Integração Cálculo Numérico

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Cálculo Numérico
Integração Numérica
Profª Neide Alves
Introdução
• Seja uma função f(x) contínua em um 
intervalo [a, b] e sua primitiva F(x) é 
conhecida, então a integral definida desta 
função neste intervalo é dada por: 
onde F´(x) = f(x)
)()()( aFbFdxxf
b
a
-=ò
Teorema Fundamental do Cálculo
O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece a
importante conexão entre o Cálculo Diferencial e o
Cálculo Integral.
O primeiro surgiu a partir do problema de se determinar
a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o
segundo surgiu a partir do problema de se encontrar a
área de uma figura plana.
Aparentemente, mas apenas aparentemente, entre os
dois problemas parece não existir nenhuma relação.
Teorema Fundamental do Cálculo
Barrow, professor de Newton em Cambridge, descobriu que os dois problemas
estão intimamente relacionados, percebendo que os processos de diferenciação e
integração são processos inversos.
Entretanto, foram Newton e Leibniz, independentemente, que exploraram essa
conexão e desenvolveram o Cálculo.
Em particular, eles perceberam que o Teorema Fundamental permitia encontrar a
área de uma figura plana de uma forma muito fácil, sem a necessidade de se
calcular a soma de áreas de um número indefinidamente grande de retângulos,
mas sim usando a antiderivada da função envolvida.
Isaac Barrow (Londres, outubro de 1630 - Londres, 4 de maio 
de 1677) foi um teólogo e matemático inglês.
É creditado por suas descobertas na área do cálculo moderno.
Introdução
• Deseja-se calcular o valor de:
• Para isto, usa-se a interpretação 
geométrica de uma integral. 
• O valor de uma integral é numericamente 
igual à área da região limitada pelo gráfico 
de f(x), ao eixo x, x=a e x=b.
ò=
b
a
dxxfI )(
Introdução
Introdução
• Dividindo o intervalo [a, b] em n
subintervalos de largura Dx, tem-se:
• Para calcular numericamente 
vamos expressar como um polinômio no inter-
valo . Deduziremos expressões que têm a forma
onde 
A0 , ... , An - coeficientes a determinar, independentes da função 
f (x) (pesos). 
Quando escrevemos uma integral na forma (1), 
estamos implementando o formalismo de Newton-
Cotes.
[ , ]a b
(1))(....)()()( 1100 nn
b
a
xfAxfAxfAdxxf +++=ò
)(xf
dxxf
b
a
)(ò
[ ] .,...,2,1com, nibaxi =Î
Introdução
Roger Cotes (Burbage, 10 de julho de 1682 -
Cambridge, 5 de junho de 1716) foi um matemático
inglês. Membro da Royal Society, conhecido por
trabalhar conjuntamente com Isaac Newton, revisando a
segunda edição de seu famoso livro, Philosophiae
Naturalis Principia Mathematica, antes da publicação.
Inventou as fórmulas da integração numérica
conhecidas como fórmulas de Newton-Cotes e
primeiramente introduzir o que hoje é conhecido como
fórmula de Euler, na forma !"#$ %"&' + ( &()' = ('.
Foi o primeiro Professor Plumiano de Astronomia e
Filosofia Experimental da Universidade de Cambridge,
de 1707 até sua morte.
Introdução Fórmulas de Newton-Cotes
No procedimento de Newton-Cotes o polinômio 
aproxima em pontos de , igualmente 
espaçados. Se os subintervalos têm comprimento h,
então as fórmulas fechadas de Newton-Cotes para 
integração têm a forma:
],[ ba)(xf
( )
n
ab
hxx
xfA
xfAxfAxfAdxxf
dxxf
ii
ii
n
i
nn
x
x
b
a
n
)(
onde
)(....)()()(
)(
1
0
1100
0
-
==-
=+++»
=
+
=
å
ò
ò
Os coeficientes das formas fechadas 
de Newton-Cotes são determinados de acordo com o
grau do polinômio aproximador de . 
As formas abertas de Newton-Cotes, construídas de 
forma análoga às fechadas, diferem pelo fato que 
iA
)(xf
( )0 e , .nx x a bÎ
Fórmulas de Newton-Cotes Integração Numérica
• Métodos:
– Regra dos Trapézios
– 1ª Regra de Simpson
– 2ª Regra de Simpson
Utilizando a Forma de Lagrange para expressar ,
que interpola em obtemos:
)(1 xp
[ ] ,,e 10 baxx Î)(xf
( ) ( )
[ ])()(
2
)()(
)()(
10
1
0
0
1
1
1
0
1
0
xfxf
h
I
Idxxf
h
xx
xf
h
xx
dxxpdxxf
T
T
x
x
bx
ax
b
a
+=Þ
=ú
û
ù
ê
ë
é -
+
-
-
=»
ò
òò
=
=
Regra dos Trapézios Regra dos Trapézios
• Para a determinação da Regra dos 
Trapézios é utilizado o polinômio de 
Gregory-Newton do 1º grau, ou seja, uma 
reta.
