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VAR/VECM
Ouando as séries apresentam movimentos conjuntos, s erir›do uma
äo de Io razo entre elas, uma metodologia que leva em conta esta relaşäo (chamada de cointegraşäo) entre as sénes irá explicar melhor as distribuições subjacentes.
VAR (vetor	autoregressivo) é um modelo muito utilizado (quando trabalhamos com sen es econòmicas) para capturar a evoluçäo	e as interdependêricias entre múltiplas séries temporais, generalizando	o coriceito dos modelos auloregressivos univan ados para um espaço multivanado.
Um modelo VAR descreve a evoluçäo deste conjunto	de, digamos, k variáveis, sobre o mesmo perïodo de tempo como uma funçäo linear da sua evoluçäo passada.
Estes procedimentos	tratam as vanáveis de maneira simétrica - todas endógenas,	ao contrário do que acontece em modelos usuais de regressäo, onde as relações de causalidade são unilaterais "X causa Y ou Y causa X”. Estes métodos säo sistemas de equaşões simultâneas	que procuram captar esta rolação de interdependéncia entro as variáveis e que permitem avaliar o impacto de choques aleatórios (exógenos	— mudariças súbitas) sobre uma destas vanáveis (usando	as 1ur›ções de impulso resposta e a decomposiçäo da vanàricia da previsäo dos resíduos).
O modelo VAR (Vetores Auloregressivos) não estruturado capta relações de curto prazo (entre vanáveis estacionánas). Se as séries forem cointegradas e os resíduos estacionános costuma-se usar VECM(Vetor - Modelo de Correçäo de Erros) para captar relações de longo prazo. Resumidamente,	VECM é um caso especial do VAR (podemos vê-lo como um VAR restnto), aplicável quando as vanáveis no modelo säo I(1), isto é, necessitam ser diferenciadas para serem estacionánas e säo ainda cointeqradas (os resíduos da regressäo de uma sobre a outra säo estacionários, isto é, I(0)).
A metodologia irá nos ajudar em situações em que as relações de causalidade entre as variáveis econòmicas ocorrem de Korma simultânea, havendo um 'Tluxo	de influência	de mão dupla”.
Resumidamente, a metodologia VAR tern como caracteristica marcante considerar todas as variáveis como endógenas, formando um sistema de equações estimadas pelo Método dos Mínimos Ouadrados Ordinános Cada vanável endógena é explicada por seus própn os valores passados
(defasados) e pelos valores defasados de todas as outras vanáveis endógenas
do modelo. Tal metodologia é comumente	utilizada	para a construçäo de sistemas de previsäo de sén es temporais inter-relacionadas, bem como "para a análise dos impactos dinâmiœs dos distúrbios aleatórios sobre o sistema de variáveis que compõem o modelo”. Oueremos saber a fiajetória da variáve/ de interesse ante um choque estrutural exogeno nas outias variáveis.
Assim, técnicas de cointegraçäo	säo utilizadas em estimativas de regressões que envolvem	sénes temporais com o objetivo de preservar as relações dinàmicas de lorigo prazo entre as variáveis.
Matematicamente, o modelo VAR(1) (caso bidimensional) pode ser representado da seguinte forma:
onde y1 e		säo as vanáveis endógenas (PIB e irńaçäo, por exemplo)	no sistema e u1 e w säo os resïduos de cada equaçäo (os demais termos säo constantes	a serem estimadas).
'	denota a deper›dêricia linear de y1t em	,I-1 na preseriça de y1,t-1, isto é,
representa o efeito cor›dicionaI de	,i-1 SObre F1t dado	1,t-1. Se	' -0,	entäo	1t
não depende de	,i-1. Similarmente,	se *"-	—0, ewäo a segur›da equaşäo
mostra que	,t não depende de y1,t-1 quar›do	,i-1 é dado.
Se considerarmos as duas equações conjuntamente,	existirá uma relaçäo
unidirecional de y1t para	,t se	' -0	e	'	ż0. Se	' -	'	—0, dizemos que y1t
e	,t năo são "acopladas” e se	"	ż0 e	'	ż0, existe uma relação de '7eedback” entre as duas séries ( veja (1) abaixo).
Com base no modelo VAR(1) acima, podemos notar que há duas fontes de choques, y1 e	(duas vanáveis endógenas),	e quatro tipos de possíveis efeitos (as variáveis reagem a choques de umas nas outras):
· Choques de y1 para y1
· Choques de y1 para
· Choques de	para y1
· Choques de	para
Usando notaçäo matricial, os quatro casos podem ser resumidos como a seguir:
*Il	0
 	
0	‹l›„ 
+„	0
2	*
A extensão (VAR(p)) pode ser representada	(matricialmente) na seguinte forma:
onde y é um vetor de variáveis endógenas,	x	é um vetor de variáveis
exógenas, Â1,...,Ap e B representam matrizes de coeficientes a serem
estimados e *’	é um vetor de resíduos não correlacionado com seus próprios
vabres defasados e com todas as vanáveis do Iado direito da equação. Escrevendo	de maneira aberta, temos:
B
0	0
0	0
onde
0	. . .	0
A	0
Assumindo, por exemplo, que B-0	e p-1, podemos reescrever yt por:
{a demonstração
envolve	fazer as passagens recursivamente)	e C	*”'	. DãS ITlatrizes Ck nós
iremos obter duas quantidades de interesse: a função impulso resposta e a decomposiçao da variància da previsão dos resíduos.
As mesmas críticas feitas ao procedimento de Box and Jenkins continuam válidas, isto é, os modelos VAR são ateóri cos, não construídos com base em teoria econômica (não impondo, portanto, nenhuma	estMura	teórica nas equações). Nós deixamos os "dados falarem”, não nos esquecendo do que foi comentado anteriormente	sobre a decomposição de Wolf.
Apesar disto, os modelos VARs são úteis em muitos contextos:
1. Para previsão de um conjunto	de variáveis relacionadas onde não é necessári a nenhuma	interpretação	económica explicita;
2. Para testar se uma vari ável é útil para prever outra {a base dos testes de causalidade de Granger);
3. Analisar a função de impulso-resposta, onde buscamos avaliar a (trajetória)	a resposta de uma variável a uma mudança inesperada (porém temporária) em oulra variável;
4. 	Quando		queremos analisar a "decomposição da variâricia da previsão dos resíduos”,	onde a proporção da variância de previsão de uma variável	é atribuída ao efeito de outras variáveis.
Exemplo: Sejam as variáveis despesas e receitas orçamentárias de um determinado estado cointegradas, isto é, há a existência de relação de longo prazo entre receitas e despesas orçamentárias deste estado. Contudo, esta relação pode ser "rompida temporariamente” em caso de choques estruturais, causando desvios na relação de curlo prazo. Para que retornem à trajetóri a comum de longo prazo, será o vetor de correçao de erros que restabelecerá a relação de longo prazo entre elas.
Ter um entendimento	da relação intertemporal	entre receitas e gastos é importante para correçOe s necessárias de possíveis desequilíbrios fiscais em um estado. Os estados "arrecadam e gastam” ou "gastam e arrecadam” ou "há
um sincronismo fiscal (receitas e despesas são definidas simultaneamente)” ou ainda "há uma separação institucional”?
Imagine que temos interesse em analisar a dinâmica da arrecadação total do de um estado. O ICMS, por exemplo, é composto pelo somatório do ICMS Espontâneo, do ICMS Ação Fiscal e do ICMS Dívida Ativo. Por sua vez, o ICMS Espontâneo, além de ser o grande componente do ICMS Total, é o que, teoricamente, deve responder diretamente às variações da atividade econômica. Ele pode ser medido em termos primários com aproximações, que neste caso é o valor original do ICMS Espontâneo subtraído dos 'créditos a subtrair .
A fonte de dados do PIB estadual é oferecida por órgãos estaduais. As fontes de dados para as receitas, despesas e resultados fiscais dos estados são obtidas através dos relatórios (resumidos) de órgãos das secretarias das fazendas (órgãos que façam a execução orçamentária da Controladoria-Geral do Estado, etc...). As séries poderão ser deflacionadas pelo IPCA (ou outro indice) para algum ano de interesse.
O vetor de variáveis que possivelmente	podem ser utilizados no estudo é
composto por:
· Variaçã O do Produto interno	bMo (PIB Real) ou Variação do PIB estadual (MA): para analisar	a atividade econômica do pais ou do estado. A série utilizada poderá ser dessazonalizada;
· Taxa Selic, por ser o instrumento	de política monetária à disposição do Banco
Central do Brasil (BACEN);
Câmbio, medida da competitividade das exportações brasileiras;
IPCA, Índice Nacional dePreços ao Consumidor Amplo (% a.m.)	— IBGE:
