regras de diferenciacao

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Regras de diferenciação 
1. A derivada de uma constante, em relação a qualquer variável, é zero. Assim, se k é uma 
constante 
𝑑𝑘
𝑑𝑥 
= 0 
 
2. A derivada de uma constante multiplicada por uma função é igual à constante multiplicada pela 
derivada da função. Assim, se k é uma constante e v é uma função de x 
 
𝑑(𝑘𝑣)
𝑑𝑥 
= 𝑘
𝑑𝑣
𝑑𝑥 
 
 
3. A derivada da soma de duas (ou mais) funções é igual à soma das derivadas das funções 
separadas. Assim, se v e w são funções de x 
 
𝑑(𝑣 + 𝑤)
𝑑𝑥 
=
𝑑𝑣
𝑑𝑥 
+
𝑑𝑤
𝑑𝑥 
 
 
4. A derivada do produto de duas funções é igual à soma de dois termos, o primeiro termo sendo 
a primeira função multiplicada pela derivada da segunda, e o segundo termo correspondendo à 
segunda função multiplicada pela derivada primeira. Assim, se v e w são funções de x 
 
𝑑(𝑣𝑤)
𝑑𝑥 
= 𝑣
𝑑𝑤
𝑑𝑥 
+ 𝑤
𝑑𝑣
𝑑𝑥 
 
 
4.a A derivada de um quociente é igual à derivada do numerador, dividida pelo denominador, menos 
a derivada do denominador, multiplicada pelo numerador dividido pelo quadrado do denominador 
𝑑(𝑣/𝑤)
𝑑𝑥 
=
1
𝑤 
𝑑𝑣
𝑑𝑥 
−
𝑣
𝑤2 
𝑑𝑤
𝑑𝑥 
 
 
5. O produto de várias funções resulta numa derivada de diversos termos, cada termo sendo a 
derivada de uma função multiplicada pelas outras funções. Assim, se t, u, v e w são funções de x 
 
𝑑(𝑡𝑢𝑣𝑤)
𝑑𝑥 
= 𝑢𝑣𝑤
𝑑𝑡
𝑑𝑥 
+ 𝑡𝑣𝑤
𝑑𝑢
𝑑𝑥 
+ 𝑡𝑢𝑤
𝑑𝑣
𝑑𝑥 
+ 𝑡𝑢𝑣
𝑑𝑤
𝑑𝑥 
 
 
É de notar uma alternativa conveniente que se relaciona a esse caso: 
 
𝑙𝑜𝑔 (𝑡𝑢𝑣𝑤) = 𝑙𝑜𝑔 𝑡 + 𝑙𝑜𝑔 𝑢 + 𝑙𝑜𝑔𝑣 + 𝑙𝑜𝑔 𝑤 
 
E daí a utilização da regra 9. 
 
6. A derivada, com relação a x, de qualquer potência constante de x, onde a potência é designada 
pelo expoente (constante) a, é igual a a multiplicado por uma potência de x tendo um expoente menor 
do que a pela unidade. Assim, 
 
𝑑𝑥𝑎
𝑑𝑥 
= 𝑎𝑥𝑎−1 
 
7. Para a potência constante de uma função de x, a regra passa a ser 
 
𝑑𝑣𝑎
𝑑𝑥 
= 𝑎𝑣𝑎−1
𝑑𝑣
𝑑𝑥 
 
Onde v é uma função de x. 
8. A derivada, com respeito a x, do logaritmo de x (logaritmo de base neperiana), é igual à unidade 
dividida por x. Assim 
 
𝑑 log 𝑥
𝑑𝑥 
=
1
𝑥 
 
 
9. Mais generalizadamente, para o logaritmo de uma função v de x, a regra se torna 
 
𝑑 log 𝑣
𝑑𝑥 
=
1
𝑣 
𝑑𝑣
𝑑𝑥 
 
Onde v é uma função de x. 
 
10. A derivada do logaritmo, de alguma outra base que não e, como b, de uma função v de x é dada 
pela regra 
𝑑 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑣
𝑑𝑥 
= 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑒
1
𝑣 
𝑑𝑣
𝑑𝑥 
 
 
11. A derivada de uma potência variável da constante neperiana e, representada pelo expoente 
variável v, o qual é uma função de x, é 
 
𝑑 𝑒𝑣
𝑑𝑥 
= 𝑒𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑥 
 
11.a e 11.b Casos especiais da regra 11 
𝑑 𝑒𝑥
𝑑𝑥 
= 𝑒𝑥 
E, com a constante k, 
𝑑 𝑒𝑘𝑥
𝑑𝑥 
= 𝑘𝑒𝑘𝑥 
 
12. A derivada de uma potência variável de qualquer constante b, representada pelo expoente 
variável v, que é uma função de x, é 
 
𝑑𝑏𝑣
𝑑𝑥 
= (log𝑒 𝑏) 𝑏𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑥 
 
12.a e 12.b Como casos especiais da regra 12 
𝑑𝑏𝑥
𝑑𝑥 
= (log𝑒 𝑏) 𝑏𝑥 
e 
𝑑𝑏𝑘𝑥
𝑑𝑥 
= 𝑘 (log𝑒 𝑏) 𝑏𝑘𝑥 
 
13. A derivada de uma potência variável de uma função w, representada pelo expoente variável v, 
onde v é também função de x, é 
 
𝑑𝑤𝑣
𝑑𝑥 
= 𝑣𝑤𝑣−1
𝑑𝑤
𝑑𝑥 
+ (log𝑒 𝑤) 𝑤𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑥 
 
 
14. A derivada de uma função w de v, em que v é uma função de x em relação à x, é 
𝑑𝑤(𝑣)
𝑑𝑥 
=
𝑑𝑤
𝑑𝑥 
 .
𝑑𝑣
𝑑𝑥 
 
15. As derivadas das funções trigonométricas simples de v, nas quais v é uma função de x, são 
𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝑣
𝑑𝑥 
= cos 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑥 
 
 
𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝑣
𝑑𝑥 
= − sen 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑥 
 
 
𝑑 𝑡𝑔 𝑣
𝑑𝑥 
= se𝑐2 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑥 
 
 
𝑑 𝑐𝑜𝑡 𝑣
𝑑𝑥 
= − cs𝑐2 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑥 
 
 
𝑑 𝑠𝑒𝑛−1 𝑣
𝑑𝑥 
=
1
√1 − 𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑥 
 
 
𝑑 𝑐𝑜𝑠−1 𝑣
𝑑𝑥 
= −
1
√1 − 𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑥 
 
 
𝑑 𝑡𝑔−1 𝑣
𝑑𝑥 
=
1
1 + 𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑥 
 
 
𝑑 𝑐𝑜𝑡−1 𝑣
𝑑𝑥 
=
−1
1 + 𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑥