lista 3 calculo 3

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Cálculo III, IME-UERJ
Exercícios : lista 3
1. Encontre uma parametrização para as seguintes curvas.
(a) 3
2
(b) -1 1
1
(c) 2
2
(d)
1
2
2. Encontre a curva parametrizada de
(a) a linha que passa pelo ponto (3,0,-4) e tem a mesma direção do vetor ~i+ 2~j − ~k.
(b) o segmento entre os pontos (2,1,3) e (4,3,2).
(c) a linha que passa pelo ponto (3,-2,2) e intercepta o eixo y em y = 2.
(d) circunferência de raio 3 centrada no eixo z que �ca no plano z = 5
(e) a curva x = −3z2 no plano xz.
(f) a curva onde o plano z = 2 intercepta a surperfície z =
√
x2 + y2.
(g) a elipse de eixo maior 6 paralelo ao eixo x e de eixo menor 4 paralelo ao eixo z e centrada em
(0,1,-2)
3. Parametrize a linha passando pelos pontos P = (2, 5) e Q = (12, 9) tal que os pontos P e Q correspon-
dem aos parâmetros dados.
(a) t = 0 e 1
(b) t = 0 e 5
(c) t = 2 e 3
(d) t = 0 e -1
4. Esboce as curvas de�nidas pelas seguintes funções vetoriais.
(a) r(t) = (t− 1, t2)
(b) r(t) = (t2 − 1, 4t)
(c) r(t) = 2 cos t ~i+ (sen t− 1)~j
(d) r(t) = (sen t− 2)~i+ 4 cos t ~j
(e) r(t) = (2 cos t, 2 sen t, 3)
(f) r(t) = (cos 2t, sen 2t, 1)
(g) r(t) = (t, t2 + 1,−1)
(h) r(t) = (3, t, t2 − 1)
(i) r(t) = t ~i+~j + 3t2 ~k
(j) r(t) = (t+ 2)~i+ (2t− 1)~j + (t+ 2)~k
1
5. Usando Geogebra, esboce as curvas de�nidas pelas seguintes funções vetoriais.
(a) r(t) = (3 sen t, 2 sen t, sen t)
(b) r(t) = (sen 3t, sen 2t, sen t)
(c) r(t) = (sen3 t, sen2 t, sen t)
(d) r(t) = (sen t3, sen t2, sen t)
(e) r(t) = (2 cos 3t+ sen 5t, 2 sen 3t+ cos 5t)
(f) r(t) = (2 cos 13t+ sen 11t, 2 sen 13t+ cos 11t)
(g) r(t) = (4 cos 4t− 6 cos t, 4 sen 4t− 6 sen t)
(h) r(t) = (4 cos 7t− 6 cos 3t, 4 sen 7t− 6 sen 3t)
6. A �gura mostra a curva parametrizada (x(t), y(t)) para a ≤ t ≤ b.
Faça a associação das funções vetorias
(a) (x(t) + 1, y(t))
(b) (−x(t),−y(t))
(c) (x(t) + 1, y(t) + 1)
(d) (−x(t), y(t))
com cada um dos grá�cos apresentados, justi�cando sua resposta.
(a)
(b)
(c)
(d)
2