utilizado para representar	a Inflação;
· ICMS;
· Outras: % de crescimento da Produção Industrial,	infração para anigos administrados.
Passos para a escolha do modelo
Enumeração	dos passos usuais utilizados	para a escolha dos modelos.
(1) Selecione cuidadosamente as variáveis er›dógenas.	Utilize as variáveis que medem com mais precisão os fenômenos	de interesse. Se omitirmos variáveis importantes	não poderemos interpretar adequadamente	os resultados (como as funções	de impulso resposta e decomposições da vanâricia).
(2) Faça gráf cos conjuntos (na mesma escala) para visualizar possíveis tendências e se elas possuem um padrão similar (checar visualmente indícios de cointegração);
Exemplo 1 :
 The equilibrium error: y, — z,
0
5
15
20
No gráfico à esquerda podemos ver que as duas séries se movem conjuntamente.	A direita vemos que uma combinação linear entre as duas séries tem um comportamento	estacionári o.
Exemplo 2: Neste caso temos um exemplo onde três séries são cointegradas, como podemos notar olhando	a combinação linear do gráfco à direita.
Y	—— y	+	« —— y	+	i ——	w + •w	The equilibrium error: y	z — wk
1
2
—2 - -
. ... -.
.	,•	,, .	.
,
•	• •
0	15
f	'	-1--
Exemplo 3: Neste exemplo	as séries não são cointegradas, como podemos reparar ao olhar o painel {c) (os resíduos da regressão não são estacionários, pois são aulocorrelacionados).
Regression of z, and y,
100
Panel {a)
2
1
-1
-2
—2	0	2	4	6
Panel (b)
Regression residuais20
Panel (cT
(3) Faça testes de raiz unitári a (os mais conhecidos são o ADF - Dickey- Fuller aumentado	- o PP (Phillips Perron) e o KPSS (Kwiatkowski, Phillips, Schmidt & Shin)). Se necessário defasar as séries para que a estacionariedade seja uma hipótese razoável.	Fazemos isto porque para usar um VAR não restrito as séries precisam ser estacionárias.
Se todas as séries forem inicialmente I(0), deve-se estimar um modelo VAR sem diferenciar as séri es.
Obs: requer algum julgamento	sobre a especifcação{sem constante,	com constante, tendência deterministica e constante, tendência quadrática e constante,	etc...).	Costumamos analisar o gráfico das diferenças para ver possíveis características.
(4) O	próximo	passo	é realizar	um		teste de coiwegração		(Engle-Granger, por	exemplo)	para	determinar	se	há	e	quantos	são	os	números	de
vetores de cointegração do sistema (caso as séries não sejam I(0)). A hipótese nula é de que existem vetores cointegrantes. Se aceitarmos a hipótese, utilizamos o modelo VECM para estimar as relações de longo prazo entre as vari áveis. Caso contrário, um tratamento com o modelo VAR é suficiente.
Em outras palavms, para fazer o teste precisamos estimar o vetor de co-integração e testar a estacionariedade dos seus resíduos. Se rejeitarmos a hipótese de não estacionariedade dos resíduos, aceitamos que as séries são cointegradas e estimamos um VECM.
Resumidamente,	existe evidência de uma relação de cointegração se:
{a) A hipótese de raiz unitária não é rejeitada para as variáveis individuais e;
(b) A hipótese de raiz unitária	é rejeitada para os resíduos da regressão de cointegração.
(5) Estime o número apropriado de lags, isto é, a ordem p "ótma” do modelo VAR/VECM {usando critérios de informação para a seleção - AIC, BC,	HO, etc...)	e na sequência estimar o modelo	mínimos quadrados (é comum adotarmos um procedimento "top down” a fim de encontrar	um modelo mais parcimonioso	usar critérios de informação para a seleção do mesmo).ao
Obs: A escolha é importante para identifcar as relações de causalidade entre as variáveis existentes no VAR, assim como no VEC.
Obs 2: Podemos incluir dummies sazonais no modelo.
(6) Diagnósticos (checar se não há correlação serial nos resíduos		o que seri a um sinal de que o modelo não é adequado). Usualmente,	usamos um teste de Portmanteau.	Podemos também checar se há indícios de outras características, tais como heterocedasticidade condicional (fazendo um teste ARCH — isto é importante	se queremos estimar intervalos de confiança)	e a presença de outliers.
