MATEMÁTICA

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MATEMÁTICA- ENSINO MÉDIO
PRIMEIRO ANO - SEGUNDO BIMESTRE
EREM EURICO PFISTERER
PROFESSORA LUCIANA FERREIRA
Função
Em matemática uma função é como uma máquina que faz sempre um mesmo processo: adicionando-se um número x, ocorrerão operações matemáticas que transformarão esse valor em y. Isso significa que os valores de x são variáveis, assim como os resultados y.
A função é então uma relação entre dois conjuntos A e B, em que, para todo elemento do conjunto A, existe um único correspondente no conjunto B.
Exemplos:
01)
Trata-se de uma função, pois satisfaz a definição, todo elemento de A possui um único correspondente em B.
02)
Não se trata de uma função, pois há elementos no domínio que não possuem correspondente em B, o que contradiz a definição.
03)
Também não é uma função, pois há elementos do conjunto A que possuem dois correspondentes no conjunto B, o que contradiz a definição.
04)
É uma função, pois, satisfaz a definição, perceba que todos os elementos do conjunto A possuem um único correspondente no conjunto B.
Note que existe um elemento do conjunto B que não é correspondente a nenhum elemento em A, e também um elemento em B que é correspondente a dois elementos de A, o que pode induzir a pensar que essa relação não é uma função, mas as restrições são válidas para o conjunto A, pois todo elemento do conjunto A deve possuir um único correspondente no conjunto B, então se existir um elemento do conjunto B que é correspondente de dois elementos no conjunto A, ou se esse elemento não for correspondente a nenhum elemento do conjunto A ainda sim a relação pode ser uma função.
Para aprofundar nosso estudo de Funções, vamos entender alguns conceitos importantes!
01) Plano Cartesiano
Antes de entender matematicamente o que é o plano cartesiano, vejamos um pouco do contexto histórico.
UM POUCO DE HISTÓRIA E FILOSOFIA
René Descartes foi um filósofo e matemático francês. Criou o pensamento cartesiano, sistema filosófico que deu origem à Filosofia Moderna. Dentre muitas coisas, afirmou que “Só a matemática demonstra aquilo que afirma”. Realizou diversos trabalhos na área da filosofia, ciências e matemática. Relacionou a álgebra com a geometria, fato que fez surgir a geometria analítica e o sistema de coordenadas, conhecido hoje como Plano Cartesiano.
Descartes propôs uma filosofia que nunca acreditasse no falso, que fosse totalmente fundamentada na verdade. Sua preocupação era com a clareza. Sugeriu uma nova visão da natureza, que anulava o significado moral e religioso da época. Acreditava que a ciência deveria ser prática e não especulativa.
Descartes criou algo chamado de Método Cartesiano. Ele consiste na pesquisa da verdade, com relação a existência dos "objetos", dentro de um universo de coisas reais. O método cartesiano está fundamentado no princípio de jamais acreditar em nada que não tivesse fundamento para provar a verdade.
Descartes fez com que a dúvida fosse o tema central de seu pensamento e isso o levou a uma conclusão acerca de sua existência: “Penso, logo existo”. Descartes lançou suas dúvidas sobre tudo aquilo que não lhe parecia evidente. Seu objetivo era alcançar uma verdade indubitável, pois o que ele aprendeu desde a infância foram verdades passadas pela tradição e forçada pela autoridade religiosa ou social. Ele duvidou até mesmo da existência do seu corpo e do mundo material. Então, depois de muito duvidar, ele chegou à conclusão de que não poderia duvidar apenas de uma coisa: da certeza de que ele pensa, de que é uma substância pensante. Para ele esta é a verdade evidente que não se pode duvidar, pois, para duvidar se realmente pensamos, devemos pensar, existir.
Após reconhecer-se como substância pensante, Descartes reconhece a Deus como substância divina, isso porque, anteriormente, ele havia pensado na ideia de “perfeito” e chegou à conclusão de que ele era “imperfeito” e que, portanto, somente um ser perfeito (Deus) poderia ter colocado nele a ideia de perfeição. A perfeição de Deus diz respeito a sua natureza não enganadora e verídica. Após admitir a ideia de Deus, Descartes admite a existência da realidade material. Deus garante o conhecimento verdadeiro das coisas, a consciência garante o conhecimento da realidade que estou inserido. Ou seja, o mundo material, por mais que não seja evidente, é assegurado pela existência de Deus. O mundo não é uma ilusão, pois Deus jamais iria nos enganar. Se há Deus, há uma ligação entre o conhecimento cognitivo e a realidade.
No Racionalismo de Descartes, em toda afirmação deve haver uma interrogação, que será movida pelo amor ao se obter conhecimento. E é esse pensamento questionador que determina a existência humana.
Mas, qual a ligação de Descartes com a Matemática? Onde entra nesse conceito o Plano Cartesiano? 
