Aplicações da Derivação

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APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 269 y y 4 ponto de inflexão y=1 y=1 0 -3 0 3 0 (a) Esboço preliminar (b) Esboço acabado (c) Confirmação computacional FIGURA 13 4.3 Exercícios 1-2 Usar o gráfico dado de f para encontrar o seguinte: y (a) Os intervalos abertos nos quais f é crescente. (b) Os intervalos abertos nos quais f é decrescente. (c) Os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima. 0 2 4 6 8 (d) Os intervalos abertos nos quais f côncava para baixo. (e) As coordenadas dos pontos de inflexão. 1. 2. 8. gráfico da primeira derivada f' de uma função está mostrado. (a) Em que intervalos f está crescendo? Explique. (b) Em que valores de a função f tem um mínimo ou máximo local? Explique. 1 1 (c) Em que intervalos f é côncava para cima ou para baixo? Ex- plique. 0 0 (d) Quais são as coordenadas dos pontos de inflexão de f? Por quê? 3. Suponha que lhe foi dada uma fórmula para uma função f. y (a) Como você determina onde f é crescente ou decrescente? y=f'(x) (b) Como você determina onde o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo? 0 1 3 5 7 9 (c) Como você localiza os pontos de inflexão? 4. (a) Enuncie o Teste da Primeira Derivada. (b) Enuncie o Teste da Segunda Derivada. Em que circunstância 9-18 ele é inconclusivo? que você faz se ele falha? (a) Encontre os intervalos nos quais fé crescente ou decrescente. 5-6 gráfico da derivada f' de uma função está mostrado. (b) Encontre os valores máximo e mínimo locais de f. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. (b) Em que valores de a função f tem um mínimo ou máximo local? 5. y 6. y y=f'(x) y=f'(x) 0 2 4 6 0 2 4 6 7. Em cada item, indique as coordenadas dos pontos de inflexão 17. 18. de f. Dê razões para suas escolhas. (a) Esta curva é o gráfico de f. 19-21 Encontre os valores máximo e mínimo locais de fusando os Tes- (b) Esta curva é o gráfico de tes da Primeira e da Segunda Derivadas. Qual método você prefere? (c) Esta curva é o gráfico de f". É necessário o uso de uma calculadora gráfica ou computador SCA É necessário usar um sistema de computação algébrica 1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com270 CÁLCULO 20. 32. y y=f'(x) -2 22. (a) Encontre os números críticos de (b) que o Teste da Segunda Derivada mostra para você sobre o 0 2 6 8 comportamento de f nesses números críticos? (c) que mostra o Teste da Primeira Derivada? -2 23. Suponha que f" seja contínua em (a) Se f'(2) = -5, o que podemos dizer sobre (b) que podemos dizer sobre f? 33-44 24-29 Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as con- (a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou de- dições dadas. crescente. 24. Assíntota vertical 0, (b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais. f'(x) >-2 (c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão. f"(x) (d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você ti- 25. ver uma. 33. 34. 35. 26. f'(x) f'(x) se 2, 39. 40. f"(x) ponto de inflexão (0, 1) 41. 27. se 43. = 28. 0 se 45-52 (a) Encontre as assíntotas verticais e horizontais. se 0APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO 271 55. 56. 57-58 (a) Use um gráfico de f para estimar aproximadamente os inter- valos de concavidade e as coordenadas dos pontos de inflexão. (b) Use um gráfico de f" para dar uma estimativa melhor. 57. f(x) = cos cos 2x, 58. SCA 59-60 Estime os intervalos de concavidade com precisão de uma casa 65. Uma curva dose-resposta descreve o nível de medicamento na decimal usando um sistema de computação algébrica para calcular e corrente sanguínea depois de uma droga ser administrada. Uma fazer o gráfico de função onda S(t) = é usada frequentemente para mode- lar a curva de resposta, refletindo uma oscilação inicial acentuada 59. no nível da droga e então um declínio gradual. Se, para uma droga específica, A = 0,01, = k = 0,07 e t for medido em minu- 61. É dado o seguinte gráfico de uma população de células de levedo tos, estime o tempo correspondente aos pontos de inflexão e ex- em uma nova cultura de laboratório em função do tempo. plique seu significado. Se você tiver uma ferramenta gráfica, (a) Descreva como varia a taxa de crescimento populacional. use-a para traçar a curva de resposta à droga. (b) Quanto a taxa é mais alta? 66. A família das curvas em forma de sino (c) Em quais intervalos a função população é côncava para cima ou para baixo? (d) Estime as coordenadas do ponto de inflexão. ocorre em probabilidade e estatística, nas quais ela é chamada fun- ção densidade normal. A constante é denominada média, e a constante positiva o é conhecida como desvio padrão. Por sim- 700 plicidade, mudamos a escala da função de forma a remover o fa- 600 tor e vamos analisar o caso especial onde = 0. 500 Número Logo, estudamos a função de células 400 de levedo 300 200 100 (a) Encontre a assíntota, o valor máximo e os pontos de inflexão de f. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 (b) Que papel desempenha o no formato da curva? Tempo (em horas) (c) Ilustre, fazendo o gráfico de quatro membros dessa família so- 62. a temperatura no instante t onde você mora e suponha que bre a mesma tela. no instante t = 3 você se sinta desconfortavelmente quente. 67. Encontre uma função cúbica f(x) = ax3 + bx2 + + d que te- Como você se sente em relação às informações dadas em cada nha um valor máximo local 3 um valor mínimo lo- caso? cal 0 em = 1. f"(3) 4 68. Para quais valores dos números a e b a função f"(3) -4 4 f"(3) = -4 tem o valor máximo de 63. Seja K(t) uma medida do conhecimento adquirido por você estu- 69. (a) Se a função bx tem o valor mínimo local dando t horas para um teste. Qual será maior: K(8) - K(7) ou quais são os valores de a e b? K(3) K(2)? gráfico de K é côncavo para cima ou para baixo? (b) Qual das tangentes à curva na parte (a) tem a menor inclina- Por quê? ção? 64. A caneca mostrada na figura está sendo enchida com café a uma 70. Para que valores de a e b é (2; 2,5) um ponto de inflexão da curva taxa constante (medida em volume por unidade de tempo). Esboce inflexão adicionais a curva um gráfico da profundidade do café na caneca como uma função do tempo. Forneça uma explicação para o formato do gráfico em 71. Mostre que a curva y = (1 + x)/(1 + x2) tem três pontos de in- termos de concavidade. Qual o significado do ponto de inflexão? flexão e todos ficam sobre uma mesma reta.272 CÁLCULO 72. Mostre que as a curva 80. Para quais valores de o polinômio dois y = sen em seu ponto de inflexão. pontos de inflexão? E um ponto de inflexão? E nenhum? Ilustre 73. Mostre que os pontos de inflexão da curva y = x sen estão so- traçando o gráfico de P para vários valores de C. Como o gráfico bre a muda quando C decresce? 74-76 Suponha que todas as funções sejam duas vezes deriváveis e que 81. Demonstre que se (c,f(c)) for um ponto de inflexão do gráfico de as segundas derivadas nunca sejam nulas. 74. (a) Se f e g forem côncavas para cima em I, mostre que f+gé fef" existir em um intervalo aberto contendo c, então f"(c) = 0. [Dica: Aplique o Teste da Primeira Derivada e o Teorema de Fer- côncavo para cima em I. mat à função g = f'.] (b) Se f for positiva e côncava para cima em I, mostre que a fun- é côncava para cima em I. 82. Mostre que se (x) = x4, então f"(0) 0, mas (0, 0) não é um 75. (a) Se f e forem funções positivas, crescentes e côncavas para ponto de inflexão do gráfico de f. cima em I, mostre que a função produto fg é côncava para cima 83. Mostre que a função tem um ponto de inflexão em em I. (0, 0), mas g"(0) não existe. (b) Mostre que a parte (a) permanece verdadeira mesmo que fe 84. Suponha que seja contínua mas g sejam ambas A função ftem um mínimo ou máximo local em c? A função apre- (c) Suponha que f seja crescente e g, decrescente. Mostre, dando senta um ponto de inflexão em c? três exemplos, que fg pode ser côncava para cima, côncava 85. Suponha que f seja derivável em um intervalo f'(x) > 0 para para baixo ou linear. Por que os argumentos usados nas par- todos os números em I, exceto para um único número C. Prove tes (a) e (b) não podem ser usados neste caso? que f é crescente em todo o intervalo I. 76. Suponha que f e g sejam ambas côncavas para cima em 86. Para quais valores de C a função Sob que condições em f a função composta será côncava para cima? é crescente 77. Mostre que tg para [Dica: Mostre que 87. Os três casos no Teste da Primeira Derivada cobrem as situações crescente em (0, 78. (a) Mostre que + para encontradas usualmente, mas não esgotam todas as possibilida- (b) Deduza que para 0. des. Considere as função f, g e h cujos valores em 0 são todos 0 e, para 0, (c) Use a indução matemática para demonstrar que para 0 qualquer inteiro positivo n, 79. Mostre que uma função cúbica (um polinômio de terceiro grau) sempre tem exatamente um ponto de inflexão. Se seu gráfico tem (a) Mostre que um número crítico de todas as três funções, três com o eixo X, X1, X2 e X3, mostre que a coorde- mas suas derivadas mudam de sinal infinitas vezes em ambos os lados de 0. nada do ponto de inflexão é (b) Mostre que f não tem um máximo nem um mínimo local em 0, que g tem um mínimo local e que h tem um máximo local. 4.4 Formas Indeterminadas e Regra de l'Hôspital Suponha que estejamos tentando analisar o comportamento da função Apesar de F não estar definida em = 1, precisamos saber como F se comporta próximo a 1. Em particular, gostaríamos de saber o valor do limite 1 No cálculo desse limite não podemos aplicar a Propriedade 5 dos Limites (o limite de um quo- ciente é o quociente dos limites; veja a Seção 2.3), pois o limite do denominador é 0. De fato, embora o limite em 1 exista, seu valor não é óbvio, porque tanto o numerador como o denominador tendem a 0 e não está definido. Em geral, se tivermos um limite da forma