(7) Se o ajuste	for adequado, então obtemos previsões e fazemos inferências acerca das relações dinàmicas entre as variáveis. Usamos a função de impulso-resposta e a decomposição da variâricia da previsão (quanto da van ação é devida a variação de cada vanável). A ideia destas últimas medidas é fazer o acompanhamento do impacto de um choque em uma destas variáveis nela mesma e nas demais que compõem o sistema (podemos estimar o que acontecerá no próximo mês, após dois meses e assim por diante).
(8) Causalidade de Granger para testar quais variáveis reagem a choques de umas nas outras (testar relações de interdependência unidirecionais e bidirecionais).
Apêndice
· Dickey-Fuller: Seja	'	*	’—’ “	”’ , t=1,...,T e assuma que	*'-1, isto é, a séne apresenta raiz unitán a. Podemos reescrever o processo por
"	“	’—1+	”*	onde	— *	-1. Dickey e Fuller (1979) consideraram as seguintes equaşões para simular as estatïsticas utilizadas no teste:
Sob Ho: —0, a primeira formulaçäo desconsidera a existêricia de um intercepto e uma tendêricia t determinística, a segunda considers uma tendência deterministica e um intercepto (Yo) {podemos mostrar isto resolvendo recursivamente) e a terceira uma tendência quadrática além do intercepto.
Para enter›der o último caso {por exemplo), reescreveremos recursivamente as equações. Por exemplo, para o terceiro iremos encontrar:
O teste ADF (Dickey Fuller Aumentado é uma extensäo para mais lags). Usualmente,	podemos olhar o gráfco da série temporal para ter uma ideia. Mais objetivamente, na dúvida devemos estimar todas as possibilidades e comparar os critérios de informaçäo.
· Modelo de Correçäo de Erros (ECM) também capta relações de curto prazo entre as variáveis contidas no modelo. Além disso, ele indica contém um termo conhecido por '1ermo de correção” que indica a velocidade de ajustamento	de qualquer desequilibn o de curto prazo em direçäo a um estado de equilíbrio de longo prazo, isto é, faz a ligaçäo entre os aspectos relacionados à dinàmica de curto prazo aos de longo prazo (separa a relaçäo de curto e longo prazo entre as vanáveis). lgnorar	este canal adicional nos conduzirá	a uma inadequada análise causal (se o sistema for cointegrado, as estimativas de impulso-resposta que não levem isto em consideraçäo serão iriconsistentes e os intervalos de confiança näo terăo a cobertura correta para honzontes	longos).
Os coefcientes podem ser interpretados como estimativas das relações de curto prazo {causalidade)	e de longo prazo {cointegraçäo).
Exemplo: Se o valor do termo de correçäo for -0.2, isto significa que a velocidade de ajustamento	para o equilibrio é de 20% por periodo (velocidade até acontecer o ajuste para o longo prazo).
Por outro ângulo,	um modelo vetorial de correçäo de erro (VECM) é um VAR restrito que tern restnções de cointegraşäo na sua especifcaçäo, de modo que ele é projetado para uso com as séries não estacionánas que säo cointegradas	{se os processos säo de fato cointegrados, entäo a contabilizaçäo destas restnções irá aumentar	a efciência dos estimadores). A especificaçäo VEC restfinge o comportamento	de longo prazo das variáveis endógenas para convergir para as suas relações de cointegraçao,	ao mesmo tempo em que permitem uma ampla gama de dinàmicas de curto prazo. O termo co-integraçäo é conhecido como o termo de correçäo de erro uma vez que o desvio do equilibno de longo prazo é comgido gradualmente	através de uma série de ajustes de curlo prazo parciais. Esta sutilezaAexibilidade de um VEC é a sua principal vantagem	em relaçäo a um VAR cujas séries foram diferenciadas.
· Testes de Portmanteau
A estatïstica 0(m) De Ljung-Box	(univanada)		foi generalizada para um caso multivanado	{Hosking (1980), (1981); Li and McLeod (1981 )). Para uma sene multivanada,		a hipótese nula é H	:	'	'	'		' '	e a altemativa
H	para algum i e (1,...,m).
· Funçäo de Impulso	Resposta eDecomposiçäo da Variància
