem o
poluente?
Qual a probabilidade de no mínimo 4 amostras conterem o
poluente?
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Solução:
Probabilidade de exatamente 2 conterem o poluente.
X tem distribuição binomial de parâmetros p = 0,1 e
n = 18.
Logo
P(X = 2) =
(
18
2
)
(0,1)2(0,9)16
Como (
18
2
)
=
18!
2!16! =
(18)(17)
2 = 153;
temos que
P(X = 2) = 153(0,1)2(0,9)16 = 0,284 .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Solução (continuação): Probabilidade de pelo menos 4
conterem o poluente.
A probabilidade requerida é
P(X ≥ 4) =
18∑
x=4
(
18
x
)
(0,1)x (0,9)18−x .
No entanto é mais fácil de calcular
P(X ≥ 4) = 1 − P(X < 4) = 1 −
3∑
x=0
(
18
x
)
(0,1)x (0,9)18−x
= 1 − [0,15 + 0,3 + 0,284 + 0,168] = 0,098 .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Podemos ainda calcular
P(3 ≤ X < 7) =
6∑
x=3
(
18
x
)
(0,1)x (0,9)18−x
= 0,168 + 0,070 + 0,022 + 0,005 = 0,265 .
Observação:
os valores da probabilidades para algumas distribuições
binomiais são apresentados no final do livro e podem ser
usados para facilitar os cálculos.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Média e Variância
Para encontrarmos a média e variância podemos analisar
as tentativas independentes.
Definimos as variáveis aleatórias
Xi =
{
1 se a i-ésima tentativa for um sucesso
0 caso contrário
para i = 1, . . . ,n.
Então
X = X1 + X2 + · · ·+ Xn
E temos que
E(Xi) = 1p + 0(1 − p) = p E(X 2i ) = 1p + 0(1 − p) = p
logo
Var(Xi) = E(X 2i )− E2(Xi) = p − p2 = p(1 − p) .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Um resultado (que não discutiremos aqui) diz que
E(X1 + · · ·+ Xn) = E(X1) + · · ·+ E(Xn)
e, usando o fato da Xi ’s serem independentes temos que
Var(X1 + · · ·+ Xn) = Var(X1) + · · · + Var(Xn) .
Aplicando esse resultado para o nosso caso temos
E(Y ) = E(
∑
i
Xi) =
∑
i
E(Xi) = np
Var(Y ) = Var(
∑
i
Xi) =
∑
i
Var(Xi) = np(1− p)
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Média e Variância
Se X for uma variável aleatória binomial parâmetro p e n
E(X ) = np Var(X ) = np(1− p) .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo:
Considere novamente o exemplo dos bits recebidos com
erros.
X é o número de bits recebidos com erro.
X tem distribuição binomial de parâmetros p = 0,1 e
n = 4;
Logo
E(X ) = 4(0,1) = 0,4 Var(X ) = 4(0,1)(0,9) = 0,36 .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Geométrica
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Essa distribuição está muito relacionada com a
distribuição Binomial.
Suponha que temos uma série de tentativas de Bernoulli:
independentes e com probabilidade de sucesso constante
(p).
Porém as tentativas não são mais um número fixo.
Elas são realizadas até que se encontre um sucesso.
Exemplo: pastilhas são analisadas até que uma partícula
grande seja detectada.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo:
Considere o exemplo dos bits que são transmitidos por um
canal digital.
Cada bit é transmitido com erro com probabilidade 0,1.
As transmissões são eventos independentes.
Seja X o número de bits transmitidos até que o primeiro
erro é encontrado.
Qual a probabilidade de X = 5 ?
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Solução:
Defina:
E é o bit com erro;
O é o bit correto.
A probabilidade de uma transmissão correta é 0,9.
Como as tentativas são independentes
P(X = 5) = P(OOOOE) = (0,9)4(0,1) = 0,066 .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Observação:
X pode ser qualquer número inteiro.
Podemos ter também X = 1, caso a primeira tentativa seja
um sucesso.
Logo X pode assumir os valores {1,2,3, . . . }.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Geométrica
Considere uma série de tentativas de Bernoulli:
tentativas independentes;
probabilidade de sucesso constante.
Seja X o número de tentativas até o primeiro sucesso.
X é uma variável com distribuição geométrica de
parâmetro 0 < p < 1 e
f (x) = (1 − p)x−1p x = 1,2, . . .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
A figura abaixo mostra exemplos de distribuição
geométrica para p = 0,1 e p = 0,9.
A altura da lina em x − 1 é (1-p) vezes altura de x .
As probabilidades caem em progressão geométrica.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo:
Considere uma linha de produção de pastilhas.
A probabilidade de uma pastilha conter uma partícula
grande é 0,01.
Considere que as pastilhas são independentes.
Qual a probabilidade de termos que analisar 125 pastilhas
até que uma partícula grande seja detectada?
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Solução:
Seja X o número de pastilhas analisadas até que uma
partícula grande é detectada.
X é uma variável aleatória geométrica com p = 0,01.
A probabilidade requerida é
P(X = 125) = (0,99)124(0,01) = 0,0029 .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Média e Variância
Sabemos que a média de uma variável discreta é dada por
E(X ) =
∑
x
xf (x) .
Para o caso da distribuição geométrica temos que
E(X ) =
∑
k
kp(1− p)k−1 = 1p .
A variância é dada por
Var(X ) = (1 − p)p2
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Média e Variância
Se X for uma variável geométrica com parâmetro p
E(X ) = 1p Var(X ) =
(1 − p)
p2 .
Quanto menor a probabilidade de sucesso:
mais tentativas são esperadas até o primeiro sucesso.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo:
Considere o exemplo da transmissão de bits.
Naquele caso X tem distribuição geométrica com p = 0,1.
Temos então que
E(X ) = 1p =
1
0,1 = 10 Var(X ) =
(1 − p)
p2 =
0,09
0,12 = 90
e o desvio padrão é dado por
√
Var(X ) =
√
90 = 9,49 .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Propriedade da falta de memória
Como as tentativas são independes:
não importa de onde começamos contar o número de
sucessos.
A cada nova tentativa é como se o processo tivesse
recomeçado.
Dado que um sucesso ainda não ocorreu:
o número de tentativas adicionais necessárias até um
sucesso não depende de quantas tentativas foram
realizadas.
O sistema não é desgastado.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Veremos agora porque isso é verdade.
Se X tem distribuição geométrica
P(X > x) = P( não ocorrer nenhum sucesso até a tentativa x)
= (1 − p)x .
Temos então que se k > 0
P(X > (x+k)|X > x) = (1 − p)
x+k
(1 − p)x = (1−p)
k = P(X > k).
Se eu já observei x tentativas sem sucesso.
A probabilidade de observar x + k tentativas sem sucesso:
é somente a probabilidade de observar mais k tentativas
sem sucesso.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo:
Considere o exemplo dos bits transmitidos com erro.
100 bits foram transmitidos sem erro.
A probabilidade do bit 106 ser transmitido com erro
é a mesma do sexto bit ser transmitido com erro caso o
processo seja reiniciado.
O número médio de bits transmitido até o próximo erro é
igual a 10.
O mesmo número médio esperado até o primeiro erro.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
		Distribuição Uniforme Discreta
		Média
		Distribuição Binomial
		Média e Variância
		Distribuição Geométrica
		Média e Variância
		Propriedade da falta de memória
Estatística e Probabilidades/1ª Prova/AULAS/Capitulo_6_1.pdf
Amostra e População
Estatísticas Descritivas
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade
Amostragem Aleatória e Descrição de Dados -
parte I
Marcos Oliveira Prates
2012/02
Marcos Oliveira Prates Amostragem Aleatória e Descrição de Dados - parte I
Amostra e População
Estatísticas Descritivas
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade
1 Amostra e População
2 Estatísticas Descritivas
3 Medidas de Posição
4 Medidas de Variabilidade
Marcos Oliveira Prates Amostragem Aleatória e Descrição de Dados - parte I
Amostra e População
Estatísticas Descritivas
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade
Objetivos
Ao final deste capítulo você deve ser capaz de:
Calcular e interpretar as seguintes medidas de uma
amostra:
média;
mediana;
variância;
desvio padrão;
amplitude.
Marcos Oliveira Prates Amostragem Aleatória e Descrição de Dados - parte I
Amostra e População
Estatísticas Descritivas
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade
Introdução
Queremos analisar uma variável:
anos de estudo dos professores universitários brasileiros.
Geralmente não é possível estudar todo o conjunto de
dados de interesse.
Seja por questões de tempo ou custo.
Selecionamos uma parte desse conjunto: amostra.
Os nossos dados de interesse constituem a população.
Marcos Oliveira Prates Amostragem Aleatória e Descrição de Dados - parte I
Amostra e População
Estatísticas Descritivas
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade
Amostra aleatória
Selecionamos a amostra para obter informação sobre a
população.
Se queremos investigar as alturas dos alunos:
selecionamos alguns deles aleatoriamente e medimos
suas alturas.
Esse tipo de procedimento é chamado amostragem
aleatória.
São desenvolvidos modelos para descrever esse tipo de
situação.
Marcos Oliveira Prates Amostragem Aleatória e Descrição de Dados - parte I
Amostra e População
Estatísticas Descritivas
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade
A seleção da amostra pode ser feita de várias maneiras.
O seu tamanho vai ser determinado a partir do erro
máximo permitido.
E também pelas características da população.
Depende da variabilidade:
grande heterogeneidade ⇒ tamanho de amostra maior.
Também do custo de coleta.
A amostra deve representar a população da melhor forma
possível.
Marcos Oliveira Prates Amostragem Aleatória e Descrição de Dados - parte I
Amostra e População
Estatísticas Descritivas
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade
Outros tipos de amostragem:
Amostragem sistemática
Um elemento é escolhido a cada k elementos.
Não é recomendada quando os dados têm sazonalidade.
Amostragem Estratificada
Divide a população em estratos de elementos que dividem
uma característica.
Seleciona-se uma amostra em cada grupo.
Melhora a precisão das estimativas.
Controla fatores que podem influenciar nas respostas dos
elementos.
Exemplo: divide-se a população por faixa etária.
Marcos Oliveira Prates Amostragem Aleatória e Descrição
de Dados - parte I
Amostra e População
Estatísticas Descritivas
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade
Amostragem por conglomerado
Divide a população em unidades: conglomerados.
Seleciona-se alguns deles.
Todos elementos do conglomerado vão fazer parte da
amostra.
Conglomerados podem reduzir o custo de coleta.
A variabilidade dentro do conglomerado > variabilidade
entre os conglomerados.
Exemplo: seleção de lotes de produtos em uma fábrica.
Marcos Oliveira Prates Amostragem Aleatória e Descrição de Dados - parte I
Amostra e População
Estatísticas Descritivas
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade
Descobrindo o óbvio?
o que você vê nessa
foto?
Simplismente um
conjunto de grãos
de café?
Marcos Oliveira Prates Amostragem Aleatória e Descrição de Dados - parte I
Amostra e População
Estatísticas Descritivas
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade
Descobrindo o óbvio?
o que você vê nessa
foto?
Simplismente um
conjunto de grãos
de café?
Existe a face de um
homem entre os
grãos.
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Amostra e População
Estatísticas Descritivas
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade
O olho humano tem dificuldade de identificar padrões ou
falta de padrão.
Precisamos de medidas para resumir a informação.
Usamos as estatísticas descritivas.
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Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade
Exemplo:
Em 1969 foi realizado um estudo em um determinado
país.
7683 indivíduos foram pesquisados.
Foram medidas as seguintes variáveis:
nível educacional;
peso (kg);
altura (cm);
idade (anos)
glicemia (mg/dL);
colesterol sérico (mg/dL);
pressão sistólica (mmHg).
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Medidas de Variabilidade
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Estatísticas Descritivas
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade
Sumários e apresentação de dados são essenciais para
bom julgamento estatístico.
Podemos assim focar nas características importantes dos
dados.
É útil descrever numericamente as características dos
dados.
Podemos caracterizar a localização ou tendência central:
média amostral.
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Medidas de Posição
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Média da Amostra
Uma amostra de tamanho n é coletada.
As observações dessa amostra são denotada por
x1, x2, . . . , xn .
A média amostral será
x¯ =
x1 + x2 + · · ·+ xn
n
.
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Exemplo:
Um engenheiro está projetando um conector de náilon.
Ele estabelece que o conector deve ter 3/32 polegadas.
Mas não sabe se essa espessura fornecerá uma boa força
de remoção.
Ele faz oito unidades do protótipo e mede a força delas:
x1 = 12,6 X2 = 12,9 x3 = 13,4 x4 = 12,3 x5 = 13,6
x6 = 13,5 x7 = 12,6 x8 = 13,1 .
A média amostral é
x¯ = 12,6+ · · ·+ 13,18 = 13 líbras-força
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Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade
A média pode ser interpretada com uma medida de
localização.
Uma média x¯ = 13 pode ser pensada com ponto de
balanço.
Pode ser vista como centro de massa da amostra.
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Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade
A média da amostra é:
o valor médio de todas observações do conjunto de dados.
Essa amostra foi selecionada a partir de uma população.
No exemplo, a população são todos conectores que serão
fabricados.
É uma população hipotética ⇒ não existe fisicamente.
As vezes existe uma população física real:
as pastilhas de silicone produzidas em uma fábrica.
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Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade
Vimos no capítulo anterior a média µ de uma distribuição
de probabilidade.
Podemos pensar em uma distribuição de probabilidade
como um modelo para uma população.
A média é o valor médio de todas observações dessa
população.
Se a população tem um tamanho finito N de valores
equiprováveis:
a função de probabilidade é
f (xi) =
1
N
a média é
µ =
∑
i
xi f (xi) =
∑N
i=1 xi
N .
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Medidas de Variabilidade
A média amostral nos dá uma estimativa da média
populacional.
No exemplo do conector:
o engenheiro concluiria que uma estimativa da força de
remoção média é
13, 0 libras- força .
Essa informação foi obtida com base na amostra.
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Uma outra medida de tendência central é a mediana.
Em um conjunto de dados ordenados:
a mediana separa a metade inferior e superior dos dados.
Metade da população terá valores menores ou iguais a
mediana.
Metade da população terá valores maiores ou iguais a ela.
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Como encontrar a mediana
Ordene o conjunto de dados.
Seja n o número total de observações.
A mediana é dada por
M =
{
X((n+1)/2) se n é ímpar
(X(n/2) + X(n/2+1))/2 se n é par.
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Medidas de Variabilidade
Exemplo:
Considere as seguintes observações
x1 = 1 x2 = 3 x3 = 5 x4 = 7 x5 = 9 .
Os dados já estão ordenados.
Temos que n = 5 e a mediana é dada por
M = x3 = 5 .
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Medidas de Variabilidade
Exemplo:
Considere agora as seguintes observações
x1 = 1 x2 = 2 x3 = 4 x4 = 8 x5 = 9 x6 = 10 .
Os dados já estão ordenados.
Temos que n = 6 e a mediana é dada por
M = x3 + x42 =
4 + 8
2 = 6 .
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Medidas de Variabilidade
Observações
Em algumas situações a mediana deve ser usada no
lugar da média.
É menos afetada por outliers do que a média.
Deve ser usada quando existem muitas observações
discrepantes.
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Medidas de Variabilidade
Exemplo:
Queremos ter informação sobre o salário de uma
determinada carreira.
Uma média alta pode dar a falsa impressão de que os
profissionais da classe tem um salário alto.
Isso pode estar encobrindo o fato de que poucas pessoas
possuem salários extremamente altos.
Nesse caso, a mediana seria mais informativa.
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Medidas de Variabilidade
Podemos dividir o conjunto de dados em mais de duas
partes.
Depois de ordenar os dados podemos dividir em quatro
partes:
obtemos assim os quartis.
Primeiro quartil (q1):
aproximadamente 25% das observações estão abaixo dele;
aproximadamente 75% das observações estão acima dele.
Segundo quartil (q2):
é a mediana.
Terceiro quartil (q3):
aproximadamente 75% das observações estão abaixo dele;
aproximadamente 25% das observações estão acima dele.
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Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade
Em geral o percentil 100k é tal que:
aproximadamente 100k% das observações estão abaixo
dele;
aproximadamente 100(1− k)% das observações estão
acima dele.
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Como encontrar quartis e percentis?
Existem várias formas.
Vamos apresentar uma mais simples.
Dados: 1,9 2,0 2,1 2,5 3,0 3,1 3,3 3,7 6,1 7,7.
Temos que n = 10.
Posição do q1 ⇒ 0,25× 11 = 2,75
q1 =
2 + 2,1
2 = 2,05 .
Posição do q2 ⇒ 0,5× 11 = 5,5
q2 =
3 + 3,1
2 = 3,05 .
Posição do q3 ⇒ 0,75× 11 = 8,25
q3 =
3,7 + 6,1
2 = 4,9 .
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Uma outra medida de tendência central é o ponto médio
M =
X(n) + X(1)
2 .
Não é muito utilizada.
Essa medida perde muita informação dos dados.
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Outra medida de posição é a moda amostral.
É o valor que ocorre com mais frequência.
Considere os dados
1, 3, 5, 5, 6
a moda é 5.
Alguns conjuntos de dado podem ter mais de uma moda.
Pode ocorrer também de não haver nenhuma moda:
1, 3, 2, 5, 8, 7, 9 .
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Medidas de Variabilidade
Medidas de Variabilidade
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Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade
A média é muito útil
porém ela não fornece toda informação sobre os dados.
Não basta sabermos a localização.
Precisamos de ter uma ideia da variabilidade.
Uma forma de medir a variabilidade da amostra:
variância amostral;
desvio-padrão amostral.
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Variância da Amostra
Uma amostra de tamanho n é coletada.
As observações dessa amostra são denotada por
x1, x2, . . . , xn .
A variância amostral é dada por
s2 =
∑
i(xi − x¯)
2
n − 1 .
O desvio-padrão amostral é a raiz da variância.
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Medidas de Variabilidade
A unidade de medida da variância são quadrado das
unidades originais.
Se x é medida em libras, sua variância é medida em
libras2.
O desvio-padrão possui a mesma unidade da variável x .
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Como a variância da amostra mede variabilidade?
A figura mostra os desvios (xi − x¯) para os dados da força
de remoção do conector.
Quanto maior a variabilidade dos dados maior será o valor
absoluto de alguns desvios (xi − x¯).
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Não podemos apenas somar os desvios pois
∑
i
(xi − x¯) = 0 .
Precisamos de uma medida que transforme os desvios
negativos em positivos.
Elevamos ao quadrado.
Se a s2 for pequena haverá relativamente pouca
variabilidade nos dados.
Se a s2 for grande a variabilidade será relativamente alta.
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Exemplo
Considere o exemplo da força de remoção.
A tabela abaixo apresenta as quantidades necessárias
para o cálculo da variância.
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Exemplo (continuação)
Temos que
8∑
i=1
(xi − x¯)
2 = 1,60
e a variância da amostra é
s2 =
1,60
8− 1 =
1,60
7 = 0,2286
e o desvio-padrão da amostra é
s =
√
0,2286 = 0,48 libras-força.
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Outra forma de calcular s2
O cálculo de s2 pode ser feito de uma maneira mais fácil.
Basta observar que
∑
i
(xi − x¯)
2 =
n∑
i=1
x2i −
(
∑
i xi)
2
n
.
Ou seja
s2 =
∑n
i=1 x
2
i −
(
P
i xi)
2
n
n − 1 .
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Exemplo:
Vamos recalcular a variância do exercício anterior usando
essa fórmula alternativa
s2 =
∑n
i=1 x
2
i −
(
P
i xi )
2
n
n − 1 =
1353,6− (104)
2
8
7
= 0,2286 .
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Medidas de Variabilidade
Vimos até agora como calcular a variância de uma
amostra.
Podemos estar interessados em calcular a variância da
população.
Vamos denotar a variância populacional por σ2.
Quando a população tiver um tamanho N e todos valores
são igualmente prováveis
σ2 =
∑
i(xi − µ)
2
N
onde µ é a média da população.
A variância da amostra pode ser usada como uma
estimativa para variância populacional.
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Observações:
O divisor da variância amostral é o tamanho da amostra
menos um (n − 1).
O divisor da variância populacional é o tamanho da
população N.
Se o valor de µ fosse conhecido:
poderíamos calcular a variância amostral dividindo por n.
Porém, como µ é desconhecido e estimado por x¯
devemos dividir por n − 1.
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Medidas de Variabilidade
Muitas vezes é importante olharmos para variabilidade
relativa.
Ela depende da escala em que estamos medindo a
variável.
Usamos então o coeficiente de variação
Coeficiente de variação
É o desvio padrão dividido pela média amostral.
É expresso em porcentagem.
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Exemplo:
Medimos duas variáveis em uma amostra de alunos:
altura e peso.
Os dados obtidos são
Média Desvio-padrão Coeficiente de variação
Altura 1,143 m 0,063 m 5,5%
Peso 50 kg 6 kg 12%
A variabilidade dos pesos dos alunos e aproximadamente
o dobro da variabilidade de suas alturas.
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Exemplo:
Medimos a altura (cm) de dois grupos:
recém-nascidos e adolescentes.
Obtemos o seguinte resultados
Média Desvio-padrão
Recém-nascidos 50 6
Adolescentes 160 16
Qual grupo tem maior variabilidade?
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Exemplo: (continuação)
Média Desvio-padrão Coeficiente de variação
Recém-nascidos 50 6 12%
Adolescentes 160 16 10%
A variabilidade do grupo de recém-nascidos é um pouco
superior.
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Uma outra medida de variabilidade é a amplitude:
diferença entre a maior e menor observação.
Amplitude da Amostra
Observamos uma amostra de tamanho n.
As observações são
x1, . . . , xn .
A amplitude da amostra é dada por
r = max(xi)−min(xi) .
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Exemplo:
Considere os dados da força de remoção.
Nesse caso temos que
min(xi ) = 12,3 max(xi) = 13,6 .
A amplitude então é dada por
r = max(xi)−min(xi) = 13,6− 12,3 = 1,3 .
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À medida que a variabilidade aumenta
a amplitude da amostra aumenta.
Porém ela ignora toda informação contida nos dados.
Quando a amostra é muito pequena essa perda é ainda
mais séria.
A amplitude é muito usada em controle estatístico da
qualidade.
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Uma outra medida de variabilidade é a distância
interquartílica.
É dada pela diferença entre o primeiro e terceiro quartil:
IQR = q3 − q1 .
Para o exemplo mostrado antes
q1 = 2,05 e q3 = 4,9 .
IQR = 4,9− 2,05 = 2,85 .
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Observação
Na maioria dos problemas em estatística trabalhamos com
uma amostra.
Essa amostra é coletada de uma população.
Veja o esquema abaixo.
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Estatística e Probabilidades/1ª Prova/AULAS/Capitulo_6_2.pdf
Diagrama de Ramo e Folhas
Distribuições de Frequência e Histograma
Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Amostragem Aleatória e Descrição de Dados -
parte II
Marcos Oliveira Prates
2012/02
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Diagrama de Ramo e Folhas
Distribuições de Frequência e Histograma
Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
1 Diagrama de Ramo e Folhas
2 Distribuições de Frequência e Histograma
3 Box-plot ou Diagrama de Caixa
4 Gráficos Sequenciais Temporais
5 Gráficos de Probabilidade
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Diagrama de Ramo e Folhas
Distribuições de Frequência e Histograma
Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Objetivos
Ao final deste capítulo você deve ser capaz de:
Construir e interpretar disposições gráficas dos dados.
Iremos trabalhar aqui com os seguintes gráficos:
gráfico de ramo e folhas;
histograma;
diagrama de caixa ou box-plot;
gráfico de probabilidades.
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Diagrama de Ramo e Folhas
Distribuições de Frequência e Histograma
Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Diagrama de Ramo e Folhas
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Diagrama de Ramo e Folhas
Distribuições de Frequência e Histograma
Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
O diagrama de pontos é uma representação útil quando
a amostra é pequena.
Quando esse número é alto, outras representações são
mais úteis.
Pois nos fornecem mais informações sobre os dados.
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Os dados abaixo são a resistência à compressão de 80
corpos de prova.
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Os dados não fornecem muita informação.
Questões como:
“Qual a porcentagem de corpos com resistência abaixo de
120?”
Não são fáceis de responder apenas olhando a tabela.
Como a amostra é grande a construção do grafo de pontos
é ineficiente.
Devemos usar outro tipo de representação gráfica.
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Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
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Uma possibilidade é o diagrama de ramos e folhas.
Ele é uma boa maneira de obter uma apresentação visual
informativa dos dados.
Pode ser usado quando os dados
x1, x2, . . . , xn
têm pelos menos dois dígitos.
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Etapas para construir o Diagrama de Ramos e Folhas
Divida cada número xi em duas partes:
um ramo consistindo de um ou mais dígitos;
uma folha consistindo dos dígitos restantes.
Liste os valores do ramo em uma coluna vertical.
Ao lado do ramo, registre a folha de cada observação.
Escreva as unidades para os ramos o folhas no grafo.
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Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Exemplo:
Considere que os dados representam a porcentagem de
ítens defeituosos em um lote de pastilhas.
Os dados variam entre 0 e 100.
Se uma observação é 76% podemos dividir esse número:
ramo 7 e folha 6.
Devemos escolher pouco ramos comparado com o
número de observações.
Senão perdemos muito informação.
O ideal é escolher entre 5 e 20 ramos.
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Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Exemplo:
Considere os dados de resistência dos corpos de prova.
Selecionamos os seguinte valores dos ramos:
7, 8, 9 , . . . , 24 .
Colocamos na última coluna a frequência do número de
folhas associadas a cada ramo.
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Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
A maioria das resistências está entre 120 e 200.
O valor central está entre 150 e 160.
A distribuição é aproximadamente simétrica.
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Distribuições de Frequência e Histograma
Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos
Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Para algumas bases de dados:
pode ser interessante prover mais ramos.
Podemos dividir o ramo 5 em dois novos:
5L⇒ com as folhas 0,1,2,3,4;
5U⇒ com as folhas 5,6,7,8,9.
Isso dobra o número de ramos originais.
Podemos ainda aumentar em quatro vezes o número de
ramos originais.
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Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Exemplo:
A figura mostra o diagrama para dados de rendimento de
um processo químico.
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Gráficos de Probabilidade
Diagrama de Ramo e Folhas usando Minitab
Ordena as folhas de maneira crescente.
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Gráficos de Probabilidade
Diagrama de Ramo e Folhas usando R
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Distribuições de Frequência e Histograma
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Distribuições de Frequência e Histograma
Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Distribuição de Frequência
É um sumário mais compactado dos dados em relação ao
diagrama de ramo e folhas.
Precisamos dividir a faixa dos dados em intervalos.
Esses intervalos são chamados intervalos de classe.
Sempre que possível esses intervalos devem ter a mesma
largura.
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Distribuições de Frequência e Histograma
Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
O número de intervalos depende do número de
observações e de seu espalhamento.
Uma regra prática é:
se temos um conjunto com n dados;
o número de intervalos de classe será aproximadamente
√
n .
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Diagrama de Ramo e Folhas
Distribuições de Frequência e Histograma
Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Exemplo:
Considere os dados de resistência à compressão.
O número total de dados é 80.
Temos então √
80 = 8, 94 ≈ 9
logo teremos 9 intervalos de classe.
O maior e o menor valor desses dados são:
245 e 76.
Pegamos o limite inferior de 70 (menor que 76) e o limite
superior de 250 (maior que 245).
A faixa de valores é 250-70=180.
Cada intervalo de classe tem comprimento
180
9 = 20.
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Diagrama de Ramo e Folhas
Distribuições de Frequência e Histograma
Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Exemplo: (continuação)
A tabela a seguir mostra a distribuição de frequência
desses dados.
A segunda linha mostra as frequências relativas.
A terceira linha mostra as frequências relativas
acumuladas.
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Diagrama de Ramo e Folhas
Distribuições de Frequência e Histograma
Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Histograma
É uma disposição visual das frequências.
Fornece uma impressão visual da forma da distribuição.
Nos dá também informação sobre a tendência central e
dispersão dos dados.
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Diagrama de Ramo e Folhas
Distribuições de Frequência e Histograma
Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Construindo um histograma
Marque os limites dos intervalos de classe no eixo
horizontal.
Marque e nomeie o eixo vertical com as frequências
relativas.
Acima de cada intervalo de classe desenhe um retângulo:
a altura do retângulo deve ser igual a frequência (ou
frequência relativa).
Marcos Oliveira Prates Amostragem Aleatória e Descrição de Dados - parte II
Diagrama de Ramo e Folhas
Distribuições de Frequência e Histograma
Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
A seguir os histograma dos dados de resistência à
compressão.
A distribuição é simétrica, em forma de sino.
A distribuição normal seria um modelo razoável.
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Diagrama de Ramo e Folhas
Distribuições de Frequência e Histograma
Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Um histograma pode ter intervalos com larguras diferentes.
Se existem outliers as observações se distribuem em
poucos intervalos.
Seria melhor usar mais intervalos na região em que estão
a maioria dos dados.
Nesse caso a área do retângulo é proporcional à
frequencia
altura do retângulo = frequência do intervalolargura do intervalo .
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Diagrama de Ramo e Folhas
Distribuições de Frequência e Histograma
Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Histogramas usando Minitab
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Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Histogramas usando R
Histogram of x
x
Fr
eq
ue
nc
y
−2 −1 0 1 2 3
0
5
10
15
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Diagrama de Ramo e Folhas
Distribuições de Frequência e Histograma
Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Gráfico de Frequência Cumulativa
É uma variação do histograma.
A altura do intervalo é definida como
o número de observações que é menor ou igual ao limite
superior do intervalo.
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Diagrama de Ramo e Folhas
Distribuições de Frequência e Histograma
Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Veja abaixo o gráfico de frequência cumulativa para os
dados de resistência à compressão.
Existem aproximadamente 70 observações com força de
compressão menor ou igual a 200.
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Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Quando o tamanho da amostra é grande:
o histograma indica a forma geral da distribuição.
Essa distribuição pode ser:
simétrica;
assimétrica positiva;
assimétrica negativa.
Essa classificação vai depender da posição relativa entre:
a mediana (x˜) e a média (x¯).
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Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
A figura abaixo ilustra os tipos de assimetria.
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Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Marcos
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Box-plot ou Diagrama de Caixa
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Gráficos de Probabilidade
Box-plot ou Diagrama de Caixa
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Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
O box-plot descreve uma variável.
Ele apresenta várias características dessa variável:
centro;
dispersão;
assimetria;
identificação de observações não usuais ou outliers.
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Gráficos de Probabilidade
Elementos do box-plot:
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Gráficos de Probabilidade
Exemplo:
Box-plot para os dados de resitência a compressão.
A distribuição é
razoávelmente simétrica.
Há dois outliers.
Os limites da linha são
dados por
q3 + 1, 5IQR =
181+1, 5(181−143, 5) = 237, 25
q1 − 1, 5IQR =
143, 5−1, 5(181−143, 5) = 87, 25
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Gráficos de Probabilidade
O box-plot é muito útil para comparação de grupos.
Ele tem alto impacto visual.
Permite comparar rapidamente diferenças como:
localização;
simetria;
dispersão.
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Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Exemplo:
Índice de qualidade de fabricação em três plantas
distintas.
A qualidade na primeira
planta é maior.
A assimetria na terceira
planta maior.
A variabilidade na segunda
planta é maior.
Nenhuma apresenta
outliers.
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Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
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Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
O tempo é um fator importante para variabilidade dos
dados.
Uma série temporal ou sequência temporal é
um conjunto de dados registrados na ordem que
ocorreram.
Em um gráfico de séries temporais:
o eixo vertical denota o valor da variável;
o eixo horizontal denota o tempo.
Podemos identificar características como:
tendências;
ciclos.
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Gráficos de Probabilidade
Exemplo:
Vendas anuais em uma companhia nos últimos 10 anos.
As vendas apresentam uma tendência crescente.
Existe certa variabilidade em torno dessa tendência.
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Gráficos de Probabilidade
Exemplo:
Vendas da companhia nos últimos três anos, registradas
por trimestre.
As vendas apresentam variabilidade cíclica.
As vendas no primeiro e segundo semestre maiores que
no terceiro e quarto.
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Gráficos de Probabilidade
Gráficos de Probabilidade
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Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Como sabemos se uma distribuição é boa para modelar os
dados?
Geralmente precisamos supor que as observações
seguem uma distribuição.
A distribuição pode dar informação sobre o mecanismo
físico de geração dos dados.
Exemplo: tempo de falha segue uma distribuição
exponencial
a taxa de falha é constante ao longo do tempo.
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Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
O histograma dá uma idéia da distribuição dos dados:
apenas se amostra é grande.
Gráfico de Probabilidade
Determina se os dados obedecem uma distribuição
hipotética.
Baseado no exame visual dos dados.
Se os pontos caem em torno de uma reta a distribuição é
adequada.
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Diagrama de Ramo e Folhas
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Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Exemplo:
Dez observações sobre o tempo de vida de baterias são
realizadas.
Os pontos caem aproximadamente em torno da linha.
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Gráficos de Probabilidade
Gráfico de Dispersão
Representa duas variáveis.
O objetivo é verificar a relação entre elas.
Se uma variável aumenta (diminui) quando a outra
aumenta (diminui):
correlação positiva.
Se uma variável diminui (aumenta) quando a outra
aumenta (diminui):
correlação negativa.
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Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Exemplo:
Pesos e comprimentos de 414 recém-nascidos.
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Diagrama de Ramo e Folhas
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Box-plot ou Diagrama de Caixa
Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Exemplo:
Um remédio é utilizado para reduzir a pressão sistólica.
12 pacientes têm a pressão medida antes e depois da
medicação.
Todos pontos abaixo da curva⇒ para todos pacientes a
pressão diminuiu.
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Diagrama de Ramo e Folhas
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Gráficos Sequenciais Temporais
Gráficos de Probabilidade
Gráfico de setores ou de pizza
Diagrama circular.
Mostra a importância
relativa das proporções.
Trabalha com
porcentagens.
Cada setor tem a área
proporcional a
porcentagem naquela
categoria
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Estatística e Probabilidades/1ª Prova/LISTAS/LISTA 01 GABARITO.pdf
Lista 1 - Gabarito
Prof. Marcos O. Prates
Disciplina: Estatística e Probabilidae
04 de abril de 2012
1. a) S = R+
b) R+
c) {x|11 < x ≤ 15}
d) {x|x ≤ 11}
e) R+
f) {x|0 ≤ x ≤ 11} ∪ {x|12 ≤ x < +∞}
g) {x|11 < x < 12}
h) ∅
i) {x|x ≥ 8}
2.
{A ∩B} = 70, {A′ = 14}, {A ∪B} = 95
3. a) 1/2
b) (1/3)(1/4)
c) (1/2) + (1/4)− (1/3)(1/4)
4. a) 1/10
b) 5/10
5. a) 0, 5 + 0, 2 = 0, 7
b) 0, 3 + 0, 2 = 0, 5
6. a) 0, 2 + 0, 3 + 0, 4 = 0, 9
b) 0
c) 0
d) 0 (usar propriedade distributiva)
e) 1− (0, 2 + 0, 3 + 0, 4) = 0, 1
1
7. a)
(42)
(522 )
b) 13
(42)
(522 )
8. a) 86/100
b) 79/100
c) 70/79
d) 70/86
9. a) 243/(243 + 26)
b) 26/(18 + 26)
10. a) (8− 1)/(350− 1)
b) ((8)/(350))× ((8− 1)/(350− 1))
b) ((342)/(350))× ((342− 1)/(350− 1))
11. Não, pois se B ⊂ A temos que
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
=
P (B)
P (B)
= 1 .
2
Estatística e Probabilidades/1ª Prova/LISTAS/LISTA 01.pdf
Lista 1
Prof. Marcos O. Prates
27 de setembro de 2012
Data de entrega: 04 de outubro
1. Uma balança digital é usada para fornecer peso em gramas.
a) Qual é o espaço amostral para esse experimento?
Seja A o evento em que o peso excede 11 gramas; B o evento em que o peso é menor
ou igual a 15 gramas e seja C o evento em que o peso é maior ou igual a 8 gramas e
menor que 12 gramas. Descreva os seguintes eventos.
b) A ∪B
c) A ∩B
d) A′
e) A ∪B ∪ C
f) (A ∪ C)′
g) A ∩B ∩ C
h) B′ ∩ C
i) A ∪ (B ∩ C)
2. Discos de plástico de policarbonato, provenientes de um fornecedor, são analisados com
relação à resistência a arranhões e a choque. Os resultados de 100 discos são descritos
na tabela a seguir
resistência ao choque
alta baixa
resistência a arranhões alta 70 9
baixa 16 5
Seja A o evento em que o disco tem alta resistência a choque e B o evento em que o
disco tem alta resistência a arranhões. Determine o número de discos em A ∩B, A′, e
A ∪B.
1
3. Sejam A e B dois eventos tais que P (A) = 1/2, P (B) = 1/4 e P (A|B) = 1/3. Calcule:
a) P (Ac);
b) P (A ∩B);
b) P (A ∪B).
4. Se o último dígito de uma medida de peso for igualmente provável de ser qualquer um
dos dígitos de 0 a 9,
a) Qual a probabilidade de que o último dígito seja 0?
b) Qual a probabilidade de que o último dígito seja maior ou igual a 5?
5. As compras de computadores podem ser classificadas de acordo com as opções adicio-
nais requeridas pelo consumidor. A tabela a seguir as proporções de opções adicionais
requeridas pelos consumidores:
proporções requeridas
sem opções adicionais 0,3
com uma opção adicional 0,2
com mais de uma opção adicional 0,5
a) Qual a probabilidade do consumidor pedir pelo menos uma opção adicional?
b) Qual a probabilidade do consumidor não requerer mais de uma opção adicional?
6. Se A, B e C são eventos mutuamente excludentes com P (A) = 0, 2, P (B) = 0, 3 e
P (C) = 0, 4, determine as seguintes probabilidades:
a) P (A ∪B ∪ C)
b) P (A ∩B ∩ C)
c) P (A ∩B)
d) P ((A ∪B) ∩ C)
e) P (A′ ∩B′ ∩ C ′)
7. Duas cartas são escolhidas aleatoriamente de um baralho de 52 cartas. Qual a proba-
bilidade de:
a) ambas sejam A's;
b) elas tenham o mesmo valor (mas não o mesmo naipe)?
Lembrando que um baralho possui 4 naipes, cada um com 13 cartas.
2
8. Considere o exemplo dos discos de policabornatos (Exercício 2). Os resultados de 100
discos são resumidos a seguir:
resistência ao choque
alta baixa
resistência a arranhões alta 70 9
baixa 16 5
Seja A o evento em que o disco tem alta resistência a choque e B o evento em que o
disco tem alta resistência a arranhões. Determine as seguintes probabilidades
a) P (A)
b) P (B)
c) P (A|B)
d) P (B|A)
9. A análise de resultados de um experimento de transmutação de uma folha (tornando
a folha em uma pétala) é resumido pelo tipo de transformação completada:
transformação total da textura
sim não
transformação total da cor sim 243 26
não 13 18
a) Se a folha completar a transformação da cor, qual é a probabilidade de que com-
pletará a transformação textual?
b) Se a folha não completar a transformação textual, qual a probabilidade de que ela
completará a transformação da cor?
10. Uma batelada de 350 amostras de mitocôndrias rejuvenescidas contém 8 que são mu-
táveis (defeituosas). Duas são selecionadas ao acaso e sem reposição.
a) Qual a probabilidade de que a segunda selecionada seja defeituosa, dado que a
primeira foi defeituosa?
b) Qual a probabilidade de que ambas sejam defeituosas?
c) Qual a probabilidade de que ambas sejam aceitáveis?
11. Se P (A|B) = 1, a igualdade A = B tem que ser verdadeira? Desenhe um diagrama de
Venn para explicar sua resposta.
3
Horários da monitoria (sala 1028):
• Segunda: 07h00 - 11h00 (Tássia)
• Terça: 09h00- 12h00 (Tássia)
• Quarta: 07h00 - 09h00 (Tássia)
• Quinta: 09h00 - 11h00 (Tássia)
• Sexta: 07h00 - 09h00 (Tássia)
4
Estatística e Probabilidades/1ª Prova/LISTAS/LISTA 02 GABARITO.pdf
Lista 2 - Gabarito
Prof. Marcos Oliveira Prates
Disciplina: Estatística e Probabilidae
09 de abril
1. a) P (A ∩B) = (0, 4)(0, 5)
b) P (A′ ∩B) = (0, 6)(0, 5)
2. P (A) = (0, 2)(0, 8) + (0, 3)(0, 2) = 0, 22
3. Não, pois P (A|B) 6= P (A)
4. Não, pois P (A ∩B) = 70/100 e P (A)P (B) = (86/100)(77/100)
5. P (B|A) = (0,7)(0,2)
0,5
= 0, 28
6. Seja G o evento em que o produto recebe uma boa revisão. Sejam H,M e P os eventos
em que o produto tem boa, moderada e má aprovação.
a) P (G) = (0, 95)(0, 4) + (0, 60)(0, 35) + (0, 10)(0, 25) = 0, 615
b) P (H|G) = (0,95)(0,4)
0,615
c) P (H|G′) = (0,05)(0,4)
1−0,615
7. fX(0) = 1/3, fX(1.5) = 1/3, fX(2) = 1/6 e fX(3) = 1/6.
a) 1/3
b) 1/3 + 1/6 = 1/2
c) 0
d) 1/3 + 1/3 = 2/3
e) 1/3 + 1/6 = 1/2
8. fX(0) = (0, 02)
3
, fX(1) = 3((0, 2)(0, 2)(0, 98)), fX(2) = 3((0, 2)(0, 98)(0, 98)) e fX(3) =
(0, 98)3.
1
9.
FX(x) =

0 x < 0
1/3 0 ≤ x < 1, 5
2/3 1, 5 ≤ x < 2
5/6 2 ≤ x < 3
1 x ≥ 3
10. a) P (X ≤ 1/18) = 0, 2
b) P (X ≤ 1/4) = 0, 9
c) P (X ≤ 5/16) = 0, 9
d) P (X > 1/4) = 0, 1
e) P (X ≤ 1/2) = 1
11. E(X) = 50 e V ar(X) = 850.
12. a) E(X) = 687, 5 e V ar(X) = 56, 25
b) E(X) = 87, 5 e V ar(X) = 56, 25. O tamanho do intervalo de valores é o mesmo,
a distribuição apenas se desloca. Assim a média se desloca da diferença entre os
dois mínimos (ou máximos), enquanto que a variação não muda.
13. a) P (X = 3) = 0, 215
b) P (X ≤ 9) = 1− P (X = 10) = 0, 9999
c) E(X) = 4
14. a) P (X = 4) = 0, 0064
b) P (X ≤ 4) = 0, 9984
c) P (X ≥ 4) = 0, 008
15. Não, pois P (A ∩B) = 0 e P (A)P (B) = (0, 2)(0, 2).
16. Seja F o evento em que o conector falha.
P (F ) = (0, 05)(0, 10) + (0, 01)(0, 90)
17. X = numero de crianças do sexo feminino
a) P (X = 5) + P (X = 0) = (.5)5 + (1− 0.5)5 = 0.625
b) (0.5)3(0.5)2 = 1/32
c) P (X = 2) =
(
5
2
)
(.5)2 + (1− 0.5)3 = 0.3125
d) (0.5)2 = 1/4
2
e) P (X ≥ 1) = 1− P (X = 0) = 1− (1− 0.5)5 = 31/32
18. a) P (X = 5) = 0, 2461
b) P (X ≤ 2) = 0, 0547
c) P (X ≥ 9) = 0, 0107
d) P (3 ≤ X < 5) = 0, 3222
3
Estatística e Probabilidades/1ª Prova/LISTAS/LISTA 02.pdf
Lista 2
Prof. Marcos Oliveira Prates
Disciplina: Estatística e Probabilidae
09 de outubro de 2012
Entrega: 18 de outubro
1. Suponha que P (A|B) = 0, 4 e P (B) = 0, 5. Determine o seguinte:
a) P (A ∩B)
b) P (A′ ∩B)
2. Suponha que P (A|B) = 0, 2, P (A|B′) = 0, 3 e P (B) = 0, 8. Qual a probabilidade
P (A)?
3. Se P (A|B) = 0, 4, P (B) = 0, 8 e P (A) = 0, 5, os eventos A e B são independentes?
4. Discos de plástico de policarbonato, provenientes de um fornecedor, são analisados com
relação à resistência a arranhões e a choque. Os resultados de 100 discos são descritos
na tabela a seguir
resistência ao choque
alta baixa
resistência a arranhões alta 70 9
baixa 16 5
Seja A o evento em que o disco tem alta resistência a choque e B o evento em que o
disco tem alta resistência a arranhões. Os eventos A e B são independentes?
5. Suponha que P (A|B) = 0, 7, P (A) = 0, 5 e P (B) = 0, 2. Determine P (B|A).
6. Consumidores são usados para avaliar projetos iniciais de produtos. No passado, 95%
dos produtos altamente aprovados recebiam boas revisões, 60% dos produtos mode-
radamente aprovados recebiam boas revisões
e 10% dos produtos ruins recebiam boas
revisões. Além disso, 40% dos produtos tinham sido altamente aprovados, 35% mode-
radamente aprovados e 25% tinham sido produtos ruins.
a) Qual a probabilidade de um produto atingir boa revisão.
1
b) Se um novo projeto atingir uma boa revisão, qual a probabilidade de que ele se
torne um produto altamente aprovado?
c) Se um produto não atingir uma boa revisão, qual a probabilidade de que ele se
torne um produto altamente aprovado?
7. O espaço amostral de um experimento é {a, b, c, d, e, f} e cada resultado é igualmente
provável. Uma variável aleatória X é definida como se segue
resultado a b c d e f
x 0 0 1,5 1,5 2 3
Determine a função de probabilidade deX. Use a função de probabilidade para calcular
as seguintes probabilidades.
a) P (X = 1, 5)
b) P (0, 5 < X < 2, 7)
c) P (X > 3)
d) P (0 ≤ X < 2)
e) P (X = 0 ou X = 2)
8. Um sistema de inspeção óptica deve distinguir diferentes tipos de peças. A probabili-
dade de classificação correta de qualquer peça é 0,98. Suponha que três peças sejam
inspecionadas e que as classificações são independentes. Seja a variável X o número
de peças classificadas corretamente. Determine função de probabilidade de X.
9. Determine a função de distribuição acumulada do exercício (7).
10. A espessura de um painel de madeira que um consumidor requer é uma variável alea-
tória, com a seguinte função de distribuição cumulativa.
FX(x) =

0 x < 1/18
0, 2 1/18 ≤ x < 1/4
0, 9 1/4 ≤ x < 3/8
1 x ≥ 3/8
Determine as seguintes probabilidades.
a) P (X ≤ 1/18)
b) P (X ≤ 1/4
c) P (X ≤ 5/16)
d) P (X > 1/4)
2
e) P (X ≤ 1/2)
11. Seja a variável aleatória X tendo uma distribuição uniforme nos inteiros 0 ≤ X ≤ 100.
Determine a média e a variância de X.
12. Considere que os comprimentos de onda de radiações fotossinteticamente ativas (RFA)
estejam distribuídos uniformemente nos inteiros de 675 a 700 mm.
a) Qual a média e variância da distribuição do comprimento de onda para essa radia-
ção?
b) Se comprimentos de onda estão uniformemente distribuídos em manômetros inteiros
de 75 a 100 mm, como podemos comparar a média e variância da distribuição de
comprimento de onda do item anterior? Explique.
13. As linhas telefônicas em um sistema de reservas de uma companhia aérea estão ocu-
padas 40% do tempo. Suponha que os eventos em que as linhas estejam ocupadas em
sucessivas chamadas sejam independentes. Considere que 10 chamadas aconteçam.
a) Qual a probabilidade de que para exatamente três chamadas as linhas estejam
ocupadas?
b) Qual a probabilidade de que para no mínimo uma chamada as linhas não esteja
ocupadas?
c) Qual é o número esperado de chamadas em que as linhas estejam ocupadas?
14. A probabilidade de um alinhamento óptico com sucesso em um arranjo de um produto
de armazenamento de dados ópticos é de 0,8. Considere as tentativas independentes.
a) Qual é a probabilidade de que o primeiro alinhamento com sucesso requeira exata-
mente quatro tentativas?
b) Qual é a probabilidade de que o primeiro alinhamento com sucesso requeira no
máximo quatro tentativas?
c) Qual é a probabilidade de que o primeiro alinhamento com sucesso requeira no
mínimo quatro tentativas?
Dica: essa variável aleatória conta o número de tentativas até o primeiro sucesso.
15. Se P (A) = 0, 2, P (B) = 0, 2 e A e B são mutuamente excludentes. A e B são
independentes?
16. A probabilidade de que um conector elétrico que seja mantido seco falhe durante o
período de garantia será de 1%. Se o conector for molhado, a probabilidade de falha
durante o período de garantia será de 5%. Se 90% dos conectores forem mantidos secos
3
e 10% forem mantidos molhados, qual será a proporção de conectores que irá falhar
durante o período de garantia?
17. Suponha que um casal tem a mesma probabilidade (1/2) de ter filhos do sexo masculino
e feminino. Além disso, o sexo de uma criança é independente das demais. Se um casal
tem 5 crianças, calcule as probabilidades dos seguintes eventos.
a) Todas crianças têm o mesmo sexo.
b) As três mais velhas são meninos e as demais são meninas.
c) Exatamente 3 são meninos.
d) As 2 mais velhas são meninas.
e) Eles têm pelo menos uma menina.
18. A variável aleatóriaX tem uma distribuição binomial com n = 10 e p = 0, 5. Determine
as probabilidades.
a) P (X = 5)
b) P (X ≤ 2)
c) P (X ≥ 9)
d) P (3 ≤ X < 5)
4
Estatística e Probabilidades/2ª Prova/AULAS/Capitulo_3_3.pdf
Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição
de Probabilidades - parte III
Marcos Oliveira Prates
2012/02
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Objetivos
Ao final deste capítulo você deve ser capaz de:
Ententer suposições para cada uma das distribuições
discretas apresentadas.
Selecionar a distribuição discreta em situações
específicas.
Calcular probabilidades, médias e variâncias para as
distribuições discretas apresentadas.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Binomial Negativa
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
É uma generalização da distribuição geométrica.
A variável aletória é o número de tentativas necessárias
até se obter r sucessos.
A distribuição geométrica é um caso particular para r = 1.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo:
Bits são transmitidos através de um canal digital.
A probabilidade de um bit ser transmitido com erro é 0,1.
Considere que as transmissões são independentes.
Seja X o número de bits transmitidos até o quarto erro.
X tem uma distribuição binomial negativa com r = 4.
Qual a probabilidade de X = 10?
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo: (solução)
Se X = 10 temos que
ocorrem 3 falhas nas 9 primeiras tentativas;
e a décima tentativa é uma falha.
Probabilidade de 3 falhas nas 9 primeiras rodadas(
9
3
)
(0, 1)3(0, 9)6
é uma Binomial(n=9; p=0,1).
Probabilidade que a décima tentativa é uma falha
(0, 1) .
Como as tentativas são independentes, a probabilidade
desses dois eventos é o produto das probabilidades(
9
3
)
(0, 1)3(0, 9)6(0, 1) =
(
9
3
)
(0, 1)4(0, 9)6
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Em geral temos o seguinte resultado.
Distribuição Binomial Negativa
Considere uma série de tentativas Bernoulli.
Seja X o número de tentativas até r sucessos.
X é uma variável Binomial Negativa com parâmetros
0 < p < 1 e r = 1, 2, 3, ...
e
f (x) = P(X = x) =
(
x − 1
r − 1
)
(1− p)x−r pr
para x = r , r + 1, r + 2, . . . .
Observação: X pode assumir valores de r até ∞.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
A figura abaixo mostra ilustrações de distribuições
binomiais.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Vimos que a distribuição geométrica possui falta de
memória:
a cada tentativa é se o processo fosse recomeçado.
Seja X o número tentativas para se obter r sucessos.
Seja:
X1 o número de tentativas até o primeiro sucesso;
X2 o número de tentativas até o segundo sucesso;
e assim por diante
Xr o número de tentativas até o r-ésimo sucesso;
O número total de tentativas para se obter r sucessos é
X = X1 + X2 + · · ·+ Xr .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
1 Pela falta de memória da geométrica.
2 As variáveis X1, . . . , Xr tem a mesma distribuição
geométrica de parâmetro p.
3 Uma variável Binomial Negativa pode ser vista como a
soma de variáveis com distribuição Geométrica.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias
Discretas e Distribuição de Probabilidades
Média e Variância
Podemos calcular a média e a variância usando o fato que
a Binomial Negativa é a soma de geométricas.
Sabemos que se Xi tem distribuição geométrica
E(Xi) =
1
p e Var(Xi) =
(1− p)
p2 .
Então
E(X ) = E
(
r∑
i=1
Xi
)
=
r∑
i=1
E(Xi) =
r
p
Var(X ) = Var
(
r∑
i=1
Xi
)
=
r∑
i=1
Var (Xi) =
r(1 − p)
p2 .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Temos então o seguinte resultado geral.
Média e Variância
Se X for uma variável aleatória binomial negativa com
parâmetros p e r
E(X ) = rp e V (X ) =
r(1− p)
p2 .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Diferença entre a Binomial e a Binomial Negativa
Uma Binomial é a contagem do número de sucessos em n
tentativas.
O número de sucessos é aleatório.
O número de tentativas é fixo.
Uma Binomial Negativa é a contagem do número de
tentativas até r sucessos.
O número de sucessos é fixo.
O número de tentativas é aleatório.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo:
Um site contém três servidores idênticos.
Somente um servidor é usado para operar o site.
Os demais são sobressalentes e podem ser ativados caso
o sistema principal falhe.
A probabilidade de uma falha em qualquer servidor é
0,0005.
Suponha que cada solicitação é uma tentativa
independente.
Qual o tempo médio para falha de todos servidores?
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo: (solução)
Seja X o número de solicitações até que os 3 servidores
falhem.
Seja
X1 o número de solicitações antes da falha do primeiro
servidor;
X2 o número de solicitações antes da falha do segundo
X3 o número de solicitações antes da falha do terceiro.
