UN04

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Unidade 4 
Análise de estruturas hiperestáticas 
pelo método dos deslocamentos 
 
 
Introdução da Unidade 
 
Olá alunos! Sejam bem-vindos à disciplina de Mecânica dos Sistemas Estruturais III. Nesta 
disciplina, iremos abordar alguns conceitos da resistência dos materiais utilizadas para o 
dimensionamento de elementos estruturais, seja qual for o material. Para tanto, vamos iniciar 
com os conceitos básicos, passando para os métodos usuais de cálculo de solicitações, em 
especial para as estruturas hiperestáticas. Com isso, vamos unir aos conhecimentos teóricos 
adquiridos até agora, para ter um leque de ferramentas importantes na hora de conceber um 
sistema estrutural, ou até para analisar um sistema estrutural existente. 
Nesta unidade, vamos apresentar a aplicação do método dos deslocamentos para solucionar 
problemas de vigas hiperestática. 
Objetivos 
 Aprofundar o estudo das análises de elementos estruturais estaticamente 
indeterminados; 
 Apresentar os conceitos necessários para a resolução de problemas com elementos 
estruturais estaticamente indeterminados através do método dos deslocamentos; 
 Apresentar exemplos de aplicação do método dos deslocamentos para solução de 
casos de elementos hiperestáticos. 
 
Conteúdo programático 
Aula 01 – Conceitos básicos usados no método dos deslocamentos. 
Aula 02 – Aplicação do método dos deslocamentos. 
Referências 
HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 10ª ed. São Paulo: Pearson, 2018. 
HIBBELER, R.C. Análise das estruturas. 8ª ed. São Paulo: Pearson, 2013. 
MARTHA, Luiz F. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio de Janeiro: Elsevier, 
2010. 
SORIANO, Humberto L. LIMA, Silvio de S. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. 
Rio de Janeiro: Elsevier, 2010. 
PINHEIRO, Libânio M. et. al. Tabelas de vigas: Deslocamentos e Momentos de Engastamento 
Perfeito. São Carlos: USP-EESC, 2010. Disponível em: 
 
Acesso em: 20/06/2020. 
 
 
 
about:blank
 
 
Aula 1 Conceitos básicos usados no método 
dos deslocamentos 
 
O método dos deslocamentos pode ser considerado um método dual ao método das forças, 
uma vez que ambos utilizam para analisar uma estrutura as três condições básicas da análise 
estrutural: condições de equilíbrio, condições de compatibilidade entre deslocamentos e 
deformações e condições impostas pelas leis constitutivas dos materiais, porém, a ordem de 
aplicação é inversa entre os métodos das forças e dos deslocamentos. 
No método dos deslocamentos, a ordem correta para adoção das condições básicas é a 
seguinte: 
1) Condições de compatibilidade; 
2) Leis constitutivas dos materiais; 
3) Condições de equilíbrio. 
Esta semelhança nos métodos fica mais clara ao observarmos o método usado para analisar 
uma estrutura através do método dos deslocamentos, que consiste em somar uma série de 
soluções básicas (chamados de casos básicos) que satisfaçam as condições de compatibilidade 
e não satisfazem as condições de equilíbrio da estrutura original e, na superposição dos casos, 
reestabelecer as condições de equilíbrio. 
Veja que o procedimento acima citado é totalmente o inverso do aplicado no método das 
forças, como vimos nas unidades anteriores. 
Cada um dos casos básicos adotados no método dos deslocamentos satisfaz isoladamente as 
condições de compatibilidade (continuidade interna e compatibilidade relacionada ao respeito 
à vinculação externa da estrutura), porém, estes casos básicos não satisfazem as condições de 
equilíbrio da estrutura original, pois necessitam de forças e momentos adicionais para poder 
manter seu equilíbrio. 
Esta condição de equilíbrio deve ser reestabelecida ao superpormos todas as soluções básicas. 
 
Deslocabilidade e sistema hipergeométrico 
A figura 1, a seguir, apresenta a configuração deformada de um pórtico plano, que abrange a 
superposição das configurações deformadas elementares, cada uma associada a um 
determinado efeito isolado. 
Figura 1: Configuração deformada de um pórtico plano, formada pela superposição de 
configurações deformadas elementares 
 
 
 
 
Fonte: Martha (2010) 
 
A configuração deformada elementar do caso (0) apresentado na Figura 1 isola o efeito da 
solicitação externa (carregamento), considerando que os nós da barra da estrutura 
apresentem deslocamentos e rotações nulos. Consideramos então, neste caso, que a 
configuração deformada corresponde à uma situação de engastamento perfeito da viga 
horizontal, para o carregamento uniformemente distribuído e aplicado (solicitação externa). 
As demais configurações (casos (1) à (7)) correspondem à imposições de deslocamentos e 
rotações nodais isolados, ou seja, cada caso apresenta uma configuração deformada 
elementar em que somente uma componente do deslocamento ou rotação nodal tem um 
valor não nulo. 
A superposição das configurações deformadas apresentadas no exemplo da Figura 01, indica 
que a configuração deformada final de uma estrutura reticulada pode ser parametrizada pelas 
componentes de deslocamentos e rotações dos nós da estrutura, uma vez que podemos 
determinar a configuração deformada de uma barra através dos deslocamentos e rotações 
apresentados em seus nós extremos, juntamente com seu carregamento. 
As deslocabilidades são as componentes de deslocamentos e rotações nodais que estão livres, 
ou seja, que devemos conhecer para podermos determinar a configuração deformada de uma 
estrutura. 
Utilizamos as deslocabilidades como os parâmetros que definem completamente a 
configuração deformada de uma estrutura. Elas são as nossas incógnitas, no método dos 
deslocamentos. Definimos os deslocamentos através da seguinte notação: 
𝐷𝑖 → Deslocabilidade de uma estrutura, ou seja, é o componente de deslocamento ou rotação 
livre (sem restrições pelos apoios) em um nó da estrutura, na direção de um dos eixos globais. 
Chamamos 𝐷𝑖 de deslocamento global, a fim de que se evite confundi-la com a deslocabilidade 
de uma barra isolada. 
Analisando a Figura 1, podemos observar que: 
 
