Integrais_ aplicações

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Integrais: aplicações
Prof. Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
Descrição
Aplicação do conceito de integração na obtenção de comprimentos de
arcos, áreas e volumes.
Propósito
Aplicar os conceitos da integração para determinar comprimentos de
curvas, áreas de função e entre funções, como também área de
superfície de revolução, além de empregar os conceitos de integração
no cálculo de volumes de um sólido qualquer e de sólidos obtidos por
revolução.
Preparação
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e
uma calculadora científica ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
Objetivos
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Módulo 1
Cálculo do comprimento de arcos
de curva por integração
Aplicar o conceito da integração no cálculo do comprimento de arcos
de curva.
Módulo 2
Cálculo de áreas por integração
Empregar o conceito da integral na obtenção do cálculo de áreas.
Módulo 3
Cálculo de volumes por integração
Aplicar o conceito da integral na obtenção do cálculo de volumes.
Introdução
Diversas aplicações relacionadas a cálculos geométricos podem
ser tratadas com o conceito de integral, como cálculo de áreas
sob o gráfico de uma função, determinação de volumes de sólido
e comprimento de curvas. O conhecimento aprofundado desse
conceito será o foco de nosso estudo. Vamos juntos!

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1 - Cálculo do comprimento de arcos de curva por
integração
Ao �nal deste módulo, você deverá ser capaz de aplicar o conceito da
integração no cálculo do comprimento de arcos de curva.
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Comprimento de arco de uma
curva
Neste vídeo, explicaremos o comprimento do arco de uma curva e a
função comprimento do arco.
Em algumas aplicações, precisamos calcular o comprimento de uma
curva, isto é, o comprimento do gráfico de uma função entre dois pontos
do gráfico.
Se o gráfico for uma reta, é fácil obter as distâncias entre os dois
pontos, mas o caso geral é quando o gráfico da função é definido pela
função f(x). Nesta situação, adotamos a seguinte estratégia:
Dividimos o gráfico em pontos com uma distância bem pequena
entre eles, de forma a transformar essa distância numa reta;
Dizemos que vamos aproximar o comprimento do arco do gráfico
por uma poligonal, isto é, um gráfico montado apenas por retas.
Vamos utilizar a fórmula que nos permitirá obter esse comprimento,
considerando, inicialmente, o comprimento da distância entre dois
pontos do gráfico através de uma aproximação por uma reta.
Seja a função e deseja-se obter a distância do gráfico entre os
pontos e 
f(x)
Pi−1 Pi
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Seja Li a distância entre .
Como as coordenadas de são e
Existe um teorema conhecido como teorema do valor médio que nos diz
que, em um intervalo e , sempre existirá um ponto que:
Estamos interessados em calcular o comprimento do gráfico de 
entre os pontos do domínio [a,b]. Dividiremos os pontos [a,b] em uma
partição :
Assim, o comprimento da poligonal que liga os pontos deste gráfico
será dado por:
A poligonal aproximará melhor a curva do gráfico quando a distância
entre os pontos, , tender a zero. Assim:
Pi−1Pi
Pi (xi−1, yi−1) = (xi−1, f (xi−1))
Pi (x1, y1) = (x1, f (x1))
Li = Pi−1P1 = √(yi − yi−1)2 + (xi − xi−1)2
 Mas, (yi − yi−1)2 = (f (xi) − f (xi−1))2
Comxi − xi−1 = Δxi
–
x1 x2 ci
f ′ (ci) =
f (xi) − f (xi−1)
xi − xi−1
→ Δf (xi) = f ′ (ci)Δxi
 Assim, (f (xi) − f (xi−1))2 = (Δf (xi))2 = (f ′ (ci)Δxi)2
, comxi−1 ≤ ci ≤ xi
Li = √(f (xi) − f (xi−1))2 + Δx2
i
= √(f ′ (ci))2Δx2
i
+ Δx2
i
= Δxi
√1 + (f ′ (ci))2
f(x)
P
as(x) = ∫
x
a
√1 + [f ′(t)]2
dt
g(x) = 16 − 1
8
lnx + x2,
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. Determine o comprimento do arco do gráfico entre o ponto
inicial e o ponto 
Solução:
Como
Portanto,
Assim, para se terá
Mão na massa
Questão 1
Marque a alternativa que apresenta a integral que deve ser
calculada para determinar o comprimento do arco gerado pela
função , para 
(1,17)
comx = 3.
g(x) = 16 −
1
8
lnx + x2 → g′(x) = −
1
8x
+ 2x
√
1 + ( 2x −
1
8x
)
2
= √ 1 + 4x2 −
1
2
+
1
64x2
=
√ ( 2x +
1
8x
)
2
= 2x +
1
8x
(x) = ∫ x
1
√1 + (2t − 1
8t
)2
dt = ∫ x
1
(2t + 1
8t
)dt = [t2 + 1
8
ln|t|]x
1
s(x) = x2 +
1
8
lnx − 1, comx ≥ 1
x = 3
s(3) = 32 +
1
8
ln 3 − 1 = 8 +
1
8
ln 3

g(x) = 3 lnx 1 ≤ x ≤ 3
A L = ∫ 3
1
√1 + 9 ln2 xdx
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Parabéns! A alternativa B está correta.
Usando a fórmula para calcular o comprimento do arco:
Assim,
Questão 2
Marque a alternativa que indica a integral que representa o
comprimento do arco para a função , a partir do ponto
.
B L = ∫ 3
1
√9+x2
x
dx
C L = ∫ 3
1
(1 + 3 lnx)dx
D L = ∫ 2
1
√1 + 1
x2
dx
E L = ∫ 3
1
√1 + 1
x3
dx
L = ∫
b
a
√1 + (f ′(x))2
dx Como f(x) = 3 lnx → f ′(x) =
3
x
L = ∫ 3
1
√1 + ( 3
x
)2
dx = ∫ 3
1
√9+x2
x
dx
f(x) = 4ex
x = 4
A ∫ x
0
√1 − 16e2xdx
B ∫ x
4
√1 + e2xdx
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Usando a fórmula para calcular a função comprimento do arco:
Assim,
Questão 3
Determine o valor de , em que é a função comprimento
de arco que determina o comprimento do arco da função
, a partir do ponto com 
C ∫ x
4
√1 + 16e2xdx
D ∫ x
0
√1 + 16exdx
E ∫ x
0
√1 + 18exdx
s(x) = ∫
x
4
√1 + (f ′(x))2
dx
s(x) = ∫
x
4
√1 + (4ex)2
dx = ∫
x
4
√1 + 16e2xdx
s( π
4
) s(x)
g(x) = ln(cosx) x = 0.
A ln 2
B ln(√3 + 1)
C ln 5
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Parabéns! A alternativa D está correta.
Usando a fórmula para calcular a função de comprimento do arco:
Como
Assim,
Logo,
Questão 4
Determine o comprimento do arco constituído do gráfico da curva
 entre os pontos e , com abscissas e
 respectivamente.
D ln(√2 + 1)
E ln 2√3
s(x) = ∫ x
0
√1 + (f ′(x))2dx
f(x) = ln(cosx) → f ′(x) = − senx
cosx
= − tgx
s(x) = ∫ x
0
√1 + (− tgx)2dx = ∫ x
0
√1 + tg2 xdx = ∫ x
0
| secx|d
s( π
4
) = ln(sec π
4
+ tg π
4
) = ln(√2 + 1)
h(x) = 2
3
(x2 + 1)3/2
A B 0
1,
A 5
3
B 1
5
C 3
5
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Parabéns! A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo com a resolução da questão sobre como usar a
fórmula para calcular o comprimento do arco:
Questão 5
Determine o comprimento do arco formado pelo gráfico da função
 entre as abscissas e 
Parabéns! A alternativa A está correta.
D 1
3
E 4
3
g(x) = 1
8
x4 + 1
4x2
1 4.
A 33
16
B 16
33
C 33
4
D 4
33
E 33
5
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Assista ao vídeo com a resolução da questão sobre Função
comprimento do arco
Questão 6
Determine a função comprimento do arco determinado pela função
 do ponto até o ponto 
Parabéns! A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo com a resolução da questão sobre comprimento
do arco.
g(x) = x2 + 8, x = 0 x = π
2
.
A s(x) = 1
2
(√1 + 4x2 + ln(√1 + 4x2))
B
s(x) = 1
4
(2x√1 + 4x2 + ln(√1 + 4x2 + 2x))
C s(x) = 1
4
(√1 + 4x2 − ln(√1 + 4x2))
D s(x) = 1
2
(x√1 + x2 + ln(√1 + x2 + x))
E
s(x) = 1
3
(2x√1 + x2 + ln(√1 + x2 + 3x))
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Teoria na prática
Um arquiteto pretende construir um arco parabólico, virado para baixo,
em um monumento. Ele deseja saber quantos metros de metal serão
necessários para a obra. Sabe-se que o arco terá uma distância entre as
duas pontas que tocam ao chão de 4 m e a altura do ponto médio será
de 8 m.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Determine o comprimento do arco da curva para
_black
Mostrar solução
h(x) = x3/2,
0 ≤ x ≤ 1.
A 1
27
(13√13 − 8)
B 1
27
(√13 − 4)
C 1
3
(3√3 − 2)
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Parabéns! A alternativa A está correta.
Usando a fórmula para calcular o comprimento do arco:
Como
Assim,
Fazendo uma substituição de variável
Para e para 
Questão 2
Marque a alternativa que apresenta a função comprimento do arco
do gráfico da função , do ponto até
.
D 1
9
(8 − √13)
E 1
27
(8 − 3√13)
L = ∫ b
a
√1 + (f ′(x))2dx
f(x) = x3/2 → f ′(x) = 3
2
√x
L = ∫ 1
0
√1 + ( 3
2
√x)2
dx = ∫ 1
0
1
2
√4 + 9xdx
u = 4 + 9u → du = 9dε
z = 0 → u = 4 z = 1 → u = 13
L = ∫
13
4
1
2
√u
1
9
du =
1
18
[
2
3
u
3
2 ]
13
4
=
1
27
(13√13 − 8)
f(x) = ln(secx) x = 0
x = π
2
A s(x) = ln(secx − tgx), 0 ≤ x ≤ π
2
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Parabéns! A alternativa B está correta.
Usando a fórmula para calcular o comprimento do arco:
Assim,
B
s(x) = ln(secx + tgx), 0 ≤ x ≤ π
2
C s(x) = ln(secx) + ln(tgx + 1), 0 ≤ x ≤ π
2
D s(x) = 2 − ln(tgx + 1), 0 ≤ x ≤ π
2
E s(x) = 2 − ln(tgx + 1), 0 ≤ x ≤ π
2
s(x) = ∫
x
0
√1 + (f ′(x))2
dx
s(x) = ∫
x
0
√1 + tg2dx = ∫
x
0
| secx|dx = [ln | secx + tgx|]x0 =
s(x) = ln(secx + tgx), 0 ≤ x ≤
π
2
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2 - Cálculo de áreas por integração
Ao �nal deste módulo, você deverá ser capaz de empregar o conceito da
integral na obtenção do cálculo de áreas.
Cálculo de área de uma
função
Neste vídeo, falaremos sobre os cálculos de área de uma função, de
área entre funções e o de área de uma superfície de revolução.
A definição da integração definida se baseia no cálculo do limite de um
somatório, denominado de soma de Riemann.
Assim, a integral definida de de a para b será dada por:
Soma de Riemann
Na matemática, a soma de Riemann é uma aproximação obtida pela
expressão. É nomeada em homenagem ao matemático alemão Bernhard
Riemann. Uma aplicação muito comum é a aproximação da área de
f(x)
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funções ou linhas em um gráfico, mas também o comprimento das curvas e
outras aproximações.
Fonte: Wikipédia.
As parcelas do somatório são as áreas dos retângulos, formados abaixo
da curva f(x), quando a função está em cima do eixo, ou serão as áreas
dos retângulos multiplicados por ( – 1) quando a função estiver abaixo
dos eixos.
Como área é sempre uma medida positiva, torna-se necessário trabalhar
apenas com termos positivos. Assim, pode-se calcular a área A, entre a
função f(x) e o eixo x, para a ≤ x ≤ b, pela integral:
Para resolver esta integral, teremos que dividir em intervalos de
integração em que o sinal de f(x) é sempre positivo ou sempre negativo.
Vamos ver um exemplo:
Determine a área entre o gráfico da função e o eixo ,
para entre e 
Solução:
A área A será obtida pela integral.
A função é positiva para
∫
b
a
f(x)dx = lim
Δumax→0
n
∑
i=1
f (pi)Δui
A = ∫
b
a
|f(x)|dx
g(x) = 2 cosx x
x π
4
3π
4
A = ∫
b
a
|f(x)|dx = ∫
3π
4
π
4
|2 cosx|dx
cosx
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A função é negativa para
Assim:
Repare que, se fosse feita a integral sem o módulo, o valor seria
diferente, pois as parcelas abaixo do eixo diminuiriam das parcelas
acima do eixo, ao invés de se somarem.
Cálculo de área entre funções
Deseja-se agora obter a área que se encontra entre dois gráficos f(x) e
g(x).
