FUNDAMENTOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA

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FUNDAMENTOS DO ENSINO DE 
MATEMÁTICA 
 
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NOSSA HISTÓRIA 
 
 
A nossa história inicia com a realização do sonho de um grupo de empresários, 
em atender à crescente demanda de alunos para cursos de Graduação e Pós-
Graduação. Com isso foi criado a nossa instituição, como entidade oferecendo 
serviços educacionais em nível superior. 
A instituição tem por objetivo formar diplomados nas diferentes áreas de 
conhecimento, aptos para a inserção em setores profissionais e para a participação 
no desenvolvimento da sociedade brasileira, e colaborar na sua formação contínua. 
Além de promover a divulgação de conhecimentos culturais, científicos e técnicos que 
constituem patrimônio da humanidade e comunicar o saber através do ensino, de 
publicação ou outras normas de comunicação. 
A nossa missão é oferecer qualidade em conhecimento e cultura de forma 
confiável e eficiente para que o aluno tenha oportunidade de construir uma base 
profissional e ética. Dessa forma, conquistando o espaço de uma das instituições 
modelo no país na oferta de cursos, primando sempre pela inovação tecnológica, 
excelência no atendimento e valor do serviço oferecido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................. 4 
Modelos de tendência para o ensino de matemática ............................................. 7 
História da matemática ........................................................................................................... 7 
Etnomatemática .................................................................................................................... 12 
Matemática crítica ................................................................................................................ 14 
Modelagem matemática ....................................................................................................... 15 
Resolução de problemas ....................................................................................................... 16 
A matemática no cotidiano ..................................................................................... 17 
Aprendizagem significativa em matemática ......................................................................... 17 
A importância da matemática para o desenvolvimento humano – a visão psicogenética de 
Piaget .................................................................................................................................... 18 
A educação matemática no ensino fundamental ................................................................. 22 
Modos de pensar a matemática ............................................................................. 23 
Logicismo .............................................................................................................................. 24 
Intuicionismo ........................................................................................................................ 25 
Formalismo ........................................................................................................................... 26 
Referências .............................................................................................................. 29 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Introdução 
Para início de conversa vamos definir fundamentos? 
Base, alicerce, conjunto de regras básicas de organização e funcionamento de 
um estabelecimento, organização, disciplina. 
Em outras palavras, a reunião dos conhecimentos ou daquilo que sustenta uma 
teoria, no nosso caso, a matemática! 
Resolução de problemas, divisão, fração, raiz quadrada, equação, geometria, 
expressões numéricas, gráficos, números decimais, porcentagem, tabuada, sistema 
de numeração, mínimo múltiplo comum, conjuntos, trigonometria, geometria analítica, 
funções, número imaginários, logaritmos, número negativos... Ufa! Estes são apenas 
alguns dos conhecimentos que precisamos para compreender, aplicar e ensinar 
matemática. 
 
Figura 1 - O mundo da matemática 
Não, a matemática não é um bicho de sete cabeças! Não é confusa! Não é um 
problema! É caminho para resolução destes, faz parte do nosso cotidiano desde que 
nascemos. Um dia foi somente a ciência do número e grandeza, mas felizmente hoje 
é uma ciência que relaciona o entendimento coerente e pensativo com situações 
 
5 
práticas habituais e compreende uma constante busca pela veracidade dos fatos 
através de técnicas precisas e exatas (RAMOS, 2017). 
Cunha (2017) reforça que a matemática está presente em todos os segmentos 
da vida e em todas as tarefas executadas do nosso dia a dia, seja na compra de um 
simples pão como na aplicação de um grande investimento financeiro. Assim, ao 
acordar, o despertador expressa as horas utilizando o princípio da contagem do 
tempo, quando fazemos uma refeição utilizamos o conceito da proporção, e assim por 
diante. 
Como ramo de estudo, a área de fundamentos da matemática está intimamente 
ligada com a educação matemática que tenta descobrir quais são os axiomas e as 
definições mais elementares da matemática, e que regras de inferência são aceitáveis 
ao se trabalhar com tais axiomas. Suas principais vertentes são o Intuicionismo, o 
Formalismo e o Logicismo. 
Fundamentos da matemática é uma expressão cujo significado consiste no 
estudo de conceitos básicos da matemática, como números, figuras geométricas, 
conjuntos, funções, e como eles formam hierarquias de conceitos e estruturas mais 
complexas, especialmente estruturas importantes da linguagem matemática (teorias 
como a dos modelos, propondo um significado para fórmulas, definições, provas, 
algoritmos). Também chamado conceitos da metamatemática, com um olhar para os 
aspectos filosóficos e da unidade matemática. A pesquisa por fundamentos da 
matemática é uma questão central da filosofia da matemática; a abstração da natureza 
dos objetos da matemática presenteia especialmente desafios filosóficos. 
O ensino da Matemática é fundamental na formação humanística e o currículo 
escolar deve levar a essa boa formação, logo o ensino da matemática é indispensável 
para que esta formação seja completa. Nas palavras de Souza (2001, p. 27): 
O ensino de Matemática é importante também pelos elementos enriquecedores 
do pensamento matemático na formação intelectual do aluno, seja pela exatidão do 
pensamento lógico-demonstrativo que ela exibe, seja pelo exercício criativo da 
intuição, da imaginação e dos raciocínios indutivos e dedutivos. 
Pois bem, devemos ter em mente que a escola é: 
 
6 
1º - O lócus, por excelência, que deve ter como meta levar os alunos a serem 
capazes de relacionar adequadamente várias informações, fatos, conhecimentos e 
habilidades para enfrentar situações-problema. 
2º - O conhecimento matemático não deve se consolidar como um rol de ideias 
prontas a serem memorizadas, indo muito além disso. O ensino de matemática deve 
conduzir os alunos à exploração de uma grande variedade de ideias e de 
estabelecimento de relações entre fatos e conceitos de modo a incorporar os 
contextos do mundo real, as experiências e o modo natural de envolvimento para o 
desenvolvimento das noções matemáticas com vistas à aquisição de diferentes 
formas de percepção da realidade (MIGUEL, 2003). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Modelos de tendência para o ensino de matemática 
 
As tendências pedagógicas mencionam às concepções teóricas dos modelos 
pedagógicos que, são estruturadas para qualquer tipo de saber, inclusive o 
matemático. Elas foram elaboradas por Dermeval Saviani (1991) que desenvolveu um 
esquema lógico baseado na criticidade. As teorias foram classificadas em: “teorias 
não-críticas” e “teorias críticas” 
A partir dos conhecimentossobre as tendências pedagógicas, os responsáveis 
pelo ensino da matemática, propõem que o ensino não poderia mais continuar dentro 
dos moldes tradicionais, e partiram para a busca de alternativas que colocassem o 
processo de ensino e aprendizagem dentro das práticas pedagógicas em sintonia com 
modelos mais atuais de educação. 
Desta forma, existem cinco modelos de tendências para o ensino de 
matemática que são denominadas: História da Matemática, Etnomatemática, 
Matemática Crítica, Modelagem Matemática e Resolução de Problemas. 
 
História da matemática 
Por que começarmos nossos estudos pela história? Muito simples: 
Porque enquanto ciência, a história nos leva a conhecer a vida do homem ao 
longo dos tempos, ou seja, a nossa vida, a nossa evolução. O que nossos ancestrais 
fizeram, pensaram e sentiram enquanto seres sociais que somos. Igualmente os seus 
erros e acertos, as mudanças de rumo que precisou tomar para chegarmos ao 
presente. 
Gasperi e Pacheco (2007) explicam que por meio da história da matemática, 
pode-se verificar que a matemática é uma construção humana, foi sendo desenvolvida 
ao longo do tempo e, por assim ser, permite compreender a origem das ideias que 
deram forma à cultura, como também observar aspectos humanos de seu 
desenvolvimento, enxergar os homens que criaram essas ideias e as circunstâncias 
em que se desenvolveram. 
 
8 
De acordo com D’Ambrosio (1999, p.97): 
 
As ideias matemáticas comparecem em toda a evolução da humanidade, 
definindo estratégias de ação para lidar com o ambiente, criando e 
desenhando instrumentos para esse fim, e buscando explicações sobre os 
fatos e fenômenos da natureza e para a própria existência. Em todos os 
momentos da história e em todas as civilizações, as ideias matemáticas estão 
presentes em todas as formas de fazer e de saber. 
 
O conhecimento da história dos conceitos matemáticos precisa fazer parte da 
formação dos professores para que tenham elementos que lhes permitam mostrar aos 
alunos a Matemática como ciência que não trata de verdades eternas, infalíveis e 
imutáveis, mas como ciência dinâmica, sempre aberta à incorporação de novos 
conhecimentos (BRASIL, 1997, p. 30). 
Mas estas discussões acerca da formação de professores deixaremos para 
mais adiante. 
 
Egito antigo, Mesopotâmia: é lá que podemos estabelecer as bases da 
matemática! 
Os mesopotâmicos usavam como suporte para sua escrita placas de argila, 
que eram marcadas com estilete e, em seguida, eram cozidas ou secas ao sol para 
aumentar sua durabilidade. 
 
Figura 2 – Tabuleta √ 2 
 
9 
Milhares de tabuletas com escrita cuneiforme chegaram aos nossos dias e 
vieram à luz através de pesquisas arqueológicas empreendidas desde o século XIX. 
Muitas delas contêm conteúdo matemático e vieram a funcionar como preciosas 
fontes para analisar o estágio do conhecimento matemático da civilização 
mesopotâmica. 
As raízes matemáticas já eram usadas no Egito Antigo e na Babilônia. 
Começaram a ser estudadas com a necessidade de inverter a operação de 
potenciação, em problemas de área e volume. Por exemplo, um quadrado com 5 m 
de lado, qual é a sua área? Nesse caso, para achar a área, usamos a potência (5m)² 
= 25 m². E, se nos for dada a área, 25 m², e quisermos saber quanto mede o lado, 
usamos a raiz quadrada de 25 que é igual a 5. 
A palavra radix, que em latim significa raiz (lado do quadrado), foi abreviada 
para Rad e, depois, passou-se a usar apenas R, acompanhado de q para raiz 
quadrada e de c para raiz cúbica. Então, dizia-se que o lado do quadrado 25 é igual a 
5. Desse modo, Rc 27 significava , que é 3. Por fim, o R acabou virando 
. 
Esse símbolo de raiz apareceu pela primeira vez em 1525 no livro de álgebra 
Die Coss (As coisas) de autoria de Christoff Rudoff (1499-1545), porém sem os índices 
que indicavam se era raiz quadrada, cúbica, etc. (RAMOS, 2003). 
Para os egípcios, de fato, foram as necessidades práticas que serviram de 
estímulo para o desenvolvimento da sua matemática. 
A partir do ano 3000 a.C., inicia-se um período de grande desenvolvimento da 
engenharia, em que a face mais visível é a construção de pirâmides e de outros 
monumentos grandiosos. A maior das pirâmides, a grande pirâmide de Quéops, 
construída por volta do ano de 2550 a.C., tinha originalmente 146,6 m de altura (o que 
equivale a um prédio de 49 andares) e foi, até cerca do ano 1300 d.C., a mais alta 
estrutura erguida pelo homem. Sua construção envolveu n´níveis de precisão 
 
