Equações do 2 grau

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23 Equações e funções de grau 24 V ocê já ouviu falar de cashback? Alguma vez você fez uso de algum tipo de cashback? Esse termo vem se tornando cada dia mais comum. Mas o que significa cashback? Resumidamente, cashback é a prática de devolver ao cliente. direta ou indiretamente, parte do dinheiro que ele pagou por um serviço ou produto. Diversas lojas o utilizam como uma maneira de e fidelizar os clientes. quem não quer ter um desconto ao realizar uma compra? Existem 2 tipos principais de cashback. primeiro tipo, de menor adesão, permite que cliente real- mente receba uma porcentagem do dinheiro investido no produto ou serviço de volta em sua conta. Porém, a modalidade de cashback que tem predominado é a que gera essa porcentagem de dinheiro em um tipo de carteira digital, que pode ser usada para abater no valor de futuras compras na mesma loja ou rede. A segunda opção geralmente oferta ao clien- te essa vantagem desde que o valor depositado na carteira digital seja usado até determinada data, ou seja, há validade para o uso desse crédito em com- pras Além do retorno ao cliente, muitos programas de cashback oferecem promoções sazonais ou bônus especiais, tornando a prática ainda mais atraente. cashback: "dinheiro de volta". em tradução crédito: nesse é o valor disponibilizado para que cliente abata emETAPA Consulte orientações e resoluções no Manual do Uma loja criou uma tabela que informa valor em reais do cashback conforme o valor gasto na compra. valor do cashback pode ser utilizado pelo cliente na pró- xima compra como desconto. Cashback da loja Valor da compra Valor do cashback R$100.00 R$ 5.00 R$ 200.00 R$ R$ R$ Dados elaborados para fins a) Qual expressão matemática se pode construir para representar o valor do cashback sendo valor gasto em reais na compra? b) Analisando a tabela, percebemos o padrão usado para calcular o cashback de determinada compra. Com base nessa análise, que podemos dizer que ocor- re com cashback quando se dobra valor de uma compra? E o que ocorre se valor da compra for reduzido à terça parte? c) Qual é valor, em reais, de uma compra que gerou um cashback de 28 reais para um cliente? d) Qual é a porcentagem que valor do cashback representa em relação ao valor gasto? S % $ 26 resolvendo a questão a) De acordo com os dados da tabela, é possível perceber que há um padrão de retorno: o valor do cashback é obtido ao dividirmos valor gasto por 20. Assim, sendo valor gasto, valor do cashback pode ser calculado por Logo, se valor gasto for 50 reais, valor do cashback será 50 2,5 reais, 20 conforme apresentado na Note que valor a receber depende do valor gasto: quanto maior valor da compra, maior será a quantia a Uma expressão algébrica, como próprio nome sugere, é uma expressão ma- temática que contém termos algébricos, mas não possui uma igualdade expli- Por exemplo, 20 é uma expressão algébrica. Porém, ao igualar essa expressão a algum número, como 5, obtém-se 20 uma equação de 1° grau, visto que uma equação é caracterizada por ter sinal de igualdade. Repare que, nesse caso, é possível descobrir valor do termo desconhecido b) Sendo o valor da compra, se valor da compra dobrar (2x), então valor a receber de cashback será: Logo, valor do cashback também será dobro. De modo análogo, ao redu- valor da compra à terça parte, cashback também será reduzido à terça parte da compra c) Para calcular o valor de uma compra que teve um cashback de 28 reais, basta igualar valor de 28 à expressão e resolver a equação de 1° grau: 20 Logo, a compra foi de 560 reais. d) Para calcular a porcentagem do valor de cashback em relação ao valor gasto, pode-se dividir um dos valores que aparecem na tabela de cashback recebido pelo respectivo valor gasto. Escolhendo valor de cashback de 10 reais, em relação ao valor gasto de 200 reais, tem se:resolvendo a