Aula pratica 05 - Coordenadas retangulares poligonal basica

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Prof. Sérgio Teixeira
Prof. Sérgio Teixeira
Lembretes
Enviar as planilhas a cada processamento ➔ Evita erros subsequentes e retrabalho (dependência)
Coordenadas Polares➔ 13% sendo:
Planilha Coordenadas polares retangular básica ==== 5%
Planilha Coordenadas polares irradiações === 8%
Coordenadas Retangulares➔ 21% sendo:
Planilha Coordenadas Retangulares poligonal básica === 12%
Planilha Coordenadas Retangulares irradiações ==== 9%
Até o desenho teremos 65% da nota prática , pois o desenho tem valor de 31%
Nas apresentações anteriores, aprendemos a aferir e corrigir os erros porventura cometidos no
levantamento quanto às deflexões, ao fechamento angular da poligonal básica. Vimos também como
calcular as coordenadas polares tanto da poligonal básica como das irradiações originadas em cada uma
das estações alocadas em campo.
Portanto, a planilha de coordenadas polares das irradiações possui a relação de todos os Azimutes
corrigidos dos pontos de interesse dentro e ao redor da área em avaliação. Possui ainda as distâncias
horizontais determinadas para cada um destes pontos e/ou vértices.
Com esses dois tipos de dados já seria possível realizar um desenho que representasse a área de
estudo.
Inserindo esses dados em um programa computacional que aceite dados em Graus, Minutos e
Segundos, para fornecer a direção e sentido de um segmento de reta (vetor), aliado aos dados da distância
horizontal dos pontos, o programa realizaria o desenho com precisão.
Manualmente também seria possível realizar o desenho, mas quais instrumentos de desenho
temos disponíveis para essa tarefa?
➢ Escalímetro;
➢ Transferidor;
➢ Jogo de Curvas Francesas;
➢ Gabarito de círculos;
➢ Compasso;
No entanto, o transferidor possui um grau de precisão muito baixo, com subdivisões em graus. O
projetista poderá inferir uma interpolação visual em torno de 0,5°, o que ainda é uma medida grosseira em
relação à necessidade exigida por um desenho técnico de detalhamento.
Todos os valores abaixo de 30 minutos seriam perdidos, desprezados. A Estação total nos fornece
uma medida em décimos de segundos.
Outro ponto a considerar é quanto a precisão das medidas de distância.
➢ Qual o nível de certeza que temos quanto aos valores das distância horizontais mensuradas?
➢ A Estação foi perfeitamente nivelada, prumada e centrada no vértice?
➢ O Prisma foi perfeitamente prumado?
Neste caso, erros cometidos na obtenção das distâncias afetarão os desenhos tanto manual quanto
feito em um CAD.
Uma das formas de contornar a situação de erro e facilitar a elaboração do desenho, é converter as
coordenadas polares em coordenadas retangulares, coordenadas cartesianas.
O eixo horizontal é chamado de abscissa (x), representa o sentido Leste –
Oeste (E – W), e o eixo vertical é o das ordenadas (y), representando o sentido
Norte – Sul (N – S).
O Sistema de Coordenadas Cartesianas, mais conhecido como Plano
Cartesiano, foi criado por René Descartes com o objetivo de localizar pontos
(1637). Ele é formado por dois eixos perpendiculares: um horizontal e outro
vertical que se cruzam na origem das coordenadas.
Os eixos são enumerados compreendendo o conjunto dos números reais, ou seja, os eixos das
abscissas e ordenadas podem receber qualquer número real.
A distância entre o ponto de interesse e a origem do plano cartesiano será calculada por meio das
sentenças já conhecidas Dx = DH * senAz e Dy = DH * cosAz, onde:
➢ Dx e Dy são as distâncias do ponto à origem, nos eixos x e y respectivamente;
➢ DH é a distância horizontal mensurada entre o ponto e a estação;
➢ Az é o azimute corrigido de cada ponto de interesse.
0
1
X (E)
Y (N)
Dy
d0-1 = Distância horizontal entre os vértices 0 e 1;
Aza = Azimute do alinhamento 0-1;
Dx = Projeção da distância d0-1 sobre o eixo X;
Dy = Projeção da distância d0-1 sobre o eixo Y.
Dx = DH . sen Aza
Dy = DH . cos Aza
Aza
Dx
Vejamos um exemplo com o ponto P32 da estação E4 de nossa planilha:
Est. PV HZ Az DH
E4 P32 7° 53' 46" 189° 26' 40" 43,908
+
X
Abscissas
E
–
W
Y
Ordenadas
+
N
–
S
E4
P32
Az = 189° 26’ 40”
- 7,21
- 43,31
AzE4-P32 = 189° 26’ 40”
DH = 43,91 m
X = sen 189° 26’ 40” * 43,91
X = – 0,1641 * 43,91➔ X = – 7,21 m
Y = cos 189° 26’ 40” * 43,91
Y = – 0,9865 * 43,91➔ Y = – 43,31 m
Esse mesmo procedimento deverá ser realizado para nossa POLIGONAL BÁSICA, seus vértices são
pontos de interesse, pois funcionam como origem de cada um dos agrupamentos de visadas (ou deflexões).
Nossa poligonal básica é uma poligonal fechada como já mencionado anteriormente.
Os cálculos que fizemos para o ponto P32, como exemplo, localizou o referido ponto no terceiro
quadrante do plano cartesiano (-7,21 ; -43,31). Certamente outro ponto terá como par ordenado valores
referentes ao primeiro quadrante, com X e Y positivos, assim como nos quadrantes 2 e 3.
Considerando que a poligonal é fechada, ou seja, inicia e termina no mesmo ponto, a soma dos
deslocamentos positivos tem que ser igual a soma dos deslocamentos negativos, tanto no eixo das
abscissas quanto no eixo das ordenadas, caso contrário a poligonal não se fechará.
Considerando que já foi corrigido o erro angular, a causa do não fechamento passa a ser em função
das distâncias mensuradas, ou seja, teremos então um ERRO DE FECHAMENTO LINEAR.
Prisma não prumado, nivelado;
Estação não nivelada, centrada;
Erro de leitura e/ou anotação (quando manual), etc.
A verificação do fechamento linear da poligonal então é
fundamental, e caso necessário, uma correção deverá ser feita, no
escritório (distribuição de erros), ou com um retorno ao campo para
remedição.
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o Coordenadas 
Polares
C o o r d e n a d a s R e t a n g u l a r e s R E L A T I V A S ( m e t r o s ) Coordenadas 
Retangulares 
ABSOLUTAS ( m )
Azimute 
Calculado
DH 
(m)
Abscissas Parciais ( x )* Ordenadas Parciais ( y )**
Não corrigidas
( + ) ( – )
Correção
Corrigidas
( + ) ( – )
Não corrigidas
( + ) ( – )
Correção
Corrigidas
( + ) ( – )
X Y
E1 E2 187°04’00” 141,69
E2 E3 106°09’07” 73,53
E3 E4 1° 32’ 54” 151,34
E4 E1 279°42’01” 58,30
S o m a —— 424,86
* x= DH.sen Az ** y= DH.cos AzObs.: 1) Coordenadas retangulares com 2 casas decimais
2) Os sinais nas abscissas e ordenadas indicam a direção do alinhamento
ex = _________ metros
fcx = ________ metros
ey = _________ metros
fcy = ________ metros
e.f.l. = _________ metros
L.e.f.l.= ________ metros
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Polares
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R E L A T I V A S ( m e t r o s )
Azimute 
Calculado
DH 
(m)
Abscissas Parciais ( x )*
Não corrigidas
( + ) ( – )
Correção
Corrigidas
( + ) ( – )
E1 E2 187°04’00” 141,69 —— 17,43
E2 E3 106°09’07” 73,53 70,63 ——
E3 E4 1° 32’ 54” 151,34 4,09 ——
E4 E1 279°42’01” 58,30 —— 57,47
S o m a —— 424,86 74,72 74,90
Obs.: 1) Coordenadas retangulares com 2 casas decimais
2) Os sinais nas abscissas e ordenadas indicam a direção do alinhamento
ex = _________ metros
fcx = ________ metros
ey = _________ metros
fcy = ________ metros
e.f.l. = _________ metros
L.e.f.l.= ________ metros
* x= DH * sen Az
E1-E2 → X = 141,69 * sen 187°04’00” ➔ 141,69 * – 0,1230
X = – 17,43 m
E2-E3 → X = 73,53 * sen 106°09’07” ➔ 73,50 * 0,9605
X = 70,60 m
E3-E4 → X = 151,34 * sen 1°32’54” ➔ 151,34 * 0,0270
X = 4,09 m
E4-E1 → X = 58,30 * sen 279°42’01” ➔ 58,30 * – 0,9857
X = – 57,47 m
A soma dos valores positivos é menor que a soma 
dos valores negativos
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o Coordenadas 
Polares
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Azimute 
Calculado
DH 
(m)
Abscissas Parciais ( x )*
Não corrigidas
( + ) ( – )
Correção
Corrigidas
( + ) ( – )
E1 E2 187°04’00” 141,69 —— 17,43
E2 E3 106°09’07” 73,53 70,63 ——
E3 E4 1° 32’ 54” 151,34 4,09——
E4 E1 279°42’01” 58,30 —— 57,47
S o m a —— 424,86 74,72 74,90
Obs.: 1) Coordenadas retangulares com 2 casas decimais
2) Os sinais nas abscissas e ordenadas indicam a direção do alinhamento
ex = 0,18 metros
fcx = ________ metros
ey = _________ metros
fcy = ________ metros
e.f.l. = _________ metros
L.e.f.l.= ________ metros
A soma dos valores positivos é menor que a soma dos 
valores negativos.
Essa diferença indica que a poligonal NÃO ESTÁ fechada.
A diferença entre os valores (módulo), é o erro de X→ Ex
ex = 74,72 – 74,90 ➔ ex = 0,18 m
Apenas com valor de X (abscissas) ainda não se sabe se o
erro é elevado ou é tolerável.
É necessário aferir os valores das Ordenadas.
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Azimute 
Calculado
DH 
(m)
Ordenadas Parciais ( y )**
Não corrigidas
( + ) ( – )
Correção
Corrigidas
( + ) ( – )
E1 E2 187°04’00” 141,69 —— 140,62
E2 E3 106°09’07” 73,53 —— 20,46
E3 E4 1° 32’ 54” 151,34 151,28 ——
E4 E1 279°42’01” 58,30 9,82 ——
S o m a —— 424,86 161,10 161,08
Obs.: 1) Coordenadas retangulares com 2 casas decimais
2) Os sinais nas abscissas e ordenadas indicam a direção do alinhamento
ex = 0,18 metros
fcx = ________ metros
ey = _________ metros
fcy = ________ metros
e.f.l. = _________ metros
L.e.f.l.= ________ metros
** y= DH.cos Az
E1-E2 → Y = 141,69 * cos 187°04’00” ➔ Y = 141,69 * -0,9924
Y = – 140,62 m
E2-E3 → Y = 73,50 * cos 106°09’07” ➔ Y = 73,50 * -0,2782 
Y = – 20,46 m
E3-E4 → Y = 151,34 * cos 1° 32’ 54” ➔ Y = 151,34 * 0,9996 
Y = 151,28 m
E4-E1 → Y = 58,30 * cos 279°42’01” ➔ Y = 58,30 * 0,1685 
Y = 9,82 m
A soma dos valores positivos é maior que a soma 
dos valores negativos
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Polares
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Azimute 
Calculado
DH 
(m)
Ordenadas Parciais ( y )**
Não corrigidas
( + ) ( – )
Correção
Corrigidas
( + ) ( – )
E1 E2 187°04’00” 141,69 —— 140,62
E2 E3 106°09’07” 73,53 —— 20,46
E3 E4 1° 32’ 54” 151,34 151,28 ——
E4 E1 279°42’01” 58,30 9,82 ——
S o m a —— 424,86 161,10 161,08
Obs.: 1) Coordenadas retangulares com 2 casas decimais
2) Os sinais nas abscissas e ordenadas indicam a direção do alinhamento
ex = 0,18 metros
fcx = ________ metros
ey = 0,02 metros
fcy = ________ metros
e.f.l. = _________ metros
L.e.f.l.= ________ metros
A soma dos valores positivos é maior que a soma dos
valores negativos.
Essa diferença confirma que a poligonal NÃO ESTÁ
fechada.