A investigaçäo empïnca dos efeitos que uma vanável exerce na outra se baseia na análise de suas sénes temporais, especifcamente, dentro deste frame work, na análise de funções de impulso resposta e decomposiçäo da variância fomecidas por um Vetor Aulo-Regressive (VAR) ou um por VECM.
Utilizando	a fur›çäo	impulso-resposta, é possïvel visualizar	a resposta de uma determinada vanável a um choque especïfco nas inovaçoes (resíduos)	do modelo (aumento de uma unidade), enquanto	os demais choques permanecem constantes.	Ademais, é possïvel observer em quanto tempo o choque se dissipa para retomar a trajetón a estável de longo prazo (correçäo de erros). Em outras palavras, as fur›ções mostram os efeitos de choque sobre a trajetória de ajustamento	das vanáveis (como as vanáveis endógenas do modeb se comportam quando há um choque em uma van ável endógena especïfica).
Resumidamente, as fur›ções de impulso-resposta podem ser utilizadas para avaliar os efeitos de políticas públicas (säo ferramentas usadas para analisar efeitos de mudar›ças de patamar das van áveis (choques)).	Por exempb, qual o
impacto no produto, na demanda por trabalho, na oferta de trabalho e nos salários quando o desemprego aumenta	1%? Ouanto		tempo as variáveis demoram para se ajustar	a uma mudança?	Ouanto maior for a sensibilidade entre as variáveis, maior será o repasse. No entanto,	o repasse não é instantâneo	porque a transmissão não é completa e demora a se ajustar.
Decomposição da variâr›cia da previsão dos resíduos (FEVD) mede a contribuição de cada tipo de choque para a variância do erro de previsão. Assim como as funções de impulso-resposta, a FEVD é útil para avaliar como choques em variáveis econõmicas repercutem	através de um sistema. Em outras palavms, a FEVD serve para indicar a responsabilidade de cada uma das variáveis na explicação da variâricia de todas as variáveis do sistema, após um choque, servindo como "classificação” da importância relativa de cada variável na determinação dela mesma e das demais.
Exemplo: Função Impulso-Resposta.
Seja Yt= pYt-1	-F	. Suponha	Y —0, entãO Y1= |DY0	-F V1=V
Suponha	que nós experimentamos outros choques e que v2- w—...-0
EntÕO,	2	pY1	|Dv,	Y = pY2	=p (pY1)- pé	e assim por diante
O caminho temporal de Y após o choque será v, pv, pé,	p*v,.	Os
coeficientes 1, p, p2, p*,..., são chamados de "multplicadores”.	Se, por exemplo, p =0.9 e nós temos um choque v de uma unidade, o caminho
temporal de Y deve ser 1 (choque	inicial), .9, .81, .729,...Este	caminho temporal é chamado de Ipulso-Resposta.
No exemplo acima, há um decaimento	exponencial, pois o processo é um AR(1) (utilizado	apenas porque é simples para visualização do caminho temporal).	Em modelos mais complexos	os pontos máximos dos choques não são comumente no primeiro periodo após o choque.	Por exemplo, na tabela abaixo notamos que 11.89% do choque na taxa de câmbio é repassado para o IGP-M no primeiro periodo (coluna	(2)), porém o ponto máximo é de, aproximadamente, 29.84% no segundo período e, na sequência, o choque começa a se dissipar. Já o repasse do câmbio para o IPCA (coluna	(3)) é negativo no primeiro período (há uma redução de 4,89% aproximadamente)	e é precedido por dois aumentos positivos (8,09% e 10.68%)	então
começa a diminuir.
Nota-se também que o IGP-M reage de maneira mais intensa do que o IPCA a choques cambiais {estes resultados são encontrados	na literatura). Sabe-se que as transmissões das
variações cambiais não são completamente	repassadas para índices de
preços, mas que as reações do IGP-M são mais rápidas e mais intensas a choques na taxa de câmbio do que as do IPCA. A sensibilidade do IPCA é menor no curto prazo porque o repasse cambial apresenta uma rigidez maior para bens inclusos neste índice e também porque o ajustamento	(repasse) de preços feito pelas frmas não instantâneo	para os consumidores.	O IGP-M é
mais sensível,	pois o índice dá mais peso dO que o IPCA aos e1eitos sobre o produtor e as 1irmas so1rem mais impacto por causa da demanda de bens ’1radables” para produção.
	C*n1tiio - IGP-II - IPC.fi
	Perio‹1o
	