Neste caso, também precisamos ter a noção em que intervalos f(x) é
maior que g(x), estando acima no desenho dos gráficos, e onde f(x) é
menor que g(x), estando abaixo no desenho dos gráficos.
π
4
≤ x ≤ π
2
→ |2 cosx| = 2 cosx
cosx
π
2
≤ x ≤ 3π
4
→ |2 cosx| = −2 cosx
A = ∫
3π
4
π
4
|2 cosx|dx = ∫
π
2
π
4
2 cosxdx + ∫
3π
4
π
2
(−2 cosx)dx = [2 senx]
π
2
π
4
A = (2 sen
π
2
− 2 sen
π
4
)+ ( −2 sen
3π
4
+ 2 sen
π
2
) = 2 − 2.
√2
2
− 2.
√2
2
+ 2 =
∫
3π
4
π
4
2 cosxdx = [2 senx]
3π
4
π
4
= 2 sen
3π
4
− 2 sen
π
4
= 0
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Se observarmos, no gráfico, a área entre as funções e para
a é dada por .
Repare que, em e , a função f(x) está acima de , assim,
estas áreas podem ser obtidas como se fossem área entre f(x) e o eixo
 menos a área entre e o eixo . Portanto:
Para o caso de , a função está abaixo de . Logo, esta
área pode ser obtida como a diferença entre a área de g(x) e o eixo x e a
área entre e o eixo .
Assim:
Podemos, então, juntar todas essas integrais utilizando o módulo, pois,
assim, o integrando será calculado sempre pelo maior valor, menos o
menor valor.
Desta forma, a área entre f(x) e g(x) para a ≤ x ≤ d é dada por:
Esta integral deve ser separada em intervalos nos quais a posição
relativa entre as funções no gráfico não se altera. Assim, no exemplo do
gráfico:
Vamos a um exemplo:
Calcule a área da região compreendida entre os gráficos da função
 e com 
f(x) g(x)
≤ x ≤ d A = A1 + A2 + A3
A1 A3 g(x)
x g(x) x
A1 = ∫
b
a
(f(x) − g(x))dx = ∫
b
a
f(x)dx − ∫
b
a
g(x)dx
A3 = ∫
d
c
(f(x) − g(x))dx = ∫
d
c
f(x)dx − ∫
d
c
g(x)dx
A2 f(x) g(x)
f(x) x
A2 = ∫
c
b
(g(x) − f(x))dx = ∫
c
b
g(x)dx − ∫
c
b
f(x)dx
A = ∫
d
a
|f(x) − g(x)|dx
A = ∫
d
a
|f(x) − g(x)|dx = ∫
b
a
(f(x) − g(x))dx + ∫
c
b
(g(x) − f(x))dx + ∫
d
c
(f(x) −
f(x) = 27x g(x) = 3x3 0 ≤ x ≤ 5.
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Solução:
Precisamos, inicialmente, verificar a posição relativa entre e
Os pontos onde estes gráficos se interceptam, com , serão:
Analisando os gráficos, para está acima de e
para está acima de 
Desta forma,
Cálculo de área de uma
superfície de revolução
Inicialmente, precisamos definir o que é uma superfície de revolução.
Uma superfície de revolução é uma área formada ao
girar uma curva em torno de uma reta. Assim, tal
superfície é a fronteira lateral de um sólido,
denominado de sólido de revolução.
Por exemplo, imagine um retângulo de lados a e b. Vamos rotacionar
este retângulo ao redor de um eixo de rotação colocado em um dos
lados. Será formado um cilindro de revolução, com altura b e raio da
base a.
f(x)
g(x).
0 ≤ x ≤ 5
27x = 3x3 → x = 0 e x = 3
0 ≤ x ≤ 3, f(x) g(x)
3 ≤ x ≤ 5, g(x) f(x)
A = ∫
5
0
27x − 3x3 dx = ∫
3
0
(27x − 3x3)dx + ∫
5
3
(3x3 − 27x)dx
A = [
27
2
x2 −
3
4
x4]
3
0
+ [
3
4
x4 −
27
2
x2]
5
3
=
27
2
9 −
3
4
81 +
3
4
625 −
27
2
25 −
3
4
81 +
27
2
9
A =
243
4
+ 408 − 216 =
1011
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A área da superfície de revolução será a área lateral do cilindro, que
valerá 
Poderíamos imaginar de forma contrária, isto é, desenrolando a
superfície de um cilindro, assim se geraria um retângulo. Outros
exemplos podem ser encontrados na literatura de referência.
