Lista 03 - Diferenciabilidade - 2022

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3ª Lista - Resumo Teórico e Exercícios Cálculo Diferencial e Integral II
Diferenciabilidade
Profs. Eugenio/Neide/Eduardo/Müller
(A) Função de uma variável
Vimos que dy
dx
é uma notação para a derivada de y = f(x). Interpretaremos esta
notação como sendo um quociente entre dois acréscimos.
Figura 1:
Definimos:
• O acréscimo de x (denotado por ∆x)
• A diferencial da variável independente x (denotada por dx) como dx = ∆x
• A variação de x origina uma variação em y (∆y)
• A diferencial da variável dependente y (denotada por dy) como
dy = f ′(x)dx = f ′(x)∆x = df(x, dx)
(diferencial de f em x)
Iniciaremos dx como sendo um acréscimo em x, para depois procurar uma interpre-
tação para o acréscimo dy. Sabemos que f ′(x) representa o coeficiente angular da
reta tangente t no ponto (x, f(x)) e que dy
dx
= f ′(x) (notação usada para derivar as
funções na variável indicada). Se observarmos na figura, dy como sendo o acréscimo
na “ordenada da reta tangente t”, correspondente ao acréscimo dx em x, teremos:
dy
dx
= tg(α) = f ′(x),
ou seja,
dy = f ′(x) dx.
Observe que ∆y = f(x + dx) − f(x) é o acréscimo que a função f sofre correspon-
dente ao acréscimo dx em x. Se considerarmos ∆x (ou dx) suficientemente pequeno
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Cálculo II (Continuação)
(próximo de zero), podemos dizer que dy é um valor aproximado de ∆y, ou seja, a
diferença entre ∆y e dy será tanto menor quanto menor for o ∆x.
Conclusão: Fixado x, se olharmos para a função linear (que no nosso caso é a reta
t), a cada dx ∈ R, associa dy ∈ R, onde dy = f ′(x) dx. Tal função denomina-se
diferencial de f em x ou simplesmente diferencial de y = f(x).
Assim:
dy é um valor aproximado de ∆y; dy = f ′(x) dx; ∆y = f(x + dx) − f(x)
Portanto,
f(x+dx)−f(x) ≈ dy ⇒ f(x+dx)−f(x) ≈ f ′(x) dx ⇒ f(x + dx) ≈ f(x) + f ′(x) dx .
Exemplo 1 Se y = 2x2 − 6x + 5, calcule ∆y e dy para x = 3 e ∆x = 0, 01.
Solução: Temos
∆y = f(x+∆x)−f(x) = f(3+0, 01)−f(3) = f(3, 01)−f(3) = [2·(3, 01)2−6·3, 01+5]−[2·32−6·3+5] = 5, 0602−5 = 0, 0602
e
dy = f ′ dx = (4x − 6) · ∆x = (4 · 3 − 6) · 0, 01 = 6 · 0, 01 = 0, 06
A diferença ∆y − dy = 0, 0602 − 0, 06 = 0, 0002 seria menor se usássemos um valor menor ainda
para ∆x.
Exemplo 2 Calcule, por meio de diferenciais, a raiz quadrada de 9,2 e verifique o
erro percentual.
Solução: Sabemos que
√
9 = 3, e que a função raiz quadrada é definida por: f(x) =
√
x. Assim,
utilizaremos o conceito de diferenciais para obter o resultado da raiz aproximada de 9,2 e para
tanto precisamos definir os termos da relação: f(x + ∆x) ≈ f(x) + f ′(x)dx. Temos:
• x = 9, que é ponto onde derivaremos a função, mais próximo e de raiz conhecida;
• ∆x = 0, 2, que é o afastamento que o valor 9,2 tem do ponto onde vamos derivar a função;
• f(x) é o valor da função no ponto onde derivamos a mesma, neste caso: f(9) =
√
9 = 3;
• f ′(x) = 1
2
√
x
, lembramos que temos que derivar em x = 9, portanto, f ′(9) = 1
2
√
9 = 1
6 .
