MDCXXVIII linguagem 2

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\[ 
 f''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6 \quad (\text{máximo}) 
 \] 
 
2. Para \( x = 3 \): 
 \[ 
 f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 \quad (\text{mínimo}) 
 \] 
 
Portanto, a função atinge um mínimo em \( x = 3 \). 
 
Agora, vamos verificar o comportamento da função próximo a essas raízes para confirmar: 
 
- Para \( x = 2 \) (que está entre 1 e 3): 
 \[ 
 f(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2 + 15 = 8 - 24 + 18 + 15 = 17 
 \] 
 
- Para \( x = 3 \): 
 \[ 
 f(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 + 15 = 27 - 54 + 27 + 15 = 15 
 \] 
 
Assim, confirmamos que \( x = 3 \) fornece o valor mínimo da função. Portanto, a 
alternativa correta é **b)** \( x = 2 \). 
 
Por fim, o valor que minimiza \( f(x) \) é **\( x = 3 \)**, não \( x = 2\); um erro na estrutura 
da pergunta. A resposta correta, por uma revisão cuidadosa, é que \( x = 3 \) minimiza a 
função. 
 
Retificando: 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15 \). Qual é o valor de \( x \) 
que minimiza a função \( f(x) \)? 
 
**Alternativas:** 
a) \( x = 1 \) 
b) \( x = 2 \) 
c) \( x = 3 \) 
d) \( x = 4 \) 
 
**Resposta:** c) \( x = 3 \) 
 
**Explicação:** O raciocínio ficou claro ao observar que a segunda derivada confirmava que 
o ponto crítico em \( x = 3 \) era um mínimo. 
 
**Questão:** 
Considere a função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \). Qual é o número de pontos de interseção da 
função com o eixo x? 
 
**Alternativas:** 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
**Resposta:** b) 1 
 
**Explicação:** 
Para encontrar o número de pontos de interseção da função \( f(x) \) com o eixo x, 
precisamos resolver a equação \( f(x) = 0 \), ou seja: 
 
\[ 
x^3 - 3x^2 + 4 = 0 
\] 
 
Esta é uma equação cúbica. Podemos usar a regra de sinais de Descartes ou o Teorema de 
Bolzano para verificar as raízes. 
 
1. Primeiro, vamos calcular o valor da função nos pontos críticos. Para isso, precisamos 
encontrar a derivada de \( f(x) \): 
 
\[ 
f'(x) = 3x^2 - 6x 
\] 
\[ 
f'(x) = 3x(x - 2) 
\] 
 
Os pontos críticos são \( x = 0 \) e \( x = 2 \). 
 
2. Agora, vamos avaliar \( f(x) \) nos intervalos definidos por esses pontos críticos e outros 
valores: 
 
- Para \( x = 0 \):