Vamos agora realizar um caso geral. Imagine a curva definida pela
função para .
A função deve ser positiva e ter derivada contínua. Considere a
superfície gerada ao rotacionar esta função ao redor do eixo x.
Considere uma faixa de valores de até .
Os valores foram escolhidos bem afastados na figura para facilitar o
entendimento da fórmula.
Ao girar em torno do eixo , esta faixa vai gerar, aproximadamente, a
lateral de um tronco de cone circular.
A = 2πrh = 2πab.
f(x) a ≤ x ≤ b
f(x)
xi−1 xi
x
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Da geometria aprendemos que a área da lateral do tronco de cone
circular vale Quando aproximamos os dois pontos 
e tendem a ter o mesmo valor, assim Comparando com o
gráfico da função O valor de e o valor de
Mas já aprendemos no módulo de comprimento de arco que:
Em que está entre e 
A = π(r + R)L. r
R A = 2πrL.
f(x). r = f (xi−1)
L = PiPi−1
Li = √(f (xi) − f (xi−1))2 + Δx2
i
= √(f ′ (ci))2Δx2
i
+ Δx2
i
= Δxi
√1 + (f ′ (ci))2
ci xi−1 xi
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Se fizemos tender a zero, melhor será a aproximação da superfície
de revolução com o tronco de cone gerado. Além disso, é
praticamente igual a que será praticamente igual a .
Portanto, a área gerada por uma faixa tendendo a zero em torno do
ponto será:
A área total será a soma das áreas desde x = a até x = b. Usando o
mesmo princípio utilizado na definição da integração definida, obtém-se
a fórmula da área da superfície de revolução gerada ao girar o gráfico de
f(x) ao redor do eixo x:
De forma análoga, demonstra-se que a área da superfície de revolução
gerada ao girar o gráfico da função f(x) ao redor do eixo y será:
Observe neste caso que o raio do tronco não será mais f(x), e sim o
valor da abscissa x.
Vamos a mais um exemplo?
Determine a área da superfície de revolução gerada ao girar a função
, para , ao redor do eixo y.
Solução:
Assim,
Para resolver a integral, faz-se
Δxi
xi−1
xi ci
xi
ΔA = lim
Δx→0
2πf (xi)Δxi
√1 + (f ′ (xi))2
A = ∫
b
a
2πf(x)√1 + (f ′(x))2
dx
A = ∫
b
a
2πx√1 + (f ′(x))2
dx
y = 2x2 0 ≤ x ≤ 1
f(x) = 2x2 → f ′(x) = 4x
A = ∫ 1
0
2πx√1 + (f ′(x))2dx = ∫ 1
0
2πx√1 + (4x)2dx
28/12/2024, 23:46 Integrais: aplicações
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Para e para . Portanto:
Mão na massa
Questão 1
Determine a área da região formada entre a função 
e o eixo para 
Parabéns! A alternativa B está correta.
A área será a área entre e o eixo 
Assim:
u = 1 + 16x2 → du = 32xdx
x = 0 → u = 1 x = 1 → u = 17
A = ∫
17
1
2π
1
32
√udu =
π
16
[ 2
3
u
3
2 ]
17
1
=
π
24
(17√17 − 1)

f(x) = 4 − 2x
x 1 ≤ x ≤ 3
A 1
B 2
C 3
D 4
E 5
f(x) 1 ≤ x ≤ 3.
A = ∫
3
1
|f(x)|dx = ∫
3
1
|4 − 2x|dx
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Temos que analisar os intervalos em que são positivos ou
negativos:
1. 
2. 
Assim,
Questão 2
Determine a área da superfície de revolução gerada ao girar a
função para ao redor do eixo 
Parabéns! A alternativa C está correta.
Assim,
f(x)
f(x) ≥ 0 → 4 − 2x ≥ 0 → 2x ≤ 4 → x ≤ 2
f(x) ≥ 0 → 4 − 2x ≤ 0 → 2x ≥ 4 → x ≥ 2
A = ∫ 3
1
|4 − 2x|dx = ∫ 2
1
(4 − 2x)dx + ∫ 3
2
(2x − 4)dx
A = [4x − x2]2
1
+ [x2 − 4x]3
2
= (8 − 4) − (4 − 1) + (9 − 12)
h(x) = 3x3, 0 ≤ x ≤ 2, y.