	
	
	0.1ISS6?
	-0.0169?
	2
	0.29S??7
	0.090S@
	3
	0.267	63
	0.10?7	9
	4
	0.22?097
	0.096267
	
	0.1?0?6a
	0.07Ü2J2
	
	0.067t23
	0.0?0S-t9
	
	0.041634
	0.030472
	
	0.012SZ
	0.01F621
	9
	-0.0027
	0.00599
	
	—0.000?1
	0.000490
· Causalidade de Granger
Quando trabalhamos	com séries temporais multivari adas, muitas vezes gostaríamos de saber se as alterações em uma variável terá um impacto sobre alterações em outras vari áveis.
Se duas variáveis	são I(1)	coiwegradas, então no mínimo há causalidade de uma direçáo, istO é, pelo menos uma delas ajuda a prever a Outra.
Para determinar o posto de coinlegração, digamos r, nós 1azemOs testes sequenciais (para 1rente). Primeiramente, nós tentamos a hipótese de que r-0 contra r*1 para determinar se existe pelo menos uma relaçáo de cointegraçáo. Se aceitarmos a hipótese nula, entáo nós podemos simplesmente usar um VAR das séries di1erenciadas. Caso contrário, nós 1azemos um segundO leste: Ho: 1 vs H1: r*2 e assim por diante até aceitarmos a nula. Neste caso, estimamos um VEC Com o menOr posto (número de vetores de cointegração) cuja nula 1oi aceita e procedemos para o cálculo das funções de impulso resposla (IRFs) e decOmposição da variância (FEVDs) COITIO 1arÍalTIOs se eslivéssemos usando um modelo VAR.
Resumidamente, as interências baseadas na 1unção impulso-resposta, na decompOsiÇãO da variância e o teste de causalidade de Granger são
particularmente interessantes	para	entender	o mecanismo	dinàmico	entre	as vanáveis do sistema.
Exemplo 1: Estudo de Caso
Esta seção contém um exemplo com quatro variáveis: M3 é a oferta de moeda, Y é um índice de produção industrial,	R é uma taxa de juros considerada livre de risco (taxa de 3 meses do tesouro americano) e P é um índice de preços ao consumidor. O modelo monetário	é dado por M3
f(Y,R,P)
Passos usuais utilizado na seleção dos modelos tratados neste resumo:
· Carregar e transformar	os dados (até que rejeitemos a hipótese de não
estacionariedade).
· Particionar os dados transformados	em amostra de treinamento	e teste para fazer um experimento	"backtestng”.
· Procurar os melhores	modelos e ajustá-los	com base na amostra.
· Fazer previsões com base no modelo final escolhido.
(1) Primeiramente carregamos os dados para o software de nosso interesse. No exemplo em questão, a frequência dos dados é mensal (frequência,	inicio e final dos períodos necessitam ser escolhidos).1N0M1
t980M4
198OMS
t980/d6
I3J2
13.SO
i3
30130
31 57
47
13J9
47
1980M11
13
13.S6
1981M1
13
9t2780
2IAI8M10
IOF.35
(2) Se queremos obter a elasticidade da oferta de moeda em relação as outras vanáveis, podemos transformar	as vanáveis em escala logarítmica (serve também para diminuir a volatilidade das vanáveis, já que é uma transformação	côricava).
(3) Teste se as séri es possuem raiz unitári a	o teste ADF — o lag ótimo costuma ser automaticamente selecionado nos softwares
utilizando	algum critério existente na literatura).	É necessário decidir a especificação(com constante,	com constante	e tendência, etc...).
Caso a hipótese nula	seja aceita, fazemos os testes na primeira diferença e assim por diante.
Obs: Podemos fazer outros testes de raiz unitária (Phillips-Perron (PP), por exemplo.
(4) Fazer um teste de cointegração das séries (Engle-Granger	ou Johansen).	É necessário definir o lag ótimo (os softwares selecionam automaticamente ao mesmo estilo do que comentamos	em (3)).
(5) Assumindo que aceitamos a hipótese nula do teste o próximo passo será estimar um modelo VEC. Caso contrário, um tratamento adequado seria dado por um modelo VAR.
(6) Após estimar o modelo fazemos testes de Diagnósticos.
(7) Fazemos agora um teste de causalidade (Granger).
Obs: O software utilizado neste exemplo foi o EViews(Econometric Views).
(8) Se o ajuste for adequado, então obtemos previsões e fazemos
inierêricias acerca das relações dinâmicas entre as vanáveis.
Exemplo:
10iXi000
[- J fi4T7 I
(3f'49AJ)
[•G SU 21|
D ILU3(• 11i
O modelo encontrado	(estimado) é:
0.O B508
0. D00584
0. \ 4J08
0.39 T5n
UD0807›
O}00O¥2>
O.JD}OX
(0.04{í&
€.04B81
° Esse '
0DM5Ü
°	2 "	! '
-0€a'*
°	' re '
D6
'°s !
J35
! '°
LM3„ = -5.0146 + 3.ã031 LP,., + 0	3 LR,. +0J357 LY„
		
