calculo Diferencial

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Para resolver esse problema, precisamos determinar o trabalho realizado pela 
força f(x)=xcos(x) para deslocar o braço robótico entre os pontos x=0x = 0 e x=. O 
trabalho W realizado por uma força ao deslocar um objeto é dado pela integral da 
força em relação à distância percorrida, ou seja: 
W=∫abf(x) dx 
Aqui, f(x)=xcos⁡(x)f(x) = x \cos(x), o intervalo de integração é de 00 a π2\frac{\pi}{2}, 
então o trabalho será: 
W=∫0π2xcos⁡(x) dxW = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos(x) \, dx 
Para resolver essa integral, usaremos a técnica de integração por partes. A 
fórmula para integração por partes é dada por: 
∫u dv=uv−∫v du\int u \, dv = uv - \int v \, du 
Passo 1: Definir uu e dvdv 
Escolhemos u=xu = x, porque sua derivada du=dxdu = dx simplifica a integral. 
Assim, dv=cos⁡(x)dxdv = \cos(x) dx, e a integral de cos⁡(x)\cos(x) é v=sin⁡(x)v = 
\sin(x). 
Passo 2: Aplicar a fórmula de integração por partes 
Agora, aplicamos a fórmula: 
∫xcos⁡(x) dx=xsin⁡(x)−∫sin⁡(x) dx\int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) - \int \sin(x) \, dx 
Sabemos que a integral de sin⁡(x)\sin(x) é −cos⁡(x)-\cos(x), então: 
∫xcos⁡(x) dx=xsin⁡(x)+cos⁡(x)\int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) + \cos(x) 
Passo 3: Avaliar a integral definida 
Agora, vamos avaliar a integral no intervalo de 00 a π2\frac{\pi}{2}: 
W=[xsin⁡(x)+cos⁡(x)]0π2W = \left[ x \sin(x) + \cos(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} 
Substituindo os limites de integração: 
 Para x=π2x = \frac{\pi}{2}: 
(π2sin⁡(π2)+cos⁡(π2))=π2⋅1+0=π2\left( \frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 
\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) = \frac{\pi}{2} \cdot 1 + 0 = \frac{\pi}{2} 
 Para x=0x = 0: 
(0⋅sin⁡(0)+cos⁡(0))=0+1=1\left( 0 \cdot \sin(0) + \cos(0) \right) = 0 + 1 = 1 
Agora, calculando o trabalho: 
W=π2−1W = \frac{\pi}{2} - 1 
Resultado final: 
O trabalho realizado pela força f(x)=xcos⁡(x)f(x) = x \cos(x) para deslocar o braço 
robótico de x=0x = 0 até x=π2x = \frac{\pi}{2} é: 
W=π2−1W = \frac{\pi}{2} - 1 
Este é o valor do trabalho realizado pela força.