A A = ∫ 2
0
6πx3√1 + 81x4dx
B A = ∫ 2
0
2πx√1 + 9x2dx
C A = ∫ 2
0
2πx√1 + 81x4dx
D A = ∫ 2
0
3πx3√1 + 9x2dx
E A = ∫ 2
0
4πx3√1 + 27x4dx
f(x) = 3x3 → f ′(x) = 9x2
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Questão 3
Determine a área limitada superiormente por e
inferiormente por para os valores de x no intervalo
Parabéns! A alternativa A está correta.
Questão 4
Determine a área da região formadaentre a função
, o eixo e as retas e 
A = ∫ 2
0
2πx√1 + (f ′(x))2
dx = ∫ 2
0
2πx√1 + (9x2)2
dx
A = ∫ 2
0
2πx√1 + 81x4dx
f(x) = 16
g(x) = 2x2,
[0, 2].
A 80
3
B 70
3
C 50
3
D 10
3
E 20
3
A = ∫
2
0
|f(x) − g(x)|dx = ∫
2
0
(f(x) − g(x))dx = ∫
2
0
(16 −
A = 32 −
2
3
⋅ 8 =
80
3
f(x) = 2x2 − 6x − 8 x x = −2 x = 6
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Assista ao vídeo com a resolução da questão sobre área entre
funções.
Questão 5
Determine a área da região limitada pela função
 e pelas retas e .
A 17
3
B 76
3
C 218
3
D 511
3
E 275
3
f(x) = x, g(x) = x3 x = −2 x = 3
A 55
4
B 75
4
C 85
4
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Parabéns! A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo com a resolução da questão sobre área entre
funções.
Questão 6
Determine a área da superfície de revolução gerada ao girar a
função , para , ao redor do eixo 
D 95
4
E 35
4
h(x) = ex 1 ≤ x ≤ 2 x
A A = π [e2√1 + e4 + ln(e2 + √1 + e4)]
B
A = 2π [e2√1 − e4 + ln(e2 + √1 − e4)− e√1 −
C
A = 2π [e2√1 + e4 − ln(e2 + √1 + e4)+ e√1 +
D
A = π [e2√1 + e4 + ln(e2 + √1 + e4)− e√1 + e
E
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Parabéns! A alternativa D está correta.
Assista ao vídeo com a resolução da questão sobre Área de
superfície de revolução.
Teoria na prática
Determine a fórmula da área de uma elipse de eixo maior 2a e eixo
menor 2b.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Determine a área da região formada entre a função e
o eixo para entre e 
A = 2π [e2√1 − e4 + ln(e2 − √1 + e4)]
_black
Mostrar solução
f(x) = 3ln x
x, x 0, 5 2.
A 3 ln 2 − 3
2
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Parabéns! A alternativa C está correta.
A área será aquela entre e o eixo , para . Assim:
Temos que analisar os intervalos em que são positivos ou
negativos.
Deve ser resolvido .
Utilizaremos a integral por partes.
 e 
 real
B ln 2 + 3
2
C 9
2
ln 2 − 3
2
D 7
2
ln 2 + 3
2
E 6 ln 2 − 3
2
f(x) x 0, 5 ≤ x ≤ 2
A = ∫
2
0,5
|f(x)|dx = ∫
2
0,5
|3 ln(x)|dx = 3 ∫
2
0,5
ln(x) ∣ dx
f(x)
lnx ≥ 0 → x ≥ 1
lnx ≤ 0 → x ≤ 1
A = 3 ∫ 2
0,5
| ln(x)|dx = 3 ∫ 1
0,5
− ln(x)dx + 3 ∫ 2
1
ln(x)dx
∫ ln(x)dx
u = ln(x) → du = 1
x
dx dv = dx → v = x
∫ ln(x)dx = x lnx − ∫ x 1
x
dx = x lnx − x + k, k
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Questão 2
Determine a área da superfície de revolução gerada ao girar a
função , para , ao redor do eixo 
Parabéns! A alternativa B está correta.
Aplicação direta da fórmula:
Assim,
A = 3 ∫
1
0,5
(− ln(x))dx + 3 ∫
2
1
ln(x)dx = −3[x lnx − x]1
0,5 + 3
= −3 [ (1 ln 1 − 1) − ( 1
2
ln ( 1
2
) −
1
2
) ] + 3[(2 ln 2 − 2)
= 3 −
3
2
ln 2 −
3
2
+ 6 ln 2 − 6 + 3 =
9
2
ln 2 −
3
2
g(x) = √9 − x2 0 ≤ x ≤ 3 x
A 8π
B 18π
C 32π
D 45π
E 9π
A = ∫ b
a
2πf(x)√1 + (f ′(x))2dx
f(x) = √9 − x2 → f ′(x) = − x
√9−x2
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Portanto,
3 - Cálculo de volumes por integração
Ao �nal deste módulo, você deverá ser capaz de aplicar o conceito da
integral na obtenção do cálculo de volumes.
