unid_4

Prévia do material em texto

INTRODUÇÃO 
À LÓGICA
UNIDADE IV
Técnicas Dedutivas 
e Fluxogramas
Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro
Técnicas Dedutivas 
e Fluxogramas
3
Introdução
Será que existem maneiras diferentes de concluir que uma proposição é uma conclusão 
lógica de um conjunto de premissas? A resposta para essa pergunta é “sim”, pois 
existem as chamadas provas dedutivas, disponibilizadas em quatro versões, que 
conheceremos a partir de agora! 
Complementar a esse conteúdo, relembraremos um estilo de gráfico útil na lógica 
matemática, o fluxograma, que, com sua estrutura, possibilita validar argumentos e 
teoremas.
Objetivos da Aprendizagem
Ao final do conteúdo, esperamos que você seja capaz de:
• Reconhecer e utilizar as técnicas dedutivas: prova direta, prova indireta, prova 
condicional e prova bicondicional.
• Compreender o fluxograma como um dispositivo gráfico útil à validação de 
argumentos e teoremas.
4
Técnicas Dedutivas
A ideia de provar, demonstrar algo, é essencial na matemática, uma vez que estabelece 
uma metodologia organizada e minuciosa para deduções de consequências lógicas 
válidas e prova de teoremas. Na unidade anterior, conhecemos as regras de inferência 
e sua capacidade de validar argumentos, agora conheceremos mecanismos que 
possibilitam a dedução de conclusões lógicas válidas considerando um conjunto de 
premissas. 
Nesse contexto, nos dedicaremos a deduzir ou provar uma proposição partindo de um 
conjunto de premissas do que apenas provar sua validade. É importante salientar que 
provar e validar são princípios diferentes, que possui relevâncias e particularidades 
distintas. 
Definição
Demonstrar a verdade. É essa a definição do verbo “provar”. Para isso, existem 
diferentes técnicas utilizáveis na lógica matemática que conheceremos a seguir, 
são elas: prova direta, prova indireta, prova condicional e prova bicondicional. Cada 
uma delas possui suas especificidades, que visam, ao final, provar a validade de um 
argumento.
Encontrando a validade de um argumento
Fonte: © fidaolga, Freepik (2023).
#pratodosverem: imagem de um quebra-cabeça com uma lâmpada desenhada no meio.
5
Prova Direta, Condicional e Bicondicional
Conhecida como dedução natural, a prova direta consiste em inferir logicamente 
uma conclusão a partir de um conjunto de premissas, técnica que já utilizamos nas 
unidades anteriores. 
Nicoletti (2009) explica que, admitindo 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, 𝑃4, ... 𝑃𝑛 e Q relações da lógica 
proposicional, chama-se de prova ou dedução de Q de um conjunto de premissas uma 
sequência finita de proposições C1, C2, C3, C4, ... CK se e somente se CK = Q, ou seja, a 
última proposição derivada de Q. 
Em que:
• cada C1 se difere de CK for uma premissa 𝑃𝑗, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛; ou
• cada C1 que não seja uma premissa for derivada das fórmulas passadas 
através do uso de uma regra de inferência; ou
• cada C1 que não seja uma premissa for derivada for resultante da substituição 
de uma fórmula anterior por outra equivalente lógica.
Afirmamos, então, que Q é dedutível, considerando 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, 𝑃4, ... 𝑃𝑛 ou que Q é um 
teorema e C1, C2, C3, C4, ... CK corresponde à sua demonstração. Sintetizando, a proposição 
Q é um teorema se é uma consequência lógica de das premissas. 
Para a matemática, teorias são definidas com base em axiomas, 
que são um conjunto de premissas. Assim, qualquer consequência 
lógica desses axiomas são teoremas válidos dessa teoria, passíveis 
de serem demonstrados pelas técnicas dedutivas.
Atenção
Um fato importante no que diz respeito às deduções são as equivalências, pois toda 
equivalência pode ser compreendida como uma regra de inferência que possibilita a 
substituição de qualquer proposição por outra logicamente equivalente.