)(
2
10 yy
h
I +=
Regra dos Trapézios
Ao substituir a área sob a curva pela 
área do trapézio estamos realizando uma 
aproximação e cometendo um erro. 
Verifica-se que este erro é dado por
)(xf
[ ]
( )baccf
h
E
Exfxf
h
dxxf
T
T
bx
ax
,onde)(
12
com
)()(
2
)(
3
10
1
0
뢢-=
++=ò
=
=
Regra dos Trapézios
Regra dos Trapézios Regra dos Trapézios
* =
,
2
-. + -/
, =
0 1 3
)
45'6 =
7
'
, =
89: 1 8
7
= ;9:
-. =
/
* =
;9:
2
?
7
8
+
7
89:
= ;97@888
Regra dos Trapézios
• Fórmula Composta
– Uma forma que se tem de melhorar o 
resultado obtido utilizando-se a regra dos 
trapézios é subdividindo o intervalo [a, b] em 
n subintervalos de amplitude h e a cada 
subintervalo aplicar-se a regra dos trapézios.
Regra dos Trapézios
• Fórmula Composta
å
-
=
++
=
1
0
1 .
2
)()(n
i
ii h
xfxf
I
......
2
)()(
.
2
)()( 2110 +
+
+
+
= h
xfxf
h
xfxf
I
h
xfxf
h
xfxf nnnn .
2
)()(
.
2
)()(
..... 112 +
+
+
+ ---
úû
ù
êë
é
+++=
2
)(
.....)(
2
)(
. 1
0 nxfxf
xf
hI
0 1 2 1( ( ) 2 ( ) 2 ( ) ... 2 ( ) ( ))
2
n n
h
I f x f x f x f x f x-= + + + + +
Regra dos Trapézios
• Fórmula Composta:
• Erro de Truncamento:
)2...22(
2
1210 nn yyyyy
h
I +++++= -
baf
n
ab
E ££
-
-= xx ),(''
12
)(
2
3
Regra dos Trapézios
Fórmula Composta
0
1
2
3
4
5
f(x) 
xa=xo x1 x2 x3 x(n-1) b=xn 
h h h
................
h
Regras de Simpson
Regra de Simpson
• Em Análise numérica, a fórmula de 
Simpson (em nome de Thomas Simpson, 
um matemático inglês) também conhecida 
como regra de Simpson é uma forma de 
se obter uma aproximação da integral 
definida
1ª Regra de Simpson
• A 1ª Regra de Simpson é obtida 
aproximando-se a função f(x) em:
)()()( aFbFdxxf
b
a
-=ò
1ª Regra de Simpson
• Polinômio interpolador de 2º grau, P2(x).
• Erro de Truncamento:
]4[
3
210 yyy
h
I ++=
baf
h
E ££
-
= xx ),('''
90
5
1ª Regra de Simpson
• Fórmula Composta
• Erro de Truncamento:
]42...2424[
3
1243210 nnn yyyyyyyy
h
I ++++++++= --
baf
n
ab
E IV ££
-
-= xx ),(
180
)( )(
4
5
2ª Regra de Simpson
• De maneira análoga às anteriores, a 2ª 
Regra de Simpson é obtida aproximando-
se a função f(x) em:
por um polinômio interpolador de Gregory-
Newton do 3º grau, P3(x).
)()()( aFbFdxxf
b
a
-=ò
2ª Regra de Simpson 2ª Regra de Simpson
• Fórmula:
• Erro de Truncamento:
]33[
8
3
3210 yyyy
h
I +++=
baf
x
E IV ££
-
= xx ),(
80
3 )(
5
2ª Regra de Simpson
• Fórmula Composta:
• Erro de Truncamento:
]33...233233[
8
3
126543210 nnn yyyyyyyyyy
h
I ++++++++++= --
baf
n
ab
E IV ££
-
-= xx ),(
80
)( )(
4
5
Resumo
* =
,
2
5-. + -/6 * =
,
2
5-. + 2-/ + 2-A+B B B +2-CD/ + -C6
* =
,
8
[-. + E-/ + -A] * =
,
8
[-. + E-/ + 2-A + E-+B B B +8-CDA + 8-CD/ + -C]
Regra dos Trapézios (Simples e Composta)
1ª Regra de Simpson (Simples e Composta)
2ª Regra de Simpson (Simples e Composta)
Resumo
)(
2
10 yy
h
I += ( )baccf
h
ET , onde )(
12
3
뢢-=
)2...22(
2
1210 nn yyyyy
h
I +++++= - baf
n
ab
E ££
-
-= xx ),(''
12
)(
2
3
]4[
3
210 yyy
h
I ++= baf
h
E ££
-
= xx ),('''
90
5
]42...2424[
3
1243210 nnn yyyyyyyy
h
I ++++++++= -- baf
n
ab
E IV ££
-
-= xx ),(
180
)( )(
4
5
]33[
8
3
3210 yyyy
h
I +++= baf
x
E IV ££
-
= xx ),(
80
3 )(
5
]33...233233[
8
3
126543210 nnn yyyyyyyyyy
h
I ++++++++++= -- baf
n
ab
E IV ££
-
-= xx ),(
80
)( )(
4
5