FÓRMULAS DE GEOMETRIA

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FÓRMULAS DE GEOMETRIA
A = área, S = área da superfície lateral, V = volume, h = altura, B = área da base, r = raio, l = altura inclinada, C = circunferência, s = comprimento de arco
V = Bh
h
B
h
b
A = bh
h
b
A = bh1
2
1
3
A = (a + b)h1
2
h
b
a
A = πr2, C = 2π r
r
(θ em radianos)
r
s
�
A = r2θ , s = rθ1
2
h
r
V = πr2h, S = 2π rh V = πr3, S = 4π r2
r
4
3
l
r
h
V = πr2h, S = π rl
h
B
Paralelogramo
Cilindro circular reto Cone circular reto Cilindro ou prisma com bases paralelas Esfera
Triângulo Trapézio Círculo Setor
FÓRMULAS DE ÁLGEBRA
A FÓRMULA
QUADRÁTICA A FÓRMULA BINOMIAL
As soluções da equação quadrática
ax2 + bx + c = 0 são
x = −b ± b2 − 4ac
2a
(x + y)n = xn + nxn−1y + n(n − 1)
1 · 2
xn−2y2 + n(n − 1)(n − 2)
1 · 2 · 3
xn−3y3 + · · · + nxyn−1 + yn
(x − y)n = xn − nxn−1y + n(n − 1)
1 · 2
xn−2y2 − n(n − 1)(n − 2)
1 · 2 · 3
xn−3y3 + · · · ± nxyn−1 yn
TABELA DE INTEGRAIS
FUNÇÕES BÁSICAS
1. un du = un+1
n + 1
+ C
2.
du
u
= ln |u| + C
3. eu du = eu + C
4. sen u du = − cos u + C
5. cos u du = sen u + C
6. tg u du = ln |sec u| + C
7. arc sen u du = u arc sen u + 1 − u2 + C
8. arc cos u du = u arc cos u − 1 − u2 + C
9. arc tg u du = u arc tg u − ln 1 + u2 + C
10. au du = au
ln a
+ C
11. ln u du = u ln u − u + C
12. cotg u du = ln |sen u| + C
13.
sec u du = ln |sec u + tg u| + C
= ln |tg 1
4 π + 1
2 u | + C
14.
cossec u du = ln |cossec u − cotg u| + C
= ln |tg 1
2 u| + C
15. arc cotg u du = u arc cotg u + ln 1 + u2 + C
16. arc sec u du = u arc sec u − ln |u + u2 − 1| + C
17. arc cossec u du = u arc cossec u + ln |u + u2 − 1| + C
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RECÍPROCOS DE FUNÇÕES BÁSICAS
18.
1
1 ± sen u
du = tg u ∓ sec u + C
19.
1
1 ± cos u
du = − cotg u ± cossec u + C
20.
1
1 ± tg u
du = 1
2 (u ± ln |cos u ± sen u|) + C
21.
1
sen u cos u
du = ln |tg u| + C
22.
1
1 ± cotg u
du = 1
2 (u ∓ ln |sen u ± cos u|) + C
23.
1
1 ± sec u
du = u + cotg u ∓ cossec u + C
24.
1
1 ± cossec u
du = u − tg u ± sec u + C
25.