6
Como exemplo dessa técnica de prova direta, considere provar a partir das premissas 
a seguir:
1. 𝑡
2. 𝑡 → ~𝑞
3. ~𝑞 → ~𝑠
Para deduzir ~𝑠 a partir das premissas estabelecidas, utilizaremos uma sequência de 
passos, baseados nas regras de inferência, que estarão descritas de acordo com a 
numeração das premissas.
Prova direta
Representação Descrição Relação
1. 𝑡 Premissa
2. 𝑡 → ~𝑞 Premissa
3. ~𝑞 → ~𝑠 Premissa
4. ~𝑞 Modus ponens 1,2
5. ~𝑠 Modus ponens 3,4
Fonte: elaborada pela autora (2023).
#pratodosverem: tabela com o resultado das operações simultâneas realizadas com as premissas para se chegar à conclusão 
estabelecida.
Assim, fazendo uso do modus ponens sucessivamente, chegamos à conclusão 
inicialmente requerida.
A prova condicional é um recurso útil para quando em uma ou mais proposição existe 
uma operação lógica de condicional. Nesse sentido, disponibiliza-se um formato para 
provar uma conclusão da forma 𝑝 ⟶ 𝑞, bastando integrar o antecedente p como uma 
hipótese, ou seja, uma premissa adicional, e assim provar q. 
De acordo com Nicoletti (2009), consideraremos 𝑝 e 𝑞 como duas proposições válidas 
e 𝑝 1, 𝑝 2, 𝑝 3, 𝑝 4 ... 𝑝 𝑛 como um conjunto de premissas. Por consequência, 𝑝 1, 𝑝 2, 𝑝 3, 𝑝 4 ... 𝑝 𝑛 
implicam logicamente 𝑞 se, e somente se, as proposições 𝑝 1, 𝑝 2, 𝑝 3, 𝑝 4 ... 𝑝 𝑛 implicarem 
logicamente 𝑝 ⟶ 𝑞, logo:
𝑝 1, 𝑝 2, 𝑝 3, 𝑝 4 ... 𝑝 𝑛 ⊢ 𝑞 ⟺ 𝑝 1, 𝑝 2, 𝑝 3, 𝑝 4 ... 𝑝 𝑛 ⊢ 𝑝 ⟶ 𝑞
7
Como exemplo, prove a relação condicional , considerando as seguintes premissas:
1. 𝑝 ⟶ 𝑞
2. 𝑞 ⟶ 𝑟
Seguindo a mesma metodologia adotada nas técnicas dedutivas anteriores, serão 
descritas a seguir as sequências de ações realizadas com as premissas.
Prova condicional
Representação Descrição Relação
1. 𝑝 ⟶ 𝑞 Premissa
2. 𝑞 ⟶ 𝑟 Premissa
3. 𝑝 Hipótese
4. 𝑞 Modus ponens 1,3
5. 𝑟 Modus ponens 2,5
6. 𝑝 ⟶ 𝑟 Eliminação da 
hipótese 3,6
Fonte: elaborada pela autora (2023).
#pratodosverem: tabela com o resultado das operações simultâneas realizadas 
com as premissas utilizando a prova condicional para se chegar à conclusão.
Perceba que, para solucionar esse exemplo, deve-se recorrer à regra do silogismo 
hipotético [(𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑟) ] → (𝑝 ⟶ 𝑟) . Assim, a conclusão se encontra em um 
formato condicional, em que o antecedente p funciona como uma premissa provisória. 
A aplicação da prova condicional ocorre especificamente nas linhas 3 e 7, nas quais p 
é incluída como hipótese, sendo eliminada após a dedução de q, nessa ordem.
A prova bicondicional consiste em uma versão da prova condicional, porém realizada 
duas vezes. Sabemos que o conectivo lógico correspondente ao “se, somente se” 
(↔) pode ser decomposto em duas operações condicionais (↔) . Dessa maneira, 
considerando as proposições p e q, para provar uma relação bicondicional 𝑝 ↔ 𝑞, basta 
realizar as provas condicionais individualmente 𝑝 → 𝑞 e 𝑞 → 𝑝 .
