Cálculo de Variância em Investimentos

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Administração Financeira (Apostila II) Thomaz Junior 
 CÁLCULO DE VARIÂNCIA DE CARTEIRAS DE INVESTIMENTO 
 
Variância: a média do quadrado da diferença entre o retorno verdadeiro e o retorno 
médio. 
Desvio-padrão: A raiz quadrada positiva da variância. 
 
1) Variância e Desvio-Padrão históricos 
 
Essencialmente, a variância é a média do quadrado das diferenças entre o retorno efetivo 
e o retorno médio. Quanto maior esse número, mais o retorno verdadeiro tende a ser 
diferente do retorno médio. Ou seja, quanto maior a variância ou o desvio-padrão, maior 
a dispersão dos retornos. 
A maneira pela qual calculamos a variância e o desvio-padrão depende da situação 
específica (retornos históricos ou previsões). Nesta parte, estamos examinando retornos 
históricos; portanto, o procedimento que descreveremos neste caso é correto para 
calcular variância e desvio-padrão históricos. Se estivermos examinando projeções de 
retornos futuros, o procedimento será diferente, conforme abordado em questão da banca 
cesgranrio. 
Para ilustrar como calculamos a variância histórica, suponha que determinada aplicação 
teve retornos de 10%, 12%, 3% e –9%, durante os quatro últimos anos. O retorno 
médio é (0,10 + 0,12 + 0,03 – 0,09) / 4 = 4% Observe que, em nenhum momento, o 
retorno foi exatamente igual a 4%. Pelo contrário, o primeiro retorno desviou-se da 
média em 0,10 – 0,04 = 0,06, o segundo retorno desviou-se da média em 0,12 – 0,04 = 
0,08, e assim por diante. Para calcular a variância, elevamos ao quadrado cada uma 
dessas diferenças, calculamos a soma e dividimos o resultado pelo número de retornos 
menos 1, ou seja 3, neste caso. As informações são resumidas na tabela a seguir. 
 
Ano Retorno Efetivo 
(1) 
Retorno Médio
(2) 
(3) 
Diferença 
(1) – (2) 
(4) 
Quadrado da 
Diferença 
1 0,10 0,04 0,06 0,0036 
2 0,12 0,04 0,08 0,0064 
3 0,03 0,04 -0,01 0,0001 
4 -0,09 0,04 -0,13 0,0169 
Totais 0,16 0,0 0,0270 
 
Na primeira coluna, registramos os quatro retornos efetivos. Na terceira coluna, 
calculamos a diferença entre os retornos efetivos e a média, subtraindo 4%. Finalmente, 
na coluna quatro, elevamos os dados da coluna 3 ao quadrado, para obter os quadrados 
das diferenças. 
A variância pode ser calculada dividindo 0,0270, a soma dos quadrados da diferença 
pelo numero de retornos menos 1. Seja a Var (R) ou σ2 (leia-se “sigma ao quadrado”), a 
variância dos retornos: 
 
Var (R) = σ2 = 0,027 / (4-1) = 0,009 
 
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O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância. Portanto, seja DP (R) ou σ o desvio-
padrão dos retornos: 
 
DP (R) = σ = √ 0,009 = 0,09487 
 
A raiz quadrada da variância é utilizada porque a variância é medida em percentuais ao 
“quadrado”, e, portanto, é difícil de ser interpretada. O desvio-padrão é uma 
percentagem simples, e, portanto, a resposta pode ser escrita como 9,487%. 
Na tabela apresentada, observe que a soma das diferenças é igual a zero. Isso sempre 
ocorrerá, e consiste em uma excelente maneira de verificar seu trabalho. Geralmente, se 
você teve T retornos históricos, em que T é algum número, podemos escrever a variância 
histórica (por amostra) do seguinte modo: 
 
 
Var (R) = 1 [ (R1 – R méd)2 + ... (Rt – R méd)2 
 T – 1 
 
Esta fórmula nos diz para fazer exatamente o que havíamos feito: calcular cada um dos 
T retornos individuais, subtrair o retorno médio R; elevar os resultados ao quadrado, 
somando os mesmos e, finalmente, dividir pelo número total de retornos menos 1 (T – 
1). O desvio-padrão será sempre a raiz quadrada de Var (R). 
 
 ALGUNS COMENTÁRIOS SOBRE RISCO E RETORNO 
 
Sabemos que existe uma recompensa, na média, por assumir risco. Chamamos esta 
recompensa de prêmio por risco. Sabemos, ainda, que o prêmio por risco é maior nos 
investimentos mais arriscados. Nesta parte exploraremos as implicações econômicas e 
gerenciais desta idéia básica. 
Quando examinamos os riscos associados a ativos individuais, descobrimos que existem 
dois tipos de risco: sistemático e não sistemático, e com base nesta idéia 
desenvolveremos o princípio da diversificação, que nos mostra que carteiras muito 
diversificadas tenderão a não ter praticamente nenhum risco não sistemático. 
O princípio da diversificação tem uma implicação importante: para investidores 
diversificados, apenas o risco sistemático interessa. Conseqüentemente, ao decidir se 
compra ou não determinado ativo, o investidor diversificado estará preocupado apenas 
com o risco sistemático do ativo. Essa é uma observação fundamental, que nos permite 
dizer muito a respeito de riscos e retornos de ativos individuais. Em particular, é a base 
da famosa relação entre risco e retorno, denominada linha de mercado de títulos, ou 
SML. Para desenvolver a SML, foi introduzido o igualmente famoso coeficiente “beta”, 
uma das colunas mestras das finanças modernas. Beta e SML são conceitos 
fundamentais porque ajudam a responder, pelo menos em parte, à pergunta sobre como 
determinar o retorno exigido de um investimento. 
 
 
 
 
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1) Retorno Esperado 
 
Considere um único período, digamos, um ano. Temos duas ações, L e U, que possuem 
as seguintes características: a ação L tem uma expectativa de retorno de 25% no próximo 
ano e a ação U tem uma expectativa de retorno de 20% no mesmo período. 
Em tal situação, se todos os investidores concordassem quanto às expectativas de 
retorno, porque alguém iria querer manter a ação U? Afinal de contas, porque investir 
em uma ação quando a expectativa é que a outra tenha retorno melhor? Claramente, a 
resposta depende dos riscos dos dois investimentos. Embora o retorno esperado da ação 
L seja de 25%, ele efetivamente poderá ser maior ou menor do que isso. 
Por exemplo, suponha que a economia se aqueça. Nesse caso, achamos que a ação L terá 
um retorno de 70%. Se a economia se tornar recessiva, achamos que o retorno será de –
20%. Nesse caso, dizemos que existem dois estados da economia, significando que estes 
dois estados são as duas únicas situações possíveis. Essa suposição, obviamente, é 
extremamente simplificadora, mas nos permite ilustrar algumas idéias básicas sem 
entrarmos em grande quantidade de cálculos. 
Suponha que acharemos que o estado de crescimento e o estado recessivo da economia 
tenham a mesma possibilidade de ocorrência, ou seja, 50% para cada um. A tabela 1 
ilustra a idéia básica que descreveremos, além de fornecer informações adicionais sobre 
a ação U. Observe que a ação U renderá 30%, se houver recessão, e 10% se houver 
crescimento. 
Obviamente, se você comprar uma dessas ações, digamos, a ação U, seu ganho em dado 
ano dependerá do desempenho da economia naquele ano. No entanto, suponha que a 
probabilidade de cada estado se mantenha inalterada com o passar dos anos. Se você 
mantiver a ação U por vários anos, ganhará 30% em cerca de metade do tempo e 10% na 
outra metade. Nesse caso, dizemos que o retorno esperado da ação U, ou seja, E (Ru) é 
de 20%: 
 
E (Ru) = 0,50 X 30% + 0,50 X 10% = 20% 
 
Em outras palavras, você deveria esperar receber, em média, 20% nesta ação. 
 
Retorno Esperado – Expectativa futura de retorno de um ativo com risco. 
Tabela 1 
Retorno do título de acordo com o estado da 
economia 
Estado da 
Economia 
Probabilidade do Estado 
da Economia 
Ação L Ação U 
Recessão 0,5 -20% 30% 
Crescimento 0,5 70% 10% 
 1,0 
 
No caso da ação L, as probabilidades são as mesmas, mas os retornos possíveis são 
diferentes. 
Nesse caso perdemos 20% na metade das vezes e ganharemos 70% na outra metade. O 
retorno esperado de L, E(RL), é de 25%: 
 
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E(RL) = 0,50 X –20% + 0,50 X 70% = 25% 
 
A Tabela 2 ilustra estes cálculos. 
 
Tabela 2 
Ação L Ação UEstado da 
Economia 
(1) 
Probabilidade 
do Estado da 
Economia 
(2) 
Taxa de 
retorno caso o 
estado ocorra 
(3) 
(4) 
Produto 
(2) X (3) 
Taxa de 
retorno caso o 
estado ocorra 
(5) 
(6) 
Produto 
(2) X (5) 
 
Recessão 0,5 -20% -0,10 0,30 0,15 
Crescimento 0,5 70% 0,35 0,10 0,05 
 1,0 E(RL) = 25% E(RU) = 20% 
 
Anteriormente, definimos prêmio por risco como a diferença entre o retorno de um 
investimento com risco e o retorno de um investimento livre de risco, e calculamos o 
prêmio por risco histórico de alguns investimentos. Com base em nossos retornos 
projetados, podemos calcular o prêmio por risco projetado, ou esperado, como sendo a 
diferença entre o retorno esperado do investimento com risco e o retorno certo de um 
investimento livre de risco. 
Por exemplo, suponha-se que um investimento livre de risco esteja atualmente 
oferecendo 8% de retorno. Diremos então que a taxa de retorno livre de risco, que 
representaremos por Rf é de 8%. Portanto, qual é o prêmio por risco projetado para a 
ação U? E para a ação L? Como o retorno esperado da ação U, E(Ru), é de 20%, o 
prêmio por risco projetado é: 
 
Prêmio por risco = Retorno esperado – Taxa livre de risco 
Prêmio por risco = E(Ru) - Rf 
Prêmio por risco = 20% - 8% = 12% 
 
De maneira análoga, o prêmio por risco (projetado) da ação L é 25% - 8% = 17% 
 
Geralmente, o retorno esperado de um título ou ativo é igual à soma dos retornos 
possíveis multiplicados pelas respectivas probabilidades de ocorrência. Portanto, se 
tivéssemos 100 retornos possíveis, multiplicaríamos cada um deles por sua 
probabilidade de ocorrência e somaríamos os resultados. O resultado final seria o retorno 
esperado. O prêmio por risco seria a diferença entre o retorno esperado e a taxa livre de 
risco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo de probabilidades desiguais, havendo crescimento, em apenas 20% dos casos. 
 
Ação L Ação U (1) 
Estado da 
economia 
(2) 
Probabilidade 
do estado da 
economia 
(3) 
Taxa de 
retorno 
(4) 
Produto 
(2) X (3) 
(5) 
Taxa de retorno 
(6) 
Produto 
(2) X (5) 
Recessão 0,8 -0,20 -0,16 0,30 0,24 
Crescimento 0,2 0,70 0,14 0,10 0,02 
 1,0 E(RL) = -2% E(Ru) = 26% 
 
Obs.: sendo a taxa livre de risco de 10%, quais são os prêmios por risco? 
O prêmio por risco da ação U é 26% - 10% = 16%, neste caso. O prêmio por risco da 
ação L é negativo: -2% - 10% = -12%. 
 
Exercício do cálculo de variância: 
 
Usando os dados da Tabela 2, examine a seguinte situação: 
 
(1) 
Estado da 
Economia 
(2) 
Probabilidade 
do Estado da 
Economia 
(3) 
Diferença em relação 
ao Retorno Esperado 
(4) 
Quadrado da 
Diferença em 
Relação ao 
Retorno Esperado 
(5) 
Produto 
(2) X (4) 
Ação L 
Recessão 0,5 -0,20 – 0,25 = -0,45 -0,452 = 0,02025 0,10125 
Crescimento 0,5 0,70 – 0,25 = 0,45 0,452 = 0,02025 0,10125 
 σ2 = 0,2025 
Ação U 
Recessão 0,5 0,30 – 0,20 = 0,10 0,102 = 0,01 0,005 
Crescimento 0,5 0,10 – 0,20 = -0,10 -0,102 = 0,01 0,005 
 σ2 = 0,10 
 
Resumo: 
 
 Ação L Ação U 
Retorno Esperado, E(R) 25% 20% 
Variância, σ2 0,2025 0,0100 
Desvio-padrão, σ 45% 10% 
 
 
2) Carteiras 
 
Até esta altura, falamos sobre ativos individuais, considerados separadamente. No 
entanto, a maioria dos investidores aplica em carteiras de ativos. Com isso queremos 
dizer que os investidores tendem a possuir mais que uma única ação. Portanto, 
discutiremos agora retornos esperados e variâncias de retornos de carteiras. 
 
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Carteiras: grupo de ativos como ações e obrigações, mantido por investidores. 
 
Pesos das carteiras: percentuais do valor da carteira total correspondentes a cada ativo 
específico. 
 
Exemplo: 
 
Retorno do título de acordo com o estado da 
economia 
Estado da 
Economia 
Probabilidade do Estado 
da Economia 
Ação L Ação U 
Recessão 0,5 -20% 30% 
Crescimento 0,5 70% 10% 
 1,0 
 
Desenvolvendo o caso da Ação L e U, e partindo do princípio que foi colocado metade 
do dinheiro em cada uma das ações. Obviamente, os pesos da carteira são 0,5 e 0,5. Qual 
é a distribuição de retornos desta carteira? Qual é o retorno esperado? 
 
Para responder a essas perguntas, suponha que a economia tenha recentemente entrado 
em recessão. Nesse caso, metade de nosso dinheiro ( a metade aplicada em L) perderia 
20%. A outra metade (a metade em U) ganharia 30%. O retorno de sua carteira, Rp, no 
caso de uma recessão, seria: 
 
Rp = 0,50 X -20% + 0,50 X 30% = 5% 
 
Caso ocorresse crescimento, o retorno da carteira seria: 
 
Rp = 0,50 X 70% + 0,50 X 10% = 40% 
 
Conforme indicado na tabela acima, o retorno esperado de sua carteira é Rp = 22,5. 
 
Podemos poupar tempo calculando o retorno esperado de modo mais direto. Dado os 
pesos da carteira, poderíamos ter concluído que metade de nosso dinheiro rende 25% (a 
metade em L) e a outra metade, 20% (a metade em U). Portanto, o retorno esperado de 
nossa carteira seria: 
 
Rp = 0,50 X 25% + 0,50 X 20% = 22,5% 
 
Chegamos ao mesmo retorno esperado para a carteira que havíamos calculado 
anteriormente. 
Esse método de cálculo de retornos esperados de uma carteira é válido 
independentemente do número de ativos incluídos na carteira. Suponha que tivéssemos n 
ativos em nossa carteira, sendo n qualquer número, Sendo xi o percentual em dinheiro 
aplicado no ativo i, o retorno esperado é: 
 
E(Rp) = x1 x E(R1) + x2 x E(R2) + x3 x E(R3) + ...... + xn x E(Rn) 
 
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Isto diz que o retorno esperado de uma carteira é uma combinação direta dos retornos 
esperados dos ativos contidos na carteira. 
 
3) Variância da carteira 
 
Cuidado: o cálculo acima, não é apropriado para obtermos a variância de uma carteira de 
investimentos. 
 
(1) 
Estado da 
Economia 
(2) 
Probabilidade 
do Estado da 
Economia 
(3) 
Retorno da 
Carteira em 
cada Estado 
(4) 
Quadrado da Diferença 
em Relação ao Retorno 
Esperado 
(5) 
Produto 
(2) X (4) 
Recessão 0,50 5% (0,05 – 0,225)2 = 0,030625 0,0153125 
Crescimento 0,50 40% (0,40 – 0,225)2 = 0,030625 0,0153125 
 1,00 σ2 = 0,030625 
 σ = 17,5% 
 
4) Retornos Esperados e Retornos não Esperados 
 
Para tornarmos a explicação mais concreta, consideremos o retorno da ação de uma 
empresa chamada Trades. O que determinará o retorno desta ação, digamos, no próximo 
ano? 
O retorno de qualquer ação negociada no mercado financeiro é composto por duas 
partes. Em primeiro lugar, o retorno normal ou esperado da ação é a parte do retorno que 
os investidores prevêem ou esperam. Este retorno depende das informações que os 
investidores possuem a respeito desta ação e baseia-se em como o mercado enxerga hoje 
os fatores importantes que influenciarão a ação no próximo ano. 
A segunda parte do retorno é a parte incerta. Essa é a porção oriunda das informações 
inesperadas reveladas durante o ano. Uma lista com todas as fontes possíveis de tais 
informações não teria fim, mas vemos a seguir alguns exemplos: 
- Notícias sobre as pesquisas conduzidas pela Trades. 
- Divulgações de dados do governo sobre o produto interno bruto (PIB). 
- Notícias de que as vendas da Trades foram mais altas do que o esperado. 
- Queda súbita das taxas de juros. 
 
Com base em nossas discussões, uma forma de expressar o retorno da ação da Trades no 
ano seguinte seria: 
 
Retorno total = Retorno esperado + Retorno inesperado 
 
R = E(R) + U 
 
Onde R indica o retorno efetivo no ano, E(R) a parte esperada do retorno e U a parte 
inesperada do retorno. O que isso diz é que o retorno efetivo no ano, R, difere do retorno 
esperado, E(R) devido a surpresas que ocorrem durante o ano. Num ano qualquer, o 
retorno inesperado será positivo ou negativo, mas, ao longo do tempo, o valor médio de 
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U será igual a zero. Isso significa que, em média, o retorno efetivo é igual ao retorno 
esperado. 
 
4) Anúncios e novidades 
 
Um anúncio pode ser dividido em duas partes: a antecipada, ou esperada, e a surpresa , 
ou inovação: 
 
ANÚNCIO = PARTE ESPERADA + SURPRESA 
 
A parte esperada do anúncio é a parte da informação que o mercado utiliza para formar a 
expectativa do retorno da ação, E(R). A surpresa é a notícia que influencia o retorno não 
antecipado da ação, U. 
 
Observação: a teoria descrita acima não contempla o acesso a informação privilegiada, e 
que no dia a dia, é o diferencial entre os investidores no mercado de capitais. Isso 
naturalmente leva os investidores a serem classificados quanto à possibilidade de acesso 
às informações, em três grandes categorias: 
 
- os “insiders” – os que estão “por dentro” ou têm informações privilegiadas; 
- os “outsiders” – os que estão “por fora” ou não têm acesso as informações 
privilegiadas, mas fazem análises das empresas e do mercado; 
- os “out outsiders” – os que estão muito fora e não têm um sistema próprio de análise ou 
qualquer outra técnica comprovada para balizar seus investimentos. 
 
• “Escolas” de análises de investimentos 
 
A análise de investimentos em títulos pode ser compartimentalizada em correntes de 
pensamento que seguem duas “escolas” distintas, a saber: Escola Fundamentalista e 
Escola Técnica. A primeira dessas escolas ocupa-se da determinação do valor da firma, 
o qual pode ser definido como função das políticas de distribuição (retenção) de lucros; 
de investimento e das formas utilizadas para o seu financiamento. Formalmente 
podemos escreve: 
 V = f (L; I; F) 
Onde, V = Valor da firma; 
 L = Lucro esperado em exercícios futuros; 
 I = Investimentos realizados e a realizar pela firma; 
 F = Fontes de financiamento utilizado pela firma. 
 
A escola fundamentalista pressupõe que o mercado de capitais não é eficiente 
informacionalmente ao admitir que os preços correntes das ações não refletem 
instantaneamente todas as informações relevantes sobre as empresas emissoras. Desta 
forma, a determinação do valor da empresa (V), também designado de valor intrínseco 
da firma, funciona como principal variável de decisão. O processo decisório – 
comprar/vender – dessa escola de análise de investimento envolve, portanto, o valor 
teórico da firma (V) que corresponde ao seu “justo preço” e o preço corrente de mercado 
(Pm) de suas ações. Assim: 
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Se V > Pm, a ação encontra-se sub-avaliada, logo, é uma indicação de compra, no 
entanto; 
Se Pm > V, a ação encontra-se sobre-avaliada indicando, por conseguinte, uma 
oportunidade de venda ou de não-compra, na expectativa de que seu preço venha a cair 
em período futuro. 
A Escola Técnica, por seu turno, apresenta duas vertentes em oposição teórica, 
ensejando a demarcação de duas “escolas” de análise de investimento em títulos. Uma 
delas suportada pela hipótese de eficiência dos mercados de títulos e a outra, pela 
ineficiência desses mercados. Como a hipótese de eficiência implica a aleatoriedade de 
séries de preços ou retornos de títulos, esta vertente da escola técnica passou a ser 
designada por essa característica, ou seja, passou a ser designada de escola de caminhos 
aleatórios. A outra vertente manteve o designativo Escola Técnica, significando o 
conjunto de técnicas e instrumental analítico para a realização de projeções de preços 
futuros de títulos com base nas tendências de suas séries de preços, que não são variáveis 
aleatórias. Para a “escola técnica”: 
 
Pt+1 = f (Pt; Pt - 1; Pt - 2; Pt - 3; ...... ; Pt – n ), que se lê: o preço (P) de uma ação estimado no 
momento (t) para um período à frente (t+1) é função (f), ou melhor, pode ser obtido a 
partir dos preços passados desse título: Pt; Pt - 1; Pt - 2; Pt - 3; ...... ; Pt – n. 
 
Análise Técnica: 
 Baseada na Teoria dos Mercados Eficientes; 
 Rastreia as ações dos “insiders”. 
 
“APÓS TEORIA SOBRE CAPM” 
 
• Linha de Mercado de Títulos 
 
Após o estudo inicial do sistema de precificação (modelo CAPM), e do coeficiente beta, 
estamos prontos para verificar como o risco é remunerado no mercado. Para iniciar, 
suponha que o ativo A tenha um retorno esperado de E(RA) = 20% e βA = 1,6. Além 
disso, a taxa de retorno do ativo livre de risco é Rf = 8%. Observe que o retorno do ativo 
livre de risco, por definição, não tem risco sistemático (ou risco não sistemático), e 
portanto o ativo livre de risco tem beta igual a 0 (zero). 
 
• Beta e prêmio por risco 
 
Considere uma carteira composta pelo ativo A e pelo ativo livre de risco. Podemos 
calcular alguns retornos esperados diferentes possíveis para a carteira variando o 
percentual investido nestes dois ativos. Por exemplo, se 25% da carteira estiver investido 
no ativo A, o retorno esperado será: 
 
E(Rp) = 0,25 X E(RA) + (1 – 0,25) X Rf 
 = 0,25 X 20% + 0,75 X 8% = 11% 
 
De maneira análoga, o beta da carteira, βp, seria igual a: 
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βp = 0,25 X βA + (1 – 0,25) X 0 
= 0,25 X 1,6 = 0,40 
 
Observe que, como a soma dos pesos deve ser igual a 1, o percentual investido no ativo 
livre de risco é igual a 1 menos o percentual investido no ativo A. 
Uma pergunta que você deve estar se fazendo é se é possível que o percentual investido 
no ativo A seja maior do que 100%. A resposta é: sim. A maneira pela qual isso pode 
acontecer envolve fazer com que o investidor tome emprestado à taxa do ativo livre de 
risco. Por exemplo, suponha que um investidor possua $100 e tome mais $50 
emprestados a 8%, taxa do ativo livre de risco. O total do investimento no ativo A seria 
$150, ou 150% da riqueza do investidor. O retorno esperado, neste caso, seria: 
 
E(Rp) = 1,50 X E(RA) + (1 – 1,50) X Rf 
 = 1,50 X 20% - 0,50X 8% = 26% 
 
O beta dessa carteira seria igual a: 
 
βp = 1,50 X βA + (1 – 1,50) X 0 
 = 1,50 x 1,6 = 2,4 
 
Podemos calcular outras possibilidades, como vemos a seguir. 
 
Porcentagem do ativo A na 
carteira (%) 
Retorno Esperado da Carteira 
(%) 
Beta da Carteira 
0 8 0,0 
25 11 0,4 
50 14 0,8 
75 17 1,2 
100 20 1,6 
125 23 2,0 
150 26 2,4 
 
Na figura abaixo, vemos um gráfico dos retornos esperados desta carteira em função do 
beta da carteira. Perceba que a combinação de todos os pontos forma uma linha reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rf=
E(RA)=
10 
Retorno esperado da carteira (E(RP))
 
 
 8% 
 20% 
Ativo A 
Beta da 
Carteira 
(βp) 
βA = 1,6 
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• Quociente recompensa / risco 
 
Qual é a inclinação da linha reta da figura acima? Evidentemente, a inclinação de uma 
linha reta é igual ao quociente entre a variação no eixo vertical e a variação 
correspondente no eixo horizontal. Nesse caso, à medida que reduzimos nossa aplicação 
no ativo livre de risco e aumentamos a aplicação no ativo A, o beta eleva-se de 0 para 
1,6 (eixo horizontal). Ao mesmo tempo, o retorno esperado eleva-se de 8% para 20 
%(eixo vertical). A inclinação da linha, portanto, é igual a 12% / 1,6 = 7,50%. 
Perceba que a inclinação de nossa linha corresponde exatamente ao prêmio por risco do 
ativo A, E(RA) – Rf, dividido pelo beta do ativo A, βA: 
 
Inclinação = E(RA) – Rf 
 βA 
 
 = 20% - 8% = 7,50 
 1,6 
 
Isso nos diz que o ativo A oferece um quociente recompensa / risco de 7,50%. Em outras 
palavras, o ativo A tem um prêmio de 7,50% por unidade de risco sistemático. 
 
Obs.: alguma vezes este quociente é denominado índice de Treynor, em homenagem a 
um de seus criadores. 
 
Agora suponha que consideremos um segundo ativo, o ativo B. Esse ativo tem beta de 
1,2 e um retorno esperado de 16%. Qual é o melhor investimento, o ativo A ou o ativo 
B? Como você pode suspeitar, mais uma vez não podemos responder com segurança. 
Alguns investidorespreferirão A, enquanto outros preferirão B. No entanto, podemos 
dizer que A é melhor porque, conforme demonstraremos, B oferece uma compensação 
inadequada pelo nível de risco sistemático, ao menos em relação a A. 
Para começar, calculemos as diferentes combinações de retornos esperados e betas para 
a carteira formada como ativo B e o ativo livre de risco, assim como fizemos para o 
ativo A. Por exemplo, se aplicarmos 25% em B e os restantes 75% no ativo livre de 
risco, o retorno esperado da carteira será igual a: 
 
E(Rp) = 0,25 X E(RB) + (1 – 0,25) X Rf 
 = 0,25 X 16% + 0,75 X 8% = 10% 
 
O beta dessa carteira seria igual a: 
 
βp = 0,25 X βB + (1 – 0,25) X 0 
 = 0,25 X 1,2 = 0,30 
 
 
 
 
 
11 
Administração Financeira (Apostila II) Thomaz Junior 
 
Outras possibilidades são apresentadas a seguir: 
 
 
Porcentagem do ativo A na 
carteira (%) 
Retorno Esperado da Carteira 
(%) 
Beta da Carteira 
0 8 0,0 
25 10 0,3 
50 12 0,6 
75 14 0,9 
100 16 1,2 
125 18 1,5 
150 20 1,8 
 
Quando fazemos o gráfico destas combinações de retornos esperados e betas na figura 
abaixo, obtemos uma linha reta, exatamente como no caso do ativo A. 
O ponto chave a ser observado é o de que quando comparamos os resultados para o ativo 
A e o ativo B, faremos um gráfico com as duas retas, em conjunto, descrevemos as 
combinações de retornos esperados e betas para o ativo A é mais alta do que a linha que 
descreve as combinações envolvendo o ativo B. Isso nos diz que, para qualquer nível de 
risco sistemático (medido pelo .β), as combinações entre o ativo A e o ativo livre de 
risco sempre oferecem retorno maior. É por isso que somos capazes de afirmar que o 
ativo A é um investimento melhor do que o ativo B. 
Outra maneira de enxergar que A oferece um retorno superior para seu nível de risco é 
observar que a inclinação da linha, para o ativo B, é: 
 
Inclinação = E(RB) – Rf 
 βB 
 
 = 16% - 8% = 6,67% 
 1,2 
 
Portanto, o ativo B tem um quociente entre recompensa e risco de 6,67%, menor do que 
o quociente de 7,5% oferecido pelo ativo A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
Administração Financeira (Apostila II) Thomaz Junior 
 
 
 
 
E(RA)=
RF = 8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E(RA)=
RF = 8
 
 
 
 
• R
 
A situaç
bem or
afastaria
diminui
seria o d
Esses m
exatame
13 
Retorno esperado da carteira (E(RP))
 16% 
% 
Ativo B 
 
 
Beta da 
Carteira 
(βp) 
βA = 1,2 
Retorno esperado da carteira (E(RP))
 16% 
 Ativo B 
%
% 
βA = 1,2 
esultado Fundamental 
ão que descrevemos para os ativos A e B não p
ganizado, porque os investidores se sentiriam
m do ativo B. Em conseqüência, o preço do a
ria. Como os preços e os retornos se movem e
e que o retorno esperado de A cairia, e o de B su
ovimentos de compra e venda continuariam até
nte na mesma linha, o que significa que estaria
Ativo A 
Inclinação = 7,50
 
 
 
Inclinação = 6,67% 
Beta da 
Carteira 
(βp) 
oderia persistir em um mercado 
 atraídos pelo ativo A e se 
tivo A aumentaria e o ativo B 
m direções opostas, o resultado 
biria. 
 que os dois ativos se situassem 
m oferecendo o mesmo retorno 
Administração Financeira (Apostila II) Thomaz Junior 
por unidade de risco assumido. Em outras palavras, em um mercado ativo e competitivo, 
devemos ter: 
 
E(RA) – Rf = E(RB) – Rf 
 βA βB 
 
Essa é a relação fundamental entre risco e retorno. Este argumento básico pode ser 
estendido a mais de dois ativos. Na verdade, não importa quantos ativos tenhamos, pois 
precisamos chegar a mesma conclusão: 
 
“O quociente entre recompensa e risco precisa ser o mesmo para todos os ativos 
existentes no mercado.” 
 
Como todos os ativos precisam ter o mesmo quociente recompensa e retorno, devem 
estar situados na mesma linha. 
 
 
 
 
 
 E(R 
 
 E(R 
 E(R
 
 R 
 
 
 RF = 8% 
 
 
O argu
funciona
 
Exercíci
 
Observe
 
Título 
PETRO
VALE P
 
A taxa d
retorno 
 
14 
Retorno esperado da carteira (E(RP))
C) 
B) 
 A) 
 
F 
Beta da 
Carteira 
(βp) 
 βA βB βC 
mento acima se aplica a mercados ativos, competitivos e com bom 
mento. Os mercados financeiros (ou de capitais), atendem melhor este critério. 
o: 
 a seguinte situação: 
 Retorno Esperado Beta 
 4 14% 1,3 
N 10% 0,8 
e retorno corrente do ativo livre de risco é de 6%. Há alguma ação que ofereça 
insuficiente? 
Administração Financeira (Apostila II) Thomaz Junior 
• A LINHA DE MERCADO DE TÍTULOS 
 
A linha que resulta da representação gráfica da relação entre retornos esperados e betas 
obviamente tem alguma importância e, portanto, é hora de lhe darmos um nome. Essa 
linha, a qual utilizamos para descrever a relação entre risco sistemático e retorno 
esperado em mercados financeiros, geralmente é denominada linha de mercado de 
títulos, ou SML. 
 
Linha de Mercado de Títulos (SML): Linha reta de inclinação positiva que mostra a 
relação entre retorno esperado e beta. 
 
• Carteira de mercado 
 
Será sempre útil conhecemos a equação da SML. Existem diversas maneiras diferentes 
de a escrevermos, mas uma é particularmente comum. Suponha que você considere uma 
carteira constituída por todos os ativos existentes no mercado. Tal carteira é denominada 
carteira é denominada carteira de mercado, e expressaremos o retorno esperado dessa 
carteira de mercado por E(RM). 
Como todos os ativos existentes precisam estar situados na SML, o mesmo ocorre para a 
carteira de mercado composta por todos esses ativos. Para determinar suas coordenadas 
na SML, precisamos conhecer o beta da carteira de mercado, βM. 
Como essa carteira é representativa de todos os ativos no mercado, precisa ter o risco 
sistemático médio. Em outras palavras, precisa ter um beta igual a 1,0. Podemos, 
portanto, escrever a inclinação da SML do seguinte modo: 
 
Inclinação da SML = E(RM) – Rf = E(RM) – Rf 
 βM 
 
A expressão E(RM) – Rf geralmente é denominada prêmio por risco de mercado, porque 
é o prêmio pelo risco da carteira de mercado. 
 
Prêmio por risco da carteira de mercado: Inclinação da SML, ou seja, a diferença entre o 
retorno esperado da carteira de mercado e a taxa livre de risco. 
 
• SML e o Custo de Capital 
 
A linha de mercado de títulos nos diz qual é a recompensa por assumir riscos em 
mercados financeiros. No mínimo, qualquer novo investimento adotado por nossa 
empresa precisa oferecer um retorno esperado pelo menos igual ao do que o mercado 
financeiro oferece pelo mesmo nível de risco. A razão para isso é que nossos acionistas 
simplesmente têm a possibilidade de investir eles mesmos no mercado financeiro. 
A única maneira de beneficiar nossos acionistas é encontrando investimentos com 
retornos esperados superiores aos ofertados nos mercados financeiros para o mesmo 
nível de risco. Tais investimentos terão VPL positivos. Portanto, se perguntamos: qual é 
a taxa de desconto apropriada? A resposta é a de que deveríamos utilizar o retorno 
15 
Administração Financeira (Apostila II) Thomaz Junior 
esperado oferecido nos mercados financeiros para investimentos com o mesmo risco 
sistemático. 
Em outras palavras, para determinar se um investimento tem VPL positivo, 
essencialmente estamos comparando seu retorno esperado daquele novo investimento ao 
que o mercado financeiro estaria oferecendo por um investimento com beta igual. Isso 
explica porque o SML é tão importante; ela nos mostra qual é a “taxa vigente” para 
assumir riscos na economia. 
 
Custo de Capital: taxa mínima de retorno exigida para um novo investimento. 
 
• Custo de Capital e WACC (Custo Médio Ponderado de Capital) 
 
Quando estudamos Orçamento de Capital, com os seus principais métodos, analisamos 
se determinado projeto tem VPL positivo ou não, e com base nisto aceitamos ou 
rejeitamos este projeto,frente a um determinado retorno oferecido pelo mercado 
financeiro. Agora analisaremos um dos conceitos mais importantes desta matéria, que é 
o custo médio ponderado de capital (WACC). Esse é o custo de capital para uma 
empresa como um todo, e pode ser interpretado como o retorno exigido para a empresa 
toda. Ao discutirmos o WACC, reconheceremos o fato de que geralmente uma empresa 
levanta capital de diversas maneiras, e que essas diferentes formas de capital possuem 
custos distintos de capital a elas associados. 
Reconheceremos, também, que os impostos são considerações importantes ao 
determinar-se o retorno exigido de um investimento, porque também estamos 
interessados em avaliar os fluxos de caixa de um projeto após os impostos. Portanto, 
discutiremos como incorporar os impostos explicitamente em nossas estimativas de 
custo de capital. 
 
• Retorno Exigido X Custo de Capital 
 
Quando dizemos que o retorno exigido de um investimento é, por exemplo igual a 10%, 
geralmente queremos dizer que aquele investimento terá VPL positivo somente se seu 
retorno for maior do que 10%. Outra maneira de interpretar o retorno exigido consiste 
em observar que a empresa precisa obter 10% em seus investimentos para compensar 
seus investidores pelo uso do capital necessário para financiar os projetos. Esse é o 
motivo pelo qual também podemos dizer que o custo de capital associado aos 
investimentos é 10%. 
Para ilustrar melhor, imagine que você esteja avaliando um projeto livre de risco. Nesse 
caso, a maneira de determinar o retorno exigido é obvia: Consultamos os mercados de 
capitais e observamos a taxa corrente oferecida por investimentos livres de risco, e a 
utilizamos para descontar os fluxos de caixa do projeto. Portanto, o custo de capital de 
um investimento livre de risco é a taxa livre de risco. 
Se este projeto for arriscado, então, supondo-se que todos os outros dados permaneçam 
constantes, o retorno exigido será evidentemente mais elevado. Em outras palavras, o 
custo de capital desse projeto, caso tenha risco, será superior à taxa livre de risco, e a 
taxa apropriada de desconto seria mais alta do que a taxa livre de risco. 
Iremos daqui por diante utilizar os termos retorno exigido, taxa de desconto apropriada 
e custo de capital como sinônimos, porque, conforme nossa discussão sugere, eles 
16 
Administração Financeira (Apostila II) Thomaz Junior 
querem dizer essencialmente a mesma coisa. O fato básico que devemos explorar é o de 
que o custo de capital associado a um investimento depende do risco desse investimento. 
Essa é uma das lições mais importantes em finanças de empresas, e, portanto, merece ser 
repetida: 
 
O custo de capital depende principalmente do uso dos fundos, e não de suas fontes. 
 
Um erro comum é esquecer esse ponto crucial e cair na armadilha de achar que o custo 
de capital de um investimento depende principalmente de como e onde o capital será 
levantado. 
 
• Política de Financiamento e Custo de Capital 
 
Sabemos que a combinação específica entre capital de terceiros e capital próprio que a 
empresa decide utilizar – sua estrutura de capital – é uma variável gerencial. Nesta parte, 
consideraremos a política de financiamento da empresa como um dado. Em particular, 
suporemos que a empresa tem um quociente fixo entre capital de terceiros e capital 
próprio. Esse quociente reflete a estrutura desejada de capital. 
Sabemos que o custo total de capital de uma empresa reflete o retorno exigido sobre os 
ativos de toda a empresa. Considerando que a empresa utiliza tanto capital de terceiros 
quanto capital próprio, o custo de capital será uma combinação dos retornos necessários 
para compensar seus credores e acionistas. Em outras palavras, o custo de capital de uma 
empresa refletirá tanto o custo de capital de terceiros quanto o custo de capital próprio. 
Discutiremos esses dois custos separadamente nas seções seguintes. 
 
• Custo de Capital Próprio (Modelo de Crescimento de Dividendos e Abordagem 
da SML) 
 
Começamos com a questão mais difícil do tema custo de capital: qual é o custo de 
capital próprio de uma empresa, em geral? O motivo pelo qual essa é uma questão 
difícil é que não existe maneira de observar diretamente o retorno exigido pelos 
investidores em ações da empresa. Em vez disso precisamos estimá-lo de algum modo. 
Esta seção discute duas abordagens para estimar o custo de capital próprio: o modelo de 
crescimento de dividendos e a abordagem da linha de mercado de títulos ou SML. 
 
Custo de Capital Próprio: Retorno que os investidores em ações da empresa exigem por 
seu investimento. 
 
1) Modelo de Crescimento de Dividendos 
 
A maneira mais fácil de estimar o custo de capital é por meio do modelo de crescimento 
de dividendos, considerando a premissa de que os dividendos da empresa cresçam a uma 
taxa constante g, o preço da ação P0 pode ser descrito como: 
 
P0 = D0 X (1 + g) = D1 
 RE – g RE – g 
 
17 
Administração Financeira (Apostila II) Thomaz Junior 
Onde: 
D0 – é o último dividendo pago; 
D1 – é o dividendo projetado para o próximo período; 
RE – é o retorno que os acionistas exigem para a ação, ou o custo de capital próprio da 
empresa. 
g – taxa constante que o dividendo cresce. 
A equação pode ser reescrita: 
 
RE = D1 
 P0 + g 
 
• Implantação do Modelo 
 
Para estimar RE por meio do modelo de crescimento de dividendos, precisamos 
obviamente de três dados: P0, D0, e g. No caso de empresas com ações negociadas 
publicamente e que pagam dividendos, os dois primeiros dados podem ser observados 
diretamente, e, portanto são facilmente obtidos. Precisaremos estimar apenas o terceiro 
dado, ou seja, a taxa de crescimento esperada dos dividendos. 
Para ilustrar como estimamos RE, suponha que a empresa X, tenha pagado um dividendo 
de $4 por ação no último ano. O preço corrente da ação é $60. Você estima que o 
dividendo cresça a uma taxa constante de 6% indefinidamente. Qual é o custo de capital 
próprio desta empresa? 
 
Primeiro passo: com base no modelo de crescimento de dividendos, calculamos que o 
dividendo esperado para o próximo ano, D1, é: 
 
D1 = D0 X (1 + g) 
 = $4 X 1,06 = $4,24 
 
Com base nisso, o custo de capital próprio, RE é: 
 
RE = D1 
 P0 + g 
 
 = $4,24 / 60 + 0,06 = 13,07% 
 
O custo de capital próprio, portanto, é igual a 13,07%. 
 
2) Abordagem da SML 
 
Ao discutirmos, anteriormente, a Linha do Mercado de Títulos, ou SML. Nossa primeira 
conclusão foi a de que a taxa de retorno exigida em um investimento com risco, depende 
de três coisas: 
 
1. A taxa livre de risco, RF 
2. O prêmio pelo risco de mercado, E(RM) - RF 
18 
Administração Financeira (Apostila II) Thomaz Junior 
3. O risco sistemático do ativo em relação à média, que chamamos de 
coeficiente beta, β. 
 
De acordo com a SML, podemos escrever que o retorno esperado do capital próprio da 
empresa, E(RE), é igual a: 
 
E(RE) = RF + βE X [E(RE) - RF] 
 
• Implantando a abordagem 
 
Suponha uma estimativa para o prêmio por risco de mercado (com base em ações 
ordinárias de grandes empresas) seja de 9,2%. As Letras do Tesouro estão rendendo 
cerca de 5,3%, e portanto, iremos utiliza-la como nossa taxa livre de risco. Suponha, 
ainda, que o beta estimado da empresa seja 1,05. Logo, o custo de capital desta empresa 
é: 
Rempresa = RF + βE X (REM - RF) 
 = 5,3% + 1,05 X (9,2%) = 14,96% 
 
Portanto, a SML, diz que o custo de capital próprio desta empresa é aproximadamente 
igual a 15%. 
 
Exemplo de aplicação: 
 
Se a ação da ALFA S.A. tiver um beta de 1,2. O prêmio por risco de mercado for 8%, e 
a taxa livre de risco for 6%. Considere, ainda, que o último dividendo por ação da ALFA 
foi $2, e espera-se que os dividendos cresçam a uma taxa de 8% indefinidamente. 
Atualmente, a ação está sendo negociada a $30. Qual é o custo de capital próprio da 
ALFA? 
 
RegraGeral: Sempre que no cálculo do Custo do Capital Próprio, pudermos utilizar as 
duas abordagens (SML e Modelo de Crescimento de Dividendos), deveremos calcular os 
dois métodos, e o Custo do Capital Próprio será a média dos dois resultados. 
 
• Custo de Capital de Terceiros e de Ações Preferenciais 
 
Além das ações ordinárias, as empresas utilizam capital de terceiros e, em menor 
proporção, ações preferenciais para financiar seus investimentos. Conforme discutiremos 
a seguir, a determinação dos custos de capital associados a essas fontes de financiamento 
é muito mais fácil do que a do custo de capital próprio. 
 
1) Custo de Capital de Terceiros 
 
O Custo de Capital de Terceiros é o retorno que os credores exigem em novos 
empréstimos. Em princípio, poderíamos determinar o beta das dívidas da empresa e 
utilizar a SML para estimar sua taxa exigida de retorno, exatamente como fizemos para 
estimar o retorno exigido do capital próprio. No entanto, isso não é necessário. 
19 
Administração Financeira (Apostila II) Thomaz Junior 
Diferentemente do custo do capital próprio da empresa, o custo de capital de terceiro 
normalmente pode ser observado tanto direta quanto indiretamente, porque corresponde 
exatamente à taxa de juros que a empresa precisa pagar para obter novos empréstimos, e 
essa taxa pode ser observada nos mercados financeiros. Por exemplo, se a empresa já 
possuir obrigações no mercado, o retorno esperado até o vencimento dessas obrigações 
será a taxa de retorno exigida pelo mercado para as dívidas da empresa. 
Alternativamente, se soubéssemos que as obrigações da empresa são classificadas de 
acordo com seu risco de crédito, poderíamos descobrir, simplesmente, qual é a taxa de 
juros de emissões recentes de obrigações, para aquela determinada faixa de risco de 
crédito. De qualquer maneira, não é necessário estimar um beta para a dívida, uma vez 
que podemos observar diretamente a taxa que desejamos conhecer. 
 
Custo de Capital de Terceiros: Retorno exigido pelos financiadores das dívidas da 
empresa. 
 
Há uma coisa com a qual precisamos tomar cuidado. A taxa de cupom da dívida 
existente na empresa é irrelevante. Ela apenas nos mostra aproximadamente qual era o 
custo de capital de terceiros quando as obrigações foram emitidas, e não qual é esse 
custo hoje. É por isso que precisamos conhecer a taxa relevante atual de mercado. 
 
2) Custo de Ações Preferenciais 
 
A determinação do custo de ações preferenciais é bastante simples. As ações 
preferenciais pagam dividendos fixos e periódicos para sempre, de maneira que uma 
ação preferencial é basicamente uma perpetuidade. O custo de ações preferenciais, RP, é 
igual a: 
 
RP = D / P0 
 
Onde D é o dividendo fixo e P0 o preço corrente da ação preferencial. 
 
Exemplo: 
 
Em 07 de maio de 2006, a QCO S.A. tinha diversas classes de ações preferenciais 
negociadas na Bolsa de Valores. Uma das classes estava pagando $1,90 por ano por 
ação, e estava cotada a $25,12 por ação. Outra classe estava pagando $1,94 por ano por 
ação, e era cotada a $25,31. Qual é o custo das ações preferenciais desta empresa? 
 
• Custo Médio Ponderado de Capital 
 
Agora que conhecemos os custos associados às principais fontes de capitais utilizados 
pela empresa, precisamos nos preocupar com a composição específica. Conforme 
mencionamos há pouco, consideraremos essa composição, ou seja, a estrutura de capital 
da empresa, como dada, por enquanto. 
 
Utilizando o símbolo V (valor) para denotar o valor de mercado composto do capital de 
terceiros (D), e do capital próprio (E), teremos: 
20 
Administração Financeira (Apostila II) Thomaz Junior 
V = E + D 
 
Se dividirmos ambas as partes por V, poderemos calcular os percentuais de capital de 
terceiros e capital próprio no capital total:^ 
 
100% = E/V + D/V 
 
Esses percentuais podem ser interpretados como os pesos de uma carteira, e geralmente 
são denominados pesos da estrutura de capital. 
Por exemplo, se o valor total de mercado das ações de uma empresa foi calculado em 
$200 milhões e o valor total de mercado das dívidas da empresa em $ 50 milhões, então 
o valor combinado seria $250 milhões. Desse total, E/V = $200/$250 = 80%; então 80% 
corresponderiam a capital próprio, e os 20% restantes a capital de terceiros. 
 
• Impostos e Custo Médio Ponderado de Capital 
 
Há uma última questão a ser discutida. Lembre-se que estivemos preocupados em 
trabalhar com fluxos de caixa após impostos. Se estamos calculando uma taxa de 
desconto apropriada para esses fluxos de caixa, também precisamos medir essa taxa após 
os impostos. 
Conforme discutimos anteriormente, os juros pagos por uma empresa são dedutíveis 
para fins fiscais. Os pagamentos aos acionistas, tais como dividendos, não o são. Isso 
significa, efetivamente, que o governo cobre uma parte dos juros. Portanto, ao calcular a 
taxa de desconto após os impostos, precisamos distinguir entre custo de capital de 
terceiros antes e depois do imposto de renda. 
Para ilustrar, suponha que uma empresa tome $ 1 milhão emprestado a 9% de juros. A 
alíquota de imposto de renda de pessoa jurídica é 34%. Qual é a taxa de juros desse 
empréstimo após o imposto? O total da conta de juros será $ 90.000,00 por ano. Essa 
quantia é deduzida para fins de imposto de renda e, portanto, os $90.000,00 de juros 
reduzem nosso imposto de renda a pagar em 0,34 x $90.000,00 = $30.600,00. Os juros a 
pagar, após o imposto de renda, portanto, são iguais a $90.000 - $30.600,00 = 
$59.400,00. Assim, a taxa de juros após o imposto é igual a $59.400/1 milhão = 5,94%. 
Observe que, geralmente, a taxa de juros após o imposto é exatamente igual à taxa antes 
do imposto multiplicada por 1 menos a alíquota de imposto de renda. Portanto, se 
usarmos o símbolo TC para denotar a alíquota do imposto poderá ser representada por RD 
x (1 - TC). Por exemplo, usando os dados apresentado , calculamos a taxa de juros após o 
imposto como sendo igual a 9% x (1 – 0,34) = 5,94%. 
Reunindo os vários tópicos que discutimos nesta parte, temos agora os pesos da estrutura 
de capital, o custo de capital próprio e o custo de capital de terceiros após o imposto de 
renda. Para calcular o custo de capital total da empresa, multiplicamos os pesos da 
estrutura de capital pelo custo correspondente, e somamos os resultados. O resultado 
final é o custo médio ponderado de capital, ou WACC. 
 
WACC = (E/V) x RE + (D/V) x RD x (1 - TC) 
 
21 
Administração Financeira (Apostila II) Thomaz Junior 
O WACC tem uma interpretação bastante simples. É o retorno total que a empresa 
precisa gerar sobre seus ativos atuais para manter o valor de suas ações. Esse é um ponto 
importante, que merece ser repedido: 
O WACC é o retorno total que a empresa precisa gerar sobre seus ativos atuais para 
manter o valor das ações. 
 
Custo Médio Ponderado de Capital (WACC) – Média ponderada entre o custo de 
capital próprio e o custo de capital de terceiros após o imposto de renda. 
 
O WACC também é o retorno exigido sobre qualquer investimento da empresa que 
tenha basicamente o mesmo risco de suas operações atuais. Portanto, se estivéssemos 
avaliando os fluxos de caixa de uma proposta de expansão de nossas operações 
existentes, essa seria a taxa de desconto que iríamos utilizar. 
 
Exemplo: 
 
A BB Lean Company possui $1.400.000,00 de ações. Atualmente, cada ação está cotada 
a $ 20. As dívidas da empresa são negociadas publicamente, e recentemente estavam 
cotadas em 93% de seu valor de face. O valor de face total é de $5.000.000,00, e seu 
preço atual reflete um retorno esperado de 11%. A taxa de retorno livre de risco é 8%, e 
o prêmio por risco de mercado é de 7%. Você estima que o beta da Lean seja igual a 
0,74. Sendo a alíquota de imposto de renda de pessoa jurídica de 34%, qual é o WACC 
da Lean Co? 
 
CURVAS DE RENDIMENTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BC 
A 
Ta
xa
 d
e 
ju
ro
s 
tempo 
 
Em qualquer ponto do tempo, a relação entre a taxa de retorno ou o rendimento até o 
vencimento—a taxa anual de juros obtida sobre um título comprado em um dado dia e 
mantido até o vencimento – e o tempo que falta para o vencimento pode ser representada 
pela curva de rendimento. Em outras palavras, a curva de rendimento mostra a 
configuração das taxas de juros de títulos de igual qualidade e diferentes vencimentos; é 
22 
Administração Financeira (Apostila II) Thomaz Junior 
um gráfico que retrata a estrutura a termo das taxas de juros. A figura acima mostra três 
curvas de rendimento A, B e C. 
 
Pode-se ver que tanto a posição como o formato da curva de rendimento mudam com o 
tempo. A curva A indica que as taxas de juros de curto prazo naquela época estavam 
muito altas e situavam-se acima das taxas de prazos mais longos. Esta curva é descrita 
como de inclinação descendente, indicando, geralmente, que o custo de empréstimos de 
longo prazo é mais barato que o custo de empréstimos de curto prazo. Historicamente, a 
curva de rendimento de inclinação descendente, freqüentemente chamada de curva de 
rendimento invertida, tem sido a exceção. Mais comuns têm sido as curvas de 
rendimento semelhantes à C. Tais curvas de inclinações ascendentes, curvas de 
rendimento normal, indicam que os custos de empréstimos de curto prazo estão abaixo 
dos custos dos empréstimos de longo prazo. Algumas vezes, surge uma curva de 
rendimento plana, semelhante à B, a qual reflete custos relativamente iguais tanto para 
os empréstimos de curto quanto de longo prazo. 
 
 
ÍNDICE PREÇO/LUCRO 
Índice preço/lucro. É um índice usado no mercado financeiro para comparação de ações 
com a finalidade de identificar qual está barata ou cara, considerando este índice 
relativo. O índice é obtido da divisão do preço de uma ação no mercado pelo lucro 
líquido anual da ação em questão. Dessa maneira, o P/L indica uma estimativa de prazo, 
em anos, para que o investidor recupere o capital aplicado na compra da ação, 
assumindo-se a distribuição integral dos lucros da empresa. Na prática isso não acontece, 
porque o lucro e o preço da ação não são lineares (iguais todos os anos), nem os 
dividendos correspondem a 100% do lucro. Mas não deixa de ser uma estimativa. “O 
Índice Preço/ Lucro de uma ação (também chamado de “múltiplo de lucros” ou P/LPA) 
é usado para medir quão baratos ou caros os preços das ações estão. Provavelmente, é o 
mais consistente sinal vermelho ao otimismo excessivo. Serve também como um 
marcador de problemas e de oportunidades de negócio. Relacionando o preço e os lucros 
por ação de uma companhia, se pode analisar a avaliação de mercado das ações de 
companhias relativa à riqueza que a companhia está criando realmente. O Índice P/L é 
calculado da seguinte forma: 
 
O preço por ação (numerador) é o preço de mercado de uma ação. O lucro por ação 
(denominador) é o lucro líquido da empresa mais recente do período de um ano, dividido 
pelo número de ações. 
A razão principal de calcular o índice P/L é tornar comparável para os investidores duas 
ou mais ações de empresas de diferentes setores. Se uma ação tiver um P/L duas vezes 
maior do que de uma outra ação, este provavelmente é um investimento menos atrativo 
(quanto maior for o P/L, mais "cara" estaria a ação). As comparações entre setores , 
entre países ou entre períodos são perigosas. 
Por exemplo, se a ação A estiver sendo negociada por R$ 24 e o lucro por ação para o 
período mais recente de 12 meses for R$ 3, então o índice P/L é 24/3=8. Por um lado, o 
23 
http://www.estadao.com.br/ext/financas/glossario/d.htm
http://pt.wikipedia.org/wiki/Otimismo
Administração Financeira (Apostila II) Thomaz Junior 
comprador da ação estaria pagando R$ 8 por cada um Real, por outro, estaria investindo 
numa empresa que promete ter bons lucros futuros. 
 
Índice de Sharpe é a relação que demonstra o retorno em comparação ao risco assumido. 
A fórmula mais utilizada tanto pelos administradores de recursos como pelos meios de 
comunicação é o Índice de Sharpe Modificado, neste caso somente o retorno excedente 
(retorno superior ao benchmark). O risco é identificado como sendo o desvio padrão dos 
mesmos retornos excedentes. Fórmula: Retorno Excedente / Desvio Padrão dos Retornos 
Excedentes, sendo o retorno excedente o retorno do fundo menos os retorno do 
benchmark. Índice de Treynor. O Índice de Treynor é uma medida similar ao Índice de 
Sharpe, com a diferença de em vez de usar como medida de risco o desvio-padrão ou 
semi-desvio, usa o coeficiente Beta. Além disso, ela é uma medida de excesso de retorno 
em relação ao risco sistemático. O risco de ativos individuais ou de um pequeno grupo 
de ativos pode ser melhor descrito pelo seu co-movimento com o mercado (Beta). 
Assim, o Índice de Treynor parece ser particularmente útil para essa tarefa, quando a 
carteira do investidor é uma de muitas carteiras incluídas num grande fundo. 
 
*Derivativos: 
Quanto à definição de "derivativos", podemos dizer que são ativos financeiros cujo valor 
resulta (deriva) do valor de outro ativo, podendo ser os derivativos, padronizados e 
negociados em mercados secundários organizados ou ser um contrato "ad hoc" entre as 
partes. 
Alguns dos principais tipos de derivativos são os contratos a termo, a futuro (tais como: 
índice de ações, taxas de juros e de câmbio, índices de preço, "commodities"), opções de 
compra e venda, "warrants", operações de "swaps" (troca de resultados financeiros), 
etc.(Nota Explicativa CVM N°235, de 23 de março de 1995 
 
Derivativos são ativos ativos Bens e direitos possuídos por uma empresa ou fundo de 
investimento. Para fundos de investimento, representa todos os títulos (títulos públicos, 
títulos privados, ações, commodities, cotas de fundo de investimento, etc.) que compõe a 
carteira do fundo ativos Bens e direitos possuídos por uma empresa ou fundo de 
investimento. Para fundos de investimento, representa todos os títulos (títulos públicos, 
títulos privados, ações, commodities, cotas de fundo de investimento, etc.) que compõe a 
carteira do fundofinanceiros que derivam, integral ou parcialmente, do valor de outro 
ativo financeiro ou mercadoria. Podem também ser entendidos como operações 
financeiras que tenham como base de negociação o preço ou cotação de um ativo 
(chamado de ativo-objeto) negociados nos mercados futuros, a termo, de opções de 
compra e venda, de swaps e demais operações financeiras mais complexas. 
Mercado Futuro 
Aquele em que as partes assumem compromisso de compra e/ou venda de determinada 
quantidade e qualidade padronizadas de um ativo financeiro ou real, representada por 
contratos padronizados para liquidação (física e/ou financeira) em data futura. Nesse 
mercado existe o ajuste diário ajuste diário É a equalização de todos os contratos em 
aberto no mercado futuro, mercado futuro Aquele em que as partes assumem 
compromisso de compra e/ou venda de determinada quantidade de um ativo financeiro 
ou real, para liquidação (física e/ou financeira) em data futura. As operações do mercado 
futuro são realizadas em pregão, através da compra e venda de contratos autorizados 
24 
Administração Financeira (Apostila II) Thomaz Junior 
pela Bolsa, a qual estabelece a padronização dos mesmos. com base no preço de 
compensação do dia. O ajuste diário traduz os movimentos dos mercados em lucros e 
prejuízos efetivos para os participantes.do valor dos contratos. Esse é o mecanismo que 
possibilita a liquidação financeira diária de lucros e prejuízos das posições, viabilizando 
a troca de posições. 
Mercado a Termo 
Aquele em que as partes assumem compromisso de compra e/ou venda de contratos 
padronizados para liquidação física e financeira em data futura, ficando as partes, 
compradora e vendedora, vinculadas uma à outraaté a liquidação do contrato. 
Mercado de Opções 
Aquele em que uma parte adquire o direito de comprar (opção de compra) ou vender 
(opção de venda) o objeto de negociação, até ou em determinada data, por preço 
previamente estipulado. A outra parte, em contrapartida, assume o dever de vender 
(opção de compra) ou comprar (opção de venda) tal objeto de negociação, que são 
contratos padronizados representativos de um ativo financeiro ou de uma mercadoria no 
mercado disponível ou no mercado futuro. 
Mercado de Swaps 
Aquele em que as partes trocam um índice de rentabilidade por outro, com o intuito de 
fazer hedge, hedge Estratégia de proteção financeira, realizada nos mercados 
derivativos, para eliminar o risco a que o agente econômico está exposto no mercado à 
vista. Consiste em assumir no mercado derivativo posição oposta à detida no mercado à 
vista. Pode ser entendido como um seguro contra o risco de preço do mercado.casar 
posições ativas (recebimento) com posições passivas (dívida), eqüalizar preços, efetuar 
arbitragem arbitragem Operação financeira em que se busca obter resultado positivo 
através do posicionamento em dois ativos ou dois mercados que apresentem variações na 
diferença entre seus preços, sem que haja necessidade de investimento de recursos 
próprios e sem que se corram riscos elevados.ou até alavancar sua exposição exposição 
Parcela de uma carteira cujo valor financeiro está sujeito às oscilações de um 
determinado ativo, índice ou mercado. ao risco. 
O que é Hedge? 
A tradução literal de Hedge é proteção. Os investidores e ou administradores de carteiras 
buscam nas operações de hedge proteger seus investimentos contra oscilações bruscas de 
preços. Utilizam para tanto operações nos mercados futuros, termo, opções, swaps etc 
para reduzir o risco . 
Entretanto, quando usados como forma de obter ganhos altos e rápidos, isto é, quando 
usados como especulação, podem aumentar o risco de perda total ou parcial do 
investimento. 
Procure saber com o administrador de seu fundo de investimento qual é a política de 
atuação nos mercados futuros. 
Onde são negociados os derivativos? 
A Bolsa de Mercadorias & Futuros (BM&F) é o local onde são negociados os chamados 
derivativos derivativos Denominação genérica para operações que têm por referência um 
ativo qualquer, chamado de "ativo base" ou "ativo subjacente" (que em geral é 
negociado no mercado à vista). Derivativos usualmente têm uma data de vencimento. 
Exemplos de derivativos são opções de compra/venda, futuros e swapsno Brasil. Ela é 
uma entidade privada, sem fins lucrativos, que tem por objetivo organizar, prover o 
funcionamento e desenvolver mercados livres e abertos para negociação de quaisquer 
25 
Administração Financeira (Apostila II) Thomaz Junior 
espécies de títulos e/ou contratos que possuam como referência, ou tenham como objeto, 
ativos financeiros, índices, indicadores, taxas, mercadorias (também chamadas 
"commodities") e moedas, nas modalidades a vista (também chamado mercado 
disponível) e para liquidação futura (mercados a termo, de opções e de futuros). 
 