onde LM3 representa o logaritmo da oferta de moeda (L represerta o logaritmo). No exemplo acima, os coeficientes, com base nesta amostm, são significativamente diferentes de zero.
£gLR)	12
i2
12
119081t	¥2
 f2
0.S018
617M
0.0246
	
-0.O*8'*
98"
[0.020]
[9.25Ç
39” [0.0?4J
[0
*3.93*• [0
[0
I?.93
0.t I
0.173
Os canais de transmissão, com base no modelo estimado e nesta amostra, podem ser resumidos como abaixo:
MU	L¥
(9) Os resultados indicam as direções de exogeneidade ou endogeneidade dentro do sistema VECM durante	o periodo amostrado {dentro da amostra), mas não nos fornecem as propriedades dinâmicas do sistema. A análise da dinâmica das interações entre as variáveis fora da amostra é realizada por meio das funções impulso resposta (IRFs)	e das decomposições das variâricias. Seguem algumas tabelas contendo os resultados e gráfcos:
Decomposição da V ariância para um periodo de até 10 meses.
S.E.	LP	LY
	t
	0.0Q'2g7
	\‹¥l.OVO
	0.DX¥t00
	0.fXX¥XQ
	0.0Jf¥¥0
	2
	0 012581
	N.50571
	0 23?53s
	7. \5E-0e
	0. t00753
	3
	0 015438
	@,@1ã3
	0242707
	0.022763
	0.233302
	4
	0.0103õ'0
	@.21271
	0.474ô37
	0.134ô48
	1. t741D3
	
	0
	BA.WOW
	13*D'Ia7
	1.1177M
	2.02O?'3
	
	0023737
	9T.0T041
	2388\63
	\.674 B}
	4,0202QI
	7
	0.026313
	88.11711
	2.S70382
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	0.013545
	