Cartesiano é um adjetivo referente a Descartes. Como foi Descartes que o desenvolveu, então, o plano remete ao seu nome. Voltemos a ele, então!
Plano Cartesiano
Plano cartesiano, também chamado de sistema cartesiano ortogonal ou plano coordenado, é um sistema de coordenadas constituído por dois eixos perpendiculares. Isso significa que, no ponto onde essas duas retas se cruzam (ponto de intersecção), forma-se um ângulo de 90° (ângulo reto). O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas (x). Já o vertical recebe o nome de eixo das ordenadas (y).
Essa ferramenta da matemática tem esse nome porque seu inventor foi o filósofo e matemático francês René Descartes (1596-1650). Usado para determinar a posição de um ponto no espaço, o sistema ortogonal é superimportante em disciplinas como a geometria e a geografia, além de ter diversas utilidades na vida diária.
Elementos do plano cartesiano
Eixo das ordenadas
Identificado com a letra y, o eixo das ordenadas é a reta vertical do plano cartesiano. Se olharmos bem, veremos que ambos os eixos são escalas numéricas. Para cima do ponto 0, os números nessa escala são positivos. Para baixo, negativos.
Eixo das abscissas
Identificado com a letra x, o eixo das abscissas é a reta horizontal do plano cartesiano. Para a direita, os números na escala numérica são positivos. Para a esquerda, negativos.
Ponto 0
Também chamado de origem, trata-se do ponto exato onde as duas retas se encontram, formando um ângulo reto. Acima do ponto 0, os números são positivos. Para baixo, negativos. À direita, positivos. À esquerda, negativos.
Quadrantes
Outro elemento importante do plano cartesiano são os quadrantes. Repare como as duas linhas que se cruzam no ponto 0 produzem uma imagem dividida em quatro segmentos. Cada um desses segmentos recebe o nome de quadrante. Qualquer ponto no plano ficará dentro de algum desses quatro quadrantes.
O que são as coordenadas do plano cartesiano?
Coordenadas são os números que, juntos, dão a exata localização de um ponto no plano cartesiano.
Já jogou batalha naval? A lógica é exatamente a mesma. Para efetuar um disparo nas embarcações inimigas, você precisa dizer quais são as coordenadas. Ou seja: quais são os valores nos eixos vertical e horizontal que indicam o alvo do seu canhão.
Assim, cada ponto no plano é determinado a partir de um par de informações. Dá-se o nome de par ordenado a esse conjunto constituído por dois números reais que representam valores nos dois eixos e nos fornecem a exata localização de um ponto no plano. O primeiro valor do par é a abscissa (x). O segundo, a ordenada (y).
Qualquer ponto no quadrante 1 (Q1) terá coordenadas positivas (+,+). O quadrante 2 (Q2) é formado por pontos em que a coordenada x é negativa e y é positiva (-,+). O terceiro quadrante (Q3) é constituído pelos pontos formados por coordenadas negativas (-,-). Já o quarto quadrante (Q4) tem a coordenada x positiva e y negativa (+,-).
Para que serve o plano cartesiano?
O plano cartesiano serve como um sistema de referência para que se possam localizar pontos no plano ou no espaço.
O plano cartesiano é muito útil na representação gráfica de soluções para equações que contêm duas variáveis.
Também funções de segundo grau podem ser representadasgeometricamente no plano cartesiano - neste caso, a figura geométrica é a parábola. Já funções de primeiro grau são representadas por retas no plano cartesiano.
Na vida prática, o plano cartesiano também é muito útil. Por sua capacidade de fornecer uma representação do espaço, o sistema cartesiano é fundamental, por exemplo, na arquitetura e na construção civil, já que é usado como base para a elaboração da planta de casas e edifícios.
O sistema GPS, muito usado hoje em dia na navegação, na aviação e mesmo nos deslocamentos diários de indivíduos, tem como base o sistema cartesiano de coordenadas. A partir de um ponto qualquer (usuário), é possível determinar suas coordenadas geográficas (latitude, longitude e altitude) num sistema cartesiano tridimensional (x,y,z). Para isso, são necessários satélites e uma estação terrestre.
Função afim: o que é, gráfico e aplicações 
A função afim é muito utilizada em vestibulares, porque aparece na maior parte dos gráficos e pode ser muito explorada em problemas matemáticos. Trata-se de uma função que se traduz como uma reta no plano cartesiano, por meio de uma função do primeiro grau. 
O que é função afim?