1
1 ± eu
du = u − ln(1 ± eu) + C
POTÊNCIAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
26. sen2 u du = 1
2 u − 1
4 sen 2u + C
27. cos2 u du = 1
2 u + 1
4 sen 2u + C
28. tg2 u du = tg u − u + C
29. senn u du = − 1
n
senn−1 u cos u + n − 1
n
senn−2 u du
30. cosn u du = 1
n
cosn−1 u sen u + n − 1
n
cosn−2 u du
31. tgn u du = 1
n − 1
tgn−1 u − tgn−2 u du
32. cotg2 u du = − cotg u − u + C
33. sec2 u du = tg u + C
34. cossec2 u du = − cotg u + C
35. cotgn u du = − 1
n − 1
cotg n−1 u − cotgn−2 u du
36. secn u du = 1
n − 1
secn−2 u tg u + n − 2
n − 1
secn−2 u du
37. cossecn u du = − 1
n − 1
cossecn−2 u cotg u + n − 2
n − 1
cossecn−2 u du
PRODUTOS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
38. sen mu sen nu du = − sen(m + n)u
2(m + n)
+ sen(m − n)u
2(m − n)
+ C
39. cos mu cos nu du = sen(m + n)u
2(m + n)
+ sen(m − n)u
2(m − n)
+ C
40. sen mu cos nu du = − cos(m + n)u
2(m + n)
− cos(m − n)u
2(m − n)
+ C
41. senm u cosn u du = − senm−1 u cosn+1 u
m + n
+ m − 1
m + n
senm−2 u cosn u du
= senm+1 u cosn−1 u
m + n
+ n − 1
m + n
senm u cosn−2 u du
PRODUTOS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E EXPONENCIAIS
42. eau sen bu du = eau
a2 + b2
(a sen bu − b cos bu) + C 43. eau cos bu du = eau
a2 + b2
(a cos bu + b sen bu) + C
POTÊNCIAS DE u MULTIPLICANDO OU DIVIDINDO FUNÇÕES BÁSICAS
44. u sen u du = sen u − u cos u + C
45. u cos u du = cos u + u sen u + C
46. u2 sen u du = 2u sen u + (2 − u2) cos u + C
47. u2 cos u du = 2u cos u + (u2 − 2) sen u + C
48. un sen u du = −un cos u + n un−1 cos u du
49. un cos u du = un sen u − n un−1 sen u du
50. un ln u du = un+1
(n + 1)2
[(n + 1) ln u − 1] + C
51. ueu du = eu(u − 1) + C
52. uneu du = uneu − n un−1eu du
53. unau du = unau
ln a
− n
ln a
un−1au du + C
54.
eu du
un
= − eu
(n − 1)un−1
+ 1
n − 1
eu du
un−1
55.
au du
un
= − au
(n − 1)un−1
+ ln a
n − 1
au du
un−1
56.
du
u ln u
= ln |ln u| + C
POLINÔMIOS MULTIPLICANDO FUNÇÕES BÁSICAS
57. p(u)eau du = 1
a
p(u)eau − 1
a2
p (u)eau + 1
a3
p (u)eau − · · · [sinais alternados: + − + − ···]
58. p(u) sen au du = − 1
a
p(u) cos au + 1
a2
p (u) sen au + 1
a3
p (u) cos au − · · · [sinais alternados em pares depois do primeiro termo: + + − − + + − − ···]
59. p(u) cos au du = 1
a
p(u) sen au + 1
a2
p (u) cos au − 1
a3
p (u) sen au − · · · [sinais alternados em pares: + + − − + + − − ···]
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FUNÇÕES RACIONAIS CONTENDO POTÊNCIAS DE a + bu NO DENOMINADOR
60.
u du
a + bu
= 1
b2
[bu − a ln |a + bu|] + C
61.
u2 du
a + bu
= 1
b3
1
2
(a + bu)2 − 2a(a + bu) + a2 ln |a + bu| + C
62.
u du
(a + bu)2
= 1
b2
a
a + bu
+ ln |a + bu| + C
63.
u2 du
(a + bu)2
= 1
b3
bu − a2
a + bu
− 2a ln |a + bu| + C
64.
u du
(a + bu)3
= 1
b2
a
2(a + bu)2
− 1
a + bu
+ C
65.
du
u(a + bu)
= 1
a
ln
u
a + bu
+ C
66.
du
u2(a + bu)
= − 1
au
+ b
a2
ln
a + bu
u
+ C
67.
du
u(a + bu)2
= 1
a(a + bu)
+ 1
a2
ln
u
a + bu
+ C
FUNÇÕES RACIONAIS CONTENDO a2 ± u2 NO DENOMINADOR (a > 0)
68.
du
a2 + u2
= 1
a
arc tg
u
a
+ C
69.
du
a2 − u2
= 1
2a
ln
u + a
u − a
+ C
70.
du
u2 − a2
= 1
2a
ln
u − a
u + a
+ C
71.
bu + c
a2 + u2
du = b
2
ln(a2 + u2) + c
a
arc tg
u
a
+ C
INTEGRAIS DE a2 + u2 , a2 − u2, u2 − a2 E SUAS RECÍPROCAS (a > 0)
72. u2 + a2 du = u
2
u2 + a2 + a2
2
ln(u + u2 + a2) + C
73. u2 − a2 du = u
2
u2 − a2 − a2
2
ln |u + u2 − a2| + C
74. a2 − u2 du = u
2
a2 − u2 + a2
2
arc sen
u
a
+ C
75.
du√
u2 + a2
= ln(u + u2 + a2) + C
76.
du√
u2 − a2
= ln |u + u2 − a2| + C
77.
du√
a2 − u2
= arc sen
u
a
+ C
POTÊNCIAS DE u MULTIPLICANDO OU DIVIDINDO a2 − u2 OU SUA RECÍPROCA
78. u2 a2 − u2 du = u
8
(2u2 − a2) a2 − u2 + a4
8
arc sen
u
a
+ C
79.
√
a2 − u2 du
u
= a2 − u2 − a ln
a + √
a2 − u2
u
+ C
80.
√
a2 − u2 du
u2
= −
√
a2 − u2
u
− arc sen
u
a
+ C
81.
u2 du√
a2 − u2
= −u
2
a2 − u2 + a2
2
arc sen
u
a
+ C
82.
du
u
√
a2 − u2
= − 1
a
ln
a + √
a2 − u2
u
+ C
83.
du
u2
√
a2 − u2
= −
√
a2 − u2
a2u
+ C
POTÊNCIAS DE u MULTIPLICANDO OU DIVIDINDO u2 ± a2 OU SUAS RECÍPROCAS
84. u u2 + a2 du = 1
3
(u2 + a2)3/2 + C
85. u u2 − a2 du = 1
3
(u2 − a2)3/2 + C
86.
du
u
√
u2 + a2
= − 1
a
ln
a + √
u2 + a2
u
+ C
87.
du
u
√
u2 − a2
= 1
a
arc sec
u
a
+ C
88.
√
u2 − a2 du
u
= u2 − a2 − a arc sec
u
a
+ C
89.
√
u2 + a2 du
u
= u2 + a2 − a ln
a + √
u2 + a2
u
+ C
90.
du
u2
√
u2 ± a2
= ∓
√
u2 ± a2
a2u
+ C
91. u2 u2 + a2 du = u
8
(2u2 + a2) u2 + a2 − a4
8
ln(u + u2 + a2) + C
92. u2 u2 − a2 du = u
8
(2u2 − a2) u2 − a2 − a4
8
ln |u + u2 − a2| + C
93.
√
u2 + a2
u2
du = −
√
u2 + a2
u
+ ln(u + u2 + a2) + C
94.
√
u2 − a2
u2
du = −
√
u2 − a2
u
+ ln |u + u2 − a2| + C
95.
u2
√
u2 + a2
du = u
2
u2 + a2 − a2
2
ln(u + u2 + a2) + C
96.
u2
√
u2 − a2
du = u
2
u2 − a2 + a2
2
ln |u + u2 − a2| + C
INTEGRAIS CONTENDO (a2 + u2)3/2, (a2 − u2)3/2, (u2 − a2)3/2 (a > 0)
97.
du
(a2 − u2)3/2
= u
a2
√
a2 − u2
+ C
98.
du
(u2 ± a2)3/2
= ± u
a2
√
u2 ± a2
+ C
99. (a2 − u2)3/2 du = −u
8
(2u2 − 5a2) a2 − u2 + 3a4
8
arc sen
u
a
+ C
100. (u2 + a2)3/2 du = u
8
(2u2 + 5a2) u2 + a2 + 3a4
8
ln(u + u2 + a2) + C
101. (u2 − a2)3/2 du = u
8
(2u2 − 5a2) u2 − a2 + 3a4
8
ln |u + u2 − a2| + C
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POTÊNCIAS DE u MULTIPLICANDO OU DIVIDINDO a + bu OU SUA RECÍPROCA
102. u
√
a + bu du = 2
15b2
(3bu − 2a)(a + bu)3/2 + C
103. u2
√
a + bu du = 2
105b3
(15b2u2 − 12abu + 8a2)(a + bu)3/2 + C
104. un
√
a + bu du = 2un(a + bu)3/2
b(2n + 3)
− 2an
b(2n + 3)
un−1
√
a + bu du
105.
u du√
a + bu
= 2
3b2
(bu − 2a)
√
a + bu + C
106.
u2 du√
a + bu
= 2
15b3
(3b2u2 − 4abu + 8a2)
√
a + bu + C
107.
un du√
a + bu
= 2un
√
a + bu
b(2n + 1)
− 2an
b(2n + 1)
un−1 du√
a + bu
108.
du
u
√
a + bu
=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
1√
a
ln
√
a + bu − √
a√
a + bu + √
a
+ C (a > 0)
2√−a
arc tg
a + bu
−a
+ C (a1)un−1
− b(2n − 3)
2a(n − 1)
du
un−1
√
a + bu
110.
√
a + bu du
u
= 2
√
a + bu + a
du
u
√
a + bu
111.