8
Descrevemos como um conjunto inconsistente de proposições 
todo grupo de duas ou mais proposições que não podem ser, ao 
mesmo tempo, verdadeiras. Quando se trata de um argumento, ele 
é inconsistente, caso suas premissas não sejam simultaneamente 
verdadeiras, isto é, ao construir a tabela-verdade das proposições, 
não há linha na qual as proposições tenham valor lógico verdadeiro, 
ao mesmo tempo.
Atenção
Prova Indireta
A prova indireta também pode ser referenciada como redução ao absurdo e defende 
ser possível deduzir qualquer fato a partir de uma contradição. Dessa maneira, dispõe 
de uma maneira alternativa de provar uma conclusão implementando a negação da 
conclusão como uma premissa e a dedução de uma contradição lógica em formatos 
como: 𝑝 ∧ ~𝑞, (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ~(𝑝 ∨ 𝑞) ou (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ ~(𝑝 ∧ 𝑞) .
Suponhamos, conforme Nicoletti (2009), que q tenha que ser provado considerando 
as premissas 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, 𝑃4, ... 𝑃𝑛. Para esse fim, é suficiente apresentar que o argumento 
𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, 𝑃4, ... 𝑃𝑛 ⊢ 𝑞 é uma tautologia, ou seja, é válido. Admitindo que o argumento 
é válido (q é a conclusão das premissas) e empregando as regras da dupla negação, 
equivalência da condicional e as leis da idempotência, têm-se que:
𝑞 ≡ 𝑞 ∨ 𝑞 ≡ ~(~𝑞) ∨ 𝑞 ≡ ~𝑞 ⟶ 𝑞
Dessa maneira, a proposiçãoa seguir também é uma tautologia:
(𝑝 1 ∧ 𝑝 2 ∧ 𝑝 3 ∧ …𝑝 𝑛) ⟶ (~𝑞 ⟶ 𝑞) 
Nicoletti (2009) destaca que, com base no teorema da dedução, obtemos que a 
inserção do antecedente da conclusão ~𝑞 como hipótese possibilita encontrar 𝑞, isto é, 
𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, 𝑃4, ... 𝑃𝑛 , ~𝑞 ⊢ 𝑞 , que por sinal é um argumento válido, permitindo concluir que 
(𝑝 1 ∧ 𝑝 2 ∧ 𝑝 3 ∧ …𝑝 𝑛 ∧ ~ 𝑞) ⟶ 𝑞 é verdadeira.
Portanto, ao incluirmos a negação da conclusão ~𝑞 ao conjunto de premissas, torna-
se possível deduzir a conclusão 𝑞, construindo uma contradição 𝑞 ∧ ~𝑞. Ao final, a 
prova indireta utiliza-se da introdução da negação da conclusão como uma premissa 
provisória, de maneira a chegar, por dedução, em uma contradição.
9
Considerando essa técnica de prova indireta, considere como exemplo provar ~𝑝 a 
partir das premissas a seguir:
1. ~𝑞 ∨ 𝑟
2. 𝑝 → ~𝑟
3. 𝑞
Assim como na metodologia anterior, utilizaremos uma sequência de passos, 
baseada nas regras de inferência, que estará descrita de acordo com a numeração 
das premissas.
Prova indireta
Representação Descrição Relação
1. ~𝑞 ∨ 𝑟 Premissa
2. 𝑝 → ~𝑟 Premissa
3. 𝑞 Premissa
4. 𝑝 Premissa provisória
5. ~𝑟 Modus ponens 2,4
6. ~𝑞 Silogismo disjuntivo 1,5
7. 𝑞 ∧ (~𝑞) Conjunção 3,6
8. ~𝑞 Redução ao absurdo 4,7
Fonte: elaborada pela autora (2023).
#pratodosverem: tabela com o resultado das operações simultâneas realizadas 
com as premissas para se chegar à conclusão estabelecida.
Note que foi inserida a negação da conclusão como uma premissa provisória para, 
assim, encontrar-se uma contradição. Perceba também que o resultado encontrado 
𝑞 ∧ (~𝑞) não tem a premissa p. Por essa razão, no decorrer da prova, especificadamente 
em sua última ação, recorremos à prova indireta, tendo como referência a premissa 
provisória (negação da conclusão) e a contradição encontrada, para ao final chegarmos 
à dedução da conclusão.
