SEMANA 2 - Fundamentos de Termodinâmica e Ondas - Prof Wagner Antônio da Silva Nunes

Prévia do material em texto

1 NOTAS DE AULA FUND. TERRMODINÂMICA E ONDAS Prof. Wagner A. S. Nunes CMDI 
Capítulo 2: GASES IDEAIS OU PERFEITOS 
 Objetivos: 
• descrever as propriedades macroscópicas de um gás ideal. 
• formular a Lei do Gás Ideal 
• estabelecer um modelo microscópico para um gás ideal. 
• formular as interpretações cinéticas da pressão e da temperatura. 
 
Introdução 
 
Quando tratamos uma partícula com a Mecânica Newtoniana, nós a descrevemos 
através do seu estado de movimento, isto é, de sua posição �⃗ e velocidade �⃗ (ou do momento 
linear �⃗ = m�⃗). As leis de Newton nos permitem escrever as equações de movimento da 
partícula, e calcular como estas grandezas evoluem com o tempo. 
Sabemos que a matéria nos seus estados sólido, líquido e gasoso, é formada por 
constituintes elementares que chamamos átomos e moléculas. A quantidade é muito grande (≈ 
1023) destes constituintes nos objetos do nosso cotidiano. As três fases (sólida, líquida e gasosa) 
de uma substância diferenciam-se essencialmente pela forma como suas moléculas se 
organizam. Enquanto em um sólido ou em um líquido as moléculas interagem fortemente umas 
com as outras, em um gás esta interação é fraca e as moléculas têm grande mobilidade pelo 
volume ocupado pelo gás, a não ser pelas colisões que ocorrem entre elas. 
Uma vez que o número de moléculas em um gás é realmente muito grande, é inviável 
resolvermos as equações de movimento de todas as moléculas para descrevermos o 
comportamento de um gás. Assim sendo, temos que criar uma descrição do gás por inteiro, isto 
é, uma descrição macroscópica. Para tal, temos primeiro que estabelecer as grandezas 
macroscópicas que caracterizam o estado de um gás, para em seguida formularmos as leis que 
estabelecem uma relação quantitativa entre estas grandezas. 
 
PROPRIEDADES MACROSCÓPICAS DE UM GÁS IDEAL 
 
 As grandezas relevantes para descrever macroscopicamente um sistema 
termodinâmico são determinadas através de dados experimentais. Para cada sistema 
particular existe uma coleção de um pequeno número de grandezas que descrevem o 
sistema como um todo. No caso de um sistema fluido, líquido ou gás, a experiência nos 
mostra que a temperatura T, a pressão p, o volume V e o número N de partículas são as 
grandezas relevantes e suficientes na descrição de um fluido simples. Dizemos com isto 
que: 
 
“O estado de equilíbrio termodinâmico de um gás fica perfeitamente caracterizado se 
conhecemos a sua pressão p, o seu volume V, sua temperatura T e a quantidade N de 
partículas”. 
 
 
2 NOTAS DE AULA FUND. TERRMODINÂMICA E ONDAS Prof. Wagner A. S. Nunes CMDI 
Essas grandezas são as variáveis de estado do gás e as leis que regem o comportamento 
macroscópico dele serão descritas em termos dessas grandezas. Contudo, antes de 
formularmos uma lei geral com todas as grandezas envolvidas, vamos obter leis parciais que 
fornecem a dependência entre estas grandezas, duas a duas, para depois combinarmos estes 
resultados numa lei geral. 
 Os resultados experimentais que apresentaremos abaixo são rigorosamente 
válidos somente para o modelo hipotético do gás ideal (descrito à frente). Entretanto, 
em determinadas condições esses resultados são boas aproximações para os gases 
reais. 
1. Dependência entre V e N: A lei de Avogadro 
 A lei de Avogadro determina o que acontece com as variáveis termodinâmicas � 
(volume do gás) e � (quantidade de partículas do gás) quando são mantidas constantes 
sua temperatura � e sua pressão �. Considere o experimento esquematizado abaixo. 
Nele um recipiente contém certa 
quantidade de gás que pode ser aumentada, 
pois, o mesmo está conectado com um 
botijão que oferece gás bastando abrir a 
válvula. A temperatura � do gás é mantida 
constante colocando o recipiente que o 
contém em contato térmico com um 
reservatório térmico que possui 
temperatura constante. Já a pressão p do 
gás é mantida constante mantendo-se a 
mesma massa m de areia sobre o êmbolo 
móvel. 
 Abrindo-se a válvula mais gás entra no recipiente e o êmbolo é movido para cima, 
diminuindo a região evacuada e aumentando-se o volume � do gás que pode ser visto 
através do aumento da altura h do êmbolo em relação ao fundo do recipiente (supomos 
que a massa de cada molécula e a massa total de gás presente sejam conhecidas. Com 
isto podemos determinar o número total � de moléculas). 
Observa-se experimentalmente que existe uma proporcionalidade entre o 
volume V ocupado pelo gás e o número � de moléculas do mesmo. Em seguida a 
experiência é repetida substituindo o gás por outro, contendo o mesmo número de 
moléculas, à mesma pressão e à mesma temperatura. Verifica-se que o volume ocupado 
é o mesmo. 
Conclusão: O volume ocupado por um gás, a uma dada pressão � e a certa temperatura �: 
1. Independe do tipo de gás 
 
3 NOTAS DE AULA FUND. TERRMODINÂMICA E ONDAS Prof. Wagner A. S. Nunes CMDI 
2. Independe do tamanho ou da massa de suas moléculas 
3. Dependente exclusivamente do número N de moléculas que ocupam o volume V, 
 � = 	
� (�, � ����������), 	
 = ��������� (2.1) 
 
 
Lei de Avogadro 
 
“Volumes iguais, de qualquer tipo de gás, nas mesmas condições de temperatura e 
pressão, apresentam a mesma quantidade de partículas”. 
 
2. Dependência entre V e p: A lei de Boyle 
 
 Suponha agora que a válvula do botijão de gás seja fechada e que recipiente é mantido 
em contato com o reservatório térmico. Assim, o número de moléculas e a temperatura do gás 
são mantidos constantes. O intuito da experiência é observar a dependência entre o volume � 
do gás com a pressão � mantendo-se constantes a temperatura e o número de moléculas do 
gás. Fazemos variar a pressão fazendo variar o peso da caixa de areia sobre o êmbolo. Neste 
caso obtemos empiricamente o seguinte resultado: 
 
Mantendo-se constantes a temperatura T e o número N de moléculas do gás sua pressão p varia 
inversamente com o seu volume. 
 � = 	�� (�, � ����������). (2.2) 
 Representando num gráfico os valores experimentais de 1 �� e �, obtém-se uma 
sequência de pontos que podem, com boa aproximação, ser ajustados por uma reta. Neste caso, 
a constante 	� pode ser obtida como o coeficiente angular desta reta. A relação entre V e p, 
com N e T mantidos constantes, é chamada Lei de Boyle. 
 
4 NOTAS DE AULA FUND. TERRMODINÂMICA E ONDAS Prof. Wagner A. S. Nunes CMDI 
 
3. Dependência entre V e T: A Lei de Charles ou Lei de Gay-Lussac 
 Mantendo-se � e � constantes fazemos a temperatura � do reservatório térmico 
e do gás variar e observamos o que acontece com o volume �. Encontramos uma relação 
de proporcionalidade: 
Sendo p e N mantidos constantes, se a temperatura T aumenta o volume aumenta e vice-
versa. 
 � = 	��, (�, � ����������), (2.3) 
onde 	� é uma constante de proporcionalidade, determinada pelo coeficiente angular 
da reta construídas pelos dados experimentais. 
 
Equação de Estado 
 As leis enunciadas acima podem ser combinadas numa única lei relacionando, ao mesmo 
tempo, as quatro variáveis de estado �, �, � � �: 
 
���� = �, (2.4) 
onde � é uma constante universal chamada constante de Boltzmann, cujo valor é: 
� = 1,38�10 �� !". 
Isto pode ser feito, pois essa equação reproduz todos os resultados anteriores, a saber: 
 � = #��� $ � = 	
� (�, � ����������). (2.5) 
 
 
5 NOTAS DE AULA FUND. TERRMODINÂMICA E ONDAS Prof. Wagner A. S. Nunes CMDI 
 � = (���)� = 	�� (�, � ����������) (2.6) 
 
 � = #��� $ � = 	�� (�, � ����������). (2.7) 
 Ë mais comum escrevermos a Eq. 2.4 expressando-a não em termos do número de 
moléculas � do gás e sim em função do número de mols � do mesmo. O número de mols é 
definido em termos da constante de Avogadro �%, isto é: 
 � = ��% . (2.8) 
Substituindo este resultado em 2.4 e denominando por, 
 & = ��%= 8,3145 J/mol.K, (2.9) 
a constante universal dos gasesperfeitos, teremos: 
 �� = �&�. (2.10) 
Essa é a chamada equação de estado do gás ideal (ou equação de Clayperon). Ela recebe esse 
nome, pois, fornece uma relação matemática fundamental entre as grandezas termodinâmicas 
macroscópicas que descrevem o estado do gás. Essa equação é rigorosamente verdadeira 
somente para o modelo hipotético do gás ideal. Entretanto, em determinadas 
condições ela oferece boas aproximações para os gases reais. 
 Observe ainda que, para uma dada quantidade de gás fixa (� constante) o 
número de coordenadas independentes que definem o estado do gás é dois, pois, se por 
exemplo � � � são conhecidas a temperatura fica determinada pela equação de estado. 
“O estado termodinâmico de uma massa constante de gás é determinado informando 
apenas duas coordenadas termodinâmicas, (', (), ((, )) * (', ))". 
 De maneira geral, a equação de estado de um gás qualquer é uma equação da forma: 
 ,(�, �, �, �) = 0, (2.11) 
cuja forma específica depende do modelo estudado. 
Exercício Resolvido. Um cilindro contém oxigênio à temperatura de 20.	, pressão de 15 ��0 e volume de 100 1. Um êmbolo é deslocado no cilindro de modo a diminuir o 
volume do gás para 80 1 e aumentando sua temperatura para 25.	. Supondo que o 
oxigênio se comporte como gás ideal nestas condições, determine sua pressão final. 
Solução: Como é suposto que o oxigênio se comporta como um gás ideal vale a equação 
de estado, 
 
6 NOTAS DE AULA FUND. TERRMODINÂMICA E ONDAS Prof. Wagner A. S. Nunes CMDI 
�� = �&�. 
Vamos aplicar esta equação aos estados 
inicial (1) e final do gás (2): 
�
�
 = �&�
 � ���� = �&�� 
Podemos escrever, 
�
�
�
 = ������ . 
Isto quer dizer que quando a massa do gás é constante (� � � ����������) temos a 
seguinte condição a ser satisfeita pelo gás, 
��� = ���������. 
Substituindo os valores encontramos: 
15.100293 = ��. 80298 → �� = 19 ��0. 
O MODELO DO GÁS IDEAL 
 Antes de iniciarmos a descrição microscópica propriamente dita, devemos precisar o 
que entendemos como sendo um gás ideal. Ou seja, nossa descrição microscópica deverá 
pressupor algumas características do comportamento do gás a nível molecular. Nossas 
hipóteses básicas são: 
1. O número de moléculas no gás é muito grande (da ordem do número de Avogadro). 
2. As dimensões típicas de uma molécula são muito inferiores à distância média entre duas 
moléculas do gás. Isto significa que o volume ocupado pelas moléculas é desprezível se 
comparado ao volume do recipiente que contém o gás. Por exemplo, a figura abaixo ilustra para 
o caso do hélio He. 
 
 3. As moléculas movem-se constantemente e aleatoriamente em todas as direções. Isto 
ocasiona colisões das moléculas entre si e com as paredes do recipiente. A aleatoriedade deste 
movimento garante que, se tomarmos qualquer direção do espaço, o número de moléculas 
movendo-se no sentido positivo desta direção é igual ao número de moléculas movendo-se no 
sentido negativo. Esta hipótese é bastante razoável, pois, do contrário, teríamos um acúmulo 
do gás em um dos lados do recipiente. 
 
7 NOTAS DE AULA FUND. TERRMODINÂMICA E ONDAS Prof. Wagner A. S. Nunes CMDI 
 
 
4. As forças de interação entre as moléculas, ou das moléculas com as paredes do recipiente são 
de curto alcance e de curta duração. Isto significa que estas forças só atuam a curtas distâncias, 
durante as rápidas colisões sofridas pelas moléculas. A duração das colisões é, em geral, muito 
menor do que o tempo médio transcorrido entre duas colisões consecutivas. 
 5. As colisões sofridas pelas moléculas do gás (entre si ou com as paredes do recipiente) são 
elásticas. Portanto, a energia cinética total das moléculas deve permanecer constante. Mesmo 
que algumas moléculas efetuem colisões inelásticas, podemos supor que, em média, a energia 
cinética ganha nestas colisões é igual à energia perdida. 
A TEORIA CINÉTICA DOS GASES 
 Uma vez conhecidas as leis que regem o comportamento macroscópico de um 
gás, uma pergunta surge naturalmente: será possível deduzir estas leis aplicando-se as 
leis básicas da Mecânica Newtoniana aos constituintes fundamentais de um gás, isto é, 
seus átomos e moléculas? Como as grandezas macroscópicas de um gás podem ser 
interpretadas em termos de suas propriedades microscópicas, isto é, em termos da 
dinâmica individual de suas moléculas? Na tentativa de responder a essas perguntas é 
que foi criada a Teoria Cinética dos Gases (TCG). 
 A TCG é uma teoria microscópica que faz a conexão entre o comportamento 
macroscópico de um gás, isto é, temperatura e pressão medidas no laboratório, com 
suas propriedades microscópicas dos gases. Isto é feito, incorporando conceitos 
estatísticos à descrição dada pela Mecânica Newtoniana. A conexão entre o 
comportamento macroscópico de um gás e suas propriedades microscópicas requer 
uma interpretação da pressão e da temperatura em termos das grandezas 
microscópicas como força e momento linear, por exemplo. Isto é o que chamamos 
interpretação cinética, cuja formulação constitui o objetivo central desta aula. 
 
Interpretação cinética da pressão 
 
 Veremos agora como a TCG nos possibilita entender a pressão exercida por um 
gás. O movimento constante e aleatório das moléculas que constituem o gás e suas 
colisões com as paredes do recipiente que o contém, transferem momento linear 
explicando a origem da pressão. 
 
 
8 NOTAS DE AULA FUND. TERRMODINÂMICA E ONDAS Prof. Wagner A. S. Nunes CMDI 
 Considere um recipiente de forma cúbica que contém um gás ideal com � (≈10��) partículas iguais de massa 0 cada uma. Indicamos uma dessas partículas 
representativa e que em 
determinado instante colide 
com a parede do recipiente 
como mostra a figura. 
 
 Uma vez que a massa do 
recipiente é muito maior do 
que 0, a componente �5 será 
praticamente invertida após a 
colisão, de modo que a 
componente x do momento 67⃗ 
sofre alteração e o módulo dessa alteração é: 
85 = ∆65∆� 
 ∆65: = 65; − 65: = 0�5: − 0(−�5:) = 20�5:. (2.12) 
 
 A força impulsiva média na direção x transmitida à parede quando a partícula de 
massa 0 com ela colide é dada por: 
 85: = 20��=2>�5:
= 0�5:�
> . (2.13) 
 Para encontrar a taxa em que o momento linear cedido à área ?
 por todas as 
moléculas do gás, devemos somar as contribuições de todas as partículas, isto é: 
 
1>� @ 85: = 1>� @ 0�5:�
>
A
:B
.A
:B
 (2.14) 
 
Desta forma a pressão é dada por: 
 � = 1>� @ 0�5:�
>
A
:B
= @ 0��5:�
�>�
A
:B
. (2.15) 
Sendo 0� a massa total do gás 0�/>� é a sua densidade D. Assim 
EFG = D/� e 
 