 
 𝐷1 e 𝐷4 são deslocamentos horizontais dos nós superiores; 
 𝐷2 e 𝐷5 são deslocamentos verticais dos nós superiores; 
 𝐷3 e 𝐷6 são rotações dos nós superiores; e 
 𝐷7 é a rotação do nó inferior direito. 
As demais componentes não são deslocabilidades livres, uma vez que são restritas pelos 
apoios. 
Quando nossa estrutura possui todas as deslocabilidades definidas, ou seja, quando 
conhecemos seus valores, ela é chamada de estrutura cinematicamente determinada. No 
exemplo da Figura 1, podemos definir que as configurações deformadas dos casos (1) a (7) são 
cinematicamente determinadas, exceto os valores das deslocabilidades 𝐷𝑖, que inicialmente 
não são conhecidos. 
O modelo estrutural adotado nos casos básicos (SH – Sistema Hipergeométrico) é o de uma 
estrutura cinematicamente determinada obtida a partir da estrutura original, com o acréscimo 
de vínculos, na forma de apoios fictícios. A Figura 2, apresenta o SH para a viga utilizada como 
exemplo na Figura 1. Neste SH, os apoios fictícios adicionados para impedir as deslocabilidades 
são numerados de acordo com a numeração da deslocabilidade a que ele se refere, ou seja: o 
apoio 1 impede a deslocabilidade 𝐷1, o apoio 2 a deslocabilidade 𝐷2, e assim por diante. 
Figura 2 - Sistema Hipergeométrico do pórtico exemplo apresentado na Figura 1 
 
Fonte: Martha (2010) 
 
O SH criado (Figura 2) possui todos seus nós engastados completamente para que sejam 
isoladas as diversas componentes cinemáticas da estrutura, ou seja, para isolar os efeitos de 
cada uma das suas deslocabilidades. 
Em cada um dos casos básicos (Figura 1) da solução no método dos deslocamentos, no 
máximo uma deslocabilidade assume um valor não nulo. Baseado no SH, essa deslocabilidade 
é imposta como um “recalque” do correspondente apoio fictício inseridona criação do SH, 
enquanto os outros apoios fictícios fixam as demais deslocabilidades. 
Aqui vale fazermos uma comparação entre as ocorrências no método das forças e no método 
dos deslocamentos, diferenças essas apresentadas na Tabela 01, a seguir. 
 
 
Tabela 1- Comparação de ocorrência entre o método das forças e o método dos 
deslocamentos 
OCORRÊNCIA MÉTODO DAS FORÇAS 
MÉTODO DOS 
DESLOCAMENTOS 
Incógnitas Hiperestáticos 
(vínculos excedentes). 
Deslocabilidades 
(componentes de 
deslocamentos e rotações 
nodais que definem a 
configuração deformada da 
estrutura). 
Soluções básicas (estrutura) Sistema Principal (SP) – 
Estrutura isostática obtida 
através da retirada dos 
vínculos excedentes da 
original. 
Sistema Hipergeométrico 
(SH) – Estrutura 
cinematicamente 
determinada obtida através 
da adição de vínculos 
necessários para impedir a 
deslocabilidade da estrutura 
original. 
Quantidade de sistemas 
possíveis 
Vários SP’s válidos (qualquer 
apoio excedente removido 
para criar o SP possibilita a 
utilização do método) 
Apenas um SH válido (Só 
existe uma possibilidade: 
impedir todas as 
deslocabilidades). 
Fonte: elaborado pelo próprio autor (2020) 
 
 
 
Metodologia de análise pelo método dos deslocamentos 
Vamos agora verificar as etapas da análise através do método dos deslocamentos, a partir de 
uma viga exemplo, apresentada a seguir na Figura 3. Além da viga original, a figura apresenta 
também a configuração deformada para a viga, em escala ampliada, nas quais são 
apresentadas as deslocabilidades 𝐷1, 𝐷2 e 𝐷3, que corresponde aos deslocamentos horizontal 
e vertical e a rotação do nó interno. 
Figura 3 - Exemplo para apresentação da metodologia através do método dos deslocamentos 
Videoaula 1 
Agora, assista ao vídeo que aborda os 
conceitos básicos para aplicação do 
método dos deslocamentos na solução 
de estruturas hiperestáticas. 
 
Utilize o QR Code para assistir! 
 