10
Fluxograma
Representações gráficas são importantes ferramentas visuais para apresentar 
informações diversas de maneira simples, facilitando a leitura, a interpretação das 
informações e a divulgação de pesquisas em diferentes meios de comunicação.
Recurso visual
Fonte: Freepik (2023).
#pratodosverem: vários tipos de gráficos sendo observados por um grupo de 
quatro pessoas.
Entre os estilos dos gráficos, temos o chamado fluxograma, que compreenderemos 
com mais detalhes a seguir.
Definição
Denomina-se fluxograma a representação gráfica relacionada à sequência de 
atividades de um processo. Essa estrutura visual destaca o que é realizado em cada 
etapa, as pessoas envolvidas no processo, as decisões a serem tomadas, os serviços 
ou materiais necessários, dentre outras informações relevantes. 
Esse tipo de representação gráfica usa um grupo de símbolos predefinidos para 
destacar as etapas do processo, os setores relacionados, a sequência de operações, 
as pessoas ou os setores envolvidos, a sequência das operações, a circulação dos 
dados, enfim, as informações a serem destacadas. Não existe uma regra quanto ao 
formato dos símbolos a serem utilizados, como exemplo, têm-se os seguintes.
11
Símbolos de um fluxograma
Fonte: elaborada pela autora (2023).
#pratodosverem: imagem de um conjunto de figuras geométricas passíveis de 
utilização em um fluxograma.
É importante ressaltar que, além das formas geométricas, setas em direções 
predefinidas realizam a intermediação entre as informações.
Princípios de um fluxograma 
Todo fluxograma é regido por quatro princípios, diretamente relacionados à 
lógica matemática, como estudaremos a seguir.
Princípio da evidência e princípio da análise 
O primeiro fundamento afirma que nenhum fato deve ser considerado verdadeiro 
até que este seja provado, já o segundo destaca que as dificuldades devem ser 
fracionadas de maneira a facilitar o seu entendimento.
Princípio da síntese e da enumeração
Perante a síntese, um fluxograma deve estar organizado de maneira que fatos 
simples resultem em outros mais complexos; já o segundo princípio destaca a 
necessidade de realizar enumerações detalhadas e completas.
Classificação
Por deter a capacidade de esquematizar e visualizar os sistemas de forma racional, 
concisa e clara, viabilizando a compreensão geral por todos os envolvidos, os 
fluxogramas são classificados de acordo com suas funcionalidades.
12
Oliveira (2009) nos apresenta os seguintes tipos de fluxogramas:
• Fluxograma vertical: formado por colunas verticais, é destinado à 
representação das atividades.
• Fluxograma parcial ou descritivo: retrata, com detalhes, os documentos, as 
atividades e as informações de um processo. 
• Fluxograma global ou de coluna: oportuniza o levantamento de novos 
procedimentos e novas rotinas. 
Fluxograma é um tipo de diagrama que foi criado na década de 
1920. Essa criação é patenteada pelo engenheiro industrial Frank 
Gilbreth, que o apresentou à sociedade americana de engenheiros 
mecânicos em 1921 como um gráfico de fluxo de processo. Desde 
então, esse dispositivo foi aprimorado e padronizado para otimizar 
processos em vários setores.
Curiosidade
Aplicação
Existem inúmeras aplicações para os fluxogramas, no entanto, aqui nos restringiremos 
à sua utilização na lógica matemática. Nesse sentido, esse dispositivo gráfico 
compreende um método alternativo às tabelas-verdade, com o objetivo de validar 
argumentos. Nessa metodologia, a verificação de uma prova ou argumento, de acordo 
com Daghlian (1988), ocorre da seguinte maneira:
• As premissas são consideradas inicialmente como verdadeiras.
• Aplicam-se as definições dos operadores lógicos para determinar o valor 
lógico referente à conclusão, de maneira que o teorema ou o argumento sejam 
provados.