A diferença entre os valores (módulo), é o erro de Y→ ey
ey = 161,10 – 161,08 ➔ Ey = 0,02
O valor de Y (ordenada) isolado não permite saber se o
erro é elevado ou é tolerável.
É necessário verificar qual foi o erro linear total, ou seja,
qual foi o ERRO DE FECHAMENTO LINEAR - efl.
Erro de fechamento linear — e.f.l.
Nada mais é do que valores de X e Y
que foram mensurados a maior ou a
menor. Pode ser decomposto em um
triângulo retângulo
efl
ey
ex
Portanto, o valor do erro de
fechamento linear – efl, é calculado
aplicando-se Pitágoras.
efl = 𝑒𝑥2+ 𝑒𝑦2
efl = 0,182+ 0,022
efl = 0,0324 + 0,0004
efl = 0,0328
efl = 0,1811 m
e.f.l. = 0,1811 metro. ➔ é um erro grande?
➔ Refaz o levantamento?
➔ Seguimos com os cálculos?
O valor do erro de fechamento linear – efl, em si não nos informa se o levantamento está
correto, é necessário verificar se tal erro é tolerável, se tal erro é inferior a um LIMITE para aceitação
desse tipo de erro. Se superior ao limite se faz necessário repetir o procedimento para obtenção das
distâncias horizontais entre as estações que compões o levantamento.
O LIMITE DO ERRO DE FECHAMENTO LINEAR é dado pela expressão:
L.e.f.l. = 1 a 3 m * 𝒌 , onde k é a soma das distâncias horizontais entre as estações da 
poligonal básica, em quilômetros – k = ∑ DH / 1000
LIMITE DO ERRO DE FECHAMENTO LINEAR ➔ L.e.f.l. = 1 a 3 m * 𝒌
Adotando-se o valor de 1 metro – limite inferior da constante, teremos uma tolerância mais
restritiva, com maior precisão no levantamento, por outro lado, adotando-se o valor de 3 metros para
a constante teremos um levantamento mais tolerante ao erro, entenda-se como um levantamento de
menor precisão.
Para nossos trabalhos práticos adotaremos o valor de 3 metros.
Conforme somatório efetuado na planilha de coordenadas retangulares da poligonal básica,
para as distâncias horizontais mensuradas, temos um valor de 424,86 metros como distância total
percorrida para formação da Poligonal.
Assim teremos: k = ∑ DH / 1000 ➔ k = 424,86 m / 1000 m ➔ k = 0,42486
LIMITE DO ERRO DE FECHAMENTO LINEAR:
L.e.f.l. = 3 * 𝟎, 𝟒𝟐𝟒𝟖𝟔 ➔ L.e.f.l. = 3 * 0,6518 ➔ L.e.f.l. = 1,96 metros
Comparando o erro cometido com o limite de tolerância, tem-se:
e.f.l.– )
Correção
Corrigidas
( + ) ( – )
E1 E2 187°04’00” 141,69 —— 17,43 0,06
E2 E3 106°09’07” 73,53 70,63 —— 0,03
E3 E4 1° 32’ 54” 151,34 4,09 —— 0,06
E4 E1 279°42’01” 58,30 —— 57,47 0,03
S o m a 424,86 74,72 74,90 0,18
Obs.: 1) Coordenadas retangulares com 2 casas decimais
2) Os sinais nas abscissas e ordenadas indicam a direção do alinhamento
ex = 0,18 metros
fcx = 0,000424
ey = 0,02 metros
fcy = 0,0000471
e.f.l. = 0,1811 metros
L.e.f.l.= 1,96 metros
CE2E3 = 0,000424 * 73,53 ➔ CE2E3 = 0,03
CE3E4 = 0,000424 * 151,34 ➔ CE3E4 = 0,06
CE4E1 = 0,000424 * 58,30 ➔ CE4E1 = 0,03
A SOMA DAS COOREÇÕES = ex
A coordenada corrigida para X
(abscissas) é então realizada somando ou
subtraindo a correção recém calculada ao
valor não corrigido.
Verifica-se qual coluna não corrigida é
maior e subtrai a correção, a coluna menor
é somada à correção calculada.
A soma das colunas das coordenadas
corrigidas positivas tem que ser igual a
soma da coluna das coordenadas
negativas.