 
 
Fonte: Martha (2010) 
 
Podemos ver na figura também, as notações utilizadas para as representações simplificadas 
(uma vez que a configuração deformada real pode ser difícil de ser compreendida) no método 
dos deslocamentos, tanto para os deslocamentos quanto para as rotações, que é uma seta 
com um traço perpendicular em sua base. 
Ao analisarmos as deslocabilidades 𝐷1, 𝐷2 e 𝐷3, podemos concluir que existem diversos 
valores que satisfazem as condições de compatibilidade, ou seja, existem diversas 
configurações deformadas que satisfazem as condições de compatibilidade respeitando os 
vínculos externos, as condições de continuidade interna e as condições de ligações entre 
barras. Porém, apenas uma solução é possível para que, além das condições citadas, satisfaça 
também as condições de equilíbrio da estrutura. 
Uma vez considerado que as barras estão em equilíbrio, de forma isolada, o equilíbrio da 
estrutura é imposto a partir do equilíbrio dos nós isolados, por isso a fundamentação, para que 
o método dos deslocamentos encontre os valores das deslocabilidades 𝐷1, 𝐷2 e 𝐷3 necessários 
para que o nó interno fique em equilíbrio. No caso dos nós externos, este equilíbrio é satisfeito 
automaticamente pelas reações de apoio. 
Analisando o exemplo apresentado na Figura 3, as soluções básicas (casos básicos) devem 
isolar o efeito da solicitação externa (do carregamento) e os efeitos de cada uma das 
deslocabilidades, no qual cada efeito isolado afeta o equilíbrio do nó interno e o este equilíbrio 
é obtido através da superposição dos casos básicos. 
Para o exemplo da Figura 3, podemos ver seu Sistema Hipergeométrico apresentado na Figura 
4, onde este SH será utilizado como estrutura auxiliar para imposição dos efeitos isolados 
mencionados anteriormente. 
Figura 4 - Sistema Hipergeométrico (SH) da estrutura exemplo 
 
 
 
Fonte: Martha (2010) 
 
Para o exemplo em questão, devemos analisar quatro casos básicos, nomeados como casos 
(0), (1), (2) e (3), análise essa que vamos fazer a seguir: 
Caso (0) – Solicitação externa (carregamento) isolada no SH: 
No caso (0) isolamos o efeito da solicitação externa, de forma que no SH as deslocabilidades 
𝐷1, 𝐷2 e 𝐷3 sejam nulas. Para isso, as forças e momentos que aparecem no apoio fictício 
(criado para evitar anular as deslocabilidades), são chamadas de termos de carga, cuja notação 
é 𝛽𝑖0. Este termo de carga é definido como: 
 𝛽𝑖0 → reação no apoio fictício associado à deslocabilidades 𝐷𝑖 para equilibrar o 
SH quando atua a solicitação externa isoladamente, ou seja, com 
deslocabilidades de valor nulos. 
A Figura 5 contempla a representação gráfica do Caso (0) para o exemplo em análise, onde a 
solicitação externa é isolada no SH 
Figura 5 - Sistema Hipergeométrico (SH) da estrutura exemplo 
 
Fonte: Martha (2010) 
Podemos observar na Figura 5 que temos 3 termos de carga, na qual 𝛽10 é a reação horizontal, 
𝛽20 a reação vertical e 𝛽30 o momento que ocorre nos 3 apoios fictícios do nó interno. 
Dessa forma, tais reações representam o engastamento perfeito do nó no SH, e calculamos os 
valores dos termos de carga para que equilibrem o nó interno, considerando o carregamento 
que atua na barra horizontal. As reações de engastamento de barras isoladas são conhecidas e, 
portanto, são consideradas como soluções fundamentais para a análise através do método dos 
deslocamentos. 
 
 
 
Leitura Recomendada 
Para aprofundar seus conhecimentos sobre as soluções fundamentais, leia o capítulo 9 do livro 
“Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos”, de MARTHA. 
Os esforços internos no caso (0) também são esforços em barras cujos nós extremos são 
engastados. Assim, somente as barras que possuem carga no seu interior apresentam esforços 
internos e deformações. Isso ocorre, pois os apoios fictícios adicionados no SH isolam as barras 
com respeito a deformações. 
Caso (1) – Isolamento da deslocabilidade 𝐷1 no SH. 
Para o exemplo em questão, nosso caso (1) isola o efeito da primeira deslocabilidades, 𝐷1, 
atribuindo um valor unitário para a mesma (𝐷1 = 1) que no final será multiplicado pelo valor 
encontrado para 𝐷1, enquanto os valores das deslocabilidades 𝐷2 e 𝐷3 continuam nulos. 
Para conseguir essa configuração (𝐷1 = 1, 𝐷2 = 0 e 𝐷3 = 0) é necessário que se aplique um 
conjunto de forças e momentos nodais que mantenham o SH em equilíbrio nessa 
configuração, como apresentado na Figura 06. 
Figura 6 - Isolamento da deslocabilidades 𝐷1 no SH da estrutura 
 
Fonte: Martha (2010) 
 
Nos casos onde isolamos uma deslocabilidade, as forças e momentos que surgem nos apoios 
fictícios do SH são chamados de coeficientes de rigidez globais (𝐾𝑖𝑗), que é definido como: 
 𝐾𝑖𝑗 → coeficiente de rigidez global: força ou momento que deve atuar na 
direção de 𝐷𝑖 para manter o SH em equilíbrio, quando é imposta uma 
configuração deformada. 
Para o caso (1), temos os coeficientes de rigidez globais 𝐾11 que é a força horizontal, 𝐾21 que é 
a força vertical e 𝐾31 que é o momento. 
Por definição, as unidades de medida dos coeficientes de rigidez globais são uma força ou 
momento, dividido pela deslocabilidade em questão, medida em metros. 
 