• Governança Corporativa 
 
 
Governança corporativa é o sistema pelo qual as sociedades são dirigidas e 
monitoradas, envolvendo os relacionamentos entre Acionistas/Cotistas, Conselho de 
Administração, Diretoria, Auditoria Independente e Conselho Fiscal. As boas 
práticas de governança corporativa têm a finalidade de aumentar o valor da 
sociedade, facilitar seu acesso ao capital e contribuir para a sua perenidade. 
 
A expressão é designada para abranger os assuntos relativos ao poder de controle e 
direção de uma empresa, bem como as diferentes formas e esferas de seu exercício e os 
diversos interesses que, de alguma forma, estão ligados à vida das sociedades 
comerciais. 
 
Governança corporativa é valor, apesar de, por si só, não criá-lo. Isto somente ocorre 
quando ao lado de uma boa governança temos também um negócio de qualidade, 
lucrativo e bem administrado. Neste caso, a boa governança permitirá uma 
administração ainda melhor, em benefício de todos os acionistas e daqueles que lidam 
com a empresa. 
 
A Boa Governança 
Na teoria econômica tradicional, a governança corporativa surge para procurar superar o 
chamado “conflito de agência”, presente a partir do fenômeno da separação entre a 
propriedade e a gestão empresarial. O “principal”, titular da propriedade, delega ao 
“agente” o poder de decisão sobre essa propriedade. A partir daí surgem os chamados 
conflitos de agência, pois os interesses daquele que administra a propriedade nem 
sempre estão alinhados com os de seu titular. Sob a perspectiva da teoria da agência, a 
preocupação maior é criar mecanismos eficientes (sistemas de monitoramento e 
incentivos) para garantir que o comportamento dos executivos esteja alinhado com o 
interesse dos acionistas. 
 
A boa governança corporativa proporciona aos proprietários (acionistas ou cotistas) a 
gestão estratégica de sua empresa e a efetiva monitoração da direção executiva. As 
principais ferramentas que asseguram o controle da propriedade sobre a gestão são o 
Conselho de Administração, a Auditoria Independente e o Conselho Fiscal. 
A empresa que opta pelas boas práticas de governança corporativa adota como linhas 
mestras transparência, prestação de contas (accountability) e eqüidade. Para que essa 
tríade esteja presente em suas diretrizes de governo, é necessário que o Conselho de 
Administração, representante dos proprietários do capital (acionistas ou cotistas), exerça 
seu papel na organização, que consiste especialmente em estabelecer estratégias para a 
empresa, eleger a Diretoria, fiscalizar e avaliar o desempenho da gestão e escolher a 
auditoria independente. No entanto, nem sempre as empresas contam com conselheiros 
26 
Administração Financeira (Apostila II) Thomaz Junior 
qualificados para o cargo e que exerçam, de fato, sua função legal. Essa deficiência tem 
sido a raiz de grande parte dos problemas e fracassos nas empresas, na maioria das vezes 
decorrentes de abusos de poder (do acionista controlador sobre minoritários, da Diretoria 
sobre o acionista e dos administradores sobre terceiros), erros estratégicos (decorrentes 
de muito poder concentrado numa só pessoa, normalmente o executivo principal), ou 
fraudes (uso de informação privilegiada em benefício próprio, atuação em conflito de 
interesses). 
 
Em resposta a esse cenário, o movimento de governança corporativa ganhou força nos 
últimos dez anos, tendo nascido e crescido, originalmente, nos Estados Unidos e na 
Inglaterra e, a seguir, se espalhando por muitos outros países. No Brasil, os conselheiros 
profissionais e independentes começaram a surgir basicamente em resposta à 
necessidade de atrair capitais e fontes de financiamento para a atividade empresarial, o 
que foi acelerado pelo processo de globalização e pelas privatizações de empresas 
estatais no país. 
 
Hoje, o mercado de capitais, as empresas, os investidores e a mídia especializada já se 
utilizam habitualmente da expressão governança corporativa, mencionam e consideram 
as boas práticas de governança em sua estratégia de negócios. Um dos principais 
responsáveis por essa nova realidade é o IBGC. Atualmente, diversos organismos e 
instituições internacionais priorizam a governança corporativa, relacionando-a a um 
ambiente institucional equilibrado, à política macroeconômica de boa qualidade e, 
assim, estimulando sua adoção em nível internacional. 
 
· O G7, grupo das nações mais ricas do mundo considera a governança corporativa o 
mais novo pilar da arquitetura econômica global. 
 
 A OCDE (Organização para Cooperação e Desenvolvimento Econômico) desenvolveu 
uma lista de Princípios de Governança Corporativa e promove periodicamente, em 
diversos países, mesas de discussão e avaliação do desenvolvimento da governança. 
Também lançou, junto com o Banco Mundial, em setembrode 1999, o “Global 
Corporate Governance Forum” , com o objetivo de dar abrangência, importância e 
visibilidade mundial ao tema. 
· Banco Mundial e FMI consideram a adoção de boas práticas de governança 
corporativa como parte da recuperação dos mercados mundiais, abatidos por sucessivas 
crises em seus mercados de capitais. Praticamente em todos os países surgiram 
instituições dedicadas a promover debates em torno da governança corporativa. 
Em junho de 2000, a McKinsey & Co, em parceria com o Banco Mundial conduziu 
uma pesquisa (“Investors Opinion Survey”) junto a investidores, representando um total 
de carteira superior a US$ 1.650 bilhões, destinada a detectar e medir eventuais 
acréscimos de valor às companhias que adotassem boas práticas de governança 
corporativa. Apurou-se que os investidores pagariam entre 18% e 28% a mais por ações 
de empresas que adotam melhores práticas de administração e transparência. Algumas 
outras das conclusões dessa pesquisa: 
 
· os direitos dos acionistas foram classificados como a questão mais importante de 
governança corporativa da América Latina; 
27 
http://www.oecd.org/
http://www.gcgf.org/
http://www.gcgf.org/
http://www.worldbank.org/
http://www.imf.org/
http://www.mckinsey.com/
Administração Financeira (Apostila II) Thomaz Junior 
· três quartos dos investidores dizem que as práticas do conselho de administração são 
pelo menos tão importantes quanto a performance financeira quando estão avaliando 
companhias para investimentos. Na América Latina, quase metade dos respondentes 
considera que as práticas de conselho de administração são mais importantes que a 
performance financeira na América Latina e na Ásia, onde os relatórios financeiros são 
limitados e freqüentemente de má qualidade, os investidores preferem não confiar 
apenas em números. Eles acreditam que seus investimentos estarão mais bem protegidos 
por companhias com boa governança que respeitem direitos dos acionistas a qualidade 
da administração da companhia não raro é mais importante do que questões financeiras 
nas decisões sobre investimentos. 
 
• Níveis de Governança Corporativa 
 
As práticas de governança corporativa são também identificadas como de Nível 1 ou 
Nível 2, dependendo do grau de compromissos assumidos pela sociedade. Esses níveis 
criados pela Bovespa têm exigências menos rigorosas do que as do Nível 3 (Novo 
Mercado). O Nível 3 de governança corporativa é o próprio Novo Mercado, no qual 
somente são permitidas negociações de ações ordinárias (ON). 
As empresas listadas no Nível 1 comprometem-se, entre outras, com as seguintes 
práticas de governança corporativa: 
 
 Manutenção de ações em circulação no mercado em quantidade equivalente a, 
pelo menos 25% de todo o capital social da sociedade; 
 Realização de ofertas públicas de colocação de ações usando mecanismos que 
facilitem a dispersão do capital; 
 Melhor qualidade e transparência das informações prestadas, divulgação de 
balanços trimestrais e do demonstrativo do fluxo de caixa; 
 Divulgar todos os acordos de acionistas existentes, e programas de opções de 
compras. 
 
Para serem classificadas como de Nível 2, as empresas, além de aceitarem cumprir todos 
os compromissos assinalados no Nível 1, devem aderir a um conjunto mais amplo de 
práticas de governança corporativa. Os principais compromissos do Nível 2 são: 
 
 Mandato unificado de um ano para os membros do Conselho de Administração; 
 Divulgação de balanço anual de acordo com padrões internacionais; 
 Em caso de cancelamento do registro no Nível 2 ou fechamento de capital , a 
empresa tem a obrigação de efetuar uma oferta de compra de todas as ações em 
circulação, por seu valor econômico; 
 Adesão à Câmara de Arbitragem de Mercado da Bovespa para solução dos 
problemas societários; 
 Direito de voto das ações preferenciais em determinadas matérias relevantes, 
como: transformação, incorporação, cisão e fusão; estabelecimento de contatos 
entre empresas do mesmo grupo, entre outras. 
 
 
 
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	CÁLCULO DE VARIÂNCIA DE CARTEIRAS DE INVESTIMENT
	Ano
	Tabela 1