9 NOTAS DE AULA FUND. TERRMODINÂMICA E ONDAS Prof. Wagner A. S. Nunes CMDI 
 
� = D @ �5:�
�
A
:B
= D H�5
�
� + �5��
� + ⋯ + �5A�
� K
= D� (�5
� + �5�� + ⋯ + �5A� ) = D�5�. 
(2.16) 
O somatório é interpretado como o valor médio de �5�, que representaremos por �5�. 
Desta forma, 
 � = D�5� = D ∑ MNOP
AA:B
 . (2.17) 
 Como o movimento das � moléculas do gás é completamente aleatório os 
valores médios de cada componente da velocidade são os mesmos, 
 
 �5� = �Q� = �R� = 13 ��. (2.18) 
Logo, 
 � = D 
� ��. (2.19) 
Velocidade Média Quadrática 
 Definimos a velocidade média quadrática �SET como a raiz quadrada de ��. É 
interpretada como uma espécie de velocidade molecular média. Assim: 
 
�SET = U�� = V3�D . 
 
(2.20) 
Algumas velocidades médias quadráticas à temperatura ambiente (300 K) 
Gás Massa Molar (10 -3kg/mol) WXYZ 
Hidrogênio 2,02 1920 
Hélio 4,0 1370 
Vapor d’água 18,0 645 
Nitrogênio (��) 28,0 517 
Oxigênio ([�) 32,0 483 
Dióxido de Carbono (	[�) 44,0 412 
Dióxido de Enxofre (\[�) 64,1 342 
 
 
10 NOTAS DE AULA FUND. TERRMODINÂMICA E ONDAS Prof. Wagner A. S. Nunes CMDI 
Exemplo Valor Médio e Valor Médio Quadrático: São dados 5 números: 5, 11, 32, 67, 
89. (a) Qual o valor médio � desses número? (b) Qual o valor médio quadrático �SET 
desses números? 
Solução: (a) 
� = 5 + 11+ 32 + 67 + 895 = 40,8 
(b) 
�SET = U�2 = V52 + 112 + 322 + 672 + 892
5 = 52,1 
Interpretação Cinética da Temperatura 
 Do mesmo modo que fizemos para a pressão, vamos relacionar outra 
propriedade macroscópica, a temperatura, com características microscópicas de um 
gás. Veremos que a temperatura � está relacionada com a energia cinética média por 
molécula. Inicialmente calculemos a energia cinética por mol do gás. 
Energia Cinética por Mol 
Multipliquemos os dois membros da Eq.(2.19) pelo volume �, obtendo: 
 �� = D� 
� �� = �` 
� ��. (2.21) 
Com o auxílio da Eq. (2.10) encontramos o seguinte resultado: 
 �&� = �` 13 �� (2.22) 
 
 
�� &� = a
�b `��. (2.23) 
A eq. (2.23) nos revela que: 
 
“A energia cinética de translação por mol é proporcional à temperatura absoluta T do 
gás. ” 
 Este é o vínculo entre a grandeza macroscópica (temperatura) e um parâmetro 
microscópico (a energia cinética de translação por mol) para um gás ideal. É importante 
ressaltar que a velocidade de que falamos nas equações apresentadas é a velocidade 
das moléculas em relação ao centro de massa do sistema. Ao colocar, por exemplo, um 
cilindro de gás em movimento, a velocidade do cilindro não contribuirá para o aumento 
da energia cinética média e, portanto, não se traduzirá em aumento de temperatura do 
gás. Este fato é decorrente de nossa suposição inicial de que as moléculas se movem 
aleatoriamente, o que impõe que a velocidade do centro de massa do gás é nula. 
 