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Azimute 
Calculado
DH 
(m)
Abscissas Parciais ( x )*
Não corrigidas
( + ) ( – )
Correção
Corrigidas
( + ) ( – )
E1 E2 187°04’00” 141,69 —— 17,43 0,06
E2 E3 106°09’07” 73,53 70,63 —— 0,03
E3 E4 1° 32’ 54” 151,34 4,09 —— 0,06
E4 E1 279°42’01” 58,30 —— 57,47 0,03
S o m a 424,86 74,72 74,90 0,18
Obs.: 1) Coordenadas retangulares com 2 casas decimais
2) Os sinais nas abscissas e ordenadas indicam a direção do alinhamento
ex = 0,18 metros
fcx = 0,000424
ey = 0,02 metros
fcy = 0,0000471
e.f.l. = 0,1811 metros
L.e.f.l.= 1,96 metros
CE1E2 = 17,43 — 0,06 ➔ CE1E2 = 17,37E
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Polares
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Azimute 
Calculado
DH 
(m)
Abscissas Parciais ( x )*
Não corrigidas
( + ) ( – )
Correção
Corrigidas
( + ) ( – )
E1 E2 187°04’00” 141,69 —— 17,43 0,06 —— 17,37
E2 E3 106°09’07” 73,53 70,63 —— 0,03 70,66 ——
E3 E4 1° 32’ 54” 151,34 4,09 —— 0,06 4,15 ——
E4 E1 279°42’01” 58,30 —— 57,47 0,03 —— 57,44
S o m a 424,86 74,72 74,90 0,18 74,81 74,81
Obs.: 1) Coordenadas retangulares com 2 casas decimais
2) Os sinais nas abscissas e ordenadas indicam a direção do alinhamento
ex = 0,18 metros
fcx = 0,000424
ey = 0,02 metros
fcy = 0,0000471
e.f.l. = 0,1811 metros
L.e.f.l.= 1,96 metros
CE2E3 = 70,63 + 0,03 ➔ CE2E3 = 70,66
CE3E4 = 4,09 + 0,06 ➔ CE3E4 = 4,15
CE4E1 = 57,47 — 0,03 ➔ CE4E1 = 57,44
ABSCISSAS CORRIGIDAS:
Soma da coordenadas corrigidas (+) e (-)
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Polares
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Azimute 
Calculado
DH 
(m)
Ordenadas Parciais ( y )**
Não corrigidas
( + ) ( – )
Correção
Corrigidas
( + ) ( – )
E1 E2 187°04’00” 141,69 —— 140,62 0,01
E2 E3 106°09’07” 73,53 —— 20,46 0,00
E3 E4 1° 32’ 54” 151,34 151,28 —— 0,01
E4 E1 279°42’01” 58,30 9,82 —— 0,00
S o m a —— 424,86 161,10 161,08 0,02
Obs.: 1) Coordenadas retangulares com 2 casas decimais
2) Os sinais nas abscissas e ordenadas indicam a direção do alinhamento
ex = 0,18 metros
fcx = 0,000424
ey = 0,02 metros
fcy = 0,0000471
e.f.l. = 0,1811 metros
L.e.f.l.= 1,96 metros
Correções para Y (ordenadas):
Correçãox ➔ fcy * DH
CE1E2 = 0,0000471 * 141,69 ➔ CE1E2 = 0,006
CE2E3 = 0,0000471 * 73,53 ➔ CE2E3 = 0,004
CE3E4 = 0,0000471 * 151,34 ➔ CE3E4 = 0,007
CE4E1 = 0,0000471 * 58,30 ➔ CE4E1 = 0,003
Soma das correções = ey
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Polares
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Azimute 
Calculado
DH 
(m)
Ordenadas Parciais ( y )**
Não corrigidas
( + ) ( – )
Correção
Corrigidas
( + ) ( – )
E1 E2 187°04’00” 141,69 —— 140,62 0,01
E2 E3 106°09’07” 73,53 —— 20,46 0,00
E3 E4 1° 32’ 54” 151,34 151,28 —— 0,01
E4 E1 279°42’01” 58,30 9,82 —— 0,00
S o m a —— 424,86 161,10 161,08 0,02
Obs.: 1) Coordenadas retangulares com 2 casas decimais
2) Os sinais nas abscissas e ordenadas indicam a direção do alinhamento
ex = 0,18 metros
fcx = 0,000424
ey = 0,02 metros
fcy = 0,0000471
e.f.l. = 0,1811 metros
L.e.f.l.= 1,96 metros
A coordenada corrigida para Y
(ordenadas) é então calculada somando-se
ou subtraindo-se a correção recém
calculada ao valor não corrigido.
Verifica-se qual coluna não corrigida é
maior e subtrai a correção, a coluna menor
é somada à correção calculada.
A soma das colunas das coordenadas
corrigidas positivas tem que ser igual a
soma da coluna das coordenadas
negativas.
= = 
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Azimute 
Calculado
DH 
(m)
Ordenadas Parciais ( y )**
Não corrigidas
( + ) ( – )
Correção
Corrigidas
( + ) ( – )
E1 E2 187°04’00” 141,69 —— 140,62 0,01 —— 140,63
E2 E3 106°09’07” 73,53 —— 20,46 0,00 —— 20,46
E3 E4 1° 32’ 54” 151,34 151,28 —— 0,01 151,27 ——
E4 E1 279°42’01” 58,30 9,82 —— 0,00 9,82 ——
S o m a —— 424,86 161,10 161,08 0,02 161,09 161,09
Obs.: 1) Coordenadas retangulares com 2 casas decimais
2) Os sinais nas abscissas e ordenadas indicam a direção do alinhamento
ex = 0,18 metros
fcx = 0,000424
ey = 0,02 metros
fcy = 0,0000471
e.f.l. = 0,1811 metros
L.e.f.l.= 1,96 metros
Correções para Y (ordenadas):
CE1E2 = 140,62 + 0,01 ➔ CE1E2 = 140,63
CE2E3 = 20,46 + 0,00 ➔ CE2E3 = 20,46
CE3E4 = 151,28 — 0,01 ➔ CE3E4 = 151,27
CE4E1 = 9,82 — 0,00 ➔ CE4E1 = 9,82
Soma corrigida: (+) = (–)
E
s
ta
ç
ã
o
P
o
n
to
 V
is
a
d
o Coordenadas 
Polares
C o o r d e n a d a s R e t a n g u l a r e s R E L A T I V A S ( m e t r o s ) Coordenadas 
Retangulares 
ABSOLUTAS ( m )
Azimute 
Calculado
DH 
(m)
Abscissas Parciais ( x )* Ordenadas Parciais ( y )**
Não corrigidas
( + ) ( – )
Correção
Corrigidas
( + ) ( – )
Não corrigidas
( + ) ( – )
Correção
Corrigidas
( + ) ( – )
X Y
E1 E2 187°04’00” 141,69 —— 17,43 0,06 —— 17,37 —— 140,62 0,01 —— 140,63
E2 E3 106°09’07” 73,53 70,63 —— 0,03 70,66 —— —— 20,46 0,00 —— 20,46
E3 E4 1° 32’ 54” 151,34 4,09 —— 0,06 4,15 —— 151,28 —— 0,01 151,27 ——
E4 E1 279°42’01” 58,30 —— 57,47 0,03 —— 57,44 9,82 —— 0,00 9,82 ——
S o m a —— 424,86 74,72 74,90 0,18 74,81 74,81 161,10 161,08 0,02 161,09 161,09
Obs.: 1) Coordenadas retangulares com 2 casas decimais
2) Os sinais nas abscissas e ordenadas indicam a direção do alinhamento
* x= DH.sen Az ** y= DH.cos Az
ex = 0,18 metros
fcx = 0,000424
ey = 0,02 metros
fcy = 0,0000471
e.f.l. = 0,1811 metros
L.e.f.l.= 1,96 metros
E as COORDENADAS retangulares ABSOLUTAS ?
As COORDENADAS RETANGULARES ABSOLUTAS, também chamadas de Coordenadas Totais ou
ainda, Coordenadas Acumuladas, poderão ser estabelecidas basicamente de duas formas:
➢ Valores arbitrados
➢ Coordenadas globais ou coordenadas UTM, obtidas com um receptor GPS.
Tema para P R Ó X I M A A U L A !!
❖ Número real arbitrado
❖ Número real estimado segundo avaliação das Irradiações.
Prof. Sérgio Teixeira