 
Os coeficientes de rigidez globais são obtidos em função dos coeficientes de rigidez das barras 
isoladas, os chamados coeficientes de rigidez locais e são determinados através das soluções 
fundamentais. Para as barras prismáticas, estes valores são tabelados, conforme a Figura 7. 
Figura 7 - Coeficientes de rigidez à flexão de uma barra prismática isolada sem articulação 
 
Fonte: Martha (2010) 
A utilização dessa tabela é uma das principais vantagens do método dos deslocamentos, se 
comparado com o método das forças, onde a obtenção das incógnitas é feita com o uso as 
tabelas, ao invés das integrais utilizadas no método das forças. 
 
Caso (2) – Isolamento da deslocabilidade 𝐷2 no SH. 
Da mesma maneira que fizemos parao caso (1), no caso (2) isolamos uma deslocabilidade, 
agora a 𝐷2, considerando o efeito de seu valor unitário multiplicado pelo resultado final. Da 
mesma forma do caso anterior, neste caso as deslocabilidades que não estão em evidência 
possuem seus valores nulos, portanto: 𝐷2 = 1, 𝐷1 = 0 e 𝐷3 = 0. A Figura 8, apresenta o SH 
para o caso (2). 
Figura 8 - Isolamento da deslocabilidades 𝐷2 no SH da estrutura 
 
 
 
Fonte: Martha (2010) 
 
Os coeficientes de rigidez global utilizados no caso (2) são: 𝐾12 que é a força horizontal, 𝐾22 a 
força vertical e 𝐾32 que é o momento, que são utilizados no SH para mantê-lo em equilíbrio 
quando se impõe uma configuração deformada com 𝐷2 = 1. 
Caso (3) – Isolamento da deslocabilidade 𝐷3 no SH. 
Este caso também segue os procedimentos para os casos (1) e (2), sendo que para o caso (3) é 
isolado o efeito da deslocabilidade 𝐷3, mantendo as deslocabilidades 𝐷1 e 𝐷2 com valores 
nulos. A Figura 9 apresenta o SH para o caso (3). 
Figura 9 - Isolamento da deslocabilidades 𝐷3 no SH da estrutura 
 
Fonte: Martha (2010) 
 
Veja que no caso (3), pelo fato da deslocabilidade ser uma rotação, sua unidade de medida é 
uma unidade de força dividida por radiano. 
 
 
 
 
Reestabelecimento das condições de equilíbrio 
Para reestabelecer as condições de equilíbrio da estrutura original precisamos anular os 
efeitos dos apoios fictícios criados no SH. Como dito anteriormente, o processo para 
reestabelecimento desta condição de equilíbrio passa pela superposição dos casos, de forma a 
reestabelecer as condições de equilíbrio do nó interior. As resultantes de forças e momentos 
no nó devem ser nulas. 
Podemos descrever de forma geral a equação de equilíbrio na direção da deslocabilidade 𝐷𝑖, 
para uma estrutura com 𝑛 deslocabilidades, conforme a seguir: 
𝐷3 + ∑ 𝐾𝑖𝑗
𝑗=𝑛
𝑗=1
. 𝐷𝑗 = 0 
Para o nosso exemplo, podemos definir as seguintes fórmulas: 
 Somatório das forças externas horizontais que atuam no nó interior: 
𝛽10 + 𝐾11𝐷1 + 𝐾12𝐷2 + 𝐾13𝐷3 = 0 
 Somatório das forças externas verticais que atuam no nó interior: 
𝛽20 + 𝐾21𝐷1 + 𝐾22𝐷2 + 𝐾23𝐷3 = 0 
 Somatório dos momentos externos que atuam no nó interior: 
𝛽30 + 𝐾31𝐷1 + 𝐾32𝐷2 + 𝐾33𝐷3 = 0 
 
Matriz de rigidez global e vetor dos termos de carga 
Podemos reescrever as equações anteriores em um sistema de equações de equilíbrio ou em 
forma matricial, conforme a seguir: 
{𝛽0} + [𝐾]{𝐷} = {0} 
Onde: 
 {𝛽0} → vetor dos termos de carga; 
 [𝐾] → matriz de rigidez global; 
 {𝐷} → vetor das deslocabilidades. 
Portanto, para o exemplo da Figura 3: 
Videoaula 2 
Agora, assista ao vídeo que aborda a 
metodologia de utilização do método 
dos deslocamentos para solução de 
estruturas hiperestáticas e suas etapas. 
 