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surpreendentes: sua base é quadrada, com um erro de 1/14000 do comprimento total, 
na medida do comprimento, e um erro de 1/27000 de um ângulo reto, na medida do 
ângulo. 
No entanto, sugestões de que as pirâmides guardavam em suas proporções 
sinais de um conhecimento matemático ainda mais avançado — sugere-se, por 
exemplo, que a pirâmide de Quéops tenha sido intencionalmente construída de forma 
que a razão entre o perímetro da base e sua altura fosse de 2π — parecem 
infundadas. De todo modo, o desafio lançado pela engenharia gerou necessidades 
que fizeram impulsionar o estoque de conhecimentos matemáticos da civilização 
egípcia. 
Muitos dos registros da civilização egípcia chegaram aos nossos dias em 
papiros, alguns deles de conteúdo matemático. O papiro era produzido cortando-se 
em finas tiras a parte interna do caule da planta de mesmo nome, planta esta 
abundante no vale do rio Nilo. Essas tiras eram sobrepostas e cruzadas, para em 
seguida serem prensadas, formando folhas que, coladas a outras folhas, formavam 
uma longa fita que depois era disposta em um rolo. Os papiros eram grafados por 
escribas em escrita hierática, uma simplificação da escrita hieroglífica mais adequada 
à escrita corrente. Ambas eram compostas de símbolos, porém a escrita hieroglífica 
tinha caráter pictórico e era mais usada em monumentos. O papiro de conteúdo 
matemático mais célebre é o Papiro de Rhind, adquirido pelo egiptólogo escocês 
Alexander Rhind em 1858 e datado de cerca de 1650 a.C. 
Com mais de 5 m de comprimento e 33 cm de largura, é possivelmente o melhor 
registro da matemática egípcia. Foi copiado por um escriba de nome Ahmes de um 
texto matemático mais antigo. Contém 84 problemas de geometria e de aritmética 
acompanhados de soluções. Entre os problemas aritméticos, há estudos de frações 
unitárias e de equações lineares e entre os problemas de geometria, há o cálculo de 
volume de silos de base circular e retangular e cálculo de áreas. 
 
11 
 
Figura 3 – Matemática no Egito Antigo 
Da Grécia Antiga, Tales de Mileto, o criador da geometria dedutiva, nos legou 
que: 
 Todo círculo é dividido em duas partes iguais por seu diâmetro. 
 Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais. 
 O ângulo inscrito em um semicírculo é reto. 
 Quando duas retas se interceptam, os ângulos opostos são iguais. 
 Os lados de triângulos semelhantes são proporcionais. 
 Dois triângulos são congruentes se possuem dois ângulos e um lado iguais. 
 
Ainda dos tempos antigos, na Grécia Antiga, Pitágoras (570-495 a.C.) propunha 
teoremas do ponto de vista abstrato e intelectual e, sem dúvida, o resultado mais 
famoso atribuído à Escola Pitagórica é o que hoje conhecemos como Teorema de 
Pitágoras: as medidas a e b dos catetos e a medida c da hipotenusa de um triângulo 
retângulo satisfazem a2 + b2 = c2. Esse resultado já era conhecido na geometria da 
Mesopotâmia e do Egito e não existem evidências de que Pitágoras ou seus 
seguidores tenham trabalhado nele. De todo modo, também não há evidências de 
outros trabalhos matemáticos dos pitagóricos e muito do que lhes é atribuído provém 
de uma tradição que remonta à antiguidade clássica. 
 
12 
Assim como os egípcios, outros povos também criaram o seu próprio sistema 
de numeração. Porém, na hora de efetuar os cálculos, em qualquer um dos sistemas 
empregados, as pessoas sempre esbarravam em alguma dificuldade.Apenas por volta do século III a.C. começou a se formar um sistema de 
numeração bem mais prático e eficiente do que os outros criados até então: o sistema 
de numeração romano. 
Na sequência da história, vieram os hindus com a introdução de uma notação 
para uma posição vazia – um ovo de ganso, redondo – o que ocorreu na Índia, no fim 
do século VI. Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse 
à Europa. Com a introdução do décimo sinal – o zero – o sistema de numeração tal 
qual o conhecemos hoje estava completo. 
Como estes números foram criados pela necessidade prática de contar as 
coisas da natureza, eles são chamados de números naturais. 
Os números naturais simplificaram muito o trabalho com números fracionários, 
pois não havia mais necessidade de escrever um número fracionário por meio de uma 
adição de dois fracionários, como faziam os matemáticos egípcios. 
E assim, ao longo dos séculos, a história da matemática veio se construindo e 
formando essa imensa massa de conhecimentos aplicáveis aos mais variados 
campos de atividades do ser humano. Contar essa história aos alunos contribui 
sobremaneira para que a vejam com a aplicação devida e não simplesmente fórmulas 
e equações aleatórias. 
Anote aí: 
Com a história da matemática, tem-se a possibilidade de buscar uma nova 
forma de ver e entender a matemática, tornando-a mais contextualizada, mais 
integrada com as outras disciplinas, mais agradável, mais criativa, mais humanizada. 
 