11 NOTAS DE AULA FUND. TERRMODINÂMICA E ONDAS Prof. Wagner A. S. Nunes CMDI 
Portanto, as velocidades das partículas devem ser calculadas num referencial onde o 
centro de massa esteja em repouso. 
Energia Cinética por Molécula 
 Veremos agora como a temperatura está relacionada com a energia cinética por 
molécula. Para isso fazemos a divisão em ambos os membros da Eq. (2.23) pela 
constante �% de Avogadro: 
 
32 &�% � = H12K �̀? �2 (2.24) 
 
 
32 �� = 12 0�2, (2.25) 
 
com auxílio da Eq. (2.9). Esta equação nos faz concluir que a energia cinética média de 
cada molécula é determinada pela temperatura. 
 Apliquemos a Eq.2.25 a dois gases diferentes à mesma temperatura. Para o gás 
cujas partículas têm massas 0
 e 0�, respectivamente, teremos: 
 � = 23� 0
�
�2 = 23� 0����2 . (2.26) 
 
 V�
���� = �
,SET��,SET = V0�0
. (2.27) 
 
 A Eq.2.27 pode ser aplicada à difusão de dois gases em um recipiente de paredes 
porosas colocado em um ambiente onde se fez vácuo. O gás mais leve escapará 
primeiro, pois suas moléculas se movem em média mais rapidamente que o mais 
pesado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 NOTAS DE AULA FUND. TERRMODINÂMICA E ONDAS Prof. Wagner A. S. Nunes CMDI 
EXERCÍCIOS 
1. O ouro tem massa molar de 197 c/0�1. (a) Quantos mols de ouro existem em uma 
amostra de 2,50 c de ouro puro? (b) Quantos átomos existem na amostra? 
2. Uma amostra de oxigênio com um volume de 1000 cm3 a 40,0°C e 1,01 × 105 Pa 
se expande até um volume de 1500 cm3 a uma pressão de 1,06 × 105 Pa. 
Determine (a) o número de mols de oxigênio presentes na amostra e (b) a 
temperatura final da amostra. 
3. O melhor vácuo produzido em laboratório tem uma pressão de aproximadamente 
1,00 × 10–18 atm, ou 1,01 × 10–13 Pa. Quantas moléculas do gás existem por centímetro 
cúbico nesse vácuo a 293 K? 
4. Um recipiente contém 2 mols de um gás ideal que tem massa molar M1 e 0,5 mol 
de um segundo gás ideal que tem massa molar M2 = 3M1. Que fração da pressão 
total sobre a parede do recipiente se deve ao segundo gás? (A explicação da teoria 
cinética dos gases para a pressão leva à lei das pressões parciais para uma 
mistura de gases que não reagem quimicamente, descoberta experimentalmente: 
A pressão total exercida por uma mistura de gases é igual à soma das pressões que 
os gases exerceriam se cada um ocupasse, sozinho, o volume do recipiente.) 
5. O recipiente A da figura, que contém um gás ideal à pressão de 5,0 × 105 Pa e à 
temperatura de 300 K, está ligado por um tubo 
fino (e uma válvula fechada) a um recipiente B 
cujo volume é quatro vezes maior que o de A. 
O recipiente B contém o mesmo gás ideal à 
pressão de 1,0 × 105 Pa e à temperatura de 
400 K. A válvula é aberta para que as pressões 
se igualem, mas a temperatura de cada recipiente é mantida. Qual é a nova pressão 
nos dois recipientes? 
6. A temperatura e a pressão da atmosfera solar são 2,00 × 106 K e 0,0300 Pa. 
Calcule a velocidade média quadrática dos elétrons livres (de massa igual a 9,11 × 
10–31 kg) na superfície do Sol, supondo que eles se comportam como um gás ideal. 
7. A 273 K e 1,00 × 10–2 atm, a massa específica de um gás é 1,24 × 1025 g/cm3. (a) 
Determine vrms para as moléculas do gás. (b) Determine a massa molar do gás e (c) 
identifique o gás (Sugestão: O gás aparece na tabela). 
 
13 NOTAS DE AULA FUND. TERRMODINÂMICA E ONDAS Prof. Wagner A. S. Nunes CMDI 
8. Determine o valor médio da energia cinética de translação das moléculas de um gás 
ideal (a) a 00 C e (b) a 1000 C. Qual é a energia cinética de translação média por mol de 
um gás ideal (c) a 00 C e (d) a 1000 C.