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{
𝛽10 + 𝐾11𝐷1 + 𝐾12𝐷2 + 𝐾13𝐷3 = 0
𝛽20 + 𝐾21𝐷1 + 𝐾22𝐷2 + 𝐾23𝐷3 = 0
𝛽30 + 𝐾31𝐷1 + 𝐾32𝐷2 + 𝐾33𝐷3 = 0
 
ou: 
{
𝛽10
𝛽20
𝛽30
} + [
𝐾11 𝐾12 𝐾13
𝐾21 𝐾22 𝐾23
𝐾31 𝐾32 𝐾33
] {
𝐷1
𝐷2
𝐷3
} = {
0
0
0
} 
A solução do sistema formado pelas três equações de equilíbrio, no exemplo que adotamos, 
com os valores obtidos para os termos de carga (𝛽𝑖0) e para os coeficientes de rigidez global 
(𝐾𝑖𝑗) resulta nos seguintes valores para as deslocabilidades: 𝐷1 = +0,4504 . 10−3 m , 𝐷2 =
−1,0480 . 10−3 m e 𝐷3 = −0,7530 . 10−3 𝑟𝑎𝑑. 
Veja que o número de equações de equilíbrio usado no sistema é igual ao número de 
deslocabilidades. 
A matriz de rigidez global independe das solicitações externas, que é considerado apenas no 
cálculo dos termos de carga. A matriz [𝐾] é uma característica da estrutura apenas, uma vez 
que, existe apenas um possível sistema hipergeométrico para cada estrutura. 
Vale ressaltar que, da mesma forma que ocorre nas matrizes do método das forças, devido ao 
teorema de Maxwell, a matriz é simétrica (𝐾𝑖𝑗 = 𝐾𝑗𝑖). 
Vale ainda ressaltar que os coeficientes de rigidez para cada configuração deformada 
elementar (casos (1), (2) e (3) no nosso exemplo), possuem o mesmo índice 𝑗, o que significa 
que a j-ésima coluna da matriz de rigidez [𝐾] global da estrutura corresponde ao conjunto de 
forças generalizadas (forças e momentos) que atuam nas direções das deslocabilidades para 
equilibrá-la quando é imposta uma configuração deformada tal que 𝐷𝑗 = 1 (deslocabilidade 𝐷𝑗 
com valor unitário e as demais deslocabilidades com valor nulo). 
 
Determinação dos esforços internos 
Uma vez determinados os valores das deslocabilidades conforme visto até aqui, os diagramas 
finais dos esforços da estrutura também podem ser obtidos através da superposição dos 
diagramas de cada um dos casos básicos. Por exemplo, para o momento, podemos dizer que: 
𝑀 = 𝑀0 + 𝑀1. 𝐷1 + 𝑀2. 𝐷2 + 𝑀3. 𝐷3 
Onde 𝑀0 corresponde ao caso (0) e os diagramas 𝑀1, 𝑀2 e 𝑀3 são provocados por valores 
unitários das deslocabilidades nos casos (1), (2) e (3), respectivamente. Podemos extrapolar 
esta fórmula de cálculo para os outros esforços: 
𝑁 = 𝑁0 + ∑ 𝑁𝑗
𝑗=𝑛
𝑗=1
. 𝐷𝑗 
𝑄 = 𝑄0 + ∑ 𝑄𝑗
𝑗=𝑛
𝑗=1
. 𝐷𝑗 
𝑀 = 𝑀0 + ∑ 𝑀𝑗
𝑗=𝑛
𝑗=1
. 𝐷𝑗 
 
 
 
 
 
Leitura Obrigatória 
Para aprofundar seus conhecimentos sobre o método dos deslocamentos para análise 
estrutural, leia o capítulo 11 do livro “Análise das estruturas”, de RIBBELER. 
Disponível em: 
. Acesso em: 
05 jun. 2020. 
 
Leitura Recomendada 
Para aprofundar seus conhecimentos sobre o método dos deslocamentos para análise 
estrutural, leia o capítulo 10 do livro “Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos”, de 
MARTHA. 
 
 
Videoaula 3 
Agora, assista ao vídeo que aborda a 
conclusão do método dos 
deslocamentos para solução de 
estruturas hiperestáticas, com as etapas 
do reestabelecimento das condições de 
equilíbrio, a matriz de rigidez global e os 
vetores dos termos de carga e a 
determinação dos esforços internos da 
estrutura. 
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Aula 2 Aplicação do método dos 
deslocamentos 
 
Dando sequência ao assunto abordado na Aula 01, vale ressaltar que, como resultado final das 
condições expressas pelo sistema de equações finais do método das forças obtemos as 
condições de compatibilidade, condições essas impostas nas direções dos vínculos eliminados 
para obtermos o Sistema Principal (SP). 
Já para o método dos deslocamentos, o resultado final das condições expressas pelo 
sistema de equações expressa as condições de equilíbrio, impostas nas direções das 
deslocabilidades, ou seja, nas direções dos vínculos introduzidos para obtermos o 
Sistema Hipergeométrico (SH) da estrutura. 
Dessa forma temos que para o método dos deslocamentos, os coeficientes da matriz 
de rigidez global são forças ou momentos necessários para equilibrar o SH que foi 
submetido à deslocabilidades de valor unitário durante a resolução, enquanto no 
método das forças, os coeficientes da matriz de flexibilidade são deslocamentos ou 
rotações provocadas por hiperestáticos com valores unitários atuando no SP, ou seja, é 
o contrário, comparando um método ao outro. 
Convenções de sinais do método dos deslocamentos 
Para facilitar a definição das condições de equilíbrio propostas pelo método dos 
deslocamentos, é importante que seja definida uma convenção de sinais para as forças 
e momentos atuantes. A convenção de sinais para o método dos deslocamentos é 
apresentada na Figura 1. 
Os deslocamentos e forças horizontais são positivos quando tem o sentido da 
esquerda para a direita e negativos quando possuem sentido contrário. 
Os deslocamentos e forças verticais são positivos quanto tem o sentido de baixo para 
cima e negativos quando voltados para baixo. 
As rotações e os momentos são positivos quando tem sentido anti-horário e negativos 
quando tem sentidohorário. 
A convenção é a mesma para os esforços internos que atuam nas extremidades das 
barras, porém, deve-se referir a direções no sistema de eixos locais da barra (direção 
axial e transversal ao eixo da barra). 
Figura 1 - Tabela de convenção de sinais adotada para quadros planos no método dos 
deslocamentos 
 
