Lista04

Prévia do material em texto

4302401 – Mecânica Estatística
Quarta Lista de Exercícios: Ensemble Canônico e Teorema de Equipartição
Θr(K) Θv(K)
H2 85.4 6140
N2 2.9 3352
O2 2.1 2239
CO 2.8 3080
NO 2.4 2690
HCl 15.2 4150
Cl2 0.36 510
Q1) Em textos básicos sobre Termodinâmica, é comum en-
contrar a instrução de adotar CV = 5
2
R para o calor especí-
fico molar a volume constante de gases diatômicos. A tabela
ao lado mostra temperaturas rotacionais (Θr = B0
kB
) e vibra-
cionais (Θv = h̄ω
kB
) para moléculas diatômicas comuns. Em
que condições é razoável afirmar que CV = 5
2
R ?
Q2) O grafite é composto por átomos de carbono arranjados
em uma estrutura de “planos empilhados”, como ilustrado ao
lado. Nesses planos, chamados folhas de grafeno, os átomos
formam ligações covalentes que se caracterizam por constan-
tes elásticas de maior magnitude. Assim, as frequências vi-
bracionais associadas a deslocamentos atômicos paralelos aos
planos são altas, isto é, h̄ω|| � 300kB. As forças entre folhas
de grafeno são mais brandas (interações de Van der Waals),
resultando em constantes elásticas de menor magnitude. As
frequências vibracionais associadas a deslocamentos perpen-
diculares aos planos são portanto baixas, h̄ω⊥ � 300kB. Es-
time o calor específico a volume constante molar do grafite,
admitindo condições ambientes, T ≈ 300 K.
P1) (a) Para o Sólido de Einstein, obtenha a função de partição de um oscilador (em contato
térmico com o reservatório composto pelos demais osciladores). A partir desse resultado,
derive a densidade de energia interna e o calor específico a volume constante por átomo do
sólido. (b) Para o oscilador em contato com o reservatório, obtenha a probabilidade relativa
entre primeiro estado excitado (n = 1) e o estado fundamental (n = 0), p1/p0. Descreva
o comportamento da probabilidade relativa em função da temperatura. (c) Admita que a
temperatura do reservatório seja baixa, de forma que apenas os estados n = 0, 1 do oscilador
tenham probabilidades não desprezíveis. Nessa condição, estime a energia média e o calor
específico a volume constante do oscilador.
P2) Retome a rede de spins s = 1, discutida nas listas de exercícios anteriores. (a) Obtenha
a função de partição para um sítio, e então derive a densidade de energia interna da rede de
spins. (b) Obtenha a densidade de energia livre (Helmholtz) e o calor específico a volume
constante (por sítio). Ocorre efeito Schoktty?
P3) Um sistema é composto por N partículas quânticas fracamente interagentes. Cada
partícula pode ocorrer em apenas dois estados com energias ε1 e ε2, onde ε1