Cálculo de volume de sólido
de rotação
Neste vídeo, mostraremos o cálculo de volume de sólido de rotação.
A = ∫ 3
0
2π√9 − x2√1 + (f ′(x))2dx = ∫ 3
0
2π√9 − x2√ 1 +(−
Mas 1 +(− x
√9−x2
)2
= 1 + x2
9−x2
= 9
9−x2
A = ∫
3
0
2π√9 − x2
√
1 + ( −
x
√9 − x2
)
2
dx =
= ∫
3
0
2π√9 − x2√ 9
9 − x2
dx = ∫
3
0
6πdx = 18π
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Outra aplicação importante para integral é o cálculo de volumes.
Uma função contínua e positiva gera uma área entre seu gráfico e o eixo
x. Da mesma forma, esta função também gera uma área entre seu
gráfico e o eixo y.
Cada uma destas duas áreas descritas podem ser
rotacionadas em torno do eixo x ou do eixo y, gerando
quatro sólidos de revolução diferentes. A integral
definida pode ser usada para se calcular o volume
destes sólidos.
Seja uma função f(x) contínua e com f(x) ≥ 0 para [a,b].
Seja C o conjunto de pontos obtidos pela rotação, em torno do eixo x, da
área A da região limitada por f(x) e o eixo x com a ≤ x ≤ b.
Estamos interessados em obter o volume da região gerada pelo
conjunto C.
Vamos analisar uma faixa de valores entre e :
Ao rotacionar esta faixa de valores, a região do espaço formada por
ela pode ser aproximada por um cilindro de altura 
e raio dado por ou .
Quanto menor o valor do melhor é a aproximação. Assim,
podemos considerar que o volume da região será composto pela
soma de cilindros, com alturas tendendo para zero;
xi−1 xi
Δxi = xi − xi−1
f (xi−1) f (xi)
Δxi
C
Δxi
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Observe que quando valor de fica praticamente
igual ao valor de .
O volume do cilindro infinitesimal é dado por
Com o mesmo raciocínio da Soma de Riemann utilizado na definição da
integral definida, define-se o volume formado pela rotação de f(x) em
torno do eixo x, para a ≤ x ≤ b como:
Vamos a mais um exemplo:
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo ,
do conjunto de pontos formados pela função e o
eixo , para .
Solução:
A função é contínua e positiva neste intervalo. Usando a fórmula
do volume:
Observe que este resultado já era conhecido.
A área formada por entre é de uma
semicircunferência de raio ;
Ao rodar em torno do eixo , gera uma esfera de raio ;
O volume da esfera de raio é conhecido da Geometria como
, confirmando a resposta obtida.
Δxi → 0, ∘ f (xi)
f (xi−1)
ΔV = πr2h = π[f (xi)]2Δxi.
V = lim
Δx→0
n
∑
i=1
π(f (xi))2Δxi
V = ∫
b
a
π(f(x))2dx
x
f(x) = √1 − x2
x −1 ≤ x ≤ 1
f(x)
V = ∫
b
a
π(f(x))2dx = ∫
1
−1
π(√1 − x2)2
dx = ∫
1
−1
π(1 − x2)dx
V = π[ x −
x3
3
]
1
−1
= π ( 1 −
1
3
) − π ( −1 −
−1
3
) =
4
3
π
f(x) −1 ≤ x ≤ 1
1
x 1
r
V = 4
3
πr3
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Além do sólido de rotação apresentado inicialmente, pode-se gerar mais
três sólidos de rotação, ao rotacionar as áreas relacionadas à função
f(x) contínua e positiva em torno dos eixos x ou y.
A demonstração destas fórmulas segue o raciocínio análogo ao anterior,
ou ao teorema de Pappus, e pode ser encontrada em qualquer uma de
nossas referências.
Seja f(x) uma função contínua e positiva em [a,b].
A
Seja a área A formada pelo conjunto de pontos entre f(x) e o eixo x para
a ≤ x ≤ b.
B
Seja a área B formada pelo conjunto de pontos entre f(x) e o eixo y para
a ≤ x ≤ b.