 
 
Fonte: Martha (2010) 
 
Essa convenção se refere a efeitos sobre as extremidades de uma barra isolada. Os 
efeitos das barras sobre os nós isolados são contrários (ação e reação), mas a 
convenção de sinais está associada aos efeitos sobre as barras. A Figura 2, apresenta a 
aplicação da convenção dos sinais no método dos deslocamentos em um exemplo de 
uma viga biengastada. 
Aplicação do método dos deslocamentos para uma viga contínua 
Vamos analisar abaixo a aplicação do método dos deslocamentos para um exemplo 
numérico, de uma viga hiperestática contínua, apresentada na Figura 2, a seguir. 
 
Figura 2 - Viga contínua para exemplo de solução pelo método dos deslocamentos 
 
Fonte: Martha (2010) 
 
 
 
Vamos considerar, para a viga da Figura 2, além do carregamento uniformemente 
distribuído já apresentado de 12KN/m, o valor da rigidez à flexão 𝐸𝐼 =
1,2 . 10−4 𝐾𝑁𝑚². 
Determinação do Sistema Hipergeométrico 
O primeiro passo é analisarmos a viga para identificar as deslocabilidades e o Sistema 
Hipergeométrico (SH) da estrutura. Como as únicas deslocabilidades possíveis para a 
estrutura são as rotações dos nós internos, vamos ter duas deslocabilidades, uma em 
cada um destes apoios, denominadas 𝐷1 e 𝐷2. A representação das deslocabilidades e 
do SH para o nosso exemplo é apresentado a seguir, na Figura 3. 
Figura 3 - Deslocabilidades e sistema hipergeométrico da estrutura da Figura 2 
 
Fonte: Martha (2010) 
 
De posse do SH e das deslocabilidades devidamente identificadas, o próximo passo do 
método dos deslocamentos é a determinação dos casos básicos para posterior 
superposição dos casos básicos. 
Como temos duas deslocabilidades, vamos ter três casos básicos: casos (0), (1) e (2), 
onde o primeiro isola os efeitos do carregamento externo, e os demais isolam os 
efeitos das deslocabilidades de forma isolada, no Sistema Hipergeométrico definido 
anteriormente. 
Análise dos Casos e Cálculo das incógnitas (𝜷𝒊𝟎 e 𝑲𝒊𝒋) 
Caso (0) – Isolamento da solicitação externa no SH. 
No caso (0), devemos analisar a configuração deformada da viga, onde mantemos as 
rotações dos apoios internos nulos enquanto o carregamento atua na estrutura. Para 
manter a estrutura em equilíbrio, neste caso, surgem momentos nas chapas fictícias 
do nosso SH, que são os nossos termos de carga, no caso 𝛽10 e 𝛽20. A Figura 4 
apresenta de forma genérica os termos de carga 𝛽10 e 𝛽20 atuando no caso (0). 
Figura 4 - Configuração deformada do caso (0) 
 
 
 
Fonte: Martha (2010) 
 
Podemos também entender os efeitos destes termos de carga (𝛽10 e 𝛽20) no caso (0), 
analisando o diagrama de momentos fletores para o caso (0), que é apresentado a 
seguir, na Figura 5. 
Figura 5 - Diagramas de momentos fletores referentes ao caso (0) 
 
Fonte: Martha (2010) 
 
Os momentos fletores, apresentados na Figura 5, podem ser obtidos considerando a 
estrutura como um conjunto de vigas com engastamento perfeito. Os valores dos 
momentos para barras com engastamento perfeito podem ser utilizados com o auxílio 
de tabelas. 
Podemos representar os momentos para o caso (0) de duas formas, como apresentado 
na Figura 5. Na primeira forma, trançamos o diagrama tradicional de momentos 
fletores, considerando o traçado do lado da fibra da seção transversal que é 
tracionada. Veja que para o traçado dos diagramas, temos as descontinuidades no 
diagrama, o que indica as condições de equilíbrio da estrutura original (sem as chapas 
 
 
fictícias), que são violadas. Neste caso, o equilíbrio se torna satisfeito com a introdução 
dos termos de carga (𝛽10 e 𝛽20). 
Na segunda forma, indicamos os valores dos momentos fletores nas extremidades das 
barras, considerando a convenção de sinais do método dos deslocamentos (Figura 1). 
Este procedimento de traçar os diagramas facilita a obtenção dos termos de carga, na 
qual podemos somar os valores de cada momento nas seções transversais 
imediatamente próximas aos termos de carga, considerando seus devidos sinais, 
conforme a seguir: 
𝛽10 = −
𝑞. 42
12
+
𝑞. 66
12
= −16 + 36 = +20 𝐾𝑁𝑚 
𝛽20 = −
𝑞. 62
12
+
𝑞. 26
12
= −36 + 4 = −32 𝐾𝑁𝑚 
 
Leitura Obrigatória 
Veja o conjunto de tabelas revisadas e adaptadas por PINHEIRO et al. no documento 
“Tabelas de Vigas: Deslocamentos e Momentos de Engastamento Perfeito”. 
Disponível em: 
. Acesso em: 05 jun. 2020. 
 