Etnomatemática 
A etnomatemática é um termo que surgiu na década de 70 e baseia-se em 
críticas sociais relacionadas ao ensino tradicional da matemática. Cunhada com a 
junção dos termos techné, mátema e etno, esta proposta educacional defende que a 
 
13 
matemática deve ser explicada e entendida dentro de um contexto cultural próprio, 
tendo Ubiratan D’Ambrósio como precursor e idealizador no Brasil. 
Para D’Ambrósio (1993), a etnomatemática é a matemática usada por um grupo 
cultural definido na solução de problemas e nas atividades do dia a dia. O termo 
surgiu, após o fracasso da Matemática tradicional, que possuía um componente 
comum, uma só visão, uma só verdade. Sem espaço para questionamentos. 
Paralelamente ao ensino tradicional crescia uma corrente alternativa entre os 
educadores, que percebiam que não havia espaço dentro da matemática para o saber 
empírico do estudante. 
Etnomatemática valoriza a matemática dos diferentes grupos culturais. Propõe-
se uma maior valorização dos conceitos matemáticos informais construídos pelos 
estudantes através de suas experiências, fora do contexto da escola. (D’AMBROSIO, 
1989). 
O Programa Etnomatemática tem importantes implicações pedagógicas. 
Educação é, em geral, um exercício de criatividade. Muito mais de transmitir ao 
aprendente teorias e conceitos feitos, para que ele as memorize e repita quando 
solicitado em exames e testes, a educação deve fornecer ao aprendente os 
instrumentos comunicativos, analíticos e tecnológicos necessários para sua 
sobrevivência e transcendência. Esses instrumentos só farão sentido se referidos à 
cultura do aprendente ou explicitados como tendo sido adquiridos de outra cultura ou 
inserido num discurso crítico. O programa Etnomatemática destaca a dinâmica e a 
crítica dessa aquisição (D’AMBROÓSIO, 1993). 
Anote aí: 
A etnomatemática é um programa de um campo de pesquisa com uso na 
prática pedagógica do ensino de matemática, que foge dos modelos tradicionais 
quando abre espaço para um sistema que utiliza tecnologia da informação e 
comunicação, ajustando-se nas exigências de uso dos saberes matemáticos no 
contexto sociocultural dos ambientes naturais dos seres humanos. É um misto de 
ciência pura, entendida como verdade absoluta e ciência advinda do saber popular. 
Esse misto consegue juntar harmoniosamente ciência e sabedoria popular. 
 
14 
Matemática crítica 
No século XX, o mundo foi aluído pela segunda guerra mundial, além do conflito 
diante da ameaça de armas nucleares, domínio ideológico e econômico, de forma que 
esse processo que o mundo vivenciou teve influência do socialismo marxista, que 
embasou a teoria histórico-crítica. 
Os mais diferentes setores da sociedade foram influenciados por essa teoria. 
A educação foi uma delas, no ensino de matemática surgiu à vertente denominada 
“Educação Matemática Crítica”. Novas coordenadas foram propostas ao currículo de 
Matemática do ensino primário ao secundário, e tinha como principal ideal a 
reorganização do ensino da matemática diante as grandes transformações da ciência 
e sociedade. 
Uma das intenções dessa vertente era elevar o nível cientifico da sociedade 
escolarizada, no entanto, foi barrado por um movimento internacional liderado pelos 
Estados Unidos da América, chamado de Matemática Moderna que contribuiu com a 
organização dos conteúdos através da teoria dos conjuntos, e ao mesmo tempo 
colocou uma linguagem lógica em todos os níveis de ensino, que causou problemas 
de aprendizagem principalmente no nível elementar. 
O professor dinamarquês Ole Skovsmose é um dos principais responsáveis por 
divulgar o movimento da “educação matemática crítica” ao redor do mundo. Com 
Mestrado em Filosofia e Matemática pela Universidade de Copenhague e Doutorado 
em Educação Matemática pela Royal Danish School of Education Studies, 
Skovsmose, defende em seus trabalhos o direito à democracia e o ensino de 
matemática a partir de trabalhos com projetos. Para ele, a Educação Matemática 
crítica possui um importante papel no mundo. Skovsmose questiona as práticas 
tradicionais, muitas vezes realizadas sem reflexão, como a ênfase excessiva na 
realização de listas de exercícios, que pode comprometer a qualidade da aula de 
matemática e acredita que a Educação Matemática Crítica possui um importante papel 
no mundo atual, sobretudo em função do avanço tecnológico. (D’ AMBRÓSIO, 1993). 
Anote aí: 
A Educação Matemática Critica acredita nas potencialidades do 
desenvolvimento de um ensino de matemática que não se atenha apenas a números 
 
15 
e problemas, mas sim, que possa também se desprender de crenças em sua 
“exatidão” e “racionalidade” (SKOVSMOSE, 2008) para que seja utilizada como 
instrumento no auxílio do desenvolvimento de justiça social, igualdade, emancipação 
de ideias e outros valores importantes para o progresso da democracia dentro e fora 
da escola. Uma matemática também que auxilie a reflexionar, avaliar e questionar sua 
própria utilização em sociedade. 
 
Modelagem matemática 
A Modelagem Matemática procura estudar e formalizar fenômenos do dia a dia. 
Um aspecto essencial da atividade de modelagem consiste em construir um modelo 
(matemático) da realidade que queremos estudar, trabalhar com tal modelo e 
interpretar os resultados obtidos. Busca que o estudante se torne mais consciente da 
utilidade da matemática para resolver e analisar problemas do cotidiano. 
(D’AMBROSIO, 1989). 
 
Figura 4 – Modelagem matemática 
 
O professor tem ao dispor diversas propostas de trabalho. A sua escolha é 
influenciada por múltiplas variáveis: 
a) O ponto de vista do professor a respeito da disciplina ensinada. 
b) O ponto de vista do professor a respeito dos objetivos gerais do ensino e a 
respeito dos objetivos que considera específicos da matemática. 
 
16 
c) O ponto de vista do professor a respeito dos estudantes (suas possibilidades, 
suas expectativas). 
d) A imagem que o professor faz das demandas da instituição de ensino 
(explícitas, implícitas e supostas), da demanda social e também dos pais dos 
estudantes (CHARNEY, 2001). 
Várias são as propostas de trabalho para o ensino de matemática e as diversas 
propostas se complementam, sendo difícil, num trabalho escolar, desenvolver a 
matemática de forma rica para todos os estudantes se enfatizarmos apenas uma linha 
metodológica. 
 
Resolução de problemas 
A resolução de problemas apresenta-se naspropostas educacionais atuais 
como um elemento que favorece a construção de conhecimento matemático. A 
experiência tem mostrado que o conhecimento matemático, ganha significado quando 
os estudantes têm situações desafiadoras para resolverem e trabalharem no 
desenvolvimento das estratégias de resolução, daí a solução de problemas como 
ponto de partida da atividade matemática. A Declaração Mundial sobre Educação para 
Todos da UNESCO, indica explicitamente a resolução de problemas como um dos 
instrumentos de aprendizagem essenciais. 
 
Figura 5 – Resolução de problemas 
Conforme D’ Ambrósio (1989) a resolução de problemas visa à construção de 
conceitos matemáticos, pelo estudante, através de situações que estimulam a sua 
 
17 
curiosidade matemática. Através de suas experiências com problemas de natureza 
diferente, o estudante interpreta o fenômeno matemático e procura explicá-lo dentro 
de sua concepção da matemática envolvida. 
No trabalho com resolução de problemas, o papel do estudante, é participar de 
um esforço coletivo para construir a resolução de um problema, com direito a ensaios 
e erros, exposição de dúvidas, explicitação, raciocínios e validação de resultados. 
Dessa forma, terá oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos 
e procedimentos matemáticos, bem como, de ampliar a visão que tem do mundo em 
geral e desenvolver sua autoconfiança. Nessa perspectiva, a resolução de problemas, 
possibilita aos estudantes, mobilizar conhecimentos e organizar as informações de 
que eles dispõem para alcançar novos resultados (BRASIL, 1999). 
 
A matemática no cotidiano 
 
Aprendizagem significativa em matemática 
Que o papel docente é fundamental para a construção de aprendizagens 
significativas e que ele é o ator principal no desenvolvimento cognitivo do aluno não 
há dúvidas certo?! 
Mas o que viria a ser aprendizagem significativa em matemática? 
Ausubel (1963 apud SANDES; MOREIRA, 2018) entende a aprendizagem 
significativa como um processo de modificação do conhecimento. Para isso, 
reconhece a importância dos processos cognitivos dos alunos, que ocorrem em uma 
interação entre as informações novas e a estrutura cognitiva de cada estudante. 
Sintetizando, para ele, a aprendizagem significativa é um processo por meio do qual 
o sujeito que aprende relaciona, de maneira não arbitrária e substantiva, uma nova 
informação a um aspecto relevante de sua estrutura cognitiva. 
Ainda de acordo com Ausubel (1963), a aprendizagem significativa é o 
mecanismo humano, por excelência, para adquirir e armazenar a vasta quantidade de 
ideias e informações representadas em qualquer campo de conhecimento, o que 
contrapõe a ideia de educação mecânica, que é a aprendizagem de novas 
 
18 
informações com pouca ou nenhuma associação com conceitos relevantes existentes 
na estrutura cognitiva, pois é exigido do aprendiz apenas internalização, sem nenhum 
significado. 
Por sua vez, Santos (2008) reforça que a aprendizagem somente ocorre se 
quatro condições básicas forem atendidas: a motivação, o interesse, a habilidade de 
compartilhar experiências e a habilidade de interagir com os diferentes contextos. 
Nessa mesma direção, Anastasiou e Alves (2006) afirmam ser importante 
entender melhor quem são os estudantes de cada sala, buscando vê-los como 
pessoas com sonhos, aspirações e, também, desesperanças, uma vez que as 
atividades da sala de aula devem estar assentadas na realidade do aprendiz, o que 
reporta, necessariamente, uma aula significativa, tanto do ponto de vista escolar 
quanto social. 
Em suma, as relações de aprendizagens envolvidas em uma perspectiva 
significativa não se restringem aos métodos de ensino ou aos processos de 
aprendizagem, uma vez que ensinar e aprender com significado requerem um 
percurso não linear (SMOLE, 1996), a aprendizagem significativa é aquela que 
provoca modificações comportamental e atitudinal, pois é uma aprendizagem que não 
se limita ao aumento de conhecimento, mas que perpassa pela própria existência do 
indivíduo. 
 
A importância da matemática para o desenvolvimento humano – a 
visão psicogenética de Piaget 
 
A matemática, uma das áreas de conhecimento mais antigas do mundo, se 
assume como um saber saudável, vigoroso e unificado, de grande importância para a 
humanidade, o que é verdade, principalmente porque é usada no cotidiano de todas 
as pessoas, ela é “um lugar comum” no dia-a-dia do ser humano, tendo em algumas 
situações, um caráter desafiador, provocando excitação e satisfação (ARAÚJO, 
2000). 
 
19 
 
Figura 6 – Matemática é abstrata 
Por outro lado, ela é árida e “calculista”; contudo, se o indivíduo ou a criança 
desde a mais tenra idade for levada a entendê-la, compreender os seus porquês, 
desenvolver seu raciocínio, terá mais chances de resolver problemas nessa sociedade 
exigente de pessoas que pensem por si só (ARAÚJO, 2000). 
Isso leva a inferir que aqueles que conseguem incorporar os processos falados 
acima, terão mais chance de sobrevivência e sucesso no mundo atual. 
As teorias da matemática encontram ramificações na Informática, Física, 
Engenharias e outras áreas e a noção de conservação da quantidade de matéria, que 
se encontra no ponto de partida da quantificação das qualidades físicas (peso, 
volume, etc.), pode também ser considerada o ponto de chegada da matemática 
elementar que engendra o número (PIAGET; INHELDER, 1979). 
Sousa (2008) infere que, nesse sentido, o conhecimento lógico-matemático 
proposto por Piaget tornou-se tão importante que deu margem para Inhelder (sua 
colaboradora e posteriormente Psicóloga) partir dele e estabelecer diagnósticos e 
prognósticos de distúrbios de desenvolvimento mental. 
Ainda sobre as estruturas lógico-matemáticas, Piaget (1990) refere-se à 
existência de duas interpretações psicológicas possíveis: uma de inspiração empirista 
e outra de inspiração racionalista ou dialética, salientando que “[...] seria impossível 
 
20 
descobrir qualquer conteúdo sem uma estruturação que comporte um isomorfismo 
pelo menos parcial com a lógica [...]” (PIAGET, 1990, p. 141). 
Sobre a importância da matemática para a aprendizagem e o desenvolvimento 
do ser humano, pode-se dizer que a aprendizagem nada mais é que um processo de 
ajustamento ao meio, concebendo um modelo profundamente biológico, influenciado 
pela teoria da seleção natural de Darwin. Este processo, composto por dois 
mecanismos básicos alternativos, a saber, a assimilação e a acomodação são 
regulados pelo processo de equilibração. 
Piaget (1990) fala ainda, que toda necessidade tende primeiro a incorporar as 
pessoas e as coisas na atividade própria do sujeito, portanto, assimilar o mundo 
exterior às estruturas já construídas e, segundo, a reajustar estas em função das 
transformações sofridas, portanto, acomodá-las aos objetos externos. 
Na educação infantil, a matemática é, de verdade, uma disciplina essencial, 
porque envolve a aquisição de conceitos e habilidades de raciocínio que farão parte 
do aprendizado escolar, do desenvolvimento cognitivo, mas, principalmente, é 
formadora de estruturas necessárias à adaptação psicossocial, ou seja, ao 
relacionamento que as crianças manterão com seus pares no futuro. 
Nesse contexto, podemos relacionar a importância da matemática que é a 
preocupação fundamental de Piaget, ou seja, “o sujeito epistêmico”, ou ainda, o 
estudo dos processos de pensamento presentes desde a infância inicial até a idade 
adulta. 
Piaget (1978 apud SOUZA, 2008) apresenta uma visão interacionista, que 
mostra um processo ativo de contínua interação da criança com o ambiente, para que 
seja possível entender quais os mecanismos mentais que o sujeito usa para poder 
compreender o mundo. 
Piaget considera que a adaptação à realidade externa depende basicamente 
do conhecimento e procurou estudar cientificamente quais os processos que o 
indivíduo usa para reconhecera realidade. Considera que só o conhecimento 
possibilita ao homem um estado de equilíbrio interno que o capacita a adaptar-se ao 
meio ambiente. Assim, sua obra é de epistemologia genética e mostra como o 
conhecimento se desenvolve, desde as rudimentares estruturas mentais do recém-
 
21 
nascido até o pensamento lógico-formal do adolescente. Ele chegou à formulação de 
inúmeros conceitos continuamente reavaliados em função de novos dados; os 
conceitos são: hereditariedade, adaptação, esquema e equilíbrio. 
Em relação à hereditariedade, Piaget diz que não herdamos a inteligência: o 
que herdamos é um organismo que vai amadurecer em contato com o meio ambiente. 
Desta interação entre organismo e ambiente, resultarão determinadas estruturas 
cognitivas que vão funcionar de modo semelhante durante toda a vida do sujeito. Este 
modo de funcionamento, que constitui para Piaget nossa herança biológica, 
permanece essencialmente constante durante toda a vida. 
Em relação à adaptação com o ambiente, estariam implicados dois processos 
complementares: a assimilação e a acomodação. 
Assimilação significa tentar solucionar uma situação nova com base nas 
estruturas antigas. A este processo de modificação de estruturas antigas para solução 
de um novo problema, Piaget denomina acomodação, o que significa uma interação 
à nova realidade. 
Esquema é uma unidade estrutural básica de pensamento ou ação. O equilíbrio 
é o resultado de processo de desenvolvimento que busca atingir formas de equilíbrio 
cada vez melhor (processo de equilibração sucessiva, até a aquisição do pensamento 
operacional formal). 
 
Figura 7 – Educação matemática nos anos iniciais 
 
 
22 
A educação matemática no ensino fundamental 
 
É essencial que o aluno do ensino fundamental perceba o caráter prático da 
Matemática, ou seja, que ela permite às pessoas resolver problemas do cotidiano. No 
entanto, a aprendizagem da Matemática deve também contribuir para o 
desenvolvimento do raciocínio, da lógica, da coerência, o que transcende os aspectos 
práticos. Ela deve: 
a) Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da 
realidade do ponto de vista do conhecimento e estabelecer o maior número 
possível de relações entre eles, utilizando o conhecimento matemático 
(aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico, combinatório, 
probabilístico). 
b) Selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-la e 
avaliá-las criticamente. 
c) Resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados, 
desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como dedução, indução, 
intuição, analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos 
matemáticos, bem como os instrumentos tecnológicos disponíveis. 
d) Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar 
resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da 
linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes representações 
matemáticas. 
e) Sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos 
matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de 
soluções. 
f) Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na 
busca de soluções para problemas propostos, identificando aspectos 
consensuais ou não na discussão de um assunto, respeitando o modo de 
pensar dos colegas e aprendendo com eles (BRASIL, 1998). 
Anote aí: 
 
23 
A matemática vista como uma maneira de pensar, como um processo em 
permanente evolução (não sendo algo pronto e acabado que apenas deve ser 
estudado), permite, dinamicamente, por parte do aluno, a construção e a apropriação 
do conhecimento. Ensinar matemática é importante porque ela está presente em tudo 
o que nos rodeia, com maior ou menor complexidade. Perceber isso é compreender 
o mundo em nossa volta e poder atuar nele como cidadão, em casa, na rua, nas várias 
profissões, na cidade, no campo, nas várias culturas o ser humano necessita da 
matemática. 
Eis novamente, o papel do educador matemático: ser capaz de fazer interagir, 
os diferentes campos da Matemática, de forma articulada com atividades e 
experiências matemáticas que serão desenvolvidas pelos alunos do Ensino 
Fundamental (SILVA, 2015). 
 