Temos então que
X = X1 + X2 + X3
e X tem distribuição Binomial Negativa com p = 0, 0005 e
r = 3.
Logo
E(X ) = 30, 0005 = 60000 .
Espera-se 60000 solicitações antes que todos servidores
falhem.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo:
Considere ainda a situação anterior.
Qual a probabilidade de que os 3 servidores falhem em
até 5 solicitações?
P(X ≤ 5) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
= (0, 0005)3+
(
3
2
)
(0, 0005)3(0, 9995)+
(
4
2
)
(0, 0005)3(0, 9995)2
= 1, 249× 10−9 .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo: (desafio)
Considere tentativas independentes.
Elas resultam em sucesso com probabilidade p e fracasso
com probabilidade 1− p.
Qual a probabilidade de r sucessos ocorrerem antes de m
falhas?
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo: (solução)
Seja X o número de tentativas até r sucessos.
Para que r sucessos ocorram antes de m falhas podemos
ter:
r sucessos nas primeiras r rodadas;
r sucessos e 1 falha nas primeiras r + 1 rodadas;
r sucessos e 2 falhas nas primeiras r + 2 rodadas;
.
.
.
r sucessos e m − 1 falhas nas primeiras r + (m − 1)
rodadas.
Se eu tiver r sucessos e m falhas:
a última rodada é sucesso,
então r sucessos ocorreram depois de m falhas.
A probabilidade requerida é
P(r ≤ X ≤ r + (m − 1)) =
r+(m−1)∑
i=r
(
i − 1
r − 1
)
pr (1− p)i−r .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Hipergeométrica
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo:
Considere que 850 peças são fabricadas em um dia.
50 peças não satisfazem os requerimentos do
consumidores.
Duas peças são selecionadas ao acaso sem reposição.
Defina
A = { a primeira peça é não conforme }
B = { a segunda peça é não conforme } .
Já vimos que
P(B|A) = 49849 e P(A) =
50
850 .
Se a primeira peça é não conforme ⇒ é menos provável
que a segunda também não seja.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Esse experimento é diferente dos experimentos baseados
na Binomial.
As tentativas aqui não são independentes.
Cada vez que eu retiro uma peça, mudo o conjunto do
qual vou retirar a próxima.
Se a peça fosse reposta:
as tentativas seriam independentes;
e a probabilidade da peça ser não-conforme seria
constante.
Nesse caso o número de peças não conformes teria
distribuição Binomial.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Suponha que as peças não são repostas.
Seja X o número de peças não-conformes na amostra.
Temos então que
P(X = 0) = P(ambas são conformes) =
(
800
850
)(
799
849
)
= 0, 886
P(X = 1) = P(a primeira é conforme e a segunda não)
+P(a primeira é não-conforme e a segunda é) =(
800
850
)(
50
849
)
+
(
50
850
)(
800
849
)
= 0, 111
P(X = 2) = P(ambas são não-conformes) =
(
50
850
)(
49
849
)
= 0, 003
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Podemos calcular as probabilidades desse jeito ⇒ usando
probabilidades condicionais.
Mas podemos usar regras de contagem e obter essas
probabilidades de uma forma mais simples.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo:
Considere novamente o exemplo anterior.
Temos 850 peças e 50 são não-conformes.
Se quisermos calcular probabilidade de X = 1.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
De quantas maneiras podemos escolher uma amostra de
tamanho 2 que tem uma peça não conforme?
escolhemos uma dentre as 50 peças não conformes
(50
1
)
escolhemos uma dentre as 800 conformes
(800
1
)
.
Temos então (
800
1
)(
50
1
)
maneiras possíveis.
De quantas maneiras podemos selecionar uma amostra
de tamanho 2 sem reposição?(
850
2
)
Logo
P(X = 1) =
(800
1
)(50
1
)
(850
2
)
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Isso nos leva a seguinte distribuição de probabilidade.
Distribuições Hipergeométricas
Considere uma série de N objetos que contém
K objetos classificados como sucesso;
N − K objetos classificados como falha.
Uma amostra com n objetos é selecionada sem reposição.
Temos a restrição de que
K ≤ N e n ≤ N.
Seja X o número de sucessos na amostra.
X tem distribuição hipergeométrica e
f (x) =
(K
x
)(N−K
n−x
)
(N
n
) .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Observações:
X não pode assumir quaisquer valores.
Está sujeito a algumas restrições.
Isso ocorre pois (
a
b
)
> 0
somente se b ≤ a.
Temos que
x ≤ K , x ≤ n, N − K ≥ n − x .
Isso implica que
max{0, n + K − N} ≤ x ≤ min{n, K} .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo:
Temos 300 peças de tubos.
100 delas são fornecidas por um fornecedor local.
200 são fornecidas por um fornecedor vizinho.
Quatro peças são selecionadas ao acaso sem reposição.
Qual a probabilidade de que todas venham do fornecedor
local?
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo: (solução)
Seja X o número de peças na amostra do fornecedor local.
X tem distribuição hipergeométrica com
N = 300, K = 100 e n = 4 .
Temos então que
P(X = 4) =
(100
4
)(200
0
)
(300
4
) = 0, 0119 .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo:
Se quisermos calcular a probabilidade de 2 ou mais peças
virem do fornecedor local.
Temos que
P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
(fazer no quadro)
Se quisermos a probabilidade de pelo menos uma peça vir
do fornecedor local.
P(X ≥ 1) = 1− P(X = 0)
(fazer no quadro)
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo:
Um varejista compra produtos em lotes.
Cada objeto do lote pode ser aceitável ou defeituoso.
Suponha que um lote tem 25 objetos.
6 deles são defeituosos.
Selecionamos uma amostra sem reposição de 10 objetos.
Qual a probabilidade de não encontrarmos nenhum objeto
defeituoso?
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo: (solução)
Seja X o número de objetos defeituosos na amostra.
X tem distribuição hipergeométrica de parâmetros
N = 25, K = 6, e n = 10.
Logo
P(X = 0) =
(6
0
)(19
10
)
(25
10
) = 0, 28.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Média e Variância
Não serão demonstradas aqui.
Como as observações são dependentes não é muito
simples.
Média e Variância
Se X tem distribuição hipergeométrica com parâmetros N, K e
n, então
E(X ) = np e Var(X ) = np(1− p)
(
N − n
N − 1
)
onde p = K/N.
p pode ser interpretada como proporção de sucessos nos
N objetos.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo:
Considere o exemplo dos fornecedores apresentado
anteriormente.
X o número de peças na amostra do fornecedor local.
X tem distribuição hipergeométrica com
N = 300, K = 100 e n = 4 .
Logo
p = KN =
100
300 =
1
3 .
Então
E(X ) = 4
(
100
300
)
= 1, 33
e
Var(X ) = 4
(
1
3
)(
2
3
)[
(300− 4)
299
]
= 0, 88 .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Vimos que a E(X ) é similar a de uma variável binomial.
A Var(X ) também é semelhante, difere apenas pelo termo
N − n
N − 1 .
Esse termo é chamado fator de correção para
populações finitas.
Quando n é muito menor N esse termo fica próximo de
um.
Nesse caso a Hipergeométrica fica muito próxima da
Binomial.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Suponha que estamos amostrando sem reposição de uma
população muito grande.
A retirada de um elemento não afeta muito a população.
Portanto é como se estivéssemos amostrando com
reposição.
Se a amostragem é com reposição X tem distribuição
Binomial.
Se é feita sem reposição X tem distribuição
Hipergeométrica.
Logo o fator de correção
N − n
N − 1
aparece quando estamos amostrando de uma população
finita sem reposição.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo:
Uma listagem das contas de consumidores possui 1000
nomes.
700 deles compraram no mínimo um produto.
50 consumidores são amostrados sem reposição.
Qual a probabilidade de que mais de 45 consumidores
tenham comprado pelo menos um produto?
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo: (solução)
A amostra é sem reposição.
Porém o tamanho da amostra 50 é muito pequeno
comparado ao número de consumidores 1000.
A probabilidade de selecionarmos um consumidor que
tenha comprado pelo menos um produto permanece
aproximadamente constante.
Defina
A = {o primeiro consumidor não comprou nenhum produto}
B = {o segundo consumidor não comprou nenhum produto}
Então
P(A) = 7001000 = 0, 7 e P(B|A) =
699
999 = 0, 6997 .
Como P(A) ≈ P(B|A) as tentativas são aproximadamente
independentes.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo: (solução)
Seja X o número de consumidores que compraram pelo
menos um produto.
X tem distribuição hipergeométrica com parâmetros
N = 1000, n = 50, e K = 700.
Então p = K/N = 700/1000 = 0, 7.
Como o tamanho da amostra é pequeno comparado com
a população podemos aproximar essa distribuição por
uma Binomial.
Isso resulta em
P(X > 45) =
50∑
x=46
(
50
x
)
0, 7x(1− 0, 7)50−x = 0, 00017 .
Se calcularmos esse resultado usando a hipergeométrica
obtemos 0,00013.
Porém ela requer um programa computacional.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
		Distribuição Binomial Negativa
		Média e Variância
		Distribuição Hipergeométrica
		Média e Variância
Estatística e Probabilidades/2ª Prova/AULAS/Capitulo_3_4.pdf
Distribuição Poisson
Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição
de Probabilidades - parte IV
Marcos Oliveira Prates
2012/02
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Poisson
1 Distribuição Poisson
Média e Variância
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Poisson
Objetivos
Ao final deste capítulo você deve ser capaz de:
Ententer suposições para cada uma das distribuições
discretas apresentadas.
Selecionar a distribuição discreta em situações
específicas.
Calcular probabilidades, médias e variâncias para as
distribuições discretas apresentadas.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Poisson Média e Variância
Distribuição Poisson
Modela a probabilidade de eventos ocorrendo em um
período fixo de tempo.
Exemplo: quantas chamadas chegam a uma central
telefônica ao longo de um dia.
Considera-se que:
os eventos ocorrem com uma média conhecida;
a ocorrência de eventos em intervalos disjuntos são
independentes.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Poisson Média e Variância
Poisson como aproximação da Binomial
Seja X uma variável com distribuição Binomial(n,p).
Quando n é suficientemente grande e p é bem pequeno,
defina
λ = np .
A função de probabilidade de X pode ser aproximada por
f (x) = e
−λλx
x!
.
Essa é a função de probabilidade da Poisson.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Poisson Média e Variância
Exemplo:
Considere a transmissão de n bits através de um canal
digital.
Seja X o número de bits transmitidos com erro.
Considerando que a probabilidade de erro (p) é constante
e as transmissões são independentes:
X tem distribuição Binomial(n,p).
Logo
P(X = x) =
(
n
x
)
px (1− p)n−x
definindo λ = np temos que p = λ/n logo
P(X = x) =
(
n
x
)(
λ
n
)x (
1− λ
n
)n−x
.
Suponha agora que:
n aumenta;
p diminui;
np é constante.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Poisson Média e Variância
Exemplo: (continuação)
É possível mostrar que
(
n
x
)(
λ
n
)x
→
λx
x!
(
1− λ
n
)
−x
→ 1
(
1− λ
n
)n
→ e−λ
Dessa forma
lim
n→∞
P(X = x) = e
−λλx
x!
para x = 0,1,2, . . .
Como o número total de bits transmitido cresce
indefinidamente:
X pode assumir qualquer valor maior ou igual a zero.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Poisson Média e Variância
Exemplo:
Falhas ocorrem ao acaso ao longo do comprimento de um
fio de cobre.
Seja X o número de falhas em um comprimento de L
milímetros.
O número médio de falhas em L milímetros é λ.
Vamos encontrar a distribuição de X .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Poisson Média e Variância
Exemplo: (continuação)
Parta o fio em n subintervalos.
Se o intervalo é bem pequeno:
a probabilidade de duas falhas no mesmo intervalo é bem
próxima de zero.
Como as falhas não tem probabilidade maior de ocorrer
em uma parte do fio:
a probabilidade de cada subintervalo conter uma falha é
constante p.
Supomos que a probabilidade de um intervalo conter uma
falha é independente dos demais.
X tem distribuição Binomial(n,p).
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Poisson Média e Variância
Temos que
E(X ) = λ = np
de onde obtemos que
p = λ/n .
A probabilidade de que um intervalo contenha uma falha é
p = λ/n.
Se os intervalos
são muito pequenos:
n é grande e p é pequeno.
E portanto X tem distribuição Poisson com média λ.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Poisson Média e Variância
No exemplo anterior dividimos o comprimento de um fio.
Podemos dividir intervalo de tempo, área, volume.
A distribuição Poisson é usada para modelar eventos em:
determinado intervalo de tempo ⇒ chamadas telefônicas
que chegam em uma centram em um dia;
em um determinada área ⇒ falhas em rolos de tecido;
em um determinado volume ⇒ número de bactérias em um
litro de água.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Poisson Média e Variância
Processo de Poisson
Considere um intervalo de números reais.
Eventos ocorrem ao acaso ao longo de todo intervalo.
Dividimos o intervalo em subintervalos bem pequenos.
Esses intervalos são tais que
a) a probabilidade de mais de um evento em
cada subintervalo é zero;
b) a probabilidade de um evento em um
intervalo é a mesma para todos eles;
c) essa probabilidade é proporcional ao
tamanho do intervalo;
d) a ocorrência do evento em cada intervalo é
independente dos demais.
Esse experimento é chamado Processo de Poisson.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Poisson Média e Variância
A variável X que conta o número de eventos no intervalo:
é uma variável aleatória de Poisson de parâmetro λ > 0.
A função de probabilidade de X é dada por
f (x) = e
−λλx
x!
para x = 0,1,2, . . .
A soma das probabilidade é um pois
∞∑
k=0
e−λλk
k! = e
−λ
∞∑
k=0
λk
k! = e
−λeλ = 1 .
(expansão de ex em Série de Taylor.)
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Poisson Média e Variância
Exemplos de distribuições de Poisson
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Poisson Média e Variância
Observação:
É importante usar medidas consistentes.
O seguinte exemplo ilustra conversão das unidades.
Por exemplo, as seguintes medidas são equivalentes:
número médio de falhas por milímetro é 3,4;
o número médio de falhas em 10 milímetros é 34;
o número médio de falhas em 100 milímetros é 340.
Se X representa o número de contagens em um intervalo.
A média deve ser igual ao número esperado de eventos no
mesmo comprimento de intervalo.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Poisson Média e Variância
Exemplo:
Considere o exemplo do fio de cobre.
Suponha que o número de falhas segue uma distribuição
Poisson.
Suponha que espera-se 2,3 falhas a cada milímetro do fio.
Seja X o número de falhas em um mílimetro do fio.
Então E(X ) = 2,3.
Qual a probabilidade de observarmos 2 falhas em um
mílimetro do fio?
P(X = 2) = e
−2,3(2,3)2
2! = 0,265 .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Poisson Média e Variância
Exemplo: (continuação)
Qual a probabilidade de 10 falhas em 5 milímetros de fio?
Seja X o número de falhas em 5 milímetros de fio.
X tem distribuição Poisson com
E(X ) = (5)(2,3) = 11,5 falhas em 5 milímetros .
Logo
P(X = 10) = e−11,5 11,5
10
10! = 0,113 .
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Distribuição Poisson Média e Variância
Exemplo: (continuação)
Qual a probabilidade de termos no mínimo uma falha em 2
milímetros de fio?
Seja X o número de falhas em 2 milímetros de fio.
X tem distribuição Poisson com
E(X ) = (2)(2,3) = 4,6 falhas em 2 milímetros .
Logo
P(X ≥ 1) = 1− P(X = 0) = 1− e−4,6 = 0,9899 .
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Distribuição Poisson Média e Variância
Exemplo:
Considere um processo de fabricação de discos ópticos.
O número de partículas de contaminação que ocorrem em
um disco óptico tem distribuição Poisson.
O número médio de partículas de contaminação com cm2
é 0,1.
A área do disco é 100 cm2.
Qual a probabilidade de 12 partículas ocorrerem na área
de um disco?
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Distribuição Poisson Média e Variância
Exemplo: (solução)
Seja X o número de partículas na área de um disco.
Como o número médio de partículas por cm2 é 0,1 temos
E(X ) = (100)(0,1) = 10 partículas.
Logo
P(X = 12) = e
−101012
12! = 0,095 .
A probabilidade de nenhuma partícula ocorrer na área do
disco é
P(X = 0) = e−10 = 4,54−5 .
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Distribuição Poisson Média e Variância
Exemplo: (continuação)
Determine a probabilidade de 12 ou menos partículas
ocorrerem na área do disco?
P(X ≤ 12) = P(X = 0) + P(X = 1) + · · ·+ P(X = 12)
=
12∑
x=0
e−1010x
x!
= 0,792.
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Distribuição Poisson Média e Variância
Média e Variância
1 Se X é uma variável aleatória Poisson com parâmetro λ
então
E(X ) = λ Var(X ) = λ
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Distribuição Poisson Média e Variância
Observações:
A média e variância de uma variável Poisson são iguais.
Exemplo: se a contagem de partículas por cm2 segue uma
Poisson de parâmetro 25:
o número médio de partículas por cm2 é 25;
a variância é também 25;
o desvio padrão é 5.
Se a variância nos dados é muito maior que sua média:
a distribuição de Poisson não é um bom modelo.
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		Distribuição Poisson
		Média e Variância
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Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição
de Probabilidades - parte I
Marcos Oliveira Prates
2012/02
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
1 Variáveis Aleatórias Contínuas
2 Distribuições de Probabilidade e Funções Densidades de Probabilidade
3 Funções de Distribuição Cumulativa
4 Média e Variância de uma variável contínua
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Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Objetivos
Ao final deste capítulo você deve ser capaz de:
Determinar probabilidades a partir de funções densidades
de probabilidade.
Determinar probabilidades a partir de funções cumulativas.
Determinar funções de distribuição cumulativa a partir de
funções densidade de probabilidade e o contrário.
Calcular médias e variâncias de variáveis aleatórias
contínuas.
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Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Exemplo:
Medimos a corrente de um fio.
Os resultados podem diferir se medirmos em dias
diferentes.
Causas de flutuações:
mudanças na temperatura;
impureza na composição do fio;
oscilação na fonte de corrente;
entre outras.
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Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
A corrente no fio pode ser representada por uma variável
aleatória
X .
É razoável modelar sua faixa de valores possíveis por um
intervalo.
Esse intervalo pode ser finito ou infinito.
Os possíveis valores tomados por X não é mais contável.
X assume valores em um intervalo contínuo.
Dizemos assim que X é uma variável contínua.
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Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Vamos ver vários exemplos de distribuições contínuas.
São usadas em diferentes aplicações.
Vamos fazer cálculos de probabilidades, média e variância
para cada uma delas.
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Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Distribuições de Probabilidade e Funções Densidades de
Probabilidade
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Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
A função densidade de probabilidade f (x):
descreve a distribuição de uma variável aleatória
contínua X .
Se um intervalo tem grande probabilidade de conter X :
f (x) apresenta valores altos.
A probabilidade de X estar entre a e b é determinada pela
integral de f (x) de a até b.
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Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Analogia:
Podemos pensar na função densidade como a densidade de
uma carga.
Para qualquer ponto x ao longo da viga:
a densidade pode ser descrita por uma função em g/cm3.
Intervalos com grande carga correspondem a valores grandes
para a função.
A carga entre os pontos a e b e determinada pela integral nesse
intervalo.
Essa carga é a área abaixo da função:
pode ser interpretada como a soma de todas cargas nesse
intervalo.
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Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Função Densidade de Probabilidade
Seja X uma variável contínua.
Uma função de densidade de probabilidade é uma função
tal que
1 f (x) ≥ 0
2
∫
∞
−∞
f (x)dx = 1
3 P(a ≤ X ≤ b) =
∫ b
a f (x)dx=área abaixo de f (x) entre a e
b.
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Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Essa função descreve as probabilidades associadas a
uma variável aleatória.
Como é não negativa e
∫
∞
−∞
f (x)dx = 1
então
0 ≤ P(a ≤ X ≤ b) ≤ 1 .
Ela é zero para valores de x que não podem ocorrer.
Considera igual a zero para valores não especificados.
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Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
A f (x) é usada para calcular uma área.
Essa área representa a probabilidade de X estar no
intervalo [a, b].
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Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Exemplo:
Considere o exemplo da corrente no fio.
Queremos saber a probabilidade de X estar entre
[14mA, 15mA] .
Essa probabilidade é a integral de f (x) entre 14 e 15.
Devemos escolher f (x) de maneira apropriada.
Assim podemos calcular as probabilidades associadas a
qualquer intervalo.
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Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Para a função densidade de uma carga:
a carga em qualquer ponto é zero.
O ponto tem largura zero.
De forma similar, para uma variável contínua X , para
qualquer x
P(X = x) = 0 .
Isso pode fazer parecer que o modelo é inútil.
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Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Porém se dizemos que a corrente é 14,47 miliampéres
esse valor é arredondado.
A corrente está na verdade na faixa
[14, 465 ≤ x ≤ 14, 475].
Todos os valores nesse intervalo levam à medida 14,47.
A probabilidade de X = 14, 47 não é zero.
É a probabilidade de X estar no intervalo
P(X ∈ [14, 465; 14, 475]).
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Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Como a probabilidade de um ponto é zero.
Não precisamos distinguir desigualdades como
< ou ≤ .
Se X é uma variável contínua.
Para qualquer x1 e x2
P(x1 ≤ X ≤ x2)
= P(x1 < X ≤ x2)
= P(x1 ≤ X < x2)
= P(x1 < X < x2) .
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Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Exemplo:
Seja X a corrente de um fio de cobre.
A faixa de valores de X é [0, 20mA].
A função densidade de probabilidade de X é
f (x) = 0, 05 para 0 ≤ x ≤ 20.
Qual a probabilidade da corrente ser menor que 10
miliampéres?
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Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Exemplo: (solução)
f (x) é zero para os valores que ela não foi definida.
A probabilidade requerida é
P(X < 10) =
∫ 10
0
f (x)dx =
∫ 10
0
0, 05dx = (10)(0, 05) = 0, 5.
Outro exemplo
P(5 < X < 20) =
∫ 20
5
0, 05dx = 15(0, 05) = 0, 75 .
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Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Exemplo:
Seja X o diâmetro de um orifício.
O diâmetro alvo é 12,5.
Distúrbios aleatórios resultam em diâmetros maiores.
X pode ser modelada pela função densidade
f (x) = 20e−20(x−12,5) para x ≥ 12, 5.
Descartamos todas peças com diâmetro maior que 12,6
mm.
Qual a proporção de peças descartadas?
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Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Exemplo: (solução)
A função densidade de probabilidade de X é mostrada
abaixo
A probabilidade requerida é
P(X > 12, 60) = 0, 135 .
(fazer no quadro)
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Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
P(X > 12, 60) =
∫
∞
12,60
20e−20(x−12,5) = −e−20(x−12,5)
∣∣∣∞
12,60
e−20(12,60−12,5) = e−2 = 0, 135 .
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Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Exemplo: (continuação)
Qual a proporção de peças entre 12,5 e 12,6 mm?
P(12, 5 < X < 12, 6) = 0, 865 .
(fazer no quadro)
Como a área total é um
P(12, 5 < X < 12, 6) = 1−P(X > 12, 60) = 1−0, 135 = 0, 865.
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Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Funções de Distribuição Cumulativa
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Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Um modo alternativo de descrever as variáveis.
Assim como no caso discreto.
Função de Distribuição Acumulada
A função de distribuição cumulativa de uma variável
contínua X é
F (x) = P(X ≤ x) =
∫ x
−∞
f (u)du
para −∞ < x <∞.
Ela está definida para todos números reais.
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Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Exemplo:
Considere o exemplo da corrente do fio.
Vimos que a função densidade de X é
f (x) = 0, 05 para 0 ≤ x ≤ 20.
Então
F (x) = P(X ≤ x) = 0 para x < 0
e
F (x) = P(X ≤ x) =
∫ x
0
f (u)du = (0, 05)x para 0 ≤ x < 20
F (x) = P(X ≤ x) =
∫ x
0
f (u)du = 1 para x ≥ 20 .
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Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Exemplo: (continuação)
Temos então que
F (x) =


0 se x < 0
0, 05x se 0 ≤ x < 20
1 se x ≥ 20.
Observação
Qualquer < pode ser trocado por ≤.
F (x) pode ser definida como 0 ou 0, 05x em x = 0.
Pode ser definida como 0, 05x ou 1 em x = 20.
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Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Exemplo:
Considere novamente o exemplo do diâmetro do orifício.
A F (x) consiste em duas expressões
F (x) = 0 para x < 12, 5
e para x ≥ 12, 5
F (x) =
∫ x
12,5
20e−20(u−12,5)du = 1− e−20(x−12,5) .
F (x) =
{
0 se x < 12, 5
1− e−20(x−12,5) se x ≥ 12, 5.
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Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Podemos obter a função de densidade de probabilidade a
partir da função de distribuição cumulativa.
Do Teorema Fundamental do Cálculo
d
dx
∫ x
−∞
f (u)du = f (x) .
Então
f (x) = dF (x)dx
desde que a derivada exista.
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Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Exemplo:
O tempo (milissegundos) até que uma reação química
seja completa é aproximado pela função de distribuição
cumulativa
F (x) =
{
0 se x < 0
1− e−0,01x se x ≥ 0 .
Determina a função densidade de probabilidade de X .
Qual a proporção de reações completas dentro de 200
milissegundos?
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Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Exemplo: (solução)
Derivando a função de distribuição cumulativa temos que
f (x) =
{
0 se x < 0
0, 01e−0,01x se x ≥ 0 .
A probabilidade da reação se completar em 200
milissegundos é
P(X < 200) = P(X ≤ 200) = F (200) = 1− e−2 = 0, 8647.
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Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Média e Variância de uma variável contínua
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Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
A média e variância são definidas de forma semelhante ao
caso discreto.
Substituímos a soma por uma integral.
A média pode ser vista como o centro de massa da viga.
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Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Média de variância
Seja X uma variável contínua.
Sua função densidade é f (x).
A média ou valor esperado de X é
E(X ) =
∫
∞
−∞
xf (x)dx .
A variância de X é
V (X ) =
∫
∞
−∞
(x−E(X ))2f (x)dx =
∫
∞
−∞
x2f (x)dx−(E(X ))2 .
O desvio padrão de X é
√
V (X ) .
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Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Exemplo:
Considere o exemplo da corrente no fio de cobre.
A média de X é
E(X ) =
∫ 20
0
xf (x)dx = 0, 05x
2
2
∣∣∣200 = 10
A variância de X é
V (X ) =
∫ 20
0
(x − 10)2f (x)dx = 33, 33 .
(fazer no quadro)
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Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Podemos calcular o valor esperado de uma função h(X ).
Valor Esperado de uma função de Variável Aleatória
Se X é uma variável contínua com função densidade de
probabilidade f (x)
E [h(X )] =
∫
∞
−∞
h(x)f (x)dx .
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Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Exemplo:
Considere o exemplo da corrente no fio.
Calcule o valor esperado de X 2.
E(X 2) =
∫
∞
−∞
x2f (x)dx = 133, 33.
(fazer no quadro)
Observação:
note que E(X 2) 6= (E(X ))2 .
se h(x) = ax + b então E(h(X )) = aE(X ) + b
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Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
E(X 2) =
∫ 20
0
x2f (x)dx = 0, 05x
3
3
∣∣∣∣
20
0
= 0, 0520
3
3 = 133, 33 .