 
 
Caso (1) – Isolamento da Deslocabilidade 𝐷1 no SH 
No caso (1), passamos a analisar os efeitos da deslocabilidade 𝐷1 isolada no Sistema 
Hipergeométrico, considerando 𝐷1 uma rotação unitária, que deverá ser multiplicada 
pelo valor encontrado no final desta etapa. 
Os valores para dos momentos fletores são obtidos através dos coeficientes de rigidez 
de barra, conforme apresentado na Figura 06, para a configuração imposta pelas 
Videoaula 1 
Agora, assista ao vídeo que aborda as 
primeiras etapas da aplicação do método 
dos deslocamentos na solução de 
estruturas hiperestáticas, a partir da 
determinação do SH até o cálculo dos 
termos de carga. 
 
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rotações de suas extremidades. Para o caso (1) do exemplo em questão, são 
respectivamente, 4𝐸𝐼/𝑙 e 2𝐸𝐼/𝑙. 
Figura 6 - Coeficientes de rigidez à flexão de uma barra prismática isolada sem 
articulação 
 
Fonte: Martha (2010) 
Podemos observar também que o trecho à direita da viga (a partir da segunda 
deslocabilidade) não sofre deformações por influência do caso (1), tendo desta forma 
momentos fletores nulos para este caso. 
Podemos observar na Figura 07, além do efeito da rotação provocada pela 
deslocabilidade 𝐷1, as interpretações físicas dos coeficientes de rigidez global 𝐾11 e 
𝐾21, que de modo análogo ao que vimos para os termos de carga no caso (0), 
representam as descontinuidades no diagrama de momentos fletores, agora para o 
caso (1). Por fim, a mesma figura apresenta um resumo dos momentos fletores 
atuantes em toda a viga, para o caso (1). 
Figura 7 - Configuração deformada e diagrama de momentos fletores para o caso (1) 
 
 
 
Fonte: Martha (2010) 
Também de forma análoga ao caso (0), os coeficientes 𝐾11 e 𝐾21 são obtidos através 
da soma dos momentos fletores, considerando seus sinais, nas seções transversais 
imediatamente sequentes ao nó analisado: 
𝐾11 = +
4𝐸𝐼
4
+
4𝐸𝐼
6
= +12000 + 8000 = +20000 𝐾𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑 
𝐾21 = +
2𝐸𝐼
4
= +4000 𝐾𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑 
 
Caso (2) – Isolamento da Deslocabilidade 𝐷2 no SH 
O cálculo da deslocabilidade 𝐷2 é feito da mesma forma que para o caso (1), 
apresentado anteriormente, resultando o seguinte efeito e resultados, apresentados 
na Figura 8. 
Figura 8 - Configuração deformada e diagrama de momentos fletores para o caso (1) 
 
 
 
Fonte: Martha (2010) 
 
Assim como para o caso (1), o cálculo dos coeficientes 𝐾12 e 𝐾22 são obtidos através da 
soma dos momentos fletores, considerando seus sinais, nas seções transversais 
imediatamente sequentes ao nó analisado: 
𝐾12 = +
2𝐸𝐼
4
= +4000 𝐾𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑 
𝐾22 = +
4𝐸𝐼
6
+
4𝐸𝐼
6
= +4000 + 24000 = +32000 𝐾𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑 
 
Equações de equilíbrio 
Determinados os termos de carga e os coeficientes de rigidez global de nossa 
estrutura, podemos passar para o reestabelecimento do equilíbrio, onde vamos 
encontrar os valores das deslocabilidades que ocorrem na estrutura. Para o exemplo 
em questão, vamos encontrar a rotação compatível com os apoios interiores. 
Lembrando que a solução pode ser feita através de umamatriz com os dados 
encontrados ou através da resolução de um sistema, desde que se respeite: 
{𝛽0} + [𝐾]{𝐷} = {0} 
 
 
Portanto, para nosso exemplo, teremos: 
{
𝛽10
𝛽20
} + [
𝐾11 𝐾21
𝐾12 𝐾22
] {
𝐷1
𝐷2
} = {
0
0
} → {
+20
−32
} + 10³ [
+20 +4
+4 +32
] {
𝐷1
𝐷2
} = {
0
0
} 
ou: 
{
𝛽10 + 𝐾11𝐷1 + 𝐾12𝐷2 = 0
𝛽20 + 𝐾21𝐷1 + 𝐾22𝐷2 = 0
→ {
+20 + 20000. 𝐷1 + 4000. 𝐷2 = 0
−32 + 4000. 𝐷1 + 32000. 𝐷2 = 0
 
Resolvendo o sistema acima, chegamos nos valores de: 
{
𝐷1 = −1.23𝑥10−3
𝐷2 = +1.15𝑥10−3 
Os valores negativos para 𝐷1 e positivo para 𝐷2 nos mostra que o sentido das rotações 
são horário e anti-horário, respectivamente, resultados estes compatíveis com a 
configuração deformada, conforme apresentado na Figura 9. 
Figura 9 - Configuração deformada e sentido das rotações da viga exemplo 
 
Fonte: Martha (2010) 
 
 
 
Determinação do diagrama de momentos fletores finais 
Com os valores das deslocabilidades determinados, o ultimo passo da nossa análise é 
determinar os efeitos de tais deslocabilidades em nossa estrutura, para conseguirmos 
traçar o diagrama de momentos fletores finais para a estrutura hiperestática. 
Videoaula 2 
Agora, assista ao vídeo que aborda as 
etapas de determinação dos coeficientes 
de rigidez global para uma viga contínua 
para a aplicação do método dos 
deslocamentos na solução de estruturas 
hiperestáticas. 
 