questão a) De acordo com os dados da tabela, é possível perceber que há um padrão de retorno: valor do cashback é obtido ao dividirmos valor gasto por 20. Assim, sendo valor gasto, valor do cashback pode ser calculado por Logo, se valor gasto for 50 reais, valor do cashback será 50 2,5 reais, 20 conforme apresentado na tabela. Note que valor a receber depende do valor gasto: quanto maior o valor da compra, maior será a quantia a Uma expressão algébrica, como próprio nome sugere, é uma expressão ma- temática que contém termos algébricos, mas não possui uma igualdade expli- Por exemplo, é uma expressão algébrica. 20 Porém, ao igualar essa expressão a algum número, como 5, obtém-se 20 uma equação de 1° grau, visto que uma equação é caracterizada por ter sinal de igualdade. Repare que, nesse caso, é possível descobrir valor do termo desconhecido b) Sendo valor da compra, se valor da compra dobrar (2x), então valor a receber de cashback será: Logo, valor do cashback também será dobro. De modo análogo, ao redu- valor da compra à terça parte, cashback também será reduzido à terça parte da compra inicial. c) Para calcular valor de uma compra que teve um cashback de 28 reais, basta igualar valor de 28 à expressão e resolver a equação de 1° grau: 20 Logo, a compra foi de 560 d) Para calcular a porcentagem do valor de cashback em relação ao valor gasto, pode-se dividir um dos valores que aparecem na tabela de cashback recebido pelo respectivo valor gasto. Escolhendo o valor de cashback de 10 reais, em relação ao valor gasto de 200 reais, 200 20 Note que valor obtido de 5% será mesmo para qualquer linha da tabela que se escolha, uma vez que há uma proporção linear entre todos os valores. Se fosse escolhido valor de cashback de 50 reais em relação ao valor gasto de 1000 reais, 1000 50 100 5 20 1 0,05 5% 27 agora é com você 1 A informação detalhada nas bulas de medicamentos desempenha um papel crucial na segurança e na eficácia dos tratamentos médicos. Na descrição da bula de um medicamento está escrito que, em cada dosagem, deve ser admi- nistrada uma quantidade mínima de 15 mg desse medicamento e mais 10 mg para cada quilograma do paciente. Considerando que um paciente tem massa corporal de 58 kg, qual é a quan- tidade total, em miligramas, desse medicamento que ele deve receber como dose adequada para garantir a eficácia e a segurança do tratamento? (E) 880 Alternativa 2 Para produzir unidades de um produto, uma empresa tem um custo fixo de 200 reais, mais 10 reais por unidade Qual é a expressão algébrica que melhor representa o custo total, em reais, para se produzir unidades? (B) 200x + 10 (C) 200 + 10x Alternativa 3 Um objeto movimenta-se em velocidade constante, e sua posição em me- tros é calculada por meio da expressão algébrica: 10 + 5t, em que t repre- senta intervalo de tempo em segundos. Para percorrer certa distância, o objeto gastou 50 segundos. Sua posição, em metros, depois de percorrer essa distância em 50 segundos é igual a:agora é com você 1 A informação detalhada nas bulas de medicamentos desempenha um papel crucial na segurança e na eficácia dos tratamentos médicos. Na descrição da bula de um medicamento está escrito que, em cada dosagem, deve ser admi- nistrada uma quantidade mínima de 15 mg desse medicamento e mais 10 mg para cada quilograma do paciente. Considerando que um paciente tem massa corporal de 58 kg, qual é a quan- tidade total, em miligramas, desse medicamento que ele deve receber como dose adequada para garantir a eficácia e a segurança do tratamento? (C) 595 (D) 870 (E) 880 Alternativa 2 Para produzir unidades de um produto, uma empresa tem um custo fixo de 200 reais, mais 10 reais por unidade produzida. Qual é a expressão algébrica que melhor representa custo total, em reais, para se produzir unidades? (A) 200 + (B) 200x + 10 (C) 200 + 10x (D) 500 + Alternativa 3 Um objeto movimenta-se em velocidade constante, e