	89. \0389
	2.W\para		trás, backward)	três usando		o AIC para o modelo multivanado. Como cada equaçäo tern	as		mesmas	vanáveis	no		lado	direito	da		equaçäo,	Mínimos	Ouadradosao
Ordinários (MOO) é uma técnica de estimaçäo eliciente.
Uma vez que o VAR foi estimado, podemos proceder diretamente para testar a causalidade entre as variáveis. Considere os seguintes F-testes (com níveis de signilicâricia entre parênteses)
Todos os coelicientes de Â11(L) — 0: 38,49 {0,000)
Todos os coefcientes de A12(L): 0	1,86 (0,159)
Todos os coefcientes de A21(L): 0 -	3,36 (0,015)
Todos os coeficientes de A22(L) — 0: 25,64 {0,000)
As estatisticas F para Â11(L) e A2(L) são, como esperado, altamente significativas, indicando que cada variável é útil para prever os seus própri os valores futuros. A estatística F para a hipótese nula de que o terrorismo transnacional causa Granger o terrorismo doméstico é 1,86. Dado o p-valor de 0,159, não há evidências sTcientes para refutar a não causalidade. O resuXado importante no estudo é que o terrorismo doméstico causa Granger o terrorismo transnacional (p-valor 0,015). Isto é, com base nas séries temporais, há evidências razoáveis para considerar que as duas séries não possuem trajetórias independentes. A explicação para esta causalidade univariada é que os corhitos começam localmente, mas, ao longo do tempo, podem se espalhar para incidentes transnacionais.
Com base nos achados do parágrafo anterior, o próximo passo (assumindo que testes de diagnóstico foram efetuados) é verifcar a importância das interações entre as duas séries. Para tanto vamos obter as decomposições da variância e as funções de impulso-resposta.
A tabela a seguir apresenta o percentual da variâricia do erro de previsão explicada por cada choque para 1-, 4-, 8-, e 12 meses de horizontes de peisao:
•a Vanance of dom,	•a var‹ance of transa
Shock to transa	Shock to dama	Shock to transa
	1—Step ahead
	1000
	0.0
	3.1
	96.9
	4—Steps ahead
	97.9
	2.1
	t1.ü
	88.4
	8-Steps ahead
	98.1
	1.9
	24.9
	75.1
	t2—Steps ahead
	97.6
	2.4
	33.g
	66.4
Como seria de esperar, cada uma das séries explica predominantemente os seus próprios valores passados e isto tem um peso maior quanto mais curto é o horizonte de previsão. Por exemplo, para uma previsão de quatro passos à frente no hori zonte, o terrorismo doméstico explica 97,9% da sua variància do erro de previsão, enquanto o terrorismo transnacional explica 88,4% da sua variâricia do erro de previsão. Ouando o horizonte de previsão se expande, o efeito de choques transnacionais na variâricia de domt permanece pequeno. No entanto, depois de 12 trimestres, domt explica 33,6% da variància do erro de previsão do terrorismo transnacional. Não somente a causalidade parece ter efeitos unidirecionais (i.e, terrorismo doméstico causa Granger o terrorismo transnacional), mas também o efeito do terrorismo doméstico sobre o terrorismo transnacional parece ser substancial.
A	fgura	a	seguir	mostra	as	funções	impulso-resposta	dos	quatro	possíveis choques:
Domemc
Responses to
	
	
 	.	
	
.	
	
.	
	
.	
	
.	
	
.	
	
.	
0	2	4	6	8	TO	T2	16	16
0	3	4	6	8	10	t2	\4	16
Trartsrtational
A resposta ao terrorismo doméstico para um choque no seu próprio desvio- padrão (igual a 48.15 incidentes por trimestre) é mostrada no painel superior à esquerda. Note que a resposta é persistente e continua a ser estatisticamente significativa por 11 trimestres. O painel superior direito mostra que a resposta do terrorismo doméstico a um choque transnacional nunca é significativa. O efeito de um choque interno sobre o terrorismo transnacional é mostrado no painel esquerdo inferior. Note que no início o nível de terrorismo transnacional salta por cerca de dois incidentes por trimestre e continua a ser significativo durante 17 trimestres. A soma acumulada de todos os incidentes transnacionais em resposta a um choque de terrorismo interno {isto é, a soma das respostas ao impulso) é de 34,29 incidentes. A resposta do terrorismo transnacional para um choque no seu próprio desvio padrão é mostrado no painel inferior direito da fgura anterior. Em comparação com o terrorismo doméstico, as respostas não são tão persistentes. Depois de um salto inicial, há um declínio acentuado nas respostas ao impulso de maneira que eles se tomam insignifcantes (estatisticamente iguais à zero) após sete trimestres.
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