√
a + bu du
un
= − (a + bu)3/2
a(n − 1)un−1
− b(2n − 5)
2a(n − 1)
√
a + bu du
un−1
POTÊNCIAS DE u MULTIPLICANDO OU DIVIDINDO 2au − u2 OU SUA RECÍPROCA
112. 2au − u2 du = u − a
2
2au − u2 + a2
2
arc sen
u − a
a
+ C
113. u 2au − u2 du = 2u2 − au − 3a2
6
2au − u2 + a3
2
arc sen
u − a
a
+ C
114.
√
2au − u2 du
u
= 2au − u2 + a arc sen
u − a
a
+ C
115.
√
2au − u2 du
u2
= − 2
√
2au − u2
u
− arc sen
u − a
a
+ C
116.
du√
2au − u2
= arc sen
u − a
a
+ C
117.
du
u
√
2au − u2
= −
√
2au − u2
au
+ C
118.
u du√
2au − u2
= − 2au − u2 + a arc sen
u − a
a
+ C
119.
u2 du√
2au − u2
= − (u + 3a)
2
2au − u2 + 3a2
2
arc sen
u − a
a
+ C
INTEGRAIS CONTENDO (2au − u2)3/2
120.
du
(2au − u2)3/2
= u − a
a2
√
2au − u2
+ C 121.
u du
(2au − u2)3/2
= u
a
√
2au − u2
+ C
A FÓRMULA DE WALLIS
122.
π/2
0
senn u du =
π/2
0
cosn u du = 1 · 3 · 5 · · · · · (n − 1)
2 · 4 · 6 · · · · · n
· π
2
⎛
⎜
⎜
⎝ ⎛
⎜
⎜
⎝ ⎛
⎜
⎜
⎝ ⎛
⎜
⎜
⎝
n um número
inteiro par e
n≥2
ou
2 · 4 · 6 · · · · · (n − 1)
3 · 5 · 7 · · · · · n
n um número
inteiro ímpar e
n≥3
REVISÃO DE TRIGONOMETRIA(0, 1)
(0, –1)
(1, 0)
(–1, 0)
( , )1
2
√3
2
(– , )1
2
√3
2
( , – )1
2
√3
2(– , – )1
2
√3
2
( , )1
2
√3
2
(– , )1
2
√3
2
( , – )1
2
√3
2(– , – )1
2
√3
2
( , )1
√2
1
√2
(– , )1
√2
1
√2
( , – )1
√2
1
√2(– , – )1
√2
1
√2
π
π
0
2π
2
π
3 π
4
11π
67π
45π
3
3π
2
4π
3
5π
4
5π
6
3π
4
2π
3
7π
6
π
6
y
x
y
xθ
(cos θ, sen θ)
IDENTIDADES DE PITÁGORAS
sen2 θ + cos2 θ = 1 tg2 θ + 1 = sec2 θ 1 + cotg2 θ = cossec2 θ
IDENTIDADES DE SINAL
sen(−θ) = −sen θ cos(−θ) = cos θ tg(−θ) = −tg θ
cossec(−θ) = −cossec θ sec(−θ) = sec θ cotg(−θ) = −cotg θ
IDENTIDADES COMPLEMENTARES IDENTIDADES SUPLEMENTARES
sen
π
2
− θ = cos θ cos
π
2
− θ = sen θ tg
π
2
− θ = cotg θ sen(π − θ) = sen θ cos(π − θ) = −cos θ tg(π − θ) = −tg θ
cossec(π − θ) = cossec θ sec(π − θ) = −sec θ cotg(π − θ) = −cotg θ
cossec
π
2
− θ = sec θ sec
π
2
− θ = cossec θ cotg
π
2
− θ = tg θ sen(π + θ) = −sen θ cos(π + θ) = −cos θ tg(π + θ) = tg θ
cossec(π + θ) = −cossec θ sec(π + θ) = −sec θ cotg(π + θ) = cotg θ
FÓRMULAS DE ADIÇÃO
tg(α + β) = tg α + tg β
1 − tg α tg β
sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β
sen(α − β) = sen α cos β − cos α sen β
tg(α − β) = tg α − tg β
1 + tg α tg β
cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β
cos(α − β) = cos α cos β + sen α sen β
FÓRMULAS DO ÂNGULO DUPLO FÓRMULAS DO ÂNGULO METADE
sen 2α = 2 sen α cos α cos 2α = 2 cos2 α − 1
sen2 α
2
= 1 − cos α
2
cos2 α
2
= 1 + cos α
2cos 2α = cos2 α − sen2 α cos 2α = 1 − 2 sen2 α
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
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