No caso de uma função afim, trata-se de uma função do primeiro grau, ou seja, em que a variável x só pode estar elevada a um expoente igual a 1. Por meio dessa definição, esse tipo de cálculo tem a seguinte lei de formação:
f(x) = ax + b
x é a variável, que pode ser trocada
a é um coeficiente de valor real, diferente de 0 
b é um coeficiente pertencente ao conjunto dos números reais
Note que a única restrição adotada no modelo acima é que a ≠ 0. Isso significa que:
· f(x) = x + 5 é uma função afim, porque a ≠ 0;
· f(x) = 10x é uma função afim, já que a ≠ 0, apesar de b=0; e
· f (x) = 0x + 9 não pode ser uma função afim, porque a = 0. 
No exercício abaixo, que apareceu na prova da Universidade Federal de Santa Maria, é importante encontrar a função afim que determina o cálculo. Acompanhe.
(UFSM) Sabe-se que o preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, que é denominada bandeirada, e uma parcela variável, que é função da distância percorrida. Se o preço da bandeirada é de R$ 4,60 e o quilômetro rodado é R$ 0,96, a distância percorrida pelo passageiro que pagou R$ 19 para ir de sua casa ao shopping é de:
A) 5 km
B) 10 km
C) 15 km
D) 20 km
E) 25 km
O valor da corrida sempre se inicia com a bandeirada de 4,60, algo que não está condicionado à quantidade de quilômetros rodados, então, não deve ser multiplicada pela distância. Nesse caso, só poderia ser o b da função afim. 
Depois, os 0,96 devem ser multiplicados pela quilometragem percorrida, o que resulta na função f(x) = 0,96.x + 4,60. De forma que x representa os quilômetros rodados. Basta, agora, igualar o cálculo ao valor pago pelo cliente, para encontrar a distância da corrida.
19 = 0,96.x + 4,60
14,40 = 0,96.x
1440  = 96x
120 = 8x
30 = 2x 
x = 15, como aponta a alternativa C.
Gráfico de uma função afim
O gráfico de uma função é construído a partir de um plano cartesiano. Primeiramente, adicionam-se valores de x ao cálculo, de forma que são obtidos diferentes valores de y. Cada x determina um valor de y e, por meio disso, é marcado um ponto no plano. A união entre esses pontos resulta em um traçado, que é o gráfico da função. Acompanhe agora:
	Valor de x
	Função f(x) = 2x + 2
	Valor de y
	-3
	f(-3) = 2.(-3) + 2 = -6 + 2 = -4
	-4
	-2
	f(-2) = 2.(-2) + 2 = -4 + 2 = -2
	-2
	-1
	f(-1) = 2.(-1) + 2 = -2 + 2 = 0
	0
	0
	f(0) = 2.0 + 2 = 0 + 2 = 2
	2
	1
	f(1) = 2.1 + 2 = 2 + 2 = 4
	4
	2
	f(2) = 2.2 + 2 = 4 + 2 = 6
	6
	3
	f(3) = 2.3 + 2 = 6 + 2 = 8
	8
Imagem: Reprodução/Calculadora Online
Note que o gráfico montado tem o formato de uma reta, que atravessa o plano cartesiano e, como não há limitação para os valores de x, ele pode crescer infinitamente tanto para a direita quanto para a esquerda. 
São os gráficos de uma função afim: retas determinadas por meio da lei de formação. Elas podem ser mais ou menos inclinadas. Vamos aprender algumas propriedades sobre esse gráfico. 
Propriedades do gráfico de uma função afim
Coeficiente angular
O coeficiente a de uma função é o coeficiente angular dessa reta, ou seja, determina a inclinação da reta em relação ao eixo x (horizontal). De maneira que, tomado o gráfico que se forma entre o gráfico e o eixo das abscissas como α, a tangente de α será igual ao coeficiente angular. 
tg α = a
Coeficiente linear
O coeficiente linear é a letra b da função. Ele é chamado assim porque, no caso em que a=0, ele forma uma função constante, que passa apenas por uma única linha, em que f(x) = b. Nesse caso, o gráfico é uma única reta horizontal, paralela ao eixo x. 
Além disso, o valor de b também determina em qual ponto a reta cruzará o eixo y. Note que, quando x é 0, é o momento de travessia da reta por esse eixo vertical. E, na função afim, se x=0, y=b. Então, toda função afim possui o ponto (0,b).
Por fim, é importante mencionar que existe a função linear. Nesse caso, b=0, e todo o valor de y é derivado da multiplicação entre a e x. Nesse caso, o ponto de cruzamento com o eixo y será o ponto (0,0).
Crescente e decrescente
Uma função afim é considerada crescente quando, à medida que o valor de x aumenta, o valor de y também aumenta. Ou seja, uma função que se inclina de baixo para cima, da esquerda para a direita. Isso acontece quando a>0 .
Por outro lado, quando a 0
b) a 3/2
e) a 0, então f(x) é crescente. Então monta-se uma inequação com a união entre as duas informações obtidas:
A = 3 – 2a 
A > 0 
3 – 2a > 0 
-2a > -3 
2a 0 e a função será crescente, como aponta a alternativa b.
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