Com esses dados em mãos, substituímos:
f(x + ∆x) ≈ f(x) + f ′(x)dx ⇒ f(9 + 0, 2) ≈ f(9) + f ′(9) · (0, 2)
f(9, 2) ≈ 3 + 1
6 · (0, 2) ⇒ f(9, 2) ≈ 3 + 0, 2
6 = 18, 2
6 ⇒ f(9, 2) ≈ 3, 0333
A raiz obtida com o auxílio da calculadora, usando o mesmo número de casas, é 3,0332. Assim, o
erro relativo percentual é dado por
E = |3, 0333 − 3, 0332|
3, 0332 × 100% = 0, 003%,
que é extremamente pequeno. Dessa forma, a aproximação por diferenciais se mostrou um bom
aliado no cálculo de valores de função em pontos próximos a valores conhecido.
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Cálculo II (Continuação)
(B) Função de duas variáveis
Seja f : D → R2 com D ⊆ R2. Dizemos que z = f(x, y) é diferenciável em
(x0, y0) ∈ D se, e somente se,
∆z ≈ dz = ∂f
∂x
(x0, y0)dx + ∂f
∂y
(x0, y0)dy.
A expressão ∂f
∂x
(x0, y0)dx + ∂f
∂y
(x0, y0)dy é chamada de diferencial de f no ponto
(x0, y0) e indica-se por dz ou df(x0, y0). Podemos usar também a notação:
dz = ∂z
∂x
(x0, y0) dx + ∂z
∂y
(x0, y0) dy
• Cálculo aproximado de funções por diferenciais
Podemos calcular o valor de uma função de duas variáveis utilizando a aproximação
por diferenciais. Seja
∆z = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f(x0, y0).
Na aproximação por diferenciais temos que ∆z ≈ dz, ou seja,
f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f(x0, y0) ≈ dz
f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f(x0, y0) ≈ ∂z
∂x
(x0, y0) dx + ∂z
∂y
(x0, y0) dy
de modo que
f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ f(x0, y0) + ∂z
∂x
(x0, y0) dx + ∂z
∂y
(x0, y0) dy .
Exemplo 3 Considere a função diferenciável f(x, y) = x2y. Calcule, através da
diferencial, o valor aproximado de f(1, 002; 0, 997).
Solução: Temos (x0, y0) = (1, 1) de modo que
f(1, 1) = 1, ∆x = 1, 002 − 1 = 0, 002 e ∆y = 0, 997 − 1 = −0, 003.
Sabemos que:
f(1, 002; 0, 997) = f(1, 1) + ∆z.
Entretanto, ∆z ≈ dz = ∂f
∂x (1, 1)∆x + ∂f
∂y (1, 1)∆y. Então:
∂f
∂x
= 2xy ⇒ ∂f
∂x
(1, 1) = 2
∂f
∂y
= x2 ⇒ ∂f
∂y
(1, 1) = 1
e
dz = 2 · 0, 002 + 1 · (−0, 003) = 0, 001.
Logo:
f(1, 002; 0, 997) ≈ 1 + 0, 001 = 1, 001.
Se efetuarmos os cálculos diretamente, sem aproximações através de diferenciais, obteremos:
(1, 002)2 · 0, 997 = 1, 0009919.
• Cálculo de Erros
Podemos utilizar as diferenciais para o cálculo de erros associados a grandezas.
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Cálculo II (Continuação)
Tipo de Erro Expressão
Erro Absoluto dz
Erro Médio dz
z
Erro Percentual dz
z
× 100%
Erro Relativo |∆z − dz|
z
Exercícios da 3ª Lista
1. Por meio de diferenciais, aproxime a variação de f para as variações indicadas nas
variáveis independentes:
(a) f(x, y) = x2 − 2xy + 3y; (1, 2) para (1, 03; 1, 99)
(b) f(x, y) = x2 − 3x3y2 + 4x − 2y3 + 6; (−2, 3) para (−2, 02; 3, 01)
2. Dadas as figuras planas abaixo
Usando diferencial, calcule um valor aproximado para a variação da área quando os
lados são modificados de
(a) 4 cm e 2 cm para 4,01 cm e 2,001 cm, respectivamente, no caso do retângulo.