Utilize o QR Code para assistir! 
 
 
Como visto na aula anterior, conseguimos atingir este objetivo através da superposição 
dos casos básicos, lembrando sempre que precisamos ponderar os casos (1) e (2), para 
o nosso exemplo, pelos valores encontrados para as deslocabilidades. 
Dessa forma, podemos obter os momentos fletores finais a partir da seguinte 
superposição: 
𝑀 = 𝑀0 + 𝑀1. 𝐷1 + 𝑀2. 𝐷2 
𝑀 = −1,23𝑥10−3. 𝑀1 + 1,15𝑥10−3. 𝑀2 
Que resulta nos seguintes valores de momentos, corrigidos, em cada nó da estrutura, 
apresentado na Figura 10: 
Figura 10 - Momentos fletores da estrutura, em cada nó, considerando a convenção de 
sinais para o método dos deslocamentos. 
 
Fonte: Martha, 2010 
 
Porém, a forma de representação dada na Figura 10, não é o suficiente para 
conhecermos o comportamento da viga em relação aos momentos fletores. É 
necessário traçarmos o diagrama de momentos fletores para toda a extensão da viga, 
e não somente nos nós da estrutura. 
É importante ainda que, ao traçar esse diagrama, consideremos o método usual de 
representação, que é considerando o desenho do traçado no lado da fibra tracionada 
das seções transversais. Para isso, precisamos interpretar os sinais obtidos na Figura 
10, utilizando a convenção de sinais, conforme exemplo apresentado na Figura 11. 
Figura 11 - Indicação de momentos fletores em uma viga biengastada utilizando a 
convenção de sinais do Método dos Deslocamentos 
 
 
 
Fonte: Martha (2010) 
 
O resultado final esperado para o traçado do diagrama de momento fletor para a viga 
exemplo da Figura 02 é apresentado a seguir, na Figura 12. 
Figura 12 - Momentos fletores da estrutura apresentada inicialmente na Figura 2, 
desenhados do lado da fibra das seções transversais 
 
Fonte: Martha (2010) 
 
 
 
Podemos observar que os efeitos dos momentos sobre os nós são sempre contrários 
aos efeitos sobre as barras, devido ao princípio de ação e reação. Com isso, podemos 
determinar com maior facilidade ao desenharmos a primeira barra da Figura 11 e 
utilizarmos a convenção de sinais apresentada na Figura 01. 
A simplicidade no método dos deslocamentos, já mencionado anteriormente nessa 
unidade, pode ser comprovada ao analisarmos o exemplo numérico solucionado nessa 
aula. 
Apesar de parecer complexo à primeira vista, ao solucionarmos diversos exercícios 
relacionados ao método dos deslocamentos, podemos verificar que as soluções para 
cada caso básico são simples, devido as deformações impostas possuírem sempre 
configurações muito simples: 
 Ou são a solução de engastamento perfeito do caso (0); 
 Ou é imposta apenas uma deslocabilidade isoladada nos outros casos. 
Para solucionar as reações e esforços em cada caso básico, utilizamos soluções 
tabeladas, como já apresentadas anteriormente. 
 
Leitura Recomendada 
Para aprofundar seus conhecimentos sobre as soluções fundamentais para barras 
isoladas, leia o capítulo 9 do livro “Análise de estruturas: conceitos e métodos 
básicos”, de MARTHA. 
 
Leitura Obrigatória 
Para aprofundar seus conhecimentos sobre o método dos deslocamentos para análise 
estrutural, leia o capítulo 11 do livro “Análise das estruturas”, de RIBBELER. 
Disponível em: 
. 
Acesso em: 05 jun. 2020. 
 
Leitura Recomendada 
Para aprofundar seus conhecimentos sobre o método dos deslocamentos para análise 
estrutural, leia e o capítulo 10 do livro “Análise de estruturas: conceitos e métodos 
básicos”, de MARTHA, bem como tente resolver os exercícios propostos. 
 
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Encerramento 
 
Nesta unidade, abordamos as bases e conceitos necessários para compreendermos os 
métodos de cálculo usuais para estruturas hiperestáticas na engenharia, especificamente o 
método dos deslocamentos. Aproveitamos para relembrar alguns conceitos básicos de 
estruturas isostáticas e hiperestáticas. 
 
 
 
 
Videoaula 3 
Agora, assista ao vídeo que aborda a 
etapa final da a aplicação do método dos 
deslocamentos na solução de estruturas 
hiperestáticas, com a determinação dos 
momentos fletores e o traçado do 
diagrama de momentos fletores. 
 
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Videoaula Encerramento 
Assista agora ao vídeo de encerramento 
de nossa disciplina. 
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Videoaula Resolução de Exercícios 
Agora, assista ao vídeo: 
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