Modos de pensar a matemática 
 
De maneira bem simples e didática, Nery e Batistela (2013) explicam que desde 
a idade clássica faz-se presente entre os matemáticos uma intensa discussão acerca 
dos fundamentos da matemática, que se intensificou no final do século XIX. Sendo 
um dos principais aspectos desta problemática a noção de infinito, que é vista 
historicamente como um obstáculo. 
 
Desde suas origens, a matemática se confronta com o infinito como um 
problema crucial. A crise dos irracionais, os paradoxos de Zenão, o método 
de exaustão de Eudóxio [sic], o axioma de Arquimedes, testemunham isso. 
Os gregos se depararam com a dificuldade de não poderem exprimir 
racionalmente (por meio da razão entre dois números inteiros positivos) a 
medida do comprimento de uma linha contínua em um sistema discreto de 
números (AMADEI, 2005, p. 44). 
 
Na passagem do século XIX para o XX, três correntes do pensamento 
matemático que tinham suas bases na filosofia: logicismo, intuicionismo e formalismo 
 
24 
tentaram oferecer fundamentos sólidos e definitivos à matemática, contudo, essas 
tentativas foram frustradas. Mas como elas foram muito importantes para o 
desenvolvimento da matemática, vamos conhece-las mais de perto. 
 
Logicismo 
A escola do Logicismo tinha como meta a apresentação de uma Matemática 
em moldes completos, ou seja, uma Ciência pronta, em linguagem simbólica, 
almejando sua simplificação no que concerne sua apresentação (MONDINI, 2008). 
Para o Logicismo, o cálculo lógico de Leibniz pôde e foi visto como uma ferramenta 
indispensável para formalização do pensamento dedutivo, como mencionado em 
Machado (2005). 
Bertrand A. W. Russell e Alfred N. Whitehead as duas maiores expressões da 
escola Logicista, em sua obra Principia mathematica evidenciaram sua busca na 
lógica a possibilidade de redução e derivação de toda a Matemática, já que a lógica, 
era vista como “[...] as leis fundamentais da razão, o pilar do universo” (COSTA, 2008, 
p. 37). 
[...] Frege, Russell e a quase totalidade dos lógicos modernos adotam o 
princípio metodológico de que é possível, recorrendo-se unicamente a princípios 
lógicos, reduzir-se uma proposição não obviamente verdadeira a outras que assim o 
sejam (MACHADO, 2005, p. 26). 
Conforme Eves (2004) e Machado (2005), as definições, proposições e 
demonstrações deveriam ser desenvolvidas a partir de princípios lógicos. Eves (2004, 
p. 677) destaca ainda que “a distinção entre a matemática e lógica passava a ser uma 
questão de conveniência prática”. 
As discussões que precederam os tempos “áureos” da escola Logicista, foram 
desde a Lógica normativa elementar, Lógica aristotélica até a Teoria dos Tipos de 
Russell. Levando em conta o contexto admitimos conveniente tomar propriedade do 
discurso utilizado por Eves (2004, p. 679), quando menciona que o sucesso ou 
fracasso dessa escola é uma questão de opinião, já que enquanto alguns consideram 
“[...] o programa satisfatório, outros levantam muitas objeções a ele”. No entanto, 
podemos considerar que a escola Logicista, bem como seus estudiosos, deixaram 
 
25 
importantes discussões no que concerne ao desenvolvimento da Lógica Matemática 
Moderna. 
 
Intuicionismo 
A segunda corrente que ganhou destaque com seus estudos veio na contramão 
do pensamento Logicista, os denominados Intuicionistas, tinham como base de seu 
“edifício teórico”, a construção da Matemática a partir da intuição. A escola 
Intuicionista tem em Kant suas raízes, no entanto L. E. J. Brouwer pode ser 
considerado sua maior representação (MONDINI, 2008). 
Este, segundo Machado (2005) aceitaas concepções Kantianas de 
proposições que não são empíricas ou sintéticas a priori relativas ao espaço e ao 
tempo. 
Costa (2008), evidencia que Kant considerava que, a teoria do conhecimento, 
se dava “no terreno dos juízos sintéticos a priori”, o que se fazia necessário para o 
enriquecimento, tal como para o progresso do conhecimento. Os objetos do mundo 
sensível situam-se no contexto espaço-temporal. Para Kant, é impossível conhecê-
los sensorialmente, sem uma concepção inicial, a priori, do espaço e do tempo que se 
daria através da sensibilidade, para Kant, fruto de uma faculdade de intuição. 
Assim a intuição, oriunda dos atos de conhecimento próprios dos estados 
mentais dos sujeitos, conceitos, valores e sentimentos assumiria o papel de trazer a 
verdade das proposições matemáticas, não se restringindo somente à observação do 
que é exposto através dos sentidos no mundo externo, mas sim da razão introspectiva. 
A escola Intuicionista de Brouwer assumia segundo Machado (2005), que a 
Matemática poderia ser construída através de métodos construtivos finitos, a partir 
dos números naturais, os quais são subsidiados aos sujeitos através de uma intuição 
fundamental. 
Para os intuicionistas, toda Matemática deveria ser reconstruída, considerando 
que “[...] as entidades abstratas existiam somente quando eram construídas pela 
mente humana. Desse modo, o que não partisse da intuição não era Matemática” 
 