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Distribuições e Função Densidade
Funções de Distribuição Cumulativa
Média e Variância de uma variável contínua
Exemplo:
Considere o exemplo do diâmetro do orifício.
Temos que
E(X ) =
∫
∞
12,5
xf (x)dx =
∫
∞
12,5
x20e−20(x−12,5)dx = 12, 55
(fazer no quadro)
Para variância temos que
V (X ) =
∫
∞
−∞
x2f (x)dx − (E(X ))2 = 0, 0025 .
(fazer no quadro)
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		Distribuições de Probabilidade e Funções Densidades de Probabilidade
		Funções de Distribuição Cumulativa
		Média e Variância de uma variável contínua
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal
Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição
de Probabilidades - parte II
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2012/02
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Distribuição
Contínua Uniforme
Distribuição Normal
1 Distribuição Contínua Uniforme
Média e Variância
2 Distribuição Normal
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal
Objetivos
Ao final deste capítulo você deve ser capaz de:
Determinar probabilidades a partir de funções densidades
de probabilidade.
Determinar probabilidades a partir de funções cumulativas.
Determinar funções de distribuição cumulativa a partir de
funções densidade de probabilidade e o contrário.
Calcular médias e variâncias de variáveis aleatórias
contínuas.
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal Média e Variância
É análoga à distribuição uniforme discreta.
Distribuição Contínua Uniforme
X é uma variável aleatória contínua com distribuição uniforme.
A função densidade de probabilidade de X é
f (x) = 1
(b − a) , a ≤ x ≤ b .
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal Média e Variância
A média de uma variável aleatória contínua é dada por
E(X ) =
∫ b
a
x
b − adx =
0,5x2
b − a
∣∣∣∣
b
a
=
(b + a)
2 .
A variância de X é
Var(X ) =
∫ b
a
(
x − (a+b)2
)2
b − a dx =
(
x − a+b2
)3
3(b − a)
∣∣∣∣∣
b
a
=
(b − a)2
12 .
(fazer no quadro)
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal Média e Variância
Média e Variância
Se X é uma variável contínua uniforme no inter valo [a,b]
E(X ) = (a + b)2 e Var(X ) =
(b − a)2
12
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal Média e Variância
Exemplo:
Seja X a corrente medida em um fio de cobre.
X é medida em miliampéres.
A variável assume valores no intervalo [0,20mA].
X tem distribuição contínua uniforme
f (x) = 0,05 para 0 ≤ x ≤ 20 .
Qual a probabilidade da corrente estar entre 5 e 10
miliampéres?
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal Média e Variância
Exemplo: (solução)
A probabilidade requerida é
P(5 < X < 10) =
∫ 10
5
f (x)dx = 5(0,05) = 0,25 .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal Média e Variância
Exemplo: (continuação)
Podemos calcular o valor esperado e a variância da
corrente.
E(X ) = (a + b)2 =
(20 + 0)
2 = 10 mA
Var(X ) = (b − a)
2
12 =
(20− 0)2
12 = 33,33 mA
2
.
Logo o desvio padrão é
σ =
√
Var(X ) =
√
33,33 = 5,77 mA .
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal Média e Variância
Podemos obter a função de distribuição cumulativa.
Basta fazer a integração.
Se a < x < b
F (x) =
∫ x
a
1
b − adu =
x
b − a −
a
b − a .
A função de distribuição cumulativa de uma variável
uniforme é
F (x) =


0 se x < a
(x−a)
(b−a) se a ≤ x < b
1 se x ≥ b.
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal
Distribuição Normal
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal
Exemplo:
Um engenheiro está medindo a força remoção de
conectores.
Ele seleciona vários conectores e calcula a média deles.
Considere que cada medida é uma réplica de um
experimento aleatório independente.
A distribuição normal pode ser usada para tirarmos
conclusões sobre a distribuição dessa média.
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal
A distribuição normal é muito importante.
Ela aproxima a distribuição de várias outras variáveis
aleatórias.
Suponha que o erro no comprimento de uma peça seja a
soma de vários erros infinitesimais:
pulso na temperatura, vibração, desgaste.
Considere que os erros são independentes e têm a
mesma probabilidade de serem positivos ou negativos.
Pode-se mostrar que o erro terá uma distribuição normal
aproximada.
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal
Considere o lançamento de um dado.
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal
Lançamos os dados várias vezes e calculamos a média.
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Distribuição Normal
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Distribuição Normal
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Distribuição Normal
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Distribuição Normal
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Distribuição Normal
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal
Distribuição Normal
Seja X uma variável aleatória com distribuição normal.
Os parâmetros dessa distribuição são µ e σ2.
A função de densidade de probabilidade de X é
f (x) = 1√
2piσ
e
−(x−µ)2
2σ2 −∞ < x <∞
em que −∞ < µ <∞ e σ > 0.
Temos também que
E(X ) = µ e Var(X ) = σ2 .
A notação é
X ∼ N(µ, σ2) .
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Distribuição Normal
Algumas propriedades da função de densidade da normal
f (x) é simétrica em relação a µ.
f (x)→ 0 quanto x → +∞ ou x → −∞.
f (x) atinge seu máximo quando x = µ.
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Distribuição Normal
Exemplo:
Seja X a corrente em um fio de cobre.
Suponha que X siga uma distribuição Normal com média
10 mA e variância 4.
Qual a probabilidade de X exceder 13 mA?
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal
Exemplo: (solução)
A probabilidade requerida é
P(X > 13) .
Essa probabilidade é mostrada na área da figura abaixo.
Não há uma expressão exata para a integral de uma
densidade normal.
Essa probabilidade pode ser encontrada numericamente
ou usando uma tabela (veremos adiante).
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal
Alguns resultados sobre a distribuição normal:
P(µ− σ < X < µ+ σ) = 0,6827
P(µ− 2σ < X < µ+ 2σ) = 0,9545
P(µ− 3σ < X < µ+ 3σ) = 0,9973
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal
Pela simetria da distribuição
P(X > µ) = P(X < µ) = 0,5 .
Atribui uma probabilidade positiva para cada intervalo da
reta.
A função densidade diminui quando x se move para longe
da média.
A probabilidade de uma medida cair longe da média é
pequena.
Depois de 3 desvios padrões a probabilidade fica bem
pequena.
Pode ser mostrado que
∫
∞
−∞
1√
2piσ
e
−(x−µ)2
2σ2 = 1 .
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal
Variável Aleatória Normal Padrão
Uma variável aleatória normal com
µ = 0 σ2 = 1 .
é chamada variável aleatória normal padrão.
Essa variável é denotada por Z .
A função de distribuição cumulativa de uma normal padrão
é denotada por
Φ(z) = P(Z ≤ z) .
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal
A tabela a seguir mostra probabilidades cumulativas de
uma variável aleatória normal padrão (apêndice do livro).
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal
Exemplo:
Considere Z uma variável aleatória normal padrão.
A tabela anterior mostra as probabilidades
Φ(z) = P(Z ≤ z).
Se quiser encontrar
P(Z ≤ 1, 5) .
P(Z ≤ 1, 5) = 0, 93319 .
Se quiser encontrar
P(Z ≥ 1, 53) .
P(Z ≤ 1, 53) = 0, 93699 .
P(Z > 1, 53) = 1− P(Z ≤ 1, 53) = 1− 0, 93699 = 0, 06301 .
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal
Exemplo:
Veja alguns exemplos de cálculos de probabilidades para
normal padrão.
P(Z > 1,26) = 1− P(Z ≤ 1,26) = 1− 0,89616
P(Z < −0,86) = P(Z > 0,86) = 1− P(Z ≤ 0,86)
= 1− 0,805106 = 0,19490
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal
P(Z > −1,37) = P(Z < 1,37) = 0,91465
P(−1,25 < Z < 0,37) = P(Z < 0,37)− P(Z < −1,25)
= 0,64431− 0,10565 = 0,53866
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Distribuição Normal
P(Z ≤ −4,6)
não pode ser encontrada na tabela
P(Z ≤ −4,6) < P(Z ≤ −3,99) = 0,00003
então
P(Z ≤ −4,6) ≈ 0 .
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Distribuição Normal
Podemos encontrar o valor z tal que
P(Z > z) = 0,05 ou P(Z ≤ z) = 0,95 .
Da tabela temos que
P(Z ≤ 1,65) = 0,95053 logo z = 1,65 .
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal
Podemos encontrar o valor de z tal que
P(−z < Z < z) = 0,99
logo
P(Z > z) + P(Z < −z) = 0,01⇒ P(Z > z) = 0,005⇒
P(Z < z) = 0,995 .
Pela tabela temos que
P(Z < 2,58) = 0,995 .
Portanto
z = 2,58 .
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal
Os exemplos anteriores mostram como calcular
probabilidades para uma normal padrão (média 0 e
variância 1).
Se usássemos a mesma abordagem para uma normal
arbitrária precisaríamos de várias tabelas.
Porém todas as distribuições normais estão relacionadas.
Precisamos usar primeiro uma transformação e depois
usar a tabela.
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Distribuição Normal
Padronizando uma variável normal
Seja X uma variável aleatória normal com
E(X ) = µ Var(X ) = σ2 .
Considere a variável aleatória Z
Z = X − µ
σ
.
Z tem distribuição normal com
E(Z ) = 0 Var(Z ) = 1 .
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Distribuição Normal
A criação de uma variável por essa transformação é
conhecida como padronização.
A variável Z representa a distância de X até sua média em
termos de desvio padrão.
Usamos essa ferramenta para calcular probabilidades em
distribuições normais arbitrárias.
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Distribuição Normal
Exemplo:
As medidas da corrente em um pedaço de fio seguem
uma distribuição normal.
A média da corrente é 10 mA e a variância 4 mA2 .
Qual a probabilidade da corrente exceder 13 mA?
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Distribuição Normal
Exemplo: (solução)
Seja X a corrente em mA.
A probabilidade requerida é
P(X > 13) .
Padronizando X temos que
Z = (X − 10)2
Logo
P(X > 13) = P
(
X − 10
2 >
13− 10
2
)
= P(Z > 1,5) = 0,06681.
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Distribuição Normal
Padronizando para calcular uma probabilidade
Seja X uma variável aleatória com média µ e variância σ2.
Então
P(X ≤ x) = P
(
X − µ
σ
≤ x − µ
σ
)
= P(Z ≤ z)
onde Z é uma variável normal padrão e
z =
x − µ
σ
é o valor de z obtido pela padronização de x .
A probabilidade é obtida usando a tabela.
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Distribuição Normal
Exemplo:
Considere o exemplo da corrente.
Qual a probabilidade de a corrente estar entre 9 e 11 mA?
(fazer no quadro)
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Distribuição Normal
Exemplo: (solução)
Seja X a corrente que passa pelo fio.
P(9 < X < 11) = P
(
9− 10
2 <
X − 10
2 <
11− 10
2
)
= P(−0,5 < Z < 0,5) = P(Z < 0,5)− P(Z < −0,5)
= 0,69146− 0,30854 = 0,38292 .
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Distribuição Normal
Exemplo:
A detecção de um sinal digital possui um ruído.
A tensão desse ruído segue distribuição normal com
média 0V e desvio padrão 0,45V.
O sistema considera que o sinal será transmitido quando a
tensão não exceder 0,9.
Qual a probabilidade de o sistema considerar que o sinal
foi transmitido?
Determine os limites simétricos em torno do zero que
incluem 99% das leituras de tensão.
Suponha que a média mude para 1,8 V. Qual a
probabilidade de o sistema não detectar o sinal?
(Fazer no quadro)
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Distribuição Normal
Exemplo: (solução)
Seja N a tensão do sinal transmitido.
A probabilidade requerida é
P(N > 0,9) = P
(
N
0,45 >
0,9
0,45
)
= P(Z > 2) = 1−0,97725
Vamos agora determinar o intervalo
P(−x < N < x) = P
(
− x0,45 <
N
0,45 <
x
0,45
)
= P
(
− x0,45 < Z <
x
0,45
)
= 0,99 .
Da tabela temos que
P(−2,58 < Z < 2,58) = 0,99 .
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal
Exemplo: (solução)
Logo
x
0,45 = 2,58 ⇒ x = (0,45)(2,58) = 1,16 .
O intervalo é [−1,16; 1,16].
Se a média muda para 1,8, a probabilidade do sinal não
ser detectado é
P(N > 0,9) = P
(
N − 1,8
0,45 >
0,9− 1,8
0,45
)
= P(Z > −2) = 1− 0,02275 .
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Distribuição Normal
Exemplo:
O diâmetro de um eixo de um dispositivo segue uma
distribuição normal.
A média do diâmetro é 0,2508 polegadas e seu desvio
padrão é 0,0005 polegadas.
Os eixos devem estar entre 0,2500-0,0015 e
0,2500+0,0015.
Qual a proporção dos eixos segue as especificações?
(Fazer no quadro)
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Distribuição Contínua Uniforme
Distribuição Normal
Exemplo: (solução)
Seja X o diâmetro do eixo dispositivo.
A probabilidade requerida é
P(0,2500− 0,0015 < X < 0,2500 + 0,0015)
= P(0,2485 < X < 0,2515)
= P
(
0,2485− 0,2508
0,0005 < Z <
0,2515− 0,2508
0,0005
)
= P(−4,6 < Z < 1,4) = P(Z < 1,4)− P(Z < −4,6)
= 0,91924− 0,0000 = 0,91924
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		Distribuição Contínua Uniforme
		Média e Variância
		Distribuição Normal
Estatística e Probabilidades/2ª Prova/AULAS/Capitulo_4_3.pdf
Introdução
Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição
de Probabilidades - parte III
Marcos Oliveira Prates
2012/02
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
Introdução
Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
1 Introdução
2 Aproximação da Normal para Binomial
3 Aproximação da Normal para Poisson
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Introdução
Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
Objetivos
Ao final deste capítulo você deve ser capaz de:
Calcular probabilidades aproximadas usando a
distribuição normal.
Aplicar essa aproximação par o caso de variáveis com as
seguintes distribuições:
binomial;
hipergeométrica;
Poisson.
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Introdução
Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
Vimos na aula anterior que a normal pode aproximar a
distribuição de diversas variáveis aleatórias.
Esse resultado é conhecido como Teorema Central do
Limite.
Teorema Central do Limite
Seja X uma variável aleatória com média µ e desvio
padrão σ.
Retiramos uma amostra de tamanho n de X .
Seja X¯ a média dessa amostra.
Temos que
X¯ − µ
σ/
√
n
=
∑n
i=1 Xi − nµ√
nσ
≈ N(0,1)
quando o n aumenta.
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Introdução
Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
Exemplo:
Seja X a duração das conversar telefônicas em uma
cidade.
Não sabemos a distribuição de X , mas sabemos que
E(X ) = 3 Var(X ) = 9 .
Coletamos uma amostra de 50 chamadas.
Qual a probabilidade de que a média dessa amostra não
ultrapasse 4 minutos?
P
(
X¯ < 4
)
= P
(
X¯ − 4√
9/50
<
4− 3√
9/50
)
≈ P(Z < 2,36) = 0,9909.
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Introdução
Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
Aproximação da Normal para Binomial
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Introdução
Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
Em muitos sistemas físicos o modelo binomial é o mais
apropriado.
Em alguns casos o tamanho da amostra n fica muito
grande.
Então fica difícil calcular probabilidades envolvendo a
binomial.
Vimos que uma binomial é uma soma de Bernoullis.
Portanto uma Binomial pode ser aproximada por uma
Normal.
Desde que o n seja suficientemente grande.
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Introdução
Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
A área de cada barra é a probabilidade binomial de x .
As áreas das barras podem ser aproximadas pelas áreas
abaixo da função densidade da normal.
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Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
Se X tem distribuição Binomial(10; 0,5).
Se queremos calcular P(3 ≤ X ≤ 7).
Isso é chamado correção de continuidade.
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Introdução
Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
A correção de continuidade é necessária pois estamos
aproximando uma variável discreta por uma contínua.
Por exemplo:
P(X ≤ 4) = P(X < 4,5)
P(X < 4) = P(X < 3,5)
P(X > 4) = P(X > 4,5)
P(X ≥ 4) = P(X > 3,5)
(desenhar no quadro)
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Introdução
Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
Exemplo:
Considere um canal digital de comunicação.
O número de bits transmitidos com erro podem ser
modelados por uma Binomial.
A probabilidade de um bit ser transmitido com erro é
1× 10−5.
16 milhões de bits são transmitidos.
Qual a probabilidade de ter 150 ou menos erros?
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Introdução
Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
Exemplo: (solução)
Seja X o número de bits transmitidos com erro.
X tem distribuição Binomial com n = 16 milhões e
p = 1× 10−5.
A probabilidade requerida é
P(X ≤ 150) =
150∑
x=0
(
16.000.000
x
)
(10−5)x (1−10−5)16.000.000−x
Essa probabilidade é muito difícil de se calcular.
Podemos usar a aproximação pela normal.
Vejamos como isso é feito.
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Introdução
Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
Aproximação da Binomial pela Normal
Seja X uma variável com distribuição Binomial(n,p).
A variável
Z = X − np√
np(1− p)
será aproximadamente uma variável normal padrão.
Precisamos aplicar a correção de continuidade.
Temos que
P(X ≤ x) = P(X ≤ x + 0, 5) ≈ P
(
Z ≤ x + 0, 5− np√
np(1− p)
)
P(X ≥ x) = P(X ≥ x − 0, 5) ≈ P
(
Z ≥ x − 0, 5− np√
np(1− p)
)
A aproximação é boa para np > 5 e n(1− p) > 5.
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Introdução
Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
Lembre que para uma variável Binomial X
E(X ) = np Var(X ) = np(1− p) .
A expressão
Z = X − np√
np(1− p)
é uma fórmula para padronizar X .
As probabilidades envolvendo X podem ser aproximadas
usando a normal padrão.
A aproximação é boa quando n é grande relativo a p.
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Introdução
Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
Exemplo:
Considere o exemplo da comunicação digital.
X o número de bits transmitidos com erro.
X tem distribuição Binomial com n = 16 milhões e
p = 1× 10−5.
Podemos calcular probabilidade de X ≤ 150 da seguinte
forma
P(X ≤ 150) = P(X ≤ 150,5)
= P
(
X − 160√
160(1− 10−5)
≤ 150,5− 160√
160(1− 10−5)
)
P(Z ≤ −0,75) = 0,227 .
Observe que
np = (16× 106)(1−5) = 160 e n(1− p) > 160 .
A aproximação deve ser boa nesse caso.
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Introdução
Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
Exemplo:
Considere o exemplo da transmissão de bits.
50 bits são transmitidos.
A probabilidade de que ocorra um erro é p = 0,1.
Qual a probabilidade de que 2 ou menos erros ocorram?
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Aproximação da Normal para Poisson
Exemplo: (solução)
Usando a distribuição binomial
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)(
50
0
)
(0,9)50+
(
50
1
)
(0,9)49(0,1)+
(
50
2
)
(0,9)48(0,1)2 = 0,112.
Usando a distribuição Normal
P(X ≤ 2) = P
(
X − 5√
50(0,1)(0,9)
≤ 2,5− 5√
50(0,1)(0,9)
)
= P(Z ≤ −1,18) = 0,119 .
Mesmo a amostra não sendo muito grande o resultado
aproximado é bom.
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Exemplo:
Queremos agora calcular a probabilidade de X ≥ 9
P(X ≥ 9) = P(X ≥ 8,5) ≈ P
(
Z ≥ 8,5− 52,12
)
= P(Z ≥ 1,65) = 0,05 .
Se quisermos calcular probabilidade de X = 5
P(X = 5)
= P(4,5 ≤ X ≤ 5,5) = P
(
4,5− 5
2,12 ≤ Z ≤
5,5− 5
2,12
)
= P(−0,24 ≤ Z ≤ 0,24) = 0,19 .
A probabilidade exata é
P(X = 5) = 0,1849 .
A aproximação é boa.
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Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
Se np ou n(1− p) forem pequenos:
a aproximação é distorcida.
Dois casos são ilustrados abaixo:
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Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
A distribuição Binomial é uma boa aproximação para
Hipergeométrica.
Desde que o tamanho da amostra n seja pequeno com
relação ao total N.
Uma regra prática é aproximar a Hipergeométrica pela
Binomial se
n
N < 0,1 .
Relembre que
p = KN
proporção de sucessos na população.
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Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
Então podemos aproximar a hipergeométrica pela Normal
desde que
n
N < 0,1 np > 5 n(1− p) > 5 .
Veja o esquema abaixo.
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Aproximação da Normal para Poisson
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Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
A distribuição de Poisson pode ser vista como limite de
uma Binomial.
Quando o número de tentativas aumenta e a probabilidade
diminui.
Então a normal também pode ser usada para aproximar a
distribuição de Poisson.
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Introdução
Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
Aproximação da Poisson pela Normal
Seja X uma variável com distribuição Poisson(λ).
Temos que
E(X ) = λ Var(X ) = λ .
Então
z =
X − λ√
λ
é aproximadamente uma variável Normal Padrão.
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Aproximação da Normal para Poisson
Exemplo:
Considere que o número de partículas em uma superfície
segue uma distribuição Poisson.
Suponha que esperamos observar 1000 partículas por m2.
Analisamos um metro quadrado da superfície.
Qual a probabilidade de observarmos 950 ou menos
partículas?
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Aproximação da Normal para Poisson
Exemplo: (solução)
Podemos calcular a probabilidade de maneira exata
P(X ≤ 950) =
950∑
x=0
e−10001000x
x!
.
Essa soma é computacionalmente difícil de ser calculada.
Podemos aproximar a probabilidade por
P(X ≤ 950) ≈ P
(
Z ≤ 950 + 0,5− 1000√
1000
)
≈ P(Z ≤ −1,58) = 0,057 . (1)
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Introdução
Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
Exemplo:
Estamos analisando as vendas em um supermercado.
Sabemos que a procura diária por arroz em kg é uma
variável aleatória.
Temos ainda que o valor esperado dessa variável é 40 kg
e sua variância 25 kg2 .
Foram encomendados 14500 kg para suprir o próximo
ano.
Qual a probabilidade do stock de arroz cobrir a demanda
nesse período?
Considere que o ano tem 364 dias.
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Introdução
Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
Exemplo: (solução)
Seja
Xi = procura de arroz no dia i
para i = 1,2, . . . ,364.
Temos que
E(Xi) = 40kg Var(Xi) = 25kg2
A probabilidade requerida é
P(
364∑
i=1
Xi ≤ 14500) .
Pelo TCL temos que
364∑
i=1
Xi ∼ N ((364)(40); (364)(25)) .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
Introdução
Aproximação da Normal para Binomial
Aproximação da Normal para Poisson
Temos que
P(
364∑
i=1
Xi ≤ 14500) ≈ P
(∑364
i=1 Xi − 14560√
364(25)
≤ 14500 + 0, 5− 14560√
364(25)
)
≈ P(Z < −0, 63) = 1− 0, 7357 = 0, 2643 .
Conclusão: é recomendável aumentar o estoque.
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		Introdução
		Aproximação da Normal para Binomial
		Aproximação da Normal para Poisson
Estatística e Probabilidades/2ª Prova/AULAS/Capitulo_4_4.pdf
Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição
de Probabilidades - parte IV
Marcos Oliveira Prates
2012/02
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Exponencial
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
Vamos relembrar a definição de uma variável com
Distribuição Poisson.
Número de falhas ao longo do comprimento de um fio de
cobre.
A distância entre as falhas é uma variável de interesse.
Seja X o comprimento de um ponto inicial até a primeira
falha do fio.
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A distribuição de X pode ser obtida a partir da distribuição
das falhas.
Vejamos como estabelecer essa relação.
A distância até a primeira falha excederá 3 milímetros
somente se:
não houver nenhuma falha até um comprimento de 3
milímetros.
Significa que até o comprimento de 3 milímetros nenhuma
falha ainda foi observada.
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Se o número de falhas em um metro tem distribuição
Poisson(λ).
Em 3 mm esperamos observar λ(0,03).
A probabilidade requerida será
P(X > 3) = P(zero falhas no intervalo de 0 a 3 mm)
=
e−λ(0,03)(λ(0,03))0
0!
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Vamos ver agora o caso geral.
Seja N o número de falhas em x milímetros.
O número médio de falhas por metro é λ.
N tem distribuição Poisson com média xλ.
Consideramos que o fio tem comprimento maior que x .
Temos que
P(X ≥ x) = P(N = 0) = e
−λxx0
0! = e
−λx .
Logo
F (x) = P(X ≤ x) = 1− e−λx X ≥ 0.
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A função de distribuição cumulativa de X é
F (x) = P(X ≤ x) = 1− e−λx .
Diferenciando F (X ) temos que
f (x) = λe−λx x ≥ 0 .
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A distribuição de X está ligada ao Processo de Poisson.
Veremos que o ponto inicial para medir X não importa.
No processo de Poisson o número de falhas depende
apenas do comprimento do intervalo
e não da localização do intervalo.
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Distribuição Exponencial
Seja X a distância entre contagens em um Processo de
Poisson.
Considere que a média desse processo é λ > 0.
X é então uma variável aleatória exponencial com
parâmetro λ.
A função densidade de probabilidade de X é
f (x) = λe−λx para 0 ≤ x <∞ .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
A distribuição Exponencial tem esse nome por causa da
função exponencial que a aparece em sua densidade.
Veja abaixo gráficos da distribuição exponencial para
alguns valores de λ.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
Vamos agora calcular média e variância dessa variável.
Relembre que
E(X ) =
∫
∞
−∞
xf (x)dx .
Usando a definição temos que
E(X ) =
∫
∞
0
xλe−λxdx = 1
λ
.
(fazer no quadro)
Então o tempo de espera até a falha
é:
inversamente proporcional à taxa com que as falhas
ocorrem.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
Para a variância, usamos
V (X ) =
∫
∞
−∞
(x−E(X ))2f (x)dx =
∫
∞
−∞
x2f (x)dx−(E(X ))2 .
Integrando por partes temos que
∫
∞
0
x2f (x)dx = 2
λ2
.
Portanto
Var(X ) = 2
λ2
−
1
λ2
=
1
λ2
.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
Média e Variância
Seja X uma variável aleatória com distribuição
exponencial de parâmetro λ.
Temos então que
E(X ) = 1
λ
Var(X ) = 1
λ2
.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo:
Considere uma rede de usuários de computadores.
As conexões dos usuários ao sistema podem ser
modeladas por um Processo de Poisson.
A média desse processo é de 25 conexões por hora.
Qual a probabilidade de não haver conexões em um
intervalo de 6 minutos?
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Exemplo: (solução)
Seja X o tempo em horas até a primeira conexão.
X tem distribuição exponencial com λ = 25 conexões por
hora.
Queremos saber a probabilidade de X exceder 6 minutos.
λ é dado em conexões por hora.
Precisamos expressar as unidades de tempo em horas
6 minutos = 0,1 horas .
A probabilidade requerida é
P(X > 0,1) =
∫
∞
0,1
25e−25x = e−25(0,1) = 0,082 .
(Fazer no quadro)
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
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Exemplo:
Qual a probabilidade do tempo até a próxima conexão
estar entre 2 e 3 minutos?
Temos que
2 minutos = 0,033 horas 3 minutos = 0,05 horas .