sua posição em me- tros é calculada por meio da expressão algébrica: 10 + 5t, em que t repre- senta o intervalo de tempo em segundos. Para percorrer certa distância, o objeto gastou 50 segundos. Sua posição, em metros, depois de percorrer essa distância em 50 segundos é igual a: (A) 15. (B) 60. (C) 250. (D) 260. (E) 750. Alternativa D. 28 4 Um produto custava reais e sofreu um desconto de 5% no pagamento à vis- preço desse produto, em reais, após desconto, pode ser calculado por qual expressão algébrica? (B) 0,5x (C) 0,05x (D) 0,95x (E) 1,05x Alternativa D. 5 Uma coleção tem vários livros que foram enviados para uma equipe de Dois revisores recebem, cada um, R$ 2.000,00 por semana para revisar livros inteiros. Os outros revisores recebem por capítulo Cada um deles re- visa 3 capítulos por semana, recebendo R$ por capítulo revisado. Considerando a quantidade total de revisores dessa equipe, qual é a expres- são que melhor representa a quantia, em reais, a ser paga semanalmente para os revisores? (A) 100x + 1900 (B) 100x + 2000 (C) 100x + 2100 (D) 300x + 2300 (E) 300x + 3400 Alternativa 6 A média das idades de três irmãs é de 22 Sabendo que as idades são consecutivas, qual é a idade da mais velha? (A) 21 anos (B) 22 anos (C) 23 anos (D) 24 anos (E) 25 anos Alternativa 7 A soma de dois números é igual a 52. Se um dos números possui 7 unidades a mais que a metade do outro número, qual é valor do menor número? (A) 8 (B) 15(E) 1,05x Alternativa D. 5 Uma coleção tem vários livros que foram enviados para uma equipe de Dois revisores recebem, cada um, R$ 2.000,00 por semana para revisar livros inteiros. Os outros revisores recebem por capítulo revisado. Cada um deles re- visa 3 capítulos por semana, recebendo R$ 100,00 por capítulo Considerando a quantidade total de revisores dessa equipe, qual é a expres- são que melhor representa a quantia, em reais, a ser paga semanalmente para os revisores? (A) 100x + 1900 (B) 100x + 2000 (C) 100x + 2100 (D) 300x + 2300 (E) 300x + 3400 Alternativa 6 A média das idades de três irmãs é de 22 Sabendo que as idades são consecutivas, qual é a idade da mais velha? (A) 21 anos (B) 22 anos (C) 23 anos (D) 24 anos (E) 25 anos Alternativa 7 A soma de dois números é igual a 52. Se um dos números possui 7 unidades a mais que a metade do outro número, qual é valor do menor número? (A) 8 (B) 15 (C) 22 (D) 30 (E) 37 Alternativa 29 Assista uma ligado videoaula sobre tema acessando QR code Definição de função Considere os conjuntos A e B representados pelos diagramas a seguir. 1 2 2 4 3 3. 6 Observe que todos os elementos de A estão ligados a algum elemento de B. Para toda relação entre 2 conjuntos em que essa condição é satisfeita, diz-se que é uma função de A em B, cuja representação é: f: A B. Domínio da função: conjunto A. Contradomínio da função: conjunto B. Imagem da função: subconjunto com todos os elementos de B que estão nados a algum elemento de A. Lei de formação da função: regra que relaciona os elementos do domínio com os elementos do Nesse Domínio da função: conjunto {1, 2,3}; da função: conjunto {2,3,4,6}; Imagem da função: conjunto {2, Lei de formação da função: pode ser expressa por f(x) = 2x, sendo a representação para os elementos do conjunto domínio A. Em alguns casos, pode existir uma função em que todos os elementos do contrado- estejam associados a algum elemento do domínio, assim conjunto imagem passa a ser igual ao conjunto Função polinomial de grau Uma função A -> é denominada polinomial de 1° grau ou simplesmente função afim quando for possível escrever a lei dessa função da seguinte maneira: f(x) ax + b ou y ax + b, com a e b reais e a * Taxa de variação da função f: o coeficiente a. Termo independente ou valor fixo da função (que não varia): coeficiente b. Além disso, costuma-se escrever y f(x), ou seja, y está em função de e e y são Quando se informa um valor numérico fixo de y e se pretende encontrar va- lor de associado a ele, é a incógnita da equação y f(x). 