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Elementos da 
Matemática
Técnicas de Demonstração II
Contextualização
https://bit.ly/2FMrmWg; https://bit.ly/3268CKO (acesso: 01 jun. 2023)
Conteúdos:
• Silogismos
• Implicações e equivalências lógicas
• Argumentações
• Demonstrações
• Quantificadores
• Números naturais
• Princípio da Indução Finita
Silogismos, 
implicações e 
equivalências lógicas
Silogismos
• Argumento constituído por duas premissas 
que resultam em uma conclusão.
Exemplo:
• Premissa 1: Todo carro novo é bonito.
• Premissa 2: Aquele carro é novo.
• Conclusão: Então, aquele carro é bonito.
Relações entre proposições
Relações
Implicação Equivalência
Não pode 
apresentar 
sequência V-F
Tabelas-verdade 
com colunas 
idênticas
Exemplo 1:
Exemplo 2:
Exemplo:
Considere as proposições compostas a seguir:
Podemos analisá-la do ponto de vista das
implicações e equivalências lógicas.
• Construção da tabela-verdade: e 
Implicação lógica:
Equivalência lógica:
Validação de argumentos via tabela-verdade
Argumento de premissas e conclusão :
• Construir a tabela-verdade comparando as premissas entre si
• Acrescentar a coluna com os valores lógicos de 
• Incluir coluna com os valores lógicos de 
• Verificar a existência de implicação lógica 
entre e 
Exemplo:
Premissa 1: 
Premissa 2: 
Conclusão: 
Não existe a sequência VF 
nas duas últimas colunas.
Logo, o argumento 
é válido.
Demonstrações
Estudo de conjecturas e demonstrações
Conjectura
Válida
Inválida
Demonstração
Contraexemplo
• Teorema
• Lema
• Corolário
• Proposição
Tipos de provas (demonstrações)
Provas
Direta
Condicional
Bicondicional
Indireta
Contrapositiva
Redução ao absurdo
Condicional
Método dedutivo
• Método constituído de uma sequência de argumentos 
lógicos caracterizados por:
• Aceitar axiomas e conceitos ou noções primitivas;
• Demonstrar propriedades, proposições, teoremas, 
lemas, corolários.
• Exemplo: Se é um número ímpar então é ímpar.
• Proposições equivalentes para demonstração:
• direta: Se é um número ímpar então é ímpar.
• por contrapositiva: Se é par (não é ímpar) então
é par (não é ímpar).
• por redução ao absurdo: Se é um 
número ímpar e é par (não é ímpar) 
então temos uma contradição.
Sentenças abertas e 
quantificadores
Sentenças abertas
• Sentença aberta em : expressão tal que é
falsa ou verdadeira para todo .
• Conjuntos importantes:
• Universo
• Verdade
• Exemplo de sentença aberta:
Quantificadores
Quantificador
Universal Existencial
Exemplo: Exemplo:
Quantificador
Universal Verdadeiro: ஺ ௏
Falso: ஺ ௏
Existencial Verdadeiro: ௏
Falso: ௏
Exemplo: 
• Quantificador existencial:
• Quantificador universal:
௏
Quantificadores e a tradução em linguagem simbólica
Exemplos:
• Os jogadores de vôlei ( ) são bem 
treinados ( ).
Tradução: 
• Alguns brasileiros ( ) não são atletas ( ).
Tradução: 
Quantificadores e negações
• Negação envolvendo o quantificador universal 
• Utiliza-se o quantificador existencial 
• Negação envolvendo o quantificador existencial 
• Utiliza-se o quantificador universal 
• Negações em linguagem natural:
• Alguns professores são dedicados.
• Negação: Qualquer que seja o professor, ele não é 
dedicado.
• Todos os professores são dedicados.
• Negação: Existem professores que 
não são dedicados.
• Negação em linguagem simbólica:
• Negação:
Isto é,
Exemplo:
• Existe um triângulo tal que a soma dos seus ângulos 
internos é igual a 200°.
• Linguagem simbólica: 
• Negação: Para todos os triângulos, a soma dos seus 
ângulos internos não é igual a 200°.
• Linguagem simbólica: 
ou 
Números naturais e o 
Princípio da Indução 
Finita
Números naturais
• ou 
• Sucessor de : 
• Operações
• Números primos
• Mínimo múltiplo comum (MMC)
• Máximo divisor comum (MDC)
https://bit.ly/2NrvfGh (acesso: 01 jun. 2023)
Princípio da Indução Finita
Suponha que a propriedade satisfaça, para cada natural :
• é verdadeira;
• para todo , se é verdadeira então é 
verdadeira.
Então a propriedade é verdadeira para todo 
natural .
Observação:
Podemos, também, aplicar esse 
princípio a partir de um ଴
Exemplo: Prove pelo Princípio da Indução Finita a validade 
da proposição
1ª condição: é verdadeira
Note que
Logo, é verdadeira.
2ª condição: é verdadeira é 
verdadeira
Suponha que é verdadeira para algum 
natural , isto é:
Adicionando aos dois membros da 
expressão anterior obtemos:
Logo, é válida.
Portanto, é 
verdadeira para todo 
natural .
Prove que é divisível por 7, para todo .
Observação: um número é divisível por se 
existe tal que . Por exemplo,
; .
Provar duas condições:
• é V;
• é V é V.
1ª condição: verificar a validade para 
Note que
o qual é divisível por . Logo, é verdadeira.
2ª condição: mostrar que sendo verdadeira implica
ser verdadeira
Suponha que é verdadeira para algum natural , 
isto é, é divisível por . 
Sendo assim, existe tal que
ou ainda, .
Multiplicando ambos os membros por obtemos
Como , então .
Substituindo essa expressão no segundo membro da
igualdade anterior obtemos
ଷ௞ ଷ
ଷ ௞ାଵ
ଷ ௞ାଵ
ଷ ௞ାଵ
ଷ ௞ାଵ
Sabemos que . Logo, ଷ ௞ାଵ
é divisível por . Portanto, podemos concluir que 
é verdadeira para todo natural .
Encerramento
Nesta aula estudamos:
Argumentos com duas 
premissas e uma 
conclusão
Silogismos
Implicação lógica e 
equivalência lógica
Relações entre 
proposições
Provas direta e indiretaTécnicas de 
demonstração
Demonstrar propriedades, 
proposições, teoremas, 
lemas e corolários.
Método dedutivo
Universal ( ) e 
existencial ( )Quantificadores
Números naturais
Empregado na 
demonstração de 
propriedades para ou 
subconjuntos infinitos dele
Princípio da 
Indução Finita