A probabilidade requerida é
P(0,033 < X < 0,05) =
∫ 0,05
0,033
25e−25xdx = − e−25x
∣∣∣0,05
0,033
= 0,152 .
(Fazer no quadro.)
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Exemplo:
Determine o intervalo tal que a probabilidade de nenhuma
conexão ocorrer nesse intervalo é 0,9.
Queremos saber o comprimento de x tal que
P(X > x) = e−25x = 0,9
Tirando logarítmo dos dois lados temos que
−25x = ln(0,9)⇒ x = 0,00421 hora = 0,25 minuto .
O tempo médio até a próxima conexão é
E(X ) = 1/λ = 1/25 = 0,04 hora = 2,4 minutos .
A variância é
Var(X ) = 1/λ2 = 1/252 .
O desvio padrão é√
Var(X ) = 1/λ = 1/25 = 0,04 hora = 2,4 minutos .
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Vimos no exemplo anterior que
a probabilidade de não haver conexões em um intervalo de
6 minutos é 0,082 ⇒ não depende do tempo inicial do
intervalo.
O processo de Poisson supõe que os eventos ocorrem
uniformemente em um intervalo.
Não há agrupamento de eventos.
A probabilidade de que a primeira conexão depois do
12:00 ocorra depois de 12:06 é igual a :
probabilidade de que a primeira conexão depois das 15:00
ocorra após 15:06.
Falta de memória da exponencial.
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O ponto inicial de observação não importa.
Se houver períodos com picos de conexão o modelo de
Poisson não é um bom modelo.
Pode ser razoável modelar períodos do dia diferentes por
processos de Poisson com parâmetros distintos.
Colocamos um valor de λ alto em alguns períodos e baixo
em outros.
A distribuição exponencial com o λ correspondente pode
ser usada para calcular probabilidades de conexão.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
Exemplo:
Considere um contador que detecta partículas raras.
Seja X o tempo entre detecções de uma partícula.
X tem distribuição exponencial com
E(X ) = 1,4 minuto .
A probabilidade de detectarmos uma partícula dentro de
30 segundos a partir do começo da contagem é
P(X < 0,5 minuto ) = F (0,5) = 1− e−
0,5
1,4 = 0,30 .
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Exemplo: (continuação)
Suponha que ligamos o contador e esperamos 3 minutos
sem detectar nenhuma partícula.
Qual a probabilidade de uma partícula ser detectada nos
próximos 30 segundos?
Como já esperamos 3 minutos sentimos que já é tempo
suficiente.
A probabilidade de detecção nos próximos 30 segundos
deveria ser menor que 0,3.
Isso porém não é verdade.
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Exemplo: (solução)
A probabilidade requerida é
P(X < 3,5|X > 3) = P(X < 3,5;X > 3)P(X > 3) =
P(3 < X < 3,5)
P(X > 3) .
Temos que
P(3 < X < 3,5) = F (3,5)−F (3) = [1−e−
3,5
1,4 ]− [1−e−
3
1,4 ]
= 0,035
P(X > 3) = 1− F (3) = e−
3
1,4 = 0,117 .
Assim
P(X < 3,5|X > 3) = 0,0350,117 = 0,3 .
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Observações:
Depois de esperar por 3 minutos
a probabilidade de detecção nos próximos 30 segundos
é a mesma de detecção nos 30 segundos imediatamente
depois de começar a contagem.
O fato de que você esperou 3 minutos sem detecção não
muda a probabilidade de detecção.
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Propriedade de Falta de Memória
Para uma variável aleatória exponencial X
P(X < t1 + t2|X > t1) = P(X < t2) .
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
Veja a figura abaixo.
A soma das áreas é um
A + B + C + D = 1 .
A área A é P(X < t2).
A área C dividida por C + D é
P(X < t1 + t2|X > t1) .
A falta de memória implica que
a proporção em A é igual a proporção de C em C + D.
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A distribuição exponencial é muito usada para modelar
tempo de falha de um equipamento.
Exemplo: o tempo de vida de um chip.
A falta de memória significa que o equipamento não
desgasta.
Independente de quanto tempo o equipamento tenha
operado a probabilidade de falha não muda.
Quando o equipamento sofre desgaste esse não é um
modelo bom.
Uma distribuição usada nesse caso é a Weibull.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
Distribuição Gama
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
Algumas variáveis aleatórias são sempre não negativas.
A Distribuição Gama generaliza a Distribuição
Exponencial.
A Distribuição Gama é utilizada na modelagem de
problemas que a resposta é estritamente positiva.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
Antes de apresentar a função de densidade de uma
variável alaetória, X , que segue uma distribuição Gama.
Iremos intorudizir a função Gama:
Γ(r) =
∫
∞
0
x r−1e−xdx para todo r > 0.
A função Gama é a generalização da função fatorial.
Dessa forma temos:
se r inteiro: Γ(r) = (r − 1)!
Γ(r) = (r − 1)Γ(r − 1)
Γ(1) = 1
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
Uma variável alaetória X , com função de densidade
f (x) = λ
r x r−1e−λx
Γ(r)
, para x > 0
é uma variável alaetória Gama, com parâmetros λ > 0 e
r > 0.∫
∞
0 f (x) = 1 (fazer no quadro)
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
Vamos agora calcular média e variância dessa variável.
Relembre que
E(X ) =
∫
∞
−∞
xf (x)dx .
Usando a definição temos que
E(X ) =
∫
∞
0
λr x re−λx
Γ(r)
dx = r
λ
(fazer no quadro)
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
Para a variância, usamos
V (X ) =
∫
∞
−∞
(x−E(X ))2f (x)dx =
∫
∞
−∞
x2f (x)dx−(E(X ))2 .
Logo temos que
∫
∞
0
x2f (x)dx = r(r + 1)
λ2
.
Portanto
Var(X ) = r(r + 1)
λ2
−
r2
λ2
=
r
λ2
.
(fazer no quadro)
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias
Contínuas e Distribuição de Probabilidades
Média e Variância
Seja X uma variável aleatória com distribuição gama de
parâmetros λ e r .
Temos então que
E(X ) = r
λ
Var(X ) = r
λ2
.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
A função de distribuição acumulada de uma variável gama
não possui forma fechada.
A distribuição exponencial é um caso especial da
distribuição gama quando r = 1.
Outra distribuição conhecida que também é um caso
especial da distribuição gama é a distribuição
chi-quadrado (χ2).
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
A distribuição χ2 é obtida quando r = ν/2 e λ = 1/2.
O parâmetro ν é chamado de graus de liberdade.
A função de densidade de uma variável alaetória χ2
f (x) = x
ν/2−1e−x/2
2ν/2Γ(ν/2)
, para x > 0
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
Média e Variância
Seja X uma variável aleatória com distribuição χ2 de
parâmetro ν.
Temos então que
E(X ) = ν Var(X ) = 2ν .
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Distribuição Beta
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Uma distribuição que seja contínua, mas limitada a uma
faixa finita é útil para modelos de probabilidade.
Dados de proporções são exemplos de variáveis contínuas
ao longo do intervalo [0,1].
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
Uma variável alaetória X , com função de densidade
f (x) = Γ(α+ β)
Γ(α)Γ(β)
xα−1(1− x)β−1, para 0 ≤ x ≤ 1
é uma variável alaetória beta, com parâmetros α > 0 e
β > 0.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
Média e Variância
Seja X uma variável aleatória com distribuição beta de
parâmetros α e β.
Temos então que
E(X ) = α
α+ β
Var(X ) = αβ
(α+ β)2(α + β + 1)
.
Marcos Oliveira Prates Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição de Probabilidades
		Distribuição Exponencial
		Distribuição Gama
		Distribuição Beta
Estatística e Probabilidades/2ª Prova/AULAS/tabela normal padrão.pdf
Tabela da Distribuição Normal Padrão 
P(Z<z) 
 
z 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 
3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 
3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 
3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 
3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 
3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 
3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 
3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 
3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 
3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 
P(Z<z) 
 
z 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641 
-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247 
-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 
-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483 
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121 
-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776 
-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451 
-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148 
-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867 
-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611 
-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379 
-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170 
-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985 
-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823 
-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681 
-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559 
-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 
-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367 
-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294 
-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233 
-2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183 
-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143 
-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 
-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084 
-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064 
-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048 
-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 
-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 
-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019 
-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 
-3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 
-3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 
-3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 
-3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 
-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003
0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002 
-3,5 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 
-3,6 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 
-3,7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 
-3,8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 
-3,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
 
Estatística e Probabilidades/2ª Prova/LISTAS/LISTA 03 GABARITO.pdf
Lista 3 - Gabarito
Prof. Marcos Oliveira Prates
Disciplina: Estatística e Probabilidae
1. SejaX o número de transações até que todos computadores falhem. X tem distribuição
binomial negativa com p = 10−8 e r = 3.
a) E(X) = 3× 108.
b) V ar(X) = 3× 1016.
2. Seja X o número de homens com um marcador no cromossomo. X tem distribuição
hipergeométrica com parâmetros N = 800, K = 240 e n = 10.
a) P (X = 1) =
(2401 )(
560
9 )
(80010 )
= 0, 1201.
b) P (X > 1) = 1− P (X ≤ 1) = 1− P (X = 0)− P (X = 1) = 0, 8523
3. Seja X o número de chamadas em uma hora. X tem distribuição Poisson com λ = 10.
a) P (X = 5) = e
−10105
5!
= 0, 0378.
b) P (X ≥ 3) = 1−P (X < 3) = 1− ( e−10102
2!
+ e
−10101
1!
+ e
−10100
0!
) = 1− 0, 0027 = 0.9973
Seja Y o número de chamada em duas horas. Y tem distribuição Poisson com λ = 20.
c) P (Y = 15) = e
−202015
15!
= 0, 0516.
d) Seja W o número de chamadas em 30 minutos. W é uma Poisson com λ = 5.
P (W = 5) = e
−555
5!
= 0, 1755.
4. a) P (X > 3000) = e−3 = 0, 05
b) P (1000 < X < 2000) = e−3 = e−1 − e−2 = 0, 233
c) P (X < 1000) = 1− e−1 = 0, 6321
d) P (X < x) = 1− e− x1000 = 0, 10 logo x = −1000 ln 9 = 105, 36.
5. a) P (X < 60) = 1− e−6 = 0, 9975
b) P (15 < X < 30) = e−1,5 − e−3 = 0, 1733
c) F (x) = 1− e−x/10 para x > 0. P (15 < X < 30) = F (30)− F (15) = e−1,5 − e−3 =
0, 1733
1
Estatística e Probabilidades/2ª Prova/LISTAS/LISTA 03.pdf
Lista 3
Prof. Marcos Oliveira Prates
Disciplina: Estatística e Probabilidae
25 de outubro de 2012
Data de entrega: 06 de novembro
1. Um sistema de tolerância de defeitos, que processa transações para uma firma de servi-
ços financeiros, usa três computadores separados. Se o computador de operação falhar,
um dos dois sobressalentes pode ser imediatamente ligado. Depois de o segundo com-
putador falhar, o último computador pode ser imediatamente ligado. Considere que
a probabilidade de uma falha em qualquer transação seja de 10−8 e que as transações
podem ser consideradas eventos independentes.
a) Qual o número médio de transações até que todos computadores falhem?
b) Qual a variância de transações antes de todos computadores falharem?
2. Uma companhia emprega 800 homens com 55 anos. Suponha que 30% carreguem um
marcador no cromossomo masculino, que indique um risco crescente de alta pressão
sanguínea.
a) Se 10 homens na companhia fossem testados em relação ao marcador nesse cromos-
somo, qual é a probabilidade de exatamente um homem ter esse marcador?
b) Se 10 homens na companhia fossem testados em relação ao marcador nesse cromos-
somo, qual é a probabilidade de mais de um homem ter esse marcador?
3. O número de chamadas que chegam a uma central é freqüentemente modelado por uma
variável aleatória de Poisson. Considere que, em média, há 10 chamadas por hora.
a) Qual a probabilidade de que haja exatamente 5 chamadas em uma hora?
b) Qual a probabilidade de que haja 3 ou mais chamadas em uma hora?
c) Qual a probabilidade de que haja exatamente 15 chamadas em duas horas?
d) Qual a probabilidade de que haja exatamente 5 chamadas em 30 minutos?
1
4. A função densidade do tempo (em horas) de falha de um componente eletrônico de
uma copiadora é f(x) = e
−x/1000
1000
para x > 0. Determine a probabilidade de
a) Um componente durar mais de 3000 horas antes da falha.
b) Um componente falhar no intervalo de 1000 a 2000 horas.
c) Um componente falhar antes de 1000 horas.
d) Determine o número de horas em que 10% de todos componentes falharam.
5. A função de densidade de probabilidade do tempo em que clientes chegam a um ter-
minal (em minutos depois de 8 h) é f(x) = e−x/10/10 para x > 0. Determine a
probabilidade de
a) O primeiro cliente chegar até 9 h.
b) O primeiro cliente chegar entre 8 h e 15 min e 8 h e 30 min.
c) Determine a função de distribuição cumulativa e use-a para determinar a probabi-
lidade de o primeiro cliente chegar entre 8 h e 15 min e 8 h e 30 min.
2
Estatística e Probabilidades/2ª Prova/LISTAS/LISTA 04 GABARITO.pdf
Lista 4 - Gabarito
Prof. Marcos Oliveira Prates
Disciplina: Estatística e Probabilidae
1. a)
F (x) =

0 se x < 0, 95
10x− 9, 5 se 0, 95 ≤ x < 1, 05
1 se x ≥ 1, 05.
b) P (X > 1, 02) = 1− P (X ≤ 1, 02) = 1− F (1, 02) = 0, 3
c) Se P (X > x) = 0, 9 então 1− F (x) = 0, 9 e F (x) = 0, 1. Portanto 10x− 9, 5 = 0, 1
o que implica que x = 0, 96.
d) E(X) = 1,05+0,95
2
= 1 e V (X) = (1,05−0,95)
2
12
.
2. Seja X o tempo (em minutos) entre a chegada e 10 h am.
a)
f(x) =
1
90
para 0 ≤ x ≤ 90 .
Então a função de distribuição cumulativa é
F (x) =
x
90
para 0 ≤ x ≤ 90 .
b) E(X) = 45 e V ar(X) = 675.
c) Esse evento corresponde ao visitante chegar nos seguintes intervalos: 8:50-9:00 ou
9:20 - 9:30 ou 9:50 - 100. A probabilidade requerida é
P =
30
90
.
d) 1− 30
90
.
3. a) P (X < 6250) = P (Z < 2, 5) = 0, 99379
b) P (5800 < X < 5900) = P (−2 < Z < −1) = 0, 13591
c) P (X > x) = P
(
Z > x−6000
100
)
= 0, 95 então x = 5835.
4. a) P (X < 12) = P
(
Z ≤ 12−12,4
0,1
)
= P (Z ≤ −4) ≈ 0.
1
b) P (X < 12, 1) = P
(
Z ≤ 12,1−12,4
0,1
)
= P (Z ≤ −3) = 0, 00135
P (X > 12, 6) = P
(
Z > 12,6−12,4
0,1
)
= P (Z > 2) = 0, 02275.
Então a proporção de latas rejeitadas é 0, 00135 + 0, 02275 = 0, 0241.
c) P (12, 4− x < X < 12, 4 + x) = 0, 99. subtraindo 12, 4 dos dois lados
P
(
− x
0, 1
<
X
0, 1
<
x
0, 1
)
= 0, 99
P
(
Z <
x
0, 1
)
= 0, 995⇒ x = (0, 1)(2, 58) = 0, 258
Os limites são
(12.4− x; 12.4 + x) = (12, 142; 12, 658)
5. a) P (X < 5000) = P (Z < 5000−7000
600
) = P (Z < −3.3333) = 0, 00043
b) P (X > x) = 0, 95 logo
P
(
Z >
x− 7000
600
)
= 0, 95 − 1.645 = x− 7000
600
→ x = 6013 .
c) P (X > 7000) = P (Z > 0) = 0, 5 logo a probabilidade requerida é
(0, 5)3 .
6. O primeiro tipo de erro ocorre se a mensagem é 1 e 2 +N < 0, 5 e o segundo tipo de
erro ocorre se a mensagem é 0 e −2 +N ≥ 0, 5. Então
P (erro|a mensagem é 1) = P (N < −1, 5) = 1− φ(1, 5) = 0, 0668
P (erro|a mensagem é 0) = P (N ≥ 2, 5) = 1− φ(2, 5) = 0, 0062 .
7. X é o número de erros em 1000 páginas. X tem distribuição Poisson com média 0,4
por página.
a) O número de erros em um página são variáveis aleatórias. Sabemos que em um
processo de Poisson o número de eventos que ocorrem em um intervalo são in-
dependente dos demais. As páginas são intervalos disjuntos, então o número de
erros que ocorre em uma página é independente do número de erros em outras
páginas.
2
b) P (X = 0) = e
−0,4(0,4)0
0!
= 0, 670
P (X ≥ 1) = 1− P (X = 0) = 1− 0, 670 = 0, 330 .
O número médio de páginas com mais de um erro é 1000(0, 330) = 330 páginas.
c) Seja Y o número de páginas com erros
P (Y > 350) = P
(
Z ≥ 350, 5− 330√
1000(0, 33)(1− 0, 33)
)
= P (Z ≥ 1, 38)
= 1− P (Z < 1, 38) = 1− 0, 9162 = 0, 0838
8. Seja X o tempo até a primeira contagem. X segue uma distribuição exponencial de
parâmetro λ = 2.
a) P (X > 0, 5) = e−1 = 0, 3679
b) P (X < 10
60
) = 1− e− 13 = 0, 2835
c) P (1 < X < 2) = e−2 − e−4 = 0, 1170.
9. Pela propriedade da falta de memória da exponencial, independente do tanto que
o carro já foi usado, o tempo de vida da bateria (em mil milhas) tem distribuição
exponencial com λ = 1
10
. Seja T o número de milhas que o carro pode andar. Então a
probabilidade requerida é
P (T > 5) = 1− F (5) = e−5λ = e− 12 ≈ 0, 604
Se o tempo de vida não é exponencial, não tem a propriedade de perda de memória,
devemos considerar o desgaste da bateria dependendo do tanto que já foi usada. Então
a se t o número de milhas que o carro já andou com aquela bateria, a probabilidade
requerida é
P (T > t+ 5|T > t) = 1− F (t+ 5)
1− F (t) .
Portanto se a distribuição não fosse exponencial precisaríamos de mais informação no
problema.
3
Estatística e Probabilidades/2ª Prova/LISTAS/LISTA 04.pdf
Lista 4
Prof. Marcos Oliveira Prates
Disciplina: Estatística e Probabilidae
06 de novembro de 2012
Data de entrega: 20 de novembro
1. A espessura de um flange em um componente de espaçonave é uniformemente distri-
buída entre 0,95 e 1,05 milímetros.
a) Determine a função de distribuição cumulativa da espessura da flange.
b) Determine a proporção de flanges que excedem 1,02 milímetros.
c) Qual valor da espessura que é excedida por 90% dos flanges?
d) Determine a média e variância da espessura da flange.
2. Um show de golfinhos está marcado para começar às 9 h, 9 h 30 min e 10 h. Quando
o show começa, o portão é fechado. Um visitante chegará ao portão no tempo unifor-
memente distribuído entre 8 h 30 min e 10 h. Determine:
a) A função de distribuição cumulativa do tempo (em minutos) entre a chegada e 10
h.
b) A média e variância da distribuição anterior.
c) A probabilidade de o visitante esperar menos de 10 minutos para o início do show.
d) A probabilidade de o visitante esperar mais de 10 minutos para o início de show.
3. A resistência à compressão de amostras de cimento pode ser modelada por uma dis-
tribuição normal, com uma média de 6000 quilogramas por centímetro quadrado e um
desvio padrão de 100 quilogramas por centímetro quadrado.
a) Qual a probabilidade da resistência da amostra ser menor do que 6250 kg
cm2?
b) Qual a probabilidade da resistência da amostra estar entre 5800 e 5900 kg
cm2?
1
c) Que resistência é excedida por 95% das amostras?
4. O volume de enchimento em uma máquina automática de enchimento usada para
encher latas de bebidas gasosas é distribuído normalmente, com uma média de 12,4 e
um desvio-padrão de 0,1.
a) Qual a probabilidade do volume de enchimento ser menor do que 12?
b) Se todas as latas menores que 12,1 e maiores que 12,6 forem rejeitadas, que pro-
porção de latas será rejeitada?
c) Determine as especificações que sejam simétricas em torno da média que incluam
99% de todas as latas.
5. A vida de um semicondutor a laser é normalmente distribuída com média 7000 horas
e desvio-padrão de 600 horas.
a) Qual a probabilidade do laser falhar antes de 5000 horas?
b) Qual é o tempo de vida em horas que 95% dos lasers excedem?
c) Se três lasers forem usados em um produto e se eles falharem independentemente,
qual a probabilidade de todos os três ainda estarem operando depois de 7000
horas?
6. Suponha que uma mensagem binária (0 ou 1) deve ser transmitida por um fio de uma
localização A para uma localização B. Porém, os dados enviados através do fio estão
sujeito a distúrbios. Para reduzir a possibilidade de erro o valor 2 é enviado pelo fio
quando a mensagem é 1 e o valor -2 é enviado quando a mensagem é 0. Se x, x = ±2,
é valor enviado pela estação A, então R, o valor recebido pela estação B, é dado por
R = x + N , onde N é um distúrbio aleatório. Quando a mensagem é recebida na
estação B o decodificador tem a seguinte regra de decisão:
Se R ≥ 0.5 então conclui que a mensagem 1 foi recebida.
Se R < 0.5 então conclui que a mensagem 0 foi recebida.
Suponha que N tem uma distribuição Normal Padrão. Determine as probabilidades
de erro. (Dica: ocorrem erros se a mensagem 1 e decodificada como 0 ou o contrário.
Se a mensagem é 1, R=2+N e se a mensagem é 0, R=-2+N).
7. Uma impressora de alta capacidade imprime páginas com pequenos erros de qualidade
de impressão. O número de erros em 1000 páginas segue uma distribuição Poisson com
média 0,4 por página.
2
a) É razoável considerar que o número de erros em uma página são independentes
das demais?
b) Qual o número médio de páginas com erros (um ou mais)?
c) Aproxime a probabilidade de mais de 350 páginas com erros (um ou mais). (DICA:
o número de páginas com pelo menos um erro segue uma distribuição Binomial.)
8. Suponha que as contagens e registradas por um contador Geiger sigam o processo de
Poisson, com uma média de duas contagens por minuto.
a) Qual a probabilidade de não haver contagens em um intervalo de 30 segundos?
b) Qual a probabilidade de que a primeira contagem ocorra em menos de 10 segundos?
c) Qual é a probabilidade de que a primeira contagem ocorra entre 1 e 2 minutos
depois do início?
9. Suponha que o número de milhas que um carro pode andar antes de sua bateria acabar
tem distribuição exponencial com média 10000 milhas. Se uma pessoa deseja fazer uma
viagem de 5000 milhas, qual a probabilidade dessa pessoa completar essa viagem sem
ter que trocar a bateria? O que pode ser dito quando a distribuição não é exponencial?
3
Estatística e Probabilidades/3ª Prova/AULAS/Capitulo_7_1.pdf
Introdução
Distribuições Amostrais e Teorema do Limite Central
Conceitos Gerais de Estimação pontual
Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Distribuições Amostrais e Estimação Pontual
de Parâmetros - parte I
Marcos Oliveira Prates
2012/02
Marcos Oliveira Prates Distribuições Amostrais e Estimação Pontual de Parâmetros -
Introdução
Distribuições Amostrais e Teorema do Limite Central
Conceitos Gerais de Estimação pontual
Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
1 Introdução
2 Distribuições Amostrais e Teorema do Limite Central
3 Conceitos Gerais de Estimação pontual
4 Erro Médio Quadrático de um Estimador
5 Métodos de Estimação Pontual
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Introdução
Distribuições Amostrais e Teorema do Limite Central
Conceitos Gerais de Estimação pontual
Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Objetivos
Ao final deste capítulo você deve ser capaz de:
Entender estimação de parâmetros de uma distribuição de
probabilidade ou de uma população.
Explicar o papel da distribuição normal como distribuição
amostral.
Entender o Teorema Central do Limite e como usá-lo
nesse caso.
Entender o que são estimadores pontuais.
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Introdução
Distribuições Amostrais e Teorema do Limite Central
Conceitos Gerais de Estimação pontual
Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Introdução
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Conceitos Gerais de Estimação pontual
Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Inferência estatística:
tirar conclusões sobre a população a partir de uma
amostra.
Pode ser dividida em:
estimação de parâmetros;
testes de hipóteses.
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Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Estimação de Parâmetros
Um engenheiro analisa a resistência à tração de um
componente de um automóvel.
A resistência pode variar por motivos como:
diferença na matéria prima, variação no processo de
fabricação e no processo de medida.
O engenheiro precisa estimar a resistência dos
componentes.
Usa dados amostrais ⇒ encontrar um valor razoável para
a média verdadeira.
Esse número é chamado estimativa pontual.
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Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação
Pontual
Testes de Hipótese
Duas temperaturas, t1 e t2, podem ser usadas em um
processo químico.
O engenheiro suspeita que a temperatura t1 resulta em
rendimentos maiores.
O teste estatístico resolve problemas desse tipo.
A hipótese é de que:
o rendimento médio usando t1 é maior que usando t2.
Não estamos interessados na estimação dos rendimentos.
Queremos tirar conclusões acerca das hipóteses
estabelecidas.
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Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Suponha que queremos estimar o parâmetro de uma
população.
Antes da coleta, os dados são variáveis aleatórias
X1, X2, . . . , Xn .
Qualquer função desses dados é também uma variável
aleatória.
Essa função é chamada de uma estatística.
Estatística
Qualquer função dos dados. Exemplo: média amostral.
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Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
A estatística é uma variável aleatória⇒ possui distribuição
de probabilidade.
Chamamos a distribuição de uma estatística de
distribuição amostral.
A noção de distribuição amostral é muito importante na
inferência estatística.
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Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Precisamos de um símbolo para denotar o parâmetro de
interesse.
Usaremos o símbolo θ para denotar o parâmetro de
interesse.
Exemplo: média de idade dos alunos da UFMG.
Objetivo da estimação pontual:
selecionar um número (com base na amostra) que seja o
valor mais plausível para θ.
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Métodos de Estimação Pontual
Seja X uma variável aleatória com função densidade f (x).
Essa função tem um parâmetro desconhecido θ.
Seja
X1, X2, . . . , Xn
uma amostra dessa variável.
A estatística
θˆ = h(X1, X2, . . . , Xn)
é um estimador pontual de θ.
Depois de observada a amostra, θˆ assume um valor
numérico.
Esse valor particular de θˆ é chamado estimativa.
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Estimador Pontual
A estatística (variável aleatória) θˆ é chamada estimador
pontual.
O valor observado de θˆ é um número e é chamado de
estimativa pontual.
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Métodos de Estimação Pontual
Exemplo:
Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída.
Suponha que a média µ de X não seja conhecida.
A média amostral é um estimador de µ
µˆ = X¯ .
Depois da amostra ter sido observada, o valor numérico
de x¯ é uma estimativa pontual de µ.
Suponha que a amostra observada foi
x1 = 25, x2 = 30, x3 = 29, x4 = 31 .
A estimativa de µ é
x¯ =
25 + 30 + 29 + 31
4 = 28,75 .
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Algumas estimativas pontuais razoáveis:
Para a média µ⇒ µˆ = x¯ .
Para a variância σ2 ⇒ σˆ2 = s2 =
P
(xi−x¯)
n−1 .
Para a proporção p ⇒
pˆ = x
n
onde x é o número de ítens que pertencem à classe de
interesse e n é o tamanho da amostra.
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Métodos de Estimação Pontual
Temos várias possibilidades de escolha de estimador de
um parâmetro.
Exemplo: a média da população pode ser estimada por:
média, mediana, ponto médio.
Precisamos de critérios para decidir qual estimador é
melhor.
Isso vai depender das propriedades estatísticas do
estimador.
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Inferência estatística:
tomar decisões sobre a população a partir da amostral.
Podemos estar interessados no volume médio de
enchimento de uma lata de refrigerante.
O volume médio requerido é 300 mililitros.
Um engenheiro retira uma amostra de 25 latas.
O volume médio observado é x¯ = 298.
O engenheiro decide que a média da população é 300
mililitros.
Mesmo que a média da população seja 300 mililitros é
muito provável que apareça uma amostra com média 298.
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Ligação entre os modelos de probabilidade e os dados:
O valor numérico dos dados é o valor observado de uma
variável aleatória.
As variáveis são consideradas:
independentes e identicamente distribuídas.
Essas variáveis são conhecidas com uma amostra
aleatória.
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Exemplo:
O engenheiro quer medir o enchimento de uma lata de
refrigerante.
Ele retira uma amostra de tamanho n.
A amostra aleatória é
X1,X2, . . .Xn .
Não sabemos o valor da primeira medida X1 ⇒ é uma
variável aleatória.
Consideramos que as medidas são independentes e têm a
mesma distribuição.
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Amostra aleatória
As variáveis aleatórias
X1, . . .Xn
são uma amostra aleatória de tamanho n.
Devem satisfazer as seguintes condições:
os Xi ’s são independentes;
cada Xi tem a mesma distribuição de probabilidade.
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Suponha que queremos investigar a proporção de
pessoas que preferem uma marca de refrigerante.
Seja p o valor desconhecido dessa proporção.
Selecionamos uma amostra de tamanho n.
A proporção de pessoas pˆ que preferem a marca é uma
estimativa de p.
Temos que
pˆ = número de indivíduos que preferem a marca
n
.
pˆ é uma função dos dados observados.
Dizemos que pˆ é uma
estatística.
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Estatística
É qualquer função das observações em uma amostra
aleatória.
Exemplos:
média amostral
X¯ =
n∑
i=1
Xi
n
variância amostral
S2 =
∑
i(Xi − X¯ )2
(n − 1)
desvio-padrão √
S2 .
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A estatística é uma variável aleatória.
Ela tem distribuição de probabilidade: distribuição
amostral.
Distribuição Amostral
A distribuição de probabilidades de uma estatística é chamada
de uma distribuição amostral.
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Colhida uma amostra, observamos o valor da estatística T.
Baseado nesse valor faremos uma afirmação sobre θ.
Seria interessante saber:
como T se comportaria se analisássemos todas amostras
possíveis?
qual a distribuição de T quando (X1, . . . ,Xn) assume todos
valores possíveis?
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Exemplo:
Lançamos uma moeda honesta três vezes.
Se sair cara ganhamos 1 ponto, se sair coroa perdemos 1.
Xi são os pontos obtidos em cada lançamento
Xi =
{
1 com probabilidade 1/2
−1 com probabilidade 1/2.
Nesse caso podemos enumerar todas amostras possíveis
e calcular X¯ e S2.
Por exemplo
P((X1,X2,X3) = (1,1,−1)) =
1
23
=
1
8 e X¯ = 1/3, S
2 =
4
3 .
Considerando todos os casos encontramos as
distribuições de X¯ e S2
X¯ -1 -1/3 1/3 1
pi 1/8 3/8 3/8 1/8
S2 0 4/3
pi 1/4 3/4
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Na maioria das vezes não é viável enumerar todos
resultados possíveis.
Precisamos de ferramentas para encontrar as
distribuições.
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Distribuição da média amostral:
Uma amostra de tamanho n é retirada de uma população
normal.
Suponha que a média da população é µ e variância σ2.
Funções lineares de variáveis normais também são
normais.
Portanto a média:
X¯ = X1 + · · ·+ Xn
n
tem distribuição normal com média
E(X¯ ) = µ+ · · ·+ µ
n
= µ
e variância
Var(X¯ ) = σ
2 + · · ·+ σ2
n2
=
σ2
n
.
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Métodos de Estimação Pontual
Suponha que não conhecemos a distribuição.
Podemos aproximar a distribuição da média por uma
normal:
Teorema Central do Limite.
Teorema Central do Limite
Considere uma amostra de tamanho n
X1, . . . ,Xn .
Essa amostra é retirada de uma população com média µ e
variância σ2.
Seja X¯ a média dessa amostra.
Então
Z = X¯ − µ
σ/
√
n
tende para uma N(0,1) quando n →∞.Marcos Oliveira Prates Distribuições Amostrais e Estimação Pontual de Parâmetros -
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A aproximação normal para X¯ depende do tamanho da
amostra n.
A figura abaixo mostra a distribuição obtida arremessando
um dado com seis faces.
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A distribuição da população está longe da normal.
Porém as médias são aproximadas razoavelmente por
uma normal.
Geralmente é necessário um tamanho de amostra grande.
Valores como n = 4 ou n = 5 não costumam ser
suficientes.
Uma regra prática é usar a aproximação se n ≥ 30.
Se n < 30 o teorema funcionará se a distribuição da
população não for muito diferente da normal.
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Exemplo:
Uma companhia eletrônica fabrica resistores.
Os resistores têm resistência média de 100 ohms e desvio
padrão de 10 ohms.
A distribuição das resistências é normal.
Uma amostra aleatória de tamanho n = 25 é selecionada.
Qual probabilidade da média ser menor que 95 ohms?
Temos que
X¯ ∼ N(µ, σ2/n) .
Portanto a probabilidade requerida é
P(X¯ < 95) = P
(
X¯ − µ
σ/
√
n
<
95− 100
10/
√
25
)
= P(Z < −2,5) = 0,0062.
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Exemplo:
Seja X uma variável com distribuição uniforme
f (x) =
{
1
2 se 4 ≤ x ≤ 6
0 caso contrário.
Encontre a distribuição da média de uma amostra
aleatória de tamanho n = 40.
Temos que
E(X ) = µ = 5 Var(X ) = σ2 = (6− 4)
2
12 =
1
3 .
Então
E(X¯ ) = µ = 5 Var(X¯) = σ
2
40 =
1/3
40 .
Pelo Teorema do Limite do Central
X¯ ∼ N(5,1/((3)40)) .
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Exemplo: (continuação)
A figura abaixo mostra os gráficos de X e X¯ .
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Exemplo:
Seja X o consumo mensal em minutos por conta de
celular de uma região.
X tem média 40 e desvio padrão 12 minutos.
Toma-se uma amostra de 24 usuários.
Encontre:
a probabilidade do tempo médio de uso na amostra
exceder 45 minutos?
a probabilidade do tempo médio de uso na amostra ser
menor que 50 minutos?
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Exemplo: (solução)
A média amostral é uma variável com média e variância:
E(X¯) = 40 Var(X¯ ) = 12
2
24 = 6 .
Temos que
P(X¯ > 45) = P
(
Z > 45− 40√
6
)
= P(Z > 2,0412) =
1− 0,9794 = 0,0206 .
Além disso
P(X¯ < 50) = P
(
Z < 50− 40√
6
)
= P(Z < 4,0824) = 1 .
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Métodos de Estimação
Pontual
Exemplo:
As notas num certo exame padronizado têm média 450 e
desvio padrão 50.
Uma nota acima de 480 é considerada muito boa.
Uma pessoa entra em uma Universidade se ela obtém
acima de 480 neste exame.
Numa certa sala onde o exame foi aplicado, 25 pessoas
fizeram o teste.
A nota média destas pessoas foi 490.
Isso é estranho?
Você acha que houve fraude?
Dica: use o Teorema Central do Limite.
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Exemplo: (solução)
Seja X a nota no teste.
X tem média 450 e desvio padrão 50.
Temos que
E(X¯) = 450 Var(X¯ ) = (50)
2
25 .
P(X¯ > 490) = P
(
Z > 490− 450√
50/25
)
= P(Z > 4) = 0 .
É absolutamente improvável que a nota média daquelas
25 pessoas tenha superado 490.
Há um indício claro de fraude no teste.
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Os estimadores devem ser escolhidos de forma adequada.
Devem apresentar determinadas características:
não tendencioso;
com baixa variância.
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Tendenciosidade de um Estimador
Um estimador θˆ é não tendencioso para θ se
E(θˆ) = θ .
Se o estimador for tendencioso, a diferença
E(θˆ)− θ
é chamada de tendenciosidade do estimador θˆ.
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Estimador Não-tendencioso de Variância Mínima
Consideramos todos estimados não-tendenciosos de θ.
Aquele estimador com menor variância:
estimador não-tendencioso de variância mínima.
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Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Entre os diversos possíveis estimadores, o EMQ é uma
maneira de escolher o melhor estimador.
Logo o EMQ é um critério de escolha de estimadores.
Algumas vezes não é óbvio determinar um estimador não
tendencioso.
Em casos mais complexos, estimadore não tendenciosos
podem possuir alta variabilide, nesses casos, é possível
encontrar estimadores tendenciosos no qual o EMQ seja
reduzido.
Portanto o EMQ é um critério que leva em conta tendência
e variabilide.
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Erro Médio Quadrático de um Estimador
O erro médio quadraático de um estimador θˆ do parâmetro θ
é definido como
EMQ(θˆ) = E((θˆ − θ)2) = V (θˆ) + (tendência)2
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Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Assim, para um estimador não tendencioso (E(θˆ)− θ), o
EMQ é simplesmente V (θˆ).
O EMQ é um critério importante para escolha de
estimadores.
Seja θˆ1 e θˆ2 dois estimadores. O estimador com menor
EMQ é preferível.
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Exemplo:
Seja Xi ∼ N(µ, σ2)
Suponha que uma amostra de tamanho 2 seja feita.
Defina
θˆ1 =
X1 + X2
2
e
θˆ2 =
X1 + 3X2
4
Qual é o melhor estimador?
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Introdução
Distribuições Amostrais e Teorema do Limite Central
Conceitos Gerais de Estimação pontual
Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Exemplo: (solução)
Ambos estimadores são não tendenciosos
E(θˆ1) = E(
X1 + X2
2 ) =
µ+ µ
2 = µ .
e
E(θˆ2) = E(
X1 + 3X2
4 ) =
µ+ 3µ
4 = µ .
Logo, o EMQ(θˆ1) = V (θˆ1) e EMQ(θˆ2) = V (θˆ2).
Assim o melhor estimador é aquele com a menor
variância.
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Introdução
Distribuições Amostrais e Teorema do Limite Central
Conceitos Gerais de Estimação pontual
Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
A variância de θˆ1 é
V (θˆ1) = V (
X1 + X2
2 ) =
σ2 + σ2
4 =
σ2
2 .
A variância de θˆ2 é
V (θˆ2) = V (
X1 + 3X2
4 ) =
σ2 + 9σ2
16 =
5σ2
8 .
Como EMQ(θˆ1) < EMQ(θˆ2), o estimador θˆ1 é preferível.
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Introdução
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Conceitos Gerais de Estimação pontual
Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Método dos Momentos
A idéia desse método dos momentos é igualar os
momentos populacionais (definidos através da amostra)
com os momentos da distribuição.
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Conceitos Gerais de Estimação pontual
Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Momentos
Seja X1, . . . ,Xn uma amostra de uma população com
distribuição de probabilidade f (x). O k-ésimo momento da
distribuição é definido por
E(X k), k = 1,2, . . . .
O momento k-ésimo populacional correspondente é dado por
1
n
n∑
1
X ki , k = 1,2, . . . .
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Conceitos Gerais de Estimação pontual
Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Assim, o método dos momentos é definido igualando-se o
momento populacional com o momento da distribuição.
Para ilustrar, o primeiro momento da distribuição é
E(X 1) = E(X ) = µ e o primeiro momento populacional é
1
n
∑n
1 X 1i = X¯ .
Portanto, o estimador de momentos para a média é µˆ = X¯ .
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Conceitos Gerais de Estimação pontual
Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Momentos
Seja X1, . . . ,Xn uma amostra de uma população com
distribuição de probabilidade f (x) com m parâmetros
desconhecidos (θ1, . . . , θm). Os estimadores de momento
θˆ1, . . . , θˆm são encontrados igualando os m primeiros
momentos da população aos m primeiros momentos da
amostra e resolvendos as equações resultantes para os
parâmetros desconhecidos.
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Introdução
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Conceitos Gerais de Estimação pontual
Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Exemplo:
Suponha X ∼ Exp(λ)
Seja X1, . . . ,Xn uma amostra coletada dessa distribuição
Qual é o estimador de momentos de λ?
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Conceitos Gerais de Estimação pontual
Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Exemplo: (solução)
Como a distribuição só possui um parâmetro
desconhecido (λ), devemos igualar o primeiro momento de
f (x), E(X ), ao primeiro momento populacional X¯ .
Dessa forma
E(X ) = 1
λ
= X¯ → λˆ = 1
X¯
.
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Conceitos Gerais de Estimação pontual
Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Exemplo:
Suponha X ∼ N(µ, σ2)
Seja X1, . . . ,Xn uma amostra coletada dessa distribuição
Qual é o estimador de momentos de θ1 = µ e de θ2 = σ2?
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Conceitos Gerais de Estimação pontual
Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Exemplo: (solução)
Como a distribuição possui dois parâmetros
desconhecidos (µ e σ2), devemos igualar os dois primeiros
momentos de f (x), E(X ) e E(X 2), aos dois primeiro
momentos populacionais, X¯ e 1n
∑n
1 X 2i .
Dessa forma
E(X ) = µ = X¯ → µˆ = X¯ .
e
E(X 2) = µ2 + σ2 = 1
n
n∑
1
X 2i
→ σˆ2 =
∑n
1 X 2i − n(X¯ )2
n
=
∑n
1(Xi − X¯)2
n
.
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Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Exemplo:
Suponha X ∼ Gamma(r , λ)
Seja X1, . . . ,Xn uma amostra coletada dessa distribuição
Qual é o estimador de momentos de θ1 = r e de θ2 = λ?
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Conceitos Gerais de Estimação pontual
Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Exemplo: (solução)
Como a distribuição possui dois parâmetros
desconhecidos (r e λ), devemos igualar os dois primeiros
momentos de f (x), E(X ) e E(X 2), aos dois primeiro
momentos populacionais, X¯ e 1n
∑n
1 X 2i .
Lembre-se que E(X ) = rλ e E(X 2) =
r(r+1)
λ
Dessa forma resolvendo os sistemas temos
rˆ =
X¯ 2
(1/n)
∑n
1 X 2i − X¯ 2
e
λˆ =
X¯
(1/n)
∑n
1 X 2i − X¯ 2
.
(fazer no quadro)
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Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Método de Máxima Verossimilhança
A idéia desse método é, baseando-se nos dados, estimar
o(s) parâmetro(s) de tal forma que a probabilidade de
ocorrência desses dados observados baseados
naquele(s) parâmetro(s) estimado(s) seja máxima.
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Introdução
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Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Função de Verossimilhança
Seja x1, . . . , xn uma amostra observada de uma população com
distribuição de probabilidade f (x) com parâmetro θ. A função
de verossimilhaça é definida por
L(θ) = f (x1; θ)× . . .× f (xn; θ) =
n∏
i
f (xi ; θ)
Note que a função L(θ) depende somente do(s) parâmetro(s) θ.
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Conceitos Gerais de Estimação pontual
Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Assim, o estimador de máximo verossimilhança de θ é
o valor θˆ que maxima a função L(θ).
θˆ = argmaxθL(θ)
Dessa forma para encontrar θˆ devemos maximizar L(θ).
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Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Exemplo:
Suponha X ∼ N(θ, σ2)
Seja X1, . . . ,Xn uma amostra coletada dessa distribuição
Qual é o estimador de máxima verossimilhança de θ?
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Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Exemplo: (solução)
Como os dados vêm de uma distribuição normal, temos
que
L(θ) =
n∏
1
f (xi) =
n∏
1
1√
2piσ2
e−(xi−θ)
2/2σ2
=
1
(2piσ2)2
e−1/2σ
2 Pn
1(xi−θ)
2
Assim, para maximizar uma função devemos deriva-la e
igualar a 0. Antes iremos calcular o log(L(θ)) = l(θ),
l(θ) = −(n/2) log(2piσ2)− (2σ2)−1
n∑
1
(xi − θ)2
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Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Derivando l(θ) temos
dl(θ)
dθ = −(2σ
2)−1
n∑
1
(xi − θ)2 ≡ 0.
Resolvendo temos
θˆ = 1/n
n∑
i
Xi = X¯
(fazer no quadro)
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Métodos de Estimação Pontual
Exemplo:
Suponha X ∼ Exp(θ)
Seja X1, . . . ,Xn uma amostra coletada dessa distribuição
Qual é o estimador de máxima verossimilhança de θ?
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Introdução
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Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Exemplo: (solução)
Como os dados vêm de uma distribuição exponencial,
temos que
L(θ) =
n∏
1
f (xi ) =
n∏
1
θe−θxi = θne−θ
Pn
i xi
Assim, para maximizar uma função devemos deriva-la e
igualar a 0. Antes iremos calcular o log(L(θ)) = l(θ),
l(θ) = n log(θ)− θ
n∑
i
xi
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Introdução
Distribuições Amostrais e Teorema do Limite Central
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Erro Médio Quadrático de um Estimador
Métodos de Estimação Pontual
Derivando l(θ) temos
dl(θ)
dθ =
n
θ
−
n∑
i
xi ≡ 0.
Resolvendo temos
θˆ = n/
n∑
i
Xi = 1/X¯
(fazer no quadro)
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Estatística e Probabilidades/3ª Prova/AULAS/Capitulo_8_1.pdf
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Intervalos Estatísticos para uma única
Amostra - parte I
Intervalo de confiança para média
Marcos Oliveira Prates
2012/02
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
1 Introdução
2 Intervalo para média com variância conhecida
3 Intervalo de confiança para µ com amostra grande
4 Intervalo para média com variância desconhecida
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Objetivos
Ao final deste capítulo você deve ser capaz de:
Construir intervalos de confiança para média de uma
população.
Esses intervalos serão construídos usando a distribuição
normal e a distribuição t-student.
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Introdução
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Um parâmetro é estimado a partir de dados amostrais.
Exemplo: queremos saber a viscosidade média de um
produto.
Uma estimativa seria
µˆ = x¯ = 1000 .
Essa estimativa não diz o quão próximo µˆ está do
verdadeiro valor µ.
É provável que a média esteja entre 900 e 1000?
E entre 990 e 1010?
Precisamos de limites que representam valores plausíveis
de µ.
Esses limites são um intervalo de confiança.
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Uma estimativa de intervalo para um parâmetro:
intervalo de confiança.
Não podemos ter certeza de que o intervalo contém o
valor verdadeiro do parâmetro.
Pois utilizamos apenas a informação de uma amostra.
Porém podemos ter alta confiança de que o intervalo
contém o valor verdadeiro.
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Outros tipos de intervalo:
intervalo de tolerância;
intervalo de previsão.
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Intervalo de tolerância
Exemplo: considere que os dados de viscosidade de um
produto têm distribuição normal.
Podemos encontrar limites que delimitam 95% dos valores
de viscosidade.
Encontrar limites tais que 95% das observações estão
dentro deles.
Para o vaso da normal esse intervalo é
µ− 1,96σ, µ+ 1,96σ
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Intervalo de previsão
Fornece limites para observações futuras.
Exemplo: queremos encontrar os limites da viscosidade
para uma nova medida.
Podemos encontrar limites para o preço de um produto no
próximo mês.
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Intervalo para média com variância conhecida
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Vamos considerar temos uma população normal.
Supomos que a variância σ2 é conhecida.
Essa não é uma suposição razoável.
Geralmente não sabemos o verdadeiro valor da variância.
Vamos considerar primeiro esse caso mais simples.
Em seguida trataremos casos mais gerais.
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Suponha que
X1,X2, . . . ,Xn
é uma amostra de uma distribuição normal.
A média µ é desconhecida e a variância σ2 é conhecida.
Sabemos que
X¯ ∼ N(µ, σ2/n) .
Padronizamos o X¯
Z = X¯ − µ
σ/
√
n
e
Z ∼ N(0,1) .
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Uma estimativa do intervalo de confiança para µ é
l ≤ µ ≤ u .
Onde os extremos l e u são calculados a partir da amostra.
Diferentes amostras podem produzir valores distintos de l
e u.
Eles são valores observados de variáveis aleatórias L e U.
Queremos determinar os valores de L e U tal que
P(L ≤ µ ≤ U) = 1− α para 0 ≤ α ≤ 1 .
Observação:
o parâmetro µ está fixo;
as variáveis aleatórias são L e U.
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Existe uma probabilidade 1− α de selecionarmos uma
amostra tal que:
o IC conterá o verdadeiro valor do parâmetro.
Depois de observado o valor da amostra
X1 = x1,X2 = x2, . . . ,Xn = xn
calculamos l e u e o intervalo resultante é
l ≤ µ ≤ u .
Os valores l e u são denominados:
l é o limite inferior do intervalo;
u é o limite superior do intervalo.
O valor 1− α é o coeficiente de confiança do intervalo.
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Como Z tem distribuição normal padrão
P
(
−z1−α2 ≤
X¯ − µ
σ/
√
n
≤ z1−α2
)
= 1− α .
onde z1−α2 é obtido a partir da tabela do normal padrão de
modo que
P(−z1−α2 ≤ Z ≤ z1−α2 ) = 1− α .
Podemo isolar o µ e ficamos com
P
(
X¯ − z1−α2
σ√
n
≤ µ ≤ X¯ + z1−α2
σ√
n
)
= 1− α .
Então
L = X¯ − z1−α2
σ√
n
U = X¯ + z1−α2
σ√
n
.
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Intervalo para média com variância conhecida
Seja x¯ a média observada de uma amostra aleatória.
Suponha que a amostra tem tamanho n.
Ela é proveniente de uma população normal com variância
conhecida σ2.
Um intervalo de 100(1− α)% de confiança para µ é
x¯ − z1−α2
σ√
n
≤ µ ≤ x¯ + z1−α2
σ√
n
onde z1−α2 é tal que
P(Z ≤ z1−α2 ) = 1−
α
2 .
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Exemplo:
São feitas medidas de energia de impacto em 10 corpos
de prova.
Os valores observados são
64,1; 64,7; 64,5; 64,6; 64,5; 64,3; 64,6;
64,8; 64,2; 64,3 .
Suponha que a energia de impacto é normalmente
distribuída com variância 1J.
Querermos encontrar o IC de 95% de confiança para µ.
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para
µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Exemplo: (solução)
Temos que
z1−α2 = z0,975 = 1,96 n = 10 σ = 1 x¯ = 64,46 .
O intervalo com 95% de confiança é
x¯ − z1−α2
σ√
n
≤ µ ≤ x¯ + z1−α2
σ√
n
64,46− 1,96 1√
10
≤ µ ≤ 64,46 + 1,96 1√
10
63,84 ≤ µ ≤ 65,08 .
Uma faixa de valores altamente plausíveis para µ é
[63,84; 65,08]J.
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Interpretação do intervalo de confiança
Considere um intervalo com confiança 100(1− α)%.
Se repetissems o experimento um número infinito de
vezes.
Se para cada uma desses experimentos calculássemos o
intervalo dessa forma.
100(1− α)% deles iriam conter o verdadeiro valor de µ.
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Confiança vs Precisão
Se quisermos uma confiança de 99% ao invés de 95%.
Devemos aumentar o comprimento do intervalo.
O comprimento com 95% é
2(1,96σ/
√
n)
enquanto com 99% é
2(2,58σ/
√
n) .
O comprimento do intervalo mede a precisão da
estimativa.
Se quisermos ter muita confiança teremos um intervalo
menos preciso.
A precisão é inversamente relacionada com o nível de
confiança.
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Escolha do tamanho de amostra:
Quando estimamos µ usando x¯ comentemos um erro
|x¯ − µ| ≤ z1−α2
σ√
n
(veja a figura)
Fixado um nível de confiança 100(1− α)%.
Podemos escolher um tamanho de amostra n dependendo
do erro máximo (margem de erro) que queremos cometer
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Escolhemos n tal que o erro máximo cometido é
E = z1−α2
σ√
n
com 100(1− α)% de confiança.
Isolando o n temos que
n =
(
z1−α2 σ
E
)2
.
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Exemplo:
Considere o exemplo das energias medidas em corpos de
prova.
Queremos construir um intervalo com 95% de confiança
para energia média µ.
O intervalo deve ter comprimento máximo de 1J.
Então o erro de estimação máximo é 1/2J.
Temos então que
E = 0,5 σ = 1 z1−α2 = 1,96 .
O tamanho de amostra requerido é
n =
(
z1−α2 σ
E
)2
⇒ n =
(
(1,96)(1)
0,5
)2
= 15,37 .
O tamanho de amostra mínimo é 16.
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Limites unilaterias de confiança
Podemos fazer
l = −∞ ou u =∞ .
Seja x¯ uma estimativa para µ.
O limite superior com 100(1− α)% de confiança é
µ ≤ x¯ + z1−ασ/
√
n.
O limite inferior com 100(1− α)% de confiança é
x¯ − z1−ασ/
√
n ≤ µ.
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Suponha que temos uma amostra de tamanho grande
(pelo menos 40).
Não vamos mais supor que as variáveis tem distribuição
normal e nem que a variância é conhecida.
Temos uma amostra
X1, . . . ,Xn
com uma média µ e variãncia σ2 desconhecidas.
Mesmo não sabendo a distribuição da população
o Teorema Central do Limite garante a distribuição de X¯ se
aproxima de uma normal padrão.
O valor de σ é estimado por
S =
√∑
i(Xi − X¯ )2
n − 1
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Intervalo para média com amostra grande
Queremos estimar µ.
A estimativa pontual é x¯ .
Não sabemos o valor de σ2.
Se n é grande
Z = X¯ − µS/√n
tem uma distribuição que se aproxima da normal padrão.
O intervalo com 100(1− α)% de confiança é dado por
x¯ − z1−α2
s√
n
≤ µ ≤ x¯ + z1−α2
s√
n
.
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Exemplo:
Uma amostra de 53 peixes é selecionada de um lago da
Flórida.
Mediu-se a concentração de mercúrio no tecido muscular.
As figuras abaixo mostram o histograma e o gráfico de
probabilidade para essa amostra.
Ambos mostram que a distribuição não é normal.
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Exemplo: (continuação)
Queremos um intervalo de confiança para µ com 95% de
confiança.
n > 40 então não precisamos supor normalidade.
Os dados são
n = 53 x¯ = 0,5250 s = 0,3486 z0,975 = 1,96 .