30ETAPA Consulte orientações e resoluções no Manual do 1 Considere a Qual das alternativas a seguir representa o conjunto imagem / dessa função? 8, 11} Alternativa B. 2 Sejam os Considerando cada elemento do conjunto A como X, qual das relações a seguir pode representar uma função = + 2 Em uma padaria, o preço de cada pão é Fabiana quer comprar 5 pães, mas acha que essa quantidade pode não ser suficiente, e precisa decidir se comprará mais 2 ou 3 pães. Chamando a quantidade de pães de preço em reais a ser pago de R, qual é a função que pode ser usada para calcular o preço total a ser pago pelos pães por Fabiana? (A) R(p) = 0,66 p (B) R(p) = p + 0,66 (C) Alternativa 31 4 Ao adquirir uma moto esportiva, proprietário coletou os dados de consumo de gasolina do veículo descritos na tabela a Consumo de gasolina da moto Distância percorrida Quantidade média de (em km) gasolina consumida (em L) 2 100 4 6 200 B 250 10 300 12 Dados elaborados para fins Qual destas alternativas representa a função que associa os valores y = f(x) de distância percorrida à quantidade média de gasolina consumida? (A) f(x) = 50x + 2 Alternativa Uma banheira contém 30 litros de água em seu Em determinado momento, foi aberta uma torneira com vazão constante de 20 litros de água por minuto. Observe na tabela a seguir a relação entre a medida de volume de água des- pejada pela torneira e intervalo de tempo gasto. Enchimento de água na banheira Medida de intervalo de Medida de volume de tempo L) o 30 1Considerando esses dados, qual é a função que associa o intervalo de tempo t ao volume V de água despejada pela torneira? (A) = 20t (B) V(t) = 20t + 30 (C) 30t 20 (D) V(t) = 30t (E) V(t) = 30t + 20 Alternativa B. 6 Para pintar uma parede, um pintor cobra a quantia de por metro quadrado mais uma taxa fixa de Qual é a função que representa valor V cobrado por esse pintor em função de metros quadrados pintados? (B) 45 (C) V(x) 45x (D) V(x) (E) V(x) 50x Alternativa B. 7 André e Arthur trabalham como produtores culturais. cobra uma taxa fixa de R$ 900,00 mais R$ 150,00 por hora de Já Arthur cobra uma taxa fixa de R$ 750,00 mais por hora de Qual é a duração mínima, em horas, de evento que torna o valor do serviço de mais barato do que de Arthur? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 Alternativa D. _DICA Lembre-se de que, para resolver uma equação de grau, basta isolar a Em uma equação representada por + b, valor de pode ser calculado por: y b a com 33 8 Patrícia é uma revendedora de perfumes. Ela percebeu que seu lucro mensal (L), em reais, varia em função do número (n) de perfumes vendidos, conforme representado a seguir. Para obter um lucro mensal de 1900 reais, Patrícia deverá vender, ao mês, um total de perfumes igual a: (A) (B) (C) (D) 210. (E) Alternativa 9 Muitas substâncias sólidas se dilatam com o aumento da temperatura e se con- traem quando a temperatura é Esse fenômeno tem muitas impli- cações no cotidiano, e a função que o descreve para casos em que a variação ocorre em apenas uma dimensão é dado por AL = AT, em que AL é a variação da medida de comprimento; L, é a medida de comprimento inicial; é o coeficiente de dilatação inicial; e AT é a variação da medida de temperatura A dilatação linear pode ocorrer, por exemplo, em uma serpentina de alumínio, cujo coeficiente de dilatação linear (a) é 22 °C-1 e que mede 6,5 m de comprimento, muito usada em equipamento de aquecimento e Considerando-se que a medida de temperatura teve uma variação de 20 °C a 40 °C, conclui-se que a dilatação sofrida pela serpentina, em mm, é igual a: (A) 2,22. (B) (C) (D) 4,08. (E) Alternativa B. AMPLIANDO Você pode desenvolver um pouco mais seus conhecimentos sobre função assistindo ao video Carro Flex, do projeto M3 Matemática Multimídia, da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp).