07- Estimação

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Inferir consiste na retirada de informações para toda população baseando-se numa 
amostra da mesma. Parâmetros são quantidades populacionais e estimadores são funções 
de dados amostrais que irão gerar as estimativas para os parâmetros populacionais. 
 
 Tabela - Exemplos de parâmetros e seus respectivos estimadores 
Parâmetros Estimadores 
Média populacional 
 
Média amostral 
X 
Desvio-padrão populacional 
 
Desvio-padrão amostral 
s 
Proporção populacional 
 
Proporção amostral 
p 
 
Distribuição Amostral da média – Teorema do Limite Central 
A base da estatística inferencial é o Teorema do Limite Central. Para entendermos o 
funcionamento do processo de estimação da média precisamos aprender a distribuição 
amostral das médias, que revela o comportamento probabilístico do estimador X . 
 
O teorema diz que, se extrairmos TODAS as possíveis amostras de tamanho n de uma 
população de tamanho N, a distribuição das médias amostrais X tende a se distribuir como 
uma curva Normal com média igual ao parâmetro  e desvio-padrão n . 
 
 
 
 
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ESTIMAÇÃO POR PONTO E POR INTERVALOS DE CONFIANÇA 
 
O conhecimento do comportamento probabilístico dos estimadores faz com que seja 
possível fornecer estimativas para parâmetros populacionais com um nível de confiança 
fixado pelo pesquisador. 
 
Estimação por ponto 
A estimação por ponto é um procedimento muito simples que visa estimar o valor do 
parâmetro através de estimativas pontuais (únicas). A grande vantagem deste tipo de 
estimação é ser de fácil interpretação, entretanto a probabilidade de acerto “na mosca” é 
praticamente nula, pois os estimadores podem ser encarados como variáveis aleatórias 
contínuas. 
 
Estimação por Intervalo 
Há dois tipos de estimação de parâmetros: a estimação por ponto e por intervalo. Ao 
realizarmos a estimação através do cálculo de intervalos, podemos ter uma melhor idéia a 
respeito da precisão de nossa estimativa pontual, que pode ser uma média ou uma proporção. 
 
Um intervalo de confiança constitui uma região com alta probabilidade de conter o 
verdadeiro valor do parâmetro, que pode ser a média populacional ou a proporção 
populacional, por exemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A) Intervalo de Confiança para  (Média) 
Ao substituirmos o parâmetro  por seu estimador s, a distribuição amostral de X deixa 
de ter uma distribuição Normal e passa a ter uma distribuição t de Student. Desta forma os 
Intervalos de confiança podem ser utilizados em situações práticas. No caso de populações 
infinitas o intervalo de confiança é construído pela seguinte expressão: 
 
 
I.C. para  com nível 1 -  de Confiança 
 x onde n
st.= 
 
 
 
1) Em um estudo sobre aplicação do tempo, constatou-se em uma amostra de 20 
administradores selecionados aleatoriamente, que estes gastam uma média de 3,40 horas 
por dia com trabalho burocrático com um desvio padrão das 0,5 horas. Construa o intervalo 
de confiança de 95% para o tempo médio gasto em trabalho burocrático por todos os 
administradores e interprete o seu resultado. 
 x= Tempo gasto em trabalho burocrático 
x̅ = 3,40 horas 
S = 0,5 horas 
n = 20 administradores 
 
 
 
Atenção! 
 
x= média amostral 
 = erro amostral 
t= valor tabelado 
s = desvio-padrão 
n = tamanho da amostra 
 
 
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Intervalo de Confiança 95% 
 
[x̅ ± ε] = [3,40 horas ± 0,23 horas] = [3,40 − 0,23 a 3,40 + 0,23] = [3,17 𝑎 3,23] 
 
Estima-se com 95% de confiança que o verdadeiro tempo médio que os administradores 
gastam com trabalho burocrático esteja entre 3,17 e 3,23 horas. 
 
 
Tabela t-student 
Linha n-1 e coluna 95% 
Linha 20-1 = 19 
 
 
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B) Intervalo de Confiança para Proporção 
 Seja  a proporção de “sucessos” de uma população, onde sucesso identifica um indivíduo 
ou objeto que tenha uma propriedade especificada. Uma amostra aleatória de n indivíduos 
será selecionada e X é o número de sucessos na amostra. 
 
O Intervalo de Confiança para uma proporção da população  pode ser definido como: 
 
[p ± 𝜺] 
 
𝜺 = 𝒛. √𝒑(𝟏 − 𝒑)
𝒏 
Onde: 
p = proporção na amostra = 
n
X 
n = tamanho da amostra 
Z = valor na tabela Normal, conforme a confiança desejada 
 
Os valores de Z (normal-padrão) podem ser obtidos na tabela Normal. Os valores mais 
utilizados são: 
 
Z 0,05 = 1,645 (para 90% de confiança) 
Z 0,025 = 1,96 (para 95% de confiança) 
Z 0,005 = 2,576 (para 99% de confiança) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Calcule o intervalo de confiança 95% para a proporção de computadores com problemas de 
configuração em uma rede de supermercados quando se sabe que em uma pesquisa de 
controle de qualidade que considerou uma amostra de tamanho 400 observou 25 
computadores com problemas de configuração (6,3%). 
 
p = proporção de computadores com problemas 
𝑝 = 
25
400
= 0,063 𝑜𝑢 6,3% 
n = 400 computadores 
z = 1,96 (valor da tabela normal estabelecido na página anterior) 
 
ε = z. √p(1 − p)
n
= 1,96 ∙ √0,063 ∙ (1 − 0,063)
400
= 1,96 ∙ √0,063 ∙ 0,937
400
 
ε = 1,96 ∙ √0,0590
400
= 1,96 ∙ √0,000147 = 1,96 . 0,012 = 0,0238 𝑜𝑢 2,38% 
 
Intervalo de Confiança 95% 
[p ± 𝜀] = [0,063 ± 0,0238] = [0,063 − 0,0238 𝑎 0,063 + 0,0238] = [0,0392 𝑎 0,0868] 
 
Como se trata de um Intervalo de Confiança para proporção devemos multiplicar o resultado 
por 100: 
[0,0392 𝑎 0,0868] = [3,92% 𝑎 8,68%] 
 
Estima-se com 95% de confiança que a verdadeira proporção de computadores com 
problemas esteja entre 3,92% e 8,68%.