O intervalo para µ é
x¯ − z0,975
s√
n
≤ µ ≤ x¯ + z0,975
s√
n
x¯ − 1,960,3486√
53
≤ µ ≤ x¯ + 1,960,3486√
53
0,4311 ≤ µ ≤ 0,6189 .
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Intervalo para média com variância desconhecida
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte I
Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Vamos agora considerar casos em que:
a amostra é pequena;
a população é normalmente distribuída;
a variância é desconhecida.
Muitas populações encontradas na prática são bem
aproximadas pela normal.
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Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Distribuição t
Seja X1,X2, . . . ,Xn uma amostra aleatória de X .
X tem distribuição normal com média µ e variância σ2.
µ e σ2 são desconhecidos.
Seja S o desvio padrão amostral
S =
√∑
i(Xi − X¯ )2
n − 1 .
A variável aleatória
T = X¯ − µS/√n
tem distribuição t-student com n − 1 graus de liberdade.
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Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
O gráfico abaixo mostra alguns exemplos de distribuição t .
São parecidas com a normal.
A distribuição t tem mais probabilidade na calda.
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Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança
para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
A Tabela V do apêndice mostra pontos percentuais da
distribuição t .
O valor tα;k é o ponto da distribuição t com k graus de
liberdade que deixa uma área α acima dele.
Exemplo:
P(T10 > t0,05;10) = P(T10 > 1,812) = 0,05 .
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Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
A distribuição t é simétrica em torno do zero.
Portanto
t1−α,n = −tα,n .
Exemplo:
t0,95;10 = −t0,05;10 = −1,812 .
Observação:
quando os graus de liberdade crescem a distribuição t se
aproxima da Normal.
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Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Para encontrarmos o IC com 100(1− α)% vamos proceder
como antes.
Sabemos que
T = X¯ − µS/√n
tem uma distribuição t com n − 1 graus de liberdade.
Encontramos tα/2;n−1 tal que
P(−tα/2;n−1 ≤ T ≤ tα/2;n−1) = 1− α
ou seja
P
(
−tα/2;n−1 ≤
X¯ − µ
S/
√
n
≤ tα/2;n−1
)
= 1− α
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Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Isolando o µ temos que
P
(
X¯ − tα/2;n−1S/
√
n ≤ µ ≤ X¯ + tα/2;n−1S/
√
n
)
= 1− α .
O intervalo de confiança para µ fica
x¯ − tα/2;n−1s/
√
n ≤ µ ≤ x¯ + tα/2;n−1s/
√
n .
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Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Intervalo para média com variância desconhecida
Considere uma amostra
X1, . . . ,Xn
vinda de uma população normal com média µ e variância σ2.
Os valores µ e σ2 são desconhecidos.
Sejam x¯ e s a média e desvio padrão observados para essa
amostra.
Um intervalo com 100(1 − α)% de confiança para µ é
x¯ − tα/2;n−1s/
√
n ≤ µ ≤ x¯ + tα/2;n−1s/
√
n
onde tα/2;n−1 é o ponto da distribuição t com n − 1 graus de
liberdade tal que
P(Tn−1 ≤ tα/2) = 1− α/2 .
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Introdução
Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Exemplo:
22 corpos de prova são analisados.
São registradas as cargas no ponto de falha.
O gráfico de probabilidade abaixo mostra que a
distribuição é próxima da normal.
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Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Exemplo: (continuação)
Os dados são
x¯ = 13,71 s = 3,55 n = 22 .
Queremos um intervalo com 95% de confiança.
Os graus de liberdade são n − 1 = 21.
Pela tabela
t0,025;21 = 2,080 .
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Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
Exemplo: (continuação)
O intervalo resultante é
x¯ − tα/2;n−1s/
√
n ≤ µ ≤ x¯ + tα/2;n−1s/
√
n
13,71−2,080(3,55)/
√
22 ≤ µ ≤ 13,71+2,080(3,55)/
√
22
12,14 ≤ µ ≤ 15,28 .
O intervalo é razoavelmente amplo por causa da
variabilidade dos dados.
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Intervalo para média com variância conhecida
Intervalo de confiança para µ com amostra grande
Intervalo para média com variância desconhecida
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		Intervalo de confiança para com amostra grande
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Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Intervalos Estatísticos para uma única
Amostra - parte II
Intervalo de confiança para proporção
Marcos Oliveira Prates
2012/02
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte II
Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
1 Introdução
2 Construção do Intervalo
3 Determinação do Tamanho de Amostra
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte II
Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Objetivos
Ao final deste capítulo você deve ser capaz de:
Construir intervalos de confiança para proporção de uma
população.
Esses intervalos serão construídos usando a distribuição
normal e o Teorema Central do Limite.
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Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Muitas vezes queremos estimar a proporção de uma
determinada população.
Exemplo: proporção de consumidores que preferem
determinada marca de refrigerante.
Uma amostra de tamanho n é retirada de uma população
grande.
X (X ≤ n) dessas observações pertencem a uma
determinada classe.
Então
Pˆ = X
n
é um estimador da proporção p que pertence a essa
classe.
Observe que X ∼ Bin(n,p) e queremos estimar p.
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Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Seja Xi uma variável binária
Xi =
{
1 se a i-ésima observação pertence à classe de interesse
0 caso contrário.
Temos que
X =
n∑
i=1
Xi .
Então X é uma média de variáveis i.i.d. com distribuição
Bernoulli(p).
Pelo Teorema Central do Limite
Z =
∑
i Xi − E(
∑
i Xi)√
Var(
∑
i Xi)
=
∑
i Xi − nE(X )√
nVar(Xi)
∼ N(0,1)
ou seja
Z = X − np√
np(1− p)
∼ N(0,1) .
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Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Aproximação Normal para uma Proporção Binomial
Se n for grande, a distribuição de
Z = X − np√
np(1− p)
=
Pˆ − p√
p(1−p)
n
será aproximadamente uma normal padrão.
Observação: Essa aproximação é boa desde que np > 5 e
n(1− p) > 5.
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Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Para construírmos um intervalo para p com 100(1− α)%
de confiança precisamos que
P(−z1−α2 ≤ Z ≤ z1−α2 ) = 1− α
ou seja
P

−z1−α2 ≤ Pˆ − p√p(1−p)
n
≤ z1−α2

 = 1− α .
Isolando p ficamos com
P
(
Pˆ − z1−α2
√
p(1− p)
n
≤ p ≤ Pˆ + z1−α2
√
p(1− p)
n
)
= 1−α.
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Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Porém não sabemos o valor de p para construir o
intervalo.
Então precisamos estimar esse valor por Pˆ.
O intervalo fica
P

Pˆ − z1−α2
√
Pˆ(1− Pˆ)
n
≤ p ≤ Pˆ + z1−α2
√
Pˆ(1− Pˆ)
n

 = 1−α.
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Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Intervalo de Confiança para uma Proporção Binomial
Considere uma amostra aleatória de tamanho n.
Uma proporção pˆ dessa amostra pertence a uma classe
de interesse.
Queremos construir um intervalo aproximado para a
proporção p da população que pertence à classe.
O intervalo com 100(1− α)% de confiança é dado por
Pˆ − z1−α2
√
Pˆ(1− Pˆ)
n
≤ p ≤ Pˆ + z1−α2
√
Pˆ(1− Pˆ)
n
onde z1−α2 é tal que
P(Z ≤ z1−α2 ) = 1−
α
2 .
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Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Observações:
Esse procedimento depende da adequação da
aproximação da binomial pela normal.
Quando a aproximação não é apropriada outros métodos
devem ser usados.
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Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Exemplo:
Uma amostra de 85 mancais é selecionada.
10 deles tem acabamento de superfície mais rugoso do
que as especificações permitidas.
Uma estimativa pontual para proporção de mancais que
excedem a rugosidade especificada é
Pˆ = x
n
=
10
85 = 0,12 .
Um intervalo com 95% de confiança para p é dado por
Pˆ − z0,975
√
Pˆ(1− Pˆ)
n
≤ p ≤ Pˆ + z0,975
√
Pˆ(1− Pˆ)
n
.
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Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Exemplo: (continuação)
Temos que α = 0,05 e
P(Z ≤ 1,96) = 0,975 ⇒ z0,975 = 1,96 .
Os dados são
pˆ = 0,12 z0,975 = 1,96 n = 85
logo o intervalo fica
0, 12−1, 96
√
(0, 12)(1 − 0, 12)
85 ≤ p ≤ 0, 12+1, 96
√
(0, 12)(1 − 0, 12)
85
ou seja
0,05 ≤ p ≤ 0,19 .
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Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Determinação do Tamanho de Amostra
Pˆ é estimador de p, logo o erro de estimação é
E = |p − Pˆ| .
Para um intervalor com 100(1− α)% de confiança o erro é
no máximo é
z1−α2
√
p(1− p)
n
.
No exemplo anterior o erro máximo era
1,96
√
(0,12)(1− 0,12)
n
= 0,7 .
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Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Podemos escolher n:
fixando o nível de confiança 100(1− α)%;
e o erro máximo permitido E .
Isolando n na expressão
E = z1−α2
√
p(1− p)
n
.
temos que
n =
(
z1−α2
E
)2
p(1− p) .
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Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Tamanho da amostra em uma Distribuição Binomial
Fixado um nível de confiança 100(1− α)% e um erro E
temos que
n =
(
z1−α2
E
)2
p(1− p) .
Uma estimativa de p é necessária para calcular o valor de
n.
Existem algumas possibilidades.
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte II
Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Como estimar p para calcular n?
Podemos usar uma estimativa pˆ de uma amostra anterior.
Uma amostra preliminar (amostra piloto) pode ser retirada
e o valor pˆ é calculado.
Podemo encontrar p tal que p(1− p) é máximo:
esse valor é p = 0, 5;
então p(1− p) = 0, 25 e
n =
(
z1−α2
E
)2
(0, 25) .
Marcos Oliveira Prates Intervalos Estatísticos para uma única Amostra - parte II
Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Exemplo:
Considere o exemplo dos mancais.
Queremos construir um intervalo com 95% de confiança.
O erro máximo cometido é 0,05.
Se usarmos pˆ = 0,12 como estimativa de p temos que
n =
(z0,975
E
)2
Pˆ(1− Pˆ) =
(
1,96
0,05
)2
(0,12)(0,88) ≈ 163.
Se não quisermos usar pˆ como estimativa de p temos que
n =
(z0,975
E
)2
(0,25) =
(
1,96
0,05
)2
(0,25) ≈ 385 .
Se tivermos uma informação sobre p (de uma amostra
passada ou de uma amsotra piloto)
podemos usar uma amostra de tamanho menor.
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Introdução
Construção do Intervalo
Determinação do Tamanho de Amostra
Limites unilaterais para proporção binomial
Os limites aproximados inferior e superior de confiança
100(1− α)% são
Pˆ − z1−α
√
Pˆ(1− Pˆ)
n
≤ p
p ≤ Pˆ + z1−α
√
Pˆ(1− Pˆ)
n
.
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		Construção do Intervalo
		Determinação do Tamanho de Amostra
Estatística e Probabilidades/3ª Prova/AULAS/Capitulo_9_1.pdf
Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Testes de Hipótese para uma única Amostra -
parte I
Marcos Oliveira Prates
2012/02
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte I
Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
1 Introdução
2 Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
3 Tipos de erro e Região crítica
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Objetivos
Ao final deste capítulo você deve ser capaz de:
Estruturar problemas de engenharia como testes de
hipótese.
Entender os conceitos de:
hipótese nula;
hipótese alternativa;
significância;
p-valor.
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Podemos estar interessados em aceitar ou rejeitar uma
afirmação a cerca de um parâmetro.
A afirmação é denominada uma hipótese.
A tomada de decisão é denominado um teste de
hipótese.
Possui uma conexão com intervalo de confiança.
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Pode-se querer comparar a média da população com um
valor especificado.
Isso é chamado um estudo comparativo.
Trataremos aqui apenas do caso com uma única
população.
Queremos testar afirmações sobre parâmetros dessa
população.
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Hipótese Estatística
Afirmação sobre o parâmetro de uma ou mais populações.
Usamos distribuições para representar uma população.
Uma hipótese é uma afirmação sobre essa distribuição de
probabilidade.
Geralmente envolve um ou mais parâmetros dessa
distribuição.
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Exemplo:
Estamos analisando a taxa de queima de um propelente
sólido.
A taxa de queima é uma variável aleatória ⇒ tem
distribuição de probabilidade.
Estamos interessados apenas na média dessa taxa.
Queremos decidir se a taxa média é ou não 50 cm por
segundo.
Podemos escrever como
H0 : µ = 50 cm por segundo
H1 : µ 6= 50 cm por segundo
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
A afirmação
H0 : µ = 50 cm por segundo
é chamada hipótese nula.
(Sempre abrange a igualdade.)
A afirmação
H1 : µ 6= 50 cm por segundo
é chamada hipótese alternativa.
(Oposto da hipótese nula e representa a conclusão que
será apoiada caso a H0 seja rejeitada)
Esse é um tipo de hipótese bilateral.
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Em alguns casos podemos formular hipóteses unilaterais:
H0 : µ = 50 cm por segundo
H1 : µ < 50 cm por segundo
ou
H0 : µ = 50 cm por segundo
H1 : µ > 50 cm por segundo
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Observações:
Hipóteses são afirmações sobre a população.
Não são afirmações sobre a amostra.
O valor do parâmetro especificado em H0 (ex: 50) pode
ser especificado de três formas:
de experimentos passados ⇒ verificar se houve alteração;
a partir de uma teoria ou modelo ⇒ verificar a teoria ou
modelo;
considerações externar ⇒ verificar se o produto obedece
algumas especificações.
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Usamos a informação amostral para testar a hipótese.
Se a informação da amostra é consistente com a hipótese
⇒ não rejeitamos.
Se a informação é inconsistente (pouco provável) ⇒
rejeitamos.
Só poderíamos saber se a hipótese é falsa ou não
tivéssemos acesso a toda população.
Temos apenas a probabilidade de tomar uma conclusão
errada.
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte I
Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Considere o exemplo da taxa de queima do propelente.
Queremos testar
H0 : µ = 50 cm por segundo
H1 : µ 6= 50 cm por segundo
Coletamos uma amostra de tamanho n = 10.
A taxa média observada x¯ é uma estimativa para µ.
Se x¯ ≈ 50 ⇒ evidência de que µ = 50.
Se x¯ é muito diferente de 50 ⇒ evidência de que µ 6= 50.
Precisamos definir para quais valores de x¯ não é rezoável
que µ = 50 ⇒ região crítica.
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Uma possibilidade:
se 48,5 ≤ x¯ ≤ 51,5 ⇒ não rejeitamos H0
se x¯ < 48,5 ou x¯ > 51,5 ⇒ rejeitamos H0
Veremos mais a frente como determinamos a região
crítica.
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte I
Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Podemos tirar conclusões erradas.
Dizer que µ 6= 50 quando µ = 50:
mesmo com µ = 50, por azar, econtrarmos uma amostra
tal que
x¯ < 48, 5 ou x¯ > 51, 5 .
(Erro tipo I)
Dizer que µ = 50 quando µ 6= 50:
mesmo com µ 6= 50, por azar, econtrarmos uma amostra
tal que
48, 5 ≤ x¯ ≤ 51, 5 .
(Erro tipo II)
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Erro tipo I
Rejeitar H0 quando ela é verdadeira. Denotado por α.
Erro tipo II
Deixar de rejeitar H0 quando ela é falsa. Denotado por β.
Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa
Não rejeita H0 nenhum erro erro tipo II
Rejeita H0 erro tipo I nenhum erro
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
O erro tipo I é também chamado nível se significância ou
tamanho do teste.
No exemplo da taxa suponha que σ = 2,5
α = P(x¯ < 48,5 ou x¯ > 51,5|µ = 50)
= P(x¯ < 48,5|µ = 50) + P(x¯ > 51,5|µ = 50)
= P
(
x¯ − 50
2,5/
√
10
<
48,5− 50
2,5/
√
10
)
+P
(
x¯ − 50
2,5/
√
10
>
51,5− 50
2,5/
√
10
)
= P(Z < −1,90) + P(Z > 1,90) = 0,0574
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte I
Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
5,74% das amostras levariam à rejeição de H0 mesmo
com µ = 50.
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Podemos dimunuir α aumentando a região de aceitação.
Rejeitamos menos vezes.
Tem menos probabilidade menor de errar ao rejeitar.
Se rejeitamos H0 quando
x¯ < 48 ou x¯ > 52
temos que
α = 0,0164 .
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Vamos analisar agora o erro do tipo II (β).
Precisamos ter uma hipótese alternativa específica.
Um valor particular de µ, exemplo:
µ = 48 ou µ = 52 .
Como o teste se funciona se queremos rejeitar H0 para um
valor de µ = 52 ou µ = 48?
Pela simetria da normal os dois casos levam à mesma
probabilidade de erro.
β = P (48,5 ≤ x¯ ≤ 51,5|µ = 52)
= P
(
48,5− 52
2,5
√
10
≤ x¯ − 52
2,5
√
10
≤ 51,5− 52
2,5
√
10
)
P(−4,43 ≤ Z ≤ −0,63) = 0,263 .
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte I
Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Se estivéssemos testando µ = 50 e µ 6= 50.
O valor verdadeiro de µ = 52.
A probabilidade de erramos ao rejeitar H0 é 0,2643.
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Se o valor verdadeiro fica mais próximo do valor de H0 ⇒
a probabilidade de erro aumenta.
É mais difícil diferenciar médias muito próximas.
Se o valor real fosse µ = 50,5 temos
β = 0,8923 .
Probabilidade de erro bem maior.
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte I
Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
O erro também depende do tamanho da amostra.
Se aumentamos o tamanho da amostra ⇒ mais
informação.
Teremos menor probabilidade de cometer erros.
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte I
Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
No exemplo anterior, se n = 16 e não 10.
Temos que
β = P (48,5 ≤ x¯ ≤ 51,5|µ = 52)
= P
(
48,5− 52
2,5/
√
16
≤ x¯ − 52
2,5/
√
16
≤ 51,5− 52
2,5/
√
16
)
P(−5,60 ≤ Z ≤ −0,80) = 0,2119 .
O valor anterior era β = 0,2643.
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Resumindo
Selecionando valores críticos apropriados ⇒ podemos
diminuir a região crítica e probabilidade de erro tipo I.
Os erros estão amarrados ⇒ se um aumenta o outro
diminui.
Aumentando tamanho da amostra ⇒ diminuímos as
probabilidade de erro.
Se H0 é falsa e se o verdadeiro valor se aproxima do valor
em H0 ⇒ β aumenta.
Se H0 é falsa e se o verdadeiro valor se afasta do valor em
H0 ⇒ β diminui.
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
O pesquisador controla o α quando seleciona os valores
críticos.
Rejeitar H0 é uma conclusão forte.
O β depende do verdadeiro valor do parâmetro e do
tamanho da amostra.
Aceitar H0 é uma conclusão fraca.
Preferimos dizer “deixar de rejeitar H0” do que “aceitar H0”.
Falhar em rejeitar H0:
não encontramos evidências suficiente para rejeitar H0;
não significa que haja alta probabilidade de que H0 seja
verdadeira.
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Poder de um teste
Probabilidade de rejeitar H0 quando H0 é falsa.
É a probabilidade de rejeitar corretamente uma hipótese
nula.
É calculada como
1− β = 1− P( deixar de rejeitar H0|H0 é falsa )
Comparamos testes estatísticos comparando seu poder.
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Considere o exemplo da taxa de queima.
Estávamos testando
H0 : µ = 50 cm por segundo
H1 : µ 6= 50 cm por segundo
Suponha que o valor verdadeiro é µ = 52.
Se n = 10 vimos que
β = 0,2643.
O poder é
1− β = 1− 0,2643 = 0,7357
quando µ = 52.
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
O poder é uma medida de sensibilidade do teste.
Qual sua habilidade de detectar diferenças.
Qual a sensibilidade do teste de detectar
uma diferença
entre µ = 50 e µ = 52.
O poder é 0,7357.
O teste detecta essa diferença em 73,57% das vezes.
Se o poder é muito baixo, podemos:
aumentar o α;
aumentar o n.
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Hipótese unilaterais e bilaterais
A hipótese alternativa pode ser unilateral ou bilateral.
Depende da conclusão a ser retirada se rejeitamos H0.
Se queremos fazer afirmações como:
maior que, inferior a, superior a
o teste é unilateral.
Se não temos nenhuma direção (apenas diferença):
o teste é bilateral.
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Como podemos descrever um teste?
Dizendo se rejeitamos ou não H0 e qual o nível de
significância α.
Dizemos que H0 : µ = 50 foi rejeitada com 0,05 de
significância.
Não dá informação sobre o valor calculado da estatística
de teste.
Estabelecemos o nível de significância antes de
observarmos a amostra.
Para evitar essas dificuldades podemos usar o valor P ou
nível descritivo do teste.
É a probabilidade de encontramos um valor tão ou mais
extremo que a estatística de teste.
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Valor P
Menor nível de significância que conduz à rejeição de H0, com
os dados fornecidos.
Chamamos a estatística de teste de significante quando
rejeitamos H0.
O valor P é o menor nível α em que a estatística é
significante.
Pode determinar quão significante os dados são.
Valor P pequeno⇒ muito provável que H0 é falsa.
Valor P grande ⇒ muito provável que H0 é verdadeira.
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Considere o exemplo da taxa de queima.
Suponha que n = 16 e σ = 2,5.
Queremos testar
µ = 50 vs µ 6= 50
Observamos x¯ = 51,3.
A figura mostra uma região crítica com valores simétricos
51,3 e 48,7.
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Qualquer valor menor para α diminui a região crítica.
E rejeitamos H0 quando x¯ = 51,3;
O valor P é calculado como
ValorP = 1− P(48,7 ≤ X¯ ≤ 51,3)
= 1− P
(
48,7− 50
2,5/
√
16
≤ x¯ − 50
2,5/
√
16
≤ 51,3− 50
2,5/
√
16
)
= 1− P(−2,08 ≤ Z ≤ 2.08) = 0,038.
H0 é rejeitada para qualquer α > 0,038.
Não seria rejeitada para α = 0,01.
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Testes de Hipótese vs Intervalo de Confiança
Estamos testando
H0 : θ = θ0 vs H1 : θ 6= θ0 .
Seja [l ,u] um intervalo com confiança 100(1−α)% para θ.
Se θ0 ∈ [l ,u] não rejeitamos H0.
Se θ0 /∈ [l ,u] rejeitamos H0.
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Exemplo:
Considere o exemplo do propelente.
Queremos testar
H0 : µ = 50 vs H1 : µ 6= 50 .
Vimos que com
x¯ = 51,3 σ = 2,5 n = 16
rejeitamos a hipótese nula com α = 0,05.
O intervalo de 95% de confiança pra µ fica
50,075 ≤ µ ≤ 52,525 .
Como 50 /∈ [50,075;52,525] a hipótese nula é rejeitada.
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Introdução
Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Tipos de erro e Região crítica
Procedimento geral para teste de hipótese
Identifique o parâmetro de interesse a partir do problema.
Especifique a hipótese nula H0.
Escolha um nível de significância α.
Determine uma estatística de teste.
Calcule o valor P e veja se é menor que α.
Ou determine a região crítica e veja se a estatística cai
nessa região.
Decida se deve rejeitar ou não H0 e conclua.
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		Introdução
		Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
		Tipos de erro e Região crítica
Estatística e Probabilidades/3ª Prova/AULAS/Capitulo_9_2.pdf
Testes de Hipótese para uma única Amostra -
parte II
Marcos Oliveira Prates
2012/02
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte II
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte II
Objetivos
Ao final deste capítulo você deve ser capaz de:
Testar hipóteses para média de uma população.
Serão usadas as distribuições z e t de student.
Testar hipótese para a proporção de uma população.
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Teste para média com variância conhecida
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte II
Suponha que temos uma amostra
X1, . . . ,Xn
de uma variável aleatória X .
X tem distribuição normal com média µ e variância σ2.
A variância σ2 é conhecida.
A média µ é desconhecida e deve ser estimada.
Queremos testar:
H0 : µ = µ0 vs H1 : µ 6= µ0
Esse é um teste bilateral.
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte II
Sabemos que
X¯ ∼ N(µ, σ2/n) .
Sob H0, a estatística de teste
Z0 =
X¯ − µ0
σ/
√
n
tem distribuição N(0,1)
Fixamos um nível de significância (erro do tipo I) α.
A decisão é
se z0 > z1−α2 ou z0 < −z1−α2 ⇒ rejeitamos H0;
se −z1−α2 < z0 < z1−α2 ⇒ não rejeitamos H0.
Onde
P(Z ≤ z1−α2 ) = 1−
α
2 .
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte II
A região crítica é dada por
z0 > z1−α2 ou z0 < −z1−α2 .
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte II
Observação:
Podemos isolar o x¯ na região crítica.
Assim o teste fica em termos de x¯ .
Rejeitamos H0 se
x¯ > µ0 − z1−α2 σ/
√
n ou x¯ < µ0 + z1−α2 σ/
√
n .
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte II
Exemplo:
Considere o exemplo do propelente.
Estamos analisando a taxa média de queima do
propelente.
Observamos uma amostra de tamanho 25.
Sabemos que σ = 2.
Observamos x¯ = 51,3.
Queremos testar se a taxa média de queima é de 50 cm
por segundo com um nível de significância de 5%.
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Exemplo: (solução)
1 O parâmetro de interesse é µ, a taxa média de queima.
2 As hipóteses a serem testadas são
H0 : µ = 50 vs H1 : µ 6= 50 .
3 Fixamos α = 0,05.
4 Então z0,975 = 1,96.
5 A estatística de teste é
z0 =
x¯ − µ0
σ/
√
n
.
6 Rejeitamos H0 se
z0 > 1,96 ou z0 < −1,96 .
7 Temos que
z0 =
51,3− 50
2/
√
25
= 3,25 .
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte II
Exemplo: (solução)
8. Como 3.25 > 1,96 ⇒ rejeitamos H0.
9. Conclusão: com 5% de significância podemos
dizer que a taxa média de queima do propelente é
diferente de 50 cm por segundo.
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Teste unilateral
Podemo estar interessados em testar hipóteses como
H0 : µ = µ0 vs H1 : µ > µ0 .
Valores altos de x¯ indicam que H1 é verdadeira.
A região crítica é formada apenas pela extremidade
superior.
Rejeitamos H0 se
z0 > z1−α.
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte II
Teste unilateral
Podemos querer testar
H0 : µ = µ0 vs µ < µ0 .
Valores baixos de x¯ indicam que H1 é verdadeira.
A região crítica é formada apenas pela extremidade
inferior.
Rejeitamos H0 se
z0 < −z1−α.
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Teste para médica, variância conhecida
Hipótese nula:
H0 : µ = µ0 .
Estatística de teste
Z0 =
X¯ − µ0
σ/
√
n
.
Hipótese alternativa Critério de rejeição
H1: µ 6= µ0 z0 > z1−α2
ou z0 < −z1−α2
H1: µ > µ0 z0 > z1−α
H1: µ < µ0 z0 < −z1−α
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Valor P
É o menor nível de significância que conduz à rejeição da
hipótese nula H0.