(b) 2 cm para 2,01 cm e 1cm para 0,5 cm, no caso do triângulo retângulo.
3. Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica, veja
figura abaixo.
Em um dado instante, o raio da base é de 12 cm e a altura é 8 cm. Usando
diferencial, obter uma aproximação da variação do volume, se o raio da base varia
para 12,5 cm e a altura para 7,8 cm. Dado: V = πr2h
3 .
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Cálculo II (Continuação)
4. Usando diferencial, obter o aumento aproximado do volume de um cilindro circular
reto, quando o raio da base varia de 3 cm para 3,1 cm e a altura varia de 21 cm até
21,5 cm. Dado: V = πr2h.
5. Uma lata cilíndrica fechada de estanho deve ter raio interno 2 dm e altura interna
4 dm, sendo 5 mm a espessura das paredes. Utilizando diferencial, encontrar o
volume aproximado de estanho necessário para fabricá-la. Dado: V = πr2h.
6. A pressão, o volume e a temperatura de um mol de um gás ideal estão relacionados
pela equação pV = 8, 31T , onde p é medida em quilopascals, V em litros e T em
kelvins. Utilize diferenciais para determinar a variação da pressão se o volume
aumenta de 12 para 12,3 litros e a temperatura diminui de 310 K para 305 K.
7. A potência consumida num resistor elétrico é
P = E2
R
com P medido em watts. Suponha que num dado instante tenhamos E = 200 volts
e R = 8 ohms. Se E e R diminuem de 5 volts e 0,2 ohms, respectivamente, de
quanto varia aproximadamente a potência?
8. A pressão p, o volume V e a temperatura T de uma certa amostra gasosa confinada
em um compartimento selado por um pistão estão relacionados pela lei dos gases
ideais pV = kT onde p é medida em pascal (Pa), V em metros cúbicos (m3), T em
kelvin (K) e k é a constante de Boltzmann. A diferencial da pressão dessa amostra
é dada pela seguinte expressão
dp = −45, 1 dV + 12, 9 dT.
(a) Ache a variação aproximada da pressão se o gás é simultaneamente comprimido
por 20 m3 e aquecido por 46 K. A pressão aumentou ou diminuiu?
(b) Suponha um processo isocórico (volume constante) na qual a amostra gasosa
é resfriada por 46 K.Qual a variação aproximada da pressão nessa situação?
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(c) Qual deve ser a variação aproximada na temperatura da amostra para que
numa expansão de 30 m3 a pressão permaneça constante?
9. Uma lata cilíndrica foi feita com diâmetro de 2 dm e altura de 5 dm. O erro
acometido ao final de sua confecção foi de −0, 1 dm no raio e +0, 03 dm na altura.
Estime a variação absoluta e percentual no volume final da lata utilizando diferencial.
Dado: V = πr2h.
10. O volume de um cilindro circular reto é calculado a partir de valores medidos de raio
e altura. Supondo que o raio seja medido com erro de até 2% e a altura tenha erro
de até 0,5%, estime o possível erro percentual no cálculo de V . Dado: V = πr2h.
11. Uma lata de óleo no formato de cilindro apresenta raio de 20 cm e altura de 5 cm.
(a) Faça uma análise de sensibilidade para um recipiente nestas dimensões.
(b) Suponha que o erro no corte do raio da tampa e do fundo é de ±0, 5% e o erro
no corte da altura é de ±1%. Nessas condições, é possível atender um cliente
que não aceita erros maiores que ±1, 5%?
Dado: V = πr2h
12. Em um gás ideal, a pressão é calculada com base nas tomadas de medida de tempe-
ratura e pressão. Em certo estudo, a temperatura era de (200 ± 0, 1) K e o volume
de (500±0, 2) litros. Calcule a pressão em atm e verifique, por meio de diferenciais,
o maior erro possível, dado que:
pV = 40T.
13. O período T de um pêndulo simples em regime de pequenas oscilações é obtido
através da relação
T (ℓ, g) = 2π
√
ℓ
g
,
onde ℓ é o comprimento do pêndulo e g a aceleração da gravidade local.