• Caso não seja possível encontrar o valor lógico da conclusão, ou em que se 
encontra uma contradição, o argumento será considerado falso. 
A prova de teoremas, ou o teste de teoremas realizado a partir da utilização de 
fluxogramas, pode ser realizada a partir das técnicas de dedução direta ou indireta. O 
uso de tais métodos de prova deve estar alinhado às suas especificidades e condições.
13
Daghlian (1988) apresenta diversos exemplos da utilização de fluxograma como 
um recurso útil na lógica matemática. Entre estes, considere provar as seguintes 
premissas:
1. 𝑝 → 𝑞
2. ~𝑞
A seguir, considere o fluxograma.
Validação das premissas utilizando um fluxograma
Fonte: adaptado de Daghlian (1988).
#pratodosverem: fluxograma composto de retângulos. Em seu interior, uma 
sequência de ações é realizada com as premissas.
Para entendermos essa dinâmica, Daghlian (1988) explica que, nesse processo, 
ocorreram as seguintes ações:
• Consideram-se as duas premissas como verdadeiras, logo p → q é verdadeira, 
assim como ~q.
• Como é verdadeiro ~q, utilizando o princípio da negação, têm-se que a q é 
falsa.
• Agora, sabendo que q é falsa; na condicional de valor lógico verdadeiro p → q, 
encontramos a premissa q como falsa.
• Com base na definição de condicional, tem-se que p só será falsa caso p → q 
seja verdadeiro.
14
• Assim, como p é falsa, a sua negação ~p é verdadeira; fato este que valida 
o argumento, porque premissas verdadeiras conduzem a uma conclusão 
também verdadeira.
Para saber mais sobre o tema, acesse os links e assista a dois 
vídeos para aprimorar seus conhecimentos.
1. Prova direta.
2. Prova indireta ou por redução ao absurdo.
Saiba mais
https://www.youtube.com/watch?v=Z-WOHX-VEVo&ab_channel=ProfessorAquino-Matem%C3%A1tica
https://www.youtube.com/watch?v=YsMu7GrYvGs&ab_channel=ProfessorAquino-Matem%C3%A1tica
15
Conclusão
Esta unidade apresentou a concepção de técnicas dedutivas: a prova direta, a prova 
indireta, a prova condicional e a prova bicondicional. Todas elas apresentam como 
objetivo a validação de argumentos ou teoremas. Além disso, recordamos sobre 
fluxogramas, um dispositivo gráfico e visual que também pode ser utilizado na lógica 
matemática, exercendo uma função similar à de uma tabela-verdade.16
Referências
ALENCAR FILHO, E. Iniciação à lógica matemática. São Paulo: Nobel, 2008.
DAGHLIAN, J. Lógica e álgebra de Boole. São Paulo: Atlas, 1988.
NICOLETTI, M. C. A cartilha da lógica. 2. ed. São Carlos: EdUFSCar, 2009.
OLIVEIRA, D. P. R. Sistemas, organização e métodos: uma abordagem gerencial. São 
Paulo: Atlas, 2009.
PROVA DIRETA e Prova Indireta. | 15. Introdução ao Pensamento Matemático. 
[S. l.: s. n.], 23 abr. 2020. 1 vídeo (18min15s). Publicado pelo canal Professor Aquino 
– Matemática. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=Z-WOHX-VEVo. 
Acesso em: 3 out. 2023. 
PROVA POR CONTRADIÇÃO ou Prova por Absurdo. | 16. Introdução ao Pensamento 
Matemático. [S.  l.: s. n.], 30 abr. 2020. 1 vídeo (25min48s). Publicado pelo canal 
Professor Aquino – Matemática. Disponível em: https://www.youtube.com/
watch?v=YsMu7GrYvGs. Acesso em: 3 out. 2023. 
SOARES, E. Fundamentos da lógica. São Paulo: Atlas, 2003. 
https://www.youtube.com/watch?v=Z-WOHX-VEVo
https://www.youtube.com/watch?v=YsMu7GrYvGs
https://www.youtube.com/watch?v=YsMu7GrYvGs
	_heading=h.30j0zll