Serão gerados quatro sólidos de rotação:
Rotação da área A em torno do eixo x;
Rotação da área A em torno do eixo y;
Rotação da área B em torno do eixo x;
Rotação da área B em torno do eixo y.
As fórmulas para calcular o volume de cada um destes sólidos são
apresentadas a seguir.
Para rotação da área , necessita-se definir a função , que é a
inversa de . Lembre-se de que só existe função inversa de funções
em um intervalo em que será estritamente crescente ou
estritamente decrescente.
B g(y)
f(x)
f(x)
28/12/2024, 23:46 Integrais: aplicações
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Desta forma, tem-se:
1. Volume gerado pela rotação da área A em torno do eixo , para
2. Volume gerado pela rotaçãoda área B em torno do eixo y, para
3. Volume gerado pela rotação da área em torno do eixo y, para
4. Volume gerado pela rotação da área B em torno do eixo , para
Um ponto importante. Nas integrais do item 2 e item 4, o limite inferior
deve ser sempre o menor número, assim, se os limites serão
 mas se , os limites serão 
Veja a seguir uma sequência de exemplos.
Exemplo 1
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo ,
do conjunto de pontos formados pela função e o eixo ,
para .
Solução:
Desejamos, aqui, o volume do sólido gerado por uma área do tipo em
torno do eixo 
Assim:
Exemplo 2
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y,
do conjunto de pontos formados pela função e o eixo ,
para .
Solução:
Observe que desejamos o volume do sólido gerado por uma área do tipo
A em torno do eixo 
x
V = ∫ b
a
π[f(x)]2dx
V = ∫ d
c
π[g(y)]2dy
A
V = ∫ b
a
2πxf(x)dx
x
V ∫ d
c
2πyg(y)dy
d ≥ c
∫ d
c
I(y)dy dB está correta.
Desejamos, aqui, o volume do sólido gerado por uma área do tipo A
em torno do eixo x.
Assim,
Mostrar solução
x f(x) = 2ex
x 0 ≤ x ≤ 2
A 2π(e2 − 1)
B 2π(e4 − 1)
C 2πe2
D 2π(e4 + 1)
E π(e4 + 1) ∣
V = ∫
b
a
π(f(x))2dx = ∫
2
0
π(2ex)2
dx = ∫
2
0
4πe2xdx = 4π[ 1
2
V = 2π(e4 − 1)
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Questão 2
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de pontos formados pela função e o
eixo y, para .
Parabéns! A alternativa C está correta.
Desejamos, aqui, o volume do sólido gerado por uma área do tipo B
em torno do eixo x.
Necessitamos da função .
Se .
Para e 
Assim:
Resolver a integral por substituição 
x f(x) = x2 + 1
0 ≤ x ≤ 1
A 30π
16
B 16π
15
C 32π
15
D π
15
E 8π
15
g(y) = f −1(x)
f(x) = x2 + 1 → g(y) = √y − 1
x = 0 → f(0) = c = 1 x = 1 → f(1) = d = 2
V = ∫ 2
1
2πyg(y)dy = ∫ 2
1
2πy√y − 1dy
u = y − 1 → du = dy
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Para e 
Considerações �nais
Ao longo deste tema, foi utilizado a integração definida de uma função
real na aplicação de cálculos de comprimentos, áreas e volumes.
No primeiro módulo, empregamos a integral na determinação do
comprimento do arco de um gráfico de uma função. No segundo, a
integral foi usada para calcular áreas entre uma função e o eixo x, entre
funções e até mesmo de superfícies de revolução. Por fim, no último
módulo, a integração foi aplicada no cálculo de quatro superfícies
diferentes de revolução.
y = 1 → u = 0 y = 2 → u = 1
V = ∫
2
1
2πy√y − 1dy = ∫
1
0
2π(u + 1)√udu = 2π∫
1
0
(u
3
2 +
V = 2π[ 2
5
u
5
2 ]
1
0
+ 2π[ 2
3
u
3
2 ]
1
0
= 2π ( 2
5
+
2
3
) =
32π
15
Explore +
Para ter acesso a fontes adicionais sobre aplicações de integral,
consulte plataformas de universidades em geral, como a Khan Academy,
em seu portal eletrônico.
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Referências
HALLET, H. et al. Cálculo, a uma e a várias variáveis. 5. ed. São Paulo:
LTC, 2011. cap. 8, p.353-374.
LARSON, R.; EDWARDS, B. H. Cálculo, com aplicações. 6. ed. São Paulo:
LTC, 2003. cap. 5, p.359-378.
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