Sabendo que o comprimento do pêndulo é ℓ = (4 ± 0, 02) m e a gravidade no local
é de g = (9, 61 ± 0, 02) m/s2, determine o período T e, por meio de diferenciais, o
maior erro possível.
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Cálculo II (Continuação)
Respostas
1. (a) df = −2dx + dy; dx = 0, 03; dy = −0, 01, portanto, df = −0, 07
(b) df = −324dx + 90dy; dx = −0, 02; dy = 0, 01, portanto, df = 7, 38
2. (a) dA = 0, 024 cm2
(b) dA = −0, 495 cm2
3. dV = 22, 4π cm3
4. dV = 17, 1π cm3
5. dV = 1, 2π dm3
6. dp = −8, 84 kPa
7. dP = −125 W
8. (a) Temos dV = −20 m3 e dT = 46 K, portanto, dp = 1495, 4 Pa. A pressão aumenta
pois dp > 0.
(b) Temos dV = 0 e dT = −46 K, portanto, dp = −593, 4 Pa.
(c) Temos dp = 0 e dV = 30 m3, portanto, dT = 104, 9 K.
9. Variação absoluta: dV = −0, 97π dm3; Variação Percentual: dV
V × 100% = −0,97π
5π ×
100% = −19, 4%
10. Erro percentual: dV
V × 100% = 4, 5%
11. (a) Temos uma lata de óleo de volume V = 2000π cm3. A variação no volume é dada
aproximadamente por dV = 200π dr + 400π dh. Notamos que o volume do tanque
é 2 vezes mais sensível a uma pequena variação de h que a uma pequena variação
de igual tamanho em r.
(b) O erro máximo exigido pelo cliente no volume da lata é (dV )cliente = ±1, 5% de V =
30π cm3 onde usamos que V = 2000π cm3. Com os dados da lata (r = 20 cm e h = 5
cm), vamos calcular o maior erro possível do volume, dV , para verificar se o valor
obtido está dentro da exigência do cliente. É dado que dr = ±0, 5% de r = ±0, 1
cm e dh = ±1% de h = ±0, 05 cm. Como as parcelas em dV estão sendo somadas, o
maior erro possível do volume ocorre quando dr e dh têm o mesmo sinal. Assim, se
dr = 0, 1 cm e dh = 0, 05 cm, obtemos dV = 40π cm3. Por outro lado, se dr = −0, 1
cm e dh = −0, 05 cm, obtemos dV = −40π cm3. Logo, o maior erro possível do
volume é dV = ±40π cm3, que está fora do limite máximo de erro definido pelo
cliente. Logo, não é possível atender o cliente.
12. p(T0, V0) = p(200, 500) = 16 atm. De acordo com o problema o erro na temperatura
é dT = ±0, 1 K e o erro no volume é dV = ±0, 2 litros. O erro na pressão pode ser
aproximado por dp = 0, 08dT − 0, 032dV . Como as parcelas estão sendo subtraídas, o
maior erro possível ocorre quando dT e dV têm sinais opostos. Assim, se dT = 0, 1 K e
dV = −0, 2 litros, temos dp = 0, 0144 atm. Por outro lado, se dT = −0, 1 K e dV = 0, 2
litros, temos dp = −0, 0144 atm. Logo, concluímos que o erro máximo da pressão é
dp = ±0, 0144 atm.
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Cálculo II (Continuação)
13. T (ℓ0, g0) = T (4; 9, 61) = 4, 054 s. De acordo com o problema, temos dℓ = ±0, 02 m e
dg = ±0, 02 m/s2. O erro no período pode ser aproximado por dT = 0, 508dℓ − 0, 211dg.
Como as parcelas estão sendo subtraídas, o maior erro possível ocorre quando dℓ e dg têm
sinais opostos. Assim, se dℓ = 0, 02 m e dV = −0, 02 m/s2, temos dT = 0, 0144 s. Por
outro lado, se dℓ = −0, 02 m e dg = 0, 02 m/s2, temos dT = −0, 0144 s. Logo, concluímos
que o erro máximo do período é dT = ±0, 0144 s.
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