Hipótese alternativa Critério de rejeição Valor P
H1: µ 6= µ0 z0 > z1−α2 ou z0 < −z1−α2 2(P(Z > |z0|))
H1: µ > µ0 z0 > z1−α P(Z > z0)
H1: µ < µ0 z0 < −z1−α P(Z < z0)
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Exemplo
Considere o exemplo do propelente.
Vimos que a região crítica é
z0 > 1,96 ou z0 < −1,96 .
Como o teste é da forma
H0 : µ = µ0 vs H1 : µ 6= µ0
o valor P é dado por
2P(Z > |z0|) = 2P(Z > 3,25) = 2(1− P(Z < 3,25)) =
2(1− 0,9994) = 0,0012 .
A probabilidade de aparecer um valor tão ou mais extremo
que 3,25 dado que µ = 50 é 0,0012.
O menor nível de significância que rejeitamos H0 é 0,0012.
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Teste para amostra grande
Supomos aqui que a população é normal e que σ2 é
conhecido.
Na prática σ2 não será conhecido.
E muitas vezes a população não é normal.
Se n for grande (>40) podemos usar o Teorema Central do
Limite.
Estimamos σ por S e aproximamos a distribuição de
Z0 =
X¯ − µ0
S/
√
n
.
por uma normal padrão.
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Teste para média com variância desconhecida
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte II
Suponha que temos uma amostra
X1, . . . ,Xn
de uma variável aleatória X .
X tem distribuição normal com média µ e variância σ2.
A variância σ2 é desconhecida.
A média µ é desconhecida e deve ser estimada.
Queremos testar:
H0 : µ = µ0 vs H1 : µ 6= µ0
Esse é um teste bilateral.
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte II
Estimamos σ2 por
S2 =
∑
i(Xi − X¯)2
n − 1 .
Sob H0, a estatística de teste
T0 =
X¯ − µ0
S/
√
n
tem distribuição t com n − 1 graus de liberdade.
Fixamos um nível de significância (erro do tipo I) α.
A decisão é
se t0 > tα/2;n−1 ou t0 < −tα/2;n−1 ⇒ rejeitamos H0;
se −tα/2;n−1 < t0 < tα/2;n−1 ⇒ não rejeitamos H0.
Onde
P(Tn−1 > tα/2;n−1) = α/2 .
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte II
A região crítica é dada por
t0 > tα/2;n−1 ou t0 < −tα/2;n−1 .
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Teste unilateral
Podemo estar interessados em testar hipóteses como
H0 : µ = µ0 vs H1 : µ > µ0 .
Valores altos de x¯ indicam que H1 é verdadeira.
A região crítica é formada apenas pela extremidade
superior.
Rejeitamos H0 se
t0 > tα;n−1.
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte II
Teste unilateral
Podemos querer testar
H0 : µ = µ0 vs µ < µ0 .
Valores baixos de x¯ indicam que H1 é verdadeira.
A região crítica é formada apenas pela extremidade
inferior.
Rejeitamos H0 se
t0 < −tα;n−1.
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte II
Teste para médica, variância desconhecida
Hipótese nula:
H0 : µ = µ0 .
Estatística de teste
T0 =
X¯ − µ0
S/
√
n
.
Hipótese alternativa Critério de rejeição
H1: µ 6= µ0 t0 > tα/2;n−1 ou t0 < −tα/2;n−1
H1: µ > µ0 t0 > tα;n−1
H1: µ < µ0 t0 < −tα;n−1
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte II
Exemplo:
São analisados os coeficientes de restituição de tacos de
golfe.
15 tacos são selecionados aleatoriamente.
Queremos verificar se o coeficiente médio de restituição
excede 0,82.
Considere α = 0,05.
Os dados observados são
x¯ = 0,83725 s = 0,02456 .
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte II
Exemplo: (solução)
A figura abaixo mostra que os dados são
aproximadamente normais.
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Exemplo: (solução)
1 O parâmetro de interesse é o coeficiente médio de
restituição, µ.
2 Queremos testar
H1 : µ = 0,82 vs H1 : µ > 0,82 .
3 Temos que α = 0,05 e
t0,05;14 = 1,761 .
4 Rejeitamo H0 para valores altos da média, ou seja,
rejeitamos se
t0 > 1,761 .
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte II
Exemplo: (solução)
5. Temos que
x¯ = 0,83725 s = 0,02456 n = 15
então a estatística de teste é
t0 =
x¯ − µ0
S/
√
n
=
0,83725− 0,82
0,02456/
√
15
= 2,72.
6. Como 2,72 > 1,761 ⇒ rejeitamos H0.
7. Conclusão: com 5% de significância podemos
dizer que o coeficiente médio de restituição dos
tacos excede 0,82.
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte II
Observação:
Podemos calcular o Valor P para esse tipo de teste.
Porém a tabela t só fornece valores aproximados.
Para um cálculo exato é necessário usar um pacote
estatístico.
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Teste para Proporção
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Muitas vezes queremos estimar a proporção de uma
determinada população.
Exemplo: proporção de ítens defeituosos em uma fábrica.
Uma amostra de tamanho n é retirada de uma população
grande.
X (X ≤ n) dessas observações pertencem a uma
determinada classe.
Então
Pˆ = X
n
é um estimador da proporção p que pertence a essa
classe.
Observe que X ∼ Bin(n,p) e queremos estimar p.
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte II
Queremos testar hipóteses do tipo
H0 : p = p0 vs H1 : p 6= p0 .
O teste é feito usando aproximação da binomial pela
normal.
Esse procedimento é válido desde que p não seja muito
próximo de 0 e nem de 1.
É preciso um tamanho de amostra relativamente grande.
Como
X ∼ Bin(n,p)
sob H0, p = p0 e
X ∼ Bin(n,p0) .
Então, sob H0, a estatística de teste
Z0 =
X − np0√
np0(1− p0)
tem distribuição aproximadamente N(0,1).
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Queremos testar
H0 : p = p0 vs H1 : p 6= p0 .
Sob H0, a estatística de teste
Z0 =
X − np0√
np0(1− p0)
tem distribuição aproximadamente N(0,1)
Fixamos um nível de significância (erro do tipo I) α.
A decisão é
se z0 > z1−α2 ou z0 < −z1−α2 ⇒ rejeitamos H0;
se −z1−α2 < z0 < z1−α2 ⇒ não rejeitamos H0.
Onde
P(Z ≤ z1−α2 ) = 1−
α
2 .
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A região crítica é dada por
z0 > z1−α2 ou z0 < −z1−α2 .
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Teste unilateral
Podemos estar interessados em testar hipóteses como
H0 : p = p0 vs H1 : p > p0 .
Valores altos de x/n indicam que H1 é verdadeira.
A região crítica é formada apenas pela extremidade
superior.
Rejeitamos H0 se
z0 > z1−α.
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte II
Teste unilateral
Podemos querer testar
H0 : p = p0 vs H1 : p < p0 .
Valores baixos de x/n indicam que H1 é verdadeira.
A região crítica é formada apenas pela extremidade
inferior.
Rejeitamos H0 se
z0 < −z1−α.
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Aproximação para proporção binomial
Hipótese nula:
H0 : p = p0 .
Estatística de teste
Z0 =
X − np0√
np0(1 − p0)
.
Hipótese alternativa Critério de rejeição
H1: p 6= p0 z0 > z1−α2 ou z0 < −z1−α2
H1: p > p0 z0 > z1−α
H1: p < p0 z0 < −z1−α
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Exemplo:
Considere a fabricação de semicondutores.
O consumidor exige que a fração de defeituosos não
exceda 0,05.
O nível de significância α exigido é de α = 0,05.
Uma amostra de 200 aparelhos é observada.
Dentre os 200, 4 são defeituosos (2%).
Podemos concluir que a exigência do consumidor é
satisfeita?
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Exemplo: (solução)
O parâmetro de interesse é a fração
defeituosa no
processo, p.
Queremos testar
H0 : p = 0,05 vs H1 : p < 0,05 .
Fixamos α = 0,5 portanto
z0,95 = 1,645 .
Rejeitamos H0 se
z0 < −1,645 .
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte II
Exemplo: (solução)
Temos que
x = 4 n = 200 p0 = 0,05
então
z0 =
x − np0√
np0(1− p0)
=
4− (200)(0,05)
√
200(0,05)(1− 0,05) = −1,95 .
Como −1,95 < −1,645 ⇒ rejeitamos H0.
Conclusão: com 5% de significância podemos dizer que o
a fração de ítens defeituosos é menor que 0,05.
Marcos Oliveira Prates Testes de Hipótese para uma única Amostra - parte II
Observações:
A estatística Z0 pode ser escrita de outra forma.
Seja X o número de observações em uma amostra de
tamanho n que pertence a uma classe.
Pˆ = Xn é a proporção amostral que pertence àquela classe.
Temos que
Z0 =
X − np0√
np0(1 − p0)
.
Dividindo tudo por n temos que
Z0 =
X/n − p0√
p0(1− p0)/n
=
Pˆ − p0√
p0(1− p0)/n
.
Temos assim a estatística de teste em termos da
proporção amostral.
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		Teste para média com variância conhecida
		Teste para média com variância desconhecida
		Teste para Proporção
Estatística e Probabilidades/3ª Prova/LISTAS/lista05.pdf
Lista 5
Prof. Marcos Oliveira Prates
Disciplina: Estatística e Probabilidade
29 de Novembro
Data de entrega: 06 de dezembro
1. Seja X uma amostra de uma distribuição binomial com parâmetros n = 100 e p
desconhecido. Logo X é o número de sucessos.
a) Mostre que o estimador pˆ = X
n
é não tendencioso.
b) Encontre o EMQ de pˆ.
2. Seja X1, . . . , Xn uma amostra. Suponha que a distribuição de Xi seja f(x) para todo
i = 1, . . . , n, onde:
f(x) = βxβ−1 0 < x < 1
a) Encontre o estimador de momentos β˜ para β (Dica: E(X) = β
β+1
)
b) Encontre o estimador de verossimilhança βˆ para β.
3. A resistência do concreto à compressão é normalmente distribuída, com µ = 2500 e
σ = 50. Encontre a probabilidade de uma amostra aleatória de n=5 corpos-de-prova
ter um diâmetro médio amostral que caia no intervalo de 2499 a 2510.
4. A quantidade de tempo que um consumidor gasta esperando no balcão de check-in de
um aeroporto é uma variável aleatória com média de 8,2 minutos e desvio padrão de 1,5
minuto. Suponha que uma amostra aleatória de n=49 consumidores seja observada.
Encontre a probabilidade de o tempo médio de espera na fila para esses consumidores
ser
a) Menor que 10 minutos.
b) Entre 5 e 10 minutos.
c) Menor que 6 minutos.
5. Para uma população normal com variância conhecida σ2, responda as seguintes ques-
tões:
1
a) Qual o nível de confiança para o intervalo x¯− 2, 14σ/√n ≤ µ ≤ x¯+ 2, 14σ/√n?
b) Qual o nível de confiança para o intervalo x¯− 2, 49σ/√n ≤ µ ≤ x¯+ 2, 49σ/√n?
c) Qual o nível de confiança para o intervalo x¯− 1, 85σ/√n ≤ µ ≤ x¯+ 1, 85σ/√n?
6. Suponha que n=100 amostras aleatórias de água proveniente de um lago com água
fresca foram retiradas, sendo medida a concentração (miligramas por litro) de cálcio.
Um IC de 95% para a concentração média de cálcio é 0, 49 ≤ µ ≤ 0, 82.
a) Um IC de 99% calculado a partir dos dados da amostra seria maior ou menor?
b) Considere a seguinte afirmação: há uma chance de 95% de µ estar entre 0,49 e 0,82.
Essa afirmação é correta? Explique sua resposta.
c) Considere a seguinte afirmação: se n=100 amostras aleatórias de água proveniente
do lago foram tomadas e o IC de 95% para µ for calculado e esse processo for
repetido 1000 vezes, 950 dos ICs conterão o verdadeiro valor de µ. Essa afirmação
está correta? Explique sua resposta.
7. Considere o intervalo de 100(1 − α)% confiança para a média µ de uma variável com
distribuição Normal e desvio-padrão σ conhecido :
x¯− z1−α
2
σ√
n
≤ µ ≤ x¯+ z1−α
2
σ√
n
.
Note que o intervalo é simétrico em torno da média amostral x¯ e que, quanto menor a
parcela z1−α
2
σ√
n
, menor será a amplitude do intervalo.
a) Por que um intervalo com grande amplitude não é útil para o pesquisador fazer
inferência sobre a média da variável estudada ?
b) Mantendo fixos o tamanho de amostra (n) e o desvio-padrão (σ), o que aconteceria
com esta parcela se reduzirmos o nível de confiança (100(1−α))% requerido para
o intervalo?
c) Mantendo fixos o tamanho de amostra (n) e o nível de confiança (100(1 − α))%
requerido para o intervalo, o que aconteceria com esta parcela se o desvio-padrão
(σ) fosse menor?
d) Mantendo fixos o desvio-padrão (σ) e o nível de confiança (100(1−α))% requerido
para o intervalo, o que aconteceria com esta parcela se o tamanho de amostra (n)
fosse maior?
e) Qual(is) dos três elementos que compõem esta parcela (n, σ e α), o pesquisador é
capaz de alterar para conseguir um intervalo mais curto para a média da variável
estudada?
2
f) Caso o pesquisador queira um intervalo curto e com nível de confiança alto (ex.
98%, 99%), o que ele deveria fazer?
8. O rendimento de um processo químico está sendo estudado. De experiências prévias
com esse processo, sabe-se que o rendimento é normalmente distribuído e σ = 3. Os
últimos cinco dias de operação da planta resultaram nos seguintes rendimento percen-
tuais: 91,6; 88,75; 90,8; 89,95 e 91,3. Encontre um intervalo com 95% de confiança
para o rendimento médio verdadeiro.
9. Um engenheiro civil está analisando a resistência à compressão do concreto. A resis-
tência à compressão tem distribuição normal com σ2 = 1000. Uma amostra aleatória
de 12 corpos-de-prova tem uma resistência média à compressão x¯ = 3250.
a) Construa o intervalo bilateral de 95% de confiança para resistência à compressão.
b) Construa o intervalo bilateral de 99% de confiança para resistência à compressão.
Compare a largura desse intervalo com aquele encontrado no ítem anterior.
10. Suponha que no exercício anterior desejássemos estimar a resistência à compressão,
com um erro que fosse menor que 15, com 99% de confiança. Que tamanho de amostra
deveria ser usado?
11. Seleciona-se uma amostra de 40 caixas e mede-se o diâmetro do orifício para cada
uma, resultando em um diâmetro médio de 5,426mm e um desvio padrão amostral de
0,1mm. Encontre um intervalo de 95% de confiança para o diâmetro médio real. Qual
a interpretação desse intervalo?
12. Os dados relativos a cargas de falha sobre amostras de um tipo de aço seguem uma
distribuição normal e fornecem os seguintes resultados (megapascal): 19.8 , 10.1 , 14.9
, 7.5 , 15.4 , 15.4 , 15.4 , 18.5 , 7.9 , 12.7 , 11.9 , 11.4 , 11.4 , 14.1 , 17.6 , 16.7 , 15.8,
19.5 , 8.8 , 13.6 , 11.9 , 11.4, 13.8, 14.7, 11.2. Determine o intervalo de confiança de
95% sobre a média real.
13. Uma amostra aleatória de 50 capacetes de corredores de motos e automóveis foi sub-
metida a um teste de impacto, sendo observado algum dano em 18 desses capacetes.
a) Encontre o intervalo bilateral de 95% de confiança para proporção verdadeira de
capacetes que apresentam algum dano.
b) Usando a estimativa pontual de p, obtida a partir de uma amostra preliminar de 50
capacetes, quantos capacetes têm de ser testados para estarmos 95% confiantes
de que o erro na estimação no valor verdadeiro de p seja menor do que 0,02?
3
c) Quão grande terá de ser a amostra, se desejarmos estar no mínimo 95% confiantes
de que o erro na estimação de p seja menor do que 0,02, independentemente do
valor verdadeiro de p.
4
Estatística e Probabilidades/3ª Prova/LISTAS/lista05gabarito.pdf
Lista 5 - Gabarito
Prof. Marcos Oliveira Prates
Disciplina: Estatística e Probabilidade
1. Como X binomial temos que E(X) = np.
a) Se pˆ não tendencioso então E(pˆ) = p. Logo,
E(pˆ) = E(
X
n
) = 1/nE(X) = np/n = p
.
b) Como pˆ não tendencioso, entã
EMQ(pˆ) = V (pˆ) = V (
X
n
) == 1/n2V (X) =
np(1− p)
n2
=
p(1− p)
n
.
2. a) Para encontrar β˜ devemos igualar o primeiro momento populacional X¯ ao primeiro
momento de f(x). Pela dica temos que E(X) = β
β+1
. Logo
β˜ =
X¯
1− X¯
.
b)
Para determinar βˆ devemos encontrar a função de verossimilhança
L(β) =
n∏
i=1
βXβ−1 = βn(
n∏
i=1
Xi)
β−1
. Assim log(L(β)) = l(β) = n log(β) + (β − 1)∑ni=1 log(Xi). Derivando em β
temos:
∂l(β)
∂β
=
n
β
+
n∑
i=1
log(Xi)
. Igualando a 0 e resolvendo achamos que βˆ = −nPn
i=1 log(Xi)
.
1
3. Sabemos que X¯ ∼ N(2500, (2500
5
)
). Logo Z = X¯−250050√
5
P (2499 ≤ X¯ ≤ 2510) = P (−0, 045 ≤ Z ≤ 0, 45) = 0, 191 .
4. Usando o TCL temos que X¯ tem distribuição aproximadamente normal.
a) P (X¯ < 10) = P (Z < 8, 4) = 1.
b) P (5 < X¯ < 10) = P (Z < 8, 4)− P (Z < −14, 932) = 1− 0 = 1.
c ) P (X¯ < 6) = P (Z < −10, 27) = 0
5. a) 96,76%
b) 98,72%
c) 93,56%
6. a) Seria maior.
b) Não, essa não é a interpretação correta do intervalo de confiança, pois µ é fixo e
não variável aleatória.
c) Sim, essa é a interpretação correta do intervalo de confiança. Os limites superior e
inferior são variáveis aleatórias.
7.
a) Porque a informação sobre o parâmetro (neste caso, a média da variável na população)
é muito vaga. Por exemplo, se o intervalo de confiança para a altura média das pessoas
adultas de uma cidade vai de 1 a 2,50 metros, não saberemos dizer se esta cidade é
habitada por adultos que tendem a ser altos ou baixos. Além disso, não seria necessário
um estudo para obter esta informação, pois já sabemos que os adultos não medem
menos que um metro nem mais que 2,50 metros.
b) Reduzir o nível de confiança (100(1 − α)) significa aumentar o valor de α, o que leva
a valor menor de z1−α
2
, reduzindo a amplitude do intervalo.
c) Esta parcela seria menor. Desse modo, quanto menor a variabilidade da variável, menor
será a amplitude do intervalo.
d) Esta parcela seria menor. Desse modo, quanto maior o tamanho da amostra, menor
será a amplitude do intervalo.
e) Apenas o tamanho da amostra (n), que ele pode aumentar, e o nível de confiança do
intervalo (100(1 − α)), que ele pode reduzir. O pesquisador não tem controle sobre a
variabilidade (σ) da característica estudada.
2
f) Aumentar o tamanho da amostra (n).
8. Temos que
x¯ = 90, 480 σ = 3 n = 5 z0,975 = 1, 96 .
O intervalo fica
87, 85 ≤ µ ≤ 93, 11 .
9. a) Temos que
x¯ = 3250 σ2 = 1000 n = 12 z0,975 = 1, 96
o intervalo fica
3232, 11 ≤ µ ≤ 3267, 89 .
b)
3226, 4 ≤ µ ≤ 3273, 6.
O intervalo de 99% é mais largo que o de 95%.
10. Temos que
z0,995 = 2, 58 s = 31, 62 E = 15
portanto
n =
(
(2, 58)(31, 62)
15
)2
= 29, 6 ≈ 30.
11. Temos que
x¯ = 5, 426 s = 0, 1 z0,975 = 1, 96
então o intervalo fica
5, 395 ≤ µ ≤ 5, 457 .
A interpretação é de que com 95% de confiança podemos dizer que o verdadeiro valor
do diâmetro médio do orifício estará contido no intervalo [5,395; 5,457].
12. Temos que
x¯ = 13, 656 s = 3, 368986 n = 25 t0,025 = 2, 064
então
u = 13, 656− 2.064(3.368986)/
√
25 = 13, 656− 1, 390717 = 12, 26528
l = 13, 656 + 2.064(3.368986)/
√
25 = 13, 656 + 1, 390717 = 15, 04672
o intervalo fica
12, 27 ≤ µ ≤ 15, 04 .
3
13. a) Temos que
pˆ = 0, 36 n = 50 zα/2 = 1, 96
o intervalo é
0, 227 ≤ p ≤ 0, 493 .
b)
n =
(
1, 96
0, 02
)2
(0, 36)(1− 0, 36) = 2212, 76 .
c)
n =
(
1, 96
0, 02
)2
(0, 5)(1− 0, 5) = 2401 .
4
Estatística e Probabilidades/3ª Prova/LISTAS/lista06.pdf
Lista 6
Prof. Marcos Oliveira Prates
Disciplina: Estatística e Probabilidade
04 de Dezembro
Data de entrega: 13 de Dezembro
1. Uma empresa de manufatura têxtil está testando rolos de fio que o fornecedor afirma
terem 12Kg com um desvio-padrão de 0,5Kg. Considere que a variável tem distribuição
normal. A empresa deseja testar a hipótese H0 : µ = 12 contra H1 : µ < 12 usando
uma amostra aleatória de 4 elementos.
a) Qual é a probabilidade de erro tipo I se a região crítica é definida como x¯ < 11, 5
Kg ?
b) Considerando essa mesma região crítica, determine β (erro tipo II) para o caso em
que a média verdadeira é de 11,25Kg.
2. No problema 1 determine as fronteiras da região crítica se a probabilidade de erro do
tipo I é especificada como sendo 0,01. Se a média observada da amostra foi 11, qual a
conclusão do teste? Interprete o resultado.
3. Um artigo na revista ASCE Journal of Energy Engineering descreve um estudo das
propriedades da inércia térmica de concreto aerado em autoclave, usado como material
de construção. Cinco amostras foram testadas em uma estrutura e a temperatura
média (
oC) reportada foi: 23,01; 22,22; 22,04; 22,62 e 22,59. Teste a hipótese de que
a a temperatura média é diferente de 22,5 com um nível de significância de 0,05.
4. Uma amostra aleatória simples de tamanho 81 é selecionada dentre homens é selecio-
nada. Queremos analisar o tempo médio entre os usos do controle remoto. Suponha
que a variável aleatória tem uma distribuição normal e que a média e o desvio padrão
amostral registradas foram 5,25 e 2,5 respectivamente. Teste a hipótese de que o tempo
médio entre o uso do controle remoto é igual a 5 s. Utilize o nível de significância de
0,01. Faça o teste novamente usando o intervalo de confiança, o resultado é o mesmo?
5. Uma amostra aleatória de 500 habitantes de uma cidade são perguntados se eles são
favoráveis ao uso de combustíveis oxigenados para reduzir a poluição. Se mais de
1
315 indivíduos respondem positivamente, poderemos concluir que ao menos 60% dos
habitantes são a favor do uso deste tipo de combustível.
a) Determine a probabilidade do erro tipo I se exatamente 60% dos habitantes são a
favor do uso destes combustíveis.
b) Qual é o erro do tipo II se 65% dos habitantes são a favor do uso destes combustí-
veis?
2
Estatística e Probabilidades/3ª Prova/LISTAS/lista06gabarito.pdf
Lista 6 - Gabarito
Prof. Marcos Oliveira Prates
Disciplina: Estatística e Probabilidade
1. a)
α = P (rejeitar H0| H0 é verdadeira) = P (X¯ < 11, 5|µ = 12)
= P
(
x¯− 12
0, 5/
√
4
<
11, 5− 12
0, 5/
√
4
)
= 0, 0227.
b)
β = P (não rejeitar H0| H0 é falsa) = P (X¯ > 11, 5|µ = 11, 25)
= P
(
x¯− 11, 25
0, 5/
√
4
>
11, 5− 11, 25
0, 5/
√
4
)
= 0, 1586
2. Temos que z1−α = z0,99 = 2, 32. Logo a região crítica é dada por
z0 < −2, 32
A estatística de teste é dada por
z0 =
x¯− µ0
σ/
√
n
=
11, 2− 12
0, 5/
√
4
= −3, 2 .
Como −3, 2 < −2, 32, rejeitamos H0. Então com 5% de significância há evidências de
que o peso médio do rolo é menor que 12 Kg.
3. Queremos testar
H0 : µ = 22, 5 H1 : µ 6= 22, 5 .
Temos que a estatística de teste é dada por
t0 =
x¯− 22, 5
s/
√
n
.
Como α = 0, 05 e t0,025;4 = 2, 776 a região crítica é dada por
t0 > 2, 776 ou t0 < −2, 776 .
1
O valor observado da estatística de teste é
t0 =
22, 496− 22, 5
0, 378/
√
5
= −0, 00237 .
Como −2, 776 < −0, 00237 < 2, 776 não rejeitamos a hipótese nula. Conclusão: não
há evidência suficiente para garantir que a temperatura média é diferente de 22,5.
4. Queremos testar
H0 : µ = 5 H1 : µ 6= 5 .
Temos que a estatística de teste é dada por
t0 =
x¯− 5
s/
√
n
.
Como α = 0, 01 e 2, 617 < t0,005;80 < 2, 660, vamos considerar t0,005;80 = 2, 617 a região
crítica é dada por
t0 > 2, 617 ou t0 < −2, 617 .
O valor observado da estatística de teste é
t0 =
5, 25− 5
2, 50/
√
81
= 0, 9 .
Como −2, 617 < 0, 9 < 2, 617 não rejeitamos a hipótese nula. Conclusão: não há
evidência suficiente para garantir que o tempo médio é diferente de 5s.
Temos que o intervalo de confiança é dado por
x¯− tα/2;n−1s/
√
n ≤ µ ≤ x¯+ tα/2;n−1s/
√
n
4.52 ≤ µ ≤ 5.98
Conclusão: como 5 s perntence ao intervalo de confiança, não há evidência suficiente
para garantir que o tempo médio é diferente de 5s. A conclusão é a mesma usando o
teste diretamente.
5. O parâmetro de interesse é a proporção p de habitantes que opinam favoravelmente.
Devemos então realizar um teste unilateral
H0 : p = 0, 6 H1 : p > 0, 6 .
a)
α = P (rejeitar H0| H0 é verdadeira) = P (X > 315|p = 0, 60)
2
= P
(
X − 0, 6(500)√
500(0, 6)(1− 0, 6) >
315− 0, 6(500)√
500(0, 6)(1− 0, 6)
)
= 0, 0854.
b)
β = P (não rejeitar H0| H0 é falsa) = P (X < 315|p = 0, 65)
= P
(
X − 0, 65(500)√
500(0, 65)(1− 0, 65) <
315− 0, 65(500)√
500(0, 65)(1− 0, 65)
)
= 0, 17422
3
Estatística e Probabilidades/Thumbs.db