26 
(MONDINI, 2008, p. 5), ou seja, determinado objeto matemático só existiria caso 
pudesse ser efetuada sua construção. 
A construção finita, proposta pelos Intuicionistas, acarretou em uma importante 
implicação por parte desses pensadores: a refutação do princípio do terceiro excluído, 
o qual segundo Morais Filho (2007, p. 28) pode ser enunciado como segue, “uma 
sentença é falsa ou é verdadeira, não havendo uma terceira alternativa”. Desta forma, 
seria possível a construção de enunciados dotados de sentido, mas que não 
necessariamente fossem verdadeiro ou falso, apenas considerados logicamente, 
como pretendia o logicismo. 
Eves (2004) faz uma importante observação, quando aponta que tal refutação 
se restringe para conjuntos infinitos, o que não se aplicaria para conjuntos finitos 
quando possível estabelecer a veracidade ou falsidade de determinada proposição, 
através de um número finito de passos. 
Coforme Mondini (2008), algumas teorias consideradas verdadeiras pelos 
matemáticos clássicos eram, do ponto de vista dos adeptos do Intuicionismo, falsas 
levando à dúvida e à rejeição das ideias Intuicionistas pelos matemáticos clássicos. 
Machado (2005, p.41) esclarece que não é passível de discussão que Brouwer 
de fato “[...] tocou na ferida, localizou efetivamente as raízes dos problemas que os 
formalistas enfrentavam ou viriam a enfrentar”, já que o problema alocava-se 
justamente na distinção das contradições formais, no que tange o princípio do terceiro 
excluído. 
 
Formalismo 
A terceira e última escola sobre a qual Mondini (2008) discorre, traz em seu 
escopo as ideias dos filósofos que se sensibilizaram com as concepções Formalistas. 
Antes podemos aludir as breves discussões levantadas em torno das contribuições 
deixadas por Kant à escola Intuicionista. Os Formalistas buscaram sustentar suas 
primeiras ideias nas acepções de Kant, no entanto, ponderando que para ele, segundo 
Machado (2005, p. 29), “[...] o papel que a Lógica desempenha em Matemática é o 
mesmo que desempenha em qualquer outro setor do conhecimento”, considerando 
 
27 
sim que na Matemática os teoremas são sustentados por axiomas, levando-se em 
consideração as leis da Lógica. 
Contudo, refutam a ideia proposta pelos Logicistas que esses mesmo axiomas 
e teoremas sejam apenas caracterizados como princípios lógicos ou decorrentes de 
tais princípios. Das concepções Kantianas do espaço e tempo, os formalistas 
acreditavam que os entes matemáticos fossem “[...] descritivos da estrutura dos dados 
da percepção sensível[...]. 
A escola Formalista teve em David Hilbert sua maior representação, esse 
adotou as ideias de Kant e a partir daí “inaugurou solo” sobre o qual se desenvolveria 
o pensamento filosófico fundamental, propondo inicialmente que: 
a) a Matemática compreende descrições de objetos e construções concretas, 
extra lógicas; 
b) estas construções e esses objetos devem ser enlaçados em teorias formais 
em que a Lógica é o instrumento fundamental; 
c) o trabalho do matemático deve consistir no estabelecimento de teorias 
formais consistentes, cada vez mais abrangentes até que se alcance a formalização 
completa da Matemática (MACHADO, 2005, p. 29). 
Mondini (2008) menciona, que o objetivo primeiro do Formalismo era provar 
que as ideias matemáticas estavam isentas de toda e qualquer contradição, 
vislumbrando para isso à axiomatização da Matemática, tendo como objetivo principal 
livrar a Matemática dos paradoxos que assombravam os pesquisadores da época. 
Para este fim, os formalistas buscavam reescrever a Matemática através de 
demonstrações rigorosas, provas irrefutáveis em um sistema formal. 
Conforme Costa (2008), Hilbert empregou as ideias de Kant para fins de 
extinção dos paradoxos, ele buscava a construção de “objetos” matemáticos através 
da lógica como instrumento fundamental, não como propunha os Logicistas que 
buscavam reduzir a Matemática em termos lógicos. Os formalistas assumiam a lógica 
como método capaz de legitimar seus resultados. Buscavam também a expansão das 
teorias formais, no intuito de formalizar por completo toda a Matemática. Diante das 
propostas e descobertas levantadas pelos Formalistas, obviamente, fervorosos 
 
28 
embates ganhavam consistências nas academias frente às teorias alçadas pelos 
estudiosos. 
De fato, a escola Formalista não passou ilesa por esses embates, segundo 
Machado (2005) e Mondini (2008), coube a Kurt Gödel, o papel de algoz de Hilbert, 
quando, [...] provou a impossibilidade de demonstrar a compatibilidade dos axiomas 
da Aritmética dentro de um sistema que inclua a Aritmética. Com isso, provou também 
que o projeto de Hilbert não poderia ser bem-sucedido, “porque não é possível provar 
a consistência da Matemática dentro da própria Matemática”. Assim, as pretensões 
formalistas de obter inferências legítimas de um sistema formal completo e 
consistente, como visionava Hilbert, não se sustentaram. 
Enfim a Matemática se constituiu da contribuição de diversos pensadores, que 
com seus estudos idealizaram uma Ciência capaz de responder uma diversidade de 
problemas, além de subsidiar outras Ciências. 
Loureiro e Klüber (2015), destacam, no entanto, que a interpretação de 
perfeição ou não da Matemática, bem como sua exatidão cabe ao sujeito que a 
estuda. O que eles consideram é que a Matemática, como a conhecemos hoje, 
emerge das contribuições deixadas outrora pelo modo de pensar dos filósofos e pelas 
reestruturações internas da Ciência Matemática. E que o ensino de Matemática não é 
isento. As contribuições destas escolas, no âmbito da Matemática, podem se constituir 
em entraves às perspectivas do Ensino de Matemática. Por isso, uma avaliação crítica 
das escolas se faz necessária. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
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